Resolução da Atividade Principal - MAT8_15GEO04 1) Em uma aula de matemática, os alunos estavam sorteando cartas com transformações geométricas para aplicar à figura mostrada ao lado. Veja as cartas tiradas por dois alunos:   

Aline:   

Translação vertical de 5 un. para baixo 

 

Bernardo: 

1º) Translação vertical de 7 un. para baixo  

2º) Translação vertical de 2 un. para cima 

 

Ao ler as cartas tiradas pelos colegas, sem fazer a construção, Carlos, outro aluno desta turma, afirmou que se Aline e Bernardo aplicassem as transformações de suas cartas à figura do problema, eles obteriam exatamente o mesmo resultado. Você concorda com Carlos? Por quê? 

 

Resolução: Para resolver esse problema, é importante que o aluno note que a composição de translações que estão no mesmo sentido e em direções contrárias, equivalem a uma translação no mesmo sentido e na direção da translação da composição de maior valor. O valor da nova translação será dado pelo módulo da diferença entre os valores das translações da composição. 

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2) Em outra rodada, os alunos sortearam cartas para aplicar ao triângulo representado a seguir e Caio tirou a carta mostrada ao lado. 

Caio 

1º) Reflexão em relação ao eixo y  2º) Translação de 1 un. para direita 

 

 Outros alunos, Emília, Fábio e Gabriela, também sortearam cartas.  

Fábio 

1º) Translação de 1 un. para direita 2º) Reflexão em relação ao eixo y  

 

Emília 

1º) Reflexão em relação ao eixo x  2º) Translação de 1 un. para esquerda 

 

Gabriela 

1º) Translação de 1 un. para esquerda 2º) Reflexão em relação ao eixo y   

 

Analise-as e, sem construir, decida qual delas é equivalente à carta tirada por Caio.  Resolução: Para resolver essa atividade, o aluno precisa analisar quais são as características de cada transformação envolvida, comparando como a posição da figura original é alterada pelas cartas de Fábio, Emília e Gabriela em relação à carta de Caio.  Na transformação de Caio, como a figura será refletida pelo eixo y, ela 

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continuará acima do eixo x (no 2º quadrante), e depois se deslocará uma unidade para direita, fazendo com que fique mais próximo do eixo y (a zero unidade). 

  A carta de Fábio fará com que a figura original se desloque primeiro uma unidade para direita, ficando mais distante do eixo y (a 2 unidades). Depois, com a reflexão em relação ao eixo y, a distância em relação ao eixo y continuará sendo de 2 unidades, diferenciando-se da figura obtida por Caio. Logo, as transformações obtidas por Fábio não são equivalentes às transformações de Caio. 

  A carta de Emília fará com que a imagem original seja refletida em relação ao eixo x, ficando abaixo do eixo x no 4º quadrante, e a translação de uma unidade para esquerda fará com que a figura continue no 4º quadrante, diferenciando-se da figura de Caio. Logo, as transformações obtidas por Emília não são equivalentes às transformações de Caio. 

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  A carta de Gabriela fará com que a figura se desloque primeiro uma unidade para esquerda, ficando mais próximo do eixo y (a zero unidade). Depois, com a reflexão em relação ao eixo y, a distância em relação ao eixo y continuará sendo de zero unidade, e a figura ficará invertida em relação à original e no 2º quadrante, assim como a figura de Caio. Nesse caso, é importante que o aluno note que se a translação está antes da reflexão na lista de instruções, para obter um conjunto de transformações equivalente ao do Caio, a translação deve ter sentido oposto e a reflexão deve permanecer em relação ao eixo y. As transformações obtidas por Gabriela são equivalentes às transformações de Caio. 

  

 3) Na última rodada, as transformações deveriam ser aplicadas ao quadrilátero mostrado a seguir, em torno do ponto C. Veja ao lado a carta sorteada por Henrique. 

 

1º) Rotação de 30º no sentido anti-horário  2º) Rotação de 120º no sentido horário 

Henrique 

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 Elabore duas outras cartas com instruções que geram o mesmo resultado                     da carta obtida por Henrique, considerando rotações em torno do ponto C.   Resolução: Para resolver esse problema, é importante que o aluno note que a composição de rotações em torno do mesmo ponto e em sentidos contrários equivalem a uma rotação em torno do mesmo ponto e no sentido da rotação da composição que possui ângulos de maior valor. O ângulo da nova rotação será dado pelo módulo da diferença entre os valores dos ângulos das rotações da composição.  

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 Assim, nesse caso, o conjunto de translações da carta de Henrique equivale a um rotação em torno do ponto C de 90º no sentido anti-horário.  Para elaborar novos conjuntos de transformações, o estudante também pode perceber que a composição de rotações em torno do mesmo ponto e sentidos iguais equivalem a uma rotação em torno do mesmo ponto e mesmo sentido. O ângulo da nova rotação será dado pela soma dos valores dos ângulos das rotações da composição.  A seguir, serão listadas possibilidades de transformações que equivalem às transformações da carta de Henrique:  

a) Rotação em torno do ponto C de 90º no sentido anti-horário. 

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b) 1º) Rotação em torno do ponto C de 100º no sentido anti-horário. 2º) Rotação em torno do ponto C de 10º no sentido horário. 

 É possível gerar infinitos conjuntos com a mesma estrutura do apresentado no item b: 1º) Rotação em torno do ponto C de (x + 90)º no sentido anti-horário. 2º) Rotação em torno do ponto C de xº no sentido horário. (x pode ser qualquer valor real - nesse momento do trabalho com os alunos, é pertinente utilizar valores positivos para evitar maiores dificuldades com o entendimento do sentido da rotação) 

  

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c) 1º) Rotação em torno do ponto C de 50º no sentido horário. 2º) Rotação em torno do ponto C de 140º no sentido anti-horário. 

 

  É possível gerar infinitos conjuntos com a mesma estrutura do apresentado no item c: 1º) Rotação em torno do ponto C de xº no sentido horário. 2º) Rotação em torno do ponto C de (x+90)º no sentido anti-horário. (x pode ser qualquer valor real - nesse momento do trabalho com os alunos, é pertinente utilizar valores positivos para evitar maiores dificuldades com o entendimento do sentido da rotação) 

             

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d) 1º) Rotação em torno do ponto C de 30º no sentido anti-horário. 2º) Rotação em torno do ponto C de 60º no sentido anti-horário. 

 É possível gerar infinitos conjuntos com a mesma estrutura do apresentado no item d: 1º) Rotação em torno do ponto C de xº no sentido anti-horário. 2º) Rotação em torno do ponto C de (90 - x)º no sentido anti-horário. (x pode ser qualquer valor real - nesse momento do trabalho com os alunos, é pertinente utilizar valores de x entre 0 e 90 para evitar maiores dificuldades com o entendimento do sentido da rotação) 

 e) Também é possível elaborar conjuntos com mais de duas transformações, 

veja um exemplo a seguir: 1º) Rotação em torno do ponto C de 70º no sentido anti-horário. 2º) Rotação em torno do ponto C de 10º no sentido horário. 3º) Rotação em torno do ponto C de 30º no sentido anti-horário. 

 

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