Questão 21 livro de Arnaldo García e Yves Lequain (pagina 217)
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1 Quest˜ ao 24: Seja G um grupo e a, b ∈ G − {e}. Sup onha que b 5 = e e bab −1 = a 2 . Mos tr e que a ordem de a ´ e 31. solu¸ c˜ ao: Inicialmente, precisaremos da seguinte afirma¸ c˜ ao: Afirma¸ c˜ ao: ba k b −1 = a 2k , k ≥ 1 Prova: ´ E simples! Basta usa o princ ´ ıpio de in du¸ c˜ ao. Feito tal observa¸ c˜ ao, voltemos a prova do nosso resultado. Suponhamos que bab −1 = a 2 . Assim, b 4 (bab −1 ) = b 4 a 2 ⇔ b 5 ab −1 = b 4 a 2 . Operando com b −4 a direita, temos: (ab −1 )b −4 = b 4 a 2 b −4 ⇒ ab −5 = b 4 a 2 b −4 Note que b −5 = e. Log o, a = b 4 a 2 b −4 ⇒ a = b 3 (bab −1 )b −3 . Agora, usando nossa afirma¸ c˜ ao, temos: a = b 3 a 4 b −3 ⇒ a = b 2 (ba 4 b −1 )b −2 ⇒ a = b 2 a 8 b −2 ⇒ a = b(ba 8 b −1 )b −1 ⇒ a = ba 1 6b −1 ⇒ a = a 32 ⇒ a 31 = e Portanto, a ordem de a ´ e 31.
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8/2/2019 Questão 21 livro de Arnaldo García e Yves Lequain (pagina 217)
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Quest˜ ao 24: Seja G um grupo e a, b ∈ G− {e}. Suponha que b5 = e e bab−1 = a2. Mostre
que a ordem de a e 31.
soluc˜ ao:
Inicialmente, precisaremos da seguinte afirmac˜ ao:
Afirmac˜ ao: bakb−1 = a2k, k ≥ 1
Prova: ´ E simples! Basta usa o princıpio de induc˜ ao.
Feito tal observac˜ ao, voltemos a prova do nosso resultado.
Suponhamos que bab−1 = a2. Assim,
b4(bab−1) = b4a2 ⇔ b5ab−1 = b4a2.
Operando com b−4 a direita, temos:
(ab−1)b−4 = b4a2b−4 ⇒ ab−5 = b4a2b−4
Note que b−5 = e. Logo,
a = b4a2b−4 ⇒ a = b3(bab−1)b−3.
Agora, usando nossa afirmac˜ ao, temos:
a = b3a4b−3 ⇒ a = b2(ba4b−1)b−2 ⇒ a = b2a8b−2 ⇒ a = b(ba8b−1)b−1 ⇒ a = ba16b−1 ⇒
a = a32 ⇒ a31 = e
Portanto, a ordem de a e 31.
