Raciocínio Lógico
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O Instituto IOB nasce a partir da experiência de mais de 40 anos da IOB no desenvolvimento de conteúdos, serviços de consultoria e cursos de excelência.
Por intermédio do Instituto IOB, é possível acesso a diversos cursos por meio de ambientes de aprendizado estruturados por diferentes tecnologias.
As obras que compõem os cursos preparatórios do Instituto foram desenvolvidas com o objetivo de sintetizar os principais pontos destacados nas videoaulas.
institutoiob.com.br
Raciocínio Lógico / Obra organizada pelo Instituto IOB - São Paulo: Editora IOB, 2013.
ISBN 978-85-63625-62-5
Informamos que é de inteira responsabilidade do autor a emissão
dos conceitos.Nenhuma parte desta publicação
poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização do Instituto IOB.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº
9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
Sumário
Capítulo 1 – Conjuntos, 71. Introdução e Simbologia: Considerações Iniciais, Símbolo de
Pertinência e Inclusão, 72. Subconjuntos/Triângulo de Pascal, 93. Triângulo de Pascal e suas Propriedades/Descobertas, 104. Triângulo de Pascal: Problemas de Combinatória, 135. Números Triangulares, 146. Números Figurados, Sequência de Fibonacci e suas Aplicações, 16
Capítulo 2 – Aplicação de Conjunto e Princípios da Lógica, 201. Intersecção de Conjunto, 202. Dica de Resolução – União e Intersecção, 233. Álgebra Linear, Primeira Lei da Lógica, 254. Problema do Diofanto e do Jack Bauer, 295. Verdade x Mentira: Indução ao Erro, 306. Estruturas Lógicas, 317. Premissas e Silogismo, 34
Capítulo 3 – Construção da Tabela – Conjunção e Disjunção, 361. Apresentação, 362. Condicional: Valéria Falou, tá Falado, 39
3. Conectivos Lógicos – Questões, 404. Esaf: Diagramas/Negação, 425. Negação de Uma Condicional, 436. Tabela de Negações, 457. Problema do Plog e Dica em Diagramas Usando Equivalência, 478. Questões de Concurso – Preposições, 489. Tabela Base e Dica do Sorvete, 5110. O ou exclusivo e inclusivo, 5211. Condicional: “Certo”, “Falso”, “Verdadeiro”, 5512. Dica da Condicional, 5713. Condicional – Proporção de Causa e Consequência, 5914. Condicional – Intermediário/Negação, 6115. Condicional – Negação, 6216. Negação (Continuação I), 6417. Negação (Continuação II) – Diagrama, 6618. Diagramas e Valorações Lógicas, 68
Capítulo 4 – Valores Lógicos, 711. Diagramas e Valorações Lógicas, 712. Tabela: Uso e Construção, 733. Valoração Lógica em Linguagem Corrente, 744. Valoração em Linguagem Simbólica (Tabelas-Verdade), 765. Valoração com Uso Exclusivo de Tabelas, 78
Capítulo 5 – Desafios e Enigmas, 801. Problema do Político, 802. Desafio do U2 e Problema do Fenelon, 823. Enigma de Einstein, 83
Capítulo 6 – Negações: Simbologia, 851. Negação da Condicional – Parte I, 852. Negação da Condicional – Parte II, 863. Negação da Condicional – Parte III, 864. Cálculo Proposicional – Proposições Relacionadas, 87
Capítulo 7 – Equivalência, 901. Condição Suficiente e Necessária, 902. Equivalência de Uma Condicional, 923. Equivalências Lógicas, 934. Leis de Morgan, 945. Equivalências e suas Aplicações, 956. Equivalência: Simbologia, 97
Capítulo 8 – Argumentação, 1001. Validade, 1002. Valoração Lógica, 103
3. Cálculo Proposicional – Conectivos, 1044. Proposições Relacionadas, 106
Capítulo 9 – Lógica Indutiva e Dedutiva, 1091. Aplicações e Método – Parte I, 1092. Aplicações e Método – Parte II, 1103. Problema da Vovó Vitoria, 1114. Questões Usando Dedução e Indução, 1125. Charada de Einstein, 114
Capítulo 10 – Análise Combinatória, 1161. Introdução à Análise Combinatória, 1162. Princípio Fundamental de Contagem, 1183. Método de Pensamento da Análise Combinatória, 1194. PFC: Método, 1195. Tabuleiro de Xadrez, 1216. Uso do E/Ou, 1227. Anagramas, 1238. Anagrama: Questão de Cinema, 1249. Anagramas com Repetição, 12510. Anagramas: Outras Aplicações, 12611. Comissões, 12712. Problema da Lâmpada, 12913. Agrupamento de Pessoas, 13014. Questão da Lanchonete, 131
Capítulo 11 – Probabilidade, 1331. Definição e Problema da Moeda, 1332. Eventos Complementares e Exclusivos, 1353. Probabilidade: Conceito, 1364. Probabilidade Condicional, 1375. Lei de Murphy, 1386. Probabilidade de Não Ocorrer um Evento, 1397. Distribuição Binomial, 1418. Problema das Urnas, 1419. Teorema de Bayes, 14310. Questões, 14511. Problema do Filme – Quebrando a Banca, 146
Gabarito, 147
Capítulo 1
Conjuntos
1. Introdução e Simbologia: Considerações Iniciais, Símbolo de Pertinência e Inclusão
1.1 Apresentação
Nesta unidade, daremos início ao estudo de raciocínio lógico.
1.2 Síntese
RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO: Este trabalho visa desenvol-ver a habilidade do aluno em entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas; e compreender as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Os estímulos visuais utilizados, constituídos de
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elementos conhecidos e significativos, mostram que possuímos habilidades dos ouvintes para compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais:
– raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orien-tação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. Em síntese, as questões da prova que serão tratadas durante o curso destinam-se a medir a capacidade de compreender o processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.
SimbologiaEconomiza palavras. Indiretamente traduz o que se quer dizer.Pertence () e não pertence () são símbolos de pertinência, aquele que
relaciona um elemento com um conjunto.Para o relacionamento entre conjuntos, trabalha-se com símbolos de inclu-
são, isto é, se um conjunto está ou não dentro do outro. Os símbolos de inclu-são são: está contido (), não está contido ( ), contém () e não contém ().
Simbologia: → pertence → não pertence → está contido → não está contido → contém → não contém → união (ou) → interseção (e)– → diferença (exceto)Exemplo:Conjunto A = {1, 2, 3, {4}}1 A (1 pertence à A porque 1 é um elemento e está separado por vírgula).2 A (2 pertence à A porque 2 é um elemento e está separado por vírgula).3 A (3 pertence à A porque 3 é um elemento e está separado por vírgula).4 A (4 não pertence à A porque o número 4 não está separado por vírgula,
quem está separado por vírgula é o conjunto {4}).{4} A ({4} pertence à A por que está separado por vírgula).Se está relacionando o elemento que está separado com vírgula com con-
junto, usa-se a pertinência.{1,2} é subconjunto de A; logo, {1,2} AA {2,3}{4} A (o subconjunto {4} não está contido em A){{4}} A{3,4} A (4 não é um elemento de A)
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9Subconjuntos ou Partes de um Conjunto
Sejam os conjuntos A e B, em que os elementos de B estão contidos em A,
então, dizemos que B A (B está contido em A) ou que A B (A contém B). O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
Obs.: Número de Subconjuntos é dado por 2n, onde n é número de ele-mentos do conjunto.
2. Subconjuntos/Triângulo de Pascal
2.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos a questão de subconjuntos e a construção do triângulo de Pascal.
2.2 Síntese
Um conjunto possui 512 subconjuntos, ao retirarmos 3 elementos desse conjunto, quantos subconjuntos terá o novo conjunto?
Resolução:512 = 2n, logo ao fatorarmos 512 = 29, ou seja, teremos n = 9, menos 03
elementos; sobraram 06 elementos e, então, o novo conjunto ficará com 26 = 64 subconjuntos.
ResoluçãoPor que 2n?Dado o seguinte conjunto, A = {1, 2, 3} o número de subconjuntos será 23
= 8 subconjuntos, ou seja, P(A)={, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}O número de subconjuntos é dado por 2n onde n é o número de elementos
do conjunto.
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Triângulo de PascalN=0 1 N=1 1 1 N=2 1 2 1 N=3 1 3 3 1 N=4 1 4 6 4 1 N=5 1 5 10 10 5 1 N=6 1 6 15 20 15 6 1 N=7 1 7 21 35 35 21 7 1 N=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
P=0 P=1 P=2 P=3 P=4 P=5 P=6 P=7 P=8
3. Triângulo de Pascal e suas Propriedades/Descobertas
3.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos propriedades do triângulo de Pascal.
3.2 Síntese- Toda linha começa e termina com o número 1.- Relação de Stifel: cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do
número imediatamente acima e do antecessor do número de cima.- Simetria: o triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura.- A soma das linhas é sempre 2n, onde n é o número da linha.- Os números naturais aparecem na segunda diagonal.No caso da cor da pele humana, considerando apenas 5 fenótipos, envol-
vendo dois pares de genes N e B, que teriam a mesma função, ou seja, acres-centar uma certa quantidade de melanina à pele, se efetivos (N ou B) ou não acrescentar nada, se não efetivos (n ou b).
Fenótipos Número de genes
negro 4 genes efetivos e 0 não efetivo
mulatos escuros 3 genes efetivos e 1 não efetivo
mulatos médios 2 genes efetivos e 2 não efetivos
mulatos claros 1 gene efetivo e 3 não efetivos
branco 0 gene efetivo e 4 não efetivos
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11Se acontecer um cruzamento entre di-híbridos, quais serão as proporções
fenotípicas da descendência?Com conhecimentos de Genética: (quais são os gametas e os tipos possíveis
de filhos gerados?)NnBb x NnBb
Gametas produzidos por ambos: NB, Nb, nB e nb
gametas NB Nb nB nb
NB NNBB NNBb NnBB NnBb
Nb NNbB NNbb NnbB Nnbb
nB nNBB nNBb nnBB nnBb
nb nNbB nNbb nnbB nnbbObserva-se que há 16 combinações genotípicas diferentes, sendo:
1 negro 4 genes efetivos e 0 não efetivo
NNBB menor frequência
= 1/16
maior expressividade
4 mulatos escuros
3 genes efetivos e 1 não efetivo
NNBb ou nNBB
. .
6 mulatos médios
2 genes efetivos e 2 não efetivos
NNbb, nnBB ou
NnBb
maior frequência
= 6/16
média expressividade
4 mulatos claros
1 gene efetivo e 3 não efetivos
Nnbb ou nnBb
. .
1 branco 0 gene efetivo e 4 não efetivos
nnbb menor frequência
= 1/16
mínima expressividade
Ou seja, na descendência, chega-se à seguinte proporção fenotípica: 1 ne-gro: 4 mulatos escuros: 6 mulatos médios: 4 mulatos claros: 1 branco.
Usando o triângulo de Pascal:Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes não efetivos
= 2 (n ou b)Procura-se no triângulo a linha em que o número de genes é igual a 4.
Nº de Genes Coeficientes
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
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1 negro 4 efetivos e 0 não efetivo 1 p4 q0
4 mulatos escuros 3 efetivos e 1 não efetivo 4 p3q1
6 mulatos médios 2 efetivos e 2 não efetivos 6 p2q2
4 mulatos claros 1 efetivo e 3 não efetivos 4 p1q3
1 branco 0 efetivo e 4 não efetivos 1 p0 q4
Portanto, na descendência, chega-se à seguinte proporção fenotípica:1 negro: 4 mulatos escuros: 6 mulatos médios: 4 mulatos claros: 1 brancoAplicação matemática do Triângulo de Pascal– (a + b)² = 1a² + 2ab + 1b² (n = 2)– (a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³ (n = 3)– (a + b)4 = 1a4 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1b4 (n = 4)Método• Em cada monômio da expressão algébrica, há um produto do termo a
pelo termo b, isto é a.b.• A partir do primeiro monômio, os expoentes de a vão “decrescendo” e
os de b vão “crescendo”.• A soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual
ao expoente do binômio.• O primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é
zero.• O primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do
binômio.• A expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio.• Em todos os termos, aparece o produto a.b (lembre-se de que a0 = b0 =
1, a1 = a, b1 = b).• Expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0 (ordem decrescente).• Expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (ordem crescente).• Soma dos expoentes de a e de b em cada monômio: 5 (expoente do
binômio).• A expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1).
Exercício
1. (Esaf) Quantas comissões de três pessoas pode-se formar num grupo de 7 componentes?Comentário:N = 7 e P = 3 → 35 (vide triângulo).
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4. Triângulo de Pascal: Problemas de Combinatória
4.1 Apresentação
Nesta unidade, continuaremos vendo as propriedades do triângulo de Pascal.
4.2 SínteseO triângulo de Pascal também pode ser usado como ferramenta nos proble-
mas de análise combinatória, onde teremos a linha representando os elemen-tos disponíveis e a coluna representando os elementos “pedidos”.
Exercícios
2. (UNB/Téc. Ad./Ancine/2006) Suponha que uma distribuidora de filmes tenha 6 filmes de animação e 5 comédias para distribuição. Nesse caso, é superior a 140 e inferior a 160 o número de formas distintas pelas quais 4 desses filmes podem ser distribuídos de modo que 2 sejam comédias e 2 sejam de animação.Comentário:– Comédia: N = 05 e P = 02 → 10 } 10 x 15 = 150. O item
está correto.– Animação: N = 06 e P = 02 → 153. (Cespe) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcio-
nários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemen-te contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.Comentário:– 3 em 7 (N = 07 e P = 03) = 35– 2 em 4 (N = 04 e P = 02) = 6 } 35 x 6 x 1 = 210– 2 em 2 (N = 02 e P = 02) = 1
4. (TRT/9ª) Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situação, a quantidade de maneiras diferen-tes de se constituírem essas comissões é superior a 12.– 3 em 5: N = 05 e P = 03 à 10
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5. Números Triangulares
5.1 Apresentação
Nesta unidade, estudaremos os números triangulares.
5.2 SínteseNúmeros Triangulares.
Números Triangulares, também chamados de números figurados, são nú-
meros que podem ser representados na forma de um triângulo equilátero. Tais números são calculados por meio de duas fórmulas:
T (n) = 1 + 2 + 3 +...+ n que é o mesmo que: Tn = [n (n + 1)]/2Ou como no teorema: o quadrado de todo número inteiro maior que um é
a soma de dois números triangulares consecutivos.T (1) = 1T (n + 1) = T (n) + (n + 1)
Exercícios
5. Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses 4 itens devem ser es-colhidos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver, pelo menos, um item que seja alimento não perecível e, pelo menos, um item que seja pro-duto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos?
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15a) 360.b) 420.c) 540.d) 600.e) 640.Comentário:1ª Hipótese: 1 produto de limpeza (em 8) e 3 produtos alimentares (em 5)No triângulo N = 8 P = 1 e N = 5 P = 3 à 8 * 10 = 802ª Hipótese: 2 produtos de limpeza e 2 produtos alimentaresNo triângulo N = 8 P = 2 e N =5 P =2 à 28 * 10 = 2803ª Hipótese: 3 produtos de limpeza e 1 produto alimentarNo triângulo N = 8 P = 3 e N = 5 P = 1 à 56 * 5 = 280Total 80 + 280 + 280 = 640
6. (FCC) Um número que pode ser representado pelo padrão abaixo é chamado número triangular.
A soma dos oito primeiros números triangulares é:a) 110.b) 120.c) 130.d) 140.e) 150.Comentário: Resposta: 120. 1 + 2 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10 + 5 = 15 + 6 = 21 + 7 = 28 + 8 = 36. 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 120.
7. (Fundep)“No meio do caminho tinha uma pedra, tinha uma pedra no meio do caminho.”Carlos Drummond de AndradeSuponha que Ronando passa por esse caminho todo dia. Suponha, ainda, que, no caminho de Ronando, uma nova pedra se soma às anteriores, a cada dia. Assim sendo, é CORRETO afirmar que, no final de 100 dias, Ronando terá tido em seu caminho.
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a) 100 pedras.b) 5.050 pedras.c) 6.250 pedras.d) 8.850 pedras.Comentário: Fórmula: n = (n + 1) = (100 x 101)/2 = 5.050. 2
6. Números Figurados, Sequência de Fibonacci e suas Aplicações
6.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos os números figurados, a sequência de Fibonacci e suas aplicações.
6.2 Síntese
FibonacciMuitos estudantes de matemática, ciências ou artes ouviram falar de Fi-
bonacci somente por causa do seguinte problema do Liber abaci: um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá à luz a um novo par que é fértil a partir do segundo mês?
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17Logo, a sequência fica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...“As somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram
a Sucessão de Fibonacci.” Na tentativa de visualizar melhor as diagonais em questão, façamos uma reorganização dos elementos do triângulo de Pascal:
Existem várias aplicações da sucessão de Fibonacci, ou mesmo da razão áurea, tais como o Nautilus, a razão entre as diversas configurações de uma borboleta, a razão entre os ossos de cada membro do nosso corpo, as simetrias dos animais e plantas, a simetria do nosso rosto; em odontologia, a Periontolo-gia é baseada na razão áurea, movimentos de frequência na física, etc.
Anexando dois quadrados com lado = 1, teremos um retângulo 2 x 1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado = 2 (o maior lado do retângulo 2 x 1) e teremos um retângulo 3 x 2.
Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos compri-mentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3, 5, 8, 13, ... Que é a sequência de Fibonacci?
Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L =
13, de acordo com a figura abaixo, repita o mesmo procedimento nos quadra-dos de lado L = 8, L = 5, L = 3, L = 2, L = 1 e L = 1.
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Muitos estudantes de matemática, ciências ou artes ouviram falar de Fibo-nacci somente por causa do seguinte problema do Liber abaci: um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro.
Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá à luz a um novo par que é fértil a partir do segundo mês?
Logo a sequência fica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...Se dividirmos cada termo desta sequência, a partir do número 21, pelo
seu precedente, obteremos aproximadamente o número 1,618, o “número de ouro” dos gregos:
21/13 = 1,6153834/21 = 1,6190455/34 = 1,6176489/55 = 1,61818Razão Áurea pode ser escrita como:
Exercício
8. (FCC) Números figurados são assim chamados por estarem associa-dos a padrões geométricos. Veja dois exemplos de números figurados:
A tabela abaixo traz algumas sequências de números figurados:
Números triangulares 1 3 6 10 ?
Números quadrados 1 4 9 16 ?
Números pentagonais 1 5 12 22 ?
Números hexagonais 1 6 15 28 ?
Observando os padrões, os elementos da quinta coluna, respeitando a ordem da tabela, devem ser:
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19a) 20, 30, 40, 50.b) 18, 28, 45, 50.c) 16, 36, 46, 56.d) 15, 25, 40, 50.e) 15, 25, 35, 45.Comentário:
Capítulo 2
Aplicação de Conjunto e Princípios da Lógica
1. Intersecção de Conjunto1.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos intersecção de conjunto.
Exercícios9. (Fundep) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos ali-
mentares de seus alunos.Alguns resultados dessa pesquisa foram:•82%dototaldeentrevistadosgostamdechocolate;•78%dototaldeentrevistadosgostamdepizza;e•75%dototaldeentrevistadosgostamdebatatafrita.Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de:
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21a) 25%.b) 30%.c) 35%.d) 40%.Solução:•82%gostamdechocolate,logo,18%nãogostamdechocolate;•78%gostamdepizza,logo,22%nãogostamdepizza;•75%gostamdebatatafrita,logo,25%nãogostamdebatatafrita.As pessoas que não gostam de algum produto não podem entrar na Interseção, ou seja: 65%(18+22+25).Se65%daspessoasnãogostamdealgumacoisa,35%(100%–65%)gostamdealgumacoisa;logo,35%“estãorepetidos”,ouseja,conso-mem os três alimentos, no mínimo.
10. (DESAFIO) Uma pesquisa foi feita no melhor curso do Brasil, IOB, contando-se 1000 alunos, 800 dos quais são mulheres, 850 prestarão prova em Campinas, 750 usarão caneta azul e 700 levarão garrafinha de água. Qual o número mínimo de alunos que apresentam, ao mes-mo tempo, todas as características citadas?a) 50.b) 100.c) 150.d) 200.Resolução 1:1000 AlunosM = 800 à 200 não são mulheres (1000 – 800).P = 850 à 150 não farão prova em Campinas (1000 – 850).C = 750 à 250 não levarão caneta azul (1000 – 750).G = 700 à 300 não levarão garrafa (1000 – 700).Logo, 900 é o máximo de pessoas que não podem possuir as 4 carac-terísticas (200 + 150 + 250 +3 00).Para 1000 alunos, 100 possuirão as 4 características (1000 – 900).Resolução 2:1000 AlunosM = 800 800 + 850 à Passaram 650 (1650 – 1000)P = 850
}C = 750 750 + 700 à Passaram 450 (1450 – 1000)G = 700
}Somando 650 + 450 = 1100 à Passaram 100 (1000 – 1100)
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11. No último verão, o professor Délio passou com sua família alguns dias na praia. Houve sol pela manhã em 7 dias e sol à tarde em 12 dias. Em 11 dias, houve chuva e se chovia pela manhã, não chovia à tarde. Quantos dias o professor Délio passou na praia?a) 11.b) 12.c) 13.d) 14.e) 15.
DIAS de SOL
X 7 – X 12 – X
Manhã Tarde
Sol pela manhã: 7 – xSol à tarde: 12 – xDias com sol o dia inteiro: xDias de Chuva = 11 dias7 - x + 12 – x = 11-2 X = 11 – 7 -122 X = 8X = 4Somando todos os períodos temos:(7 - 4) + (12 - 4) + 4 = 15O professor passou 15 dias na praia.Esta dica serve apenas para este estilo de problema:É só somarmos tudo e o resultado dividirmos por 2:7 + 12 + 11 = 30 → 30/2 = 15 dias
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2. Dica de Resolução – União e Intersecção2.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos dica de resolução – união e intersecção.
2.2 Síntese
INTERSEÇÃO: Se dois conjuntos quaisquer possuem elementos em co-mum, estes formam a INTERSECÇÃO destes conjuntos. A B = {x/x
A e x B}
Exemplos: Propriedades
1) A A = A
2) A =
3) A B = B A
UNIÃO: Dados dois conjuntos quaisquer, a UNIÃO destes conjuntos é agrupar em um só conjunto os elementos de ambos os conjuntos. A B = { x/x A ou x B}
Exemplos: Propriedades
1) A A = A
2) A = A
3) A B = B A
DIFERENÇA: Dados dois conjuntos quaisquer, a DIFERENÇA entre eles é tirar do primeiro os elementos comuns aos dois. A – B = { x/x A e x B }
Exemplos: Observação
B A então (A – B) é o
conjunto complementar
de B em relação a A.
AB
comB,-A=
BAC
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Exercícios
12. Emumauniversidade,sãolidosdoisjornais,AeB;exatamente80%dos alunos leemo jornalAe60%,o jornalB.Sabendoque todoaluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que leem ambos:80%+60%=140%dosalunosPassaram40%(omáximoé100%)–OquepassaésempreaInter-cesção.
13. Numa escola de 870 alunos, 450 deles estudam Finanças, 320 estu-dam Lógica e 110 deles estudam as duas matérias (Finanças e Lógi-ca). Pergunta-se:a) Quantos alunos estudam APENAS Finanças?b) Quantos alunos estudam APENAS Lógica?c) Quantos alunos estudam Finanças ou Lógica?d) Quantos alunos estudam nenhuma das duas disciplinas?
110 340 210
Finanças Lógica
14. (Fundep) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que:210 pessoas compram o produto A;210 pessoas compram o produto B;250 pessoas compram o produto C;20 pessoas compram os 3 produtos;100 pessoas não compram nenhum dos 3;60 pessoas compram os produtos A e B;70 pessoas compram os produtos A e C;50 pessoas compram os produtos B e C.Quantas pessoas foram entrevistadas?a) 670.b) 970.
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25c) 870.d) 610.Solução: Primeiramente, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn:
Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevistados (letra d).
3. Álgebra Linear, Primeira Lei da Lógica
3.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos álgebra linear, primeira lei da lógica.
Exercícios
15. Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que frequentam pelo menos uma das 3 livrarias A, B e C. Foram obtidos os seguintes dados:Das 90 pessoas que frequentam a livraria A, 28 não frequentam as demais.Das 84 pessoas que frequentam a livraria B, 26 não frequentam as demais.Das 86 pessoas que frequentam a livraria C, 24 não frequentam as demais.8 pessoas frequentam as 3 livrarias. Determine:a) O nº de pessoas que frequentam apenas uma das livrarias.b) O nº de pessoas que frequentam pelo menos 2 livrarias.c) O total de pessoas ouvidas nesta pesquisa.
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A (90) B (84)
A X + Y + 36 = 90 B X + Z + 34 = 84 C Y + Z + 32 = 86 A X + Y = 90-36 54 B X + Z = 84-34 50 C Y + Z = 86-32 54 X + Y = Y + Z (pois X + Y =54 e Y +Z = 54) X + Y = Y + Z X = Z Substituindo (B): 2X = 50 X = 25, Z = 25 e Y = 29
28
8
26
24
Y
X
Z
a) Número de pessoas que frequentam apenas uma das livrarias:28 + 26 + 24 = 78b) Número de pessoas que frequentam pelo menos 2 livrarias:Y + X + Z +8 = 25 + 29 + 25 + 8 = 87c) O total de pessoas ouvidas nesta pesquisa:Somam-se todos os valores = X + Y + Z + 28 + 8 + 26 + 24 = 165
16. Na compra de equipamentos para um grupo de técnicos, foram gas-tos R$ 1.040,00 em 4 arquivos, 3 cavaletes e 2 walkie talkies; logo depois, foram gastos R$ 1.000,00 na compra de 2 arquivos, 3 cavale-tes e 4 walkie talkies. Para adquirir um objeto de cada, ou seja, um arquivo, um cavalete e um walkie talkies serão necessários:a) R$ 324,00.b) R$ 360,00.c) R$ 280,00.d) R$ 340,00.e) R$ 420,00.4a + 3c + 2w = 10402a + 3c + 4w = 10006a + 6c + 6w = 2040 (Dividir todos por 6)a + c + w = 340
17. (Esaf/Tec.M.Faz/2009) Em um determinado curso de pós-gradua-ção, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe--se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. As-sim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações?a) 40%.b) 33%.
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27c) 57%.d) 50%.e) 25%.Solução:
Mat Geo Eco Bio Qui
31
41
31
52
41
%1575666,16094
602015202415
18. Na sequência de números 1, 2, 3, ..., 100, quantos números não são múltiplos de 3 e nem de 4?a) 50.b) 48.c) 46.d) 44.e) 42.Solução:Múltiplos de 3 de 1 até 100, é só dividir por 3 ⇒ 100 ÷ 3 = 33 e resto 1Múltiplos de 4 de 1 até 100, é só dividir por 4 ⇒ 100 ÷ 4 = 25Múltiplos de 12 de 1 até 100, é só dividir por 12 ⇒ 100 ÷ 12 = 8 e resto 4O resto não é importante, mas sabemos que os divisores de 3 e 4, são divisíveis por 12, logo:
M(3) M(4) 33 – 8 = 25 8 25 – 8 = 17
Logo, temos 50 números que não são múltiplos nem de 2 e nem de 4.19. Num grupo de 99 esportistas,
40 jogam vôlei;20 jogam vôlei e xadrez;22 jogam xadrez e tênis;18 jogam vôlei e tênis11 jogam as três modalidades.
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O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pes-soas que jogam tênis.Solução:jogam APENAS vôlei e xadrez = 20 – 11 = 9jogam APENAS vôlei e tênis = 18 – 11 = 7jogam APENAS tênis e xadrez = 22 – 11 = 11Agora, podemos calcular, no círculo do vôlei, quem joga APENAS vôlei:40 – (9 + 11 + 7) = 13Com a última informação (Total de xadrez = Total de tênis), pode-mos calcular:Quem joga APENAS xadrez = XQuem joga APENAS tênis = TNo entanto, sabemos que o total de jogadores é 99, então, vamos somar tudo e igualar a 99:X + T + 13 + 9 + 11 + 7 + 11 = 99X + T = 48 (i)Contudo, sabemos que:X + 9 + 11 + 11 = T + 7 + 11 + 11T – X = 2 (ii)De (i) + (ii) temos:2.T = 50 ---> T = 25 e X = 23a) quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei?25 + 11 = 36b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?25 + 11 + 23 = 59c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?7 + 13 = 20
20. Ricardo Erse veste-se apressadamente para um encontro muito im-portante. Pouco antes de pegar as meias na gaveta, falta luz. Ele cal-cula que tenha 13 pares de meias brancas, 11 pares de meias cinzas, 17 pares de meias azuis e 7 pares de meias pretas. Como elas estão todas misturadas, ele resolve pegar certo número de meias no escu-ro e, chegando no carro, escolher duas que tenham cor igual para calçar. Qual é o menor número de meias que Ricardo Erse poderá pegar para ter certeza de que pelo menos duas são da mesma cor?a) 12.b) 10.c) 8.d) 6.e) 5.
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29Solução:Ricardo tem 4 cores de meia em mãos (1 branca, 1 cinza, 1 azul e 1 preta). Quando Ricardo pegar a 5ª meia, obrigatoriamente terá um par de meias da mesma cor.
4. Problema do Diofanto e do Jack Bauer
4.1 Apresentação
Nesta unidade, vamos introduzir as duas outras leis básicas da lógica.
4.2 Síntese
Desafio: Numa brincadeira na escola de Diofanto, ele deve retirar o menor número possível de frutas (sem ver) de uma das três caixas rotuladas da seguin-te maneira: maçã, pera e maçã e pera, onde os rótulos estão todos fora de or-dem. Quantas frutas ele deve retirar para colocar os rótulos nas caixas corretas e de qual(ais) caixa(s) ele deve fazê-lo?
Resposta: Retirando apenas uma fruta da caixa rotulada como “pera e maça”, conseguiremos definir as demais caixas.
1ª lição: Leia cuidadosamente o texto e preste atenção nas entrelinhas, aqui o nosso português é top de linha!!!
Desafio: O agente da UCT, Jack Bauer, foi entregue ao terrorista Abu Fa-yed, e o terrorista disse: “Diga uma frase para salvar sua vida: Se ela for verda-deira, nos te fuzilamos; porém, se for falsa, nos te enforcamos.”
Jack Bauer pensou rapidamente, disse a frase e saiu livre e vivo, como sempre...
– Qual foi a frase dita por Jack?Resposta: Ele disse que seria enforcado!O Jack só poderia ser enforcado se tivesse mentido, então se ele disse
que seria enforcado e, de fato, a frase dele era verdadeira, a maneira certa de morrer era fuzilado. Mas, se fosse fuzilado, a frase seria falsa e deveria ser enforcado.
2ª lição: “Se nós quisermos atingir resultados nunca antes atingidos, de-vemos utilizar métodos nunca antes utilizados.” Ou seja, jogar a verdade contra a mentira, ou mesmo induzir a pessoa ao erro ou a uma contradição é a coisa mais lógica a se fazer...
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5. Verdade x Mentira: Indução ao Erro
5.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos verdade x mentira: indução ao erro.
5.2 Síntese
Quando estamos diante de uma situação em que não podemos concluir a verdade iminente, procuramos algo ou fala contraditória; caso exista, utili-zamos o princípio da contradição, ou indução ao erro. No problema do Jul-gamento Final, como um guardião fala apenas a verdade e o outro, apenas a mentira, induzimos um deles à resposta do outro.
Questão: O DIA DO JULGAMENTO FINALSegundo uma antiga lenda, quando morremos nos deparamos com dois
guardiões que estão diante de duas portas: uma nos leva ao céu e a outra ao inferno. Não sabemos qual porta é qual, sabemos apenas que um dos guardiões diz sempre a verdade e outro mente sempre, mas também não sabemos qual é qual!
Qual a pergunta (e uma só pergunta) que devemos fazer para que possamos desfrutar de uma vida eterna no céu?
Comentário: (Adaptada do livro “O homem que calculava”). Você está numa cela onde existem duas portas, cada uma vigiada por um guarda. Exis-te uma porta que dá para a liberdade, e outra para a morte. Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer apenas uma per-gunta a um dos dois guardas que vigiam as portas. Um dos guardas sempre fala a verdade, e outro sempre mente e você não sabe quem é o mentiroso e quem fala a verdade.Que pergunta você faria?Resposta: “Se você fosse o seu colega, qual porta você me indicaria?” A reposta será exatamente o contrário do que se fará.Porta esquerda = Liberdade.Porta direita = Morte. Se fala a verdade = Porta direita à Contrário à Porta esquerda.Guarda 01 { Se fala a mentira = Porta direita à Contrário à Porta esquerda
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Exercício21. Valéria quis saber do amigo enigmático Fenelon Portilho quais eram
as idades de seus três filhos. Ele deu a primeira pista:– O produto de suas idades é 36.– Ainda não é possível saber, disse Valéria.– A soma das idades é o número da casa aí em frente.– Ainda não sei.– Meu filho mais velho é Corintiano.– Agora já sei, afirmou Valéria.Qual era o número da casa em frente?Solução: Nesta questão do professor Fenelon, a cada dica necessi-tamos de outra, pois ainda permanecemos na dúvida, ou seja, a dú-vida só prevalece porque temos mais de uma possível resposta, daí a necessidade da próxima dica, até que a última dica elimina por completo as outras opções. Enfim, para que haja a certeza lógica a questão ou enunciado tem que nos fornecer todos os dados necessá-rios para uma única solução, sem dúvidas ou suposições.
Possibilidades Somas Casa Idade
1 136
38
1 218
21
1 312
16
1 4 9 14
1 6 6 13 *
2 2 9 13 * 2,2,9
2 3 6 11
3 3 4 10
6. Estruturas Lógicas
6.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos as estruturas lógicas.
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6.2 Síntese
Definição de LógicaLógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las
corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos.Árvore de Porfírio:Porfírio criou uma estrutura lógica – a Árvore de Porfírio – que, partindo
de um conceito ou gênero amplo, divide esse gênero em outros tantos gêneros subordinados, mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos, por meio de um par de opostos, chamado “diferenças”. O processo de divisão pelas dife-renças segue até que a espécie mais baixa seja alcançada, espécie essa que não pode ser mais dividida.
SAPO OU CAVALO?(INCRÍVEL, MAS É A MESMA IMAGEM!)
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33Definição de LógicaLógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las
corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos.Para Aristóteles, a lógica é um instrumento para o exercício do pensamen-
to e da linguagem, oferecendo-lhes meios para realizar o conhecimento e o discurso e não uma ciência teorética, nem prática nem produtiva, mas um instrumento para as ciências, para o conhecer. O objeto da lógica para Aristóte-les é a proposição, que exprime, por meio da linguagem, os juízos formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito. A verdade pode sofrer uma série de conceituações. Vejamos as consequentes:
Verdade Lógico-formal – é a que se refere à coerência na estrutura do raciocínio quanto às conclusões alcançadas, obedecendo a princípios formais do pensamento e segundo enunciados estabelecidos, a partir dos quais se de-senvolve o pensamento que expressa uma nova proposição, um novo enuncia-do ou uma nova verdade. Assim, a verdade lógico-formal é a que representa acordo com as leis do pensamento, a partir de princípios ou definições ante-riormente estabelecidos.
Verdade Objetiva – é a que se refere à conformidade do conhecimento com a coisa conhecida ou a “conformidade do pensar com o ser”. Se digo que o dia está nublado, é preciso que, no instante que faça tal afirmação, o céu esteja, realmente, nublado.
Verdade Ontológica, Metafísica ou do Ser – é a que se refere à essência mesma das coisas. Quando falo que a manteiga é pura, quero dizer que não foi acrescido nenhum elemento estranho, mas que só contém a natureza própria da manteiga. Em outras palavras, exprime o ser das coisas, correspondendo exatamente ao nome que se lhe dá.
Verdade Moral – é a que se refere ao agir, à “conformidade da expressão oral com a mente”, podendo receber o nome também de veracidade. A ver-dade moral significa a correspondência entre a expressão do pensamento e o pensamento.
O erro, em lógica, chama-se falsidade. Em moral, quando a pessoa erra conscientemente, chama-se mentira. O erro pode ter causa lógica, psicológica ou moral.
PROPOSIÇÃOVem de “propor” que significa submeter à apreciação; requerer em juízo,
vem do latim proponere. Logo, proposição é uma frase a ser julgada.Toda proposição apresenta três características obrigatórias:• sendo oração, tem sujeito e predicado;• é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa);• tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou
é falsa (F).
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7. Premissas e Silogismo
7.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos as premissas e o silogismo.
7.2 Síntese
(UNB/2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.
1. “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” (Não é proposição, existe duplo valor lógico)
2. A expressão X + Y é positiva. (Não é proposição)3. O valor de 4 + 3 = 7. (É proposição)4. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. (É proposição)5. Quem vai ganhar hoje? (Não é proposição)Resposta: Item erradoPREMISSADo latim: praemissaCada uma das duas proposições de um silogismo.Questão: Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é compos-
to de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessaria-mente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
SILOGISMODo latim: syllogismusDedução formal tal que, postas duas proposições, chamadas premissas, de-
las se tira uma terceira, nelas logicamente implicada, chamada conclusão.01. Deus ajuda quem cedo madruga...Quem cedo madruga, dorme à tarde...Quem dorme à tarde, não dorme à noite...Quem não dorme à noite, sai na balada!!!!!!!Conclusão: Deus ajuda quem sai na balada!!!!02 – Deus é amor.O amor é cego.Stevie Wonder é cego.Conclusão: Stevie Wonder é Deus.
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3503 – Disseram-me que eu sou um ninguém.Ninguém é perfeito.Conclusão: Eu sou perfeito.Contudo, só Deus é perfeito. Portanto, eu sou Deus.Se Stevie Wonder é deus, eu sou Stevie Wonder.Todavia, Stevie Wonder é cego, eu estou cego.04 – Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem cheios de buracos.Quanto mais queijo, mais buracos.Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo.Assim, quanto mais buracos, menos queijo.Quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais buracos, menos queijo.Logo, quanto mais queijo, menos queijo.05 – Toda regra tem exceção.Isto é uma regra.Logo, deveria ter exceção.Portanto, nem toda regra tem exceção.06 – Existem biscoitos feitos de água e sal.O mar é feito de água e sal.Logo, o mar pode ser um biscoitão.07 – Quando bebemos, ficamos bêbados.Quando estamos bêbados, dormimos.Quando dormimos, não cometemos pecados.Quando não cometemos pecados, vamos para o Céu.Então, vamos beber para ir pro Céu!08 – Hoje em dia, os trabalhadores não têm tempo pra nada.Já os vagabundos... Tem todo o tempo do mundo.Tempo é dinheiro.Logo, os vagabundos têm mais dinheiro do que os trabalhadores.
Exercícios
22. (UnB/Agente/PF/2004) Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.
23. (UnB/Agente/PF/2004) Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.
24. (UnB/Agente/PF/2004) Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.
25. (UnB/Agente/PF/2004) É válido o seguinte argumento: Todo ca-chorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo, todo cachorro é vegetal.
Capítulo 3
Construção da Tabela – Conjunção e Disjunção
1. Apresentação
Conectivos lógicosSão expressões que servem para unir duas proposições ou transformar uma
proposição formando uma nova proposição.Os conectivos lógicos básicos são:“não” (negação);“e” (conjunção aditiva);“ou” (disjunção, podendo ser exclusiva ou não);“se... então” (condicional);“se e somente se” (bicondicional).AS TABELAS VERDADEA lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem
ser formulados como segue:· Princípio da Identidade: todo objeto é idêntico a si mesmo.· Princípio da Contradição: dadas duas proposições contraditórias (uma
é negação da outra), uma delas é falsa.
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37· Princípio do Terceiro Excluído: dadas duas proposições contraditórias,
uma delas é verdadeira.Com base nesses princípios, as proposições simples são ou verdadeiras ou
falsas – sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clás-sica é bivalente.
Ao analisarmos uma proposição, ela poderá ser verdadeira ou falsa, assim podemos construir o corpo de uma tabela-verdade.
A B
V V
V F
F V
F F
E, continuando, se tivermos 3 proposições teremos uma tabela de 8 linhas, pois serão 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades de valorações das proposições.
A B C
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
CONJUNÇÃOA conjunção A B é verdadeira se A e B são ambas verdadeiras; se ao me-
nos uma delas for falsa, então A B é falsa.
Este critério está resumidona tabela-verdade ao lado
A B A B
VVFF
VFVF
VFFF
A Conjunção só será verdadeira se ambas forem verdadeiras, caso contrário, será sempre falsa.
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Exemplo 01A: O Homem é um ser vivo. (V)B: Cães são vegetais. (F)A B: O Homem é um ser vivo e Cães são vegetais, é uma proposição
falsa (F).Exemplo 02A: 3 + 4 = 7B: é “Rômulo é magro”A B: 3 + 4 = 7 e “Rômulo é magro” é uma proposição que pode ser
verdadeira (V) ou falsa (F) dependendo do valor lógico de B, a qual pode ser verdadeira (V) ou falsa (F).
DISJUNÇÃOA disjunção A B é verdadeira se ao menos uma das proposições A ou B
for verdadeira; se A e B são ambas falsas, então A B é falsa.
Este critério está resumidona tabela-verdade ao lado
A B A B
VVFF
VFVF
VVVF
A disjunção só será falsa se ambas forem falsas, caso contrário, será verdadeira.Exemplos de Disjunção:A: “Todo botafoguense é audaz.” (V)B: “O gelo é quente.” (F)A B: “Todo botafoguense é audaz ou o gelo é quente.” (V)A: 4 > 3 (F).B: “Todo ser vivo é mamífero.” (F)A B : 4 > 3 ou “todo ser vivo é mamífero” (F).
Exercício
26. (UnB/Analista/TRT-1ªR./2008) Considere que são V as seguintes proposições:– “Se Joaquim é desembargador ou Joaquim é ministro, então Joa-
quim é bacharel em direito”;– “Joaquim é ministro.”Nessa situação, conclui-se que também é V a proposição:a) Joaquim não é desembargador.b) Joaquim não é desembargador, mas é ministro.c) Se Joaquim é bacharel em direito, então Joaquim é desembargador.
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39d) Se Joaquim não é desembargador nem ministro, então Joaquim
não é bacharel em direito.e) Joaquim é bacharel em direito.
2. Condicional: Valéria Falou, tá Falado
CONDICIONALAinda a partir de proposições dadas, podemos construir novas proposições
pelo emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais:o condicional se ... então.... (símbolo: à);e o bicondicional ... se, e somente se ... (símbolo: ↔).O condicional se A, então B (AàB) é falso somente quando A é verdadeira
e B é falsa; caso contrário, A à B é verdadeiro.DICA: “A CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA NO VALÉRIA FALOU,
TÁ FALADO”
Veja a tabela-verdade correspondente à proposiçãoA àB:
A B A à B
VVFF
VFVF
VFVV
Por exemplo:Se Nestor é professor de Penal (V), então, Barney ensina literatura (F).
Valéria Falou, tá FaladoSe o gato late, então o cachorro mia, é verdadeiro.Se o gato dança sapateado (F), então, o cachorro sai com o carro todo final
de semana (F), é verdadeira.A: A terra é quadrada (F)B: Miguel é especial (V ou F)A à B: A terra é quadrada então Miguel é especial será sempre verdadeira
independentemente do valor lógico de B.
Exercícios
27. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderleia viajou. Se Vanderleia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento.b) Camile e Carla não foram ao casamento.
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c) Carla não foi ao casamento e Vanderleia não viajou.d) Carla não foi ao casamento ou Vanderleia viajou.e) Vera e Vanderleia não viajaram.Solução: A última conclusão que iremos extrair, com base no nosso quadro-resumo que rege a estrutura em tela, é a seguinte:Agora, resta-nos elencar as conclusões todas do nosso raciocínio. Fo-ram as seguintes:à O navio não afundou (premissa incondicional, “verdade” do enunciado);à Vanderleia não viajou (conclusão da terceira proposição);à Carla foi ao casamento (conclusão da segunda proposição);à Vera não viajou (conclusão da primeira proposição).Daí, compararemos nossas conclusões acima com as opções de res-posta. E chegamos, enfim, à resposta da questão, que é a opção E (Vera e Vanderleia não viajaram).
28. Se Beraldo briga com Beatriz, então, Beatriz briga com Bia. Se Bea-triz briga com Bia, então, Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então, Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo:a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia.b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia.c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz.d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz.e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz.Daí, as conclusões que extrairemos do nosso raciocínio são as seguintes:à Beto não briga com Bia (“premissa incondicional”);à Bia não vai ao bar (conclusão da terceira premissa);à Beatriz não briga com Bia (conclusão da segunda premissa);à Beraldo não briga com Beatriz.Em comparação com as opções de resposta, concluímos que a res-posta correta será o item C (“Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz”).
3. Conectivos Lógicos – Questões
Analise agora...Na música do Engenheiros do Hawaii ...“Crimes perfeitos não deixam suspeitos” (Humberto Gessinger):é verdadeira, logo:Renato cometeu um crime.Renato é suspeito.– Logo, o crime não foi perfeito.
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Exercícios29. (Delegado da Polícia Civil/ES) Uma proposição é uma frase afirma-
tiva que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução lógica é uma sequência de proposições, e é conside-rada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, deno-minadas premissas, obtêm-se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considerando essas informa-ções, julgue os itens a seguir, a respeito de proposições.Considere a seguinte sequência de proposições:(1) Se o crime foi perfeito, então, o criminoso não foi preso.(2) O criminoso não foi preso.(3) Portanto, o crime foi perfeito.Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então, a proposição (3), a con-clusão, é verdadeira, e a sequência é uma dedução lógica correta.Item Errado
Comentário: Condição suficiente não é condição necessária. Mesmo que o criminoso não seja preso, isso não significa que o crime foi perfeito, já que o crime imperfeito pode levar a um criminoso não preso. Se A então B: A é condição suficiente para que B ocorra, mas não necessária. Condição necessária é A B.
DiagramaA B A B
Se A, então B. Se A e só se B
Crime perfeito
Não perfeito e não preso
Criminoso não preso
↔
↔
Considere as seguintes frases.I – Todos os empregados da Petrobras são ricos.II – Os cariocas são alegres.III – Marcelo é empregado da Petrobras.IV – Nenhum indivíduo alegre é rico.Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e conside-rando suas implicações, julgue os itens que se seguem.
30. Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, apesar de não se-rem ricos, são alegres.
31. Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico.
Rac
iocí
nio
Lógi
co42
32. Existe pelo menos um empregado da Petrobras que é carioca.33. Alguns cariocas são ricos, são empregados da Petrobras e são alegres.34. (Esaf) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo.
Ora, não velejo. Assim,a) Estudo e fumo.b) Não fumo e surfo.c) Não velejo e não fumo.d) Estudo e não fumo.e) Fumo e surfo.Solução:
Surfo
ou
Estudo Fumo
ou
Não surfo
Velejo
ou
Não estudo
F V
FV FV
Portanto, surfo e fumo.Letra E
4. Esaf: Diagramas/Negação
Exercício35. (Esaf) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desis-
to, compreendo. Se é feriado, não desisto. Então:a) Se jogo, não é feriado.b) Se não jogo, é feriado.c) Se é feriado, não leio.d) Se não é feriado, leio.e) Se é feriado, jogo.A negação da negação é a afirmação da proposição.Exemplo: Não fui eu não, então, fui eu.A negação de A e B é não A ou não B.Exemplo: A negação de Você é alto e bonito é:Você não é alto ou você não é bonito.A negação de A ou B é não A e não B.Exemplo: A negação de Você é cruzeirense ou atleticano é:Você não é cruzeirense e você não é atleticano.Anteriormente, vimos que:– para que uma proposição composta por uma conjunção seja falsa,
basta que uma das frases que a compõe seja falsa;– para que uma proposição composta por uma disjunção seja verda-
deira, basta que uma das frases que a compõe seja verdadeira.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
43A negação do E é OUA negação do OU é E
NegaçãoA proposição ~A tem sempre valor oposto de A, isto é, ~A é verda-deira quando A é falsa e ~A éfalsa quando A é verdadeiraNão “par vezes” = Não do não à Sim.Não “ímpar vezes” = Não do não do não à Não.
A ~A
V F
F V
~(A B) = ~A ou ~B
A B A B ~ (A B) ~A ~B ~A ou ~B
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
Outra maneira de abordarmos a condicional é com o uso de diagra-mas comparativos: A e B A ou B A B
A B A B B
A
Na condição (A à B), negando a existência do conjunto maior (B), será condição suficiente para a inexistência do conjunto menor (A).
5. Negação de Uma Condicional
5.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos negação de uma condicional.
Rac
iocí
nio
Lógi
co44
5.2 Síntese
Por exemplo, para negar a frase:Se você jogar na Mega, você ganhará.A negação será:Você jogou na Mega e não ganhou.
Proposição Equivalente da Negação
A e B Não A ou não B
A ou B Não A e não B
*Se A então B A e não B
**A se e somente se B (↔) (A e não B) ou (B e não A)
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
Exercício
36. Se Marta pratica esporte, então, ela é saudável.No entanto, Marta não pratica esporte.Logo, baseados somente nessas informações, podemos concluir que:a) Ela é saudável.b) Ela não é saudável.c) Alguém não pratica esporte.d) Ninguém é saudável.
Marta Pratica Esporte
Pessoas Saudáveis
A B A B A B
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
Rac
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nio
Lógi
co
45A negação do e é ou
⌐A ⌐B (⌐A)(⌐B) (⌐A)(⌐B)
F F F F
F V V F
V F V F
V V V V
Proposição Equivalente da Negação
A B ⌐A ⌐B
A B ⌐A ⌐BA negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão.
A ~B A(⌐B)
V F F
V V V
F F F
F V FTabela de Negações
Proposição Equivalente da Negação
A e B Não A ou não B
A ou B Não A e não B
Se A então B A e não B
A se e somente se B (A e não B) ou (B e não A)
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
6. Tabela de Negações
6.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos a tabela de negações.
Rac
iocí
nio
Lógi
co46
6.2 Síntese
Tabela de Negações
Proposição Equivalente da Negação
A e B Não A ou não B
A ou B Não A e não B
Se A então B A e não B
A se e somente se B (A e não B) ou (B e não A)
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
A negação da proposição: Todo ser vivo é mamífero, é a proposição:Nem todo ser vivo é mamífero ou, Existe, pelo menos, um ser vivo que não é
mamífero.A negação da proposição: Tenho 1,80 m de altura e você está pisando no
meu pé é:Não tenho 1,80 m de altura ou você não está pisando no meu pé.A negação de 4 = 5 é 4 ≠ 5;A negação de 3 > 1 é 3 1;A negação de x 2 é x < 2;A negação de y < 5 é y 5;A negação de x 6 é x > 6
Exercícios
37. Sejam p e q duas proposições. A negação de p Ù ~ q equivale a:a) ~p ~q.b) ~p ~q.c) ~p q.d) ~p q.e) p ~q.
38. A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é:a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá.b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá.c) Hoje não é segunda-feira, então, amanhã choverá.d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá.e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá.
Rac
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Lógi
co
4739. A negação de “O gato mia e o rato chia” é:
a) “O gato não mia e o rato não chia.”b) “O gato mia ou o rato chia.”c) “O gato não mia ou o rato não chia.”d) “O gato e o rato não chiam nem miam.”
40. A negação de “x -2” é:a) x 2.b) x -2.c) x < -2.d) x 2.
7. Problema do Plog e Dica em Diagramas Usando Equivalência
Exercícios
41. Ou PLOG = BLOG, ou CLOG = DLOG, ou EGLE = FLOG. Se GLOG = HUGLI, então EGLE = FLOG. Se CLOG = DLOG, então GLOG = HUGLI. Ora, EGLE ≠ FLOG, então:a) CLOG = DLOG ou GLOG = HUGLI.b) PLOG ≠ BLOG e CLOG ≠ DLOG.c) CLOG ≠ DLOG e GLOG = HUGLI.d) PLOG = BLOG e CLOG ≠ DLOG.e) CLOG = DLOG ou PLOG ≠ BLOG.
P = B
G = H
OU
C = D
OU
E = F
E = F
C = D
G = H
E ≠ F |
G ≠ H |
C ≠ D |
P=B
FF V
42. Se Valéria não fala italiano, então, Marcelo fala alemão. Se Valéria fala italiano, então, ou Waltinho fala chinês ou Nestor fala dinamarquês. Se Nestor fala dinamarquês, Leonardo fala espanhol. Mas Leonardo fala
Rac
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co48
espanhol se e somente se não for verdade que Juliana não fala francês. Ora, Juliana não fala francês e Waltinho não fala chinês. Logo,a) Valéria não fala italiano e Nestor não fala dinamarquês.b) Waltinho não fala chinês e Nestor fala dinamarquês.c) Juliana não fala francês e Leonardo fala espanhol.d) Marcelo não fala alemão ou Valéria fala italiano.e) Marcelo fala alemão e Nestor fala dinamarquês.Resolução: A melhor forma de resolver problemas como este é ar-rumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor visualização de todo o problema:Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verda-deiras obtivemos as seguintes afirmações:Juliana não fala francês.Waltinho não fala chinês.Leonardo não fala espanhol.Nestor não fala dinamarquês.Valéria não fala italiano.Marcelo fala alemão.Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é denominada proposição. Considere que A e B representem propo-sições básicas e que as expressões A B e ¬A sejam proposições compostas.A proposição A B é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e ¬A é F quando A é V, e é V quando A é F. De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir:
43. (UnB/Agente/MPE/AM/2008) Se a proposição A for F e a proposi-ção (¬A) B for V, então, obrigatoriamente, a proposição B é V.(¬A) B{
V ? = VComentário:Logo, a proposição B não precisa ser obrigatoriamente Verdadeira para que a saída seja verdadeira.
8. Questões de Concurso – Preposições
Exercícios44. (UnB/Agente/MPE/AM/2008) Independentemente da valoração V
ou F atribuída às proposições A e B, é correto concluir que a propo-sição ¬(A B) (A B) é sempre V.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
49Comentário:Perceba que as proposições são invertidas, ou seja, quando uma for falsa, a outra será verdadeira.
A B A B ~(A B)~(A B) v
(A B)~ (A B)
(A ~B)
V V V F V F
V F V F V F
V F V F V F
F V V F V F
F F F V V F
•Obs.:Semprehaveráum(V)nashipóteses.45. (UnB/Agente/MPE/AM/2008) Se a afirmativa “todos os beija-flores
voam rapidamente” for considerada falsa, então, a afirmativa “algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.Comentário: A negação de Todo é Algum, a negação de Algum é Nenhum.Todos os beija-flores voam rapidamente = Algum beija-flor não voa rapidamente.Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes.
46. (UnB/Analista/Sebrae/2008) A frase “Pedro e Paulo são analistas do Sebrae” é uma proposição simples.Há somente um verbo.
47. (UnB/Analista/Sebrae/2008) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.Toda proposição deve assumir somente um valor lógico, ou verda-deiro, ou falso, não ambas.
48. (UnB/Analista/Sebrae/2008) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.A negação correta seria: “2 + 5 ≠ 9”. Ou seja, qualquer número que não seja 9.
49. (UnB/Analista/Sebrae/2008) A proposição “Ninguém ensina a nin-guém” é um exemplo de sentença aberta.Não é uma sentença aberta, pois a sentença aberta é aquela onde tem o sujeito indeterminado e esse não leva a nada. A frase tem prin-cípio, mas não tem fim.Nesta frase, ele quis deixar entendido que um ninguém ensina a outro ninguém, uma pessoa que não existe; quando, em verdade, o ninguém seria o nome da pessoa (como Pedro ensina a Pedro).
Rac
iocí
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Lógi
co50
50. (UnB/Analista/Sebrae/2008) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição forma-da por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.São duas proposições simples, cada uma com um verbo.
51. (UnB/Analista/Sebrae/2008) A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”.A negação é “Alguém aqui é brasiliense”.
Proposição Equivalente da Negação
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
52. (NCE/Téc./Mapa/2005) A negação da afirmativa “Me caso ou com-pro sorvete” é:a) Me caso e não compro sorvete.b) Não me caso ou não compro sorvete.c) Não me caso e não compro sorvete.d) Não me caso ou compro sorvete.e) Se me casar, não compro sorvete.Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, , e → sejam operadores lógicos que cons-troem novas proposições e significam não, e, ou e então, respec-tivamente.Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, jul-gue os itens a seguir:
53. (UnB/Agente/PF/2004) Se as proposições P e Q são ambas verdadei-ras, então, a proposição(¬ P) (¬ Q) também é verdadeira.Comentário: Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então, a proposição (~P) (~ Q) também é verdadeira. Errado. (~ P) (~ Q) = F v F = F (e não verdadeira).
54. (UnB/Agente/PF/2004) Se a proposição T é verdadeira e a proposi-ção R é falsa, então, a proposição R → (¬ T) é falsa.Comentário: Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então, a proposição R à (¬T) é Verdadeira.Em uma condicional, quando a ideia é falsa, a conclusão sempre será verdadeira.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
51
Veja a tabela-verdade Correspondente à proposiçãoA àB:
A B A à B
VVFF
VFVF
VFVV
Vamos ver agora em qual destas linhas se encaixa a nossa questão.Temos uma condicional “se...então” no qual o antecedente é falso e a consequência é falsa (pois o segundo termo é a negação da pro-posição T, que é verdadeira). Sendo assim, estamos nos referindo à quarta linha da tabela e, portanto, a sentença será verdadeira.Neste caso, bastaria sabermos que o antecedente é falso para “matar” a questão pois, seja lá qual fosse o outro termo, pela tabela a sentença seria verdadeira.
55. (UnB/Agente/PF/2004) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então, a proposição (P ̂ R) → (¬ Q) é verdadeira.Comentário: Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condi-cional: (P R) → (¬ Q) (V F) → (¬ V) F → F = V
9. Tabela Base e Dica do SorveteTabela Base
A B A B AB A à B A ⇔ B
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
Dica 01 A e B = A B → só será verdadeira se A e B forem verdadeiras, caso contrário será sempre falsa.
Dica 02 A ou B = A B → só será falsa se A e B forem falsas, caso contrário será sempre verdadeira.
Exemplo:Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é verdadeiro, então,
do ponto de vista lógico, podemos dizer que:
Rac
iocí
nio
Lógi
co52
“Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.”“Se Paulo não é paulista, então Pedro não é pedreiro.”No entanto, dizer que:“Pedro é pedreiro e Paulo não é paulista” é uma falsidade.Comentário:Frase principal: “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é verdadeiro,
como se trata de uma disjunção, obrigatoriamente, alguém tem que ser verda-deiro; assim:
“Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.” É uma frase verdadeira, pois negamos a primeira proposição; desse modo, para manter a veracidade da frase principal, temos que concluir que a segunda proposição é obrigatoria-mente verdadeira.
“Se Paulo não é paulista, então, Pedro não é pedreiro.” É uma frase verdadeira, pois ao negarmos a segunda proposição, temos que afirmar a vera-cidade da primeira, para manter a frase principal verdadeira.
“Pedro é pedreiro e Paulo não é paulista” é uma falsidade. Concluir que esta frase é falsa é mais do que verdade, pois tornamos ambas as proposições falsas e uma disjunção só será falsa caso ambas sejam falsas.
“Pedro é pedreiro e Paulo não é paulista” é uma falsidade.
Regra do Sorvete Chocolate Morango Chocolate e Morango Chocolate ou Morango
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
10. O ou exclusivo e inclusivo
A ou B A e B
Alguns A são B B Alguns B são A
Se A, então B A = B
A é condição suficiente para que B ocorra. A se somente se B Todo A é B, mas nem todo B é A.
A B A B
A
Rac
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nio
Lógi
co
53
Exercícios
56. Sou amiga de Bob ou sou amiga de Dylan. Sou amiga de Marley ou não sou amiga de Bob. Sou amiga de Kaleb ou não sou amiga de Dylan. Ora, não sou amiga de Kaleb. Assim:a) Não sou amiga de Marley e sou amiga de Bob.b) Não sou amiga de Kaleb e não sou amiga de Marley.c) Sou amiga de Bob e amiga de Marley.d) Sou amiga de Dylan e amiga de Marley.e) Sou amiga de Dylan e não sou amiga de Kaleb.Comentário:Veja a sequência de diagramas.
A. Bob
ou ou
Não A. Bob
A. Kaleb
ou
A. MarleyA. Dylan
Não A. Dylan
A. Bob
ou ou
Não A. Bob
A. Kaleb
ou
A. MarleyA. Dylan
Não A. Dylan Ora, não sou amiga de Kaleb, logo, ...
Se não sou amiga de Kaleb, então, é falso dizer que sou.
A. Bob
ou ou
Não A. Bob
A. Kaleb
F ou
A. MarleyA. Dylan
Não A. Dylan Ora, não sou amiga de Kaleb, logo, ...
Assim, obrigatoriamente, direi que não ser amiga de Dylan é uma ver-dade, pois a disjunção só será verdadeira se “alguém” for verdadeiro.
Rac
iocí
nio
Lógi
co54
A. Bob
ou ou
Não A. Bob
A. Kaleb
F ou V
A. MarleyA. Dylan
Não A. Dylan
Assim sendo, ser amiga de Dylan é falsidade.
A. Bob
ou F ou
Não A. Bob
A. Kaleb
F ou V
A. MarleyA. Dylan
Não A. Dylan
Portanto, ser amiga de Bob é uma verdade.
A. Bob
V ou F ou
Não A. Bob
A. Kaleb
F ou V
A. MarleyA. Dylan
Não A. Dylan
Logo, não ser amiga de Bob é falsidade.A. Bob
V ou F ou F
Não A. Bob
A. Kaleb
F ou V
A. MarleyA. Dylan
Não A. Dylan
Por conseguinte, temos que concluir que ser amiga de Marley é verdade.
A. Bob
V ou F V ou F
Não A. Bob
A. Kaleb
F ou V
A. MarleyA. Dylan
Não A. Dylan
Rac
iocí
nio
Lógi
co
5557. Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não
velejo. Assim:a) Estudo e fumo.b) Não fumo e surfo.c) Não velejo e não fumo.d) Estudo e não fumo.e) Fumo e surfo.
Surfo
ou
Estudo Fumo
ou
Não surfo
Velejo
ou
Não estudo
F V
FV FV
Portanto, surfo e fumo.Letra E
ATENÇÃO: Quando uma condicional tem sua hipótese falsa, ou seja, o princípio é falso, não interessa a conclusão, pois ela sempre será verdadeira.Se A então B = A → B, só será falsa se A for verdadeira e B for falsa, ou seja, No Valéria Falou, tá Falado, dizemos que A é condição sufi-ciente para que B aconteça.Condicional (condição suficiente) → para você se dar bem:
Você gosta Ele(a) gosta Relacionamento
V V V
V F F
F V V
F F V
11. Condicional: “Certo”, “Falso”, “Verdadeiro”
Condicional (condição suficiente) → para você se dar bem:
Você gosta Ele(a) gosta Relacionamento
V V V
V F F
F V V
F F VDica: livro Encontro marcado: no final tudo acaba bem, se ainda não aca-
bou, é porque não chegou ao fim.
Rac
iocí
nio
Lógi
co56
Exercícios
58. Se Frederico é francês, então, Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então, Fre-derico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo:a) Pedro é português e Frederico é francês.b) Pedro é português e Alberto é alemão.c) Pedro não é português e Alberto é alemão.d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês.e) Se Alberto é Alemão, Frederico é francês.
Alberto Alemão
ou
Egídio Espanhol
Pedro Não – Port.
Frederico Francês
Frederico Francês
Alberto Não Alemão
Egídio (ñ Espanhol) Isaura (ñ Italiana) Alberto Alemão F V
Frederico ñ Francês Pedro é Português
59. Se Astrubal é amigo de Leôncio, então, Salgado é amigo de Pedro. Se Salgado é amigo de Pedro, então, Pedro é amigo do João. Se Pedro é amigo de João, então, João é amigo de Dimitri. Se João é amigo de Dimitri, então, Thales é amigo de Diego. Se Thales é amigo de Diego, então, Nina é feia. Ora, Nina não é feia.Comentário:Ora Nina não é feia.Então,Thales não é amigo de Diego.Logo,João não é amigo de Dimitri.Assim,Pedro não é amigo de João.Salgado não é amigo de Pedro.Portanto,Astrubal não é amigo de LeôncioResumindo: Se A então B = A → B, só será falsa se A for verdadeira e B for falsa, ou seja, No Valéria Falou, tá Falado. Por exemplo:
Rac
iocí
nio
Lógi
co
57Se sou botafoguense, então, você será reprovado, é falsa, pois Valéria Falou, tá Falado e você será aprovado.Se o gato late, então, o cachorro mia, é verdadeira, pois falso implica em falso.Dizemos que A é condição suficiente para que B aconteça.
12. Dica da Condicional
Exercícios
60. (Esaf/Serpro/2001) Cícero quer ir ao circo, mas não tem certeza se o circo ainda está na cidade. Suas amigas, Cecília, Célia e Cleusa têm opiniões discordantes sobre se o circo está na cidade. Se Cecília esti-ver certa, então, Cleusa está enganada. Se Cleusa estiver enganada, então, Célia está enganada. Se Célia estiver enganada, então, o circo não está na cidade. Ora, ou o circo está na cidade, ou Cícero não irá ao circo. Verificou-se que Cecília está certa. Logo:a) O circo está na cidade.b) Célia e Cleusa não estão enganadas.c) Cleusa está enganada, mas não Célia.d) Célia está enganada, mas não Cleusa.e) Cícero não irá ao circo.Comentário: Cecília/Certa à Cleusa/Enganado à Célia/Enga-nado à Circo não está na cidade
Cc Cnc
ou = Verdadeiro F V
Se Cícero quer ir ao circo e se o circo não está na cidade, então, Cícero não irá ao circo; alternativa correta letra E.
61. Se Marta pratica esporte, então, ela é saudável. Mas Marta não pra-tica esporte. Logo, baseados somente nessas informações, podemos concluir que:a) Ela é saudável.b) Ela não é saudável.c) Alguém não pratica esporte.d) Ninguém é saudável.Comentário: Este é um exemplo de sujeito intermediário. A Marta, apesar de não praticar esporte, poderá ser ou não saudável.
Rac
iocí
nio
Lógi
co58
Marta Pratica Esporte
Pessoas Saudáveis
Marta Não Pratica Esporte
A (Ideia) B (Conclusão) A à B
V V V
V F F
F V V
F F VATENÇÃO: Quando uma condicional tem sua hipótese falsa, ou seja, o princípio é falso, não interessa a conclusão, ela sempre será verdadeira.
62. (UnB/Analista/TRT-1ª R./2008) Tendo em vista as informações do texto I, considere que sejam verdadeiras as proposições:I – Todos os advogados ingressam no tribunal por concurso público;II – José ingressou no tribunal por concurso público;III – João não é advogado ou João não ingressou no tribunal por concurso público.Nesse caso, também é verdadeira a proposição.a) José é advogado.b) João não é advogado.c) Se José não ingressou no tribunal por concurso público, então,
José é advogado.d) João não ingressou no tribunal por concurso público.e) José ingressou no tribunal por concurso público e João é advo-
gado.
Comentário:I – Todos os advogados ingressam no tribunal por concurso pú-blico;II – José ingressou no tribunal por concurso público;III – João não é advogado ou João não ingressou no tribunal por concurso público. Nesse caso, também é verdadeira a seguinte proposição:Alternativa C: quando se parte de um princípio falso, a conclusão é sempre verdadeira. F à (V ou F) = V.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
59
13. Condicional – Proporção de Causa e Consequência
Na música do Engenheiros do Hawaii ...“Crimes perfeitos não deixam suspeitos” (Humberto Gessinger):é verdadeira, logo:Renato cometeu um crime.Renato é suspeito.Portanto, o crime não foi perfeito.Em uma proposição composta condicional, temos a ideia e a conclusão,
sabendo que ela só será falsa se a “ideia” for verdadeira e a “conclusão” for falsa, assim sendo, sabemos que:
1) Se a ideia é verdadeira e a conclusão é verdadeira, a resposta será verda-deira;
“Se eu tenho lá dentro, então, eu tenho lá fora.”2) Se a conclusão é falsa e a ideia é falsa, a resposta será verdadeira.“Se negamos lá fora, então, negamos lá dentro.”3) Se negamos a ideia, não necessariamente negamos a conclusão, ou seja,
podemos não ter a hipótese, mas mesmo assim chegarmos à conclusão, que denominei: “Sujeito Intermediário”.
“Esta fora lá de dentro e dentro lá de fora.”
Exercícios
63. (Delegado da Polícia Civil/ES) Uma proposição é uma frase afirma-tiva que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução lógica é uma sequência de proposições, e é conside-rada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, deno-minadas premissas, obtêm-se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considerando essas informa-ções, julgue os itens a seguir, a respeito de proposições.Considere a seguinte sequência de proposições:1) Se o crime foi perfeito, então, o criminoso não foi preso.2) O criminoso não foi preso.3) Portanto, o crime foi perfeito.Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então, a proposição (3), a con-clusão, é verdadeira, e a sequência é uma dedução lógica correta.
Rac
iocí
nio
Lógi
co60
(Delegado da Polícia Civil/ES) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução [...].
Comentário: Condição suficiente não é condição necessária. Mesmo que o criminoso não seja preso, isso não significa que o crime foi perfeito, já que o crime imperfeito pode levar a um criminoso não preso. Se A, então B: A é condição suficiente para que B ocorra, mas não necessária. Condição necessária é A B.
DiagramaA B A B
Se A, então B Se A e só se B
Condição suficiente Condição necessária
(Petrobras/2008) Considere as seguintes frases. I - Todos os empregados da Petrobras são ricos. II - Os cariocas são alegres. III - Marcelo é empregado da Petrobras. IV - Nenhum indivíduo alegre é rico. Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e considerando suas implicações, julgue os itens que se seguem: (V) Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, apesar de não serem ricos, são alegres. (V) Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico. (F) Existe pelo menos um empregado da Petrobras que é carioca. (F) Alguns cariocas são ricos, são empregados da Petrobras e são alegres.
Crime perfeito
Não perfeito e não preso
Criminoso não preso
↔
↔
64. (Esaf) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desis-to, compreendo. Se é feriado, não desisto. Então,a) Se jogo, não é feriado.b) Se não jogo, é feriado.c) Se é feriado, não leio.d) Se não é feriado, leio.e) Se é feriado, jogo.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
61Veja a solução da questão com o uso dos diagramas.
Jogo
Não Leio
Não Compreendo
Se Jogo Ñ Leio Ñ Compreendo
Não Desisto Compreendo
Feriado
Desisto
Ñ é Feriado
14. Condicional – Intermediário/Negação
Exercício
65. Se Fuinha é culpado, então, Beraldo é culpado. Se Fuinha é inocen-te, então, ou Beraldo é culpado, ou Rapadura é culpado, ou ambos, Beraldo e Rapadura, são culpados. Se Rapadura é inocente, então, Beraldo é inocente. Se Rapadura é culpado, então, Fuinha é culpa-do. Logo:a) Fuinha é culpado, e Beraldo é culpado, e Rapadura é culpado.b) Fuinha é culpado, e Beraldo é culpado, e Rapadura é inocente.c) Fuinha é inocente, e Beraldo é culpado, e Rapadura é culpado.d) Fuinha é culpado, e Beraldo é inocente, e Rapadura é inocente.e) Fuinha é inocente, e Beraldo é inocente, e Rapadura é inocente.
Fc
Bc
Bc ou Rc
Fi
Ri
Bi
Fc
Rc
INTERMEDIÁRIO
Se Fuinha é inocente, Beraldo e Rapadura são culpados, mas o contrário não acontece necessaria-mente. Intermediário: Está fora lá de dentro
Se começar pelo lado errado, cairá em contradição e daí é só inverter o pensamento. Contradição: Rapadura Inocente
Rac
iocí
nio
Lógi
co62
NegaçãoA proposição ~A tem sempre valor oposto de A, isto é, ~A é verda-deira quando A é falsa e ~A é falsa quando A é verdadeira
A ¬A
V F
F V
A negação da negação é a afirmação da proposição.Exemplo: Não fui eu não, então, fui eu.A negação de A e B é não A ou não B.Exemplo:A negação de Você é alto e bonito é:Você não é alto ou você não é bonito.A negação de A ou B é não A e não B.Exemplo:A negação de Você é cruzeirense ou atleticano é:Você não é cruzeirense e você não é atleticano.A negação do E é OUA negação do OU é E.
15. Condicional – NegaçãoNegaçãoA negação de A e B é não A ou não B.Exemplo:A negação de Você é alto e bonito é:Você não é alto ou você não é bonito.A negação de A ou B é não A e não B.Exemplo:A negação de Você é cruzeirense ou atleticano é:Você não é cruzeirense e você não é atleticano.Para que uma proposição composta por uma conjunção seja falsa, basta
que uma das frases que a compõe seja falsa.Para que uma proposição composta por uma disjunção seja verdadeira, bas-
ta que uma das frases que a compõe seja verdadeira.A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja,
partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão.Por exemplo, para negar a frase:Se você jogar na Mega, você ganhará.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
63A negação será:Você jogou na Mega e não ganhou.A negação da frase:Se meu time ganhar, então, vou sambar até amanhecer.É...Meu time ganhou e não sambei até o amanhecer.
Proposição Equivalente da Negação
A e B Não A ou não B
A ou B Não A e não B
*Se A então B A e não B
**A se e somente se B (↔) (A e não B) ou (B e não A)
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
A negação da proposição: 3 + 5 = 8 é a proposição: 3 + 5 ≠ 8.Se p é a proposição: Existe um homem que é mortal, então, a negação de p
é a proposição: ~ p dada por Não existe um homem que seja mortal ou, ainda: Nenhum homem é mortal.
Exercícios
66. Qual a negação da proposição “Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos”?a) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos
de 20 anos.b) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20
anos.c) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de
20 anos.d) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem
menos de 20 anos.e) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem me-
nos de 20 anos.Maior ou menorA negação do maior é menor ou igual.A negação do menor é maior ou igual.- A negação de 4 = 5 é ≠ 5;- A negação de 3 >1 é 3 ≤ 1;
Rac
iocí
nio
Lógi
co64
- A negação de X ≥ 2 é X < 2;- A negação de Y < 5 é ≥ 5;- A negação de X ≤ 6 é X > 6.
67. Em uma grande e renomada academia, sabe-se que: “nenhum des-portista é rico” e que “alguns fisiculturistas são ricos”. Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade:a) Alguns desportistas são fisiculturistas.b) Alguns fisiculturistas são desportistas.c) Nenhum desportista é fisiculturista.d) Alguns fisiculturistas não são desportistas.e) Nenhum fisiculturista é desportista.
16. Negação (Continuação I)
Exercícios
68. Sejam p e q duas proposições. A negação de p ~ q equivale a:a) ~ p ~ q.b) ~ p ~ q.c) ~ p q.d) ~ p q.e) p ~ q.
69. A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é:a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá.b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá.c) Hoje não é segunda-feira, então, amanhã choverá.d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá.e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá.
70. A negação de “O gato mia e o rato chia” é:a) “O gato não mia e o rato não chia”.b) “O gato mia ou o rato chia”.c) “O gato não mia ou o rato não chia”.d) “O gato e o rato não chiam nem miam”.
71. A negação de “x -2” é:a) x 2.b) x -2.c) x < -2.d) x 2.
72. (Fiocruz-2010/FGV) A negação lógica da sentença “Se não há higie-ne então não há saúde” é:
Rac
iocí
nio
Lógi
co
65a) Se há higiene, então, há saúde.b) Não há higiene e há saúde.c) Há higiene e não há saúde.d) Não há higiene ou não há saúde.e) Se há saúde, então, há higiene.Resumindo: Para negar uma proposição condicional, devemos rea-firmar a ideia e negar a conclusão.A negação do E é OUA negação do OU é E.A negação de A e B é: não A ou não B.A negação de A ou B: é não A e não B.A negação de AàB é A e não B (Na negação de uma condicional, não se usa o “então”).
73. (UnB/Analista/TRT-1ªR./2008) Proposições compostas são denomi-nadas equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos V ou F, para todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições simples que as compõem.Assinale a opção correspondente à proposição equivalente a “¬[[A (¬B)] → C]”.a) A (¬B) (¬C).b) (¬A) (¬B) C.c) C→[A (¬B)].d) (¬A) B C.e) [(¬A) B] → (¬C).Comentário: Negar uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão:¬[[A (¬B)] → C] = A (¬B) (¬C){ {
Ideia Conclusão(Fiscal do Trabalho/1998) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.Comentário: Negar uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão:
74. (Esaf/Analista/MPOG/2008) Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de vista lógico, Paulo pode afirmar corretamente que:
Rac
iocí
nio
Lógi
co66
a) X ≠ B e Y ≠ D.b) X = B ou Y ≠ D.c) X ≠ B o u Y ≠ D.d) Se X ≠ B, então, Y ≠ D.e) Se X ≠ B, então, Y = D.
Proposição Equivalente da Negação
A e B Não A ou não B
A ou B Não A e não B
*Se A então B A e não B
17. Negação (Continuação II) – Diagrama
Exercícios
75. Ou PLOG = BLOG, ou CLOG = DLOG, ou EGLE = FLOG. Se GLOG = HUGLI, então, EGLE = FLOG. Se CLOG = DLOG, então, GLOG = HUGLI. Ora, EGLE ≠ FLOG, então:a) CLOG = DLOG ou GLOG = HUGLI.b) PLOG ≠ BLOG e CLOG ≠ DLOG.c) CLOG ≠ DLOG e GLOG = HUGLI.d) PLOG = BLOG e CLOG ≠ DLOG.e) CLOG = DLOG ou PLOG ≠ BLOG.
P = B
G = H
OU
C = D
OU
E = F
E = F
C = D
G = H
E ≠ F |
G ≠ H |
C ≠ D |
P=B
FF V
76. Se Valéria não fala italiano, então, Marcelo fala alemão. Se Valéria fala italiano, então, ou Vinícius fala chinês ou Nestor fala dinamarquês. Se Nestor fala dinamarquês, Leonardo fala espanhol. Mas Leonardo fala espanhol se e somente se não for verdade que Juliana não fala francês. Ora, Juliana não fala francês e Vinícius não fala chinês. Logo:
Rac
iocí
nio
Lógi
co
67a) Valéria não fala italiano e Nestor não fala dinamarquês.b) Vinícius não fala chinês e Nestor fala dinamarquês.c) Juliana não fala francês e Leonardo fala espanhol.d) Marcelo não fala alemão ou Valéria fala italiano.e) Marcelo fala alemão e Nestor fala dinamarquês.Comentário:A melhor maneira de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma me-lhor visualização de todo o problema:
Marcelofala alemão
Valéria nãofala italiano
Valériafala italiano
Vinícius fala chinêsou Nestor faladinamarquês
QUESTÃO
RESOLUÇÃO
Leonardofala espanhol
Não for verdade que Juliana não fala francês
Juliana não fala francês eVinícius não fala chinês
Leonardo nãofala espanhol
Valéria não falaitaliano
Nestor faladinamarquês
Nestor não faladinamarquês
Rac
iocí
nio
Lógi
co68
77. No último domingo, Dorneles não saiu para ir à missa. Ora, sabe-se que sempre que Davidson dança, o grupo de Davidson é aplaudido de pé. Sabe-se, também, que, aos domingos, ou Diofanto vai ao par-que ou vai pescar na praia.Sempre que Diofanto vai pescar na praia, Dorneles sai para ir à mis-sa, e sempre que Diofanto vai ao parque, Davidson dança. Então, no último domingo:a) Diofanto não foi ao parque e o grupo de Davidson foi aplaudido
de pé.b) O grupo de Davidson não foi aplaudido de pé e Diofanto não foi
pescar na praia.c) Davidson não dançou e o grupo de Davidson foi aplaudido
de pé.d) Davidson dançou e seu grupo foi aplaudido de pé.e) Diofanto não foi ao parque e o grupo de Davidson não foi aplau-
dido de pé.
Dnm
Dvpq
Dd
Dnm |
Dvpq
| Dd
| GDAp
OU
Dd
Dvpp
Dvmissa
F V
GDAp
18. Diagramas e Valorações Lógicas
Exercícios
78. Ou Lógica é fácil, ou Aramis não gosta de Lógica. Por outro lado, se Direito não é difícil, então, Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Aramis gosta de Lógica, então:a) Se Direito é difícil, então, Lógica é difícil.b) Lógica é fácil e Direito é difícil.c) Lógica é fácil e Direito é fácil.d) Lógica é difícil e Direito é difícil.e) Lógica é difícil ou Direito é fácil.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
69
Dnd
Lf
Agl | Lf
| Dd
OU
Angl
FV
Ld
79. Nas férias, Mônica não foi ao cinema. Sabe-se que sempre que Ce-bolinha viaja, Cebolinha fica feliz. Sabe-se, também, que, nas férias, ou Cascão vai à praia ou vai à piscina. Sempre que Cascão vai à piscina, Mônica vai ao cinema, e sempre que Cascão vai à praia, Cebolinha viaja.Então, nas férias:a) Cebolinha não viajou e Cebolinha ficou feliz.b) Cebolinha não ficou feliz e Cascão não foi à piscina.c) Cascão foi à praia e Cebolinha ficou feliz.d) Cebolinha viajou e Mônica foi ao cinema.e) Cascão não foi à praia e Cebolinha não ficou feliz.
80. (Concurso UFMG/Técnico Administrativo/Fundep/2010) Conside-re as proposições dadas abaixo.A: 2 + 2 = 4B: Nem sempre a semana tem 7 diasC: A palavra azul não começa com a letra aConsidere as expressões:X = (~A) (~ B) (~ C)Y = (~ A) (~ B) (~ C)Z = A B CDados X, Y e Z acima, pode-se afirmar que (X Y Z) e (X Y Z) resultam, respectivamente, em:a) Falso e falso.b) Verdadeiro e verdadeiro.c) Falso e verdadeiro.d) Verdadeiro e falso.Comentário: Segundo a veracidade das proposições, temos que:A: 2 + 2 = 4 (VERDADE)B: Nem sempre a semana tem 7 dias (FALSIDADE)C: A palavra azul não começa com a letra a (FALSIDADE)Ou seja,A = VB = FC = F
Rac
iocí
nio
Lógi
co70
Aplicando as propriedades da negação, conjunção e disjunção, as-sim como suas respectivas valorações da tabela verdade, teremos:X = (~A) (~ B) (~ C) = F V V = FY = (~ A) (~ B) (~ C) = F V V = VZ = A B C = V F F = VPortanto, teremos que:(X Y Z) e (X Y Z) = (F V V) e (F V V) = verda-deiro e falso.
Capítulo 4
Valores Lógicos
1. Diagramas e Valorações Lógicas1.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos os diagramas e as valorações lógicas.
1.2 SínteseO condicional A se e somente se B (A ↔ B) é verdadeira somente quando A
e B são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer a condicional ↔ é falsa.
Bicondicional A se e somente se B A ↔ BA B A ↔ BV V VV F FF V FF F V
Rac
iocí
nio
Lógi
co72
Dica: – Bicondicional (condição necessária) ↔ para nós vivermos bem.
Você gosta Ele(a) gosta Relacionamento
V V V
V F F
F V F
F F VA se e somente se B = A ↔ B, será verdadeira se A e B forem ambas verda-
deiras ou ambas falsas, caso contrário, ela será falsa. Dizemos que A é condição necessária para B e vice-versa. Por exemplo:
Você vencerá se e só se você se esforçar, ou seja, só vence quem se esforça, quem esforça vence, assim, esforço é condição necessária para você vencer.
Exercício
81. Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocor-rência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre:a) D ocorre e B não ocorre.b) D não ocorre ou A não ocorre.c) B e A ocorrem.d) Nem B nem D ocorrem.e) B não ocorre ou A não ocorre.
Diagrama
A B A B. Se A, então B. Se A e só se B
↔
Exemplos:• A:4<3(F)• B:5<2(F)• A↔ B: 4 < 3 se, e somente se 5 < 2 é verdadeira.• A:O sol é uma estrela (V)• B:A lua é uma estrela (F)• A↔ B: O sol é uma estrela, se e somente se, a lua é uma estrela,
é uma proposição falsa.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
73
“Um homem de 40 anos é um homem de meia-idade, pois o trabalho já não dá muito prazer e o prazer dá muito trabalho!”...entenderam?
2. Tabela: Uso e Construção
2.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos a tabela: uso e construção.
Exercícios82. Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é de-
nominada proposição. Considere que A e B representem proposições básicas e que as expressões A B e ¬A sejam proposições compostas.A proposição A B é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e ¬A é F quando A é V, e é V quando A é F. De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir.01. (UnB/Agente/MPE/AM/2008) Se a proposição A for F e a propo-sição (¬A) B for V, então, obrigatoriamente, a proposição B é V.(¬A) B{
V ? = VComentário:Logo, a proposição B não precisa ser obrigatoriamente Verdadeira para que a saída seja verdadeira.
83. (UnB/Agente/MPE/AM/2008) Independentemente da valoração V ou F atribuída às proposições A e B, é correto concluir que a propo-sição ¬(A B) (A B) é sempre V.Comentário:Perceba que as proposições são invertidas, ou seja, quando uma for falsa, a outra será verdadeira.
A B A B ¬A B ¬(A B) (A B)
V V V F V
V F V F V
F V V F V
F F F V V
Rac
iocí
nio
Lógi
co74
84. (UnB/Agente/MPE/AM/2008) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam rapidamente” for considerada falsa, então, a afirmativa “algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.Comentário: A negação de Todo é Algum, a negação de Algum é Nenhum.Todos os beija-flores voam rapidamente = Algum beija-flor não voa rapidamente.Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes.
85. UnB/Analista/Sebrae/2008) A frase “Pedro e Paulo são analistas do Sebrae” é uma proposição simples.Há somente um verbo.
86. (UnB/Analista/Sebrae/2008) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.Toda proposição deve assumir somente um valor lógico, ou verda-deiro, ou falso, não ambas.
87. (UnB/Analista/Sebrae/2008) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.A negação correta seria: “2 + 5 ≠ 9”. Ou seja, qualquer número que não seja 9.
3. Valoração Lógica em Linguagem Corrente
Exercícios
88. (UnB/Analista/Sebrae/2008) A proposição “Ninguém ensina a nin-guém” é um exemplo de sentença aberta.Não é uma sentença aberta, pois a sentença aberta é aquela onde tem o sujeito indeterminado e esse não leva a nada. A frase tem prin-cípio, mas não tem fim.Nesta frase, ele quis deixar entendido que um ninguém ensina a outro ninguém, uma pessoa que não existe; quando, em verdade, o ninguém seria o nome da pessoa (como Pedro ensina a Pedro).
89. (UnB/Analista/Sebrae/2008) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de con-junção.São duas proposições simples, cada uma com um verbo.
90. (UnB/Analista/Sebrae/2008) A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
75A negação é “Alguém aqui é brasiliense”.
Proposição Equivalente da Negação
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
91. (NCE/Técnico/MAPA/2005) A negação da afirmativa “Me caso ou compro sorvete” é:a) Me caso e não compro sorvete.b) Não me caso ou não compro sorvete.c) Não me caso e não compro sorvete.d) Não me caso ou compro sorvete.e) Se me casar, não compro sorvete.Comentário: A negação da afirmativa “Me caso ou compro sorvete” é: Não me caso e não compro sorvete.Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, , e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente.Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, jul-gue os itens a seguir:
92. (UnB/Agente/PF/2004) Se as proposições P e Q são ambas verdadei-ras, então, a proposição(¬ P) (¬ Q) também é verdadeira.Comentário: Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então, a proposição (~ P) v (~ Q) também é verdadeira. Errado. (~ P) v (~ Q) = F v F = F (e não verdadeira).
93. (UnB/Agente/PF/2004) Se a proposição T é verdadeira e a proposi-ção R é falsa, então, a proposição R → (¬ T) é falsa.Comentário: Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então, a proposição R à (¬T) é Verdadeira.Em uma condicional, quando a ideia é falsa, a conclusão sempre será verdadeira.Veja a tabela-verdade Correspondente à proposiçãoA àB:
A B A à B
VVFF
VFVF
VFVV
Rac
iocí
nio
Lógi
co76
94. (UnB/Agente/PF/2004) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então, a proposição (P ̂ R) → (¬ Q) é verdadeira.Comentário: Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condi-cional:(P R) → (¬ Q)(V F) → (¬ V) F → F = V
4. Valoração em Linguagem Simbólica (Tabelas-Verdade)
Exercícios
95. (NCE/Cont./Radiobras/2004) Se não é verdade que todas as pessoas que consomem sal terão hipertensão, então:a) As pessoas que consomem sal não terão hipertensão.b) As pessoas que não consomem sal terão hipertensão.c) Há pelo menos uma pessoa que consome sal e não terá hiper-
tensão.d) Há pessoas que consomem sal e terão hipertensão.e) As pessoas que não consomem sal não terão hipertensão.Comentário: Se não é verdade que todas as pessoas que consomem sal terão hipertensão, então: Alguém que consome sal não terá hi-pertensão (C).
Proposição Equivalente da Negação
Todo A é B Algum A não é B
Algum A é B Nenhum A é B
96. (Fiscal Trabalho/1998) Se o jardim não é florido, então, o gato mia. Se o jardim é florido, então, o passarinho não canta. Ora, o passari-nho canta. Logo:a) O jardim é florido e o gato mia.b) O jardim é florido e o gato não mia.c) O jardim não é florido e o gato mia.d) O jardim não é florido e o gato não mia.e) Se o passarinho canta, então o gato não mia.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
77Comentário:
JNF Pc JNF GM
GM
PNC JF
Questão de Concurso (Cespe)Texto I – para as questões de 17 a 19Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verda-deira — V —, ou falsa — F —, mas não V e F simultaneamente. Proposições simples são simbolizadas por letras maiúsculas A, B, C, etc., chamadas letras proposicionais.São proposições compostas expressões da forma A B, que é lida como “A ou B” e tem valor lógico F quando A e B forem F, caso contrário, será sempre V; A B, que é lida como “A e B” e tem valor lógico V quando A e B forem V, caso contrário, será sempre F;¬A, que é a negação de A e tem valores lógicos contrários aos de A.
97. Considerando todos os possíveis valores lógicos V ou F atribuídos às proposições A e B, assinale a opção correspondente à proposição composta que tem sempre valor lógico F.a) [A (¬B [(¬A) B]b) (A B) [(¬A) (¬B)]c) [A (¬B)] (A B)d) [A (¬B)] Ae) A [(¬B) A]Comentário: Considerando todos os valores V ou F atribuídos às proposições A e B, assinale a opção correspondente à proposição que tem sempre o valor F. Alternativa A. Para a disjunção (“v”) a fim de que um seja verdadeiro, basta que qualquer deles seja verdadeiro.
A B ¬A ¬B A (¬B) (¬A) B Tudo
V V F F F V F
V F F V V F F
F V V F F V F
F F V V F V F
Rac
iocí
nio
Lógi
co78
5. Valoração com Uso Exclusivo de Tabelas
Exercícios
98. Assinale a opção correspondente à proposição composta que tem exatamente 2 valores lógicos F e 2 valores lógicos V, para todas as possíveis atribuições de valores lógicos V ou F para as proposições A e B.a) B (¬A).b) ¬(A B).c) ¬[(¬A) (¬B)].d) [(¬A) (¬B)] (A B).e) [(¬A) B] [(¬B) A].Comentário: Assinale a opção que corresponde à proposição com-posta que tem exatamente 2 valores lógicos F e dois valores lógi-cos V, para todas as possibilidades [...]. Alternativa E: [(~A) v B] [(~B) v A].
A B ~ A ~ B ~ A v B ~ B v A[(~ A) v B]
[(~ B) v A]
V V F F V V V
V F F V F V F
F V V F V F F
F F V V V V V
99. (UnB/Analista/TRT-1ªR./2008) Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por ¬[P→(¬Q)] possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por:a) (¬P) Q.b) (¬Q) →P.c) ¬[(¬P) (¬Q)].d) ¬[¬(P→Q)].e) P Q.Comentário: Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por ~ [(P à (~ Q)] possui os mesmos valores lógicos que a seguinte proposição: P Q.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
79A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão. Sendo assim P Q.
100. (UnB/Analista/TRT-1ª R./2008) Considerando as definições apre-sentadas no texto anterior, as letras proposicionais adequadas e a pro-posição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção correspondente à simbolização correta dessa proposição:a) ¬(A B).b) (¬A) (¬B).c) (¬A) (¬B).d) (¬A) → B.e) ¬[A (¬B)].Comentário: Considerando as seguintes definições apresentadas no texto anterior, as letras proposicionais adequadas e a proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção corres-pondente à simbologia correta dessa proposição é (~ A) (~ B).
Capítulo 5
Desafios e Enigmas
1. Problema do Político
1.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos o problema do político.
1.2 Síntese
Lógica de argumentaçãoNa Lógica Argumentativa, usamos perguntas, cujas respostas são óbvias
para por meio destas induzirmos o restante ao erro ou à verdade, por si só.
Exercícios101. (FGV) Os habitantes de certo país podem ser classificados em polí-
ticos e não políticos. Todos os políticos sempre mentem e todos os
Rac
iocí
nio
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81não políticos sempre falam a verdade. Um estrangeiro, em visita ao referido país, encontra-se com 3 nativos, I, II e III. Perguntando ao nativo I se ele é político, o estrangeiro recebe uma resposta que não consegue ouvir direito. O nativo II informa, então, que I negou ser um político. Mas o nativo III afirma que I é realmente um político. Quantos dos 3 nativos, são políticos?a) Zero.b) Um.c) Dois.d) NDA.Solução: Políticos = mentemNão políticos = verdadeNativo I = vc é político???? → Não deu para ouvir...Nativo II diz: I falou que não é políticoNativo III diz: I é políticoVamos jogar a verdade contra a mentira, usando o II e o III:Versão A. Se nativo II fala a verdade (ele é não político), ele só repete o que o nativo I diz...Se o nativo I falou a verdade (ele não é político), logo, o nativo III mente, daí o nativo III é político.Agora, se o nativo I falou a mentira, então, ele é político e o nativo III fala a verdade.Logo, se o nativo II fala a verdade, temos um e apenas um político.Versão B. Vamos considerar que o nativo II fala mentira (ele é po-lítico), então quando ele diz que o nativo I falou que não é político (é mentira), logo, o nativo I disse que é político e se ele é político, ele mente, o que é uma contradição; assim, o nativo II não pode ter mentido, então, vale a versão A.Portanto, temos apenas um político.Comentário: Falando a verdade ou mentira, a resposta do nativo I será sempre “não político”. Portanto, o nativo II fala a verdade, e o nativo III fala a mentira (sendo um político), tornando o nativo I um não político. Numa ou noutra hipótese haverá sempre 01 político.
Nativo I Nativo II Nativo III
É político (M) Não é político (V) Não é político (V)
Não é político (V) Não é político (V) É político (M)
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2. Desafio do U2 e Problema do Fenelon
2.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos o desafio do U2 e o problema do Fenelon.
2.2 Síntese
Concerto do U2A banda U2 tem um concerto que começa daqui a 17 minutos e todos pre-
cisam cruzar a ponte para chegar lá. Todos os 4 participantes estão do mesmo lado da ponte. Você deve ajudá-los a passar de um lado para o outro. É noite.
Na ponte, só pode passar no máximo duas pessoas de cada vez. Só há uma lanterna. Qualquer pessoa que passe, uma ou duas, deve passar com a lanterna na mão. A lanterna deve ser levada de um lado para o outro, e não pode ser jogada, etc.
Cada membro da banda tem um tempo diferente para passar de um lado para o outro. O par deve andar junto no tempo do menos veloz:
Bono: 1 minuto para passarEdge: 2 minutos para passarAdam: 5 minutos para passarLarry: 10 minutos para passarPor exemplo: se o Bono e o Larry passarem juntos, vai demorar 10 minutos
para eles chegarem do outro lado. Se o Larry retornar com a lanterna, 20 minu-tos terão passados e o show sofrerá um atraso.
Como organizar a travessia?Solução:
Lado A Travessia Lado B
Adam e Larry Bono e Edge (2 minutos)
Adam e Larry Bono (1 minuto) Edge
Bono Adam e Larry (10 minutos) Edge
Bono Edge (2 minutos) Adam e Larry
Bono e Edge (2 minutos) Adam e Larry
Bono, Edge, Adam e Larry
Total 17 minutos
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Exercício102. Valéria quis saber do amigo enigmático Fenelon Portilho quais eram
as idades de seus três filhos. Ele deu a primeira pista:– O produto de suas idades é 36.– Ainda não é possível saber, disse Valéria.– A soma das idades é o número da casa aí em frente.– Ainda não sei.– Meu filho mais velho é Atleticano.– Agora já sei, afirmou Valéria.Qual era o número da casa em frente?Solução: Nesta questão do professor Fenelon, a cada dica necessi-tamos de outra, pois ainda permanecemos na dúvida, ou seja, a dú-vida só prevalece porque temos mais de uma possível resposta, daí a necessidade da próxima dica, até que a última dica elimine por completo as outras opções. Enfim, para que haja a certeza lógica, a questão ou enunciado tem que nos fornecer todos os dados necessá-rios para uma única solução, sem dúvidas ou suposições.
Possibilidades Somas Casa Idade
1 1 36
38
1 2 18
21
1 3 12
16
1 4 9 14
1 6 6 13 *
2 2 9 13 * 2,2,9
2 3 6 11
3 3 4 10
3. Enigma de Einstein
3.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos o enigma de Einstein.
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3.2 Síntese
Os enigmas lógicos são feitos e desenvolvidos visando, junto aos diagramas, o treinamento da leitura codificada em dicas dispostas em ordem aleatória para que o aluno as organize em linhas e colunas, preenchendo as tabelas ou dia-gramas.
Dizem – não há prova disso – que o próprio Einstein bolou o enigma abai-xo, em 1918, e que pouca gente, além dele, conseguiria resolvê-lo. Então, esta é a sua chance de se comparar à genialidade do mestre.
Numa rua, há cinco casas de cinco cores diferentes e em cada uma mora uma pessoa de uma nacionalidade.
Cada morador tem sua bebida, seu tipo de fruta e seu animal de estimação. A questão é: quem é que tem um peixe?
Siga as dicas abaixo:• Sabe-se que o inglês vive na casa vermelha; o suíço tem cachorros; o
dinamarquês bebe chá.• A casa verde fica à esquerda da casa branca; quem come goiaba cria
pássaros; o dono da casa amarela prefere laranja.• O dono da casa verde bebe café; o da casa do centro bebe leite; e o
norueguês vive na primeira casa.• O homem que gosta de abacate vive ao lado do que tem gatos; o que
cria cavalos vive ao lado do que come laranja; e o que adora abacaxi bebe cerveja.
• O alemão só compra maçã; o norueguês vive ao lado da casa azul; e quem traz abacate da feira é vizinho do que bebe água.
Resolução:
Casa 1 Casa 2 Casa 3 Casa 4 Casa 5
Amarela Azul Vermelha Verde Branca
Norueguês Dinamarquês Inglês Alemão Suíço
Água Chá Leite Café Cerveja
Laranja Abacate Goiaba Maçã Abacaxi
Gatos Cavalos Pássaros Peixe Cachorros
Capítulo 6
Negações: Simbologia
1. Negação da Condicional – Parte I
1.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos a negação da condicional.
1.2 SínteseA negação de A e B é: não A ou não B.Exemplo: A negação de: Você é alto e você está pisando no meu pé é: Você
não é alto ou você não está pisando no meu pé.A negação de A ou B: é não A e não B.A negação de Você é cruzeirense ou atleticano é: Você não é cruzeirense e
você não é atleticano. (Você é botafoguense!!!)A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja,
partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão.
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Por exemplo, para negar a frase:Se você jogar na Mega você ganhará → a negação será:Você jogou na Mega e não ganhou.A negação de uma condicional é: Afirmar a “ideia” e negar a “conclusão”.1. ¬ [A B] = (¬ A) (¬B)2. ¬ [A B] = (¬ A) (¬B)3. ¬ [A → B] = A (¬B)4. ¬ [(A B) →C] = (A B) (¬C)A: Hoje é terça-feira;B: Valéria é feliz;C: Está chovendo.(A B) →C = Se hoje é terça-feira ou Valéria é feliz, então, está chovendo.(A B) (→C) = Hoje é terça-feira ou Valéria é feliz e não está chovendo5. ¬ [A →(B C)] = Reafirma A e nega B ou C: A [(¬B) (¬C)].6. ¬ [(A → B) → (B C)] = Repete a ideia e nega a conclusão: (A→B)
[(¬B) (¬C)].7. ¬ [(A B) (C → D)] = [(¬ A) (¬ B)] [C (¬D)].
2. Negação da Condicional – Parte II
2.1 Apresentação
Nesta unidade, continuaremos estudando a negação da condicional.
2.2 Síntese
7. ¬ [(A B) (C → D)] = [(¬ A) (¬ B)] [C (¬D)].8. ¬ [(¬ A) →(B C)] = (¬A) (¬B) (¬C)9. ¬ [(A → B) (B → C)] = [A (¬B)] [B (¬C)]
3. Negação da Condicional – Parte III
3.1 Apresentação
Nesta unidade, continuaremos estudando a negação da condicional.
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3.2 Síntese
10. ¬ [(A →B) (C →(¬ D))] =Comentário: A simbologia é meramente traduzível para a linguagem cor-
rente, basta substituirmos cada proposição por uma frase, por exemplo:A: João toca violão.B: Pedro toca gaita.C: Henrique toca guitarra.D: Salgado toca bateria.Traduzindo ¬ [(A →B) (C →(¬ D))] em linguagem corrente:A negação de “Se João toca violão, então, Pedro toca gaita e se Henrique
toca guitarra, então, Salgado não toca bateria”.Portanto, ao efetuarmos a negação simbólica:¬ [(A →B) (C →(¬ D))] = (A ¬B) (C D), fica, em linguagem
correta:“João toca violão e Pedro não toca gaita ou Henrique toca guitarra e Salga-
do toca bateria”.11. ¬ [¬(A → B) → ((¬B) (¬ C))] ={ { {
Repete Nega[¬(A → B)] [ B C ] ou [A (¬ B)] [ B C ]
12. ¬ [¬(A → B) → (B → C)] ={ { {
Repete Nega(A → B) [ B ¬C ]
4. Cálculo Proposicional – Proposições Relacionadas
4.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos o cálculo proposicional – proposições relacionadas.
4.2 Síntese
Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser jul-gada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F.
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As proposições são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C, etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso contrário, é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F, caso contrário, é V.
Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma sequência de proposições tais que a última proposição é verdadeira sempre que as proposi-ções anteriores na sequência forem verdadeiras. Considerando as informações contidas no texto acima, julgue (certo ou errado) os itens subsequentes.
22. É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes:
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então, José será aprovado no concurso.
Maria é alta. Portanto, José será aprovado no concurso.Comentário: Maria é alta está contido em José será aprovado no concurso,
logo, José será aprovado no concurso.
Se Antônio for bonito ou Maria
for Alta
José será aprovado no concurso
Resposta: Correto.23. É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições
seguintes:Se Célia tiver um bom currículo, então, ela conseguirá um emprego. Ela
conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo.Comentário: Célia conseguiu um bom emprego, mas não necessariamen-
te tem um bom currículo. Ela poderia não ter um bom currículo e conseguir um bom emprego. Veja a posição “X” no diagrama abaixo.
Célia tem um bom currículo
Ela conseguirá um emprego
X Intermediário
Resposta: Errada.
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A ou B A e B
Alguns A são B B Alguns B são A
Se A, então B A = B
A é condição suficiente para que B ocorra. A se somente se B Todo A é B, mas nem todo B é A.
A B A B
A
Exercício
103. (Esaf/Ministério do Turismo/2008) Ou A = B, C = D, ou E = F. Se G = H, então E = F.Se C = D, então G = H. Ora, E ≠ F. Então:a) C = D ou G = h.b) A ≠ B e C ≠ D.c) C ≠ D e G = H.d) A = B e C ≠ D.e) C = D ou A ≠ B.
A = B
G = H
OU
C = D
OU
E = F
E = F
C = D
G = H
E ≠ F |
G ≠ H |
C ≠ D |
A=B
FF V
Capítulo 7
Equivalência
1. Condição Suficiente e Necessária
Exercícios
104. (Anpad) Numa vila afastada, chamada Vila 51, tem-se que “se um homem não é inteligente, então, é bonito” e que “se é inteligente, então, é preguiçoso”. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que:a) Homens inteligentes não são bonitos.b) Homens que não são bonitos não são inteligentes.c) Homens bonitos são preguiçosos.d) Homens que não são bonitos são preguiçosos.e) Homens bonitos não são inteligentes.
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Comentário: H/Não inteligente Bonito
H/Não inteligente Hb H/Inteligente, bonito, preguiçoso H/Inteligente, não bonito, preguiçoso
Inteligente PreguiçosoH/Inteligente, preguiçoso H/Não inteligente, preguiçoso, bonito Hp H/Não inteligente, não preguiçoso, bonito
Hni
Hi
•
•
•
•
•
– – –
– – – •
Frase do dia“Feliz é aquele que é tão bonito quanto a mãe acha que é. Tem tanto dinheiro quanto o filho dele acha que tem. Tem tantas mulheres quanto a mulher dele acha que ele tem. E é tão bom de cama como ele acha que é.”Resumindo: Se ele não é bom de cama, ele é feio, pois ele não tem tantas mulheres, não tem tanto dinheiro, e não é tão bonito quanto a mãe dele acha que é!
105. Marcelo não ir ao México é condição necessária para Stella ir à Sué-cia. Heberth não ir à Holanda é condição suficiente para Marcelo ir ao México. Stella não ir à Suécia é condição suficiente para Marcelo não ir ao México. Heberth ir à Holanda é condição suficiente para Stella ir à Suécia. Portanto:a) Heberth não vai à Holanda, Marcelo não vai ao México e Stella
não vai à Suécia.b) Heberth vai à Holanda, Marcelo vai ao México e Stella não vai
à Suécia.c) Heberth não vai à Holanda, Marcelo vai ao México e Stella não
vai à Suécia.d) Heberth vai à Holanda, Marcelo não vai ao México e Stella vai
à Suécia.e) Heberth vai à Holanda, Marcelo não vai ao México e Stella não
vai à Suécia.
MnM = SiS
HnH
MiM
HiH
SiS
HiH |
SiS |
MnM
V SnS
MnM
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2. Equivalência de Uma Condicional
2.1 Apresentação
Nesta unidade, analisaremos a equivalência de uma condicional.
2.2 Síntese
Relações de equivalênciaRelações de equivalência são aquelas que possuem a mesma tabela-verda-
de (possuem o mesmo valor lógico).Quando p é equivalente a q, indicamos: p ⇔ q. Obs.:- Notemos que p equivale a q quando o condicional p ↔ q é verdadeiro.- Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência.- Hipótese ⇔ tese.
(P à Q) ⇔ (~Q à ~P)
P Q P à Q ~Q ~P ~Qà~P
V V V F F V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
Exemplo – Negação de uma condicional: = ~ [(P Q) à R] ⇔ (P Q ~ R). Ou seja, afirma-se a ideia “(P Q)” e () nega-se a conclusão (~ R).
· Obs.: Equivalências que mais caem em prova.- P à Q é equivalente a ~ Qà~ P (Nego lá fora, nego lá dentro).- P à Q é equivalente a ~ P v Q (Nego a primeira ou afirmo a segunda).
Exercícios
106. Duas grandezas “x” e “y” são tais que “se x = 3, então, y = 7”. Pode-se concluir que:a) Se x ≠ 3, então, y ≠ 7.b) Se y = 7, então, x = 3.c) Se y ≠ 7, então, x ≠ 3.d) Se x = 5, então, y = 5.e) Nenhuma das conclusões acima é válida.
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x 3 e y 7x = 3 e y = 7
x 3 e y = 7
X = 3
Y = 7
≠ ≠
≠
Se x = 3 então, y = 7Se y ≠ 7, então, x ≠ 3
107. Uma sentença logicamente equivalente a “Se X é Y, então Z é W” é:a) X é Y ou Z é W.b) X é Y ou Z não é W.c) Se Z é W, X é Y.d) Se X não é Y, então Z não é W.e) Se Z não é W, então X não é Y.
3. Equivalências Lógicas
Exercício
108. A proposição p à ~ q é equivalente a:a) p v q.b) p v ~ q.c) ~ p à q.d) ~ q à p.e) ~ p v ~ q.Comentário: P à Q é equivalente a ~ Q à ~ P ou P à Q é equi-valente a ~ P v Q. Sendo assim: P à ~ Q = (a) Q à ~ P (alternativa inexistente) | (b) ~ P v ~ Q.
A B ~ A ~ B A B ~ A B A ~ B ~ A ~ B A v B
V V F F V F F F V
V F F V F F V F V
F V V F F V F F V
F F V V F F F V F
Observação – CuidadoAà (B v C) ≠ (A à B) v (A à C).Aà (B à C) ≠ (A à B) à C.(A B) à C ≠ (A C) à (B C).
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VVFVVFVVVVFF
VFVVVVFVFVVF
FVVVVVVFVFFV
VVVFFVVVFFVV
~B~A
~A~B
~B A
A ~BB ~A~A BB AA B~B~ABA
BRINCANDO COM A TABELA:
A B B A
Professora Valéria lanna [email protected]
A B B ~ A ~ BA
B~
A
Veja a tabela de equivalências
Equivalências Lógicas(POSSUEM A MESMA TABELA-VERDADE)
1. (A B) C ⇔ A (B C)
2. (A B) C ⇔ A (B C)
3. A (B C) ⇔(A B) (A C)
4. A (B C) ⇔(A B) (A C)
5. ~~ A ⇔ A
6. A → B ⇔ ~ A B (IMPORTANTE)
7. A → B ⇔ ~B → ~ A (IMPORTANTE)
8. Não confundir: ~ (A → B) = A ~ B com equivalência de A → B ⇔ ~ B → ~ A
4. Leis de Morgan
4.1 Apresentação
Nesta unidade, estudaremos as leis de Morgan.
4.2 Síntese
Proposições logicamente equivalentes1. (A V) C ⇔ A (B C)2. (A v B) v C ⇔ A v (B v C)
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953. A (B v C) ⇔ (A B) v (A C) Lei de Morgan4. A v (B C) ⇔ (A v B) (A v C)
} (Aplicável somente para
5. ~ ~ A ⇔ A. conjunções e disjunções)6. A à B ⇔ ~A v B.7. A à B ⇔ ~B à ~A.Observação – CuidadoAà (B v C) ≠ (A à B) v (A à C).Aà (B à C) ≠ (A à B) à C.(A B) à C ≠ (A C) à (B C).
Exercícios
109. (Esaf) Uma equivalência da proposição: “Se Melício joga futebol, então, Thábata toca violino” é:a) Melício joga futebol se, e somente se, Thábata toca violino.b) Se Melício não joga futebol, então, Thábata não toca violino.c) Se Thábata não toca violino, então, Melício não joga futebol.d) Se Thábata toca violino, então, Melício joga futebol.e) Se Melício toca violino, então, Thábata joga futebol.Comentário: Equivalências que mais caem em prova.- P à Q é equivalente a ~ Q à ~ P (Nego lá fora, nego lá dentro).- P à Q é equivalente a ~ P v Q (Nego a primeira ou afirmo a
segunda).110. (Esaf/Téc./CGU/2008) Um renomado economista afirma que “A
inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:a) Se a inflação não baixa, então, a taxa de juros não aumenta.b) Se a taxa de juros aumenta, então, a inflação baixa.c) Se a inflação não baixa, então, a taxa de juros aumenta.d) Se a inflação baixa, então, a taxa de juros não aumenta.e) Se a inflação baixa, então, a taxa de juros aumenta.
5. Equivalências e suas Aplicações
5.1 Apresentação
Nesta unidade, estudaremos as equivalências e suas aplicações.
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5.2 Síntese
Leis de MorganI. ¬(p q) ⇔ ¬ p ¬qII. ¬(p q) ⇔ ¬ p ¬qNão confundir:III. ¬(p → q) ⇔ ¬ p → ¬qObservação – CuidadoAà (B v C) ≠ (A à B) v (A à C).Aà (B à C) ≠ (A à B) à C.(A B) à C ≠ (A C) à (B C).
Exercícios
111. (Cespe/UnB – PF/2004) Texto para os três itens seguintes: Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julga-das verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, de-notada por P Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬ P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F asso-ciadas a essa proposição.A partir das informações do texto acima, julgue os itens subsequentes:( ) As tabelas de valorações das proposições P Q e Q → ¬ P são iguaisComentário: A → B ⇔ ~B → ~ A“Se negamos lá fora, negamos lá dentro.”A → B ⇔ ~ A B“Negamos a primeira ou afirmamos a segunda.”Construção da tabela, caso não se lembre das equivalências:
P Q P Q ¬ P Q → ¬ P
V V V F F
V F V F V
F V V V V
F F F V V
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97112. (Cespe/UnB – PF/2004) Denomina-se contradição uma proposição
que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição ¬ R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então, conclui-se que R é verdadeira (ou ¬ R é verda-deira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue os itens que se seguem:( ) De acordo com a regra da contradição, P → Q é verdadeira quan-do ao supor P (¬ Q) verdadeira, obtém-se uma contradição.Comentário: P (¬ Q) só será verdadeira se ambas forem verdadei-ras, ou seja, se P é verdadeira e Q é falsa. Assim sendo, a proposição P → Q é falsa. Logo, ao dizer que isto é uma contradição, é verdade.
6. Equivalência: Simbologia
Exercícios113. (Cespe/UnB – PF/2004) Denomina-se contradição uma proposição
que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição ¬ R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então, conclui-se que R é verdadeira (ou ¬ R é verda-deira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue os itens que se seguem:( ) As proposições (P Q) → S e (P → S) (Q → S) possuem ta-belas de valorações iguais.Comentário: Não se aplica a propriedade distributiva para uma condi-cional, apenas para conjunções e disjunções, segundo leis de Morgan.Veja a construção da tabela:
P Q P Q S (P Q) → S P → S Q → S(P → S) (Q → S)
V V V V V V V VV V V F F F F FV F V V V V V VV F V F F F V VF V V V V V V VF V V F F V F VF F F V V V V VF F F F V V V V
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114. A proposição ¬(p → ¬r) → q r é falsa, se:a) p e q são verdadeiras e r é falsa.b) p, q e r são verdadeiras.c) p e q são falsas e r é verdadeira.d) p, q e r são falsas.e) p e r são verdadeiras e q é falsa.Comentário:¬(p → ¬r) → q r é falsa, então, ¬(p → ¬r) é verdadeira e q r é falsa, pois Valéria Falou, tá Falado.Assim ¬(p → ¬r) sendo verdadeira, então, (p → ¬r) é falsa e nova-mente Valéria Falou, tá Falado e p será verdadeira e r será verdadeira, porque ¬r é falsa.Agora, por outro lado, q r será falsa se, e só se, uma delas for falsa e como r é verdadeira, então necessariamente q será falsa.Veja a construção da tabela.
A B A B A B A → B A ↔ B
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
Equivalências Lógicas(POSSUEM A MESMA TABELA-VERDADE)
1. (A B) C ⇔ A (B C)
2. (A B) C ⇔ A (B C)
3. A (B C) ⇔(A B) (A C)
4. A (B C) ⇔(A B) (A C)
5. ~~ A ⇔ A
6. A → B ⇔ ~ A B (IMPORTANTE)
7. A → B ⇔ ~B → ~ A (IMPORTANTE)
8. Não confundir: ~ (A → B) = A ~B com equivalência de A → B ⇔ ~ B → ~ A
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Proposição Não equivalente Equivalente
A → B → C A → B → A → C ¬A B → C¬(B → C) → ¬AB ¬C → ¬A
A → B B → A ¬A B→
¬ B → ¬A
A B C A C B C
A B → C A → C B → C
Capítulo 8
Argumentação
1. Validade
1.1 Apresentação
Nesta unidade, estudaremos a validade.
1.2 Síntese
Em um argumento as proposições p1, p2, .... pn são premissas e a proposição q é chamada conclusão do argumento.
Nenhum homem rico é vagabundo. Todos os analistas são ricos. Portanto, nenhum analista é vagabundo. É um argumento de premissas: Nenhum homem rico é vagabundo e todos os analistas são ricos, e conclusão: Nenhum analista é vagabundo.
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Exercícios
115. Se Felipe toca violão, ele canta. Se Felipe toca piano, então, ele não canta. Logo:a) Se Felipe não toca violão, então, ele não toca piano.b) Se Felipe toca violão, então, ele não toca piano.c) Se Felipe toca violão, então, ele não canta.d) Se Felipe canta, então, ele não toca violão.e) Se Felipe toca piano, então, ele canta.Questão: O argumento:Se penso, existo.Penso._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _Logo, existo.É um argumento válido.De fato, argumento é formado das duas premissas:p1: Se penso, então, existo ep2: Penso é da conclusão Existo. Como as premissas devem ser ver-dadeiras, a proposição:Penso é verdadeira e, assim, para que p1 seja verdadeira, a proposi-ção: Existo deve ser verdadeira. Consequentemente, o argumento é válido.Nenhum estudante é preguiçoso.João é um artista.Todos os artistas são preguiçosos.João não é um estudante.Analisando o argumento dado, podemos perceber que ele é formado por três premissas:P1: Nenhum estudante é preguiçoso.P2: João é um artista.P3: Todos os artistas são preguiçosos.E uma conclusão:C: João não é um estudantePor P3: O conjunto dos artistas está contido no conjunto das pessoas preguiçosas.Por P1: O conjunto das pessoas preguiçosas e o conjunto dos estu-dantes são disjuntos.Por P2, João pertence ao conjunto dos artistas.
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Logo, observando os diagramas de Venn, temos que a conclusão C: João não é um estudante, é verdadeira e o argumento é válido.
116. Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos matemáticos são pessoas alegres”, então, necessariamente:a) Toda pessoa alegre é matemático.b) Todo matemático é professor.c) Algum professor é uma pessoa alegre.d) Nenhuma pessoa alegre é professor.e) Nenhum professor não é alegre.
117. Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que:
a) Todo matemático seja louco.b) Todo louco seja matemático.c) Algum louco não seja matemático.d) Algum matemático seja louco.e) Algum matemático não seja louco.
118. Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, é necessário que:a) Todas as mulheres sejam boas cozinheiras.b) Algumas mulheres sejam boas cozinheiras.c) Nenhum homem seja bom cozinheiro.d) Todos os homens sejam maus cozinheiros.e) Ao menos um homem seja mau cozinheiro.
119. Todo cristão é teísta. Algum cristão é luterano.a) Todo teísta é luterano.b) Algum teísta é luterano.c) Algum luterano não é cristão.
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103d) Nenhum teísta é cristão.e) Nenhum luterano é teísta.Comentário: Veja o diagrama:
120. Assinale a alternativa em que ocorre uma conclusão verdadeira (que corresponde à realidade) e o argumento inválido (do ponto de vista lógico):a) Sócrates é homem, e todo homem é mortal, portanto, Sócrates
é mortal.b) Toda pedra é um homem, pois alguma pedra é um ser, e todo
ser é homem.c) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto, cachorros
não são gatos.d) Todo pensamento é um raciocínio, portanto, todo pensamento é
um movimento, visto que todos os raciocínios são movimentos.e) Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem cinco pés, portanto,
algumas cadeiras têm quatro pés.Comentário:Um argumento é dito INCONSISTENTE se suas premissas não po-dem ser simultaneamente verdadeiras.Alternativa A – Argumento e conclusão válidos.Alternativa B – Argumento válido.Alternativa C – Argumento é válido, e a conclusão é logicamente válida, mas não corresponde à realidade.Alternativa D – Argumento válido.Alternativa E – Argumento inválido e conclusão verdadeira (toda cadeira é um objeto).
2. Valoração Lógica
(TRT/2004 – Estruturas Lógicas) Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos ¬, e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam “não”, “e” e “ou” respectivamente.
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Na lógica proposicional, cada proposição assume um valor (valor--verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca am-bos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, jul-gue os itens que seguem.
Exercícios
121. ¬ P Q é verdadeira.Comentário: substituindo os valores de P e Q em ¬ P Q, teremos: F ou V, que é verdadeira.
122. ¬ [(¬ P Q) (¬ R S)] é verdadeira.Comentário: substituindo os valores de P, Q, R e S em ¬ [(¬ P Q) (¬ R S)], teremos: ¬ [(F ou V) ou (F ou V)] = ¬ [V ou V) = Falso.
123. [ P (Q S)] (¬ [(R Q) (P S)]) é verdadeira.Comentário: substituindo os valores de P, Q, R e S em [ P (Q S)] (¬ [(R Q) (P S)]) teremos:[V (V V)] (¬ [(V V) (V V)]) [V] [¬ (V)] V F = Falso
124. (P (¬ S)) (Q (¬ R)) é verdadeira.Comentário: substituindo os valores de P, Q, R e S em (P (¬ S)) (Q (¬ R)) teremos: (V (F)) (V (F)) V F = Verdadeiro
3. Cálculo Proposicional – Conectivos
Exercícios
125. (Anpad) Considere as seguintes proposições compostas:I – Se 8 é um número primo, então 2 é um número irracional.II – Londrina é uma cidade do estado do Paraná ou São Luís é a capital de Alagoas.III – Todo número divisível por 2 é um número par e 10 é um nú-mero ímpar.IV – Se a Itália é um país da América do Sul, então, São Paulo é uma cidade da Europa.
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105Os valores lógicos das proposições I, II, III e IV formam a seguinte sequência:a) V, V, F, V.b) V, V, F, F.c) F, V, F, V.d) F, F, V, F.e) V, F, V, V.
126. Sejamp: 9 + 32 = 51q: O comprimento de uma circunferência é pr2, onde r é o raio da circunferência.Então, a proposição verdadeira é:a) (p ¬q) → q.b) ¬ (p q) → q.c) (p ¬ q) → q.d) (¬ p ¬ q) → q.Comentário: Ambas as proposições são falsas. Sendo assim:- Alternativa A: (p v ~ q) à q = (F v V) à F = V à F (F).- Alternativa B: ~ (p v q) à q = ~ (F v F) à F = ~ F à F = V à F (F).- Alternativa C: (p ^ ~ q) à q = (F ^ V) à F = F à F (V).
127. Sejam as proposições:p: Luísa é bancária.q: Luísa é fumante.Então, a proposição ¬(q ¬p), em linguagem corrente, éa) Luísa não é bancária e não fumante.b) Luísa é bancária e não fumante.c) Luísa é fumante, mas não é bancária.d) Luísa não é bancária ou é fumante.e) Luísa é bancária ou é fumante.
128. Das seguintes premissas:P1: Ana é bonita e simpática ou Ana é alegre.P2: Ana não é alegre.Conclui-se que Ana é:a) Bonita ou simpática.b) Não bonita ou não alegre.c) Bonita e não simpática.d) Não bonita e não simpática.e) Bonita e simpática.Comentário: Preste atenção nas premissas:P1: Ana é bonita e simpática ou Ana é alegre.P2: Ana não é alegre.Portanto, Ana é bonita e simpática.
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129. Sabe-se que se João ama Maria, então, José ama Marta. Por outro lado, sabemos que José não ama Marta, e podemos concluir que:a) João e José amam Maria.b) José ama Maria e João ama Marta.c) João não ama Maria e José ama Marta.d) José não ama Marta e João não ama Maria.e) João ama Maria e José ama Marta
4. Proposições Relacionadas
Exercícios
130. Considerando verdadeiras as proposições “Se João cometeu um gra-ve delito, então, ele sonegou impostos” e “João não sonegou impos-tos”, pode-se concluir que:a) João sonegou impostos.b) João cometeu um grave delito.c) João cometeu um grave delito e ele sonegou impostos.d) João não cometeu um grave delito.
131. Se Beto estuda com Maria, então, Maria é aprovada nos exames. Se Maria é aprovada nos exames, então, Ana é reprovada nos exames. Se Ana é reprovada nos exames, então, Pedro estuda com Ana. Ora, Pedro não estuda com Ana. Logo:a) Ana não é reprovada e Maria é aprovada.b) Ana é reprovada e Maria é aprovada.c) Ana não é reprovada e Beto não estuda com Maria.d) Maria é aprovada e Beto estuda com Maria.
132. X é A, ou Y é B. Se X é A, então, Z é C. Ora, Y não é B. Logo,a) X não é A.b) Z é C.c) Z não é C e X é A.d) Z não é C ou Y é B.e) Se Z é C, então, Y é B.
133. Considerando as seguintes premissas:P1: X é A e B ou X é C.P2: X não é C.Conclui-se que X é:a) A ou B.b) A e B.
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107c) Não A ou não C.d) A e não B.e) Não A e não B.Veja a tabela de equivalências
Equivalências Lógicas(POSSUEM A MESMA TABELA-VERDADE)
1. (A B) C ⇔ A (B C)
2. (A B) C ⇔ A (B C)
3. A (B C) ⇔(A B) (A C)
4. A (B C) ⇔(A B) (A C)
5. ~~ A ⇔ A
6. A → B ⇔ ~ A B (IMPORTANTE)
7. A → B ⇔ ~ B → ~A (IMPORTANTE)
134. Uma sentença logicamente equivalente a “Se X é Y, então, Z é W” é:a) X é y ou Z é W.b) X é Y ou Z não é W.c) Se Z é W, X é Y.d) Se X não é Y, então, Z não é W.e) Se Z não é W, então, X não é Y.Comentário: AàB, sendo equivalente à “~ B à ~ A” ou “~ A v B”.Sendo assim: X = Yà Z = W = Z ≠ WàX ≠ Y ou X ≠ Y ou Z = W.
135. A proposição p → ¬q é equivalente a:a) p q.b) p ¬q.c) ¬p → q.d) ¬q → p.e) ¬p ¬ q.Comentário: Equivalência da condicional → “Se negamos lá fora, negamos lá dentro”.
p q ¬P ¬Q p → ¬q ¬p ¬ q
V V F F F F
V F F V V V
F V V F V V
F F V V V V
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PàQ é equivalente a ~ Q à ~ P ou P à Q é equivalente a ~ P v Q. Sendo assim: P à ~ Q = (a) Q à ~ P (alternativa inexistente) | (b) ~ P v ~ Q.
136. Todos os animais são seres vivos. Assim:a) O conjunto dos animais contém o conjunto dos seres vivos.b) O conjunto dos seres vivos contém o conjunto dos animais.c) Todos os seres vivos são animais.d) Alguns animais não são seres vivos.e) Nenhum animal é um ser vivo.
137. Das afirmações•Algunsgatossãocentopeias.•Centopeiasgostamdejogarxadrez.Podemos concluir que:a) Existem centopeias que não são gatos.b) Centopeias miam.c) Se João não gosta de jogar xadrez, então, João não é uma cento-
peia.d) Gatos gostam de jogar xadrez.e) Gatos têm 100 pernas.
138. Das afirmações “todo animal roxo tem 13 pernas” e “todo unicórnio é roxo” pode-se concluir que:a) Existem unicórnios roxos.b) Não existem animais de 13 pernas.c) Todo unicórnio tem 13 pernas.d) Todos os animais de 13 pernas são unicórnios.e) Todo animal roxo é um unicórnio.
Capítulo 9
Lógica Indutiva e Dedutiva
1. Aplicações e Método – Parte I
Exercícios
139. Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvi-das em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do con-junto G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.
140. Num país, há apenas dois tipos de habitantes: os verds, que sempre dizem a verdade, e os falcs, que sempre mentem. Um professor de Lógica, recém-chegado a este país, é informado por um nativo que glup e plug, na língua local, sim e não, mas o professor não sabe se o nativo que o informou é verd ou falc. Então, ele se aproxima de três outros nativos que estavam conversando juntos e faz a cada um deles duas perguntas:
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1a) Os outros dois são verds?2a) Os outros dois são falcs?A primeira pergunta é respondida com glup pelos três, mas à segun-da pergunta os dois primeiros responderam glup e o terceiro respon-deu plug.Assim, o professor pode concluir que:a) Todos são verds.b) Todos são falcs.c) Somente um dos três últimos é falc e glup significa não.d) Somente um dos três últimos é verd e glup significa sim.e) Há dois verds e glup significa sim.
2. Aplicações e Método – Parte II
141. Três amigos (João, Marcelo e Rafael) trabalham num hotel de cate-goria internacional, desempenhando funções diversas. Um deles é porteiro, o outro é carregador e, por fim, há um telefonista. Sabendo--se que:- se Rafael é o telefonista, Marcelo é o carregador;- se Rafael é o carregador, Marcelo é o porteiro;- se Marcelo não é o telefonista, João é o carregador;- se João é o porteiro, Rafael é o carregador.Portanto, a atividade profissional de João, Marcelo e Rafael (nessa ordem), observadas as restrições acima, é:a) Porteiro, telefonista, carregador.b) Telefonista, porteiro, carregador.c) Carregador, telefonista, porteiro.d) Porteiro, carregador, telefonista.e) Carregador, porteiro, telefonista.Comentário: Partindo do princípio de que Marcelo não é telefonis-ta, João é carregador. Portanto, Marcelo só pode ser porteiro (Mnt à Jc à Mp à Ft). Se Mário é porteiro, ele não é carregador, e Flávio não é telefonista. Chega-se a uma contradição (primeira proposição).Se não ser telefonista leva-se a uma contradição, a conclusão é que Marcelo é telefonista (o princípio era falso).Se Marcelo é telefonista e Flávio não é o carregador, somente João é o carregador e o Flávio é o porteiro.Em suma, Mnt àJc àMp à Ft ⇒ Contradição: Mt à Fp à Jc.
142. Quatro carros estão parados ao longo do meio-fio, um atrás do outro:Um Fusca atrás de outro Fusca.
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111Um carro branco na frente de um carro prata.Um Uno na frente de um Fusca.Um carro prata atrás de um carro preto.Um carro prata na frente de um carro preto.Um Uno atrás de um Fusca.Do primeiro (na frente) ao quarto carro (atrás), temos então:a) Uno branco, Fusca preto, Fusca prata e Uno prata.b) Uno preto, Fusca prata, Fusca preto e Uno branco.c) Uno branco, Fusca prata, Fusca preto e Uno Prata.d) Uno prata, Fusca preto, Fusca branco e Uno preto.e) Uno branco, Fusca prata, Uno preto e Fusca prata.Comentário:
U Branco
F Prata
F Preto
U Prata
3. Problema da Vovó Vitoria
143. Ou A = B, ou B = C, mas não ambos. Se B = D, então, A = D. Ora, B = D. Logo:a) B ≠ C.b) B ≠ A.c) C = A.d) C = D.e) D ≠ A.Comentário: A = B (V) ou B = C (F). B = D à A = D. B = D à A = D à A = B.Portanto, B ≠ C.
144. Se Luís estuda História, então, Pedro estuda Matemática. Se Hele-na estuda Filosofia, então, Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamen-te que:a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina.b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina.c) Se Luís não estuda História, então, Jorge não estuda Medicina.d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática.e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia.
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145. Três rivais, Ana, Giza e Valéria, trocam acusações:A Giza mente – diz Ana.A Valéria mente – Giza diz.Ana e Giza mentem – diz Valéria.Com base nestas três afirmações, pode-se concluir que:a) Apenas Ana mente.b) Apenas Valéria mente.c) Apenas Giza mente.d) Ana e Valéria mentem.e) Ana e Giza mentem.Comentário:
Ana Verdade Mentira
Giza Mentira Verdade
Valéria Verdade Mentira
Proposição Contradição, já que Ana ou Giza mentem
Ana ou Giza mentem
146. Três colegas – João, Paulo e Pedro – estão em uma fila esperando para serem atendidos. João sempre fala a verdade, Paulo nem sempre e Pedro sempre mente. O que está na frente diz “João é quem está entre nós”. O que está no meio afirma “eu sou o Paulo”. Finalmente, o que está atrás informa “Pedro é quem está entre nós”. O primeiro, o segundo e o terceiro na fila são respectivamente:a) João, Paulo e Pedro.b) João, Pedro e Paulo.c) Paulo, Pedro e João.d) Paulo, João e Pedro.e) Pedro, Paulo e João
4. Questões Usando Dedução e Indução
147. Vovó Vitória procura saber quem comeu o bolo que havia guardado para o lanche da tarde.Joãozinho diz:1) Não fui eu.2) Eu nem sabia que havia um bolo.3) Foi o Marcelo.Marcelo diz:4) Não fui eu.
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1135) O Joãozinho mente quando diz que fui eu.6) Foi o tio Rodrigo.Rodrigo diz:7) Não fui eu.8) Eu estava lá embaixo consertando a minha bicicleta.9) Foi o Pedrinho.Pedrinho diz:10) Não fui eu.11) Eu nem estava com fome.12) Não foi a Maria Fernanda.Maria Fernanda diz:13) Não fui eu.14) Eu estava com o tio Rodrigo na praia.15) Foi o Marcelo.Vovó Vitória, que não é boba, percebe que cada um deles mentiu so-bre uma única das afirmações que fez e encontrou o comilão. Quem comeu o bolo?a) Joãozinho.b) Marcelo.c) Tio Rodrigo.d) Pedrinho.e) Maria Fernanda.Comentário:Parte-se do pressuposto de que foi Pedrinho, ou que Rodrigo está mentindo, onde leva a frase 8 ser verdadeira (sendo as demais verda-deiras, 7 e 9).1 – V;2 – V;3 – M;4 – V;5 – V;6 – M;7 – V;8 – M;9 – V;10 – M;11 – V;12 – V;13 – V;14 – V;15 – M.
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148. Três amigos – Leonardo, Esteban e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações:Nestor: “Esteban é casado com Teresa.”Leonardo: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Esteban é Regina.”Esteban: “Nestor e Leonardo mentiram, pois a minha esposa é Sandra.”Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Tere-sa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são respectivamente:a) Sandra, Teresa, Regina.b) Sandra, Regina, Teresa.c) Regina, Sandra, Teresa.d) Teresa, Regina, Sandra.e) Teresa, Sandra, Regina.
149. Ramirez aprontou uma baita confusão: trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores Júlio, Márcio e Roberto. Cada um deles ficou com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro. O que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio. Portanto:a) Quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio.b) Quem está com a caixa de giz do Márcio é o Júlio.c) Quem está com a papeleta de aulas do Márcio é o Roberto.d) Quem está com a caixa de giz do Júlio é o Roberto.e) O que ficou com a caixa de giz do Júlio está com a papeleta de
aulas do Márcio.
5. Charada de Einstein
5.1 Apresentação
Nesta unidade, estudaremos a charada de Einstein.
5.2 Síntese
Os enigmas lógicos são feitos e desenvolvidos visando, junto aos diagramas, o treinamento da leitura codificada em dicas dispostas em ordem aleatória para que o aluno as organize em linhas e colunas, preenchendo as tabelas ou diagramas.
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115Dizem – não há prova disso – que o próprio Einstein bolou o enigma abai-
xo, em 1918, e que pouca gente, além dele, conseguiria resolvê-lo. Então, esta é a sua chance de se comparar à genialidade do mestre.
Numa rua, há cinco casas de cinco cores diferentes e em cada uma mora uma pessoa de uma nacionalidade.
Cada morador tem sua bebida, seu tipo de fruta e seu animal de estimação. A questão é: quem é que tem um peixe?
Siga as dicas abaixo: Sabe-se que o inglês vive na casa vermelha; o suíço tem cachorros; o
dinamarquês bebe chá. A casa verde fica à esquerda da casa branca; quem come goiaba cria
pássaros; o dono da casa amarela prefere laranja. O dono da casa verde bebe café; o da casa do centro bebe leite; e o
norueguês vive na primeira casa. O homem que gosta de abacate vive ao lado do que tem gatos; o que
cria cavalos vive ao lado do que come laranja; e o que adora abacaxi bebe cerveja.
O alemão só compra maçã; o norueguês vive ao lado da casa azul; e quem traz abacate da feira é vizinho do que bebe água.
Resolução:
Casa 1 Casa 2 Casa 3 Casa 4 Casa 5
Amarela Azul Vermelha Verde Branca
Norueguês Dinamarquês Inglês Alemão Suíço
Água Chá Leite Café Cerveja
Laranja Abacate Goiaba Maçã Abacaxi
Gatos Cavalos Pássaros Peixe Cachorros
Capítulo 10
Análise Combinatória
1. Introdução à Análise Combinatória
1.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos a introdução à análise combinatória.
1.2 SínteseANÁLISE COMBINATÓRIA é uma parte da matemática que estuda os
agrupamentos de elementos sem precisar enumerá-los.A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como:
lançamento de dados, jogos de cartas, etc.FATORIALDefinição:n! = n (n -1) (n – 2) ... 3 . 2 . 1 para n N e n 1O símbolo n! lê-se fatorial de n ou n fatorial.
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117Ex.:2! = 2 x 1 = 23! = 3 x 2 x 1 = 64! = 4 x 3 x 2 x 1 = 245! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120Convenção:0! = 1. 1! = 1Observação: n! = n (n – 1)!Ex.:8! = 8 x 7!10! =10 x 9! 100! = 100 x 99 x 98! 98! 98!PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEMExemplos:01. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias. De quantas maneiras ela poderá
se vestir?A escolha de uma camisa poderá ser feita de cinco maneiras diferentes.
Escolhida a primeira camisa, poderá escolher uma das quatro saias.Resposta: O número total de escolhas será: 4 x 5 = 20.02. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de sequências possí-
veis de cara e coroa?Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa.Queremos o número de triplas ordenadas (a, b, c) onde a {C,K},b
{C,K} e c {C,K}, logo, o resultado procurado é: 2 x 2 x 2 = 8
K
C
K
C
C
K
C
K
C
K
C
K
C
K
C – C – C
C – C – K
C – K – C
C – K – K
K – C – C
K – C – K
K – K – C
K – K - K
Pelo o Diagrama da Árvore
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2. Princípio Fundamental de Contagem
Exercícios
150. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algaris-mos significativos (1 a 9)?
1º 2º 3º
↓ ↓ ↓
9 x 9 X 9 = 729 números
151. E se fossem com algarismos distintos?
1º 2º 3º
↓ ↓ ↓
9 x 8 X 7 = 504 números
152. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal?Resolução:Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9O número não começa por 0 (zero), logo:
1º 2º 3º 4º
↓ ↓ ↓ ↓
9 x 9 X 8 x 7 = 4.536 números
153. Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º, 2º e 3º lugares?Resolução:
1º lugar 2º lugar 3º lugar
↓ ↓ ↓
6 x 5 x 4 = 120 possibilidades
154. De quantas maneiras podemos distribuir aleatoriamente, três bonés, quatro réguas e cinco canetas entre Henrique e Salgado?
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3. Método de Pensamento da Análise Combinatória
Exercício
155. Quantos resultados podemos obter na loteria esportiva?Como são 14 jogos e, para cada um dos jogos, temos coluna 1, colu-na do meio e coluna 2.Pelo P. F. C., teremos: Jogo 1 Jogo 2 ... Jogo 14
C1 Cm
C2 C1 Cm
C2 C1 Cm
C2
3 x 3 x...x 3 = 314 resultados EM RESUMO:1º) Quantas escolhas devem ser feitas.2º) Quantas opções cada escolha tem.3º) Multiplicar tudo!⇒ Se o problema não depender da ordem (por exemplo: co-missões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos, etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.
4. PFC: Método
Exercícios156. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras
ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A para C, passan-do por B. De quantos modos diferentes, a pessoa poderá fazer essa viagem?Resolução:
A B C
de A para B = 3 possibilidadesde B para C = 4 possibilidadesLogo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3 x 4 = 12
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157. A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido?Resolução:Placa → 2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2Pelo princípio fundamental da contagem, temos:2 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 = 480
158. (Esaf TFC -02) Em um campeonato, participam 10 duplas, todas com a mesma probabilidade de vencer. De quantas maneiras dife-rentes, podemos ter classificação para os três lugares:a) 240.b) 270.c) 420.d) 720.e) 740.Resolução:
1º lugar 2º lugar 3º lugar
↓ ↓ ↓
10 x 9 x 8 = 720
159. Juliana Godoy possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos de-vidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Valéria Lanna pede emprestado à Juliana Godoy quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Juliana Godoy retira do closed qua-tro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Juliana Godoy pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:a) 681384.b) 382426.c) 43262.d) 7488.e) 2120.Resolução:Primeira caixa: 89 possibilidades (já que a terceira deve ser a caixa nº 20)Segunda caixa: 88 possibilidades (já que a primeira já foi retirada e a terceira deve ser a caixa nº 20)
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121Terceira caixa: 1 possibilidade (a questão determina que terceira deve ser a caixa nº 20)Quarta caixa: 87 possibilidades (já que as três primeiras caixas já fo-ram retiradas)Com isso, é só multiplicar as possibilidades: 89 x 88 x 1 x 87 = 681.384
5. Tabuleiro de Xadrez
Exercícios
160. Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 li-nhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras, as 4 peças poderão ser colocadas?Resolução:Para se colocar 1 (uma) peça, temos 16 maneiras.
Para se colocar a 1ª peça te-mos 16 maneiras:
Para colocar a 2ª peça temos 9 maneiras:
• •
•
Para a 3ª e 4ª peças, temos, respectivamente, 4 e 1 maneiras.Logo: 16 x 9 x 4 x 1 = 576
161. Um tabuleiro especial de xadrez possui 64 casas dispostas em 8 li-nhas e 8 colunas. Um jogador deseja colocar 8 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as 8 peças poderão ser colocadas?Resolução:64 x 49 x 36 x 25 x 16 x 9 x 4 x 1 = 1.625.702.4008*8 x 7*7 x 6*6 x 5*5 x 4*4 x 3*3 x 2*2 x 1*1 = (8!)²
162. Um torneio esportivo entre duas escolas será decidido numa partida de duplas mistas de tênis. A Escola E inscreveu nesta modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola F conta com 5 rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher os quatro jogadores que farão a partida decisiva, sabendo que uma das jogadoras da equipe E não admite jogar contra seu namorado, que faz parte da equipe F.
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Resolução:Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes:Escola E → 6 x 4 = 24 maneirasEscola F → 5 x 3 = 15 maneirasAssim, os quatro jogadores podem ser escolhidos de: 24 x 15 = 360 maneiras.Excluindo os casos nos quais os namorados jogam entre si, que são em números de:(6 x 1) x (1 x 3) = 18, temos:360 – 18 = 342
6. Uso do E/Ou
Exercícios163. De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide
pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor?Resolução:Supondo-se que todas as cinco faces laterais da pirâmide sejam pin-tadas com cores diferentes duas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o número de modos de pintar suas faces laterais, utilizando 8 cores diferentes, será dado por:8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6.720
164. De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor, duas faces consecutivas não podem ser da mesma cor.Resolução:8 x 7 x 7 x 7 x 6 = 16.464
165. (Cesgranrio/2005) A senha de certo cadeado é composta por 4 al-garismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a:a) 9.b) 15.c) 20.d) 24.e) 30.
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123Resolução:Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9.Soma 8: 1 e 7; 3 e 5; 5 e 3; 7 e 1, ou seja, 4 opções;Soma 10: 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e 1, ou seja, 5 opções.Total de tentativas: 4 x 5 = 20.
166. Observe o diagrama:
O número de ligações distintas entre X e Z é:a) 39.b) 41.c) 35.d) 45.Resolução:Possíveis caminhosXRZ = 3 x 1 = 3XRYZ = 3 x 3 x 2 = 18XYZ = 1 x 2 = 2XSYZ = 3 x 2 x 2 = 12XSZ = 3 x 2 = 6TOTAL = 3 + 18 + 2 + 12 + 6 = 41
7. Anagramas
167. A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a:a) 10.b) 20.c) 48.d) 52.e) 100.Resolução:É um problema em que o português é quem manda, a maioria das pessoas cometeu o erro de fazer o cálculo:4 x 5 x 5 = 100 (errado!)
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No entanto, quando o problema fala com repetição, os algarismos devem ser repetidos, assim:Nº com algarismos repetidos mais nº com algarismos distintos é igual ao total de nº que podem ser formados.Usando o P.F.C. teremos:Nº com algarismos repetidos = xNº com algarismos distintos = 4 x 4 x 3 = 48Total de nº formados = 4 x 5 x 5 = 100Portanto, x + 48 = 100 x = 52
168. Duas das 50 cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher 2 das 50 cadeiras, para ocupá-las, é:a) 1225.b) 2450.c) 250.d) 49.Resolução: 50 x 49 = 2450AnagramaO anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de for-mar outras palavras com ou sem sentido. É calculado por meio da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema.
169. Com relação à palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar:a) No total?Resolução: 6! = 720b) Começados por BR?Resolução: 4! = 24 ⇒ |BR| 4 x 3 x 2 x 1c) Começando por vogal e terminando em consoante?Resolução: 2 x 4 x 3 x 2 x 1 x 4 = 192
8. Anagrama: Questão de Cinema
Exercícios(PF/2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de
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125Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Ne-meia, capturar a corça de Cerineia e capturar o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez.Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia pre-parar, julgue os itens subsequentes:
170. (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 × 10!Resolução: 12! = 12 x 11 x 10!
171. (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas con-tendo o trabalho “matar o leão de Nemeia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.Resolução: 11! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
172. (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas con-tendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia” na primeira posi-ção e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 × 42 × 20 × 6.Resolução: 10! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
173. (UnB/Agente/PF/2004) “O número máximo de possíveis listas con-tendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é infe-rior a 6! × 8!Resolução: 10! x 2 = 10 x 9 x 8! x 2 180 < 720
174. De quantos modos podemos ordenar 3 livros de Lógica, 3 de Direito, 2 de Filosofia Oriental e 2 de Português, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de Físi-ca fiquem, entre si, sempre na mesma ordem?Resolução: 4! x 3! x 3! x 2! x 2!
9. Anagramas com Repetição
ExercíciosCom relação à palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar:175. Com as letras BR juntas nesta ordem?
Resolução: BR juntas significa que formarão uma única letra, logo, o anagrama será composto de 5 letras, portanto, a resposta é 5! = 120.
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176. Com as letras BR juntas em qualquer ordem?Resolução: Em qualquer ordem, teremos 5! . 2! = 240.
177. Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a:a) 2.b) 4.c) 24.d) 48.e) 120.Resolução: 4! x 2! = 48
178. Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA?
102.6
120!2!3
!5
179. E com a palavra ITATIAIA?
560!2!3!3
!8
180. E com a palavra APROVADO?
10080!2!2
!8
181. Se uma pessoa gasta exatamente 1 hora para escrever cada grupo de 672 anagramas da palavra PARAGUAI, quanto tempo levará para es-crever todos, se houver um intervalo de 30 minutos entre um grupo e outro, para descansar?Resolução:
67204*5*6*7*8!3!8
6720/672 = 10 horas9 Intervalos de descanso9 x 30 min = 270 min à 4 horas e 30 minutos
10. Anagramas: Outras Aplicações
Exercícios
182. (BB/2007) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrina de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são ver-
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127des e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.Resolução:
140!3!3
!7
183. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas são extraídas uma a uma sem reposição. Quantas sequências de cores podemos observar?Resolução: É como se fosse uma sequência de bolas em fileira, do tipo: VVVAA; em qualquer ordem, faremos como se fosse um ana-grama com repetição.
10!2!.3
!5
184. Uma cidade é formada por 12 quarteirões segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do ponto P e dirige-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é, movendo-se da esquerda para direita, ou de baixo para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele pode-rá fazer, se existem 2 ruas “horizontais” e 3 “verticais”?
Resolução: É um anagrama com repetição do tipo DDDDCCC, ou seja:
35!3!.4
!7
185. O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra PAPILOSCOPISTA é:Resolução:
1816214400!2!2!2!2!3
!14
11. Comissões
Exercícios186. Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma podem ser for-
madas com 10 funcionários de uma empresa?
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a) 120.b) 210.c) 720.d) 4050.e) 5040.Resolução:10 x 9 x 8 x 7 = 210 4 3 2 1
187. O jogo da Sena consiste em acertar 6 dezenas sorteadas entre 60. O número de possíveis resultados está entre:a) 15.000.000 e 25.000.000.b) 25.000.000 e 35.000.000.c) 35.000.000 e 45.000.000.d) 45.000.000 e 55.000.000.Resolução:
50.063.860155
256
357
458
559
660
188. Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Sto-nes e 4 discos do U2. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling Stones e 3 do U2. O núme-ro de modos distintos de se escolherem os discos é:a) 12.b) 42.c) 160.d) 1.120.e) 1.200.Resolução:Beatles x Rolling Stones x U2
112012
23
34
17
28
14
25
xx
189. Se existem 11 pessoas em uma sala e cada pessoa cumprimenta todas as outras uma única vez, o número de apertos de mão dados será igual a:a) 55.b) 65.c) 110.d) 121.Resolução:Precisamos de 2 mãos:
551
102
11
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129190. Um fisioterapeuta recomendou a um paciente que fizesse, todos os
dias, três tipos diferentes de exercícios e lhe forneceu uma lista con-tendo sete tipos diferentes de exercícios adequados a esse tratamento. Ao começar o tratamento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três exercícios será distinta das escolhas feitas anterior-mente. O número máximo de dias que o paciente poderá manter esse procedimento é:a) 35.b) 38.c) 40.d) 42.Resolução:
3515
26
37
12. Problema da Lâmpada
Exercícios
191. De quantas maneiras distintas podemos distribuir 10 alunos em 2 salas de aula, com 7 e 3 lugares, respectivamente?a) 120.b) 240.c) 14.400.d) 86.400.e) 3.608.800.Resolução:Basta escolhermos 3 e os outros irão para a outra sala;
12018
29
310
192. Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O nú-mero de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada, é:a) 63.b) 79.c) 127.d) 182.e) 201.
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Resolução:Sabemos que a condição para iluminar a sala é que pelo menos uma lâmpada esteja acesa. As opções de cada lâmpada são: acesa e apa-gada, logo:2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 – 1(todas apagadas) = 63
13. Agrupamento de Pessoas
Exercícios
193. O código Morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”. As “letras” são representadas pelo ponto (.) ou pelo traço (-). Deste modo, a quantidade de “palavras” possíveis pelo código Morse é:a) 16.b) 64.c) 30.d) 8.e) 36.Resolução:Pode-se formar palavras de uma, duas, três ou quatro letras e as op-ções por letra são duas (ponto ou traço), logo:2 (1 letra)2.2 = 4 (2 letras)2.2.2 = 8 (3 letras)2.2.2.2 =16 (4 letras)
194. Um sinal de trânsito sonoro pode ser composto, no máximo, por 3 silvos.Um silvo pode ser breve ou longo.Resolução:22.2 = 42.2.2 = 82 + 4 + 8 = 14 sinais de trânsito
195. O número de maneiras de se distribuir 10 objetos diferentes em duas caixas distintas, de modo que nenhuma caixa fique vazia, é:a) 45.b) 90.c) 1022.d) 101.
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131Resolução:São 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 1024 – 2 = 1022(opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)
196. (BB/2007) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa, etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.Resolução:É uma questão de análise combinatória onde usaremos o princípio fundamental de contagem:Devemos fazer duas escolhas dentre as 12 pessoas disponíveis, ou seja:
66111
212
x pares diferentes, ou,
66!2!.10
!122,12 C
197. A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão
constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portan-to, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não de-veriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?a) 70.b) 35.c) 45.d) 55.Resolução:Total de comissões – comissões (Gustavo e Danilo juntos)
55157015.
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15.
26.
37.
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14. Questão da Lanchonete
Exercícios198. Considere agora a equação
x + y + z = 7, resolvendo por tentativa, o trabalho será muito grande, e corremos o risco de esquecer alguma solução.
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Resolução:Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero.Indicaremos cada unidade por uma bolinha e usaremos a barra para fazer a separação, que corresponde aos sinais de adição:
Logo, teremos uma permutação com elementos repetidos (como em ARARA), assim:
36!2!7
!9
Questão da LanchoneteFui à lanchonete do sr. Fausto e pedi 10 refrigerantes para levar para a equipe de filmagem. Ele disse que tinha: Coca, Fanta, Sprite e Guaraná.De quantas maneiras distintas posso fazer o pedido?Comentário:Posso pedir tudo de um único sabor ou dois, ou três ou quatro sabores.Por exemplo:03 cocas, 03 fantas, 02 sprites e 02 guaranás05 cocas, 0 fantas, 05 sprites e 0 guaranásTraduzindo para o macete acima: C + F + S + G = 10◊◊◊ | ◊◊◊ | ◊◊ | ◊◊ | = BBBTBBBTBBTBB, resumindo anagrama com repetição ou macete da ARARA, logo, teremos:
13!10! .3! �
13.12.11.10!10! .3.2.1 � 2��
Capítulo 11
Probabilidade
1. Definição e Problema da Moeda
1.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos a definição e o problema da moeda.
1.2 Síntese
A probabilidade está associada ao estudo da Genética (exemplo visto ante-riormente); jogos de azar; estatísticas, etc.
Moivre foi o mais importante devoto da Teoria das Probabilidades. Em sua obra Doutrina das Probabilidades, publicada em 1718, ele apresenta mais de 50 problemas, além da lei dos erros ou curvas de distribuição.
Há três ramos principais da estatística: a descritiva, que envolve a organiza-ção e a sumarização de dados; a teoria da probabilidade, que proporciona uma
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base racional para lidar com situações influenciadas por fatores relacionados com o acaso, assim como estimar erros; e a teoria da inferência, que envolve análise e interpretação de amostras.
O ponto central em todas as situações em que usamos probabilidade é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado EVENTO.
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento.
ESPAÇO AMOSTRALChamamos de espaço amostral (S) um conjunto formado por todos os re-
sultados possíveis de um experimento aleatório.Chama-se Evento (E) todo subconjunto de (S), associado a um experimen-
to aleatório qualquer.PROBABILIDADE DE UM EVENTO ELEMENTARVejamos as situações seguintes:1. Lançamento de uma moeda e observação da face superior.Seja S = {k, c} o espaço amostral, em que c representa “cara” e k, “coroa”.
Os números ½ e ½ podem representar as chances de ocorrência dos eventos elementares {k} e {c}.
É razoável esperar que, num grande número de lançamentos, em aproxi-madamente metade deles, ocorra cara e, na outra metade, ocorra coroa.
Indicamos então:PK = ½ E PC = 1/2Generalizando, sendoS = {e1, e2, e3, . . ., en},Um espaço amostral finito, a cada evento elementar {e1} associamos um
número real p ({ei}), chamado probabilidade do evento elementar {ei}, que satisfaz as seguintes condições:
⇒ p ({ei}) é um número não negativo: p ({ei}) 0;⇒ A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é 1:P ({e1}) + p ({e2}) +. . . + p ({en}) = 1Consequentemente, para qualquer evento elementar {ei} temos:
10 iep Probabilidade de um evento qualquer
Exercícios
199. No lançamento de uma moeda defeituosa, qual a probabilidade de sair cara, sabendo-se que esta é o dobro da probabilidade de sair coroa?Solução:Temos p (c) = 2p (k) e p (c) + p (k) = 1.
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135Portanto:
32)(:Portanto
3112
cp
kpkpkp
200. Ainda, no exemplo anterior, se jogássemos 3 vezes consecutivas este
dado, qual a probabilidade de sair 2 caras e 1 coroa?Resolução:As possíveis maneiras são:CCK, CKC ou KCC, portanto, teremos:
94
32
32
31
32
31
32
31
32
32
xxxxxx
2. Eventos Complementares e Exclusivos
2.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos os eventos complementares e exclusivos.
2.2 Síntese
Exemplo: No lançamento de um dado honesto, o evento número ímpar {1, 3, 5} é o evento complementar do evento número par {2, 4, 6}.
Então: E = {2, 4, 6} = {1, 3, 5}Eventos Mutuamente ExclusivosOs eventos exclusivos jamais ocorrem simultaneamente.Ex.: A = {2, 4, 5} e B = {1, 3, 6} são mutuamente exclusivos porque jamais
ocorrem simultaneamente.Probabilidade Amostrais EquiprováveisUm espaço amostral é chamado equiprovável quando seus eventos elemen-
tares têm iguais probabilidades de ocorrência. Observamos a seguinte situação:No lançamento de um dado não viciado e observando a face superior, te-
mos as seguintes possibilidades:Como o dado não é viciado, consideramos essas possibilidades equiprová-
veis, ou seja, têm a mesma probabilidade de ocorrer.Utilizando um raciocínio semelhante ao de Fermat, observamos que temos
uma possibilidade favorável de que ocorra o evento desejado.
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Por exemplo, o aparecimento do número 5 na face superior do dado – num total de 6 possibilidades. Diremos, então, que a probabilidade de que o referido evento ocorra é 1/6.
3. Probabilidade: Conceito3.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos a probabilidade: conceito.
3.2 SínteseGeneralizando, se num fenômeno aleatório as possibilidades são equipro-
váveis, então, a probabilidade de ocorrer um evento E, que indicaremos por p (E), será dada por:
P (E) =número de possibilidades favoráveisNúmero total de possibilidades
Ex.: Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pes-quisas indicaram que:
210 pessoas compram o produto A;210 pessoas compram o produto B;250 pessoas compram o produto C;20 pessoas compram os 3 produtos;100 pessoas não compram nenhum dos 3;60 pessoas compram os produtos A e B;70 pessoas compram os produtos A e C;50 pessoas compram os produtos B e C.Solução: Primeiramente, vamos solucionar o problema usando o Diagra-
ma de Venn:
Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entre-
vistados.
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137
Exercícios
201. Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoria-mente, ela seja:a) Consumidora de apenas um dos produtos?
6137
610370
1 P
b) Consumidora de no mínimo 02 produtos?
6114
610140
2 P c) Sabendo que a pessoa sorteada consome C, qual a probabilida-
de dela também consumir B?
%2525050
202. A probabilidade de ocorrer um evento A é 1/3, a probabilidade de
ocorrer um evento B é ½ e a probabilidade de ocorrer ambos é ¼ .PA = 1/3PB = ½P (A e B) = ¼
127
41
41
121
4. Probabilidade Condicional
4.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos a probabilidade condicional.
4.2 Síntese
Analisemos a seguinte situação:Retirando-se sucessivamente, e sem reposição, 3 cartas de um baralho de
52 cartas, qual é a probabilidade de ocorrerem 3 de espada?Solução:Chamemos de E o evento “ocorrerem 3 cartas de espadas”. Na 1ª retira-
da, a probabilidade de ocorrer carta de espadas é 13/52 (num baralho de 52 cartas, há 13 de espadas; tendo sido obtida 1 carta de espadas, a probabilidade de ocorrer outra é 12/51; obtidas 2 cartas de espadas nas duas primeiras
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retiradas, a probabilidade de ocorrer outra na 3ª retirada é 11/50. Usando a fórmula da probabilidade condicional, temos:
85011
5011.
5112.
5213
Ep
Curiosidade:Num jogo de Pôquer, qual a probabilidade de ocorrer uma trinca e uma dupla? (considerando que um jogador recebe as cinco cartas de uma só vez)Solução:A 1ª carta é aleatória: 52/52A 2ª carta terá probabilidade: 3/51A 3ª carta terá probabilidade: 2/50A probabilidade da 4ª: 48/49E a da 5ª: 3/48Daí teremos o seguinte:5 maneiras (ordem) diferentes disto acontecer. Logo, a probabilidade de-sejada será:
%3,0!5483
4948
502
513
5252
xxxxx
Eventos IndependentesDizemos que n eventos E1, E2, E3, ..., En são independentes quando a pro-
babilidade de ocorrer um deles não depende do fato de terem ou não ocorrido os outros.
Para n eventos independentes, temos:P (E1 e E2 e E3 e ... e En) = p (E1) . p (E2) . p (E3) . ... . p (En)
5. Lei de Murphy
5.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos a Lei de Murphy.
5.2 Síntese
Até mesmo a famosa lei de Murphy:Ao tentarmos abrir uma porta, temos em mãos um molho com 5 chaves
e não sabemos qual delas abrirá a porta. Então, tentamos a 1ª e se não conse-guirmos (separamos esta), tentamos a segunda, e assim por diante até chegar à última, sempre separando a que já tentamos.
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139Segundo Murphy, a probabilidade de acertarmos a chave na última tenta-
tiva é maior que na primeira. Ele está certo ou errado?Responda você.Ele está errado, pois é a mesma probabilidade:Temos que analisar o problema da seguinte maneira:P (a) = acertar a chave = 1/5 e P (e) = errar a chave 4/51ª tentativa: 1/5
2ª tentativa: 51
41.
54
3ª tentativa: 51
31.
43.
54
4ª tentativa: 51
21.
32.
43.
54
5ª tentativa: 51
11.
21.
32.
43.
54
6. Probabilidade de Não Ocorrer um Evento
6.1 Apresentação
Nesta unidade, veremos a probabilidade de não ocorrer um evento.
6.2 Síntese
Dois prêmios iguais são sorteados entre 5 concorrentes, sendo 3 brasileiros e 2 italianos. Admitindo que a mesma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, qual é a probabilidade de ser premiado pelo menos um brasileiro?
Ser premiado pelo menos um brasileiro implica não serem premiados 2 italianos.
Chamemos de E o evento “serem premiados 2 italianos”. Usando a fórmula da probabilidade condicional, verificamos que a probabilidade de serem pre-miados 2 italianos é:
101
41.
52
Ep
Aplicando agora a fórmula da probabilidade de não ocorrer o evento E, obtemos a probabilidade de ser premiado pelo menos um brasileiro:
%90109
1011p(E)1Ep
Rac
iocí
nio
Lógi
co140
Exemplo de Tiro ao AlvoProbabilidadedeacerto=20%=1/5Probabilidadedeerrar=80%=4/5O alvo é uma lâmpada e a pessoa pode dar 3 tiros. Qual a probabilidade de
acertar a lâmpada?A1 + E1A2
+ E1 E2
A3
51.
54.
54
51.
54
51
12561
125162025
12516
254
51
Qual a probabilidade de não ocorrer o evento?1 – E1
E2 E3
12564
54.
54.
541
12561
125641
Exercício
203. (UFMG) Leandro e Heloísa participam de um jogo em que se utili-zam dois cubos. Algumas faces desses cubos são brancas e as demais, pretas. O jogo consiste em lançar, simultaneamente, os dois cubos e em observar as faces superiores de cada um deles quando param:⇒ se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro vencerá; e⇒ se as faces superiores forem de cores diferentes, Heloísa vencerá.Sabe-se que um dos cubos possui cinco faces brancas e uma preta e que a probabilidade de Leandro vencer o jogo é de 11/18.Então, é correto afirmar que o outro cubo tem:a) Quatro faces brancas.b) Uma face brancac) Duas faces brancas.d) Três faces brancas.Comentário:X ⇒ número de faces pretas do segundo cubo.Logo, teremos:
222530
1811
6)6(.
65
6.
61
xxx
xx
Rac
iocí
nio
Lógi
co
141
7. Distribuição Binomial
7.1 Apresentação
Nesta unidade, estudaremos a distribuição binomial.
7.2 SínteseGeneralizando, se em cada uma das n tentativas de um fenômeno aleatório
a probabilidade de ocorrer um evento é sempre P(E), a probabilidade de que esse evento ocorra em apenas K das n alternativas é dada por:
kP
nk
n P-1..kn
P
Comentário:Um casal deseja ter 4 filhos, sendo dois casais. Qual a probabilidade de isso
ocorrer?HHMM que é o mesmo que um anagrama com 4 letras, sendo 2 Hs e 2Ms,
portanto, usando o macete da ARARA, teremos:
6!2!.2
!4
possíveis resultados.
37,5%836.
21.
21.
21.
21
8. Problema das Urnas
Exercícios
204. (Cesgranrio/Controlador/Aeronáutica/2007) Há duas urnas sobre uma mesa, ambas contendo bolas distinguíveis apenas pela cor. A primeira urna contém 2 bolas brancas e 1 bola preta. A segunda urna contém 1 bola branca e 2 bolas pretas. Uma bola será retirada, aleatoriamente, da primeira urna e será colocada na segunda e, a seguir, retirar-se-á, aleatoriamente, uma das bolas da segunda urna. A probabilidade de que esta bola seja branca é:a) 5/12.b) 1/3.c) 1/4.
Rac
iocí
nio
Lógi
co142
d) 1/6.e) 1/12.Comentário:
U1 =
)3/1(1)3/2(2
PB
U2=
)3/2(2)3/1(1
PB
Ao retirarmos uma bola qualquer que pode ser branca ou preta da urna U1, a probabilidade de se retirar uma branca da urna U2, será:Se a bola retirada for branca, teremos: BBSe a bola retirada for preta, teremos: PBDaí pode acontecer: BB ou PB, donde:
125
41
31
42
32
205. Antônio, Bruno, César, Dário e Ernesto jogam uma moeda idônea 11, 12, 13, 14 e 15 vezes, respectivamente. Apresenta a menor chan-ce de conseguir mais caras do que coroas:a) Antônio.b) Bruno.c) César.d) Dário.e) Ernesto.Comentário: A menor chance de conseguir mais caras do que co-roas significa a menor probabilidade de obter mais caras que coroas. Portanto, temos que analisar caso a caso:a) Antônio – 11 vezes.
%505,0126
caras coroas11 010 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 11
Rac
iocí
nio
Lógi
co
143b) Bruno – 12 vezes.
%15,464615,0136
caras Coroas
12 0
11 1
10 2
9 3
8 4
7 5
6 6
5 7
4 8
3 9
2 10
1 11
0 12E assim por diante, logo:c)Cesar–13vezes:serão7em14,ouseja,50%.d)Dário–14vezes:serão7em15,ouseja,46,66%.e)Ernesto–15vezes:serão8em16,ouseja,50%.
9. Teorema de Bayes
9.1 Apresentação
Nesta unidade, estudaremos o Teorema de Bayes.
9.2 Síntese
Propriedades:
)()(
)()(
BAPBAP
BAPBAP
Rac
iocí
nio
Lógi
co144
Comentário:Em outra unidade de estudo, abordamos o tema negação de uma conjun-
ção de uma disjunção. Este assunto está diretamente ligado às propriedades acima. Veja o lembrete:
Proposição Equivalente da Negação
A e B Não A ou não B
A ou B Não A e não BOu seja:A negação do E é OUA negação do OU é E.Teorema de BayesSe A1, A2, A3, ..., Ai são eventos mutuamente exclusivos de maneira que
A1 A2 ...= SP (Ai) = prob conhecidas dos eventosB = um evento qualquer de s, conhecendo-se todas as probabilidades de P
(B/A)Então,
...))/().(/().()/().()/(
2211
ABPAPABPAPABPAPBAP ii
i
Escolheu-se uma urna ao acaso e tirou-se uma bola ao acaso, verificando-se
que a bola é branca. Deseja-se determinar a probabilidade da bola ter vindo da urna 2.
UrnasCores
U1 U2 U3
Pretas 3 4 2 9
Brancas 1 3 3 7
Vermelhas 5 2 3 10
9 9 8 26P (U1) = 1/3P (U2) = 1/3P (U3) = 1/3 (eventos equiprováveis)P (Br/U1) = 1/9P (Br/U2) = 3/9 = 1/3P (Br/U3) = 3/8
5924
83.
31
31.
31
91.
31
31.
31
)/( 2
BrUP
Faça você agora para a urna 3.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
145
10. Questões
Exercícios206. Em um jogo, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para
baixo, estando representadas em cada uma delas as letras T, C e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer.O participante deve ordenar as fichas, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TCE. Ao desvirá-las, para cada le-tra que esteja na posição correta, ganhará um prêmio de R$ 500,00.A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a:a) 0.b) 1/6.c) 1/4.d) 1/3.e) 1/2.Comentário:
31
11
21
32
xx
207. A probabilidade de o participante ganhar exatamente o valor de R$ 1000,00 é igual a:a) 3/4.b) 2/3.c) 1/2.d) 1/6.e) 0.
208. Em uma urna, há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna, retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par?a) 15.b) 20.c) 23.d) 25.e) 27.
209. Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é:a) 150/216.b) 91/216.
Rac
iocí
nio
Lógi
co146
c) 75/216.d) 55/216.e) 25/216.
11. Problema do Filme – Quebrando a Banca
Exercício
210. (Esaf/MPOG/2005) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é re-tirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas estas informações, a proba-bilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a:a) 1/2.b) 1/3.d) 2/3.c) 1/4.e) 3/4.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
147
Gabarito
1. 35.2. Correto.3. Incorreto.4. Incorreto.5. Letra E.6. Letra B.7. Letra B.8. Letra E.9. Letra C.10. Letra B.11. Letra E.12. 40%.13. a) 340; b) 210; c) 660; d) 210.14. Letra D.15. a) 78; b) 87; c) 165.16. Letra D.17. Letra C.18. Letra A.
19. a) 36; b) 59; c) 20.20. Letra E.21. 2, 2, 9.22. Incorreto.23. Incorreto.24. Incorreto.25. Correto.26. Letra E.27. Letra E.28. Letra C.29. Incorreto.30. Correto.31. Correto.32. Incorreto.33. Incorreto.34. Letra E.35. Letra A.36. Letra C.
Rac
iocí
nio
Lógi
co148
37. Letra C.38. Letra B.39. Letra C.40. Letra C.41. Letra D.42. Letra A.43. Incorreto.44. Correto.45. Correto.46. Correto.47. Incorreto.48. Incorreto.49. Incorreto.50. Correto.51. Incorreto.52. Letra C.53. Incorreto.54. Incorreto.55. Correto.56. Letra C.57. Letra E.58. Letra B.59. Astrubal não é amigo de Leôncio.60. Letra E.61. Letra C.62. Letra C.63. Incorreto.64. Letra A.65. Letra A.66. Letra E.67. Letra D.68. Letra C.69. Letra B.70. Letra C.71. Letra C.72. Letra B.73. Letra A.74. Letra C.75. Letra D.76. Letra A.77. Letra D.
78. Letra B.79. Letra C.80. Letra D.81. Letra C.82. Incorreto.83. Correto..84. Correto.85. Correto.86. Incorreto.87. Incorreto.88. Incorreto.89. Correto.90. Incorreto.91. Letra C.92. Incorreto.93. Incorreto.94. Correto.95. Letra C.96. Letra C.97. Letra A.98. Letra E.99. Letra E.100. Letra C.101. Letra B.102. 2, 2, 9.103. Letra D.104. Letra D.105. Letra D.106. Letra C.107. Letra E.108. Letra E.109. Letra C.110. Letra E.111. Incorreto.112. Correto.113. Incorreto.114. Letra E.115. Letra B.116. Letra C.117. Letra E.118. Letra E.
Rac
iocí
nio
Lógi
co
149119. Letra B.120. Letra E.121. Correto.122. Incorreto.123. Incorreto.124. Correto.125. Letra A.126. Letra C.127. Letra B.128. Letra E.129. Letra D.130. Letra D.131. Letra C.132. Letra B.133. Letra B.134. Letra E.135. Letra E.136. Letra B.137. Letra C.138. Letra C.139. Correto.140. Letra C.141. Letra C.142. Letra C.143. Letra A.144. Letra A.145. Letra D.146. Letra C.147. Letra D.148. Letra D.149. Letra A.150. 729.151. 504.152. 4536.153. 120.154. 120.155. 314 resultados.156. 12.157. 480.158. Letra D.159. Letra A.
160. 576.161. (8!)² maneiras.162. 342.163. 6720.164. 16464.165. Letra C.166. Letra B.167. Letra D.168. Letra B.169. A) 720, B) 24, C) 192.170. Correto.171. Correto.172. Incorreto.173. Correto.174. 3456.175. 120.176. 240.177. Letra D.178. 10.179. 560.180. 10080.181. 14h e 30min.182. Correto.183. 10.184. 35.185. 1818214400.186. 210.187. Letra D.188. Letra D.189. Letra A.190. Letra A.191. Letra A.192. Letra A.193. Letra C.194. 14.195. Letra C.196. Correto.197. Letra D.198. 36.199. 2/3.200. 4/9.