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Raciocínio Lógico

Conjunção / Disjunção / Disjunção Exclusiva

Professor Fabrício Biazotto

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Raciocínio Lógico

CONECTIVOS LÓGICOS

2 – CONJUNÇÃO (E = MAS) ( ^ OU ∩)

Todos entendem quando a mãe pede para ir em algum lugar e comprar um punhado de coisas.

“Joãozinho, vá a feira e me traga banana, maçã e laranja”

A mãe entrega o dinheiro e sai Joãozinho para as compras.

É claro que se Joãozinho retornar para casa com:

a) banana e maçã = Errou! E mãe briga dizendo que ele nunca ouve o que ela fala.

b) banana e laranja = Errou! E mãe briga dizendo que ele nunca ouve o que ela fala.

c) maçã e laranja = Errou! E mãe briga dizendo que ele nunca ouve o que ela fala.

d) só a banana = Errou! E a mãe dá uma bela escovada e ainda tem um castigo!

e) só a maçã = Errou! E a mãe dá uma bela escovada e ainda tem um castigo!

f) só a laranja = Errou! E a mãe dá uma bela escovada e ainda tem um castigo!

g) A pior das hipóteses e bem ao estilo Joãozinho de ser... Não traz nada para casa e ainda gasta o dinheiro no fliper! Nem precisa dizer o que irá acontecer, não é?

Note que a sentença “Joãozinho, vá a feira e me traga banana, maçã e laranja”, a vírgula entre banana e maçã tem o sentido do E, conforme visto no 1º capítulo, assim é uma sentença conjuntiva, ou seja, é uma conjunção.

Desde criança sabe-se que para Joãozinho acertar o pedido da mãe, só existe uma opção, a de retornar para casa com os três itens pedidos! Assim desde a infância sabe-se que quando tem uma coisa E outra E outra E outra e quantos E existirem, somente será verdadeiro, quando todas forem verdadeiras, no caso do Joãozinho, trazer tudo para casa, logo desde a infância que se sabe o que é uma Conjunção!

Também será que ninguém se lembra da prova de estudos sociais (esta para as pessoas mais antigas que fizeram 3ª série ainda) ou se preferir da prova de geografia (esta para as pessoas mais novas que já fizeram o 4º ano), da Tia Marialva, onde lá na questão no 3 da prova estava escrito:

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3. Assinale ou V para verdadeiro, ou F para falso nas sentenças abaixo e se falso, justifique.

( ) Florianópolis é capital de Santa Catarina e pertence a região sudeste.

Lembra disso!

Vamos lá! Sei que todos já estão com a resposta na cabeça (F A L S O!) e com a justificativa também (REGIÃO SUL), porém vamos analisar isso parte a parte.

1º – Todos morriam quando a Tia (Prof. se preferir) pedia para justificar! ...Para que isso! Está errado! Está errado, ué! ...Lembra!

2º – Era para marcar V ou F (atenção agora!) E justificar, por isso que se somente marcasse V ou F, algumas tias davam meio ponto e outras, mais afastadas, por assim dizer! Davam errado mesmo e pronto!

Por que? Porque era para fazer os dois. Lembra do exemplo do Joãozinho, no caso do E, ou tudo ou nada, não tem mais ou menos!

3º – Por que a sentença é F de falso?

Florianópolis é capital de Santa Catarina = V

pertence a região sudeste = F

ou seja, na sentença a metade (50%) é verdadeiro e a outra metade (50%) é falso. Se está perfeitamente meio a meio, então por que o F de falso venceu?

De novo o Joãozinho, no caso do E ou tudo, ou nada! Não tem mais ou menos!

Logo, mais uma vez acabamos de perceber que desde a infância sabemos sim o que é conjunção e que uma conjunção somente será verdadeira quando todas forem verdadeiras! Não é verdade?

Mas será que é assim que funciona no RLM? Não. Não é através disso que se tem a regra da conjunção, exatamente pela subjetividade do exemplo e pelas diferenças de julgamento, meio ponto ou inteiramente errado, de cada pessoa.

A lógica tem que ser imutável (Princípio da identidade), então tem que existir uma explicação lógica e exata da conjunção. É aí que entra a teoria de conjuntos, a união, a intersecção, a diferença e o está contido (subconjunto) que explicam as regras dos conectivos, assim para conjunção:

Conjunção = ^ = ∩ = Intersecção de conjuntos = E.

Exemplo: No seguinte conjunto é apenas para dizer se pertence, ou não pertence cada um dos valores ao conjunto A, ao conjunto B e a intersecção entre eles.

Raciocínio Lógico – Conjunção / Disjunção / Disjunção Exclusiva – Prof. Fabrício Biazotto


Conforme já dito anteriormente, em tabela-verdade, a única coluna que importa é a última, sendo assim olhado exclusivamente para a última coluna da tabela acima (em vermelho), percebe-se que é quase uma contradição, somente não é por conta da segunda linha que é verdadeiro, por isso é uma contingência, então é possível determinar uma regra, de forma bem lógica, válida e imutável, do porque esta segunda linha é verdadeira:

Regra da Conjunção: “SOMENTE SERÁ VERDADEIRO QUANDO TODAS FOREM VERDADEIRAS”.

O que já se sabia desde a infância conforme os exemplos acima.

De forma lógica também, é possível perceber algumas observações por conta desta regra

OBS1.: Em uma conjunção, se pelo menos uma for falsa, ela sempre será falsa.

OBS2.: Simbolizando quando uma conjunção é falsa, ou seja, quando não será uma conjunção, entende-se que é a negação da conjunção. Veja a sentença:

“Não será uma conjunção quando pelo menos 1 for falsa, ou seja, uma ou a outra for falsa”. (OBS1)

Simbolizando: ~ (P ^ Q) = ~ P v ~ Q (Lei de De Morgan).

Exemplo: Faça a tabela-verdade para a seguinte sentença: “Pedro é advogado e arquiteto”.

1º – Simbolizar:

P = Pedro é advogadoQ = Pedro é arquitetoConectivo: E = ^

2º – Escrever a sentença simbolizada: P ^ Q

3º – Perguntar-se: Quantas letras diferentes há na sentença? Resposta: Duas! (lembra da tabela-verdade para duas colunas)

4º – Escrever a tabela-verdade:


P QV VV FF VF F

5º – Entender que se deseja unir estas duas colunas e apenas uma coluna conforme a sentença simbolizada: P ^ Q (acrescentar esta coluna a tabela).

P Q P ^ QV V V F F V F F

6º – Realizar o seguinte exercício mental: Que símbolo é esse? Qual o seu nome? Qual a sua regra?

7º – Aplicar a regra em cada linha da tabela-verdade.

E está pronto a tabela-verdade. Só isso! Neste momento consegue perceber que é uma CONTINGÊNCIA, pois a última coluna é mesclada!

OBS3.: Em uma conjunção de uma proposição e da negação dela mesma, sempre será uma CONTRADIÇÃO.

Exemplo: Na eleição para prefeitura o candidato A será e não será eleito.

Na eleição para prefeitura o candidato A será eleito = P



Na eleição para prefeitura o candidato A não será eleito = ~ P (perceba que é a mesma sentença P porém negada! Por isso não será Q e sim ~ P)

Conectivo: E = ^

Sentença simbolizada P ^ ~ P (apenas uma letra, logo tabela-verdade de uma coluna)

Ao terminar a tabela-verdade, percebe-se que a última coluna é toda F, assim esta tabela é uma CONTRADIÇÃO!

OBS4.: A sentença lógica P ^ Q é lida como P E Q, porém existem outras formas de ser escrita:

P ^ Q = P e Q; P, mas Q,; P, embora Q,; Tanto P como Q; Não só P, mas também Q; P, apesar de Q.

3 – DISJUNÇÃO (OU) (v OU U).

A disjunção também a conhecemos desde a infância, naquelas festinhas americanas, onde as meninas levavam um prato de salgado, ou doce. Lembra?

Quando isto era dito já ficava entendido que poderia levar qualquer salgadinho, qualquer doce, ou ainda se preferisse os dois! Só não podia não levar nada!

Na disjunção então vale qualquer coisa que esteja dentro do foi estipulado, a única coisa que não vale é estar completamente fora! Pronto, de novo se sabe disjunção desde a infância!

Mas será que em RLM é assim? De novo, é claro que não! A disjunção também é determinada através da teoria de conjuntos:

Disjunção = v = ∪ = União de conjuntos = OU.

Exemplo: No seguinte conjunto é apenas para dizer se pertence, ou não pertence cada um dos valores ao conjunto A, ao conjunto B e a união entre eles.


Conforme já dito anteriormente, em tabela-verdade, a única coluna que importa é a última, sendo assim olhado exclusivamente para a última coluna da tabela acima (em vermelho), percebe-se que é quase uma tautologia, somente não é por conta da última linha que é falso, por isso é uma contingência, então é possível determinar uma regra, de forma bem lógica, válida e imutável, do porque esta última linha é falsa:

Regra da Conjunção: “SOMENTE SERÁ FALSO QUANDO TODAS FOREM FALSAS”.

O que já se sabia desde a infância conforme o exemplo acima.

De forma lógica também, é possível perceber algumas observações por conta desta regra

OBS1.: Em uma disjunção, se pelo menos uma for verdadeira, ela sempre será verdadeira.

OBS2.: Simbolizando quando uma disjunção é falsa, ou seja, quando não será uma disjunção, entende-se que é a negação da disjunção. Veja a sentença:

“Não será uma disjunção quando todas forem falsas, ou seja, uma e a outra for falsa”. (REGRA)

Simbolizando: ~ (P v Q) = ~ P ^ ~ Q (Lei de De Morgan).

Exemplo: Faça a tabela-verdade para a seguinte sentença: “Pedro é advogado ou arquiteto”.

OBS3.: Em uma disjunção de uma proposição e da negação dela mesma, sempre será uma TAUTOLOGIA.

Exemplo: Na eleição para prefeitura o candidato A será ou não será eleito.

Sentença simbolizada P v ~ P (apenas uma letra, logo tabela-verdade de uma coluna).



Ao terminar a tabela-verdade, percebe-se que a última coluna é toda V, assim esta tabela é uma TAUTOLOGIA!

OBS4.: A sentença lógica P v Q é lida como P OU Q, porém existem outras formas de ser escrita:

P v Q = P ou Q; P ou Q ou ambos,;

P e/ou Q,(nos documentos legais).

4 – DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU...OU...) (V OU –)

Principalmente para as meninas, as disjunção exclusiva é utilizada logo cedo, por volta dos 13 anos, onde é necessário tomar uma decisão importante:

“Nos seus 15 anos, o que deseja? Ou uma festa, ou uma viagem?”

Neste momento a menina entende que se escolher a festa, perdeu a viagem, se escolher a viagem, perdeu a festa! Mais uma vez, a disjunção exclusiva é conhecida desde a infância.

Porém em RLM, a disjunção exclusiva trata da exclusividade dos elementos nos conjuntos, ou seja, a diferença de conjuntos.

Disjunção Exclusiva = v = – = Diferença de conjuntos = OU... OU... .

Exemplo: No seguinte conjunto é apenas para dizer se pertence, ou não pertence cada um dos valores ao conjunto A, ao conjunto B e a diferença entre A – B ou B – A.


Conforme já dito anteriormente, em tabela-verdade, a única coluna que importa é a última, sendo assim olhado exclusivamente para a última coluna da tabela acima (em vermelho), percebe-se que é quase uma tautologia, somente não é por conta da última linha que é falso, por isso é uma contingência, então é possível determinar uma regra, de forma bem lógica, válida e imutável, do porque esta última linha é falsa:

Regra da Conjunção: “SERÁ VERDADEIRO QUANDO APENAS UMA FOR VERDADEIRA”.

Exemplo: Faça a tabela-verdade para a seguinte sentença: “Ou Pedro é advogado ou arquiteto”.

OBS.: Em uma disjunção exclusiva de uma proposição e da negação dela mesma, sempre será uma TAUTOLOGIA.

Exemplo: Na eleição para prefeitura ou o candidato A será, ou não será eleito.

Sentença simbolizada P v ~ P (apenas uma letra, logo tabela-verdade de uma coluna).

Ao terminar a tabela-verdade, percebe-se que a última coluna é toda V, assim esta tabela é uma TAUTOLOGIA!

OBS2.: A sentença lógica P v Q é lida como OU P OU Q.


Questões

5 – EXERCÍCIOS

1. (2014 – VUNESP – DESENVOLVE/SP – Ana-lista Grupo 06)

Considere as afirmações:

I. A camisa é azul ou a gravata é branca.II. Ou o sapato é marrom ou a camisa é azul.III. O paletó é cinza ou a calça é preta.IV. A calça é preta ou a gravata é branca.

Em relação a essas afirmações, sabe-se que é falsa apenas a afirmação IV. Desse modo, é possível concluir corretamente que

a) a camisa é azul e a calça é preta. b) a calça é preta ou o sapato é marrom. c) o sapato é marrom ou a gravata é bran-

ca. d) a calça é preta e o paletó é cinza. e) a camisa é azul ou o paletó é cinza.

2. (2013 – CESPE – MTE – AFT)

Se S = (P∧Q) ∨ (P∧ R), então a última colu-na da tabela-verdade de S conterá, de cima para baixo e na ordem em que aparecem, os seguintes elementos: V, F, V, V, F, V, F e F.

( ) Certo ( ) Errado

3. (2018 – FCC – ADAPTADO)

Assinale a alternativa verdadeira sobre a ta-bela verdade de ∼p∧ ∼q .

p q ∼p ∼q ∼p∧ ∼q

I V V F F F

II V F F V V

III F V V F V

IV F F V V F

a) Ib) IIc) IIId) IV.

4. (2018 – CESPE – ADAPTADO)

Considere que a proposição composta “Ali-ce não mora aqui ou o pecado mora ao lado” e a proposição simples “Alice mora aqui” sejam ambas verdadeiras. Nesse caso, a proposição simples “O pecado mora ao lado” é verdadeira.



5. (2018 – CESPE – ADAPTADO)

Considere que uma proposição Q seja com-posta apenas das proposições simples A e B e cujos valores lógicos V ocorram somente nos casos apresentados na tabela abaixo.

A B Q

V F V

F F V

Nessa situação, uma forma simbólica corre-ta para Q é [A∧ (¬B)]∨[(¬A)∧ (¬B)] .


Gabarito: 1. E 2. E 3. A 4. C 5. C

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