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RACIOCNIO LGICO E MATEMTICO

Didatismo e Conhecimento 1


RESOLUO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO FRAES, CONJUNTOS,

PORCENTAGENS, SEQUNCIAS (COM NMEROS, COM FIGURAS, DE

PALAVRAS).

Nmeros Fracionrios

Adio e Subtrao

Fraes com denominadores iguais:

Exemplo

Jorge comeu 83

de um tablete de chocolate e Miguel 82

desse mesmo tablete. Qual a frao do tablete de chocolate que Jorge e Miguel comeram juntos?

A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela tambm esto representadas as fraes do tablete que Jorge e Miguel comeram:

3/8 2/8

5/8

Observe que 83

+ 82 =

85

Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos 85 do tablete de

chocolate.Na adio e subtrao de duas ou mais fraes que tm

denominadores iguais, conservamos o denominador comum e somamos ou subtramos os numeradores.

Outro Exemplo:

21

2753

27

25

23

=+

=+

Fraes com denominadores diferentes:

Calcular o valor de 65

83+ . Inicialmente, devemos reduzir as

fraes ao mesmo denominador comum:

mmc (8,6) = 24 65

83+ =

2420

249+

24 : 8 . 3 = 924 : 6 . 5 = 20Devemos proceder, agora, como no primeiro caso,

simplificando o resultado, quando possvel:

2420

249+ =

2429

24209

=+

Portanto: 65

83+ = 24

20249+ =

2429

24209

=+

Na adio e subtrao de duas ou mais fraes que tm os denominadores diferentes, reduzimos inicialmente as fraes ao menor denominador comum, aps o que procedemos como no primeiro caso.

MultiplicaoExemplo

De uma caixa de frutas, 54

so bananas. Do total de bananas,

32

esto estragadas. Qual a frao de frutas da caixa que esto estragadas?

Representa 4/5 do contedo da caixa

Representa 2/3 de 4/5 do contedo da caixa.

Repare que o problema proposto consiste em calcular o valor de 3

2 de 54 que, de acordo com a figura, equivale a

158 do total de

frutas. De acordo com a tabela acima, 32

de

54

equivale a

32 .

54 .

Assim sendo:

32 .

54 =

158

Ou seja:

32 de

54 =

32 .

54 =

5.34.2 =

158

O produto de duas ou mais fraes uma frao cujo numerador o produto dos numeradores e cujo denominador o produto dos denominadores das fraes dadas.

Outro exemplo:

32 .

54 .

13556

9.5.37.4.2

97

==

Observao: Sempre que possvel, antes de efetuar a multiplicao, podemos simplificar as fraes entre si, dividindo os numeradores e os denominadores por um fator comum. Esse processo de simplificao recebe o nome de cancelamento.

1

1

32 .

54 .

2512

109

5

3

=

Diviso

Duas fraes so inversas ou recprocas quando o numerador de uma o denominador da outra e vice-versa.

Exemplo

32

a frao inversa de 23

5 ou 15 a frao inversa de

51



Considere a seguinte situao:

Lcia recebeu de seu pai os 54

dos chocolates contidos em uma caixa. Do total de chocolates recebidos, Lcia deu a tera parte para o seu namorado. Que frao dos chocolates contidos na caixa recebeu o namorado de Lcia?

A soluo do problema consiste em dividir o total de chocolates que Lcia recebeu de seu pai por 3, ou seja, 5

4 : 3.Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular

31 desse

algo.Portanto:

54 : 3 =

31 de

54

Como 31

de 54

= 31

. 54

= 54 .

31 , resulta que

54 : 3 =

54

: 13 =

54 .

31

So fraes inversas

Observando que as fraes 13 e

31 so fraes inversas,

podemos afirmar que:Para dividir uma frao por outra, multiplicamos a primeira

pelo inverso da segunda.

Portanto 54

: 3 = 54

: 13

= 54

. 31

= 154

Ou seja, o namorado de Lcia recebeu 154

do total de

chocolates contidos na caixa.

Outro exemplo: 65

85.

34

58:

34

2

1

==

Observao:

Note a expresso:

5123

. Ela equivalente expresso 51:

23 .

Portanto 5123

= 51:

23 =

15.

23 =

215

Nmeros Decimais

Adio e Subtrao

Vamos calcular o valor da seguinte soma:

5,32 + 12,5 + 0, 034Transformaremos, inicialmente, os nmeros decimais em

fraes decimais:

5,32 + 12,5 + 0, 034 = =++1000

3410125

100352

100017854

100034

100012500

10005320

=++= = 17, 854

Portanto: 5,32 + 12,5 + 0, 034 = 17, 854

Na prtica, a adio e a subtrao de nmeros decimais so obtidas de acordo com a seguinte regra:

- Igualamos o nmero de casas decimais, acrescentando zeros.- Colocamos os nmeros um abaixo do outro, deixando vrgula

embaixo de vrgula.- Somamos ou subtramos os nmeros decimais como se eles

fossem nmeros naturais.- Na resposta colocamos a vrgula alinhada com a vrgula dos

nmeros dados.

Exemplo

2,35 + 14,3 + 0, 0075 + 5

Disposio prtica:2,350014,30000,00755,000021,6575

Multiplicao

Vamos calcular o valor do seguinte produto: 2,58 x 3,4.Transformaremos, inicialmente, os nmeros decimais em

fraes decimais:

2,58 x 3,4 = 772,810008772

1034.

100258

==

Portanto 2,58 x 3,4 = 8,772

Na prtica, a multiplicao de nmeros decimais obtida de acordo com as seguintes regras:

- Multiplicamos os nmeros decimais como se eles fossem nmeros naturais.

- No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator somadas s do segundo fator.

Exemplo: 652,2 x 2,03

Disposio prtica: 652,2 1 casa decimalx 2,03 2 casas decimais 19 5661 304 41 323,966 1 + 2 = 3 casas decimais

DIVISO

Numa diviso em que:

D o dividendod o divisor temos: D d D = q . d + rq o quociente r qr o resto

Numa diviso, o resto sempre menor que o divisor



Vamos, por exemplo, efetuar a seguinte diviso: 24 : 0,5.

Inicialmente, multiplicaremos o dividendo e o divisor da diviso dada por 10.

24 : 0,5 = (24 . 10) : (0,5 . 10) = 240 : 5

A vantagem de tal procedimento foi a de transformarmos em nmero natural o nmero decimal que aparecia na diviso. Com isso, a diviso entre nmeros decimais se transforma numa equivalente com nmeros naturais.

Portanto: 24 : 0,5 = 240 : 5 = 48Na prtica, a diviso entre nmeros decimais obtida de

acordo com as seguintes regras:

- Igualamos o nmero de casas decimais do dividendo e do divisor.

- Cortamos as vrgulas e efetuamos a diviso como se os nmeros fossem naturais.

Exemplo 1

24 : 0,5

Disposio prtica: 24,0 0,5 40 48 0

Nesse caso, o resto da diviso igual zero. Assim sendo, a diviso chamada de diviso exata e o quociente exato.

Exemplo 2

9,775 : 4,25

Disposio prtica: 9,775 4,250 1 275 2

Nesse caso, o resto da diviso diferente de zero. Assim sendo, a diviso chamada de diviso aproximada e o quociente aproximado.

Se quisermos continuar uma diviso aproximada, devemos acrescentar zeros aos restos e prosseguir dividindo cada nmero obtido pelo divisor. Ao mesmo tempo em que colocamos o primeiro zero no primeiro resto, colocamos uma vrgula no quociente.

9,775 4,250 9,775 4,250 1 2750 2, 1 2750 2,3 0000

Acrescentamos um zero Colocamos uma ao primeiro resto. vrgula no quociente.

Exemplo 3

0,14 : 28

0,14000 28,00 0000 0,005

Exemplo 4

2 : 16 20 16 40 0,125 80 0

Exerccios

1. Indique as divises em forma de frao:a) 14 : 7b) 18 : 8c) 5 : 1d) 15 : 5 e) 18 : 9 f) 64 : 8

2. Efetue as adies:

a) 3/6 + 2/6 b) 13/7 + 1/7 c) 2/7+ 1/7 + 5/7 d) 4/10 + 1/10 + 3/10

3. Efetue as subtraes:

a) 7/9 5/9 b) 9/5 2/5 c) 2/3 1/3 d) 8/3 2/3

Respostas

1) Soluo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)



2) Soluo:

a)

b)

c)

d)

3) Soluo

a)

b)

c)

d)

Conjuntos

Nmero de Elementos da Unio e da Interseco de Conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relao entre os respectivos nmeros de elementos.

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

Note que ao subtrairmos os elementos comuns (n(A B)) evitamos que eles sejam contados duas vezes.

Observaes:

a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relao dada ser verdadeira.

b) Podemos ampliar a relao do nmero de elementos para trs ou mais conjuntos com a mesma eficincia.

n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B) -- N(A C) - n(B C) + N(A B C)

Observe o diagrama e comprove.

Conjuntos

Conjuntos Primitivos

Os conceitos de conjunto, elemento e pertinncia so primiti-vos, ou seja, no so definidos.

Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma poro de livros so todos exemplos de conjuntos.

Conjuntos, como usualmente so concebidos, tm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um livro. Convm frisar que um conjunto pode ele mesmo ser ele-mento de algum outro conjunto.

Por exemplo, uma reta um conjunto de pontos; um feixe de retas um conjunto onde cada elemento (reta) tambm conjunto (de pontos).

Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maisculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora no exista essa obrigatoriedade.

Em Geometria, por exemplo, os pontos so indicados por le-tras maisculas e as retas (que so conjuntos de pontos) por letras minsculas.

Outro conceito fundamental o de relao de pertinncia que nos d um relacionamento entre um elemento e um conjunto.

Se x um elemento de um conjunto A, escreveremos x AL-se: x elemento de A ou x pertence a A.

Se x no um elemento de um conjunto A, escreveremos x A

L-se x no elemento de A ou x no pertence a A.

Como representar um conjunto

Pela designao de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vrgula.



Exemplos

- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 7 e 8.

{a; b; m} indica o conjunto constitudo pelos elementos a, b e m.

{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos so 1, {2; 3} e {3}.

Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma proprie-dade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este fica bem determinado.

P termo propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A significa que, dado um elemento x qualquer temos:

Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a pro-priedade P 0 indicado por:

{x, tal que x tem a propriedade P}

Uma vez que tal que pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda :, podemos indicar o mesmo conjunto por:

{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda,{x : x tem a propriedade P}

Exemplos

- { x, t.q. x vogal } o mesmo que {a, e, i, o, u}- {x | x um nmero natural menor que 4 } o mesmo que

{0, 1, 2, 3}- {x : x em um nmero inteiro e x2 = x } o mesmo que {0, 1}

Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler con-siste em representar o conjunto atravs de um crculo de tal for-ma que seus elementos e somente eles estejam no crculo.

Exemplos- Se A = {a, e, i, o, u} ento

- Se B = {0, 1, 2, 3 }, ento

Conjunto Vazio

Conjunto vazio aquele que no possui elementos. Represen-ta-se pela letra do alfabeto noruegus ou, simplesmente { }.

Simbolicamente: x, x

Exemplos - = {x : x um nmero inteiro e 3x = 1}- = {x | x um nmero natural e 3 x = 4}- = {x | x x}

Subconjunto

Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A tambm elemento de B, dizemos que A um subconjunto de B ou A a parte de B ou, ainda, A est contido em B e indicamos por A B.

Simbolicamente: AB (x)(x x B)

Portanto, A B significa que A no um subconjunto de B ou A no parte de B ou, ainda, A no est contido em B.

Por outro lado, A B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que no elemento de B.

Simbolicamente: A B (x)(xA e xB)Exemplos

- {2 . 4} {2, 3, 4}, pois 2 {2, 3, 4} e 4 {2, 3, 4}- {2, 3, 4} {2, 4}, pois 3 {2, 4}- {5, 6} {5, 6}, pois 5 {5, 6} e 6 {5, 6}

Incluso e pertinncia

A definio de subconjunto estabelece um relacionamento en-tre dois conjuntos e recebe o nome de relao de incluso ().

A relao de pertinncia () estabelece um relacionamento en-tre um elemento e um conjunto e, portanto, diferente da relao de incluso.

SimbolicamentexA {x}AxA {x}AIgualdade

Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A igual a B e indicamos por A = B se, e somente se, A subconjunto de B e B tambm subconjunto de A.

Simbolicamente: A = B AB e BADemonstrar que dois conjuntos A e B so iguais equivale, se-

gundo a definio, a demonstrar que A B e B A.Segue da definio que dois conjuntos so iguais se, e somente

se, possuem os mesmos elementos.Portanto A B significa que A diferente de B. Portanto A B

se, e somente se, A no subconjunto de B ou B no subconjunto de A. Simbolicamente: A B A B ou BA

Exemplos

- {2,4} = {4,2}, pois {2,4} {4,2} e {4,2} {2,4}. Isto nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto no deve ser levada em considerao. Em outras palavras, um conjunto fica de-terminado pelos elementos que o mesmo possui e no pela ordem em que esses elementos so descritos.



- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} {2,4} e {2,4} {2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetio de elementos desne-cessria.

- {a,a} = {a}- {a,b = {a} a= b- {1,2} = {x,y} (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1)

Conjunto das partes

Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo con-junto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e indicado por P(A).

Simbolicamente: P(A)={X | X A} ou XP(A) XA

Exemplos

a) = {2, 4, 6}P(A) = {, {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A}

b) = {3,5}P(B) = {, {3}, {5}, B}

c) = {8} P(C) = {, C} d) = P(D) = {}

Propriedades

Seja A um conjunto qualquer e o conjunto vazio. Valem as seguintes propriedades

() {} A P(A) A A A P(A)

Se A tem n elementos ento A possui 2n subconjuntos e, por-tanto, P(A) possui 2n elementos.

Unio de conjuntos

A unio (ou reunio) dos conjuntos A e B o conjunto forma-do por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa--se por A B.

Simbolicamente: AB = {X | X A ou X B}

Exemplos

- {2,3}{4,5,6}={2,3,4,5,6}- {2,3,4}{3,4,5}={2,3,4,5}- {2,3}{1,2,3,4}={1,2,3,4}- {a,b} {a,b}

Interseco de conjuntos

A interseco dos conjuntos A e B o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A B. Simbolicamente: A B = {X | X A ou X B}

Exemplos

- {2,3,4} {3,5}={3}- {1,2,3} {2,3,4}={2,3}- {2,3} {1,2,3,5}={2,3}- {2,4} {3,5,7}=

Observao: Se A B= , dizemos que A e B so conjuntos disjuntos.

Subtrao

A diferena entre os conjuntos A e B o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e no pertencem a B. Repre-senta-se por A B. Simbolicamente: A B = {X | X A e X B}

O conjunto A B tambm chamado de conjunto comple-mentar de B em relao a A, representado por CAB.

Simbolicamente: CAB = A - B{X | X A e X B}

Exemplos

- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} CAB = A B = {1,3} e CBA = B A =

- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} CAB = A B = {1} e CBA = B A = {14}

- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} CAB = A B = {0,2,4} e CBA = B A = {1,3,5}

Observaes: Alguns autores preferem utilizar o conceito de completar de B em relao a A somente nos casos em que B A.

- Se B A representa-se por B o conjunto complementar de B em relao a A. Simbolicamente: B A B = A B = CAB`



Exemplos

Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ento:a) A = {2, 3, 4} A = {0, 1, 5, 6}b) B = {3, 4, 5, 6 } B = {0, 1, 2}c) C = C = S

Nmero de elementos de um conjunto

Sendo X um conjunto com um nmero finito de elementos, representa-se por n(X) o nmero de elementos de X. Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com nmero finito de elementos temos:

n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)AB= n(AB)=n(A)+n(B)n(A -B)=n(A)-n(AB)BAn(A-B)=n(A)-n(B)

Exerccios

1. Assinale a alternativa a Falsa:a) {3}b) (3) {3}c) {3}d) 3 {3}e) 3 = {3}

2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique as afirmaes em verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) 2 Ab) (2) Ac) 3 Ad) (3) Ae) 4 A

3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos (partes) possuem o conjunto A?

4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?

5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e C = {4; 5; 6; 8 } pede-se:

a) A Bb) A Bc) A Cd) A C

6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. Deter-mine o conjunto X de tal forma que: XA= e XA = S.

7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que AX e AX={2,3,4}, determine o conjunto X.

8. Dados trs conjuntos finitos A, B e C, determinar o nmero de elementos de A (BC), sabendo-se:

a) AB tem 26 elementosb) AC tem 10 elementosc) ABC tem 7 elementos.

9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianas ruivas, 13 meninos no ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se

a) quantas crianas existem na escola?b) quantas crianas so meninas ou so ruivas?

10. USP-SP - Depois de n dias de frias, um estudante observa que:

- Choveu 7 vezes, de manh ou tarde;- Quando chove de manh no chove tarde;- Houve 5 tardes sem chuva;- Houve 6 manhs sem chuva.Podemos afirmar ento que n igual a:a)7b)8c)9d)10e)11

Respostas

1) Resposta E.Soluo: A ligao entre elemento e conjunto estabelecida

pela relao de pertinncia () e no pela relao de igualdade (=). Assim sendo, 3{3} e 3{3}. De um modo geral, x {x}, x.

2) Soluo:a) Verdadeira, pois 2 elemento de A.b) Falsa, pois {2} no elemento de A.c) Verdadeira, pois 3 elemento de A.d) Verdadeira, pois {3} elemento de A.e) Falsa, pois 4 no elemento de A.

3) Resposta 32.Soluo: Lembrando que: Se A possui k elementos, ento

A possui 2k subconjuntos, conclumos que o conjunto A, de 5 elementos, tem 25 = 32 subconjuntos.

4) Resposta 10.Soluo: Se k o nmero de elementos do conjunto A, ento

2k o nmero de subconjuntos de A.Assim sendo: 2k=1024 2k=210 k=10.



5) Soluo: Representando os conjuntos A, B e C atravs do diagrama de Venn-Euler, temos:

a)

AB={1,3,4,5,6,7}b)

AB={3,4}

c)

AC={1,3,4,5,6,8}

d)

AC={4,6}6) Resposta X={1;3;5}.Soluo: Como XA= e XA=S, ento X=A =S-A=CsA

X={1;3;5}

7) Resposta X = {2;3;4}Soluo: Como AX, ento AX = X = {2;3;4}.

8) Resposta A.Soluo: De acordo com o enunciado, temos:

n(ABC) = 7n(AB) = a + 7 = 26 a = 19n(AC) = b + 7 = 10 b = 3

Assim sendo:

e portanto n[A (BC)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3Logo: n[A (BC)] = 29.

9) Soluo:

Sejam:A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = xB o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9C o conjunto dos meninos no-ruivos e n(C) = 13D o conjunto das meninas no-ruivas e n(D) = yDe acordo com o enunciado temos:

n(BD) = n(B) + n(D) = 9+ Y = 42 y = 23n(AD) = n(A) + n(B) = x + 9 = 24 x = 15

Assim sendoa) O nmero total de crianas da escola :

n(ABD)=n(A) + n(B) + n(C) + n(D)=15 + 9 + 13 + 33=70

b) O nmero de crianas que so meninas ou so ruivas :

n[(AB)(BD)]=n(A)+n(B)+n(C)+n(D)=15+9+33=57



10) Resposta C.Soluo:

Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manh e T o conjunto dos dias que choveu tarde. Chamando de M e T os conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos:

n(T) = 5 (cinco tardes sem chuva)n(M) = 6 (seis manhs sem chuva)n(M T) = 0 (pois quando chove pela manh, no chove

tarde)Da:n(M T) = n(M) + n(T) n(M T)7 = n(M) + n(T) 0Podemos escrever tambm:n(M`) + n(T`) = 5 + 6 = 11

Temos ento o seguinte sistema:n(M`) + n(T`) = 11n(M) + N(T) = 7

Somando membro a membro as duas igualdades, vem:n(M) + n(M`) + n(T) + n(T`) = 11 + 7 = 18

Observe que n(M) + n(M`) = total dos dias de frias = nAnalogamente, n(T) + n(T`) = total dos dias de frias = n

Portanto, substituindo vem:n + n = 182n = 18n = 9

Logo, foram nove dias de frias, ou seja, n = 9 dias.

Porcentagem

uma frao de denominador centesimal, ou seja, uma frao de denominador 100. Representamos porcentagem pelo smbolo % e l-se: por cento.

Deste modo, a frao 50100

uma porcentagem que podemos representar por 50%.

Forma Decimal: comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35.

75% = 75100

= 0,75

Clculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a frao

100p por V.

P% de V = 100p

. V

Exemplo 1

23% de 240 = 23100

. 240 = 55,2

Exemplo 2

Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a populao de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?

Resoluo: 67% de 56 000 = 67100 .56000 = 37520

Resposta: 37 520 pessoas.

Porcentagem que o lucro representa em relao ao preo de custo e em relao ao preo de venda

Chamamos de lucro em uma transao comercial de compra e venda a diferena entre o preo de venda e o preo de custo.

Lucro = preo de venda preo de custo

Caso essa diferena seja negativa, ela ser chamada de prejuzo.

Assim, podemos escrever:Preo de custo + lucro = preo de vendaPreo de custo prejuzos = preo de venda

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:

Lucro sobre o custo = lucro/preo de custo. 100%Lucro sobre a venda = lucro/preo de venda. 100%

Observao: A mesma anlise pode ser feita para o caso de prejuzo.

Exemplo

Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00.

Pede-se:- o lucro obtido na transao;- a porcentagem de lucro sobre o preo de custo;- a porcentagem de lucro sobre o preo de venda.

Resposta:Lucro = 800 500 = R$ 300,00

Lc = 500300 = 0,60 = 60%

Lv = 800300 = 0,375 = 37,5%

Aumento

Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor aps o aumento. Ento, A = p% de V =

100p . V

VA = V + A = V + 100p

. V

VA = ( 1 + 100p

) . V

Em que (1 + 100p

) o fator de aumento.



Desconto

Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor aps o desconto. Ento, D = p% de V =

100p . V

VD = V D = V 100p . V

VD = (1 100p ) . V

Em que (1 100

p) o fator de desconto.

Exemplo

Uma empresa admite um funcionrio no ms de janeiro sabendo que, j em maro, ele ter 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salrio desse funcionrio, a partir de maro, seja R$ 3 500,00, com que salrio deve admiti-lo?

Resoluo: VA = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V

V = 25004,1

3500=

Resposta: R$ 2 500,00

Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele ir sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor aps o primeiro aumento, temos:

V1 = V . (1 + 1001p )

Sendo V2 o valor aps o segundo aumento, temos:V2 = V1 . (1 +

1002p )

V2 = V . (1 + 1001p ) . (1 +

1002p )

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele ir sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.

Sendo V1 o valor aps o primeiro desconto, temos:V1 = V. (1 100

1p )

Sendo V2 o valor aps o segundo desconto, temos:

V2 = V1 . (1 1002p )

V2 = V . (1 1001p ) . (1

1002p )

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele ir sofrer um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.

Sendo V1 o valor aps o aumento, temos:V1 = V . (1+ 100

1p )

Sendo V2 o valor aps o desconto, temos:V2 = V1 . (1

1002p )

V2 = V . (1 + 1001p ) . (1

1002p )

Exemplo(VUNESP-SP) Uma instituio bancria oferece um rendi-

mento de 15% ao ano para depsitos feitos numa certa modalidade de aplicao financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicao. Ao final de n anos, o capital que esse cliente ter em reais, relativo a esse depsito, so:

Resoluo: VA = vp n.

1001

+

VA = 1. 15100

n

.1000 VA = 1 000 . (1,15)n VA = 1 000 . 1,15n VA = 1 150,00n

Exerccios

1. (Fuvest-SP) (10%)2 =a) 100%b) 20%c) 5%d) 1%e) 0,01%

2. Quatro quantos por cento de cinco?

3. (PUC-SP) O preo de venda de um bem de consumo R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preo de custo deste bem. O valor do preo de custo :

a) R$ 25,00b) R$ 70,50c) R$ 75,00d) R$ 80,00e) R$ 125,00

4. (VUNESP-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preo de custo) e passou a revend-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoes, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preo de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoes, o dono do supermercado teve, sobre o preo de custo:

a) Prejuzo de 10%.b) Prejuzo de 5%.c) Lucro de 20%.d) Lucro de 25%.e) Lucro de 30%.

5. (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de preo de 61% atravs de 2 aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, ento o segundo foi de:

a) 38%b) 40%c) 42%d) 44%e) 46%



6. (FUVEST-SP) Barnab tinha um salrio de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salrio atual :

a) 2,56 xb) 1,6xc) x + 160d) 2,6xe) 3,24x

7. (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% so equivalentes a um nico desconto de:

a) 25%b) 26%c) 44%d) 45%e) 50%

8. (FUVEST-SP) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relao ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano ser:

a) (0,7)7 Vb) (0,3)7 Vc) (0,7)8 Vd) (0,3)8 Ve) (0,3)9 V

9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para uma populao economicamente ativa de 500 000 habitantes. Qual era a taxa percentual de desempregados nessa cidade?

10. Se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem a 20 unidades, qual o total de bolinhas que est na piscina?

Respostas

1) Resposta D.Soluo:

10100 .

10100 =

1100 = 1%

2) Resposta 80%.Soluo:05 ----------- 100%04 ----------- x

5 . x = 4 . 100 5x = 400 x = 4005 = 80%

3) Resposta D.Soluo:Pcusto = 100,00

O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00

Pc + 0,25Pc = 100,001,25Pc = 100,00

Pc =

4) Resposta C.Soluo:X reais (preo de custo)

Lucro de 50%: x + 50% = x + 50100 =100x + 50100 =

10x + 510 =

2x +12 (di-

vidimos por 10 e depois dividimos por 5).

Suponhamos que o preo de custo seja 1, ento substituindo o x da equao acima, o preo de venda com 50% de lucro seria 1,50.

Se 1,50 100% X 20% fazemos esta regra de trs para achar os 20%:

20.1,50 100 = 0,30Ento no dia de promoo o valor ser de 1,20. Isto , 20% de

lucro em cima do valor de custo. Alternativa C.

5) Resposta B.Soluo: Se usarmos a frmula do aumento sucessivo citada

na matria ser:

V2 = V.(1 + 1001p ).(1

1002p ).

Substituindo V por um valor: 1, ento no final dos dois aumentos esse valor ser de 1,61=V2.

1,61 = 1.(1 + 15100

).(1 100

2p )

1,61 = (1 + 15100

).(1 100

2p ) (mmc de 100)

1,61 = (100115 ).(1

1002p )

1,61 = - 10000

)2100(115 P

16100 = -11.500 + 115P2

115P2 = -11.500 + 16100P2 = 4600/115P2 = 40%

6) Resposta E.Soluo:

SA = 1+80100

. 1+

80100

.x = 1,8.1,8.x = 3,24x

7) Resposta C.Soluo: Se usarmos a frmula do desconto sucessivo citada

na matria ser:

V2 = V.(1 - 1001p ).(1

1002p )

Substituindo V por um valor: 1, ficar:

V2 = 1.(1 - 20100

).(1 30100

)

V2 = (100 20100

).( 100 30100

)



V2 = (80100 ).(

70100 )

V2 = 100005600

V2 = 56100 que igual a 56%

100% - 56% = 44%

8) Resposta A.Soluo:

1 ano = 12 ano = 0,70 30% (0,21)3 ano = 0,49 30% (0,147)4 ano = 0,343 30 % (0,1029)5 ano = 0,2401 30% (0,07203)6 ano = 0,16807 30% (0,050421)7 ano = 0,117649 30% (0,0352947)8 ano = 0,08235430,0823543 = (0,7)7V

9) Resposta 5%.

Soluo: Em 500 000 habitantes 25 000 desempregados Em 100 000 habitantes 5 000 desempregados Em 100 habitantes 5 desempregados

5100 = 5%ou

25000500000 =

5100 = 5%

Portanto, 5% da populao da cidade desempregada.

10) Resposta 500 unidades.Soluo: 4% 20 bolinhas. Ento:20% 100 bolinhas100% 500 bolinhas

Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x equivalem a 20.

Como 4% = 4100 = 0,004

, podemos escrever:

0,04 . x = 20 x = 200,04 x = 500.

Logo, o total de bolinhas na piscina so 500 unidades.

Progresso Aritmtica (PA)

Podemos, no nosso dia a dia, estabelecer diversas sequncias como, por exemplo, a sucesso de cidades que temos numa viagem de automvel entre Braslia e So Paulo ou a sucesso das datas de aniversrio dos alunos de uma determinada escola.

Podemos, tambm, adotar para essas sequncias uma ordem numrica, ou seja, adotando a1 para o 1 termo, a2 para o 2 termo at an para o n-simo termo. Dizemos que o termo an tambm cha-mado termo geral das sequncias, em que n um nmero natural diferente de zero. Evidentemente, daremos ateno ao estudo das sequncias numricas.

As sequncias podem ser finitas, quando apresentam um lti-mo termo, ou, infinitas, quando no apresentam um ltimo termo. As sequncias infinitas so indicadas por reticncias no final.

Exemplos:- Sequncia dos nmeros primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13,

17, 19, ...). Notemos que esta uma sequncia infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.

- Sequncia dos nmeros mpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta uma sequncia infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc.

- Sequncia dos algarismos do sistema decimal de numerao: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta uma sequncia finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 = 9.

1. IgualdadeAs sequncias so apresentadas com os seus termos entre

parnteses colocados de forma ordenada. Sucesses que apresen-tarem os mesmos termos em ordem diferente sero consideradas sucesses diferentes.

Duas sequncias s podero ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos termos, na mesma ordem.

ExemploA sequncia (x, y, z, t) poder ser considerada igual sequncia

(5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 5; y = 8; z = 15; e t = 17.Notemos que as sequncias (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1) so

diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles esto em ordem diferente.

2. Formula Termo GeralPodemos apresentar uma sequncia atravs de uma determina

o valor de cada termo an em funo do valor de n, ou seja, dependendo da posio do termo. Esta formula que determina o valor do termo an e chamada formula do termo geral da sucesso.

Exemplos - Determinar os cincos primeiros termos da sequncia cujo

termo geral e igual a:an = n 2n,com n N* a

Teremos:A1 = 1

2 2 . 1 a a1 = 1A2 = 2

2 2 . 2 a a2 = 0A3 = 3

2 2 . 3 a a3 = 3A4 = 4

2 4 . 2 a a4 = 8A5 = 5

5 5 . 2 a a5 = 15

- Determinar os cinco primeiros termos da seqncia cujo termo geral igual a:

an = 3 . n + 2, com n N*.a1 = 3 . 1 + 2 a a1 = 5a2 = 3 . 2 + 2 a a2 = 8a3 = 3 . 3 + 2 a a3 = 11a4 = 3 . 4 + 2 a a4 = 14a5 = 3 . 5 + 2 a a5 = 17



- Determinar os termos a12 e a23 da sequncia cujo termo geral igual a:

an = 45 4 + n, com n N*.

Teremos:a12 = 45 4 . 12 a a12 = -3a23 = 45 4 . 23 a a23 = -47

3. Lei de RecorrnciasUma sequncia pode ser definida quando oferecemos o valor

do primeiro termo e um caminho (uma formula) que permite a determinao de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de apresentao de uma sucesso dita de recorrncias.

Exemplos- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequncia em

que:a1 = 3 e an+1 = 2 . an - 4, em que n N*.Teremos:a1 = 3a2 = 2 . a1 4 a a2 = 2 . 3 4 a a2 = 2a3 = 2 . a2 4 a a3 = 2 . 2 - 4 a a3 = 0a4 = 2 . a3 4 a a4 = 2 . 0 - 4 a a4 = -4a5 = 2 . a4 4 a a5 = 2 .(-4) 4 a a5 = -12

- Determinar o termo a5 de uma sequncia em que:a1 = 12 e an+ 1 = an 2, em que n N*.

a2 = a1 2 a2 = 12 2 a2=10a3 = a2 2 a3 = 10 2 a3 = 8a4 = a3 2 a4 = 8 2 a4 = 6a5 = a4 2 a5 = 6 2 a5 = 4

Observao 1

Devemos observar que a apresentao de uma sequncia atra-vs do termo geral mais pratica, visto que podemos determinar um termo no meio da sequncia sem a necessidade de determi-narmos os termos intermedirios, como ocorre na apresentao da sequncia atravs da lei de recorrncias.

Observao 2

Algumas sequncias no podem, pela sua forma desorgani-zada de se apresentarem, ser definidas nem pela lei das recor-rncias, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequncia como esta a sucesso de nmeros naturais primos que j destruiu todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos.

4. Artifcios de Resoluo

Em diversas situaes, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PA, possvel, atravs de artifcios de resoluo, tornar o procedimento mais simples:

PA com trs termos: (a r), a e (a + r), razo igual a r.PA com quatro termos: (a 3r), (a r), (a + r) e (a + 3r), razo

igual a 2r.PA com cinco termos: (a 2r), (a r), a, (a + r) e (a + 2r),

razo igual a r.

Exemplo

- Determinar os nmeros a, b e c cuja soma , igual a 15, o produto igual a 105 e formam uma PA crescente.

Teremos:Fazendo a = (b r) e c = (b + r) e sendo a + b + c = 15, teremos:(b r) + b + (b + r) = 15 3b = 15 b = 5.

Assim, um dos nmeros, o termo mdio da PA, j conhecido.Dessa forma a sequncia passa a ser:(5 r), 5 e ( 5 + r ), cujo produto igual a 105, ou seja:

(5 r) .5 . (5 + r) = 105 52 r2 = 21r2 = 4 2 ou r = -2.Sendo a PA crescente, ficaremos apenas com r= 2.Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c= 7.

5. Propriedades

P1: para trs termos consecutivos de uma PA, o termo mdio a media aritmtica dos outros dois termos.

Exemplo

Vamos considerar trs termos consecutivos de uma PA: an-1, an e an+1. Podemos afirmar que:

I - an = an-1 + rII - an = an+ 1 r

Fazendo I + II, obteremos:2an = an-1 + r + an +1 - r2an = an -1+ an + 1

Logo: an = an-1 + an +12

Portanto, para trs termos consecutivos de uma PA o termo mdio a media aritmtica dos outros dois termos.

6. Termos Equidistantes dos Extremos

Numa sequncia finita, dizemos que dois termos so equidis-tantes dos extremos se a quantidade de termos que precederem o primeiro deles for igual quantidade de termos que sucederem ao outro termo. Assim, na sucesso:

(a1, a2, a3, a4,..., ap,..., ak,..., an-3, an-2, an-1, an), temos:

a2 e an-1 so termos equidistantes dos extremos;a3 e an-2 so termos equidistantes dos extremos;a4 an-3 so termos equidistantes dos extremos.

Notemos que sempre que dois termos so equidistantes dos extremos, a soma dos seus ndices igual ao valor de n + 1. Assim sendo, podemos generalizar que, se os termos a

p e a

k so

equidistantes dos extremos, ento: p + k = n+1.



Propriedade

Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes dos extremos igual soma destes extremos.

Exemplo

Sejam, numa PA de n termos, ap e a

k termos equidistantes dos

extremos.

Teremos, ento:I - a

p = a1 + (p 1) . r a ap = a1 + p . r r

II - ak = a1 + (k 1) . r a ak = a1 + k . r r

Fazendo I + II, teremos:A

p + a

k = a1 + p . r r + a1 + k . r r

Ap + a

k = a1 + a1 + (p + k 1 1) . r

Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:a

p + a

k = a1 + a1 + (n + 1 1) . r

ap + a

k = a1 + a1 + (n 1) . r

ap + a

k = a1 + an

Portanto numa PA com n termos, em que n um numero mpar, o termo mdios (am) a media aritmtica dos extremos.

Am =a1 + an2

7. Soma dos n Primeiros Termos de uma PA

Vamos considerar a PA (a1, a2, a3,,an-2, an-1,an ) e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:

Sn = a1 + a2 + a3 + + an-2 + an-1 + an (igualdade I)

Podemos escrever tambm:Sn = an + an-1 + an-2 + ...+ a3 + a2 + a1 (igualdade II)

Somando-se I e II, temos:2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + + (an-2 + a3) + (an-1

+ a2) + (an + a1)

Considerando que todas estas parcelas, colocadas entre parnteses, so formadas por termos equidistantes dos extremos e que a soma destes termos igual soma dos extremos, temos:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + + + (a1 + an) 2Sn = ( a1 + an) . nE, assim, finalmente:

Sn =(a1 + an ).n

2Exemplo

- Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2 , 5, 8,...).

Dados: a1 = 2 r = 5 2 = 3

Calculo de a60:A60 = a1 + 59r a60 = 2 + 59 . 3 a60 = 2 + 177 a60 = 179

Calculo da soma:

Sn = (a1 + an )n2 S60 =(a1 + a60 ).60

2S60 =

(2 +179).602

S60 = 5430

Resposta: 5430

Progresso Geomtrica (PG)

PG uma sequncia numrica onde cada termo, a partir do segundo, o anterior multiplicado por uma constante q chamada razo da PG.

an+1 = an . qCom a1 conhecido e n N*

Exemplos- (3, 6, 12, 24, 48,...) uma PG de primeiro termo a1 = 3 e

razo q = 2.

- (-36, -18, -9, 92

, 94

,...) uma PG de primeiro termo a1= -36 e razo q = 1

2.

- (15, 5, 53

, 59

,...) uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razo q = 1

3.

- (-2, -6, -18, -54, ...) uma PG de primeiro termo a1 = -2 e razo q = 3.

- (1, -3, 9, -27, 81, -243, ...) uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razo q = -3.

- (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razo q = 1.

- (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razo q = 0.

- (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razo q qualquer.

Observao: Para determinar a razo de uma PG, basta efetuar o quociente entre dois termos consecutivos: o posterior dividido pelo anterior.

q = an +1an(an 0)

ClassificaoAs classificaes geomtricas so classificadas assim:- Crescente: Quando cada termo maior que o anterior. Isto

ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1.- Decrescente: Quando cada termo menor que o anterior. Isto

ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1.- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrario ao

do anterior. Isto ocorre quando q < 0.- Constante: Quando todos os termos so iguais. Isto ocorre

quando q = 1. Uma PG constante tambm uma PA de razo r = 0. A PG constante tambm chamada de PG estacionaria.

- Singular: Quando zero um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.



Formula do Termo GeralA definio de PG est sendo apresentada por meio de uma

lei de recorrncias, e nos j aprendemos nos mdulos anteriores que a formula do termo geral mais pratica. Por isso, estaremos, neste item, procurando estabelecer, a partir da lei de recorrncias, a frmula do termo geral da progresso geomtrica.

Vamos considerar uma PG de primeiro termo a1 e razo q. Assim, teremos:

a2 = a1 . qa3 = a2 . q = a1 . q

2

a4 = a3 . q = a1 . q3

a5 = a4 . q = a1 . q4

. .

. .

. .an= a1 . q

n-1

Exemplos- Numa PG de primeiro termo a1 = 2 e razo q = 3, temos o

termo geral na igual a:

an = a1 . qn-1 an = 2 . 3

n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a5 desta PG, faremos:A5 = 2 . 3

4 a5 = 162

- Numa PG de termo a1 = 15 e razo q = , temos o termo geral na igual a:

an = a1 . qn-1 an = 15 .

n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a6 desta PG, faremos:

A6 = 15 . (1).52 a6 =

581

- Numa PG de primeiro termo a1 = 1 e razo = -3 temos o termo geral na igual a:

an = a1 . qn-1 an = 1 . (-3)

n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a4 desta PG, faremos:A4 = 1 . (-3)

3 a4 = -27

Artifcios de ResoluoEm diversas situaes, quando fazemos uso de apenas alguns

elementos da PG, possvel atravs de alguns elementos de resoluo, tornar o procedimento mais simples.

PG com trs termos:

aq

a; aq

PG com quatro termos:aq3 ;

qq ; aq; aq

3

PG com cinco termos:

aq2 ;

qq

; a; aq; aq2

ExemploConsidere uma PG crescente formada de trs nmeros.

Determine esta PG sabendo que a soma destes nmeros 13 e o produto 27.

Vamos considerar a PG em questo formada pelos termos a, b e c, onde a = e c = b . q.

Assim,

bq

. b . bq = 27 b3 = 27 b = 3.

Temos:3q + 3 +3q = 13 3q

2 10q + 3 = 0 a

q = 3 ou q = 13

Sendo a PG crescente, consideramos apenas q = 3. E, assim, a nossa PG dada pelos nmeros: 1, 3 e 9.

PropriedadesP1: Para trs termos consecutivos de uma PG, o quadrado do

termo mdio igual ao produto dos outros dois.

ExemploVamos considerar trs termos consecutivos de uma PG: an-1, an

e an+1. Podemos afirmar que:

I an = an-1 . q eII an = an+1

q

Fazendo I . II, obteremos:

(an)2 = (an-1 . q). (

an+1q ) a (an )

2 = an-1 . an+1

Logo: (an)2 = an-1 . an+1

Observao: Se a PG for positive, o termo mdio ser a media geomtrica dos outros dois:

an = an-1 . an+1

P2: Numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos igual ao produto destes extremos.

ExemploSejam, numa PG de n termos, a

p e a

k dois termos equidistantes

dos extremos.

Teremos, ento:I a

p = a1 . q

p-1

II ak = a1 . q

k-1

Multiplicando I por II, ficaremos com:a

p . a

k = a1 . q

p-1 . a1 . qk-1

ap . a

k = a1 . a1 . q

p-1+k-1

Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:a

p . a

k = a1 . an



Portanto, numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos igual ao produto destes extremos.

Observao: Numa PG positiva, com n termos, onde n um numero impar, o termo mdio (am) a media geomtrica dos extremos ou de 2 termos equidistantes dos extremos.

am = a1 . an

Soma dos termos de uma PG

Soma dos n Primeiros Termos de uma PG

Vamos considerar a PG (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an), com q diferente de 1 e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:

Sn = a1 + a2 + a3 + ...+an-2 + an-1 + an ( igualdade I)

Podemos escrever, multiplicando-se, membro a membro, a igualdade ( I ) por q:

q . Sn = q . a1 + q . a2 + q . a3 + ...+ q . an-2 + + q . an-1 + q . an

Utilizando a formula do termo geral da PG, ou seja, an = a1 . qn-1, teremos:

q . Sn = a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an + a1 . qn

(igualdade II)

Subtraindo-se a equao I da equao II, teremos:

q . Sn Sn = a1 . qn a1 sn . (q 1) =

= a1 . (qn 1)

E assim: Sn =a1.(qn 1)q 1

Se tivssemos efetuado a subtrao das equaes em ordem inversa, a frmula da soma dos termos da PG ficaria:

Sn =a1.(1+ qn )1 q

Evidentemente que por qualquer um dos caminhos o resultado final o mesmo. somente uma questo de forma de apresentao.

Observao: Para q = 1, teremos sn = n . a1

Srie Convergente PG ConvergenteDada a sequncia ( a1, a2, a3, a4, a5,..., an-2, an-1, an), chamamos

de serie a sequncia S1, S2, S3, S4, S5,..., Sn-2, sn-1, sn,tal que:

S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3S4 = a1 + a2 + a3 + a4S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5...Sn-2 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2Sn-1 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1 + an

Vamos observar como exemplo, numa PG com primeiro termo a1 = 4 e razo q = , srie que ela vai gerar.

Os termos que vo determinar a progresso geomtrica so: (4, 2, 1, 1

2 , 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1

128 ,1256 ,

1512

...)

E, portanto, a srie correspondente ser:

S1 = 4S2 = 4 + 2 = 6S3 = 4 + 2 + 1 = 7

S4 = 4 + 2 + 1 + 12 =

152 = 7, 5

S5 = 4 + 2 + 1 + 12 +

14 =

314 = 7, 75

S6 = 4 + 2 + 1 + 12 +

14 +

18 =

638 = 7, 875

S7 = 4 + 2 + 1 + 12 +

14 +

18 +

116 =

12716 = 7, 9375

S8 = 4 + 2 + 1 + 12 +

14 +

18 +

116 +

132 =

25532 = 7, 96875

S9 = 4 + 2 + 1 + 12 +

14 +

18 +

116 +

132 +

164 =

51164 = 7, 984375

S10 = 4 + 2 + 1 + 12 +

14 +

18 +

116 +

132 +

164 +

1128 =

1023128 = 7, 9921875

Devemos notar que a cada novo termo calculado, na PG, o seu valor numrico cada vez mais se aproxima de zero. Dizemos que esta uma progresso geomtrica convergente.

Por outro lado, na serie, cada vez menor a parcela que se acrescenta. Desta forma, o ultimo termos da serie vai tendendo a um valor que parece ser o limite para a srie em estudo. No exemplo numrico, estudado anteriormente, nota-se claramente que este valor limite o numero 8.

Bem, vamos dar a esta discusso um carter matemtico. claro que, para a PG ser convergente, necessrio que cada

termo seja, um valor absoluto, inferior ao anterior a ele. Assim, temos que:

PG convergente | q | < 1ouPG convergente -1 < 1

Resta estabelecermos o limite da serie, que o Sn para quando n tende ao infinito, ou seja, estabelecermos a soma dos infinitos termos da PG convergente.

Vamos partir da soma dos n primeiros termos da PG:

Sn =a1.(1+ qn )1 q



Estando q entre os nmeros -1e 1 e, sendo n um expoente que tende a um valor muito grande, pois estamos somando os infinitos termos desta PG, fcil deduzir que qn vai apresentando um valor cada vez mais prximo de zero. Para valores extremamente grandes de n no constitui erro considerar que qn igual a zero. E, assim, teremos:

S = a1

1 qObservao: Quando a PG no singular (sequncia com

termos no nulos) e a razo q de tal forma que q | 1, a serie divergente. Sries divergentes no apresentam soma finita.

Exemplos- A medida do lado de um tringulo equiltero 10. Unindo-

se os pontos mdios de seus lados, obtm-se o segundo tringulo equiltero. Unindo-se os pontos mdios dos lados deste novo triangulo equiltero, obtm-se um terceiro, e assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos permetros de todos esses tringulos.

Soluo:

Temos: permetro do 1 triangulo = 30 permetro do 2 triangulo = 15 permetro do 3 triangulo = 15

2Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG infinita 30,

15, 152

,... na qual a1 = 30 e q =. 12

S = a1 s =301 q =

301 12

= 60.

Exerccios

1. Uma progresso aritmtica e uma progresso geomtrica tm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus tercei-ros termos so estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progresso aritmtica excede o segundo termo da progresso geomtrica em 2. Ento, o terceiro termo das progresses :

a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18

2. O valor de n que torna a sequncia (2 + 3n; 5n; 1 4n) uma progresso aritmtica pertence ao intervalo:

a) [ 2, 1]b) [ 1, 0]c) [0, 1]d) [1, 2]e) [2, 3]

3. Os termos da sequncia (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; ) obe-decem a uma lei de formao. Se an, em que n pertence a N*, o termo de ordem n dessa sequncia, ento a30 + a55 igual a:

a) 58b) 59c) 60d) 61e) 62

4. A soma dos elementos da sequncia numrica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; ) :

a) 3,1b) 3,9c) 3,99d) 3, 999e) 4

5. A soma dos vinte primeiros termos de uma progresso arit-mtica -15. A soma do sexto termo dessa PA., com o dcimo quinto termo, vale:

a) 3,0b) 1,0c) 1,5d) -1,5e) -3,0

6. Os nmeros que expressam os ngulos de um quadriltero, esto em progresso geomtrica de razo 2. Um desses ngulos mede:

a) 28b) 32c) 36d) 48e) 50

7. Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a ltima parcela contm n algarismos. Nestas condies, o valor de 10n+1 - 9(S + n) :

a) 1b) 10c) 100d) -1e) -10

8. Se a soma dos trs primeiros termos de uma PG decrescente 39 e o seu produto 729, ento sendo a, b e c os trs primeiros termos, pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2.

9. O limite da expresso onde x po-sitivo, quando o nmero de radicais aumenta indefinidamente igual a:

a) 1/xb) xc) 2xd) n.xe) 1978x

10. Quantos nmeros inteiros existem, de 1000 a 10000, que no so divisveis nem por 5 nem por 7 ?



Respostas

1) Resposta D.Soluo:Sejam (a1, a2, a3,) a PA de r e (g1, g2, g3, ) a PG de razo q.

Temos como condies iniciais:1 - a1 = g1 = 42 - a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g33 - a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as frmulas gerais dos ter-mos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equaes:

4 - a3 = a1 + 2r e g3 = g1 . q2 4 + 2r = 4q2

5 - a2 = a1 + r e g2 = g1 . q 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equao (5), o valor de r em funo de q e substituindo r em (4) vem:

5 - r = 4q + 2 4 r = 4q 24 - 4 + 2(4q 2) = 4q2 4 + 8q 4 = 4q2 4q2 8q = 0 q(4q 8) = 0 q = 0 ou 4q 8 = 0 q = 2

Como g3 > 0, q no pode ser zero e ento q = 2. Para ob-ter r basta substituir q na equao (5):

r = 4q 2 r = 8 2 = 6Para concluir calculamos a3 e g3:a3 = a1 + 2r a3 = 4 + 12 = 16g3 = g1.q

2 g3 = 4.4 = 16

2) Resposta B.Soluo: Para que a sequncia se torne uma PA de razo r

necessrio que seus trs termos satisfaam as igualdades (aplica-o da definio de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r(2) 1 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):(1) r = -5n 2 3n = -8n 2(2) 1 4n = -5n 8n 2 1 4n = -13n 2 13n 4n = -2 1 9n = -3 n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta a b.

3) Resposta B.Soluo: Primeiro, observe que os termos mpares da sequn-

cia uma PA de razo 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; ). Da mesma forma os termos pares uma PA de razo 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; ).

Assim, as duas PA tm como termo geral o seguinte formato:(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formao da sequncia, que est intrinsecamente relacionada s duas progresses da seguinte forma:

- Se n (ndice da sucesso) impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2;

- Se n par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n mparan = 8 + (n/2) - 1 se n parLogo:a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 ea55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37

E, portanto:a30 + a55 = 22 + 37 = 59.

4) Resposta E.Soluo: Sejam S as somas dos elementos da sequncia e S1

a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;) de razo q = 10 - 1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S1Como -1 < q < 1 podemos aplicar a frmula da soma de uma

PG infinita para obter S1:S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 S = 3 + 1 = 4

5) Resposta D.Soluo: Aplicando a frmula da soma dos 20 primeiros ter-

mos da PA:S20 = 20(a1 + a20)/2 = -15Na PA finita de 20 termos, o sexto e o dcimo quinto so equi-

distantes dos extremos, uma vez que:15 + 6 = 20 + 1 = 21E, portanto:a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:20(a6 + a15)/2 = -15 10(a6 + a15) = -15 a6 + a15 = -15/10

= -1,5.

6) Resposta D.Soluo: Seja x o menor ngulo interno do quadriltero em

questo. Como os ngulos esto em Progresso Geomtrica de ra-zo 2, podemos escrever a PG de 4 termos:

(x, 2x, 4x, 8x).Ora, a soma dos ngulos internos de um quadriltero vale

360.

Logo,x + 2x + 4x + 8x = 36015.x = 360

Portanto, x = 24. Os ngulos do quadriltero so, portan-to: 24, 48, 96 e 192.

O problema pede um dos ngulos. Logo, alternativa D.

7) Resposta B.Soluo: Observe que podemos escrever a soma S como:S = (10 1) + (100 1) + (1000 1) + (10000 1) + ... +

(10n 1)S = (10 1) + (102 1) + (103 1) + (104 1) + ... + (10n 1)Como existem n parcelas, observe que o nmero ( 1) soma-

do n vezes, resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) n



Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n, que

uma PG de primeiro termo a1 = 10, razo q = 10 e ltimo termo an = 10

n.Teremos:Sn = (an.q a1) / (q 1) = (10

n . 10 10) / (10 1) = (10n+1 10) / 9

Substituindo em S, vem:S = [(10n+1 10) / 9] n

Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)Temos que S + n = [(10n+1 10) / 9] n + n = (10n+1 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:10n+1 9(S + n) = 10n+1 9(10n+1 10) / 9 = 10n+1 (10n+1 10)

= 10.

8) Resposta 819.Soluo: Sendo q a razo da PG, poderemos escrever a sua

forma genrica: (x/q, x, xq).Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:x/q . x . xq = 729 de onde conclumos que: x3 = 729 = 36 = 33 .

33 = 93 , logo, x = 9.

Portanto a PG do tipo: 9/q, 9, 9q dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q 30 = 0

Multiplicando ambos os membros por q, fica: 9 + 9q2 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica: 3q2 10q + 3 = 0, que uma equao do segundo grau.

Resolvendo a equao do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como dito que a PG decrescente, devemos considerar ape-nas o valor

q = 1/3, j que para q = 3, a PG seria crescente.

Portanto, a PG : 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo:a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819.

9) Resposta B.Soluo: Observe que a expresso dada pode ser escrita como:

x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...

O expoente a soma dos termos de uma PG infinita de primei-ro termo a1 = 1 /2 e razo q = 1 /2.

Logo, a soma valer:S = a1 / (1 q) = (1 /2) / 1 (1 /2) = 1Ento, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x

10) Resposta 6171.Soluo: Dados:M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000.M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.M(1) = 1, 2, ..., 10000.

Para mltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r 10000 = 1000 + (n - 1). 5 n = 9005/5 n = 1801.

Para mltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r 9996 = 1001 + (n - 1). 7 n = 9002/7 n = 1286.

Para mltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r 9975 = 1015 + (n - 1).35 n = 8995/35 n = 257.

Para mltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r 10000 = 1000 + (n - 1).1 n = 9001.

Sabemos que os mltiplos de 35 so mltiplos comuns de 5 e 7, isto , eles aparecem no conjunto dos mltiplos de 5 e no conjunto dos mltiplos de 7 (da adicionarmos uma vez tal conjunto de mltiplos).

Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171

Lgica Sequencial

O Raciocnio uma operao lgica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou mais proposies, para concluir atravs de mecanismos de comparaes e abstraes, quais so os dados que levam s respostas verdadeiras, falsas ou provveis. Foi pelo processo do raciocnio que ocorreu o desenvolvimento do mtodo matemtico, este considerado instrumento puramente terico e dedutivo, que prescinde de dados empricos. Logo, resumidamente o raciocnio pode ser considerado tambm um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formao de conceitos e da soluo de problemas, sendo parte do pensamento.

Sequncias Lgicas

As sequncias podem ser formadas por nmeros, letras, pessoas, figuras, etc. Existem vrias formas de se estabelecer uma sequncia, o importante que existam pelo menos trs elementos que caracterize a lgica de sua formao, entretanto algumas sries necessitam de mais elementos para definir sua lgica. Algumas sequncias so bastante conhecidas e todo aluno que estuda lgica deve conhec-las, tais como as progresses aritmticas e geomtricas, a srie de Fibonacci, os nmeros primos e os quadrados perfeitos.

Sequncia de Nmeros

Progresso Aritmtica: Soma-se constantemente um mesmo nmero.

Progresso Geomtrica: Multiplica-se constantemente um mesmo nmero.

Incremento em Progresso: O valor somado que est em progresso.



Srie de Fibonacci: Cada termo igual a soma dos dois anteriores.

1 1 2 3 5 8 13

Nmeros Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais.

2 3 5 7 11 13 17

Quadrados Perfeitos: Nmeros naturais cujas razes so naturais.

1 4 9 16 25 36 49

Sequncia de Letras

As sequncias de letras podem estar associadas a uma srie de nmeros ou no. Em geral, devemos escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou no, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para entender a lgica proposta.

A C F J O U

Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses nmeros esto em progresso.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

B1 2F H4 8L N16 32R T64

Nesse caso, associou-se letras e nmeros (potncias de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 1, 3, 1, 3 e 1 posies.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

Sequncia de Pessoas

Na srie a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que esto em uma posio mltipla de trs (3, 6, 9, 12,...) sero mulheres e a posio dos braos sempre alterna, ficando para cima em uma posio mltipla de dois (2, 4, 6, 8,...). Sendo assim, a sequncia se repete a cada seis termos, tornando possvel determinar quem estar em qualquer posio.

Sequncia de Figuras

Esse tipo de sequncia pode seguir o mesmo padro visto na sequncia de pessoas ou simplesmente sofrer rotaes, como nos exemplos a seguir.

Sequncia de Fibonacci

O matemtico Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, props no sculo XIII, a sequncia numrica: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ). Essa sequncia tem uma lei de formao simples: cada elemento, a partir do terceiro, obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim por diante. Desde o sculo XIII, muitos matemticos, alm do prprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da sequncia que foi proposta, e foram encontradas inmeras aplicaes para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenmenos naturais.

Veja alguns exemplos das aplicaes da sequncia de Fibonacci e entenda porque ela conhecida como uma das maravilhas da Matemtica. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um retngulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retngulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retngulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retngulo 5 x 3. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retngulos formam a sequncia de Fibonacci.

Se utilizarmos um compasso e traarmos o quarto de circunferncia inscrito em cada quadrado, encontraremos uma espiral formada pela concordncia de arcos cujos raios so os elementos da sequncia de Fibonacci.



O Partenon que foi construdo em Atenas pelo clebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do edifcio, hoje em runas, era um retngulo que continha um quadrado de lado igual altura. Essa forma sempre foi considerada satisfatria do ponto de vista esttico por suas propores sendo chamada retngulo ureo ou retngulo de ouro.

Como os dois retngulos indicados na figura so semelhantes temos: (1).

Como: b = y a (2). Substituindo (2) em (1) temos: y2 ay a2 = 0. Resolvendo a equao:

em que no convm.

Logo:

Esse nmero conhecido como nmero de ouro e pode ser representado por:

Todo retngulo e que a razo entre o maior e o menor lado for igual a chamado retngulo ureo como o caso da fachada do Partenon.

As figuras a seguir possuem nmeros que representam uma sequncia lgica. Veja os exemplos:

Exemplo 1

A sequncia numrica proposta envolve multiplicaes por 4.6 x 4 = 2424 x 4 = 9696 x 4 = 384384 x 4 = 1536

Exemplo 2

A diferena entre os nmeros vai aumentando 1 unidade.13 10 = 317 13 = 422 17 = 528 22 = 635 28 = 7

Exemplo 3

Multiplicar os nmeros sempre por 3.1 x 3 = 33 x 3 = 99 x 3 = 2727 x 3 = 8181 x 3 = 243243 x 3 = 729729 x 3 = 2187

Exemplo 4



A diferena entre os nmeros vai aumentando 2 unidades.24 22 = 228 24 = 434 28 = 642 34 = 852 42 = 1064 52 = 1278 64 = 14

QUESTES

01. Observe atentamente a disposio das cartas em cada linha do esquema seguinte:

A carta que est oculta :

(A) (B) (C)

(D) (E)

02. Considere que a sequncia de figuras foi construda segundo um certo critrio.

Se tal critrio for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de nmero 15 dever ser:

(A) 69 (B) 67 (C) 65 (D) 63 (E) 61

03. O prximo nmero dessa sequncia lgica : 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ...

(A) 800 (B) 790 (C) 780 (D) 770

04. Na sequncia lgica de nmeros representados nos hexgonos, da figura abaixo, observa-se a ausncia de um deles que pode ser:

(A) 76(B) 10 (C) 20 (D) 78

05. Uma criana brincando com uma caixa de palitos de fsforo constri uma sequncia de quadrados conforme indicado abaixo:

1 2 3

.............

Quantos palitos ele utilizou para construir a 7 figura? (A) 20 palitos (B) 25 palitos (C) 28 palitos (D) 22 palitos

06. Ana fez diversas planificaes de um cubo e escreveu em cada um, nmeros de 1 a 6. Ao montar o cubo, ela deseja que a soma dos nmeros marcados nas faces opostas seja 7. A nica alternativa cuja figura representa a planificao desse cubo tal como deseja Ana :

(A)

1 3 62 4 5



(B)4

5 1 2 36

(C)5

6 4 1 23

(D)2

3 6 14 5

(E)3

2 1 6 54

07. As figuras da sequncia dada so formadas por partes iguais de um crculo.

Continuando essa sequncia, obtm-se exatamente 16 crculos completos na:

(A) 36 figura(B) 48 figura(C) 72 figura(D) 80 figura(E) 96 figura

08. Analise a sequncia a seguir:

Admitindo-se que a regra de formao das figuras seguintes permanea a mesma, pode-se afirmar que a figura que ocuparia a 277 posio dessa sequncia :

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

09. Observe a sequncia: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual o prximo nmero?

(A) 20 (B) 21 (C) 100 (D) 200

10. Observe a sequncia: 3,13, 30, ... Qual o prximo nmero?

(A) 4 (B) 20 (C) 31 (D) 21

11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critrio.

LACRAO calAMOSTRA somaLAVRAR ?

Segundo o mesmo critrio, a palavra que dever ocupar o lugar do ponto de interrogao :

(A) alar(B) rala(C) ralar(D) larva(E) arval

12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padro.

Segundo o padro estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogao :



(A) (B) (C)

(D) (E)

13. Observe que na sucesso seguinte os nmeros foram colocados obedecendo a uma lei de formao.

Os nmeros X e Y, obtidos segundo essa lei, so tais que X + Y igual a:

(A) 40(B) 42(C) 44(D) 46(E) 48

14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de tringulo, segundo determinado critrio.

Considerando que na ordem alfabtica usada so excludas as letra K, W e Y, a letra que substitui corretamente o ponto de interrogao :

(A) P(B) O(C) N(D) M(E) L

15. Considere que a sequncia seguinte formada pela sucesso natural dos nmeros inteiros e positivos, sem que os algarismos sejam separados.

1234567891011121314151617181920...

O algarismo que deve aparecer na 276 posio dessa sequncia :

(A) 9(B) 8(C) 6(D) 3(E) 1

16. Em cada linha abaixo, as trs figuras foram desenhadas de acordo com determinado padro.

Segundo esse mesmo padro, a figura que deve substituir o ponto de interrogao :

(A) (B)

(C) (D)

(E)

17. Observe que, na sucesso de figuras abaixo, os nmeros que foram colocados nos dois primeiros tringulos obedecem a um mesmo critrio.

Para que o mesmo critrio seja mantido no tringulo da direita, o nmero que dever substituir o ponto de interrogao :

(A) 32(B) 36(C) 38(D) 42(E) 46

18. Considere a seguinte sequncia infinita de nmeros: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O nmero que preenche adequadamente a quarta posio dessa sequncia :

(A) 36,(B) 40,(C) 42,(D) 44,(E) 48



19. Observando a sequncia (1, , , , , ...) o prximo numero ser:

(A)

(B)

(C)

(D)

20. Considere a sequncia abaixo: BBB BXB XXBXBX XBX XBXBBB BXB BXX

O padro que completa a sequncia :

(A) (B) (C)XXX XXB XXXXXX XBX XXXXXX BXX XXB

(D) (E) XXX XXXXBX XBXXXX BXX

21. Na srie de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro igual soma de seus dois termos precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definio, so 0 e 1, o sexto termo da srie :

(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(E) 6

22. Nosso cdigo secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte modo: cada letra substituda pela letra que ocupa a quarta posio depois dela. Ento, o A vira E, o B vira F, o C vira G e assim por diante. O cdigo circular, de modo que o U vira A e assim por diante. Recebi uma mensagem em cdigo que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o cdigo e li:

(A) FAZ AS DUAS;(B) DIA DO LOBO;(C) RIO ME QUER;(D) VIM DA LOJA;(E) VOU DE AZUL.

23. A sentena Social est para laicos assim como 231678 est para... melhor completada por:

(A) 326187;(B) 876132;(C) 286731;(D) 827361;(E) 218763.

24. A sentena Salta est para Atlas assim como 25435 est para... melhor completada pelo seguinte nmero:

(A) 53452;(B) 23455;(C) 34552;(D) 43525;(E) 53542.

25. Repare que com um nmero de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 nmeros de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um nmero de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetio. Veja abaixo alguns nmeros desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de nmeros de dois algarismos que esse nmero tem em comum com o nmero procurado.

Nmero dado

Quantidade de nmeros de 2 algarismos em comum

48.765 186.547 087.465 248.675 1

O nmero procurado :(A) 87456(B) 68745(C) 56874(D) 58746(E) 46875

26. Considere que os smbolos e que aparecem no quadro seguinte, substituem as operaes que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita.

36 4 5 = 1448 6 9 = 1754 9 7 = ?

Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogao dever ser substitudo pelo nmero:

(A) 16(B) 15(C) 14(D) 13(E) 12

27. Segundo determinado critrio, foi construda a sucesso seguinte, em que cada termo composto de um nmero seguido de uma letra: A1 E2 B3 F4 C5 G6 .... Considerando que no alfabeto usado so excludas as letras K, Y e W, ento, de acordo com o critrio estabelecido, a letra que dever anteceder o nmero 12 :

(A) J(B) L(C) M(D) N(E) O



28. Os nomes de quatro animais MAR, PERU, TATU e URSO devem ser escritos nas linhas da tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal.

Excludas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente aos nmeros inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos nmeros que correspondem s letras que compem o nome do animal :

(A) 37(B) 39(C) 45(D) 49(E) 51

Nas questes 29 e 30, observe que h uma relao entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A mesma relao dever existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogao. Considere que a ordem alfabtica adotada a oficial e exclui as letras K, W e Y.

29. CASA: LATA: LOBO: ?(A) SOCO(B) TOCO(C) TOMO(D) VOLO(E) VOTO

30. ABCA: DEFD: HIJH: ?(A) IJLI(B) JLMJ(C) LMNL(D) FGHF(E) EFGE

31. Os termos da sucesso seguinte foram obtidos considerando uma lei de formao (0, 1, 3, 4, 12, 123,...). Segundo essa lei, o dcimo terceiro termo dessa sequncia um nmero:

(A) Menor que 200.(B) Compreendido entre 200 e 400.(C) Compreendido entre 500 e 700.(D) Compreendido entre 700 e 1.000.(E) Maior que 1.000.

Para responder s questes de nmeros 32 e 33, voc deve observar que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo determinado critrio. Voc deve descobrir esse critrio e us-lo para encontrar a palavra que deve ser colocada no lugar do ponto de interrogao.

32. Ardoroso rodo Dinamizar mina Maratona ?(A) mana(B) toma(C) tona(D) tora(E) rato

33. Arborizado azarAsteride diasArticular ?(A) luar(B) arar(C) lira(D) luta(E) rara

34. Preste ateno nesta sequncia lgica e identifique quais os nmeros que esto faltando: 1, 1, 2, __, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __...

35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poo seco de 10 metros de profundidade e quer sair de l. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas noite, enquanto dorme, escorrega 1 metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar sada do poo?

36. Quantas vezes voc usa o algarismo 9 para numerar as pginas de um livro de 100 pginas?

37. Quantos quadrados existem na figura abaixo?

38. Retire trs palitos e obtenha apenas trs quadrados.

39. Qual ser o prximo smbolo da sequncia abaixo?



40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais.

41. Observe as multiplicaes a seguir:12.345.679 18 = 222.222.22212.345.679 27 = 333.333.333... ...12.345.679 54 = 666.666.666

Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto?

42. Esta casinha est de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faa com que fique de frente para a estrada asfaltada.

43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados.

44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relao lgica. Qual a carta que est faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1?

45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito.

46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequncia abaixo?

47. Mova trs palitos nesta figura para obter cinco tringulos.

48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas.

49. Reposicione trs palitos e obtenha cinco quadrados.

50. Mude a posio de quatro palitos e obtenha cinco tringulos.



Respostas

01. Resposta: A. A diferena entre os nmeros estampados nas cartas 1 e 2, em

cada linha, tem como resultado o valor da 3 carta e, alm disso, o naipe no se repete. Assim, a 3 carta, dentro das opes dadas s pode ser a da opo (A).

02. Resposta D.Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria,

tem-se: Na figura 1: 01 ponto de cada lado 02 pontos no total. Na figura 2: 02 pontos de cada lado 04 pontos no total. Na figura 3: 03 pontos de cada lado 06 pontos no total. Na figura 4: 04 pontos de cada lado 08 pontos no total. Na figura n: n pontos de cada lado 2.n pontos no total.

Em particular: Na figura 15: 15 pontos de cada lado 30 pontos no total.

Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se:Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo 04 pontos no total. Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo 06 pontos no total. Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo 08 pontos no total. Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo 10 pontos no total.Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo 2.(n+1) pontos

no total.

Em particular: Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo 32 pontos no total.

Incluindo o ponto central, que ainda no foi considerado, temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos.

03. Resposta B.Nessa sequncia, observamos que a diferena: entre 1000 e

990 10, entre 990 e 970 20, entre o 970 e 940 30, entre 940 e 900 40, entre 900 e 850 50, portanto entre 850 e o prximo nmero 60, dessa forma conclumos que o prximo nmero 790, pois: 850 790 = 60.

04. Resposta DNessa sequncia lgica, observamos que a diferena: entre 24

e 22 2, entre 28 e 24 4, entre 34 e 28 6, entre 42 e 34 8, entre 52 e 42 10, entre 64 e 52 12, portanto entre o prximo nmero e 64 14, dessa forma conclumos que o prximo nmero 78, pois: 76 64 = 14.

05. Resposta D. Observe a tabela:

Figuras 1 2 3 4 5 6 7N de Palitos 4 7 10 13 16 19 22

Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das trs primeiras figuras. Feito isto, basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fcil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade de palitos da 7 figura.

06. Resposta A.Na figura apresentada na letra B, no possvel obter

a planificao de um lado, pois o 4 estaria do lado oposto ao 6, somando 10 unidades. Na figura apresentada na letra C, da mesma forma, o 5 estaria em face oposta ao 3, somando 8, no formando um lado. Na figura da letra D, o 2 estaria em face oposta ao 4, no determinando um lado. J na figura apresentada na letra E, o 1 no estaria em face oposta ao nmero 6, impossibilitando, portanto, a obteno de um lado. Logo, podemos concluir que a planificao apresentada na letra A a nica para representar um lado.

07. Resposta B. Como na 3 figura completou-se um crculo, para completar

16 crculos suficiente multiplicar 3 por 16 : 3 . 16 = 48. Portanto, na 48 figura existiro 16 crculos.

08. Resposta B.A sequncia das figuras completa-se na 5 figura. Assim,

continua-se a sequncia de 5 em 5 elementos. A figura de nmero 277 ocupa, ento, a mesma posio das figuras que representam nmero 5n + 2, com n N. Ou seja, a 277 figura corresponde 2 figura, que representada pela letra B.

09. Resposta D. A regularidade que obedece a sequncia acima no se d por

padres numricos e sim pela letra que inicia cada nmero. Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o prximo s pode iniciar tambm com D: Duzentos.

10. Resposta C.Esta sequncia regida pela inicial de cada nmero. Trs,

Treze, Trinta,... O prximo s pode ser o nmero Trinta e um, pois ele inicia com a letra T.

11. Resposta E.Na 1 linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da

palavra LACRAO, mas na ordem invertida. Da mesma forma, na 2 linha, a palavra SOMA retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 primeira letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem invertida, obtm-se ARVAL.

12. Resposta C. Em cada linha apresentada, as cabeas so formadas por

quadrado, tringulo e crculo. Na 3 linha j h cabeas com crculo e com tringulo. Portanto, a cabea da figura que est faltando um quadrado. As mos das figuras esto levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as mos levantadas ( o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que est faltando na 3 linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabea quadrada, as mos levantadas e a perna erguida para a esquerda.



13. Resposta A. Existem duas leis distintas para a formao: uma para a parte

superior e outra para a parte inferior. Na parte superior, tem-se que: do 1 termo para o 2 termo, ocorreu uma multiplicao por 2; j do 2 termo para o 3, houve uma subtrao de 3 unidades. Com isso, X igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 10. Na parte inferior, tem-se: do 1 termo para o 2 termo ocorreu uma multiplicao por 3; j do 2 termo para o 3, houve uma subtrao de 2 unidades. Assim, Y igual a 10 multiplicado por 3, isto , Y = 30. Logo, X + Y = 10 + 30 = 40.

14. Resposta A.

A sequncia do alfabeto inicia-se na extremidade direita do tringulo, pela letra A; aumenta a direita para a esquerda; continua pela 3 e 5 linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa pela 4 linha at a 2 linha. Na 2 linha, ento, as letras so, da direita para a esquerda, M, N, O, e a letra que substitui corretamente o ponto de interrogao a letra P.

15. Resposta B. A sequncia de nmeros apresentada representa a lista dos

nmeros naturais. Mas essa lista contm todos os algarismos dos nmeros, sem ocorrer a separao. Por exemplo: 101112 representam os nmeros 10, 11 e 12. Com isso, do nmero 1 at o nmero 9 existem 9 algarismos. Do nmero 10 at o nmero 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do nmero 100 at o nmero 124 existem: 3 x 25 = 75 algarismos. E do nmero 124 at o nmero 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276 posio o nmero 8, que aparece no nmero 128.

16. Resposta D.Na 1 linha, internamente, a 1 figura possui 2 orelhas, a 2

figura possui 1 orelha no lado esquerdo e a 3 figura possui 1 orelha no lado direito. Esse fato acontece, tambm, na 2 linha, mas na parte de cima e na parte de baixo, internamente em relao s figuras. Assim, na 3 linha ocorrer essa regra, mas em ordem inversa: a 3 figura da 3 linha que ter 2 orelhas internas, uma em cima e outra em baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3 linha no possuem orelhas externas, a 3 figura tambm no ter orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogao a 4.

17. Resposta B. No 1 tringulo, o nmero que est no interior do tringulo

dividido pelo nmero que est abaixo igual diferena entre o nmero que est direita e o nmero que est esquerda do tringulo: 40 5 21 13 8.

A mesma regra acontece no 2 tringulo: 42 7 = 23 - 17 = 6.Assim, a mesma regra deve existir no 3 tringulo:? 3 = 19 - 7? 3 = 12? = 12 x 3 = 36.

18. Resposta E.Verifique os intervalos entre os nmeros que foram fornecidos.

Dado os nmeros 3, 12, 27, __, 75, 108, obteve-se os seguintes 9, 15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7 = 21 e 3x 9 = 27. Ento: 21 + 27 = 48.

19. Resposta B. Observe que o numerador fixo, mas o denominador

formado pela sequncia:

Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto Sexto

1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 124 x 5 =

205 x 6 =

30

20. Resposta D. O que de incio devemos observar nesta questo a quantidade

de B e de X em cada figura. Vejamos:

BBB BXB XXB XBX XBX XBXBBB BXB BXX7B e 2X 5B e 4X 3B e 6X

V-se, que os B esto diminuindo de 2 em 2 e que os X esto aumentando de 2 em 2; notem tambm que os B esto sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os X da mesma forma, s que no esto sendo retirados, esto, sim, sendo colocados. Logo a 4 figura :

XXXXBXXXX1B e 8X

21. Resposta D. Montando a srie de Fibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

34... A resposta da questo a alternativa D, pois como a questo nos diz, cada termo a partir do terceiro igual soma de seus dois termos precedentes. 2 + 3 = 5

22. Resposta E. A questo nos informa que ao se escrever alguma mensagem,

cada letra ser substituda pela letra que ocupa a quarta posio, alm disso, nos informa que o cdigo circular, de modo que a letra U vira A. Para decifrarmos, temos que perceber a posio do emissor e do receptor. O emissor ao escrever a mensagem conta quatro letras frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o receptor, deve fazer o contrrio, contar quatro letras atrs para decifrar cada letra do cdigo. No caso, nos foi dada a frase para ser decifrada, v-se, pois, que, na questo, ocupamos a posio de receptores. Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de modo que:

VxzaB: B na verdade V;OpqrS: S na verdade O;UvxzA: A na verdade U;DefgH: H na verdade D;EfghI: I na verdade E;AbcdE: E na verdade A;ZabcD: D na verdade Z;UvxaA: A na verdade U;LmnoP: P na verdade L;



23. Resposta B. A questo nos traz duas palavras que tm relao uma

com a outra e, em seguida, nos traz uma sequncia numrica. perguntado qual sequncia numrica tem a mesma ralao com a sequncia numrica fornecida, de maneira que, a relao entre as palavras e a sequncia numrica a mesma. Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que tm cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais , do que a primeira palavra de trs para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequncia numrica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta.

24. Resposta A. A questo nos traz duas palavras que tm relao uma com

a outra, e em seguida, nos traz uma sequncia numrica. Foi perguntado qual a sequncia numrica que tem relao com a j dada de maneira que a relao entre as palavras e a sequncia numrica a mesma. Observando as duas palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais , do que a primeira palavra de trs para frente, de maneira que SALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequncia numrica fornecida temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta.

25. Resposta E. Pelo nmero 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 no acontecem

no nmero procurado. Do nmero 48.675, as opes 48, 86 e 67 no esto em nenhum dos nmeros apresentados nas alternativas. Portanto, nesse nmero a coincidncia se d no nmero 75. Como o nico nmero apresentado nas alternativas que possui a sequncia 75 46.875, tem-se, ento, o nmero procurado.

26. Resposta D. O primeiro smbolo representa a diviso e o 2 smbolo

representa a soma. Portanto, na 1 linha, tem-se: 36 4 + 5 = 9 + 5 = 14. Na 2 linha, tem-se: 48 6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3 linha, ter-se-: 54 9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir ento que o ponto de interrogao dever ser substitudo pelo nmero 13.

27. Resposta A. As letras que acompanham os nmeros mpares formam a

sequncia normal do alfabeto. J a sequncia que acompanha os nmeros pares inicia-se pela letra E, e continua de acordo com a sequncia normal do alfabeto: 2 letra: E, 4 letra: F, 6 letra: G, 8 letra: H, 10 letra: I e 12 letra: J.

28. Resposta D. Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista

MAR, PERU, TATU e URSO, na seguinte ordem: PERU, MAR, TATU e URSO, obtm-se na tabela:

P E R UM A R AT A T UU R S O

O nome do animal PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14. Somando esses valores, obtm-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49.

29. Resposta B. Na 1 e na 2 sequncias, as vogais so as mesmas: letra

A. Portanto, as vogais da 4 sequncia de letras devero ser as mesmas da 3 sequncia de letras: O. A 3 letra da 2 sequncia a prxima letra do alfabeto depois da 3 letra da 1 sequncia de letras. Portanto, na 4 sequncia de letras, a 3 letra a prxima letra depois de B, ou seja, a letra C. Em relao primeira letra, tem-se uma diferena de 7 letras entre a 1 letra da 1 sequncia e a 1 letra da 2 sequncia. Portanto, entre a 1 letra da 3 sequncia e a 1 letra da 4 sequncia, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1 letra da 4 sequncia a letra T. Logo, a 4 sequncia de letras : T, O, C, O, ou seja, TOCO.

30. Resposta C. Na 1 sequncia de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do

alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1 letra da sequncia. Na 2 sequncia, continua-se da 3 letra da sequncia anterior, formando-se DEF, voltando-se novamente, para a 1 letra desta sequncia: D. Com isto, na 3 sequncia, tm-se as letras HIJ, voltando-se para a 1 letra desta sequncia: H. Com isto, a 4 sequncia iniciar pela letra L, continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4 sequncia da letra : LMNL.

31. Resposta E. Do 1 termo para o 2 termo, ocorreu um acrscimo de 1

unidade. Do 2 termo para o 3 termo, ocorreu a multiplicao do termo anterior por 3. E assim por diante, at que para o 7 termo temos 13 . 3 = 39. 8 termo

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