Questões Matemática Prova Correios

Professor Antonio Bartolini

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1] A figura abaixo é o gráfico de um trinômio do segundo grau. Determine o trinômio:

x

0

0 2

- 1

y 3

(i) Sabemos que a abscissa e a ordenada do vértice são dadas respectivamente por:

a2b

xv −= (eq.1) e a4

ac4ba4

y2

v−

−=∆

−= (eq.2)

(ii) e sendo -1 uma raiz, teremos que:

0cba0c)1(b)1(a)1(f 2=+−⇒=+−+−=− (eq. 3)

(iii) A segunda raiz pode ser calculada da seguinte forma

( )( ) 5xx14

2x1

22

xxx 22

221v =⇒+−=⇒

+−=⇒

+=

(iv) Pela fórmula do produto das raízes determinamos a relação existente entre a e c:

a5c)5.(1ac

−=⇒−= (eq. 4)

Da eq.1, podemos dizer que vxb

a2 =− , multiplicando toda expressão por 2,

teremos: vxb2

a4 =− (eq. 5)

Da eq. 2, podemos dizer que: v

2

yac4b

a4−

=− (eq. 6)

Igualando as equações (eq. 5) = (eq. 6), teremos




v

2

v yac4b

xb2 −

= (eq. 7), substituindo nessa equação o valor encontrado na

(eq. 5), teremos: v

v

2

v y

cxb2

b

xb2

+

= (eq. 8). Desenvolvendo a eq. 8, teremos:

v

2v

v

v

v

2

v

v

v

v

2

v xbc2bx

xby2

cxb2

bx

by2y

cxb2

b

xb2 +

=⇒+=⇒

+

= , simplificando

e dividindo toda expressão por b, teremos:

( )2

c2bxy v

v+

= (eq. 9)

Da (eq. 4) e (eq. 5) podemos escrever:

( ) ( )vv x2b5

x4b2

5a5c =−

−=−= (eq. 10)

Substituindo (eq. 10) em (eq. 9), teremos:

+=⇒

+=⇒

+

=v

2v

vv

vvv

v

v x2b5bx

yxb5

bxy22

x2b5

2bx

y , colocando

b em evidência e isolando a expressão para b, teremos.

( )( )5x

xy.2b5xbxy2

2v

vv2vvv

+

⋅=⇒+=⋅⋅ (eq. 11)

Assim podemos pelos dados do problema, determinar o valor de b.

( ) ( ) 3

4b

9

12

52

232

5x

xy.2b

22v

vv =⇒=

+

⋅⋅=

+

⋅=

Substituindo o valor de b encontrado na eq. 10, teremos:

( ) ( ) 35

c4320

2234

5c

x2b5

cv

=⇒

=⋅

=⇒=

Pela (eq. 4) e o valor de c, encontramos a

3

1aa5

3

5a5c −=⇒−=⇒−=

Assim o trinômio procurado é:

3

5x

3

4x

3

1y 2

++−= ou 3

5x4xy

2++−

=




2] O gráfico representa uma função f, definida em [-4,2]. Sendo S a soma dos valores de x para os quais f(f(x)) = -2, o valor de f(f(S)) é:

Solução:

Ora, para que F(f(x))=-2, temos que considerar que f(0) = -2. Assim, teremos que f(x) = 0. Ora, pela análise do gráfico, os valores são as raízes da função, quais sejam, {-3, -2, 1}, assim a soma desses valores será igual a: -4. Sendo assim para determinarmos f(f(-4)), teremos que primeiramente verificar o valor de f(-4). Ora, pela análise gráfica, vemos que f(-4) = 2. Sendo assim, f(f(-4)) = f(2) e pela análise no gráfico identificamos que é igual a 4.




3] A figura representa a função cbxx)x(f 2++= em que b e c são

constantes, a distância d, entre P e Q, éigual a 4 e o ponto V é o vértice da parábola. Uma equação da circunferência de centro O e que passa por V é:

x 0

0

Q

1

V

P

y

Solução: Façamos por parte.

A Equação da circunferência com centro em (0,0) é dada por:

222 Ryx =+ em que R é o raio da circunferência.

Sendo assim, nossa proposta inicial é encontrar o raio que no nosso gráfico é a distância que vai do ponto (0,0) ao ponto V. Essa distância que chamaremos de OV, está representada na figura abaixo:

x

0

0 Q

1

V

P

y

(yv)

O

T

Observe que OV é a hipotenusa do triângulo OTV. Ora, pelo teorema de Pitágoras sabemos que:

( ) ( ) ( )222OVOTTV =+

Do gráfico sabemos que ( ) 1TV = .

Calculemos então ( )OT que na verdade é o módulo de yv




(i) Como foi dito que PQ = 4, e 1 é o ponto médio do segmento, então podemos considerar que P está a 2 unidades à esquerda de 1, logo P=-1 e Q está a duas unidades a direita de 1, logo Q = 3. Assim, temos as RAÍZES da função. Raízes = {1 e 3}

(ii) Sabemos que a abscissa e a ordenada do vértice são dadas respectivamente por:

a2b

xv −= e a4

ac4ba4

y2

v−

−=∆

−=

Pela análise da função dada no problema verificamos que o valor do coeficiente de x2 é igual a 1, logo a = 1. Ora, podemos então substituir esse valor na equação de xv

e obter b.

2bb21.2

b1

a2b

xv =⇒−=⇒−=⇒−=

Para calcularmos o coeficiente c, utilizaremos a noção de que o valor da função na raiz é igual a zero. Assim, tomamos uma das raízes e substituímos na função igualando a zero.

cbxax)x(f 2++=

( ) ( ) 3c0c690c3231 2−=⇒=+−⇒=+⋅−+⋅

Assim temos todos os coeficientes para o cálculo de yv

( ) ( )4

416

1.43.1.42

a4ac4b

a4y

22

v −=−=−−−

−=−

−=∆

−=

Sendo assim, ( ) 4OT =

Façamos agora o cálculo de ( )2OV que será o valor de 2R

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 17R17OVOV41OVOTTV 22242222=⇒=⇒=+⇒=+

Logo a equação da circunferência procurada é igual a

17yx 22=+




4] Os amigos J e P combinaram de se encontrarem em um restaurante situado em um ponto R da cidade. Analisando o gráfico, no qual os segmentos JR e PR representam os trajetos feitos por J e P, respectivamente, de suas casas até o ponto de encontro. Pode-se concluir que a razão entre as distâncias percorridas por P e J é

x 4

P

R

8

- 2

- 1

J

21

−

y

Solução:

Pelo gráfico podemos estabelecer as equações das retas de J e de P.

Bem, sabemos que a reta na qual J desenvolve possui os pontos (0,8) e (4,0), sendo assim a equação da reta de J é dada por

8x2y032y4x80

104

1801yx

+−=⇒=−+⇒= , que é a equação reduzida

da reta na qual J desenvolve.

De modo análogo, determinaremos a equação na qual P desenvolve. Os pontos na reta de P são: (-2, -1/2) e (-1,0)

21

x21

y0y221

yx21

0

101

121yx

21 +=⇒=+−−−⇒=

−

−−

Igualando as duas equações encontraremos as coordenadas de R.

3x161xx4821

x21

x221

x21

8x2 =⇒−+=−−⇒−+=−−⇒+=+−

Substituindo o valor de x em qualquer equação, teremos:

2y83.2y8x2y =⇒+−=⇒+−= , Logo a coordenada de R é dada por

( )2,3 e A distância de P será igual a:

( )( ) ( ) 5220240213d 2222PR ==+=−+−−=

A distância percorrida por J será:

( ) ( ) 5345632803d 2222JR ==+=−+−=

Sendo assim a razão entre as distâncias P e J é dada por 32

53

52dd

JR

PR ==

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