apostila matemática para concurso dos correios

7/29/2019 apostila matemtica para concurso dos correios

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Nmeros relativos inteiros e fracionriosNMEROS INTEIROSOs nmeros inteiros so constitudos dos nmeros naturais {0, 1, 2, ...} e dos seus simtricos {0, -1, -2, ...}.Dois nmeros so opostos se, e somente se, sua soma zero. Por vezes, no ensino pr-universitrio, chamam-sea estes nmeros inteiros relativos. Oconjunto de todos os inteiros denominado porZ (Mais apropriadamente,um Z em blackboard bold, ), que vem doalemoZahlen, que significa nmeros, algarismos.Os resultados das operaes de soma, subtrao e multiplicao entre dois Inteiros so inteiros. Dois inteiros

admitem relaes binrias como =, > e


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Operaes e suas propriedades (adio, subtrao, multiplicao, diviso e potenciao.Operaes fundamentais

Adio: 1. Ato ou efeito de adir. 2. Arit. Reunio de todas as unidades ou fraes de unidade de vriosnmeros; soma, total. 3. Acrscimo, aumento.Exemplo:a) 2254 + 1258 = 3512

Milhar Centenas Dezenas Unidades

1 1

2 2 5 4

1 2 5 8__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________3 5 1 2

Para o clculo da adio, ordenamos os nmeros em unidades, dezenas, centenas, milhar... Feito isso,efetuamos a soma. Notem que os nmeros 2254 e 1258 foram agrupados para serem somados.O resultado da soma das unidades (4+8 = 12) igual a 1 dezena e 2 unidades. Portanto, adiciona-se 1 dezena asua respectiva "casa".O resultado da soma das dezenas (1+5+5 = 11) igual a 1 centena e 1 dezena. Portanto, adiciona-se umacentena a sua respectiva "casa".A soma da "casa" das centenas (1+2+2 = 5), ou seja, 5 centenas.Finalmente, a soma da "casa" do milhar igual a 3 (1+2=3).A soma de 2254 + 1258 = 3512.*Observao: as cores auxiliam a compreenso do processo.Subtrao: 1. Ato ou efeito de subtrair(se). 2.Tirar de outro nmero parcela, quantia etc.; diminuir.

Exemplo:a) 2234 - 1258 = 976


2 2 3 4

1 2 5 8__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________Primeiramente, vamos agrupar os nmeros em unidades, dezenas, centenas, milhar, etc...

Feito isso, observamos que no possvel a subtrao das unidades (4 - 8). preciso, portanto, "pediremprestado" casa das dezenas:


2 2 3-1 = 2 4+10 = 14

1 2 5 8__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________6

Observamos que no possvel a subtrao das dezenas(2 - 5). Vamos "pedir emprestado" a nossa "vizinha" centena:


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2 2-1=1 10+2=12 14

1 2 5 8__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________7 6

Vamos efetuar a subtrao das centenas: Oras, no possvel efetuar o clculo (1 - 2) das centenas sem pediremprestado casa do milhar...


2-1=1 10+1=11 12 14

1 2 5 8__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________0 9 7 6

Agora sim! Vamos efetuar o clculo das centenas(11 - 2 = 9). E, tambm, do milhar (1 - 1 = 0).A subtrao de 2234 - 1258 = 976.

Clculo da adio e subtrao envolvendo nmeros no inteirosExemplos:a) 235,65 + 45,758 = 281,408

Cent. Dez. Uni. Dec. Cent. Mil.

1 1 12 3 5 ,6 5 0

4 5 ,7 5 8__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________2 8 1 ,4 0 8

Siga os mesmos passos do clculo com nmeros inteiros, no se esquecendo, porm, de agrupar os algarismosde acordo com suas "casas" (milhar, centena, dezena, unidades,...).b) 254,65 - 144,732 = 109,918


2 5 4 ,6 5 0

1 4 4 ,7 3 2__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________



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2 5 4-1=3 ,16 5-1=4 10

1 4 4 ,7 3 2__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________,9 1 8


2 5-1=4 13 ,16 4 10

1 4 4 ,7 3 2__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________1 0 9 ,9 1 8

Siga os mesmos passos do clculo da subtrao com nmeros inteiros, agrupe as algarismos de acordo com suas"casas" e "pea emprestado" "casa" do vizinho quando no for possvel efetuar a subtrao.

Multiplicao: 1. Ato ou efeito de multiplicar. 2.Arit. Operao aritmtica, que consiste em repetir um nmero,chamado multiplicando, tantas vezes quantas so as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar umterceiro que representa o produto dos dois. 3.Repetir (um nmero) tantas vezes quantas so as unidades de(outro).Exemplo:a) 236 x 25 = 5900


2 3 6

2 5__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Vamos inicialmente multiplicar 236 por 5:


1 3

2 3 6

2 5__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________1 1 8 0

1) 6x5 = 30 (3 dezenas e 0 unidades)

2) 3x5 = 15 + 3 = 18 (1 centena e 8 dezenas) - No se esquea de somar as 3 a casa das dezenas.3) 2x5 = 10 + 1 = 11Agora vamos multiplicar 236 por 2. Estamos efetuando o clculo da casa das dezenas, portanto, vamos colocaros resultados em sua respectiva casa. Aps a multiplicao, some os resultados.


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1

2 3 6

2 5

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 1 8 0

4 7 2 +__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________5 9 0 0

Multiplicao de nmeros no inteirosVamos efetuar os mesmos clculos dos com os nmeros inteiros e tomar um pouco de cuidado com a vrgula.

Exemplo:a) 45,5 x 8,1 = 368,55Observe:

Mil. Cent. Dez. Uni. Dec.

4 5 ,5

8 ,1__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________O nmero 45,5 possui 1 casa aps a vrgula. O nmero 8,1 tambm apresenta 1 casa aps a vrgula. O resultadoter, portanto, 2 (1+1) casas aps a vrgula. Vamos agora efetuar a multiplicao sem nos preocupar com avrgula. Afinal, j sabemos que o produto ter 2 casas aps a vrgula.

4 5 5

8 1__________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________4 5 5

3 6 4 0 +

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3 6 8 5 5

Bom, sem nos preocuparmos com as vrgulas o resultado seria 36855, porm sabemos, como visto acima, que onmero deve possuir 2 casas aps a vrgula. Vamos colocar as vrgulas ento!

3 6 8 ,5 5Simples no? Mas vamos recapitular: Contamos e somamos a quantidade de casas aps a vrgula dos nmerosque iremos multiplicar. O resultado apresentar esse nmero de casas aps a vrgula. Resolvemos, ento, amultiplicao e depois colocamos as vrgulas :)

Diviso: 1. Ato, efeito ou operao de dividir.2. Fragmentao. 3. Parte de um todo que se dividiu. 4. Mat. Operao com que se procura achar quantas vezesum nmero se contm noutro.A diviso , sem dvidas, o principal problema dos estudantes. Vamos resolver alguns exerccios, observe asresolues e os esquemas.


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Exemplos: Por favor, espere e siga a resoluo.a) 756 : 21 = 36

b) 202 : 5 = 40,4

c) 17,4 : 3 = 5,8

Vejam a questo da FUVEST 2003 - Primeira fase: Num bolo, sete amigos ganharam vinte e um milhes,sessenta e trs mil e quarenta e dois reais. O prmio foi dividido em sete partes iguais. Logo, o que cada umrecebeu, em reais, foi:(a) 3.009.006,00(b) 3.009.006,50(c) 3.090.006,00(d) 3.090.006,50(e) 3.900.060,50Resposta: (a)

Mltiplos e divisores, e operaes.Mltiplos e divisores de um nmeroUm nmero mltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto zero.

Exemplo:

Observe as

seguintesdivises entrenmeros

Naturais:As trs

primeirasdivises tmresto zero.Chamam-sedivisesexatas. As

duas ltimastm restodiferente dezero.


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Chamamos dedivisointeira. Umnmero divisor dooutro se osegundo

mltiplo doprimeiro.O nmero 10 mltiplo de2; 12 mltiplo de 3;15 tambm mltiplo de 3;mas 9 no mltiplo de 2;e 15 no

mltiplo de 4.Vamos agoraescrever oconjunto dosmltiplos de2, indicado

por M(2), edos mltiplosde 5, isto ,M(5):M(2) ={0,2,4,6,8,...}.M(5) ={0,5,10,15,20,...}Para lembrar:

O conjunto dos mltiplos de um nmero Naturalno-nulo infinito e podemos consegui-lo

multiplicando-se o nmero dado por todos os

Observe:M(3) = {3 x0, 3 x 1, 3 x 2,3 x 3, 3 x 4, 3x 5, 3 x 6,...}={0,3,6,9,12,15,18,...}Observetambm que omenor

mltiplo detodos osnmeros sempre o


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zero. Diremosque umnmero divisor deoutro se osegundo formltiplo do

primeiro.No exemploanterior,observamosque o nmero10 mltiplode 2,conseqentemente 2 divisor de 10.Os nmeros

12 e 15 somltiplos de3, portanto, 3e 5 sodivisores de12 e 15,respectivamente.Vamosagoraescrever oconjunto dosdivisores de15, indicado

por D(15), edos divisoresde 20, isto ,D(20):D(15) ={1,3,5,15}D(20) ={1,2,4,5,10,20

}Observe queo conjuntodos divisoresde umnmero

Natural no-nulo sempreum conjuntofinito, em queo menor

elemento o1 e o maior o prprionmero.


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Critrios dedivisibilidade: Os critriosdedivisibilidadeso uma sriede regras para

averiguar seum nmero ou nomltiplo deoutro, sem anecessidadede efetuar adiviso de um

pelo outro,principalmente quando os

nmeros sograndes.Veja, emseguida, oscritrios dedivisibilidademaiscomuns:Divisibilidade

por 2Olhe para oconjunto dosmltiplos de2, M(2),expostoacima.Observe quetodos oselementosdesseconjunto

terminam emalgarismo par.Assim,

podemosdizer que umnmero divisvel por2 se oalgarismo dasunidades for

par.

Exemplo:Os nmeros22, 30, 68,650, 3 285


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416 somltiplos de 2

porqueterminam emalgarismo par.Os nmeros7, 15, 201, 1

483, 186 749no somltiplos de2, poisnenhum delestermina emalgarismo

par.Divisibilidade

por 3Observe,

agora, oconjuntoM(3) ={0,3,6,9,12,15,18,...}.Repare que asoma dosalgarismos detodos estesnmeros mltiplo de 3.Assim, umnmero divisvel por3 quando asoma de todosos seusalgarismos mltiplo de3.

Exemplo:

Sem fazer adiviso,vamoscomprovarque o nmero34 572 divisvel por3: 3 + 4 + 5 +7 + 2 = 21,mas podeacontecer de

no sabermosse 21 ou nomltiplo de 3.Repetimos o


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mtodo agoracom onmero 21,em que 2 + 1= 3. Sabemosque 3 mltiplo de si

mesmo,portanto, 21 divisvel por3, isto , 21 mltiplo de 3e,conseqentemente, 34 572 divisvel por3.Divisibilidade

por 5Observe oalgarismo dasunidades dosnmeros doconjuntoM(5) ={0,5,10,15,20,25,30,35,...}. fcil

perceber queeles terminamem zero ouem 5. Assim,um nmero divisvel por5 quandotermina emzero ou em 5.

Exemplo:

Os nmeros20, 210, 2 105so divisveis

por 5, pois oprimeiro e osegundoterminam em

zero e oterceiro em5.Divisibilidade


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por 9Dado M(9) ={0,9,18,27,36,45,...}verificamosumacaracterstica

semelhante aocritrio dedivisibilidade

por 3. Umnmero divisvel por9 quando asoma de seusalgarismos 9 ou mltiplode 9.

Exemplo:O nmero 14985 divisvel por9?

+ 4 + 9 + 8 + 5 = 27

Se nosoubermos se27 ou no

mltiplo de 9,repetimos aoperaoagora com27:

2 + 7 = 9

Portanto, 27 divisvel por9, isto , 27 mltiplo de 9e,conseqentemente, 14 985 divisvel por9.Decomposio de umnmeroemfatoresprimos

Um nmeroNatural umnmero Primoquando stem por


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divisores elemesmo e aunidade.

O estudosobre osnmerosPrimos ganhaumdesenvolvimento particularna Grcia.Eratstenes(por volta de

276 a.C. a194 a.C.) eEuclides(sculo IIIa.C.?) so osresponsveis

por estedesenvolvimento.Eratstenesdesenvolveu

um mtodo de'separar' osnmerosPrimos,menores de100, dosnmeros no-

primos. Osnmeros no-

primosdiferentes de1 receberam onome denmeroscompostos,uma vez quese compemdo produto denmerosPrimos.O mtodo

consiste emse riscar da onome Crivo

primeiro o

Figura 1. Crivo de Eratstenes


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nmero 1, queno Primo,em seguida osmltiplos de2, depois osde 3, depoisos de 5 e

assim pordiante. Osnmeros querestarem soPrimos.Observe queo nmero 1no Primonemcomposto eque o nmero

2 o niconmero Primoque par.

Note aindaque oconjunto dosnmerosPrimos infinito. Osnmeros 7, 19e 47, comovemos noCrivo deEratstenes,so nmerosPrimos poiss tm comodivisores elesmesmos e o 1(Figura 1,acima).

Para lembrar:Decompor um nmero composto em fatores

primos significa expressar este nmero comoproduto de outros que sejam primos.

Exemplo:

Queremosdecompor onmero 40em fatores

primos.40 2 (40 divisvel por 2, termina em 0)20 2 (20 divisvel por 2, termina em 0)10 2 (10 divisvel por 2, termina em 0)


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5 5 (5 primo. Divide-se por si mesmo)

1

Adecomposiode 40 em

fatores primos:2 X 2 X 2 X 5= 23 X 5Mximodivisorcomum(m.d.c.) dedois ou maisnmerosO mximo

divisorcomum dedois ou maisnmeros

Naturais no-nulos omaior dosdivisorescomunsdessesnmeros.

Para calcularo m.d.c. dedois ou maisnmeros,devemosseguir umasrie deetapas:' Decompomos os nmeros em fatores primos.' Tomamos os fatores comuns com o menor expoente.

' Multiplicamos esses fatores entre si.

Exemplo:

Vamoscalcular om.d.c. dosnmeros 15 e24. Para isto,vamosdecomp-losem fatores

primos:15 3

5 5


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1

Exemplo:

Queremos

calcular om.d.c. de 20 e21.

20 2

10 2

5 5

1

Para lembrar:

Dizemos que dois nmeros Naturais distintosso Primos entre si quando seu m.d.c. 1.

Mnimomltiplocomum(m.m.c.) dedois ou maisnmerosNaturaisno-nulos o menor

nmero,diferente dezero, que mltiplocomumdessesnmeros.Para calcularo m.m.c. dedois ou maisnmeros,devemosseguirtambm umasrie deetapas: Decompomos os nmeros em fatores primos. Tomamos os fatores comuns e no-comuns com o maior expoente. Multiplicamos esses fatores entre si.

Exemplo:

Calculemos om.m.c. dosnmeros do

primeiro


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exemplo, 15 e24.Como jforamdecompostosem fatores

primos,

temos:15 = 3 X 5

24 = 23 X3

m.m.c. (15, 24) = 2120

Exemplo:Calculemos om.m.c. dosnmeros dosegundoexemplo, 20 e21.

20 = 22X 5

21 = 7 X 3

(20, 21) = 22 X 3= 420

Relaoentre om.d.c. e om.m.c. dedois nmerosO produto de

O grego Eratstenes,ador de um mtodospecial para separar

nmeros Primos eno-primos


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dois nmeros igual ao

produto deseu m.d.c. porseu m.m.c.

Exemplo:

Vamoscalcular om.d.c. e om.m.c. de 30e 50:

30 2

15 3

5 5

1

5025

Comprove,agora, arelao. Paratanto:Multiplique om.d.c. e om.m.c.:

10 X 150 = 1 500

Em seguida,multiplique osdoisnmeros:

30 X 50 = 1 500

m.m.c. dos nmeros 24 e 180.

nmeros so Primos: 89, 504, 37, 18 e

ores de 50. Assinalar os que forem

guintes, indicar os que forem divisveis5 250, 633, 1 562, 13 000 e 125.

mos colocar no lugar desse nmero seja divisvel por 3?

es nmeros como produto de fatores


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50.

Expressesnumricas

Expresses

numricasUmaexpressonumrica umaseqncia denmerosassociados

poroperaes.Essas

operaesdevem serefetuadasrespeitando-se a seguinteordem:1)Potenciaese radiciaes,se houver.2)

Multiplicaes e divises,se houver.3) Adies esubtraesExemplo:

Emexpressesnumricascom sinais deassociao( parnteses,colchetes echaves)efetuam-se,

primeiro asoperaesdentro dos

parnteses,


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depois as queesto dentrodos colchetese, por ltimo,as interioresas chaves,respeitando-

se ainda, aprioridade dasoperaes.Exemplo:36 + 2.{25

+ [ 18 (5 2).3]} == 36 + 2.{ 25+ [18 3.3]}== 36 + 2.{25

+ [18 9]} == 36 + 2.{25+ 9} == 36 +2.34 == 36 + 68 =104Outroexemplo:[(5 - 6.2).3

+ (13 7) :3] : 5 == [(25 6.4).3 + 6 :3] : 5 ==[(25 24).3+ 36 : 3 ] : 5== [1.3 + 12] :5 == [3 + 12 ] : 5

== 15 : 5 = 3Efetue:11 + 32 + 4.9

15 : 3 =11 + 32 + 36

5 = 74109 15.4 +26 : 13 =

109 60 + 2= 5110 + 3502 :


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17 100 : 25=10 + 206 4= 21225 + 25 : 25 25.1 =

25 + 1 25 =1

(7.6 32 : 2) :13 =(42 16 ) :13=26 : 13 = 2

Calcule ovalornumrico dasexpresses:


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(0,5) : 5 2.(0,3.1,2 - 0,72: 2,4) =


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0,25 : 5 2.(0,36 0,3) =0,05 2.(0,06) =0,05 0,12 =- 0,07


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(- 3,5 +2.1,45) (-1,2 : 5 3,5)=(-3,5 + 2,9 )

(-0,24 3,5)=-0,6 (-3,74)=-0,6 + 3,74 =3,14


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Considere aexpresso

Efetuando asoperaesindicadas esimplificando,temos:a)9/10

d)15/9

b)7/3

e) 1

c) 19/10

Soluo:

Alternativacorreta: (b)Simplifique:


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EQUAODO 1GRAU

Equaes do1 grau comuma varivelEquao toda sentenamatemticaabertarepresentada

por uma

igualdade, emque existauma ou maisletras querepresentamnmerosdesconhecidos.Exemplo:X +3 = 12 4

Formageral: ax =

b, emque x representa a varivel(incgnita)e a e b so

nmerosracionais,com a0. Dizemos


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que a e b sooscoeficientesda equao.(ax = b, aforma maissimples da

equao do 1grau)Exemplos:x - 4 = 2 +7, (varivelx)

2m + 6= 12 3 ,(varivelm)

-2r + 3 =

31, (varivelr)

5t + 3 =2t 1 , (varivelt)

3(b 2)= 3 + b,(varivel

b)4 + 7 = 11, (umaigualdade,mas no

possui umavarivel,

portanto no uma equaodo 1 grau)3x 12 >13, (possui

uma varivel,mas no umaigualdade,

portanto no uma equaodo 1 grau)Obs:Devemosobservar duas

partes em

uma equao,o 1 membro esquerda dosinal de igual


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e o 2membro direita dosinal de igual.

Veja:

ConjuntoUniverso:Con

junto formadopor todos osvalores que a

varivel podeassumir.Representamos pela

letraU.ConjuntoSoluo:Conjunto formado

por valores doconjunto Uque tornam asentenaverdadeira.Representamos pela letra S.Exemplo:Dentre oselementos doconjunto F ={0, 2, 3, 6, 8,

9}, qual delestorna asentenamatemtica2x 4 = 2,

verdadeira.2(0) 4 = 2Errado2(2) 4 = 2Errado2(3) 4 = 2

Verdadeiro2(6) 4 = 2Errado2(8) 4 = 2


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Errado2(9) 4 = 2Errado

Devemosobservar queo conjunto U

= {0, 2, 3, 6,8, 9}, econjunto S ={3}Sistemas de

Equaes do1Grau

SISTEMACOM DUAS

EQUAESDO 1 GRAUCOM DUASVARIVEISResolver umsistema deduas equaesdo 1 graucom duasvariveis, x ey, porexemplo,significadeterminar onico parordenado(x,y) que asoluo dosistema.Podemosencontrar a

soluo deum sistemausando osmtodos daadio,substituio ecomparao.ExercciosResolvidos:1) Umnmero mais

a sua metade igual a 150.Qual essenmero?


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Soluo:n + n/2 = 1502n/2 + n/2 =300/22n + n = 3003n = 300n = 300/3

n = 100Resposta:Esse nmero 100.2) Adiferenaentre umnmero e suaquinta parte igual a 36.Qual esse

nmero?Soluo:x - x/5 = 36(5 x - x)/5 =364x /5 = 364x = 36.54x = 180x = 180/4x = 45Resposta:Esse nmero 45.3) O triplo deum nmero igual a suametade mais20. Qual esse nmero?Soluo:3 m = m/2 +

206m/2 =(m+40)/26m = m + 406m - m =5m = 40m = 40/5m = 8Resposta:Esse nmero 8.

4) O triplo deum nmero,mais 5, igual a 254.


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Qual essenmero?Soluo:3p + 5 = 2543p = 254 - 53p = 249

p = 249/3

p = 83Resposta:Esse nmero 83.5) Oqudruplo deum nmero,diminudo detrs, igual a99. Qual esse nmero ?

6) Jlio tem15 anos e Evatem 17 anos.Daqui aquantos anosa soma desuas idadesser 72 anos?7) Num ptioh bicicletas ecarros numtotal de 20veculos e 56rodas.Determine onmero de

bicicletas e decarros.8) A metadedos objetos deuma caixa

mais a teraparte dessesobjetos igual a 75.Quantosobjetos h nacaixa?9) Em umafbrica, umtero dosempregados

soestrangeiros e90empregados


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sobrasileiros.Quantos soosempregadosda fbrica?10) Numa

caixa, onmero debolas pretas o triplo de

bolas brancas.Se tirarmos 4

brancas e 24pretas, onmero de

bolas de cadacor ficar

igual. Qual aquantidade de

bolasbrancas?11) Comodevodistribuir R$438,00 entretrs pessoas,de modo queas duas

primeirasrecebamquantiasiguais e aterceirareceba odobro do quereceber asduas

primeiras?

12) Ao triplode umnmero foiadicionado40. Oresultado igual aoquntuplo donmero. Qual essenmero?

Grfico deuma equaode 1 graucom duas


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variveisSabemos queuma equaodo 1 graucom duasvariveis

possui

infinitassolues.Cada umadessassolues podeserrepresentada

por um parordenado (x,y).Dispondo de

dois paresordenados deum equao,

podemosrepresent-losgraficamentenum planocartesiano,determinando,atravs dareta que osune, oconjunto dassoluo dessaequao.Exemplo:Construir umgrfico daequao x+ y = 4.Inicialmente,

escolhemosdois paresordenadosquesolucionamessa equao.1 par: A (4,

0)2 par: B (0,

4)A seguir,

representamos esses pontosnum planocartesiano.


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x y

4 00 4

Finalmente,unimos os

pontos A e B,

determinandoa reta r, quecontm todosos pontossolues daequao.

A reta r chamada retasuporte dogrfico daequao.Sistemas de

EquaesConsidere oseguinte

problema:Pipoca, em

sua ltimapartida,acertou xarremessos de


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2 pontos e yarremessos de3 pontos. Eleacertou 25arremessos emarcou 55

pontos.

Quantosarremessos de3 pontos eleacertou?Podemostraduzir essasituaoatravs deduasequaes, asaber:

x +y = 2 5(total dearremessoscerto)

2x+ 3y = 55(total de

pontosobtidos)Essasequaescontm umsistema deequaes.Costuma-se

indicar osistemausando chave.

O parordenado (20,5), que tornaambas assentenasverdadeiras, chamadosoluo dosistema.Um sistemade duasequaes comduas variveis

possui uma


36/79

nica soluo.Resoluo de

SistemasA resoluode um sistemade duasequaes com

duas variveisconsiste emdeterminarum par ordenado quetorneverdadeiras,ao mesmotempo, essasequaes.Estudaremos

a seguiralgunsmtodos:Mtodo de

substituio

Soluo

determinamos ovalor de x na1 equao.

x = 4 ySubstitumos

esse valor na2 equao.2 . (4 - y) -3y

= 3Resolvemos aequao

formada.8 - 2y - 3y = 3-2y - 3y = 3-5y = 5 (-1)

5y = -5y = 5/3y = 1

Substitumos ovalorencontrado dey, emqualquer dasequaes,determinandox.


37/79

x + 1 = 4x = 4 - 1

x = 3A soluo

do sistema opar ordenado(3, 1).

V= {(3, 1)}Mtodo daadioSendo U = Qx Q, observea soluo decada um dossistemas aseguir, pelomtodo da

adio.Resolva osistemaabaixo:

SoluoAdicionamos

membros amembros asequaes:

2x = 16x = 16/2

x = 8 Substitumoso valor

encontrado dex, emqualquer dasequaes,determinadoy:8+y=

10y = 10 - 8


38/79

y = 2A soluo dosistema o

par ordenado(8, 2)

V = {(8, 2)}

PROBLEMAS

Uma dasprincipaisfunes daMatemtica desenvolver aintelignciado Ser Humano. Os

problemasapresentadossorelacionadoscom aMatemtica enormalmenteaparecem emlivros sobrecriatividade,revistas emateriaisdidticos deMatemtica.Apresentamossolues paraalguns dos

problemas,pois oobjetivo

promover o

interesse dovisitante pelaMatemtica.

Problema01: Umavasilhacilndricacircular comcapacidade

para 1 litro

est cheia desuco.


39/79

De que formapode ser feitaatransfernciade suco davasilha maior

para umaoutra vasilhairregular comcapacidade

para 678 ml,de modo queambas asvasilhasfiquem comexatamente500 ml, sem

usar outrasvasilhas.

Problema 02:Palitos e mais

palitosa. Dada

afiguraem cormaravilhacom12

palitos, mova3

palitosparaobtertrs


40/79

quadrados.

b. Usando 9

palitosdefsforo,construa o100.

I I I I I I I I I

c. Retirar 3

palitosdodesenho emazul

para

obter3quadrados.

d. Acrescente8

palitosa 3

palitosparaobteroito.

I I I I I I I I II I

e. Mover 5

palitosnafiguraverde

para


41/79

obter3quadrados.

f. Usando 6

palitosdemesmotamanho,

construir 4tringulosequilteros.

g. Mova2

palitos

nafiguraemlaranja

paraobter5quadrados.

Problema03: Umfeirantevendiaqueijos em

peas. Aoprimeirocomprador,ele vendeu ametade das

peas quepossuia maismeio queijo.Ao segundo,ele vendeu a


42/79

metade doque restoumais meioqueijo. Assimseguiuvendendo atchegar ao

sexto e ultimocompradorque comproua metade doque o feirante

possuia maismeio queijo,encerrando asatividadescom todos osqueijos

vendidos.Quantosqueijos

possuia ovendedor?

Problema04: Determinar um nmeronatural quedividido por 2tem resto 1,dividido por 3tem resto 2,dividido por 4tem resto 3,dividido por 5tem resto 4,dividido por 6tem resto 5, edividido por 7

tem resto 0.Problema05: Qual afrmula quefornece asoma:

a. Dos nprimeirosnmer

osnaturais?

b. Dos n


43/79

primeirosnmerosnaturais

pares?

c. Dos nprimeirosnmerosnaturaismpares?

d. Dosquadra

dosdos n

primeirosnmerosnaturais?

e. Dosquadradosdos n


pares?f. Dos

quadra

dosdos nprimeirosnmerosnaturaismpares?

g. Dos

cubosdos nprimeiros


44/79

nmerosnaturais?

h. Doscubosdos n


pares?i. Dos

cubosdos n

primei

rosnmerosnaturaismpares?

j. Daspotncias deordem4 dosn


k. Daspotnc

ias deordem5 dosn


l. Das

potncias deordem6 dos


45/79

nprimei

rosnmerosnaturais?

Problema06: Como se

pode repartirpara trspessoas, 21tonis devinho, se 7tonis esto

vazios, 7tonis estocheios e 7tonis esto

pela metade,de modo queno final da

diviso cadapessoa tenhaa mesmaquantidade devinho e detonis.

Problema07: Como se

pode repartir

igualmentepara duaspessoas, 8litros de


46/79

vinho queesto em umavasilha maior,sabendo-seque as

pessoaspossuem

somente duasvasilhasvazias, umacomcapacidade

para 5 litros eoutra comcapacidade

para 3 litros.

Problema08: Como se

pode repartirigualmente

para duaspessoas, 16litros devinho queesto em umavasilha maior,sabendo-seque as

pessoaspossuemsomente duasvasilhasvazias, umacomcapacidade

para 11 litrose outra com

capacidadepara 6 litros.

Problema09: Desejamos construiruma coleode "pesos"

para medirmassas deobjetos com

uma balanacontendo doispratosequilibrados.


47/79

De que formauma barrametlica coma massa de 40Kg poder sercortada emapenas 4

partes demodo a se

poder pesarobjetos desde1 Kg at 40Kg.

Problema10: Dinheirosiguais: Uma

pessoa faloucom a outra:"Se voc me

der R$1,00,eu terei odobro do quevoc tem".Ento o outrodisse: "Sevoc me derR$1,00,teremosdinheirosiguais".

Quanto tinhacada um?

Problema11: H 10litros devinho em 3vasilhas, comcapacidadesiguais a 5litros, 3 litros

e 7 litros,respectivamente. A

primeira


48/79

contem 4litros devinho, asegunda estvazia e aterceiracontem 6

litros devinho.

Como se poderepartir emduas partesiguais ovinho, usandoapenas estastrs vasilhas?

Problema 12(dos

camelos): Umvelho tinhatrs filhos elhes deu aordem quedepois demorto,deveriamdividir os 35camelos que

possuia, de

modo que oprimeiro filhodeveriareceber ametade deles,o segundodeveriareceber umtero e aoltimo caberiaum nono.

Como nohouveconcordnciaentre eles,


49/79

foram at umsbio quetambm

possua umcamelo.Como foi queo sbio

realizou adiviso deforma quetodos osfilhos ficaramsatisfeitoscom a divisoe no final atmesmo osbio acabouganhando

algo?

Problema13: Trscasais foramfazer comprasem uma feirade exposio.Joo, Jos eJuca, socasados comMaria,Marlene eMara. Quemest casadocom quem, sesabemos quecada umadessas seis

pessoas pagoupor cada

objetocomprado omesmonmero (emR$) que onmero deobjetoscomprados.Cada homemgastouR$48,00 a

mais que asua mulher.Alm disso,Joo comprou


50/79

9 objetos amais do queMarlene eJos comprou7 objetos amais do queMaria.

Sugesto:Considere quepara um certocasal, ohomemcomprou hobjetos e amulher mobjetos.

Problema

14: De umafolha de papelsulfite, qual o quadrado demaior reaque voc

pode cortarsem realizaremendas?

Problema15: De umafolha de papelsulfite, qual o tringuloequiltero demaior reaque voc

pode cortarsem realizaremendas?

Problema16: De umafolha de papelsulfite, qual o tringuloissceles demaior reaque voc

pode cortar

sem realizaremendas?

Problema


51/79

17: De umafolhaquadrada de

papel sulfite,como se podecortar umhexgono

regular demaior reasem realizaremendas?

Problema18: Usando otringulo,demonstreque a somados ngulos

internos domesmocorresponde a180o.

Sugesto:Considere as

partes quetm a mesmacor, dobrandoa metade decada umasobre a outrametade paraconstatar o

resultado.

Problema19: De umafolhaquadrada de

papel sulfite,como se podecortar umoctgonoregular de

maior reasem realizaremendas?Problema


52/79

20: Demonstregeometricamente que (-1).(-1)=+1utilizando odesenho

abaixo.

Sugesto:Desenvolver

(a-b)(a-b)=a.a+a.(-b)+(-b).a+(-b).(-b)e utilizar ofato que

a.(-b)=(-b).a=-ab

a.a a reado quadradode lado a.Grandeza,

RazoeProporo

JosLucivaldo

Leiteda

Silva(Prof.

Z)

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Grandeza: uma relaonumricaestabelecida
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53/79

com umobjeto.Assim, aaltura de umarvore, ovolume de umtanque, o peso

de um corpo,a quantidadepes, entreoutros, sograndezas. Grandeza tudoque voc

pode contar,medir, pesar,enfim,enumerar.

Razo: adiviso ourelao entreduasgrandezas.Exemplo: senuma classetivermos 40meninos e 30meninas, quala razo entreo nmero demeninos e onmero demeninas?

Razo=

Razoinversa: oinverso darazo,assim

.

Proporo: a igualdade


54/79

entre razes.Exemplo:meu carro faz13km porlitro decombustvel,ento para

26km precisode 2L, para39km precisode 3L e assim

por diante.

1situao:

2situao:

,logo formamuma

proporo.

Observe

,se vocmultiplicarem cruz oresultado sero mesmo: 26

x 3 = 2 x 39 =78.

Numaproporo,quandomultiplicamosem cruz, oresultado omesmo. Masalm desta

propriedade,temos outrasque seromuito teis:


55/79

Numaproporoquandosomamostermo atermo:

, a razo semantm.

Numaproporoquandosubtramostermo atermo:

, a razo semantm.

Dadas aspropores:

GrandezasProporcionais

O queestudaremosso grandezasque sejam

diretamenteouinversamente

proporcionais,emboraexistam casosem que essasrelaes nose observem,e que

portanto, no

faro parte denosso estudo.

Por exemplo,


56/79

"na partida deabertura deumcampeonato,um jogadorfez trs gols,quantos gols

ele far aofinal docampeonatosabendo que omesmo ter46 partidas?".

GrandezasDiretamenteProporcionais (G.D.P.)

Duasgrandezas soditasdiretamente

proporcionais,quando oaumento deuma implicano aumentoda outra,quando areduo deuma implicana reduo daoutra, ou seja,o que vocfizer comumaacontecercom a outra.

Observao necessrioque satisfaaa propriedadedestacadaabaixo.

Exemplo: Senuma receitade pudim de

microondasuso duas latasde leitecondensado, 6


57/79

ovos e duaslatas de leite,

para umpudim. Tereique dobrar aquantidade decada

ingrediente sequiser fazerdois pudins,ou reduzir ametade cadaquantidade deingredientesse quiser,apenas meiareceita.

Observe atabela abaixoque relacionao preo quetenho que

pagar emrelao quantidade de

pes quepea:

PreoR$

N de pes

Preo equantidade de

pes sograndezasdiretamente

proporcionais.

Portanto sepeo maispes, pagomais, se peomenos pes,

pago menos.Observe quequandodividimos o

preo pelaquantidade de

pes obtemossempre omesmo valor.


58/79

Propriedade:Em grandezasdiretamente

proporcionais,a razo constante.

GrandezasInversamenteProporcionais (G.I.P.)

Duasgrandezas so

ditasinversamente

proporcionaisquando oaumento deuma implicana reduo daoutra, quandoa reduo deuma implicano aumentoda outra, ouseja, o quevoc fizercom umaacontecer oinverso com aoutra.

Observao: necessrio

que satisfaaa propriedadedestacadaabaixo.

Exemplo: Numa viagem,quanto maiora velocidademdia no

percurso,

menor ser otempo deviagem.Quanto menor


59/79

for avelocidademdia, maiorser o tempode viagem.

Observe a

tabela abaixoque relacionaa velocidademdia e otempo deviagem, parauma distnciade 600km.

Velocidade mdia(km/h)

Tempo de viagem(h)

Velocidademdia e

Tempo deviagem sograndezas

inversamenteproporcionais,

assim se viajomais depressalevo um

tempo menor,se viajo com

menorvelocidademdia levoum tempo

maior.Observe que

quandomultiplicamosa velocidademdia pelotempo deviagemobtemossempre o

mesmo valor.

Propriedade:

Em grandezasinversamente

proporcionais,o produto


60/79

constante.

Diviso empartes

proporcionais.

DIVISOPROPORCIO

NALDefin

io

Conformedefiniesvista emtutoriaisanteriores, emque informadoqueGRANDEZA

todo valorque ao serrelacionado aum outrocerto valor detal forma que,quando umvaria, comoconseqnciadireta o outrovalor tambm

varia.Desta

forma,podemosdefinir umaDIVISOPROPORCIO

NAL, comouma forma dediviso no

qualdeterminam-se valoresque, divididos


61/79

porquocientes

previamentedeterminados,mantm-seuma razoque no tem

variao.Exem

plos parafixao dedefinio

Para

decompor onmero 120em duas

partes a e bdiretamente

proporcionaisa 2 e 3,montaremos osistema demodo quea+b=120, cujasoluo seguede:

a/2 =

b/3 a + b =a+b/2+3 120/5 = 24

Ento

: a=48 e b=72.

Divid

ir o nmero60 em duaspartes a e bdiretamente

proporcionaisa 4 e 2. Destaforma, sermontado osistema demodo que a +

b = 60, cuja

soluo sugueno clculoabaixo:


62/79

a/4 =b/2 a + b = a+ b/4+2 60/6 = 10

Ento

: a=40 e b=

20. A

divisoproporcionalpode ser:

-

Direta-

Inversa-

Direta eInversa aomesmotempo.

Divis

o em partesdiretamenteproporcionais

O

total dosnmeros a serdividido est

para a somados

proporcionais,

assim como onmeroproporcionalest para a

parte que arepresenta.

Exem

plos defixao dedefinio:

a)Uma pessoadivide o valor


63/79

de R$12.000,00

proporcionalmente asidades de seusfilhos: 2, 4, 6anos. Qual o

valor quecada umreceber?

Resol

uo:2 + 4

+ 6 = 1212

: 12.0002

: X

12: 12.000

4: X

12: 12.000

6

: X

Ovalor total,ento, de cadafilhorespectivamente s idades: R$2.000,00 + R$

4.000,00+R$6.000,00tendo oresultado


64/79

geral o capitalde R$12.000,00.

b)

Dividir onmero 240,

em partesdiretamenteproporcionala 2, 4 e 6.

Resol

uo:Cham

aremos dasincgnitas

x, y e zas partes queserodeterminadas,assim:

x + y

+ z = 240Pela

definiodada, temos:x/2 = y/4 =z/6

x + y

+ z = 240x/2 =

y/4 =z/6 (aplica-se

a propriedadedaspropores)

x + y

+ z = 240= 20

2 + 4+ 6 = 12 = 1

Para

determinar aspartes, necessriomontar uma


65/79

proporopara cadauma delas,com a

proporoencontrada.

20 =x --> x . 1 =20 . 2 x = 40

12

20 =

y --> y . 1 =20 . 4 y = 80

14

20 =

z --> z . 1 =20 . 6 x =120

16

Chec

ando osresultados:

x + y

+ z = 24040 +

80 + 120 =240

c)

Dividir o

nmero 360,em partesdiretamente

proporcionala 4, 5 e 6.

Resol

uo:Cham

aremos das

incgnitasx, y e zas partes quesero


66/79

determinadas,assim:

x + y

+ z = 360Pela

definiodada, temos:x/4 = y/5 =z/6

x + y

+ z = 360x/4 =

y/5 =z/6 (aplica-se

a propriedadedas

propores)x + y

+ z = 360= 24

4 + 5+ 6 = 15 = 1

Para

determinar aspartes, necessriomontar uma

proporopara cadauma delas,com a

proporoencontrada.

24 =x --> x . 1 =24 . 4 x = 96

14

24 =

y --> y . 1 =24 . 5 y =120

1524 =


67/79

z --> z . 1 =24 . 6 z =144

16

Chec

ando osresultados:x + y

+ z = 36096 +

120 + 144 =360

d)

Dividir onmero 169em partesdiretamente

proporcionaisa 1/2, 1/3, 1/4

Resol

uo:Vale

observar queagora estamostratando denmerosfracionrios.

Como

os nmerosquocientesso

predeterminados so emfraes,temos quedeterminar asfraesequivalentes,assim:

m.m.

c (2,3,4) = 12

1/2,1/3, 1/4 6/12, 4/12,


68/79

3/12Mont

ando osclculos:

x + y

+ z = 169x/1/2

= y/1/3 =z/1/4

Com

o mmc dasfraes:

x + y

+ z = 169x/6 =

y/4 = z/3x + y

+ z = 1696 + 4

+ 3 = 13Logo:

13/1 arazoequivalente

Calc

ulando aspartesseparadamente:

13/1= x/6x . 1

= 6 . 13x =

7813/1

= y/4

Y . 1= 4 . 13


69/79

y =52

13/1

= z/3Z . 1

= 3 . 13 z =

39Chec

ando osclculostemos:

78 +

52 + 39 = 16978/6

= 1352/4

= 1339/3

= 13

Nasprximasliesveremos maissobre os

principaistemas dematemtica

paraconcursos.

Regra de trssimples

Paragrandezasdiretamenteproporcionais

Carlos

AlbertoCampagner*Especialpara a


70/79

Pgina 3Pedagogia &ComunicaoAlgumas equaessosimples de

resolver, jquerelacionamgrandezas(tempo,comprimento,quantidades,etc). So asequaes queenvolvem

proporcionali

dades,facilmenteresolvidas porregrinhas detrs.Veja osseguintesexemplos:

No rtulo deum sucoconcentrado,observam-seas seguintesinstrues:

Misture 1

parte do

produto a 4

partes de

gua. Adoce

a gosto.

No primeiro

exemplo,temos que aproporo desucoconcentrado

para o de

gua .Isso umarazo.

Logo seforemcolocados 2copos de suco
http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u26.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u26.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u26.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u48.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u48.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u26.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u26.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u48.jhtm


71/79

concentrado,devem-secolocar 8 degua.Ento:

Numa receita

de macarro

caseiro, l-

se: Misturar

100g de

farinha de

trigo para

cada ovo.

A proporo

Umaigualdadeentre razes uma

proporo.

Asproporespossuem umapropriedadeimportante,multiplicandoseus termosem cruz,

obtem-se omesmoresultado:


72/79

o princpioda regra detrsProblemas

comregrasdetrs

No exemploda receita demacarrocaseiro,quantos ovosdevem-seutilizar para500g defarinha detrigo?Lembrandoque a

proporo

de 1 ovo para100g defarinha detrigo, existemalgumasregras para aresoluo da

proporcionalidade atravsda regra detrs:

1 regra:colocar asgrandezasiguais namesmacoluna:


73/79

2 regra:multiplicarem cruz:

Logo:

Resposta:devem-seutilizar 5 ovos

para 500g defarinha detrigo.

Esseraciocnio vlido paragrandezasdiretamente

proporcionais(quanto maisfarinha, maisovos; quantomenos gua,menos suco).

Paraaproporograndezasinversamente
http://educacao.uol.com.br/matematica/proporcionalidade.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/proporcionalidade.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/proporcionalidade.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/proporcionalidade.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/proporcionalidade.jhtm


74/79

proporcionais,o modo deoperaomuda um

pouco.Existemtambm

problemas emque voc temmais de duasgrandezasenvolvidas.So aschamadas regras de trscompostas.Porcentageme juros

CarlosAlbertoCampagner*Especialpara aPgina 3Pedagogia &Comunicao

1)Porcentagem

2) JurosJuros

simples:

Juros compostos:

Capital,tempo, taxase montante.

Montante:
http://educacao.uol.com.br/matematica/proporcionalidade.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u28.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u28.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u28.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/proporcionalidade.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u28.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u28.jhtmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u28.jhtm


75/79

asomadocapital(Princi

pal)com

ojurorelativo ao

perodo deaplicao.Suafrmula

ou

JuroComposto: aqueleque, a

partirdo

segundoperodofinanceiro calculadosobreoMonta

nte doperodoanterior.OJurocompostoquando a

cadaperodoosjuro
http://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jurohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juros


76/79

s soincorporadosaoPrinci

pal e onovo

Principalpassatambm arender

juros.Frmula:

Taxas

Equivalentes:fazemcomque oCapital

produza omesmoMontante, nofinaldomesmo

prazodeaplica

o. Valor

Atual:chama-sevaloratualde umcompromisso

futurodeterminad
http://pt.wikipedia.org/wiki/Juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juros


77/79

a taxade

juros,aocapitalque,se

colocado arender

jurosquela taxa, a

partirdadatadehoje,

atingiria ummontanteigualaovalornominal docompromisso, emsuadatadevencimento.

Desconto: adifere

naentre ovalornominal(valorindicado nottulo |valorno

vencimento|) e ovalor
http://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_de_juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Juroshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa


78/79

atual(valordottuloantesdovenci

mento). Desco

ntoRacional (pordentro): oequivalente

aojuro simples

produzido

pelovaloratualno

perodocorres

pondente, taxafixada.

DescontoComercial (

por

fora): oequivalenteaojuro simples

produzido

pelovalor

nominal noperodo
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79/79

correspondente, taxafixada.

Capitaliza

o: aremuneraodedeterminadocapitaldurante uminterv

alo detempo.
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apostila matemática para concurso dos correios

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