Yves chevallard0003

12. Construções com·a régua de duas bordas paralelas 20813. O "potencial" da régua de duas bordas paralelas 21014. Pontos coordenados construtíveis com a régua de duas bordas

paralelas 212

AN EXO D Esboço da teoria das situações didáticas .

QUARTA PARTEA ESTRUTURA DO PROCESSODE ESTUDO: A MATEMÁTICA "AO VIVO"

CAPíTULO 16 EPISÓDIO 229Na aula de prática 229

CAPíTU LO 17 DIÁLOGOS 235__ I~Técnicas, tecnologias e teorias matemáticas 235

Criação e domínio de técnicas matemáticas 241O didático é inseparável do matemático 252Os momentos de estudo 261

CAPíTU LO 18 SíNTESE .

CAPíTULO 19 COMENTÁRIOS EAPROFUNDAMENTOS ..:.............................. 277Aula de problemas, aula de prática 277Aula de teoria e obstáculos epistemológicos 280A necessidade de novos dispositivos didáticos 284Os perigos da atomização do ensino 285A função integradora do trabalho da técnica 287O paradoxo da criatividade 289

CAPíTULO 20 PEQUENOS ESTUDOSMATEMÁTICOS 29315. Racionalizar expressões com radicais 29316. Quando duas frações irredutíveis são iguais? 29517. Funções e valores aproximados 29618. Como determinar se J5 + J7 é irracional? 297

EPílOGO .

AJUDA PARA OS PEQUENOS ESTUDOS MATEMÁTICOS 303

íNDICE 333

213 X

275

299

Capítulo 17

DIÁLOGOS

TÉCNICAS, TECNOLOGIAS E TEORIAS MATEMÁTICAS

E.: Bom dia, Professora.R: Bom dia. Vejo que você está bem!E.: Sim. Você deu uma olhada no episódio? É o da aula de Luis, o da raciona-

lização de expressões com radicais. Acho que será muito bom para contrastarmosnossas análises sobre a aula de Marta.

R: Realmente, são episódios bem diferentes ...E.: Muito diferentes! Eu gostei muito da aula de Marta. Mas essa do Luis já é

outra coisa ... Tantos exercícios e tão parecidos! Não sei ...R: Ah. Você não se entusiasma com o que Luis faz. E olha que agora você já

deveria dispor de algum outro elemento para poder analisar e entender o que elefaz.

E.: Talvez sim, mas ...R: Vejamos. Vamos começar eliminando a primeira dificuldade. Uma coisa

que você não gosta, pelo que disse antes, é que Luis tenha distribuído para seusalunos uma lista com muitos exercícios. Não é isso?

E.: Sim. Muitos e iguais. Porque, apesar de tudo que você me ensinou, conti-nuo sem entender para que serve propor tantos exercícios tão parecidos.

R: Não são tão parecidos como você acha: há expressões com um só radical eexpressões com dois radicais.

E.: Sim, claro. A intenção é que os alunos se deparem com um novo tipo deproblema: racionalizar uma expressão com dois radicais. E, antes, são dados mui-tos exercícios com um só radical para que,.a partir da técnica de que dispõem,criem uma técnica para as expressões com dois radicais. É isso, não?

R: Eu diria que, em primeiro lugar, o que Luis quer é que seus alunos domi-nem a técnica de racionalização de expressões com um só radical no denomina-dor.

236 CHEVALLARD, BOSCH & GASC

E.: Então, por que incluiu na lista expressões com dois radicais?P: Não conheço exatamente as razões de Luis. Mas posso imaginar muitos e

bons motivos para isso. Por exemplo, porque quer que seus alunos coloquem àprova a técnica da qual dispõem.

E.: A de multiplicar pela expressão conjugada.P: Sim, isso mesmo. Se os alunos já dominam essa técnica e a colocaram 2-

prova com um número importante de exercícios, então não é necessário que fa-çam os outros da lista. Cada um deve julgar o que é útil e necessário para sei:estudo.

E.: Entendo. Se alguém acha que já domina bem a técnica, então pode daruma olhada rápida na lista, fazer alguns exercícios para' garantir que não se enga-na e se centrar naqueles que parecem um pouco mais difíceis para, assim, poderenfrentar as novas dificuldades.

R: Isso mesmo.E.: Mas continuo sem entender porque Luis misturou em uma mesma lista

exercícios de dois tipos diferentes: com um radical e com dois.R: Claro que há um motivo, ou mais de um. Em primeiro lugar, como você já

disse muito bem, essa "mistura" dá forma à idéia de elaborar uma técnica pare.expressões com dois radicais a partir da técnica para expressões com um radical

E.: Sim, claro, mas ...R: Há algo mais. Porque isso, no fundo, é uma criação técnica por continuida-

de. Ao mesmo tempo, também há uma ruptura que se situa exatamente no planda própria técnica.

E.: Espere ... Já não estou conseguindo acompanhá-Ia.R: Claro que o episódio termina bem na hora em que se vai produzir o que e

penso. Talvez tenha acontecido na aula seguinte.E.: O que você quer dizer? Onde há uma ruptura?R: No tipo de resultado encontrado em cada caso. Nisso é que se diferenciare

as expressões com um radical e com dois.E.: Ah, já sei ao que você está se referindo! Pensei isso quando li o episódio,

,22 ,Quando os alunos calculam a expressão ~ r: ,obtem um resultado co

,,5-,,3+1três radicais: além de .J5 e J3 também há J15, não? Em compensação, ao racio-nalizar expressões com um só radical, sempre são encontradas expressões commesmo radical.

R: Isso é que é fundamentalmente novo. Portanto, a novidade não é só E

maneira de proceder, a técnicaíO n~ é a forma do resultado obtido.E.: Portanto, nem tudo se rediízà técnica. Há mais alguma coisa. Mas, o que.

Você pode me explicar?R: Claro que sim. Veja, imagine um dos alunos de Luis quando chega em case.

e se põe a resolver o exercício que ele indicou. Vai desenvolver o produto ... (Olhe:

a última folha do episódio e escreve no quadro.)

ESTUDAR MATEMÁTICAS 23

E.: Certo.R: Encontrará ... (Faz o cálculo rapidamente.) 14- 6J3 - 2J5 + 4M. Esse alu-

no sabe que, no dia seguinte, Luis vai pedir que ele vá até o quadro para apresen-tar sua solução. E terá de afirmar, diante do professor e de toda a classe, que:

Mas, claro, como pode estar certo de que essa é a resposta que Luis espera?E.: Veja, porque obteve uma expressão sem radicais no denominador! Nesse

caso, nem há denominador!R: É verdade. Mas talvez o aluno pense que tem de apresentar a solução em

sua forma mais simples, em sua forma canônica, padrão. E não sabe se ainda devesimplificar mais a expressão ou se já chegou ao final.

E.: Se chegasse a uma expressão do tipo a + bJ3 + cJ5 seria diferente. É isso?

R:' Sim. No resultado de antes, pode ser que o aluno quisesse eliminar a J15 .E como não sabe como fazê-lo, pensa que não sabe resolver o problema, que háalguma manipulação que lhe escapa. Na verdade, não está seguro de ter realizadoo exercício corretamente.

E.: Podemos dizer, então, que a técnica que ele manipula ainda não está noponto, que não a domina de todo?

R: Se você quer assim. Na verdade, o que falta é umcritério de parada.E.: Como em um algoritmo, em informática.R: Exato. E isso não faz parte da ,técnica, mas, por assim dizer, de um saber

relativo à técnica. Faz parte da tecnologia da técnica.E.: A tecnologia? O que você está querendo dizer?R: Veja, tecnologia significa, literalmente, um discurso fundamentado (logo)

sobre um objeto que é uma téchne, uma técnica.E.: E o que seria, aqui, esse discurso fundamentado sobre a técnica?R: Seria algo assim como: "uma expressão do tipo considerado que pode ser

escrita de maneira única como a + bJ3 + cJ5 + dM".E.: Então, quando o aluno encontra 14- 6J3 - 2J5 + 4M e não se enga-

nou, pode estar seguro de que essa é a solução esperada por Luis, visto que sóexiste uma.

R: Isso mesmo.E.: Então, o que você chamou de tecnologia é algum assim como um teorema.R: Aqui sim, é um teorema. Embora esse teorema seja somente uma parte da

tecnologia.

238 CHEVALLARD, BOSCH & E-==

E.: O que mais haveria?P.: Em geral, uma tecnologia é um discurso matemático que justifica e perz;

entender determinada técnica. O teorema que citei cumpre essas condiçõesnos garantir que, se fizermos os cálculos apropriados para tirar os radicaisdenominador, então, encontremos a forma canônica desejada.

E.: Entendo. Na aula de Luis começaram a tirar a 13 do denominado::. ..:::teorema diz que, se começarmos tirando a J5, chega-se ao mesmo resultadvisto que é único.

P.: Sim, isso mesmo. Poderíamos pensar que, se começarmos tirando atalvez nos deparemos com algo que bloqueia o cálculo, que não nos permitetinuar. Mas isso não pode acontecer, porque uma vez tirada a J5 somenteuma 13 que, segundo a tecnologia que rege a técnica para expressões coradical, sempre poderemos eliminar.

E.: Puxa! Que complicado! O que você quer dizer é que, na tecnologia -técnica de dois radicais, devemos incluir a de um radical. É isso?

.P.:Sim, realmente ... !E.: Mas, tem mais uma coisa. O teorema que você citou diz que uma _

chegando à expressão 14- 613- 2J5 + 4J15 já não podemos simplificarMas não diz porque, não diz porque com um radical obtemos algo do tipo a +' -e com dois radicais algo do tipo a + b13 + cJ5 + dJ15. A tecnologia não explica --onde sai o termo Jl5.

P.: Você é muito exigente! Por que é assim? Isso teria de explicar a tecnologda tecnologia.

E.: Um discurso que explicaria por que o teorema afirma o que afirma?P.: Sim, e que justifique porque é assim.E.: E onde está essa tecnologia da tecnologia?P.: Em primeiro lugar, é necessário dizer que a tecnologia da tecnologia ::

chamamos de uma teoria, a teoria da técnica.E.: É verdade que tudo isso se torna cada vez mais teórico!P.: E vou acrescentar mais uma coisa: pode acontecer que uma tecnol

justifique sem propiciar o entendimento.E.: Antes você disse que fazia as duas coisas ao mesmo tempo.P.: Não, disse que uma tecnologia tinha a priori essas duas funções.

muitas vezes, em matemática, demonstramos que algo é como é sem explicarporque é desse jeito. Por exemplo, você pode tentar demonstrar o teorema ante::oroAgora, explicar o fenômeno que descreve esse teorema, isso é outra coisa, coz;uma dificuldade muito maior! Para começar, você poderia se perguntar em q ::consistiria essa explicação. A resposta não é simples. Mas é dessa maneira que :=progride em matemática.

E.: Certo, já pensarei nisso. Mas ainda há outra coisa. Você acha que os alunosirão tão longe? Eu tenho a impressão de que, na prática, tudo é muito mais sirz-ples: o aluno mostrará seu resultado para o professor, ele dirá se está certo ou nã .


no máximo fará com que o aluno note que existem três radicais em vez de dois, ealguma coisa mais. Isso não basta? Contanto que os alunos "racionalizem" bem!

P: Basta e não basta. Para qualquer matemático, e para os matemáticos emgeral em um determinada época, sempre existem questões obscuras, que dirãoque não entendem.

E.: Essa é a tarefa dos pesquisadores: propagar a luz do saber para diminuir aescuridão.

P: Sim. Mas acho que para responder melhor sua pergunta, começarei pro-pondo uma para você.

E.: Estou escutando.P.: Imagine uma aula na qual os alunos têm de fazer somas de frações. Um

19aluno mostra o resultado para o professor: encontrou 28. O professor diz que ele

se enganou, que o resultado correto não é esse. O que permite que ele dê essaresposta?

E.: Bem, suponho que o professor tenha feito os cálculos e dado outra coisa.

19 20Talvez o resultado exato não seja 28' mas 28 ou, melhor dizendo, simplificando,

57. Isso é o que o professor dirá ao aluno.

P.: Em outras palavras, o resultado correto só pode ser aquele encontrado peloprofessor!

E.: Sim. Exceto, claro, quando o professor tenha se enganado. Mas acho que aprobabilidade de erro do professor é menor do que a dos alunos.

P.: Bem, agora suponha que os alunos têm de fazer um cálculo algébrico, eque um aluno encontrou (x - 1)2 + 1. Em compensação, o professor encontrou x2

- 2x + 2.E.: É a mesma coisa!

19 5P.: Sim. Mas, então, por que 28 não seria também o mesmo que 7?

E. Porque são frações diferentes ... e irredutíveis ...P.: Sim. Quando duas frações são escritas em sua forma irredutível, para se-

rem iguais têm de ser idênticas, isto é, devem ter o mesmo numerador e o mesmodenominador. Claro que, se uma das duas frações não estiver reduzida, o critérionão funciona.

20 5E.: Como com 28 e 7. Mas, espere um momento. O que você está me dizen-

do é que, em geral, tenta-se escrever os objetos matemáticos em uma forma quetenha a propriedade de ser única.

240 CHEVALLARD, BOSCH & GASG::

P.: Isso mesmo. Procura-se que os objetos do mesmo tipo possam ser escrit sda mesma forma. É o que se chama de forma canônica.

E.: Já sei: as frações se simplificam, os polinômios são escritos ordenan -termos por graus decrescentes ... e as expressões como as de antes com um ."'-...........•'-são escritas da forma a + bfn .

P.: Muito bem. Uma pessoa passa muito tempo aprendendo a colocarexpressão dada em sua forma canônica, simplificando frações, por exemplo. _agora, quero que voltemos a minha pergunta.

E.: Se já não a respondemos!P.: Matematicamente, sim. O professor pode dizer a seu aluno que se engs

porque seu resultado, em forma canônica, é diferente daquele encontrado por =>

E também porque o professor sabe que a expressão do resultado em forma '-'-~..:-ca é única.

E.: Sei, percebo por onde você está indo. Porque o teorema de uni cidade --foi demonstrado em classe. E é precisamente o que justifica a resposta do p -soro

P.: É muito pior! Não é que o teorerna não tenha sido demonstrado, é _sequer foi enunciado! Sequer foi apresentada a questão. É dado como certo,se fosse evidente que a resposta é única.

E.: Isso deve ser porque na escola sempre se trabalha com expressõesforma canônica, para as quais há unicidade.

P.: Com toda certeza. Mas, depois, veja o que acontece. Os alunos pmuito tempo aprendendo a escrever certas expressões matemáticas em sua fo-canônica (simplificando frações, desenvolvendo e organizando os termos depolinômio, etc.) e, ao mesmo tempo, esconde-se deles a razão de todo esse trazalho e o porquê de tanto esforço.

E.: Isso é uma crítica ao Luis?P.: Não, não, absolutamente. De fato não sabemos o que aconteceu depois

aula do episódio.E.: Certo, de acordo. Mas ainda tenho outra pergunta.P.: Pois diga.E.: Entendo que isso de colocar uma expressão em uma forma canônica

poder identificar esse ou aquele objeto seja importante. Por exemplo, é necessL -poder saber se tal fração é ou não igual a outra, ou se tal.polinôrnio é igual a OUL

etc.P.: Isso mesmo.E.: Mas, o que eu não entendo é que, com tudo isso sobre os radicais e so' _-

a racionalização dos denominadores de certas expressões ... todo esse trabalho.;no fundo, é uma obra matemática, não?

P.: Sim.E.: E se é uma obra matemática, responde a alguma questão.P.: Sim, claro, justifica-se pelo fato de que, em matemática, às vezes, é neces-

sário manipular expressões com radicais.


E.: Isso seria o mais natural. Mas não ficou muito claro para mim ... O que fazcom que tenhamos de manipular expressões com radicais? É certo que os alunosda ESO terão de estudar situações matemáticas nas quais aparecerão expressõescom radicais? Veja o que estou dizendo: se a resposta for não, então me pareceuma estupidez e até mesmo pouco ético, fazê-los estudar uma obra matemáticaque, para eles, não responde a nenhuma questão, que não satisfaz nenhuma ne-cessidade. Acho que teria que se criar, ao mesmo tempo, a necessidade e a manei-ra de satisfazê-Ia. Você não acha?

P.: A questão que você apresenta, realmente, é essencial. E se sua hipóteseestiver certa, então acho que deveríamos concluir que, no currículo do ensinofundamental, essa obra matemática é uma obra morta. Está lá, estuda-se, masninguém sabe por que está lá nem por que deve estudá-Ia.

E.: Tem certeza de que não é o que acontece com a questão dos radicais?P.: Bem, depende ... lembre-se de que estam os nos referindo a um currículo

aberto.E.: E o que tem isso?P.: Pode acontecer que os alunos se deparem com problemas que os levem a

manipular expressões com radicais ou não, dependendo do instituto. E, claro, noInstituto Juan de Mairena, as expressões com radicais não seriam estudadas, senão respondessem a uma necessidade matemática concreta.

E.: É isso que eu queria saber. A qual necessidade respondem?P.: Ah! Belo problema! Você poderia tentar resolvê-Io sozinho. Pense um pou-

co ... Como podem aparecer expressões com radicais na matemática elementar?Ou, melhor dizendo, onde?

E.: Vamos ver ... talvez em geometria? Devido ao teorema de Pitágoras. É isso?P.: Exatamente.E.: Mas, continuo sem ver concretamente em que tipo de problemas apare-

cem expressões como as anteriores.P.: Veja, como já é hora de terminar, deixaremos isso para o próximo dia.

Assim você terá tempo - e eu também, claro - para buscar um exemplo. Vamosver o que acontece.

E.: Por mim, tudo bem. Vou procurar nos manuais que tenho em casa, paraver se encontro algo. Obrigado, Professora.

CRIAÇÃO E DOMíNIO DE TÉCNICAS MATEMÁTICAS

P.: Oi, Estudante! O que você pensou sobre aquela questão dos radicais? En-controu algum exemplo geométrico?

E.: Eu procurei, mas sem sucesso. Não encontrei nada nos manuais. Claro quenão olhei em todos ... somente nos que tenho em casa. E não tive tempo de pensarem um exemplo meu.

242 CHEVALLARD, BOSCH & GASC::

P.: Bom, então eu vou propor um exemplo simples.E.: Você tem? Muito bem, então me diga.P.: Vamos ver ... Considere esta figura (vai até o quadro e desenha o seguint

Há dois círculos que delimitam um objeto e, no círculo pequeno, há um que-drado inscrito. Poderia se tratar, por exemplo, de um motivo de um quadro abs _to.

E.: Certo.P.: Agora suponha que temos uma foto desse objeto e que queremos conh

suas dimensões exatas. Por exemplo: quanto mede, em centímetros, o raio rcírculo exterior. Certo?

E.: Sim. Mas tal como você o apresenta, o objeto pode ser de qualquer tarzz-nho, não?

P.: Se não tivermos mais nenhum dado, sim. Mas imagine que, além disso, -lado do quadrado divide o raio do círculo maior pela metade. Algo como:

B OA = ABr = OB

E.: Certo, mas continua acontecendo o mesmo. A figura real pode ser murzgrande ou muito pequena, não temos como saber.

P.: Concordo, concordo. Mas suponha que conheçamos alguma medida '=figura real. Por exemplo, a largura da coroa, ou seja, a diferença entre os raios d -dois círculos. Vamos supor que seja de uns 45 em. Podemos determinar, agora, -tamanho real da figura? Podemos encontrar o raio r do círculo exterior?

E.: Vamos ver ... Suponho que a figura deva ser bem grande. Embora, na ver-dade, não sei ...

P.: O que você faria?


.>E.: Para encontrar o r? Bem ... (Vai até o quadro e escreve.) Sabemos queiste"

r(aponta o segmento OA) vale 2. Bom. Então, isto (aponta o raio OC) vale OAJ2,

isto é, ~J2. Por outro lado, OC também vale r - 45. Então temos (escreve):

B

OA=ABr = OB

!...J2 = r-452

P.: Bom. E agora só falta resolver essa equação. Eu sei que disso nós sabemosum pouco!

E.: Senão, vamos perguntar para Marta! (Risos). Veja. Se multiplico os doismembros por 2, dá (escreve):

Onde ... (escreve)

rJ2 = 2r - 9090r=---2-J2·

P.: Muito bem. Mas suponha que alguém tenha resolvido a equação da seguin-

r t: rte maneira. Como 2,,2 é igual a .fi' multiplico os dois membros por J2 e obte-

nho (escreve):

r = J2r-45J2

Logo, o r é ... (escreve)

45J2r---- J2-(

E.: Sei. Dessa maneira dá duas expressões para uma mesma solução.

Qual é o melhor? É aqui que entra em jogo todo o trabalho matemático ~as expressões com radicais. Porque é importante poder demonstrar que -expressões representam, na realidade, um mesmo número: o raio r da figura

E.: Muito bem. Já temos o que procurávamos. Para resolver esse problez;necessário perceber que as três soluções são iguais e, para isso, é necessáriomanipular expressões com um radical. Muito bem. Mas acho que o exemplo--tão bom como parece.

R: Ah, não?E.: Não. Porque o que nós queríamos no início era encontrar o tamazzc

objeto. Portanto, o que nos interessa não é a expressão com radicais, mas s _numérico. E com a calculadora temos, imediatamente, uma aproximação ,-'=,~_

de r. (Pega a calculadora e digita por alguns instantes) O círculo maior mede..ximadamente, 154 em de raio. Vamos colocar um metro e meio. Era ísscqueríamos saber, não?

R: Não era bem isso ...E.: Eu já esperava!R: Seu comentário me parece correto: a priori queremos um valor ap:

do do tamanho do objeto. Queremos saber se r mede 80 em, ou 2m, ou 1Desse ponto de vista, as três expressões servem da mesma maneira, sem; _-tenhamos uma calculadora a mão, claro! Mas só se antes de calcularmosnumérico do r, quiséssemos controlar nossa solução. E uma boa maneira ':::provar que o resultado é correto, consiste em ir por um caminho diferente e

CHEVALLARD, BOSCH &

R: Isso mesmo. E também pudemos resolver a equação elevando os dois-bros ao quadrado e, lembrando que o r deve ser maior que 45, chegaríamos =

r2

- x 2 = (r - 45)24r2 = 2(r _ 45)2

r2- 290r + 2 x 452 = O

(r-2x45)2 -2x452 = O

r = 2 x 45 + 45J2 = 45(2 + J2)

E.: Epa! Isso já é muito mais complicado!R: Sim, mas, em compensação, obtemos diretamente a expressão canôníza

r. E assim chegamos a três resultados formalmente diferentes:


chegamos ao mesmo resultado. No final, temos de garantir que as três expressõessão iguais. E, como vimos, podem ser formalmente muito diferentes.

E.: Sei. E para ver que são a mesma, o melhor é escrevê-Ias em sua formacanônica a + bJ2.

P.: É isso. Você também pode tentar passar de uma para a outra, mas para issojá deve ser um pouco mais "perito" (escreve no quadro):

90 2x45 (J2)2 x45 45J22-J2 = 2-J2 = (J2)2 -J2 = J2-1'

E.: Certo, eu concordo. Mas se uma pessoa supõe que não se enganou, nãoserve para nada reduzir à forma canônica para chegar a um valor aproximado dor.

P.:Você tem certa razão ... Mas não toda razão. O que você diz não está total-mente certo.

E.: Por que não?P.: Preste bem atenção. Vamos supor que você queira um valor aproximado do

r com um erro máximo de alguns centímetros. Digamos que, como o r vale uns150 em, você se contentaria com um valor aproximado entre 150 e 160 em.

E.: Certo.P.: Vamos supor, também, que você não tenha calculadora. Tentará fazer o

cálculo à mão e simplificará um pouco as coisas. Por exemplo, em vez de J2 você

90vai pegar 1,5. Se fizer isso com a expressão 2 _ J2 ' a qual resultado você chega?

E.: Bem, 90 dividido por 2, menos 1,5, isto é, 90 por 0,5, que é o mesmo que90 multiplicado por 2, ou seja, 180.

P.: Você já está fora da área 150 - 160!E.: Sim, porque eu peguei um valor de J2 pouco aproximado. J2 é 1,414 e

mais alguma coisa.P.: Bom, mas você não pode negar que 1,5 é uma aproximação muito prática

para fazer cálculos mentais. Por exemplo, tente agora com a segunda expressão:

45J2J2 -1'

E.: Vai dar no mesmo!P.: Faça, por favor!E.: Está bem. 45 por 1,5 e dividido por 0,5, ou seja, 45 por 3, ... 135. É verda-

de, não dá a mesma coisa.

246 CHEVALLARD, BOSCH & <0.--_

R: Não. E também não dá a mesma com a expressão canônica. Veja: ti'nt~==

45(2 + Ji), isto é, com a aproximação, 45 por 3,5. 45 por 3 dá 135, e se somazzz;

a ele a metade de 45, isto é, 22,5, chegamos a 157,5.E.: Isso! E é essa aproximação que entra na faixa 150 - 160! Que curioso.; -

que encontramos coisas tão diferentes? Não entendo isso ...R: Não entende? Então é porque você está em um tipo de situação da ~

falamos: necessita de uma tecnologia matemática que faça com que ente -::o

E.: O que você quer dizer?R: Bem, simplesmente que você se encontra diante de um!~~n~ô~m~e::n~o~~~:-.

~que não entende, a saber: por que a expressão 45(2+ Ji) dá um valor - ~

mado melhor que as outras duas.E.: Muito bem. Mas, nesse caso, o que seria uma tecnologia matemática

priada?R: É algo que permite que você entenda o fenômeno. Aqui, por exemplop

consistir em um modelo matemático.E.: Um modelo matemático de um fenômeno matemático? Isso me par -

pouco estranho ...R: Não é estranho. Sempre acontece algo parecido: para entender urc f

meno matemático, temos de construir um modelo matemático. A matemátigride dessa maneira. Para entender um fenômeno matemático que não se c..-~"'--~a primeira coisa que se precisa é de mais matemática.

E.: Certo, certo. E o que se precisa aqui?R: Veja, podemos modelar a situação da seguinte maneira. Temos três - ~

sões numéricas (escreve):

902-Ji 45(2 + Ji)

A cada uma faremos corresponder uma função, substituindo Ji pela'

90x. Para a primeira, teremos a função f(x) = -2-'-x

45xE.: Sei. Para a segunda, será g(x) = --1 e para a terceira h (x) = 45' _ -x-R: Sim, o h(x) = 90 + 45x. Muito bem. Agora considere a função h. E

função afim crescente.E.: Sim, e o que nos interessa é h( Ji).R: Isso mesmo. Se pegarmos 1,5 como valor aproximado de Ji, terezi

calcular h(1,5). E como 1,5 é maior que Ji, encontraremos um valor de :..maior que o valor procurado h( Ji).


E.: É verdade. Tínhamos h( J2) = 154 e h(1,5) = 157,5.R: E com as outras funções?

E.: Vamos ver. A função J(x) = ~ é uma função hiperbólica ... Quando x2-x

cresce sendo menor que 2, o denominador 2 - x decresce e, portanto, a funçãocresce.

P.: Portanto?E.: Portanto, o valor aproximadof(1,5) será maior quef(J2). Acho que era

180, não?

P.: Sim. E agora falta a função g(x) = 45x . Ela é crescente ou decrescente?x-IE.: Deixa eu ver ... (Pensa uns instantes.) Assim, rápido, não sei.P.: Não sabe? Mas você se lembra do resultado numérico, não?E.: Sim. Era g(1,5) = 135, ou seja, menor que g( J2). Então, suponho que a

função será decrescente. Bom, isso é o que acho. Mas teria de ver isso melhor,calculando a derivada e tudo isso.

P.: Ah! Não precisa complicar tanto! Veja isso (escreve no quadro):

g(x) = 45x = 45(x-l)+45 =45+~.x-I x-I x-I

E.: Claro! Que esperta! Agora podemos ver que quando x cresce e é maior que

45x .1, --1 decresce. Portanto, a função g(x) também decresce. Era isso que dizíamos

x-antes.

P.: Bom. Eu imagino que vocêjá entendeu por que, quando pegamos 1,5 comoaproximação de J2, a primeira e a terceira expressões nos dão valores maioresdaquele que procuramos, e a segunda nos dá menor.

E.: Sim, perfeitamente.P.: Pois a tecnologia matemática que permite que você entenda tem origem no

fato de ter modelado às expressões numéricas por meio de funções. A partir daqui,podemos utilizar as propriedades mais elementares das funções, como seu cresci-mento ou decrescimento, por exemplo. Coisa que não podíamos fazer com as ex-pressões numéricas que são valores constantes: não crescem, nem decrescem.

E.: Certo. Concordo com isso. Mas ainda não terminamos. O que queríamossaber era por que a terceira dá uma melhor aproximação por excesso.

R: O que você acha?E.: Não está muito claro para mim ...R: Deixarei que você procure por si mesmo.E.: Certo, como você quiser. Já farei isso. Mas, então ... poderíamos voltar a

falar sobre o Luis?

248 CHEVALLARD, BOSCH &

P.: Claro que sim.E.: Continuo me perguntando por que ele dá a seus alunos uma

grande de exercícios.P.: Vejamos. Suponho que os alunos de Luis terão trabalhado, durante as-

anteriores à do episódio, um novo tipo de problema matemático: dadapressão numérica com um radical Fn, como escrevê-Ia sem que haja radi -denominador. Também vimos, há pouco, o que poderia justificar o estudo -tipo de problema.

E.: Sim.P.: Portanto, durante as aulas anteriores, deve ter surgido, pelas mãos -

alunos, uma determinada técnica que permita abordar esse tipo de tarefa --mática.

E.: A técnica da expressão conjugada.P.: Isso mesmo. No início, as tarefas matemáticas desse tipo eram, sem .

da, totalmente problemáticas para os alunos. O que Luis deve conseguir é _depois de certo trabalho, essas tarefas se tornem quase que rotineiras para ""Ou que, se você quiser, quando estiverem diante de uma expressão do tipo _dissemos, por exemplo ... (escreve no quadro)

5-J32+J3

a utilização da técnica de multiplicar pelo conjugado seja algo quase auto rnáéQue façam isso uma rotina.

E.: Se você me permite um comentário, Professora.P.: vá em frente.E.: Por que querer que os alunos cheguem a dominar essa técnica até -=-

ponto que se transforme em algo natural? São alunos, não profissionais! Nâo zzpara imaginar que tenham de passar a vida racionalizando esse tipo de expressá;

P.: Ou seja, você preferiria que esse tipo de tarefa se mantivesse sempre --pouco problemática para eles. É isso? Você tem um gosto muito refinado!

E.: Não estou dizendo isso. Estou dizendo, simplesmente, que talvez sejaexigência didática um tanto excessiva ... Além disso, de qualquer maneira,domínio da técnica somente durará um tempo limitado. Três meses depois já te 2esquecido isso, e o tipo de tarefa voltará a ser problemática.

P.: Com toda certeza. É verdade. Agora sim você percebeu o verdadeiro p _-blema. Por que querer que esse tipo de tarefa T se torne rotineira para os alun :-Existe uma resposta muito simples. Vamos pegar outro tipo de tarefa T', que cor-tenha as tarefas anteriores.


E.: Por exemplo, seu problema de geometria. Chegamos a uma expressão comum radical e queremos escrevê-Ia como a + bFn.

P.: Muito bem. Quando os alunos se depararem pela primeira vez com tarefasdo tipo T', terá de surgir uma determinada técnica. Se supormos que para utilizaressa técnica é necessário poder realizar as tarefas do tipo T, e se essas tarefas sãorotineiras, então, será ainda mais difícil que surja uma técnica para resolver astarefas do tipo T'. Em compensação, se alguns automatismos relativos às tarefasdo tipo T foram criados previamente, o esforço para aprender a realizar T' serámenor. Você percebe o que quero dizer?

E.: É necessário transformar em rotina aquilo que se criou, para poder conti-nuar criando. É isso, não?

P.: Sim, isso mesmo.E.: Mas você não respondeu totalmente a minha objeção. Se os alunos vão se

deparar com T' três meses depois de terem estudado as tarefas do tipo T, já pãosaberão como realizá-Ias. Talvez não serão tão problemáticas como no início, masjá não serão rotineiras.

P.: Você está no caminho certo. Trata-se de um fenômeno que todo mundoconhece. Quando você aprendeu a fazer algo bem, mas que, com o tempo deixouum pouco de lado, geralmente é muito mais fácil voltar a encontrar o domínio queteve um dia. Você volta a viver o processo de aprendizagem, mas de uma maneiramuito mais acelerada. Como era? Como se fazia? Isso é o que se pergunta aqueleque soube fazê-lo um dia. E voltará, rapidamente, a encontrar os caminhos bási-cos, isto é, a técnica que dominava, e em pouco tempo ela se transformará outravez em uma maneira de fazer quase automática.

E.: Certo, estou entendendo.P.: Claro que, fora isso, existe outra razão que explica o que faz Luis. Não se

trata somente de que os alunos dominem a técnica, trata-se, também, de quedisponham de uma boa técnica.

E.: O que você quer dizer?P.: Isso: quando você acha que tem um princípio de técnica, quando tentou

utilizar essa maneira de fazer com um, dois ou três exemplos, não é muito certoque a técnica de que dispõe funcione com um quarto exemplo. Você tem de colocá-Ia à prova com outros exem los, para ver se ela resiste. Em g~ral, você perceberá'>q~ técnica inicial era muit;~udimentar-;q;:;(rnecessário complicá-Ia umpouco para aumentar sua abrangência, para que seja realmente eficaz.

E.: Por exemplo, os alunos começaram trabalhando com expressões que con-tém um só radical e, no episódio que vimos, têm de abordar o caso de expressõescom dois radicais. Aqui, é necessário complicar um pouco a técnica inicial paraque funcione.

P.: Sim. Mas não é necessário ir tão longe. O fenômeno também é produzidoquando uma pessoa se limita às expressões com um só radical. Veja, considere a

250 CHEVALLARD, BOSCH & G-':::

expressão anterior ... (Vai até o quadro.) Mas, agora, com um quadrado no d~===--nador:

Se os alunos não viram, até o momento, expressões com um expoente acerá, aqui, uma pequena ruptura técnica: terão de passar para outro níve, .. _melhor dizendo, a técnica que utilizam deverá absorver essa nova dificulda =.

E.: Multiplicando duas vezes pelo conjugado?P.: Multiplicando duas vezes, você diz ... ou seja, se multiplico uma vez e-

(escreve):

(5 - J3)( 2 - J3)(2 + J3) 2 ( 2 - J3)

E, se agora volto a multiplicar, será:

13-7J3 = (13-3J3)(2-J3) = 47-27J32+J3 1

E.: Isso mesmo!P.: Sim. Mas talvez seja melhor que os alunos descubram uma variante

2cálculo, que consiste em multiplicar primeiro por (2 - J3) . No denominador -

rá (2 + J3)2( 2 - J3)2, isto é, (4 - 3)2, ou seja, 1. Somente terá de calcular o ::

rador: (5 - J3)( 2 _ J3)2.

E.: E para isso é necessário desenvolver o fator (2 _ J3) 2•••

P.: Bom. Acho que estamos nos entendendo. De qualquer maneira, vOCÉ:cebe que não se trata somente de dominar uma técnica, mas de criá-la. E paraé necessário aplicá-Ia em muitos problemas diferentes, para se assegurar de _será operacional quando realmente a coloquemos em prática.

E.: Ou seja, que aquilo que os alunos de Luis fazem é colocar "no ponto-técnica relacionada ao tipo de tarefa T.


P.: Sim. Além disso, acho que se trata do "acerto" final. Pelo menos no que dizrespeito às expressões com um radical.

E.: Também há o início de um trabalho novo, para fazer com que a técnicaevolua e se adapte às expressões com dois radicais.

\ P.: Isso mesmo. Trabalhar a técnica para evitar que sua aplicação se reduza aj um tipo restrito de problemas, para poder utilizá-Ia de maneira flexível, adaptan-* \do-a a novos problemas. É isso que significa tomar rotineiro.

E.: Mas, Professora, em matemática não existem somente técnicas!P.: Você tem toda razão. Também existe tecnologias e teorias. Mas já falamos

disso outro dia, não?E.: Sim. De qualquer maneira, eu tenho a impressão que, para Luis, a única

coisa importante é a técnica.P.: Você fala sem conhecimento de causa. O episódio que analisamos é somen-

te uma parte do trabalho. E haverá, em aula, muitos outros momentos dedicadosa outras partes da organização matemática, que Luis quer construir com seus alu-nos. Nós também falamos disso outro dia, acho.

E.: Sim.P.: No entanto, resta alguma coisa para esclarecer. Eu tenho a impressão de

que, para você, existem no trabalho matemático momentos nobres e momentosmenos nobres. Quando você vê os alunos descobrirem, de repente, uma técnica,embora seja um estado nascente, você percebe que ficam excitados e muito inte-ressados. Em compensação, quando você vê o aluno trabalhar com paciência umatécnica para deixá-Ia "no ponto" e, ao mesmo tempo, conseguir dominá-Ia, vocêpercebe que estão chateados, sem interesse. Não é assim?

E.: Talvez seja.P.: Deixe-me dizer algo. Na atividade matemát~, como em qualquer outra

atividade, existem 9uas_ earte.§, que não podem viver uma sem a outra. De umlado, estão as tarefas e as técnicas e, de outro, as tecnologias e as teorias. A primei-ra parte é o que podemos chamar de "p'rática" ou, em grego, apráxis. A segunda écomposta de elementos que permitem justificar e entender o que é feito, é o âmbi-to do discurso fundamentado - implícito ou explícito - sobre a prática, que osgregos chamaram de lagos. O que você tem de lembrar é que não há práxis semlagos, mas que também não há logos sem práxis. As duas estão unidas como os doislados de uma folha de papel. Quando juntamos as palavras gregas práxis e lagos,dá a palavra praxeologia. Uma organização matemática, como a que Luis tentafazer viver em sua aula, é uma p-raxeo/,QgLamatemática. Ela deve permitir que osalunos atuem com eficácia para resolver problem..iis e, ao mesmo tempo, ~QSll!.~fazem de maneira racional. Reflita um pouco sobre tudo isso. Voltaremos afalar disso no próximo encontro. Mas agora temos de "pôr o pé na estrada" comodizem por aí.

E.: Está bem. Até outro dia. Obrigado.

252 CHEVALLARD, BOSCH & c:.:=:=

o DIDÁTICO É INSEPARÁVELDO MATEMÁTICO

E.: Bom dia, Professora.R: Oi, como vai? Você pensou no que dissemos a última vez?E.: Claro que sim. Além disso tem algo que me incomoda um pouco, que --

entendo muito bem.R: E o que é?E.: É algo referente à praxeologia.R: Vejamos, o que você não entende?E.: Pensei no que dissemos, há algum tempo já, sobre as obras. Sobre as o' _

matemáticas, claro. Dissemos, por exemplo, que as expressões com um radica: -uma obra matemática. Ou uma pequena obra, como você quiser. É algo que __ponde a uma questão: ~~screver UlTIaex~~~a + bFn ? Também vimos em quais tipos de situações surgia à necessidade de _~~-ponder a essa questão. Portanto, é uma obra.

R: Até aqui, estou plenamente de acordo.E.: Mas, da última vez, você já não falava de obra, mas de praxeologia. A...-

disso, também falou em algum momento de organização matemática. Obra, _=-xeologia, organização matemática, não são muitas palavras? Esses termos são re-almente necessários?

R: Sim, são muitas palavras. É que, às vezes, em nome do rigor e da precisãcsão necessárias muitas palavras. Como você veio hoje, a pé?

E.: Não, de carro.R: De carro ou de automóvel?E.: Como você quiser, é a mesma coisa.R: Alegro-me que diga isso. Também poderia ter vindo de trem, não é?E.: Sim, percebo: de trem ou de comboio ferroviário.R: Muito bem, que progresso!E.: Ah, Professora! Então uma praxeologia e uma obra são a mesma coisa:R: ~, a mesma. Ou quase. O que nós dissemos é que uma obra surge co--

resposta a uma questão ou a um conjunto de questões.E.: Sim.R: Dizer que surge como resposta a uma questão é uma maneira de falar. U:=....

maneira um pouco metafórica. O que devemos nos perguntar é: em que consisteessa resposta? E da última vez dissemos ~_~~Qo~!.ª ..q~~ <!.á,a obra,,~questão que a motiva não é nada mais do gye uma determinada ...

·E.7Praxeoloiia~ -- - - " ----' . ---. ----

R: Isso mesmo. Portanto, ao passar da palavra "obra" para a palavra "prax --logia", tivemos algum ganho. Nossa descrição inicial, em termos de questões =respostas, ficava um pouco na superfície das coisas. Com a noção de praxeologizpodemos entrar um pouco mais no "ceme" da obra. De que se compõe uma ob c..-

De certa praxeologia. Ou, melhor dizendo, de um sistema de raxeologias, de ,-conjunto estruturado de raxeolo ias.----.-


E.: Entendo, entendo. E esse conjunto estruturado terá algo a ver com a ex-pressão "organização matemática", que você também empregou? Estou engana-do?

R: Note que a expressão "organização matemática" é um pouco fraca, é umtermo neutro. Uma obra matemática é um conjunto organizado de objetos, é uma

~ organização de objetos ligados entre si por diversas inter-refações. Aexpressão~'- -~- -, - -_.- ... _----" ~-.- ---,.' ------- .-----~....- - .não diz muita coisa por si mesma, mas, às vezes, é útil porque permite indicar queesse ou aquele objeto pertence ou não a essa ou aquela organização matemática.

E.: Como a questão dos dois radicais do outro dia, que no início não faziamparte da organização?

R: Sim. Podemos dizer que o trabalho que Luis realiza com seus alunos consis-

{

te em reorganizar determinada obra matemática para que possa integrar as ex-pressões com dois radicais. Depois que tiver realizado esse trabalho, o que obterá'*' é uma nova organização matemática que inclui a anterior - a das expressões comum só radical.

E.: E nessa nova organização também haverá técnicas, tipos de problemas etudo isso?

R: Sim, claro. Para construir a nova organização, terá de elaborar uma nova~ia, com um tipo de problema determinado, uma ou várias técnicas, suatecnologia e sua teoria correspondente. Organizar é criar uma raxeo19~. Umapraxeologia nova ou renovada. Na realidade, teria que se falar de org~~çãopraxeçlógica.

E.: Mais uma expressão!R: Veja, não precisa vir com críticas. Inclusive, seria necessário falar de orga-

nizações praxeológicas matemáticas, para depois abreviar para "organização ma-temática" ou, como dizia antes, para "praxeologia matemática". É o mesmo. Tudodepende do que você quer colocar em evidência.

E.: Eu gostei de "obra", podia ver bem o caráter objetivo da coisa.R: Estou entendendo. Porque você deve ser sensível à idéia ...E.: De algo que se constrói, que os homens constróem como resposta para

certas necessidades.( R: Para certas necessidades praxeológicas. Isto é, a necessidade de poder atu-

~ lar mais e melhor, e também de maneira mais justificada e inteligível.E.: É verdade. Tudo depende do que se quer colocar em evidência. Também

acho que a questão da organização tem um caráter mais dinâmico: algo que seorganiza e reorganiza em função das necessidades, como faz Luis, e que podemudar ... De qualquer maneira, agora tenho outra pergunta.

R: Diga.E.: Veja, vamos supor que queremos construir uma organização matemática.R: Certo.E.: Para fazer esse trabalho, para realizar essa tarefa, são necessárias técnicas

e, portanto, tecnologia e teorias. Portanto ... necessitamos de algo ... uma praxeolo-gia, não? Para construir uma organização matemática é necessária outra praxeo-

254 CHEVALLARD, BOSCH & ~:.::_

logia. Mas essa nova praxeologia, que serve para construir outra, não é uma =- __xeologia matemática. Ou é?

P.: Você acaba de tocar num ponto muito delicado. Vamos ver. Elabora:- _

\reconstruir certa.§..-º~~ções m..e~a.' !~s, isso faz tanto os professoresseus alunos como os pes uisadores em matemática. Quando um matemático =--

\ trói uma nova organização matemática, f~o com det~rminadas técnicas, jls::-

l!kadas de ~m3 qtl~lJl1i!lªº"ªjn~a, ou seja, r~c<2!!.~_I2doa alguma raxeol~Certo?

E.: Sim.P.: Faz um trabalho matemático, um trabalho regulado por determinada _

xeologia. E você diria que o trabalho de um matemático não é matemático?E.: Bem, a verdade ...P.: Claro, isso é muito delicado. A praxeologia do matemático é o que pe

que ele faça matemática. Fazer matemática, isto é, produzir matemática, praxer-logias matemáticas. Você está me acompanhando?

E.: Acho que sim.I P.: Bom, vamos continuar, embora seja um pouco difícil. A praxeologia IDE-

) mática que o matemático quer construir é o objetivo de seu trabalho, o prod\ que ele quer obter. Em compensação, sua praxeologia de matemático é o que -:o

t proporciona os meios para realizar esse trabalho.E.: Professora, posso interrompê-Ia um minuto? Ao analisar o episódio

Marta e seus alunos, você falou de técnica didática. Marta queria que seus alueconstruíssem determinada praxeologia matemática - relacionada à álgebra ~mentar - e, para isso, recorria a determinada técnica didática.

P.: Sim, didática no sentido de relativa ao estudo.E.: Exatamente. Se "didático" quer dizer "relativo ao estudo", então ... \-(=

geralmente, quando o matemático quer construir uma praxeologia matemática ::porque quer resolver um determinado tipo de problema. E aqui também dizem -em linguagem corrente, que o matemático estuda. os PE<?!?lem~que ~le mes::::;.:pr2R9.e.

P.: Claro. O biólogo estuda problemas de biologia, o químico problemasquímica, etc.

E.: Então, se estuda problemas, também podemos dizer que a técnica _utiliza para estudar problemas é uma técnica didática. E a praxeologia que --==permite atuar será, pelo menos, uma praxeologia didática.

P.: Conclusão?E.: Que para elaborar uma praxeologia matemática, o matemático neces .•

de uma praxeologia didática. É isso?P.: Isso mesmo. Claro que aqui voltaremos a encontrar uma dificuldade. u-~

dificuldade inevitável, que faz parte da própria natureza das coisas.E.: O que você quer dizer?P.: Bem, que a fronteira entre o didático e o matemático não está estabeleci' =

de maneira definitiva. Não podem ser separados facilmente. "Fazer matemática"

ESTUDAR MATEMÁTICAS

na linguagem corrente, quer dizer ao mesmo tempo, operar, atuar, de acordo com~ certa praxeologia matemática - como quando resolvo uma equação de segundo

grau - e também quer dizer produzir uma praxeologia matemática nova ou par-cialmente nova. A dificuldade da qual estou falando aparece muito claramentenessa dupla vertente do verbo fazer: fazer no sentido de produzir e fazer no senti-do de agir.

E.: Espere. Para agir, será necessário recorrer a uma praxeologia matemáticae, para produzir, será necessária uma praxeologia didática? Não está muito claropara mim. Você também disse que a fronteira entre ambos não está completamen-te estabelecida. O que isso significa exatamente?

P: Essa também é uma questão difícil. Veja, a história da matemática mostraque muitas técnicas utilizadas para produzir matemJtica acabaram se integrando,no fim das contas, em ~~s_õe~_!E~!emátiqls. Ou, se você preferir, que certas"coisas didáticas", que servem para estudar problemas e criar nova matemática setransformam, progressivamente, em "coisas matemáticas" e acabam se "materna-tizando". Que, historicamente, é produzida uma certa "maternatização" do didáti-co.

E.: Não entendo isso. Não está me parecendo nada claro.P: O que você acha que não está claro?E.: Vamos pegar um exemplo. Eu, quando tenho de estudar um tipo de pro-

blema de matemática, costumo começar examinando alguns problemas simples,os mais simples que se possa imaginar. Isso é uma técnica didática?

P: Sim, claro que é. 1E.: E você acha que essa Jécnica didática, no fim das contas, será matematiza-

da e passará a fazer parte de uma organização matemática?P: A pergunta tem fundamento. Mas, antes, é necessário fazer algumas obser-

vações gerais. Primeiro direi que o processo de matematização do qual eu fal~ __geralmente afeta todo tipo de objeto, e não somente os ob·etos didáticos:-Ê -umfenômeno muito mais amplo. Por exemplo: a partir da idéia comum de retilíneode nossa noção de linha reta, o processo de matematização produzirá a reta mate-mática, com sua equação cartesiana, e tudo mais. Claro que o inverso, o processode "matematização", deixa de lado muitos objetos, e somente poderemos nos apo-derar de alguns deles, sejam ou não didáticos.

E.: Portanto, a matematização das coisas é um fenômeno pouco freqüente.P: Sim, podemos dizer isso, embora seja mais freqüente do que pareça, sem-

pre que levarmos em consideração que a matematização de um objeto é algo par-cial, que somente se traduz, matematicamente, algumas propriedades do objetomatematizado. Como, por exemplo, na técnica matemática que você descreveu ...

E.: Sim, e daí?P: Bem, podemos imaginar que, da utilização dessa técnica, surja a idéia de

que, quando estudamos determinado tipo de problema, é útil examinar um bomnúmero de modelos, para destacar as propriedades realmente interessantes queaparecem em cada problema do tipo em questão. Em certos contextos do trabalho

255

256 CHEVALLARD, BOSCH & G':===

matemático, essa idéia leva à noção de axiomáticas: o tipo de problema será te: -mulado considerando unicamente aqueles casos em que são cumpridas detnadas propriedades propostas a priori - os axiomas. Daí, então, são estudadaspropriedades dos "~temas matemáticos" que cumprem essas propriedades.í E.: Certo, mas construir uma axiomática no sentido de explicitar certas .-*\sições prévias, isso continua sendo uma técnica de estudo, uma técnica didázi

P.: Exatamente. Claro que, a partir daqui, é produzida uma evolução histdmuito importante, na qual se matematizará a técnica de axiomatização que,você disse, a princípio é uma técnica didática. A partir do século XIX e sobre; -no início do XX, os matemáticos elaboraram toda uma teoria matemática dasomáticas com o objetivo de entender melhor - e também controlar melhor -ferramenta axiomática, que é um ,instrumentQ..deJ:ra.b.allill para o matemáti _

E.: Mas, então, novamente teremos um ,!Qgrumento didático, visto queferramenta servirá para estudar melhor novos tipos de problemas!

P.: Isso mesmo. No princípio, há uma maneira de fazer, uma técnica ~estudar certos tipos de problemas. Essa técnica será matematizada parcialmedando lugar a novos conhecimentos matemáticos, que permitirão melhorá-Ia,.

~ cisá-ia, dar-lhe maior eficácia. Esse é o interesse de toda matematização, e nãda rr.atematização de coisas didáticas. Por isso, eu dizia que não podiam serradas,

E.: Estou começando a entender... Embora preferisse um exemplo mais =c -mentar.

P.: Você sempre pedindo mais! Nunca se dá por satisfeito! Vejamos, um ex=-plo mais elementar ... Então veja, será um exemplo meio artificial, mas emcaso mais concreto.

E.: Certo.P.: Vamos imaginar um aluno muito interessado pela matemática e que dís; -

de uma técnica de estudo um tanto quanto particular: consiste em supor quete um número que cumpre certas propriedades, embora não saiba se o nlL:::.=::existe ou não, ou até saiba que esse número realmente não existe.

E.: Por que você não explica melhor?P.: Veja, pegue o seguinte caso. Considere uma obra matemática que existe

todos os currículos do ensino fundamental e cujo objetivo é responder à ques -como resolver uma equação quadrática?

E.: Certo. A resolução de equações de segundo grau.P.: Nosso aluno quer reconstruir, à sua maneira, a organização mate --

que estudou em classe, sob a coordenação de seu professor.E.: Ou seja, que conhece essa organização matemática.P.: Sim, é o que suporei. Sabe, por exemplo, que a equação ax2 + bx +

tem duas soluções diferentes se e somente se b2 - 4ac > 0, uma solução se b2 --

= ° e nenhuma solução se b? - 4ac < O.E.: Certo. b2 - 4ac é o discriminante da equação. É o primeiro que se apr

ao estudar as equações de segundo grau.


P.: Sim. Mas essa organização matemática não lhe agrada.E.: Por quê?P.: Porque não entende o resultado anterior. Não entende porque o discrimi-

nante desempenha um papel tão importante, por que aparece precisamente a ex-pressão b2 - 4ac. Você poderia dar-lhe a resposta?

E.: Não sei... Por que decisivo é o sinal do discriminante, e não outra coisa?Não sei. É o que obtemos ao resolver a equação.

P.: Veja, vamos imaginar nosso aluno trabalhando sobre a questão proposta. Aprimeira coisa que fará será utilizar sua técnica de estudo habitual para ver o queacontece nesse caso.

E.: Em que consiste essa técnica concretamente?P.: Em supor que a equação tem uma solução Xo da equação ...E.: Mas, no início, ele não sabe se a equação tem ou não solução.P.: Exatamente. Essa é sua técnica: supor que existe um número Xo que é a

solução da equação axo2 + bxo + c = O. E então o subtrai da equação inicial, assim(vai até o quadro e escreve):

ax2 + bx + c = O

axo2 + bxo + c = O

axo2 + bx., + c = O

a( x2- Xo2) + b(x - xo) = O

<=> a(x-xo)(x+xo)+(x-xo)=O

E.: Muito bem. E agora?P.: Agora chega à seguinte conclusão: simplificando por a(x - xo) aparece

outra solução da equação que satisfaz a(x + xo) + b = O. Portanto, se Xo é uma

l-I - , bso uçao, a outra so uçao e Xl = -Xo - -.a

E.: E, então?P.: Bem, acaba de perceber que se a equação tem uma solução, então tem

duas.E.: A não ser que seja a mesma.P.: Sim, claro. Na realidade, o que acaba de demonstrar - ou quase - é que

uma equação de segundo grau tem, no máximo, duas raízes, algo que o professornão havia feito em classe.

E.: Certo, certo. Mas, e o discriminante?P.: Vou falar sobre isso agora. Sua técnica consiste em supor que sempre exis-

tem os números que procura, isto é, nesse caso, as soluções da equação. Supõe quehaja uma e demonstra então que tem de existir a outra, embora possa ser igual àanterior. Mas o que ele quer ver é o que se esconde atrás da equação, ir, de certamaneira, olhar o outro lado do espelho.


E.: O que você está querendo dizer?E: Que aqui o que fará será expressar os coeficientes a, b, c em função das

soluções e substitui-los na equação inicial. Já sabe, porque foi visto em classe, quea soma e o produto das soluções de uma equação de segundo grau são dados po _

-b cXo + Xl = - e Xo' Xl = -.

a a

E.: Isso mesmo. Supondo que a equação tenha duas soluções, claro.E: Sei, mas essa é precisamente sua técnica de estudo. Supõe que haja duas

soluções, embora não existam. Vou continuar. Porque agora perceberá que esseresultados vistos em classe são facilmente decorridos do que ele já tinha.

bE.: Sim. Ele havia obtido Xl = - Xo - Para a soma é evidente que

a

-bXl + Xo = -.a

E: E para o produto também. Vou fazer, veja (escreve):

b 2 b -1 2 -1 cxo' XI = XoC-Xo- -) = -xo - -Xo = -Caxo + bxo) = -C-c) =-.

a a a a a

E.: Muito bem. Mas ainda não chegamos ao discriminante.E: Paciência! Já estamos quase lá. Das duas expressões anteriores, concha

que -b = a(xI + xo) e que c = axl' xo. E, então, chega a:

E.: Ah! Estou entendendo. Se há duas soluções, então o discriminante b2 - c:que vale a2 (xo - xIF é necessariamente positivo e é igual a 0, quando as soluçõessão iguais. Se for negativo, não pode haver soluções porque, se houvessem, serzpositivo!.,

I

E: Perfeito. Mas ainda não terminamos. Nosso aluno aprendeu em aula lJ-·

fórmula que também não entende, que lhe parece meio misteriosa: aquela que -a expressão das soluções. Vou recordá-Ia (escreve):

-b ± Jb2- 4acx=------

2a


Se aplicar aqui as mesmas substituições que antes, chegará a:

A fórmula anterior se transforma, então, em:

Com o sinal de + se obtém Xo e com o sinal de -, Xl.

E.: Está certo. Acho que estou entendendo o que você quer dizer. Mas tenhoalgo a objetar.

E: Vejamos, qual é sua objeção?E.: Veja bem, a técnica de estudo utilizada pelo nosso aluno, na realidade, é

urna jécnica, superclássica. Consiste em estudar as conseqüências apresentada,pela existência de um objeto que não se conhece: se o objeto existe, então deveacontecer isso ou aquilo. Talvez, o aluno tenha descoberto isso por ele mesmo, eisso já tem muito mérito, mas a técnica utilizada continua sendo uma técnica deestudo, uma técnica didática. Não vejo em que se matematizou. Além disso, háum erro em sua argumentação: você demonstrou que se o discriminante for nega-tivo, então, não há soluções; mas não demonstrou que, se for positivo, há, efetiva-mente, duas soluções.

E: Você tem razão. Embora seu erro não seja muito grave, porque já haviamvisto isso em aula.

E.: E minha objeção?E: Calma, já falo sobre isso. Em certo sentido, você tem razão novamente.

Mas o que eu supunha é que o estudante imaginava um universo de números maisamplo do que o que ele conhece, números fictícios, se você quiser assim. Sãonúmeros que ainda não existem para ele, mas que existem para o matemático.

E.: Você está se referindo aos números complexos?E: Exatamente. De fato, a técnica utilizada hoje em dia está totalmente mate-

matizada: consiste em nos situarmos no plano complexo. Ou, se ainda lhe restaalguma lembrança da teoria de corpos, que você estudou na licenciatura, em nossituarmos no corpo da decomposição do polinômio ax2 + bx + c = 0..-

E.: Bom, tem algo que não entendo muito bem. Se digo "suponho que" exista,uma solução etc.", estou utilizando uma técnica didática. Em compensação, sedigo "me situo no corpo dos números complexos etc", é que recorro a uma técnicamatemática. Nos dois casos, tratam-se de técnicas utilizadas pelo matemático. Porque a primeira seria didática, e a segunda, matemática?

260 CHEVALLARD, BOSCH & GASCÓ

R: Você tem razão, A diferença é muito sutil. Por isso antes eu dizia que afronteira entre o matemático e o didático é muito nebulosa. De qualquer maneira.há uma pequena diferença.

E.: Qual?R: Vamos nos colocar no nível da justificativa da técnica, no nível tecnológico.

No primeiro caso, quando suponho que exista uma solução e examino as conseq --ências, o que faço se justifica no âmbito da lógica. Inclusive, na maioria dos casoestaríamos no âmbito da lógica natural, que ainda não foi matematizada pellógico ou pelo matemático. Em compensação, no segundo caso, quando consideas soluções complexas, o que justifica minha técnica é certa organização tnatemé-tica que os matemáticos elaboraram em torno da noção de número complexo.Posso supor isso porque, por exemplo, há um teorema que diz que todo polinôrníde grau n tem n raízes complexas.

E.: Sei. No primeiro caso, temos uma organização que não tem porque sermatemática (embora possa ser matematizada) e, no segundo caso, trata- se ceuma organização indubitavelmente matemática.

R: Isso mesmo. Além disso, a distinção que acabo de fazer não é, em absolu o."metafísica". Ela, de fato, provoca na sala de aula dificuldades muito concretas -difíceis de administrar. Quando os instrumentos do trabalho matemático não tez;o status de objetos matemáticos, por exemplo, quando fazem parte de nossa "pra-xeologia natural", à qual se supõe que todos temos de maneira espontânea, enrãro professor não pode pegá-Ias como objetos de estudo oficiais.

E.: Porque se não forem objetos matemáticos, não posso considerá-Ias?R: É algo mais. É como se tivesse de supor que os alunos os conhecem ==

dominam, que dispõem deles de maneira natural, espontânea. É o que acontece,por exemplo, com a lógica natural, que permite fazer os primeiros raciocíni -tomar as primeiras decisões, tirar as primeiras conclusões no trabalho matemárí-co.

E.: Acho que começo a entender isso, mas me parece tudo muito confuscPosso fazer outra pergunta?

R: Bom, mas será a última de hoje. Pense que as coisas não podem ser entdidas sempre na primeira vez.

E.: Veja. No início, quando examinamos o episódio de Marta, você me fal _de técnicas didáticas. Há pouco, nós falávamos das técnicas utilizadas pelo mate-mático, e agora você acaba de descrever uma técnica didática utilizada pelo a.:_no. Em todos os casos falamos de técnica didática.

R: Sim. Ou, mais em geral, de praxeologia didática.E.: E é sempre a mesma coisa, nos três casos?R: Sim, essencialmente sim. Embora, claro, o matemático, o professor e -

aluno não se deparem sempre com os mesmos problemas didáticos. Mas, noscasos, o que fazem é colocar em prática - às vezes criar - uma técnica de esnzi;da matemática. Sim, uma técnica didática.


E.: Então, o matemático é, ao mesmo tempo, aluno e professor, é seu próprioprofessor.

R: Sim.E.: Portanto, um grande matemático será, ao mesmo tempo, o melhor aluno e

o melhor professor. Será o melhor didata!R: Sim e não. É o melhor aluno no contexto no qual trabalha. Certamente que

há melhores alunos do que ele em outros contextos. E, sobretudo, como professor,somente é um bom professor em relação a um só aluno: ele mesmo. Sua ciênciadidática tem um alcance muito limitado: no princípio é eficaz, até extremamenteeficaz, mas em somente um caso.

E.: Quando ele é o professor e também o aluno.R: Você deve entender que a ciência didática que tentamos elaborar não pode

se basear nesse tipo de proeza, a não ser que pretenda ter um alcance muito maior,ser válida para a maioria dos professores e dos alunos. Acontece o mesmo com aciência médica: não se desenvolve para as pessoas que gozam de boa saúde. Masagora teremos de parar por aqui. Guarde as perguntas que ficaram para o próximoencontro e revise bem o que dissemos hoje.

E.: Vou fazer isso. Obrigado, Professora.

OS MOMENTOS DE ESTUDO

E.: Oi, Professora.R: ai. Preparou algumas perguntas para hoje?E.: Sim, claro. Eu tenho a impressão de que cada vez tenho mais.R: Então, vá em frente.E.: Veja, é outra coisa sobre Marta e Luis. Você disse que os dois conduziam o

estudo de um tipo de problema e que os dois episódios eram diferentes, em pri-meiro lugar, porque não apresentam o mesmo momento do processo de estudo.Não é isso?

R: Sim, isso mesmo.E.: Portanto, há momentos diferentes.R: Sim.E.: Você poderia explicá-los para mim? Quero dizer, poderia me contar quais

são os diferentes momentos possíveis? Essa é a pergunta que trouxe hoje.R: É uma grande pergunta. E espero que não traga muitas mais como essa!

Bom. Vamos começar pelo início, quero dizer, pelo que vimos até agora.E.: Sobre Marta e Luis.R: Isso mesmo. No caso de Marta, vimos o momento em que os alunos se

deparam pela primeira vez com um novo tipo de problema. É o que se chama de omomento do primeiro eE1:contro:tomo tipo de problema.

262 CHEVALLARD. BOSCH & GASCÕ

E.: Certo. Mas isso também acontece na aula de Luis: os alunos se depararapela primeira vez com expressões com dois radicais.

P.: Você tem razão. Mas você também se lembrará que não era isso que maisincomodava.

E.: É verdade.P.: O que o incomodava era, de fato, outro momento do processo de estudo.

Quando Luis pede a seus alunos que resolvam um grande número de exercíciossobre expressões com um radical, está claro que já não se trata do momento Cprimeiro encontro com esse tipo de problema. Já nem sequer se fala de problemas.mas de exercícios: os alunos se exercitam na resolução de exercícios desse tipo. Jc.dispõem de uma técnica, e o que estão fazendo é melhorar seu domínio destécnica. Inclusive, no final, eles se contentam em comprovar que sabem utilizá- -

E.: E isso é um momento do processo de estudo?P.: Sim, é~momento do trabal~~_~c:~técnicg. Já falamos disso, você não se

lembra? .-E.: É verdade. Mas, então ...P.: O que foi?E.: Você disse que, no episódio da aula de Luis, há o momento do primei:

encontro com um novo tipo de problema - as expressões com dois radicais - =-agora você acaba de dizer que há o momento do trabalho da técnica.

P.: Sim.E.: Então, há dois momentos ao mesmo tempo!P.: É necessário precisar mais esse ponto. É verdade que, nesse episódio c=

aula, os alunos e o professor vivem dois momentos diferentes ao mesmo tempo.ou, pelo menos, durante o mesmo período de tempo.

E.: Sim, é o que eu dizia.P.: E aqui surge uma pequena dificuldade, pois a noção de "momento" que

utilizei não é uma noção estritamente cronológica.E.: O que você está querendo dizer?P.: Veja, quando dizemos que os alunos de Luis vivem o momento do prime' _

encontro com um novo tipo de problema, o mais provável é que Luis tenha dísrrí-buído para eles a folha de exercícios no início da aula, ou até antes. Em qualquercaso, os alunos estiveram trabalhando, durante a aula, com essa folha de exercí .-os. Portanto, cada um pode ter se encontrado com o novo tipo de problema indíví-dualmente. E não ao mesmo tempo, claro.

E.: E que conclusão devemos tirar. disso?P.: Que, para esses alunos, o mo~ento do primeiro encontro acontecerá er;

dois momentos diferentes. Em primeiro lugar, há um encontro em que estão sozi-nhos com a folha de exercício. Depois, há o encontro em que o professor os guia,Geralmente, os momentos não são vividos ao mesmo tempo. Existem de maneiradispersa. São vividos várias vezes. Por exemplo, é bem provável que alguns alun =tenham perdido esses dois instantes da aula de Luis, como quando você cruza cor;alguém pela rua, e não o vê. Então pode acontecer que o primeiro encontro se:::.


produzido mais tarde, quando, em casa, tenham de fazer o trabalho que Luismandou.

E.: Percebo. E o mesmo acontecerá com o momento do trabalho da técnica,não? Porque suponho que uma técnica não deve ser trabalhada de uma só vez.

E: Claro que não. Além disso, quando um aluno se põe a fazer os deveres decasa, a retomar o que foi feito em classe ...

E.: Voltará a viver os diferentes momentos: o do primeiro encontro, o da téc-nica ...

E: Isso mesmo.E.: Ou seja, que um momento não é somente algo que se vive em classe, com

o professor.E: Exatamente. Inclusive, se não houvesse professor, se o aluno tivesse de

estudar sozinho porque, por exemplo, faltou à aula, também teria de passar pelos~~CQmp_õ_eI!l 2..Jlroces~<L.deestggo: são as grandes tarefasdidáticas que não pode deixar de realizar. Dito isso, quando dispomos de um pro-fessor para coordenar o estudo, essas tarefas didáticas são tarefas cooperativas,nas quais participam alunos e professor: o aluno conta com o professor, para que oajude a viver esses diferentes momentos, e o professor conta com a energia de seusalunos e com seu envolvimento no processo de estudo (que inclui, como você bemsabe, a lição de casa), para que sua ajuda seja eficaz.

E.: Certo. Mas só há esses dois momentos? Você está querendo dizer que oprocesso de estudo se reduz a deparar-se com um tipo de problema e deixar "noponto" uma técnica que permita resolvê-los?

E: O que você acha?E.: Bem ... por exemplo, dissemos que toda técnica devia ser justificada. Por-

tanto, necessariamente haverá um momento ... Ah, claro! Agora já sei o que vocêchama de momentos! É simplesmente no sentido de que "há um momento no

I "E'· ?qua ... ISSO.

E: Sim, muito bem. É exatamente isso. Mas continue com o que estava dizen-do.

E.: Eu dizia que há um momento em que terá de justificar a técnica. Deve sero momento da justificativa, ou algo assim, não é?

E: Poderíamos dizer que é isso. É o~!l:~o tec~ológico-teó!!<3 Parece maissensato, mas também tem a vantagem de dar ênfase aos-dois níveis de justificati-va: a tecnologia da técnica, que se mantém mais próximo da técnica, e a teoria,um pouco mais distante.

E.: Certo, certo. Portanto, há três momentos do estudo.E: Não vá tão rápido. É mais complicado do que você pensa. Talvez seja me-

lhor dedicarmos um pouco de tempo para criarmos uma pequena organizaçãomatemática em torno de um tipo de problema que você não deve conhecer muitobem. O que você acha? Assim poderemos deixar mais claros os diferentes momen-tos.

E.: Como você quiser, Professora.

263

r---~


E: Muito bem. Proponho que estudemos o seguinte problema: determinarum número dado é racional ou irracional.

E.: Como J2, por exemplo?E: Isso. J2 é um número irracional. Isso você já sabe.E.: Sim, claro.E: E o que você sabe mais sobre isso?E.: Não muita coisa. J3 também é irracional, e J5, etc.E: E JC, no geral?E.: Quando c é um número natural? Acho que sim, a não ser que seja uz;

quadrado perfeito, como 4 ou 9.E: Você saberia demonstrar isso?E.: Que é um número irracional? Conheço uma demonstração para J2, ê.

clássica.E: E para o caso geral?E.: Suponho que seria mais ou menos igual.E: Bom. Agora proponho o seguinte: não vamos demonstrar logo que JC '"

irracional, mas tentaremos çgnstruir...U1lliltécnica para determinar se um núme:dado é ou não irracional. Se conseguirmos, e se ,a justificativa dessa técnica exi ai:-a demonstração desse resultado, então o faremos. Mas primeiro é necessário _'"concentrar na construção da técnica.

E.: Certo. Portanto, vamos diferenciar o momento tecnológico-teórico, o dademonstração e justificativa da técnica. Pois já sabemos que um momento podeser vivido várias vezes.

E: Exatamente. Na realidade, trata-se de algo muito banal na atividade mate-mática. Somente em alguns livros ou em alguns cursos se começa alinhando todosos resultados necessários, sem que o leitor ou o participante do curso possa perce-ber sua necessidade. É uma maneira de proceder muito econômica, mas tambér;artificial. Então, mãos à obra.

E.: O quê? Desculpe-me?E: É necessário estudar o problema. Por onde você começa?E.: Não tenho idéia.E: Você está caindo em um vício muito escolar: espera que o professor diga

que deve fazer. Vou dizer para você, senão, não terminaremos nunca.E.: Não, não. Já sei por onde começar: pegando um caso específico. Por exerr-

pio, 2J2.E: E daí?E.: É irracional.E: Por quê?E.: Porque se fosse racional, então sua metade também o seria. Mas sua meta-

de é J2 que é irracional. Estamos utilizando o teorema, Professora!E: É verdade. Mas ainda não é suficiente para que o demonstremos. Vamos

continuar. Qual outro caso?


E.: Vamos pegar ... 7 + J2. Aqui também é fácil. Se fosse racional, então7 + J2 - 7 também seria. E isso é falso.

. , 3+.JsP: Sim, E se pegassemos ---?

4

S . . f . 1 - 3+.Js ~E.: ena a mesma coisa: se osse raciona , entao 4 vezes --- = 3 + " 5

4também seria, e o mesmo com 3+ .Js - 3 = .Js . Portanto, se sabemos que .Js não

, . 1 - 3+.Js bé - re raciona , entao --- tam em nao sera.4

P: Bom. Então agora já temos uma pequena técnica de curto alcance e essen-cialmente discursiva: o que você estava fazendo agora, em cada momento, erarepetir um pequeno discurso.

E.: Sim.P: E o que podemos fazer é tentar abreviar essa técnica, para que não tenha

de repetir a mesma coisa a todo momento.0E.: O que você está-querendo dizer?P: Podemos recorrer a uma estratégia didática muito simples: enriquecermos

o entorno tecnológico da técnica para tomar sua utilização mais ágil.E.: Não entendo.P: Eu vou mostrar para você. Vou incluir na tecnologia o seguinte teorema: se

a e b são números racionais, com b diferente de 0, e se a é um número irracional,então a + ba também é irracional.

E.: Concordo. É muito fácil de demonstrar: se a + ba for racional, entãoa + ba - a = ba também seria, e o mesmo com ba/b = a. E isso é falso.

P: Exatamente. Você acaba de repetir mais um vez o pequeno discurso, mas

f d 'S A· d 11- 3J8 ,. . 1agora o ez e uma vez so. e voce quisesse emonstrar que e irraciona ,7

poderia escrever (vai até o quadro e escreve):

11- 3J8 11 3 t: . .J8 irracional => = - - -" 8 irracional.777

E.: Certo. Mas aqui também necessitamos saber que J8 , .Js, etc. são irracio-nais.

P: Sim. E isso faz com que o teorema sobre Fc seja ainda mais interessante.Mas vamos nos deter no que acabamos de escrever. Pode ser aplicado a qualquernúmero do tipo a + bFc, mas também a qualquer número que se possa escrever damesma maneira. Entende o que quero dizer?


3-.JsE.: Claro! Se pegarmos um número como --r=::

2 + ,,5P.: Voltamos aos nossos números preferidos! Esse é o alcance da técnica. -=-

quando chegamos nesse ponto, nossa organização matemática comporta, de' :::diato, um teorema demonstrado e um teorema conjeturado, que espera ser c:::-monstrado.

E.: E a técnica do discurso, e a da manipulação de expressão com radicais, ::tudo isso, não?

P.: Claro, claro. Mas eu queria assinalar o seguinte: o pequeno discurso _..:.=você fazia antes já não faz parte da técnica que consideramos. Poderá continua;nos servindo durante a construção da organização matemática que realizam -mas se tornou tecnicamente inútil.

E.: Não entendo. <i:»:

P.: Veja. Até agora, diante de um número como 3 -.fi, você dizia: "Se 3-fosse racional, então ..." Agora você dirá: "Como .fi é irracional, 3 -.fi tarnbérr é

irracional". Não é o mesmo discurso, já não se utiliza a mesma técnica. Em -':C

aula, por exemplo, os alunos poderão ter começado fazendo os pequenos disczr-sos que você fazia, mas terá de chegar o momento em que o professor dirá: "Bez;agora vocês já não precisam fazer mais assim. Isso era no início. Agora é necesss-rio ir mais rápido, fazer diretamente".

E.: Mas sempre haverá alunos que se manterão na questão do início.P.: Sim, alunos de alguma maneira reacionários, que terão dificuldade de -=.

desprenderem da primeira técnica. É normal. Mas o professor indica a eles q =-nessa~~ que é sua aula, terão de fazê-lo dessa ou daquela maneira. Ine=»tavelmente, em algum momento, deverá precisar qual será a "boa técnica".

E.: Você diz que, inevitavelmente, há um momento em que ... É um novo -mento? Quero dizer, em relação àqueles que já vimos?

P.: Sim. É o momento da institucionalização.>,E.: E todos os professores têm dê precisar esse tipo de coisà? Por que -;=-

deixar que cada aluno utilize a técnica que melhor lhe convenha? Desde que s _-justificada, claro.

P.: Boa pergunta! Em primeiro lugar, você deve considerar que a instituciozz-lização não diz respeito somente à técnica. Diz respeito à organização matemá -_em seu conjunto e em toda sua complexidade, à praxeologia matemática. Tambéc;são institucionalizados elementos tecnológicos e teóricos, os subtipos de pro: ==-mas, etc, Além disso, pense que a institucionalização não é coisa de professoEla sempre é produzida, até mesmo no caso de um matemático que estude som--te um tipo de problema.

E.: E como ele pode institucionalizar algo sozinho? Uma pessoa sozinha ja ::uma instituição?

P.: Claro que sim. É um caso limite de instituição. O importante é perceber ç: -"o fenômeno é o mesmo: se o matemático não quer se perder no que está fazenda


então, com certa regularidade, terá de institucionalizar o produto de seu trabalho:precisar qual técnica utiliza, quais elementos fazem parte do entorno tecnológico-teórico - e quais não -, a quais subtipos de problemas se pode aplicar a técnicae a quais não, etc. Se não, sua própria atividade se tomaria ilegível.

E.: Estou entendendo. E ainda será mais importante se, em vez de um mate-mático, for um grupo de matemáticos ou de alunos.

E: Exato. É muito mais difícil garantir a legibilidade de uma atividade coope-rativa, colocar-se de acordo para saber o que cada um faz, etc.

E.: Agora, retrospectivamente, vimos um momento tecnológico-teórico, ummomento de institucionalização e... e o momento do primeiro contato ou, melhordizendo, do primeiro reencontro, porque a questão da irracionalidade não é novapara mim.

E: Não totalmente nova, mas quase.E.: Concordo. Mas, e fora isso? Por exemplo, de tudo que fizemos até agora,

houve mais momentos?E: Sim. Preste atenção que estamos tentando fazer com que surja uma técnica

para poder resolver o problema que estudamos.E.: E isso é um momento?E: É o momento exploratório, durante o qual se explora o tipo de problema

tentando construir uma técnica.E.: A propósito, eu tinha pensado algo antes, sobre a técnica que tentamos

construir.E: Sim?E.: Vamos pegar J3 + J5 . Aqui posso dizer: se fosse racional, seu quadrado

seria racional e, então, 3 + J5 seria racional, o que é falso. E, da mesma maneira,também poderia ter pegado V3+ J5 , ou qualquer outra raiz.

E: Muito bem. O que você fez foi encontrar um subtipo de problema, ao qualse pode estender a técnica.

E.: E isso faz parte do momento do primeiro encontro?E: Como você quiser. Tudo depende do que pegar como ponto de referência.

Durante a exploração do tipo de problema de partida é comum se deparar comsubtipos de problemas específicos e, ao encontrar um novo subtipo, o processorecomeça: explora-se o subtipo, tenta-se adaptar a técnica, justificar ou explicar aadaptação, etc.

E.: E, portanto, voltamos a institucionalizar.E: Sim, claro.E.: Mas, em relação ao entorno tecnológico-teórico, com a variação que intro-

duzi não é necessário mudar nada.E: Como não? Você deve olhar as coisas com mais cuidado. Preste atenção

que, na técnica que você acaba de utilizar, o primeiro ato consiste em elevar aoquadrado.

E.: Sim. É óbvio, o primeiro que qualquer pessoa pensa em fazer.

26


P.: Bem, você acaba de utilizar um novo elemento tecnológico-teórico: que _i::

um número é racional, seu quadrado também é.E.: Claro. É evidente.P.: Sim, mas até agora era algo implícito.E.: Não é verdade. Quando dizemos que a + b a é irracional, utilizamos -

soma e o produto. E um quadrado é um caso particular de produto.P.: Você tem razão. Mas em algum momento será necessário explicitá-lo, dizer

que as somas, subtrações, produtos, divisões, quadrados, as potências enésimas enúmeros racionais são racionais.

E.: E tudo isso faz parte da institucionalização.P: Isso mesmo. E, ao mesmo tempo, faz parte do momento tecnológico-teó :-

co. O que acabo de dizer faria parte da teoria, dado seu lado fundamental: émais básico, o primeiro.

E.: O que você está querendo dizer?P.: Não sei se você notou que, até agora, não dissemos em nenhum momen

o que é um número racional. Somente admitimos que se c é racional, e não é urr;quadrado, então Fc é irracional. Portanto, em algum momento será necessáriprecisar o que entendemos por número racional. Por exemplo: quando quis ermosdemonstrar o teorema tecnológico que afirma que Fc é irracional. São os funda-mentos da tecnologia da organização matemática que estamos construindo, oseja, a teoria. Além disso, ao abordarmos a teoria da organização, talvez perceba-mos que esses resultados não são específicos dos números racionais, mas de qua-quer subcorpo dos reais. Mas isso já é outra história.

E.: Bom, bom. É melhor ficarmos no técnico, é mais fácil...P.: Sim. Eu ia exatamente propor a você um novo exemplo. O que você faria

com o número 13+ J5? Sua técnica continua funcionando?E.: Não sei... se elevarmos ao quadrado ...P.: vá em frente! Você deve tentar. (Dá a ele o giz e mostra o quadro.)E.: Vejamos. (Escreve.)

E, agora, novamente é igual a antes: se 13+ J5 fosse racional, seu quadradotambém seria, mas isso não é verdade. A técnica não mudou muito.

P.: Certo. De qualquer maneira, o entorno tecnológico-teórico não muda. Va-mos pegar outro exemplo. Considere agora 12 + 13+ J5. O que você vai fazer?

E.: A mesma coisa. Elevar ao quadrado. Aqui temos ... é algo do tipo (a + b -c)2 ...

P.: Você se lembra da fórmula?E.: Sim, claro. (Escreve)

(a + b + C)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.


Portanto, nesse caso:

(J2 + J3 + JS)2 = 2+ 3 + 5 + 2/6 + 2Jlõ + 2M= 10 + 2(/6 + Jlõ + M)

P: E a partir daqui?E.: Droga! Aqui não funciona: voltamos a ter três radicais, como no início.R: Isso mesmo. Podemos ver muito bem por que a técnica de antes funciona-

va: porque permitia passar de dois radicais para um só. Se pudéssemos passar detrês para dois, poderíamos passar de dois para um e resolver o problema, o queseria, na realidade, uma modificação muito simples da técnica.

E.: E como podemos fazer para passar de três para dois?P: Devo lernbrá-lo de que é você que estuda o problema.E.: Sim, mas suponho que você tem de me ajudar. Sabe fazer ou não?P: Claro que sei. E também vou ajudá-lo. Considere, por exemplo, ~. É

irracional?E.: Sim. Mas para demonstrar ... acho que necessitaria de outro teorema.P.: Qual?E.: Aquele que diz que se um número inteiro não for um cubo, sua raiz cúbica

é irracional.P.: Certo. E no geral? Se você considerasse, por exemplo, 7J12 ...E.: Sim, sim. É necessário utilizar um teorema mais geral que afirme que se

um número inteiro não for uma potência enésima, então sua raiz enésima não éracional.

P.: Muito bem. Agora falta demonstrá-lo. Mas antes de ir para a demonstra-ção, vejamos se é ou não o teorema que necessitamos. Considere, por exemplo,~ +.fi. Suponho que você ache que é um número irracional, não?

E.: Sim ... Acho isso. Mas aqui não sei o que tenho de fazer para ...R: Como pode ver, o que queremos em primeiro lugar não é demonstrar o

teorema, mas ter uma técnica que nos permita demonstrar que esse número éirracional. Para isso, não nos basta o teorema anterior, por mais "geral" que eleseja.

E.: Então, o que se pode fazer? Como se constrói uma técnica geral? E não váme dizer que o estudante sou eu, isso eu já sei.

P.: Não, não. Vou mostrar a você porque uma técnica não é inventada semmais nem menos. A idéia consiste em relacionar os números com um objeto mate-mático não-numérico.

E.: Com o quê?P.: Com equações.E.: E como se faz isso?

269

270 CHEVALLARD, BOSCH & GASC~

P.: Pegue, por exemplo, V5. Escrevo x = V5. Se elevo ao cubo, vai dar: x3 = ::Essa é a equação. E essa equação tem um relação muito clara com o número c:::partida: V5 é uma de suas soluções. Isso é o que nos interessa.

E.: E como se utiliza essa equação?P.: Ah! Aqui é onde necessitamos de um elemento teórico novo que nos diga :

que é - e o que não é - um número racional.E.: Isso é fácil: um número racional é um número que pode ser escrito como =

quociente de dois inteiros, como uma fração.P.: Exatamente. Bem, agora vamos demonstrar que nenhuma solução da eq -

ção x3 = 5 pode ser escrita como o quociente de dois inteiros. Para isso, seguiremos um raciocínio parecido com aquele que você viu no caso de 12. É um raciocínxpor redução ao absurdo. Vamos supor que a solução de x3 = 5 possa ser escr - -como o quociente de dois inteiros e chegaremos a uma contradição.

E.: Certo.

P.: Então, façamos x = E. e supor que seja uma fração irredutível.q

E.: Ou seja, que p e q não têm divisores comuns.

P.: Isso mesmo. Agora, como ~ é solução da equação, temos que ({J = 5 o

o que é o mesmo, que p3 = 5q3. Dessa igualdade podemos concluir que p é diviss-vel por 5q3 e, como não é divisível por q, tem que ser divisível por 5. Estáacompanhando?

E.: Sim. Você está utilizando propriedades da divisibilidade.P.: Bom, vamos continuar. Como p divisível por 5 temos que, inevitavelme

p = 1 oup = 5.E.: Certo, porque 5 é um número primo, que não tem outros divisores.P.: Muito bem. Agora faremos o mesmo com q. É óbvio que q divide" ../-

Portanto, da igualdade p3 = 5q3 podemos concluir que q divide p3. Mas como ::.

fração E. é irredutível, q não divide por p e, portanto, tem de ser igual a l.q

E.: Puxa! Que engenhoso!

P.: O importante aqui é a seguinte conclusão: se a fração irredutível E. é soro-q

ção da equação x3 = 5, então forçosamente p = 1 ou P = 5 e q = 1. Em ou é

1 5palavras, as únicas soluções possíveis são 1e l' ou seja, 1 ou 5. E como nem =--

nem 53 valem 5, a equação não tem nenhuma solução racional.E.: Portanto, como V5 é solução, não pode ser um número racional.


R: Exatamente. É meio complicado, mas vamos simplificar, recorrendo a umaestratégia que já conhecemos. Em vez de repetir esse processo cada vez que tenha-mos um número solução de uma equação, faremos isso de uma vez por todas.

E.: Sei. Demonstraremos um teorema para não ter de fazer a demonstraçãotoda vez. É isso?

R: Sim. Aqui o teorema é que se você tem uma equação com coeficientesinteiros

a.x» +... + ao = O,

e a fração irredutível E é solução da equação, então p é divisível por ao e q éq

divisível por an0 Esse é o resultado tecnológico chave.E.: Vejamos, vejamos ... Antes tínhamos a equação x3 = 5, isto é, x; - 5 = O.

Logo ao = - 5 e an = 1.R: Isso mesmo.E.: E concluímos que p é divisível por 5 e que q é divisível por 1. Sem dúvida.

Mas, antes de demonstrar o teorema, é necessário ver como ele é utilizado em umcaso geral.

R: Muito bem. Vamos ver como. Você havia demonstrado antes que 13 + 15 éirracional. Agora, vamos fazer com a nova técnica. Seja x = 13 + 15, necessito deuma equação polinomial com coeficientes inteiros que tenha esse número comosolução.

E.: Certo. Elevamos ao quadrado. O resultado é ... x2 = S + 2J15. É o quetínhamos antes. E agora, x2

- 8 = 2m o elevamos novamente ao quadrado.R: Muito bem. Preste atenção no que temos (escreve no quadro):

x2- S = 2J15

(X2 -st = 4·15 = 60

x" -16x2 + 64 = 60x4

- 16x2 + 4 = O

E.: Portanto, temos que p é divisível por 4 e que q é divisível por 1, isto é, q = 1.

R: Sim. E p pode ser 1, 2 ou 4. O que nos dá como possíveis soluções E asq

frações 1/1, 2/1 ou 4/1.E.: Agora é mais fácil ver que nem 1, 2 e 4 são soluções. Logo, 13 + 15 não

pode ser racional.

272 CHEVALLARD, BOSCH & GA5 -

P.: Isso mesmo. Ou, sem substituir na equação, demonstrando que \ 3 + '" ::::não é nem 1, 2 ou 4.

E.: Certo, certo. Então, agora, já temos uma nova técnica. Mas você de=sadmitir que, nesse último caso, minha técnica inicial era muito mais rápi '2. :::

simples.P.: Sim. Mas essa tem maior alcance. Você pode utilizá-Ia para expressões

três radicais ou para raízes enésimas, etc.E.: Claro. Portanto, em nossa organização matemática, haverá duas técni

diferentes.P.: Isso mesmo, que serão utilizadas em função da necessidade.E.: Já temos nossa organização matemática totalmente elaborada!P.: Sinto dizer que não. Ainda estamos longe do final. Para começar, é nec

rio colocar um pouco de ordem nessa organização. Tem coisas que nomeamosmesmo utilizamos, mas que, no final das contas, deixaremos totalmente de 12.~-Lembre-se que estamos construindo uma praxeologia matemática que devemitir uma atuação eficaz e justificada. É necessário organizar as coisas para _ '"possamos ver com clareza que o que fazemos é eficaz e para evidenciar seu carázzjustificado ou justificável.

E.: Percebo! É necessário institucionalizar!P.: Exato. É inevitável.E.: E depois de institucionalizar já teremos terminado.P.: Não totalmente. Porque, embora supondo que nossa organização mate -

tica esteja bem-definida, ainda não estamos totalmente seguros de que a sabeutilizar, colocá-Ia em prática. E aqui aparecerá outro momento: o momento -:-avaliação.

E.: Mas, Professora, o momento da avaliação é para os alunos, em classe. :=.....achava que falávamos do trabalho do matemático.

P.: Querido Estudante, acho que esse será seu último erro. Porque hoje é nos-última sessão de trabalho, como você deve saber.

E.: Sim, sim. Mas onde está meu erro?P.: A avaliação não é uma invenção da escola. Absolutamente. Considere _

situação real em relação à organização matemática que acabamos de construir. ==você quer realmente entrar nessa pequena obra matemática, se quer se aproprieirealmente da praxeologia que define, então ainda resta muito por fazer.

E.: Sei, tenho de trabalhar a técnica que você me ensinou.P.: Sim. E, para começar, aprender a utilizá-Ia. Porque ainda não a colocou =:-

prática por si mesmo.E.: É verdade.P.: Além disso, depois de tê-Ia praticado durante algum tempo, inclusive "-

pois de tê-Ia melhorado em alguns casos concretos, terá de se perguntar, em c.s-

gum momento: domino bem essa obra matemática?E.: Estou entendendo, terei de colocar à prova, avaliar-me.


E: Sim. É um momento relativamente solene e que, como os outros momen-tos, não é vivido de uma só vez. Trata-se do momento em que você coloca à provaseu domínio da obra: conheço suas razões de ser, sei para que serve, mas, tenhocerteza de que sei utilizá-Ia? Como já disse, uma obra é uma construção humana.Nós a construímos e somos nós, também, que a fazemos existir. Avaliar sua relaçãocom uma obra é importante para você, como pessoa, mas também é importantepara dar à obra uma oportunidade a mais de continuar existindo. Se morrer paramuitos de nós, se não formos capazes de continuar dando-lhe vida, morrerá rapi-damente para sempre.

E.: Entendo, Professora. Você acaba de me dizer que estudar é uma maneirade colaborar para dar vida às obras.

E: Sim. E também lamento dizer que, a partir de agora, você terá de continuarsozinho. O estudo não termina nunca, mas meu papel de coordenadora de estudonão pode ser eterno.

E.: É uma pena, Professora!E: Ou, talvez, seja uma sorte!

273

Capítulo 18

SíNTESE

Uma obra matemática surge sempre como resposta para uma questão ou para umconjunto de questões. Mas em que se materializa tal resposta? Em uma primeiraaproximação, poderíamos dizer que a resposta matemática para uma questão secristaliza em um conjunto organizado de objetos ligados entre si por diversas in-ter-relações, isto é, em uma organização matemática. Essa organização é o resulta-do final de uma atividade matemática que, como toda atividade humana, apresentadois aspectos inseparáveis: a prática matemática ou "práxis", que consta de tarefase técnicas, e o discurso fundamentado ou "logos" sobre essa prática, que é constitu-ída por tecnologias e teorias.

Não é possível, nem para o matemático profissional nem para os alunos deuma série do ensiná fundamental, atuar matematicamente com verdadeira eficá-cia sem entender o que está fazendo. Mas também não se pode entender em pro-fundidade uma organização matemática determinada se, simultaneamente, nãofor realizada uma prática matemática eficaz. Não há práxis sem logos, mas tam-bém não há logos sem práxis. Ao unir as duas faces da atividade matemática,obtemos a noção de praxeologia: para responder a um determinado tipo de ques-tão matemática é necessário elaborar uma praxeologia matemática constituída porum tipo de problema determinado, uma ou várias técnicas, sua tecnologia e ateoria correspondente.

o que é necessário para elaborar uma praxeologia matemática? Quais os mei-os dos quais dispõe o matemático pesquisador ou os alunos de matemática paraconstruir uma praxeologia matemática que responda a determinadas questões?

A Professora explica, no Diálogo, que tanto o pesquisador como os alunos,cada qual em seu nível, utilizam técnicas didáticas como instrumentos paracons-truir uma praxeologia matemática: o professor utiliza técnicas didáticas para reor-

1

276 CHEVALLARD. BOSCH & GASCÓ

ganizar certas obras matemáticas de modo que dêem resposta às questões que osalunos apresentam; os pesquisadores utilizam técnicas de estudo da matemáticaque também são técnicas didáticas, se entendermos o "didático" no sentido amplode o "relativo ao estudo da matemática". Sem dúvida, a fronteira entre o didáticoe o matemático é muito imprecisa: historicamente se produziu uma maternatiza-ção crescente do didático e, muito particularmente, das técnicas de estudo damatemática.

Elaborar uma praxeologia matemática supõe para qualquer "estudante", sejamatemático pesquisador ou aluno de matemática, entrar em um processo de estudoque, como tal, não é um processo homogêneo, mas está estruturado em diferentesmomentos. Cada momento do processo de estudo faz referência a uma dimensãoou aspecto da atividade de estudo, mais do que a um período cronológico preciso.Portanto, os momentos estão distribuídos de uma forma dispersa ao longo doprocesso de estudo e não podem ser vividos "de uma só vez".

A descrição que faz a Professora do processo de estudo estabelece uma rela-ção de cada momento com os diferentes elementos que fazem parte da obra ma E-

mática e com as relações estabelecidas entre eles. O momento do primeiro encon _[az referência aOL0!?jetos matemáticos que constituem um tipo de problema;momento exploratório relaciona um determinado tipo de-problema com a constru-ção de uma técnica adequada para abordá-los; o momento do trabalho da técnise refere ao domínio, precisão e nova criação de técnicas matemáticas; o momentecnológico-teórico faz referência, como seu nome indica, aos dois níveis de justif-cativa da prática matemática; e os momentos de institucionalização e avaliação sereferem, finalmente, à obra matemática em seu conjunto.

Nessa descrição subjaz um princípio "democratizador", que a Professora res-salta em várias ocasiões: não há momentos "nobres" e momentos "menos nobres-como também não há momentos "mais matemáticos" e momentos "mais didáricos". O episódio da aula de prática e os comentários didáticos subseqüentes e,-:-denciam a importância crucial de um dos momentos mais desprestigiados - -momento do trabalho da técnica - e a necessidade de que essa dimensãoprocesso de estudo seja aceito nos dispositivos didáticos escolares.

A parte do Diálogo é concluída com uma dupla mensagem que faz referên '=à natureza do estudo e ao sentido que tem a atividade humana de estudar. .r:

Professora anuncia ao Estudante que ele deverá continuar estudando sozinholembrando-lhe, indiretamente, que o objetivo ao qual todo' sistema didático dere~- -tender é seu desaparecimento, vist~e o conhecimento pessoal somente apar -depois que desaparecem todos os ,artifi~io~id~. Em relação ao sentido r ;

estudo, a Professora é muito clara: estuda-se para colaborar para dar vida às obrashumanas, para dar-lhes uma oportunidade de continuar vivendo; se o teorerna cePitágoras morre para nós, morrerá para sempre.

Capítulo 19

COMENTÁRIOS EAPROFUNDAMENTOS

Se considerarmos o processo de estudo tal como é descrito pela Professora no ,..---último Diálogo, vemos que há momentos desse processo que dificilmente podemser realizados na organização atual do ensino da matemática. Surge, então, anecessidade de criar novos dispositivos de ajuda para o estudo diferente da "aulade matemática" tradicional e capazes de assumir funções que esta não pode assu-mir, ainda mais quando se divide em "aula de teoria" e "aula de problemas" talcomo acontece no ensino da matemática em nível universitário.

AULA DE PROBLEMAS, AULA DE PRÁTICA

Chamamos "aula de prática" a um dispositivo no qual possa se desenvolver plena-mente o momento do processo de estudo que a Professora denomina de "momen-to do trabalho da técnica". Para descrever as funções desse dispositivo, cujofuncionamento pode ser visto no Episódio, explicaremos as cláusulas do contratodidático que o caracterizam.

Na aula de prática, o professor proporciona aos alunos um corpus de proble-mas que, aparentemente, são muito parecidos entre si. Quando um estudante seencontra pela primeira vez em uma aula de prática, é bem provável que a relacio-ne com uma aula de problemas, devido ao fato de que o tipo de atividade centralque se realiza em ambas pode ser descrita, à primeira vista, como "resolver proble-mas".

278 eHEVALLARD, soscu & G se:

1Dispositivos didáticos

Em geral, um dispositivo escolar será qualquer "mecanismo" preparado para obterdeterminados objetivos educacionais. Assim, por exemplo, a aula de matemática, c.de língua, o livro didático, a biblioteca, as provas, as perguntas que faz o professorem aula, as sessões de tutoria e os descansos são dispositivos escolares. À medida quecada um desses dispositivos incide sobre a estruturação e o desenvolvimento do pro-cesso de estudo da matemática, funcionando como um dispositivo de ajuda para cestudo da matemática, diremos que se trata, além disso, de um dispositivo didático (nosentido de didático-matemático).

Na aula de problemas, o estudante tenta resolver, pela primeira vez, proaz-mas concretos de diversos tipos e manipula pela primeira vez certas técnicas -~-temáticas para resolvê-los. A função principal da aula de problemas consísrsprecisamente, em permitir que o estudante entre em contato efetivo com cerretipos de problemas e com as técnicas correspondentes.

o contrato didático na aula de problemas atribui ao professor, como coordecsdor de estudo, a responsabilidade de escolher adequadamente os representarrzsde cada um dos tipos de problemas que fazem parte do currículo e de exemplifi -em cada caso a maneira de resolvê-los. O estudante, por sua vez, é responsá--=pela interpretação das resoluções propostas pelo professor e pela resolução, _sua própria conta, de alguns problemas de cada tipo.

Aula de matemática: teoria, problemas ou prática?

A aula de matemática é o principal dispositivo didático nas instituições escolares pré-universitárias. No ensino universitário, a aula de matemática se divide em dois tiposdiferentes: a aula de teoria e a aula de problemas.Essa estrutura responde, basicamente, à concepção teorética, segundo a qual a ativí-dade matemática pode ser analisada em dois momentos: um momento principal,momento teórico, no qual se mostra a teoria matemática acabada, e um momenauxiliar, no qual se exemplificam, aplicam, praticam e consolidam as noções teóricaspreviamente aprendidas.Recentemente, e em resposta às evidentes insuficiências dessa estrutura clássica,criado em algumas universidades um novo dispositivo: a oficina de prática matemáticc..


Uma das cláusulas explícitas do contrato estabelecido na aula de problemasatribui ao estudante a obrigação de "pensar os problemas". Essa é uma expressãomuito enraizada na cultura escolar e faz referência à atividade matemática explo-ratória que se pede ao estudante quando aborda pela primeira vez um problema.Essa cláusula do contrato assinala que o estudante não deve dispor, logo no início,das técnicas que lhe permitiriam resolver o problema de uma forma rotineira.

A atividade matemática realizada na aula de problemas se caracteriza pelamudança relativamente freqüente de um tipo de problema para outro, o que im-plica certa rigidez na utilização das técnicas matemáticas. Essa rigidez provocaerros que os estudantes somente podem superar familiarizando-se com tais técni-cas e fortalecendo seu domínio. Mas essa necessidade não pode ser satisfeita naprópria aula de problemas, na qual, por definição, a tendência constante é explo-rar novos tipos de problemas.

o contrato didático na aula de prática muda radicalmente algumas das cláusu-las vigentes na aula de problemas. As mudanças mais importantes são as seguin-tes:

(a) Na aula de prática se dá um caráter "público" a um aspecto do estudo-o trabalho técnico - que, na aula de problemas, teria um caráter "privado". Oestudante tem, pela primeira vez, a responsabilidade de tornar o ·cialmente roti-neira certas técnicas. Essa nova responsabilidade se materializa na obrigação de~resolver, na presença de seus colegas e do professor, muitos problemas aparente-)

mente muito parecidos entre si.

(b) Outra cláusula do contrato, estabelecida na aula de prática, exige que oestudante se familiarize com certas técnicas até alcançar um domínio tão resisten-te que chegue a utilizá-Ias como algo "natural". A partir daí, essas técnicas pode-rão ser consideradas de maneira oficial como técnicas "adquiridas" pelos alunos- passando a fazer parte do meio matemático da classe.

Isso significa que na aula de prática o estudante deve trabalhar com um tipomuito restrito de problemas (que são obtidos mediante pequenas variações dealguns problemas inicialmente estudados na aula de problemas) colocando à pro-va a solidez da técnica diante dessas mudanças. Enquanto na aula de problemas oponto de partida e o ponto de referência da atividade eram os problemas (emfunção dos quais eram construídas possíveis técnicas de estudo), na aula de práti-ca espera-se que o estudante se centre nas técnicas e utilize os problemas paraprovar a solidez e a flexibilidade das mesmas.

279


(c) O contrato didático da aula de prática estabelece, finalmente, uma no-responsabilidade, compartilhada em diferentes proporções entre o professor e sestudantes. Trata-se da produção de técnicas novas, seja pela variação da técniinicialmente utilizada, seja pela combinação de duas ou mais técnicas. De qual-quer maneira, a produção se apóia no domínio sólido das técnicas básicas.

Enquanto na aula de problemas a atividade do estudante se centra em explorar tipos tO

problemas bem diferentes entre si e em buscar técnicas para resolvê-Ias, na aula deprática parte-se de uma técnica dada e de um conjunto de problemas do mesmo tipo,que são utilizados como instrumento para que os estudantes alcancem um domíniosólido dessa técnica. Na aula de problemas, a atividade evolui ao ir de um problemapara outro. Na aula de prática, ao contrário, a evolução acontece pelo desenvolvirnentinterno das técnicas.

É de se esperar que, se um aluno se depara pela primeira vez com uma a' --de prática, tenha dificuldades para entrar no novo contrato e que este chegue =.provocar-lhe certa perturbação. É previsível, também, que o aluno não enten;por que pedem que ele resolva um grande número de exercícios muito parecid : =repetitivos, nem por que exigem que ele realize publicamente, "ao vivo", um c::::.balho que, até aquele momento, havia sido realizado de maneira privada. I1 ~-_essas dificuldades são de caráter matemático, porque têm a ver com o desconhe -mento do papel do trabalho da técnica na atividade matemática.

AULA DE TEORIA E OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS

Como disse a Professora no Diálogo, o aparecimento de uma técnica nova proa necessidade de interpretá-Ia, justificá-Ia e relacioná-Ia com as técnicas játentes. Com a criação da nova técnica, surge a necessidade de analisar seu al(os tipos de problemas aos quais podem ser aplicadas) e suas limitações (ospos de problemas que apresentam dificuldades para a utilização da técnica).

Vamos supor, por exemplo, que na aula de prática se tenha experimeuma nova maneira de resolver equações: partindo de uma equação dadaf(x) =

tenta-se escrevê-Ia na forma de g(x) = ax + b, na qual y = g(x) é uma C',-

"padrão" (por exemplo: g(x) = x2,g(x) = Fx,g(x) = .!.. ,g(x) = x3). A partir daí, a

x -

ção g(x) = ax + b é resolvida mediante considerações gráficas. Nesse con


podemos supor que surgiu a seguinte técnica para resolver de maneira aproxima-da equações cúbicas:

Observou-se que, em alguns casos, existe uma transferência da incógnita, que permiteeliminar o termo do segundo grau:

Equação inicial:Mudança:Equação equivalente:

x3 + 3x2 - X + 1 = Ox = z-lZ3 - 4z + 4 = O

Sistema equivalente: {y = Z3

Y = 4z-4

A resolução gráfica desse sistema permite afirmar que tem uma única solução:

-3 < z <-2

E, desfazendo a mudança, o resultado é que a equação inicial também tem uma únicasolução:

-4 < x <-3

Nesse ponto, seria normal fazer as seguintes perguntas: como justificar essanova técnica? Qual seu alcance? Ela é aplicável a todas as equações cúbicas? E asequações polinomiais de grau superior? Quais condições deve cumprir uma equa-ção de quarto grau para poder eliminar o termo de grau três mediante uma subs-tituição? O que acontece se aplicarmos a técnica em uma equação de segundograu?

É na aula de teoria que os elementos justificativos e interpretativos costumamser apresentados. Além disso, o contrato didático atribui essencialmente ao pro-fessor, e de maneira muito limitada ao estudante, a responsabilidade de tal apre-sentação. Mas as demonstrações matemáticas que acontecem na aula de teorianem sempre satisfazem as necessidades explicativas que aparecem no trabalhotécnico. Assim, por exemplo, a demonstração que se daria da técnica apresentadaanteriormente seria a seguinte:

Dada a equação geral de terceiro grau x3 + bx3 + cx + d = O, a mudança (de Vieta):x = z - b/3, a transforma em uma equação do tipo

Z3 - pz - q = O

{y = Z3que é equivalente ao sistema:y = 4z - 4

281

r +:

282 CHEVALLARD, BOSCH & GAscé

Demonstração: substituindo na equação original x por z - b/3 se obtém:

(z - b/3)3 + b(z - b/3)2 + c(z - b/3) + d = O

Desenvolvendo e simplificando o resultado é:

Z3 - (b2/3 - c)z - (bc/3 - 2b3/27 - d) = O

No entanto, essa demonstração não basta para formar um entorno tecnolózí-co apropriado no qual situar a técnica. Para ter uma boa compreensão do fenôrne-no, seria útil certificar-se de que em toda equação de grau n se pode eliminar :termo de grau n - 1 mediante uma substituição da incógnita; que no caso de urraequação de segundo grau, a mudança da variável anterior nos remete à técní -clássica; também seria importante perguntar o que acontece com as equações -_primeiro grau.

É óbvio que o contrato didático habitual na aula de teoria não permitetipo de desenvolvimento que, surgindo da prática matemática concreta, poder;chegar a estar relativamente distantes da "teoria padrão" de um determinado c _-texto matemático. Além disso, é previsível que essa ausência seja uma fonte -=dificuldades para o estudante. Por um lado, na aula de teoria somente são recoizs-dos alguns elementos tecnológicos específicos, ignorando-se geralmente aquelesque o estudante pode identificar por si mesmo, porque surgem de sua pró.:-=prática. Por outro lado, o estudante não assume nunca a responsabilidade delher, formular e propor as questões tecnológicas que deverão ser trabalhadas ~aula.

Nessas condições, o mais provável é que o estudante não veja que as difidades com as quais se depara são resultado mais da organização matemáticalar que de uma possível incapacidade pessoal. Sem dúvida, o contrato no . -trabalha não permite identificar seu problema como um problema didático, ium problema de estudo e de organização do estudo. A didática fundamental po _Ia que, em última instância, é o conhecimento matemático que pode resolver"crise" iniciada: como disse a Professora no Diálogo, "para entender um fenômmatemático que não se entende, a primeira coisa que necessitamos é dematemática". O problema está no fato de que não existe nenhum lugar na orzzzz-zação tradicional do processo didático que possa responder, adequadamenessa necessidade de "mais matemática".


1A noção de "obstáculo"

A noção de obstáculo epistemológico foi retirada por Guy Brousseau da obra Laforma-tion de l'esprit scientifique (1938), do francês, físico e filósofo da ciência, Gaston Ba-chelard. Segundo esse autor, os obstáculos epistemológicos são constitutivos dodesenvolvimento da ciência: todo conhecimento científico é construído contra umconhecimento anterior.Na teoria das situações didáticas de Brousseau, a noção de obstáculo conserva plena-mente esse caráter constitutivo do desenvolvimento dinâmico do conhecimento ma-temático (ver Anexo D, da Terceira Parte).

A passagem das justificativas locais e pontuais próprias da aula de teoria parajustificativas de maior alcance supõe uma mudança de atividade matemática e,como tal, constitui um "obstáculo" no desenvolvimento do processo didático. Demaneira geral, no processo de estudo podem aparecer obstáculos epistemológicoscada vez que se torna necessária uma mudança na atividade matemática, o queacontece regularmente, visto que o processo didático, longe de ser homogêneo,está organizado em diferentes momentos e, dentro de cada um deles, como explicaa Professora, predomina um aspecto ou dimensão da atividade matemática.

Embora, habitualmente, os obstáculos sejam identificados com as noções, os conceitos ouas concepções mobilizados pelos alunos, aqui não os identificaremos com nenhum objetoda atividade matemática inicial (nem com um tipo de problema, nem como uma técnicaconcreta, nenhum elemento tecnológico, muito menos psicológico) que, supostamente,dificulte ou impeça a passagem para a nova atividade matemática. Consideraremos,simplesmente, que aparece um obstáculo epistemológico quando o autor da atividadetem necessidade de mudar de momento no processo de estudo. O adjetivo"epistemológico" se refere ao fato de que o obstáculo pode ser descrito em termos daatividade matemática em si mesma, sem fazer referência às especificidades dos autores.

Como no processo de estudo, podemos distinguir diferentes momentos oudimensões da atividade, consideraremos também diferentes tipos de obstáculosepistemológicos relativos a cada uma das mudanças necessárias para a realizaçãodesse estudo. Nessa perspectiva, é importante assinalar que, como disse a Profes-sora no Diálogo, os "momentos" ~o podem se fechar em um período de tempodeterminado (não podem ser realizados de uma só vez nem em um dlS OSltlVOdidático concreto. Disso, podemos deduzir que os diferentes tipos de obstáculo-epistemológicos também não serão localizáveis temporalmente ao longo do 2ro-c~sso didático, nem ~~dispo;iti;os didátic~; ~~~cretos. - _.~t __ _ q .~ _ ~_ _ _

ir

283

284 CHEVALLARD, BOSCH & GASC'"

A NECESSIDADE DE NOVOS DISPOSITIVOS DIDÁTICOS

Na descrição feita pela Professora do processo de estudo aparecem até seis mo-mentos diferentes. É previsível, portanto, que em tal processo surjam divetipos de obstáculos epistemológicos em correspondência com as inúmeras mudan-ças de atividade matemática determinadas pela estrutura heterogênea do proces-so de estudo.

Vamos supor que uma parte considerável dos alunos apresente graves dificul-dades para entrar, por exemplo, no contrato didático da aula de problemas. Isso =-manifesta pelo fato de que muitos alunos, depois de ter um primeiro contato coz;um determinado tipo de problema, não chegam a realizar com ele a atividadeexploratória que lhes outorga uma cláusula do contrato: os alunos "não pensar;"os problemas propostos pelo professor. Esse fato também pode ser interpretadizendo que os alunos apresentam dificuldades para superar o obstáculo ligado c:..

passagem do momento do primeiro encontro para o momento exploratório, tal coreesses são apresentados nos dispositivos didáticos atuais.

o livro didático utilizado como dispositivo pedagógico

No ensino fundamental, o livro didático de matemática tende a ter um papel auxiliare relativamente externo ao "curso" que "dita" o professor: serve, basicamente, paraproporcionar listas de exercícios, alguns problemas resolvidos e o gráfico preciso dealguma figura complexa. Assim, para o estudante, o livro didático costuma ter umpapel de dispositivo pedagógico, visto gu~suas filnções são essencialmente in,:!epen-dentes da matéria estudada e, o qu~ é mais imºortan~.d2or ue não incide de manei-ra significativa sobre a estruturação e o desenvolvimento dO.J2rocesso de estudo.---_._------------- ~----

Diante desses fatos, a instituição escolar costuma responder ignorando a na-tureza didática do problema (ignorando o processo de estudo) e apelando parafatores psicopedagógicos como, por exemplo, o fato de que o aluno não quer ot;

não pode se encarregar de suas responsabilidades (seja por "negligência", "falde interesse", "falta de motivação", "preparação inadequada", "falta de capacida-de", etc.) ou, ainda, que os "métodos de ensino" do professor não facilitam quealunos realizem a atividade matemática em questão.

A reação da instituição escolar seria a mesma se os alunos apresentasse=dificuldades em qualquer outro ponto do processo didático (como, por exempl _na passagem do momento exploratório para o momento do trabalho da técnica) or;


no estudo de qualquer outra obra. Ignora-se, assim, o processo de estudo da mate-mática e sua estrutura intrínseca.

A a_n~lis_e_dª~es!rutl}rªgoyrocesso de estudo evidencia a necessidade de_criar novosdis~~ti\l9~ didáticos capai~s de artICular otiànsitóentré os diferentes moment~sdesse pro~so. Mas o desconhecimento do processo de estudo e a tendência deinterpretar em termos psicopedagógicos todas as dificuldades que implicam aaprendizagem da matemática impedem que as instituições escolares reconheçam essanecessidade.

Junto com a falta de dispositivos didáticos, é interessante observar, também,a crescente proliferação de dispositivos pedagógicos, isto é, instrumentos (mate-riais ou não) de ajuda ao ensino independentes do conteúdo a ser ensinado e,presumivelmente, facilitadores da aprendizagem de qualquer desses conteúdos,dentre os quais se destacam os meios audiovisuais e a informática educativa.

OS PERIGOS DA ATOMIZAÇÃO DO ENSINO

Um dos fatos que mais chama a atenção hoje nas instituições escolares é a grandequantidade de alunos de matemática que não chegam nunca a "entrar" no contra-to didático tal como este é elaborado nos dispositivos atuais. Podemos supor queisso se deva, em grande parte, ~ disP..9sitiyos_cJJj.9~mJJ1LaJ:.9~ç!idáticosesp~os articulem de maneira adequada o trânsito ~n.tr~o..s_<!ife!en!_~~mQ!llen~- - ~ -tos do pr~9_ de estuqo. Mas, do interior da instituição, o abandono dos alunosé interpretado como um enfraquecimento de sua necessária submissão, e a reaçãoé aumentar a dependência mútua entre o professor e os alunos: o professor se vêlevado a explicitar as cláusulas do contrato até a exaustão, evitando qualquer trans-gressão dessas cláusulas.

Essa situação tem conseqüências paradoxais, pois, ao tentar proteger o alunode qualquer confusão e evitar o encontro com os sucessivos obstáculos epistemo-lógicos, o processo de ensino é fragmentado até desaparecer como tal. Pretende-se, assim, amenizar as dificuldades que comporta toda atividade matemáticasustentada e complexa. O ensino se transforma em um conjunto reduzido de ativi-dades matemáticas isoladas, de "casos" matemáticos encadeados arbitrariamentee independentes entre si, que não permitem ao aluno chegar a dominar nenhumatécnica e o transforma, de fato, em um "incompetente".

286 CHEVALLARD, BOSCH & GAS -

Esse tipo de ensino tende ao que poderíamos denominar de um "ensino ÍJ::lS--

tantâneo": uma definição matemática é aprendida instantaneamente, um teore-ma, uma demonstração ou a utilização de uma técnica são objetos matemático:"ensinados" e "aprendidos" quase que ao mesmo tempo. A atividade de estudo caluno não é considerada como um processo complexo e duradouro, mas como -auxiliar pontual e local para "fixar" e "consolidar" aquilo que já se aprendeu ins-tantaneamente. Até mesmo o processo de "entender", considerado culturalmentecomo °ponto alto da aprendizagem, é considerado como algo "instantâneo". Nes-se ensino instantâneo, desaparecem os objetivos a longo prazo em favor dos obje-tivos relativos ao funcionamento diário da classe.

Como já assinalamos, essa situação tem conseqüências paradoxais porque.tentando proteger os alunos de qualquer confusão, ele é levado a um estado deconfusão permanente, ficando, definitivamente, fora do contrato didático. Assim,os alunos entram no contrato pedagógico do qual também acabarão saindo, já queeste somente pode ser mantido com argumentos de autoridade. No momento e-que os alunos rompem as cláusulas do contrato pedagógico (e até do contrateescolar), o problema toma uma dimensão tal que desaparece todo rastro de suaorigem didática.

A gravidade do problema se deve ao fato de que as cláusulas do contratopedagógico e, num sentido mais radical, as do contrato escolar não podem sertransgredidas, pois de seu cumprimento depende a própria existência da institui-ção escolar. É compreensível que, quando se chega a esse ponto, recorra-se a me-didas de controle das cláusulas do contrato pedagógico, apelando, por exemplo_para o "controle da qualidade do ensino", e também é compreensível que essecontrole possa chegar a ser deturpado na aplicação de simples medidas de "disci-plina escolar".

Para tentar manter os alunos dentro do sistema escolar, as instituições didáticasprocuram protegê-Ias de qualquer confusão e tentam evitar que se deparem comqualquer obstáculo epistemológico. Essatendência pedagógica aumenta o perigo daatomização do ensino e pode cair em um "ensino instantâneo", que leva o aluno a umestado permanente de confusâo que o expulsa, paradoxalmente, do contrato didáticoe, em última instância, do contrato escolar.


A FUNÇÃO INTEGRADORA DO TRABALHO DA TÉCNICA

No modelo geral que descrevemos, queremos retomar - para assinalar sua im-portância - esse momento particular do processo de estudo que é o momento dotrabalho da técnica. Diante da tendência de atomizar o ensino, esse momento de-sempenha um papel integrador à medida que aparece, ao mesmo tempo, como odesenvolvimento natural do momento exploratório e como a fonte das necessida-des tecnológico-teóricas. Se, por qualquer motivo, essa função integradora é eli-minada, o processo didático se atomiza muito rapidamente.

Para analisar mais a fundo essa função essencial do momento do trabalho datécnica, utilizaremos um exemplo concreto. Vamos considerar o estudo da resolu-ção de sistemas de equações lineares, colocando-nos no momento exploratório noqual aparecem três técnicas simples (substituição, adição e comparação) para sis-temas de 2 equações com 2 incógnitas.

Dado o sistema {3X + Sy = -24x- Y = 28,

existem, atualmente, no ensino fundamental, 3 técnicas para resolvê-Ia, aparentementeindependentes entre si:

Substituição Comparação Adição

fx+SY =-2{Y=(-2-3X)/S

fx+SY =-2Y = 4x- 28 4x - Y = 28

=> 3x + s(4x - 28) = -2 Y = 4x-28fx+SY =-2

- 2 - 3x = s(4x - 28) =>3x + 20x - 140 = -2 => 20x- Sy = l40=>

=> 23x = l38 => 23x=138 => 23x = 138

=> x = 6; Y =-4 => x = 6; Y =-4 => x = 6; Y =-4

As atividades matemáticas correspondentes a cada uma dessas técnicas sãopropostas, em 'nível exploratório, como atividades independentes entre si. A rigi-dez própria da atividade exploratória admite, como seu, esse fracionamento; e ocaráter algo rítmico das técnicas citadas reforça a ilusão da instantaneidade de suaaprendizagem: a técnica de substituição, por exemplo, ou "se sabe" ou "não sesabe utilizar". Não se concebe um processo de estudo complexo ao longo do quala relação do aluno com a técnica de substituição sofra mudanças progressivasimportantes indo para a técnica de comparação ou de adição, e ampliando-se parao estudo de sistemas com três ou mais incógnitas. Costuma-se, então, tratar o

287

288 CHEVALLARD, BOSCH & GASCÓ

subtipo dos sistemas 2x2 como independente dos sistemas com equações commais de 2 incógnitas.

É nesse ponto do processo de estudo que aparece a~~a do m---.2!!leIl...to~Q.Jia técnig: é preciso colocar em funcionamento, repetidamente, astrês técnicas simples, ~alisar as sem~~çili-~_as diferen~as ~~ os métodosgue~ delas õe em_ªndam~D-to, trabalhá-Ias até ue ixem~-blemáticas e cheguem a s.eq'.Qtineiras. Somente depois disso é que se evidencia a

. ---- ---"-- ~'------"-r~çãq e~e~~ ela~~.....oq~e_elas têm e~_~omum i9-_elimlnação de uma,equé!..ç-ª-º--e_de, t1~_,ª,tncQKI"ll!a),qual o ~:~'1O que cada uma gelas a~iona paraalcançaresse objetivo e qual a forma mais adequada de estendê-Ia .P..?-!:.~ o cã~<2de~ais de 2 in,.Sóg21itas. .

A primeira evidência que surge do trabalho técnico voltado para a eliminaçãode uma equação e de uma incógnita (para passar de um sistema 3x3 para umsistema 2x2) é que o nome das incógnitas pode ser omitido com vantagem duran-te o processo de eliminação. Surge, assim, a noção de matriz associada a um siste-ma de equações lineares como um dos primeiros frutos da "criatividade" do trabalhoda técnica. Ao sistematizar o mecanismo de eliminação, aparece a regra do pivõ,que é uma técnica nova e muito potente, que permite resolver, rapidamente, siste-mas de equações lineares mesmo que tenham coeficientes não-inteiros.

Nas três técnicas anteriores, o objetivo principal era eliminar uma equação e UlIlC.

{3X+ Sy =-2

incógnita. De maneira concreta, parte-se do sistema 4x _ y = 28 e se obtém a equaçã

23x = 138,Esse processo de eliminação pode ser esquematizado mediante a seguinte passa-gem:

x y x x

~ ~1:;~)->(S'4-3'(-1)IS'28-(-2)'(-1))=(231138)

e pode ser generalizado em quaisquer sistemas lineares:

x y z y z

d]~ - >

~af - belaj - bi

ag - ceak - ci

ah -ai

de)di - > etc.

A utilização da regra do pivô mostra seu alcance e sua generalização e=sistemas de equações com maior número de incógnitas e de equações. Mas, pc...._


realizar essa generalização de maneira efetiva, é preciso ir além da mera utiliza-ção pontual da nova técnica. É preciso flexibilizar seu uso, comprovar como ficamcaracterizados os sistemas que não têm solução e os que têm infinitas soluções,como se escreve o conjunto de todas as soluções, etc. Tudo isso requer, novamente,um importante trabalho da técnica, da qual poderiam surgir as noções de "carac-terística de um sistema compatível", "característica de uma matriz" e "número devariáveis livres de um sistema compatível", dentre outras. O trabalho da técnica semostra, assim, criador de objetos matemáticos.

O surgimento da técnica "regra do pivô" e dos demais objetos que citamosprovoca necessidades tecnológico-teóricas evidentes. Como interpretar a noção de"característica de uma matriz", que no trabalho técnico surgiu como o número dematrizes não-nulas que aparecem em um processo de eliminação? Como justificara invariabilidade desse número em relação ao específico processo de eliminação?Como justificar a caracterização empírica dos sistemas compatíveis dada pela igual-dade entre a característica da matriz e o da matriz ampliada? Como interpretar onúmero de variáveis livres das soluções de um sistema compatível? Como utilizara regra do pivô para eliminar "parâmetros" em vez de eliminar "incógnitas"?

o momento do trabalho da técnica apresenta duas características essenciais:(a) No processo de estudo de um tipo de problema, o momento do trabalho da técnicase torna criador de novos objetos matemáticos. Nele, surgem novas noções, novastécnicas e novas relações entre objetos que podem ser considerados, ao mesmo tempo,como novos objetos.(b) O momento do trabalho da técnica completa o estudo exploratório e integra, demaneira natural, esse momento e o momento tecnológico-teórico no processo. Pode-seperceber, com isso, que a fragilidade dessa dimensão da atividade matemática criaria,por um lado, um abismo entre a exploração pontual e rígida de problemas e, por outro,os dispositivos "teóricos" (justificativos e interpretativos).

o PARADOXO DA CRIATIVIDADE

Toda atividade matemática faz parte de um processo ao longo do qual podemsurgir novos objetos matemáticos - em particular, novas técnicas, novas noções"teóricas" e novos problemas - assim como novas relações entre técnicas, teoriase tipos de problemas, com o conseqüente surgimento de "idéias gerais". Podemosdizer que, nesse sentido, toda atividade matemática é potencialmente criativa.

290 CHEVALLARD, BOSCH & GASCÓ'

A criatividade matemática, assim entendida, surge no interior do processo deestudo, isto é, de um processo ligado por fortes restrições: é o resultado de umaatividade sustentada e estruturada, fonte de novos problemas e de novas tarefasmatemáticas. Ao aplicar essa visão da "criatividade matemática" às atividades re-alizadas hoje em dia na escola, nós nos encontramos diante de uma situação para-doxal, que provoca importantes disfunções nas instituições escolares:

(a) Nas instituições escolares atuais, não existe nenhum dispositivo didáticoinstitucionalizado que permita funcionar bem o momento do trabalho da técnica.Por vários motivos, em nenhum nível do ensino da matemática foi materializadoum dispositivo didático no qual esse momento crucial do trabalho matemáticopossa desenvolver as funções que descrevemos: "criação" de novos objetos mate-máticos e "integração" dos diferentes momentos do processo de estudo.

(b) Nas instituições escolares atuais impera uma forte tendência de fragmen-tar a matemática ensinada. O estudante se depara com alguns objetos matemá '-cos pouco relacionados entre si, com algumas técnicas muito rígidas, com problemasrelativamente isolados (ou formando classes muito estereotipadas) e com urnateoria pouco relacionada com a prática matemática concreta. O resultado é que 2

atividade matemática escolar realizada pelos alunos não é submetida às restriçõesde um processo sustentado e estruturado e, portanto, tem poucas possibilidadesde ser criativa.

-I O preço da criatividade

"- Senhor Martínez, vá até o quadro e escreva o que vou ditar para que todos copi-em:'Eu conheci um poeta surpreendente. Apagava tanto que somente ele entendia seusescritos, e era impossível copiá-los; e ri, Laurencio, do poeta que não apaga'.E agora filhos, segurem-se onde puderem, para escutar o que vou lhes dizer. O autordessas linhas e, provavelmente, o poeta ao qual elas aludem, foi aquele monstrosagrado da natureza, prodígio de improvisadores, que se chamou Lope Félix de VegaCarpio".

Antonio Machado (1936)Juan de Mairena.

(c) Paradoxalmente e apesar de que, como vimos, seja a própria estrutura dainstituição escolar a que dificulte o desenvolvimento de uma atividade matemáti-ca criativa, na escola se dá um grande valor para a "criatividade", como se a faltade criatividade visível provocasse uma necessidade cada vez mais inevitável. As-


sim, observa-se uma tendência do momento exploratório de invadir todo o espaçodo estudo, deslocando tanto o momento tecnológico-teórico como o do trabalhoda técnica e, até mesmo, o da institucionalização. Podemos encontrar uma sinto-nia recente da importância que se dá à exploração livre de problemas isolados naproliferação de "olimpíadas matemáticas", nas quais se identifica a "exploraçãolivre" de problemas não-rotineiros com a atividade matemática mais "criativa".

Disso, podemos dizer que, mais que uma necessidade de atividade matemáti-ca criativa, o sistema mostra uma necessidade de aparência de criatividade. É comose nossa cultura escolar coloca-se, frente a frente, "atividade matemática criativa"e "atividade rotineira ou repetitiva". Como se a atividade matemática somentefosse criativa à medida que se apresentasse como "surpreendente", "diferente","original" e, definitivamente, "livre" e "espontânea".

Ao identificar a atividade matemática "criativa" como uma atividade pontual, desligada("livre") das técnicas rotineiras e não submetida às restrições de um processo de estudoestruturado, a organização escolar dificulta, objetivamente, o desenvolvimento"normal" da verdadeira criatividade matemática. Como a escola, sem dúvida, dá umgrande valor para a criatividade, produz-se, assim, uma defasagem entre os meios oudispositivos escolares que colocam em jogo e os fins que pretende alcançar.

Capítulo 20

PEQUENOS ESTUDOSMATEMÁTICOS

PEM 15. RACIONALIZAR EXPRESSÕES COM RADICAIS

A questão inicial

Vimos no Episódio os alunos de Luis trabalharem a técnica de racionalização deexpressões com radicais. Essa técnica consiste no seguinte: para "tirar os radicais"

22do denominador de uma expressão como 1 + J5 ' multiplica-se o .numerador e o

denominador dessa fração pelo "conjugado" de 1 + J5, isto é, por 1 - J5; obtém-

22se, então, uma expressão igual a ------r;: , mas sem raízes no denominador:

1+ ,,5

22 22(J5 -1)

J5 + 1 = (J5 + 1)(J5 - 1)22(J5 -1)

5-1ll( J5 -1)

2

Se na expressão inicial aparecem dois radicais diferentes, como em

221 _ .fi + J5' uma variação adequada da técnica anterior consiste em multiplicar

primeiro pela quantidade conjugada do denominador em relação a J5, isto é, por1 - .fi - J5, e, depois, pela quantidade conjugada do denominador obtido emrelação a J3 (ou vice-versa).

1J3 -2

4

294 CHEVALLARD, BOSCH & GASCÓN

Os alunos de Luis, obrigados a colocar em prática essa técnica, constataram

Aque, ao racionalizar uma expressão do tipo B + cfn com A, B, C E Q*, sempre

obtinham uma expressão do tipo a + b fn com a, b E Q. Em compensação, ao

Aracionalizar uma expressão com dois radicais do tipo B+ cfi;. + Df;. com A, B, C,

DE Q* e n •• m, obtinham uma expressão com três radicais do tipo a + bfn +c,Jnm, com a, b, c, d E Q.

Na organização matemática que Luis e seus alunos constróem em torno dasexpressões com radicais, esse tipo de afirmação e sua justificativa faria parte datecnologia da técnica utilizada. Esses resultados estão certos? Se estiverem, comopodem ser demonstrados? Uma vez estabelecidos, de que maneira poderiam mo-dificar o desenvolvimento posterior da técnica?

Problema 1

Racionalizar o denominador das seguintes frações:

1 4

A observação dos alunos de Luis sobre aforma do resultado obtido pode ser confirma-da?

Roteiros de estudo: um, de nível 1.Ajuda: [21]

Problema 2

Demonstrar se os dois resultados tecnológicos pensados pelos alunos de Luis est --certos ou dar um contra-exemplo se forem falsos.

Roteiros de estudo: um, de nível 2.Ajudas: [4] -> [119]


Problema 3

Colocando-se em um contexto teórico apropriado, pode-se estender a técnica anteriorpara racionalizar expressões como as seguintes:

53

Indicar as mudanças que suporia essa variação teórica em relação à técnica utilizadano problema 1.

Roteiros de estudo: dois, de nível 4.Ajudas: roteiro 1: [103] -> [34] -> [71] -> [7]

roteiro 2: [103] -> [92] -> [75]

PEM 16. QUANDO DUAS FRAÇÕES IRREDUTíVEIS SÃO IGUAIS?

A questão inicial

No Diálogo, a Professora imagina um episódio de aula no qual o professor invalida

19o resultado de um aluno que encontrou a fração 22 como solução para um exer-

5cício, sendo a resposta correta a fração "7. Como o professor sabe que o aluno se

enganou?Em virtude desse episódio, a Professora afirma que "quando se escreve duas

frações em sua forma irredutível, então, para serem iguais têm de ter o mesmonumerador e o mesmo denominador". Esse é um resultado tecnológico que sempredamos por certo quando trabalhamos com frações. Como isso pode ser demonstra-do? Quais elementos teóricos o sustentam?

Roteiros de estudo: um, de nível 2.Ajudas: [138] -> [23]


PEM 17. FUNÇÕES EVALORES APROXIMADOS

A questão inicial

No Diálogo, a Professora e o estudante consideram diferentes expressões do nú-

90 1mero a = 2 _ 12 que fazem intervir J2: por exemplo, a = 90(1 + 12) e a "forma

canônica" a = 90 + 4512 (obtida pela "racionalização" do denominador de

902-12)'

Vamos supor, como a Professora e o Estudante, que queiramos calcular umvalor aproximado de a partindo da aproximação J2 = 1,5. Acharemos, em cadacaso:

90 1 45.fi r:~ = 180; 90(1+ r;::) = 150; ~ = 135; 90+45",2 = 157,5.2-",2 ",2 ",2-1

Em compensação, se utilizarmos a calculadora (que nos dá a aproximação12 = 1,414213562), encontraremos nos quatro casos um mesmo valor: a = 153;639610.

1 .Como explicar essas diferenças? Por que 90(1 + 12) e 90 + 45J2 nos dão

melhores aproximações, ao pegarmos J2 = 1,5, que as outras duas expressões?Podemos achar uma expressão que nos dê aproximação ainda melhor?

A explicação que dão a Professora e o Estudante no Diálogo é que a função

90f(x) = .JX é "mais crescente" que a função g(x) = 90 + 45Fx. O que isso

2- xsignifica? Qual relação têm as funções e seu crescimento com esses cálculos apro-ximados?

Problema 1

90As funções seguintes pegam o mesmo valor a = ~ quando x = J2. Estudar SeL

2-",2crescimento e representá-Ias graficamente para x E (1;2):


t,(x) = 90 + 45x1

f2 (x) = 90(1 + - )x

Quais são as imagens do intervalo (1;2) por fb h, h, f4? E as do intervalo(1,4; 1,5)? Qual será o erro máximo cometido ao calcular; aproximadamente, o valorde a com cada uma das funções pegando um valor aproximado de J2 entre 1,4 e 1,5?

Roteiros de estudo: um, de nível 2.Ajuda: [42]

Problema 2

Vamos considerar as funções t,(x) = 90 +45x e f2 (x) = 90(1 +!), que são as quex

90nos deram melhores aproximações para a = -----r;;. Para encontrar uma função que

2-,,2nos dê uma aproximação ainda melhor, podemos pegar, por exemplo,F;.. (x) = Nl (x) + (1 - À)f2 (x) com À E(O,l). Interpretar essa nova função e encon-trar algum valor de À para o qual F;.. (x) proporcione uma aproximação melhor de a.

Roteiros de estudo: um, de nível 3.Ajudas: [90] -> [16] -> [150]

PEM 18. COMO DETERMINAR SE 15 +.fi É IRRACIONAL?

A questão inicial

No final do Diálogo, a Professora e o Estudante vivem juntos alguns momentos doprocesso de estudo de uma questão matemática: a de determinar se um númerodado é ou não irracional. Essa questão é, sem dúvida alguma, muito ampla, mas aProfessora e o Estudante nos mostram uma técnica que permite abordá-Ia paraalguns casos específicos.


A técnica consiste em buscar primeiro uma equação com coeficientes inteiros,que tenha como solução o número estudado, e em demonstrar, depois, que a equa-ção encontrada não tem nenhuma solução racional. Para que tipos de númerosfunciona essa técnica? Como encontrar, em cada caso, uma equação apropriada?Que tipos de propriedades dos números escolhidos devem ser utilizadas? Querelação tem essa técnica com a técnica clássica, utilizada pelos antigos gregos,para demonstrar que J2 é irracional?

Problema

Determinar, com a técnica indicada, se os números abaixo são ou não racionais:

fi, Fn, Vn, J3 + J5, fi + J3 + J5, if5+ J7,ifj + J7 + 1, cos(n / 9), cos(n / 5), cos(n /7).

Roteiros de estudo: um, de nível 3.Ajudas: [59] -> [13] -> [114] -> [46] -> [143]

EPílOGO

A seguir, como epilogo, reproduzimos a transcrição de uma entrevista que fizemoscom Maria Núiiez, depois dela ter lido o manuscrito deste livro. Ficamos, mais umavez, em dívida com ela.

Os autores

Maria Núiiez: Fiquei surpresa ao ver a quantidade de informação que temminha reportagem. Fico assustada em descobrir que para estudar matemática énecessário saber tantas" coisas ...

Os autores: Talvez pareça ser muita coisa porque, como em toda iniciação, épreciso avançar bem devagar. Além disso, no papel, sempre acabamos precisandode muitas palavras. Os diálogos entre o Estudante e a Professora são um bomexemplo dessa necessidade. Não vamos nos esquecer de que são transcrições deconversas orais e, como você deve ter visto, a Professora e o Estudante sabem dartempo ao tempo. Nós não acreditamos em aprendizagens "instantâneas": as coisassão esquecidas tão rápido como são aprendidas!

M.: Como vocês definiriam o objetivo do livro?A.: Em primeiro lugar, convidamos o leitor a se deter alguns momentos na

questão do estudo da matemática, refletir, meditar e, também, agir - matemati-camente - por exemplo.

M.: Refletir sobre o quê?A.: Sobre uma noção que esquecemos um pouco: a noção de estudo. E sabe

por que esquecemos? Porque partimos da base universalmente aceita de que oprofessor ensina e o aluno aprende. É a ficção da aprendizagem "instantânea", emtempo real. As pessoas se comportam como se tudo pudesse ser entendido e, por-tanto, aprendido, ao mesmo tempo que se ensina. Trata-se de uma exigência ab-surda e desumana.


M.: De qualquer maneira, embora vocês partam da noção de estudo, acabamlevando o leitor a uma reflexão sobre a sociedade, a escola e, no fundo, sobretodos os aspectos de nossa vida.

A.: Não somos nós que fazemos isso, mas a Professora e o Estudante. Emboraestejamos, claro, totalmente de acordo com eles. Estudar é uma atividade funda-mental, um processo vital. Existem muitas questões, grandes ou pequenas, queobrigam todos nós, periodicamente, a "voltar para a escola", embora esta nãotenha muros, nem professores! A escola, isto é, o que os gregos chamavam deskholé, não é um mero parênteses no qual nos fecham durante a infância e adoles-cência. É toda uma dimensão de nossa vida.

M.: Sem dúvida, se falarmos da escola no sentido usual da palavra, a atitudede vocês se torna muito ambivalente. Por um lado, implícita ou explicitamente,vocês mostram as deficiências dessa "instituição didática" (como podem ver, aprendia lição com seriedade ...), enquanto que, por outro lado, vocês mostram que setrata de uma peça fundamental em nossa "engrenagem social".

A.: Isso mesmo. Realmente. O problema é que muitas pessoas deixaram deentender, hoje em dia, o que é a escola, quais suas razões de ser e em que sebaseiam suas "regras do jogo".

M.: Os professores também?A.: Às vezes sim, infelizmente. Achamos que chegou o momento de voltar a

analisar a missão dos professores, de reabrir o debate sobre sua posição e o papelque desempenham na escola e na sociedade, de renegociar muito claramente ocontrato que os une à sociedade. E não se trata de renegociá-lo somente com asautoridades educativas, mas com toda a sociedade. Principalmente com os alunose com os pais dos alunos. Essa é a razão pela qual o livro é dirigido a diversosgrupos de leitores, com os quais queremos tratar em conjunto porque têm umprojeto social comum ... e compartilhado.

M.: Por exemplo, parece que vocês aconselham os professores a renunciaremà ilusão de querer controlar tudo em matéria de aprendizagem escolar.

A.: Sim, alguma coisa desse tipo. Trata-se de uma ilusão que não foi inventa-da por eles, mas que acabaram por aceitar e dar como certa, apesar de ser, aomesmo tempo, uma exigência impossível de satisfazer e que, portanto, deveria sertotalmente inaceitável. Realmente, assim como os médicos, os professores nãotêm uma obrigação direta com os resultados, mas direta com os meios. Não pode-mos acusar um médico porque seu paciente não melhora, mas sim de que nãotenha feito tudo que estava ao seu alcance para que pudesse curá-Ia. A obrigaçãode meios é uma exigência grande, mas lógica. Pode ser que a seguinte afirmaçãosurpreenda, mesmo quando deveria nos parecer mais que evidente: o professorsomente pode ajudar o aluno a estudar e, embora sua ajuda seja muitas vezesindispensável - e quase sempre importante - não pode estudar nem, muitomenos, aprender por ele.

M.: Na realidade, é como se vocês quisessem criticar a noção de ensino, não éverdade?


A.: Não criticamos a idéia nem o fato. Simplesmente queremos mostrar comoa ilusão de um controle total da aprendizagem escolar perverte a própria noção deensino. Em alguns casos, o ensino que antes de mais nada deveria ser uma ajudapara o estudo, é fragmentado em uma série de postulados e instruções que osalunos devem memorizar ou "aplicar". Em compensação, do ponto de vista daaprendizagem, fazer algo porque nos disseram para fazer não equivale a fazê-lomotu proprio, porque vemos esse algo como uma solução possível para um proble-ma que nos propuseram.

M.: Sei. Na realidade, nós, que devemos continuar estudando após terminar-mos a escola, geralmente não dispomos de um professor, muito menos de umensino organizado e regulado.

A.: Isso mesmo. E aí descobrimos a importância de ter podido contar, na esco-la, com professores dispostos a nos guiar pelo caminho de dificuldades que devía-mos superar. Claro que a escola sem muros nem professores, o estudo que correpor conta própria é uma realidade cada vez mais presente na vida dos jovens e dosadultos. Esse é outro motivo pelo qual cada um de nós precisa construir logo - apartir da escola - uma cultura de estudo - ou cultura didática - que nos permi-ta estudar depois, voluntária ou obrigatória, de maneira autônoma, assim comotirar o melhor proveito dos possíveis cursos ou lições dos quais possamos partici-par. Quando há, claro!

M.: Será que a cultura da qual vocês falam não é considerada, de algumamaneira, como algo privado, que depende de cada indivíduo e de sua atuaçãopessoal?

A.: Sim. Nossa tendência é considerar que estudar é um assunto privado, e atémesmo íntimo, com o qual alguns se desenvolvem muito bem sozinhos, porquedescobrem por si mesmos ou por seu círculo familiar e social, e quase sem perce-ber, as "técnicas didáticas" que lhes permitem atuar de maneira adequada. Geral-mente, esses bons estudantes não entendem por que é necessário explicar as técnicasdidáticas, por que não são espontâneas também para os outros. De fato, o que nãoentendem é que a cultura e o "saber fazer" didáticos estão divididos de maneiramuito desigual na sociedade - o que é, como bem sabemos, um fator importantede desigualdade escolar.

M.: Suponho que é aí que o professor deva intervir, não?A.: O professor tem um papel importante nesse esforço de educação didática,

mas é o estudante que deve se encarregar por sua própria instrução e de ajudar ainstrução de outros. É o que nós tentamos fazer com este livro, contribuir com oesforço de todos.

M.: O livro trata sobre o estudo da matemática. Parece que vocês pensam quetodo mundo deve ter uma instrução mínima em matemática, não é isso?

A.: Evidentemente. E também em gramática, história, questões de arte, lín-guas estrangeiras, esporte, etc. Não se trata de um simples direito. É uma obriga-ção que se impõe a todo cidadão.

301


M.: Mas, por acaso a matemática não desempenha um papel especial na for-mação geral de cada indivíduo?

A.: Sim, claro. Essa é a função que lhe dava Platão: a de preparação, de "pro-pedêutica". O motivo é simples. A matemática é um contexto no qual é possívelformular problemas simples, aos quais se pode dar, muito facilmente, respostasseguras e justificáveis. A experiência matemática nos ensina, a partir de um bomprincípio, a não nos contentarmos com meias verdades ou com meras opiniões,subjetivas e modificáveis. É muito mais difícil chegar até esse ponto em física ouem biologia. Até mesmo em gramática! Mas, desse ponto de vista, a experiênciamatemática somente é útil se sabemos exportar suas exigências fora da matemáti-ca para poder aplicá-Ias na vida diária. De nada nos serviria se não nos ensinassea ir além das opiniões pré-estabelecidas, que PIatão chamava de doxa.

M.: Então este livro é um livro de matemática ou de didática?A.: Toda atividade matemática implica uma parte da didática. A partir do

momento em que uma pessoa estuda uma questão, irremediavelmente, encontra-rá problemas de estudo, isto é, problemas didáticos. Nosso livro quis destacar essadimensão didática da atividade matemática.

M.: Então, os grandes matemáticos seriam os melhores didáticos?A.: Em certo sentido, sim. Embora devamos ter em conta que o conhecimento

didático de um grande matemático é muito personalizado e, por isso mesmo, muitodifícil de compartilhar. É um conhecimento privado, que foi construído em condi-ções extremamente específicas. A iniciação que propomos é dirigida a todo mun-do, é uma proposta de didática para qualquer cidadão.

M.: Posso fazer uma última pergunta? O Estudante eu já conheço, pois souamiga de seus pais. Quanto à Professora, existe de verdade ou é um personagemque vocês inventaram com a cumplicidade do Estudante?

A.: A Professora não acharia nenhuma graça em sua pergunta! A única coisaque nós fizemos foi deixá-Ia no "anonimato", junto com o Estudante, porque qui-semos respeitar a privacidade de suas entrevistas.

M.: Ou seja, ela realmente existe?A.: Você já ouviu falar do matemático Nicolas Bourbaki?M.: Sim. Acho que era o nome de um grupo de matemáticos franceses.A.: Veja, María, quando apareceram nos anos quarenta os Elementos de Mate-

mática de Nicolas Bourbaki, algumas pessoas espalharam o boato de que ele, ma-temático e professor da Universidade de Nancago, na realidade não existia! Houveaté um redator da Encyclopedia Britannica que teve a ousadia de publicar esseboato como se fosse verdade. E, para dar uma resposta, os amigos de Bourbakiespalharam que ele, o redator, também não existia!

M.: E, Bourbaki, realmente existia ou não?A.: Claro que sim. Era um matemático americano muito conhecido. Você gos-

taria, querida María, que fizéssemos o mesmo com você? Que espalhássemos quevocê não existe? Que você é um personagem inventado?

M.: Claro que não!

AJUDA PARA OS PEQUENOSESTUDOS MATEMÁTICOS

[1] As partidas de um campeonato (de futebol, tênis, basquete, pingue-pongue) nor-malmente são representadas por uma tabela, na qual cada casa indica o resultado da parti-da entre o jogador de cada fileira e o jogador da coluna correspondente. Por exemplo: setemos 7 jogadores J1, J2, ..., J7, teremos uma tabela como a seguinte (onde o resultado éindicado começando pelo jogador com o número menor):

Jl J2 J3 J4 JS J6 J71-3 3-0 3-1 3-2

1-3 2-3 0-3 3-03-0 2-3 1-3 3-23-1 0-3 1-3 1-33-2 3-0 3-2 1-3

JlJ2

J3J4JSJ6J7

Assim, vemos que J1 perdeu 1-3 contra J2, mas que o J2 ganhou de 3-0 contra o J5,etc. Como nenhum jogador joga contra si mesmo, podemos anular a diagonal da tabela.Além disso, e diferentemente do que acontece no campeonato de futebol profissional, notorneio de pingue-pongue do Instituto não há partidas "em casa" nem "fora". Portanto, apartida do jogador J1 contra J2 (segunda casa da primeira fileira) é igual à partida do J2contra o J1 (primeira casa da segunda fileira), e o mesmo acontece com os demais. Emoutras palavras, a tabela dos resultados é uma tabela simétrica, da qual podemos eliminara parte triangular inferior sem perder informação. Uma vez construída a tabela, só restacontar o número de casas, que corresponde ao número de partidas jogadas. No caso dehaver 7 jogadores, há 21 casas e, então, serão jogadas no total 21 partidas. Podemos notarque, considerando as tabelas correspondentes, com 2 jogadores será jogada somente umapartida; com 3 jogadores serão 3 partidas e com 4 jogadores, 6 partidas.


J2~J1

J2 J3~J1~J2

J3 J43-02-3

3-10-31-3

Com a construção de tabelas triangulares, temos uma técnica muito simples paracontar o número total de partidas. Mas essa técnica não parece ser muito eficaz para todosos casos: o que acontece no caso de haver 40 jogadores? E se houver 50? E com 100? Alémdisso, o que nos interessa é encontrar umafórmula que nos permita calcular o número totalT de partidas a partir de um número qualquer n de jogadores.

Próxima ajuda: via 1: [30]; via 2: [110]; via 3: [47].

[2] No primeiro caso, obtemos uma primeira família de parábolas em forma de U

com vértice no ponto Vy = (~y,-~ y3). No segundo caso, se obtemos uma família de pará-2 4

3

bolas em forma de U invertido no ponto Vx = (~,-~).6 12Próxima ajuda: [111].

[3] Contando o número de quadradinhos, obtemos LA, comprimento total do fio dovaral A e L8, comprimento total do fio do varal B.

Próxima ajuda: [77].

[4] Aplicar a técnica de "multiplicar pela expressão conjugada do denominador" para

~ . A Aas expressoes gerais r: e t: r:

B + Cv n B + C" n + Dv m .


[5] Pegar um relógio com dois ponteiros e com 60 divisões marcadas no mostrador:12 divisões para as horas com 5 subdivisões para os minutos. Mover os ponteiros e observarsobre quais divisões eles coincidem. Resta explicar porque voltam a se encontrar nesseponto, e não em outro.


[6] Considerar valores concretos para x e r. Podemos pegar, por exemplo, um quadra-do de lado x = 3 m. Sabemos que a superfície A do quadrado é 9 m-. Quanto por centoaumenta a superfície se aumentarmos o lado em 10%? E se aumentarmos 2%? E 37%? Ese, em vez de aumentar, nós diminuirmos? O aumento relativo da superfície depende dovalor inicial x do lado do quadrado? O que acontece se o lado do quadrado medir 3 cm? Ese medir 250 m? E se medir um valor qualquer x? Fazer o mesmo no caso do retângulo debase x e altura x + 1, cuja superfície é B = x2 + x.



[7] Queremos racionalizar 63r.:-' A nova técnica consiste em procurar o máximo

2- '\15

divisor comum k de x3 - 5 e x - 2 para encontrar p(x) e q(x) que cumpra a identidade deBézout: (2 - x) . p(x) = k + (x3 - 5) . q(x) (com, por exemplo, o algoritmo de Euclides).

Nesse caso, temos que: (2 - x) . (x2 + 2x + 4) = 3 - (x3 - 5) e, pegando em ( 3 Q[)] [ ,x - 5 Q xl

o resultado é que (2 - Vs)· (W + 2Vs + 4) = 3. Logo:

6~r.:-= 2(W + 2V5+ 4)2-~5que podemos comprovar facilmente com a calculadora.

Se agora aplicarmos essa técnica para r;:;1 , vamos procurar o inverso de x - 2 em,,3 - 2

2 Q[x] . Se utilizarmos o algoritmo de Euclides com os polinômios x2 - 3 e x - 2,(x - 3)Q[x]

encontraremos que x2 - 3 = (x - 2) (x + 2) + 1. Logo, temos que:

(13-2)(13+2)=-1 e que r;:;1 =-13-2.,,3 - 2

[8] Vamos supor que r não seja paralela a (AB) e que C seja a interseção de (AB) comr. Seja uma faixa (rI, r' 1) tal que rI seja paralela a r e passe por A. Seja outra faixa (r2, r' 2)com r2 = (AB). Seja E a interseção de r'2 e r\ e seja F a interseção de (AE) com a paralelaa r que passa por B. Então, BF = AB e, como (BF) é paralela a r, a paralela a (AB) que passapor F corta r em D, o ponto procurado.

Se C não for a interseção de r e (AB), seja C' essa interseção e seja D' sobre r tal queC'D' = AB. Agora construímos CD sobre r com CD = C'D'.

[9] LB = 11+ 12 +... + l(n-l)/2 = 4a + (4a - 8d· 2) +... + (4a - 8d· (n-3)/2)Próxima ajuda: [51].

[10] Traçar um círculo que corte os círculos C1(A;b) e C2(B;a) em dois pontos fáceisde determinar.


[11] Conforme podemos ver nos problemas 1 e 2 deste mesmo PEM, a elasticidadearco E de uma função f entre dois pontos x e x' = x + rx é o quociente da variação relativas de f pela variação relativa r de x:

N/ f sE(J,x,r) = tu. / x =-;:.

o problema passa a ser encontrar aquelas funções f para as quais sua elasticidadeE(j ,x,r) não depende de x, mas somente da variação relativa r de x.


305


[12] Construir primeiro um triângulo AFG retângulo em G tal que AG = de AF/ AB =b/d.


[13] Sabemos que costx/S) = 1/2. Vamos tentar, então, escrever cos(1t/9) em funçãode cosfrc/S) considerando que 1t/3 = 3 ·1t/9.


[14] Se x é um número muito grande em relação a 1, o retângulo é "quase" umquadrado e, portanto, a variação relativa de sua superfície "quase" não depende de x. Defato, podemos perceber que, quando x tende ao infinito, M3/B tende a M/A.

[15] É preciso demonstrar que os pontos de interseção de uma reta e um círculo e ospontos de interseção de dois círculos são construtíveis com a régua de duas bordas parale-las, o que leva às duas construções seguintes:

(a) Dados dois pontos A e B, construir dois pontos M e N da reta (AB) que estejam àdistância dada r de um ponto. °dado (vamos supor r > d(O,(AB))).

(b) Dados dois pontos A e B, construir um triângulo ABC de lados AC = b e BC = adados (vamos supor AB = c < a + b).


[16] Ao estar, para todo x, Ft-.(x) entre fI (x) e h(x), a função n. sempre dará umaaproximação igualou melhor que fI e h. Para conhecer o erro máximo cometido, o maisfácil é buscar um valor de À para o qual FMx) seja sempre monótona. Dessa maneiradescobriremos que o erro máximo será e = IF/..(1) - F/..(2) I se pegarmos inicialmente umaaproximação de 12 no intervalo (1;2), ou ainda e = IF,.(1,4) - F/..(1,5) I se pegarmosinicialmente uma aproximação de 12 no intervalo (1,4;1,5).


[17] No varal B há n -1 quadrados de perímetros lI, l2,'''' lCn-l)!2' Se começarmos2

pelo quadrado exterior, teremos II = an e lk = lk + 1 - 8d.

dt-i



2n: 2n:[18] to = cos- + sen- é uma raiz quinta da unidade (w5 1) e temos

5 5X5- 1 = (x - 1) (x4 + X3 + X2 + X + 1).

Deduzir que cos(2n:/S) é solução da equação de segundo grau 4X2+ 2x - 1 = O.Próxima ajuda: [82].

[19] (a) M é a interseção de (Ol) com a perpendicular a (Ol) que passa por P, e N ainterseção de (Ol) com a perpendicular a (OJ) que passa por p, ambos os pontos construtí-veis como vemos no PEM 12.

(b) Dado P(xJ'), o ponto Q(y,x) é o simétrico de P em relação à reta (OK'). Umaconstrução possível é a seguinte: traçamos uma faixa (rI, r\) tal que rI = (OP); seja E ainterseção de r\ com (OK') e seja (r2, r'2) outra faixa tal que r2 passe por O e r'2 por E;traçamos, então, outra faixa (r3, r'3) tal que r3 = (EP); r'3 corta (r2, r'2) em um ponto F;finalmente, traçamos uma faixa (r4, r'4) tal que r4 passe por E e r'4 por F; a interseção de r4com r2 é o ponto Q procurado.

(c) Dados (xj,O) e (X2,O), o ponto (Xl + X2,0) é obtido transportando em (X2,0) adistância Xj, construtível segundo podemos ver no PEM 12.

(d) Dado o ponto P(XIJ'l), queremos construir um ponto Q(X2J'2) tal que y- = YIXz/XI

ou, o que dá no mesmo, Yl = Yz . Para isso, traçamos a reta (OP) e a perpendicular a (Ol)Xl X2

em (X2,0), que são cortadas no ponto Q procurado, visto que os retângulos OXIPyl e OXIQylsão semelhantes.

(e) Dados (XI,O) e (X2,0), para construir um ponto de abcissa X = JX1X2 , basta cons-truir um segmento [MN] tal que MN = Xl + X2e um ponto P tal que o triângulo MPN sejaretângulo em P (ver PEM 12). Temos, então, que a altura [PH] do triângulo cumpre PH2 =

XIX2'

13[20] O sinal 130/0é outra maneira de designar o número decimal 100 (que também

pode ser escrito 0,03). Podemos consultar um livro de matemática elementar (por exem-plo: um livro texto de matemática do ensino fundamental) que trate do assunto das por-centagens ou do tanto por cento.


[21] Os resultados se confirmam. Por exemplo, no caso de expressões com dois radi-cais, chegaríamos às seguintes transformações:

22 22(.Js + J3 -1 22(.Js + J3 -1)

.Js - J3 + 1 = (.Js - J3 + 1) (.Js + J3 - 1) = (.Js)2 - (J3 - 1)222(.Js + J3 -1) 22(.Js + J3 -1) 22(.Js + J3 -1)(1- 2J3)

5 - 4 + 2J3 1 + 2J3 (1 + 2J3) (1 - 2J3)= -22 (-77 + 3J3 +.Js - 2M) = 14 - 6J3 - 2.Js + 4M.

11

•

307


Para comprovar em cada caso que a expressão correta foi encontrada, podemos utili-zar a calculadora da seguinte maneira:

1 + J3 = (1 + J3)( J3 - 2) = -J3 + 2 _ 3 + 2J3 = -1 + 3J3.3+2 3-4

1 + J3Com a calculadora: ~ = 0,7320508076 e -1 + 3J3 = 0,7320508076.v3 + 2

22No caso anterior teríamos r: r: = l4,62749258

, v5-v3+1

e 14 - 6J3 - 2J5 + 4J1s = 14,62749258·

[22] É necessário derivar novamente.Próxima ajuda: [56].

a c[23] Temos que b = d => ad = bc , Esta última igualdade indica, particularmente,

que a divide o produto bc. Como a e b não têm divisores comuns, então, forçosamente adivide c. Logo a = c. Como agora ad = ab, dividimos os dois membros por a, chegamos àconclusão de que b = d.

Essa pequena demonstração recorre, constantemente, à propriedade da divisibilidadeem Z, que constitui, assim, o marco teórico no qual têm sentido e se justificam as afirmaçõesque fizemos.

[24] A luz do sol tem um comportamento ondular. Quando a onda luminosa se pro-paga de um meio (o ar) a outro (a água) sofre um fenômeno de refração. Consultar algumlivro de física elementar.


[25] Representar os quadrados das Figuras 1 e 2 em um papel quadriculado, pegan-do, por exemplo, a escala: 1 metro = 8 quadradinhos (ou, também, 1 quadradinho =

0,125 m.).Próxima ajuda: [3].

[26] Reduzir o caso do senx ao estudo de cosx e procurar alguns casos simples nos

2nkquais é possível encontrar uma fórmula para cos-.

nPróxima ajuda: [85].

[27] A técnica utilizada em [111] consiste em buscar o máximo M(y) da funçãox -i> f(x,y) (máximo que depende dey) e achar, depois, o máximo da funçãoy -i> M(y).


[28] Qual a idade do pai quando o filho nasceu? Quantos anos se passaram? Queidade terão dentro de 5, 10 e 15 anos? Quantos anos terão passado? Encontrar duas rela-ções entre a idade E do pai e a idade e do filho.



[29] O problema se reduz a construir um triângulo retângulo de hipotenusa dada a(lado do triângulo isósceles) e de cate to dado b/2 (ver Problema 2 (e) deste mesmo PEM).

[30] Se da tabela quadrada inicial tirarmos a diagonal, obteremos duas tabelas trian-gulares com o mesmo número de casas.


[31] Traçar C tal que B seja o ponto médio de [AC] (C é o simétrico de A em relaçãoa B). Traçar, depois, a mediatriz de [AC].

[32] preço inicial p L1p L1q p. j'(p) . L1P erro cometidop q I(p) p com a fórmula

6 1% -5,66% -6% -0,0034

10 1% -1,96% -2% -0,0004

45 1% -1,2% -1,125% 0,00075

15 1% -1,48% -1,5% -0,0002

14,56 1% -1,5% -1,523% -0,00023

Em nenhum caso obtemos um erro menor que 10-4 em valor absoluto.

[33] Temos cos(2x) = cos-x - sen-x = 2cos2x - 1. Portanto, cos(2x) poderá se expres-2.n

sar com racionais e radicais reais se, e somente se, cosx o for. Da expressão de cos- sãon

2.n.2 2.n 2.n ,deduzidas as de cos-- e cos-. Mas, de maneira geral, cos- podera se expressar

n 2n n2.n

com racionais e radicais se, e somente se, para todos m > O, também for cos-2m .n·


6 6[34] Queremos racionalizar 2 _ if5. Podemos considerar 2 _ if5 como a categoria

6 Q[x]de equivalência de 2 _ x no anel quociente (X3 - 5 )Q[ x] .



[35] Seja r" tal que senr" = 0,76 = sen500. Se r ~ r", não há nenhum raio de luz quechegue até o ponto T. A região da superfície do mar pela qual se vê o céu a partir do pontoT é um disco localizado justamente em cima de T e do raio R = h tgr*, onde h é a distânciade T até a superfície da água.

2Jrk[36] Seja úln = exp(i2n:k/n) e Uk = cos-- (k primo com n). O Q-automorfismo

n0k(Z) =zk envia úln para úl~ e U para Uk. Logo Uk é raiz de <I>n(x) para todo k, e como há umtotal de cp(n)/2, então elas são todas as raízes. Portanto, <I>n(x) tem todas as raízes reais.

2JrSegundo Isaacs (1985), se cos- pode se expressar com radicais reais, então, qJ(n)/2 é

numa potência de 2 e todas as raízes <I>n(x) são construtíveis com régua e compasso.


[37] Caso n par. Considerar a figura:

//

V/


, -100 P'f'(P) -p P'f'(P)[38] f (p) = (p _ 5)2 e f(p) = p _ 5 . Costuma-se anotar e(p) = f(p) (supon-

!1pdo que - ,; 1%).

PPróxima ajuda: [32].

[39] O ponto C buscado é a interseção de um círculo com centro A e raio b, e outrocírculo com centro B e raio a. Como a + b > c = AB, existem dois pontos C e C' comosoluções, sendo (AB) a mediatriz de [CC'J. O problema é resolvido encontrando um pontode [CC'] construtível a partir dos dados.


[40] Podemos considerar uma justificativa baseada no seguinte resultado:Sef(x,y) é uma função contínua em I x J, com I e J compactos de R2, então:

Máx (Máxf(x,y)) = Máxf(x,y).xEl yEJ (x,y)EIxJ

Para demonstrar isso, seja M = Máxf(x,y). Como f é contínua sobre um compacto(x,y)ElxJ


existe (xo,yo) E I x J tal que M = f(xo,yo). Visto que, por definição de maximo,f(xo,yo) 2: Máx (Máxf(x,y)), só falta comprovar que a desigualdade estritaf(xo,yo) > Máx

xEI yEJ xEI

(Máxf(x,y) implica contradição.yEJ

[41] Fazer um modelo geométrico (via 1) ou um modelo algébrico (via 2).Próxima ajuda: via 1: [100]; via 2 [122].

[42] A função !t(x) = 90 + 45x é uma reta de inclinação positiva, então, é umafunção estritamente crescente. A imagem do intervalo (1;2) é (fl(1)!1(2)) = (135;180) ea imagem de (1,4;1,5) é (153;157,5).

1A função f2 (x) = 90(1 + -) é uma ramificação de hipérbole estritamente decrescente

xcom uma assíntona vertical no eixo Oy. A imagem do intervalo (1;2) é (f2(2)!2(1))(135;180) e a imagem (1,4;1,5) é (150;154,3).

xA função f3(X) = 45-- também é uma ramificação de hipérbole estritamente de-x-I

crescente que tem como assíntona vertical a reta x = 1. A imagem de (1;2) é (90; +(0) e aimagem de (1,4;1,5) é (135;157,5).

90A função f4(x) = -2- é uma ramificação estritamente crescente e tem uma assínto--x

na na reta x = 2. A imagem do intervalo (1;2) é o intervalo (90; +(0) e a imagem de(1,4;1,5) é (150;180).

Se pegarmos um valor aproximado de J2 entre 1,4 e 1,5, a função f; nos dará umvalor aproximado de a com um erro máximo e = 157,5 -153 = 4,5. Cornjj, o erro máximoserá e = 4,3, com h, o erro máximo será e = 22,5 e com f4, o erro máximo será e = 30.Podemos ver que a melhor aproximação será dada pela função /z.

[43] Por simetria, sob a diagonal, cada segmento horizontal corresponde a um seg-mento vertical.

Próxima ajuda: [96]

[44] Se o grau da extensão QCQ(wn) for menor ou igual a 4, então coszn/n é asolução de uma equação que pode ser resolvida por radicais (mas não necessariamente

2Jr:kreais). Se o grau for maior que 4, teríamos de conhecer o polinômio mínimo de cos-

nsobre Q. Existe uma técnica para encontrar a expressão explícita desse polinômio para todon (ver o artigo de Watkins e Zertin (1993) na ajuda [68]. Em alguns casos, vimos quepodemos concluir que: se n = 2i+2 com i 2: O, ou se n = 2ipIP2 ...Pj, com P: primo de Fermat

2Jr:(isto é, primo e na forma 2(2k)+1), então o ângulo - é construtível com régua e compas-

nso. O que acontece nos outros casos?


312 CHEVALLARD. BOSCH & GASCÓN

[45] Atenção! Antes que os ponteiros se encontrem, o ponteiro maior terá dado umavolta. É necessário considerar esses 60 minutos (ou essas 60 divisões) que percorre a mais.


[46] A partir da igualdade cos(3a) = 4cos3a - 3cosa, podemos demonstrar quecos(nI9) é solução para a equação 8x3 - 6x - 1 = O e deduzir que é um número irracional.

Para cos(nI5) e cos(nI7), devemos utilizar os números complexos eirr/S e ei1t7 que sãosolução para as equações.x4 - x3 + x2 - X + 1 = O e.x6 - XS + .x4- x3 + x2 - X +1 = O,respectivamente (ver PEM 3).


[47] Sejaf(x) = 1 + x + x2 + ... + xn-I. Se derivarmos essa função, é fácil ver que T= 1'(1).


[48] Nós reduzimos o problema ao seguinte: em quais casos coszx/n pode se expres-sar mediante números racionais e raízes racionais? Buscar alguns casos particulares sim-ples para começar o estudo.


[49] Traçar D de tal maneira que AD = AC' = b. Seja E sobre (AD) tal que AE = d,largura da régua. Traçar F sobre (AS) tal que (DF) 11 (EB). Construir, agora, o triânguloAFG retângulo em G e tal que AG = d. A paralela a (FG) que passa por B corta (AG) noponto C buscado.

[50] (a) Traçar a projeção ortogonal H de O sobre (AS). Os pontos M e N buscadossão tais que os triângulos OHM e OHN devem ser retângulo em H e de hipotenusa decomprimento r dada. Seja, então, P um ponto qualquer tal que OP = r. Construir K de talmaneira que o triângulo OPK seja retângulo em K e com OK = OH. Agora, basta determinarMe N sobre (AS) tais que HM = HN = PK.


[51] A soma dos primeiros N inteiros é (ver Pequeno Estudo Matemático 1):S=N(N+ 1)/2 e a soma dos N primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer é:

aI + aN5 = aI + a2+ .. ·+aN = --2-' D, onde D é a diferença entre dois termos D = ap+1 - ap'

Podemos estabelecer, então, que LB = a(n +1).Próxima ajuda: [135].

[52] Também podemos utilizar uma definição equivalente do quociente de a por bque, assim como a técnica de divisão apresentada, não faz com que intervenha 6 resto r.

Definição: O quociente de a por b é o único inteiro q tal que bq s a < b(q+1).Próxima ajuda: [126].

2n 2n(2 . 3 - 5) 2n .2 2n[53] Observar que 2· 3 - 5 = 1. Logo cos- = cos = cos(-- - -).

'15 15 5 3


2.Jr 2.JrConcluir para cos- e abordar o caso geral cos-- com (n,m) =l.

15 n·m


[54] Se r é paralela a (AB), a solução é óbvia. Se r não é paralela a (AB), suporprimeiro que C é a interseção de (AB) com r.


[55] Sabemos que (ver Carrega (1981), Jones (1991) ou Edwards (1984), cf ajuda[68]) se n = 2i+2 ou se n = 2ipIP2 ... Pj, com i 2: O e P primo de Fermat (isto é, primo e da

2.Jr 2.Jrforma 1 + 2C2kl, então o ângulo - (e, portanto, cos- é construtível com régua e com-

n npasso, e sua expressão conterá somente raízes quadradas. O que acontece nos outros ca-sos?


n2- n n(n -1)[56] T = -- = --'-----'-2 2

[57] A posição do ponteiro depois de t minutos é: P= lt - 60n, onde n é o quocienteinteiro de t por 60. Obtemos, então, a solução geral: lt - 60n = (1/12)t, ou seja, t=60n .12/1l.

Para n = O temos t = O, solução que corresponde às doze em ponto.Para n = 1 obtemos a solução anterior t = 60· 12/11; para n = 2 obtemos t = 60·2

. 12/11; etc.No geral, os ponteiros se encontram a cada 60 . 12/11 minutos.

[58] Queremos dividir a por b = bl, b2, b3, •.• , b., Seja q o quociente de a por b e sejamql o quociente de a por bl e rI o resto. Temos que a - T é divisível por b e, como b = bl, b2,

b3 ••. b.; também é divisível por b-, Logo, o resultado é que rI s r e que a - rI tenha o mesmoquociente que a quando o dividimos por b. Além disso, como a - rI = bIql> o quociente dea - rI por b é igual ao quociente de ql por b2, b3 .•• b.;

Seja q2 o quociente de ql por b2 e r2 o resto, ql tem o mesmo quociente por b2b3 ... b;que ql - T2. Como ql - tz = b2q2> o quociente de ql - r2 é igual ao quociente de q2 por b3···b",etc. Repetindo o processo, o resultado é que a por b é igual a ql por b2b3 ... b.; a q2 por b3 ... b.,a q3 por b;...b.; etc.

[59] J2 é solução da equação x2 - 2 = o. Se essa equação tivesse uma solução

racional E. com m.d.c. (p,q) = 1, então p2 = 2q2. Como p e q não têm divisares comuns, 2qdividiria p e 1 dividiria q. Portanto, teríamos q = ± 1 e p = ± 1 ou ± 2. Como 1 < J2 < 2,J2 não pode ser racional.


fn é solução da equação x2 - n = O. Se essa equação tivesse uma solução racional Eqcom m.d.c. (p,q) = 1, então p2 = nq2. Particularmente, n dividiria p e 1 dividiria q. Então,teríamos q = ± 1 e p2 = n. Portanto, ±fn somente é racional quando n for um quadradoperfeito.

Vn é solução da equação x3 - n = O. Se essa equação tivesse uma solução racional Eqcom m.d.c. (p,q) = 1, então p3 = nq3. Em particular, n dividiria p e 1 dividiria q. Então,teríamos q = ± 1 e p3 = n. Portanto, Vn somente é racional quando n for um cubo perfeito.

J3 + J5 é solução de x+ - 16x2 + 4 = O. Se essa equação tivesse uma solução racional

!com m.d.c. (p,q) = 1, então q é divisar de 1 e p é divisor de 4. Teríamos, assim, q = ± 1

e p = ± 1, ± 2, ± 4. Então, visto que 1 < J3 < 2 e 2 < J5 < 3, temos que 3<J3+,[s<5 .Portanto, somente seria conveniente o caso p/q = 4, que não é solução da equação.

fi + J3 + J5 é solução de.xB - 40.x6 + 352.x4 - 960x2 + 576 = O. Se essa equação

tivesse uma solução racional E com m.d.c. (p,q) = 1, então q é divisar de 1 e pé divisor deq

576 = 26. 32• Como 4 < fi + J3 + J5 < 7, somente seria conveniente o caso p/q = 6 quenão é solução da equação. Podemos concluir que fi + J3 + J5 é irracional.

V5 + J7 é solução de.x6 - 21.x4 - 10x3 + 147x2 - 210x - 318 = O. Se essa equaçãotivesse uma solução racional p/q com m.d.c.Jp,q) = 1, então q é divisor de 1 e p é divisarde 318 = 2 . 3 . 53. Impossível porque 3 < ~5 + .fi < 5.

if1 + .fi + 1 é solução de: xB - 8x7 - 464x5 + 2714.x4 - 7912x3 + 13536x2 - 12400x +6201 = O.Temos que 6201 = 32. 13 . 53. Como 4 < if1 + .fi + 1 < 6, if1 + .fi + 1 não podeser racional.

Falta agora encontrar equações polinomiais que tenham como solução cos(1l/9),cos(n/5) e cos(nl7).


[60] Considerar, para cada valor dey, a parábola de equação T = F(Z) = yZ2 - 3y2Zou, ainda, para cada valor de x, a parábola de equação T = G(Z) = - 3XZ2 + x2Z.


[61] É evidente que, dada uma reta (AB), podemos construir com régua e compassoa paralela a (AB) à distância d dada: basta construir a perpendicular a (AB) em A e trans-portar nela a distância d. Aqui aparece uma dificuldade imprevista: pode ser que a distân-cia d não nos seja dada na configuração de pontos iniciais, nem possa ser construída comrégua e compasso. Nesse caso, e para a configuração inicial considerada, haveria figurasque podem ser construídas com a régua de duas bordas paralelas que não poderiam serconstruídas com régua e compasso. Para que toda figura que pode ser construída comrégua de duas bordas paralelas também possa ser construída com régua e compasso, deve-mos exigir que a distância d nos seja dada na configuração inicial (considerando, por exem-plo, AB = d), ou possa ser construída com régua e compasso a partir dos pontos iniciais.

Supondo que isso aconteça, para construirmos agora uma faixa de largura d dada quepasse por dois pontos dados A e fi, basta construir um triângulo APfi retângulo em P e tal


que AP = d. Para isso, podemos construir I, ponto médio de AN., e o círculo de centro I eraio IA. Uma das interseções desse círculo com o círculo C(A,d) é o ponto P buscado.Notemos que se AN.< d, então os dois círculos não se tocam.

[62] Ver PEM 7 para o tema da variação relativa de uma grandeza.Próxima ajuda: [6].

2Jr Uln+Wn 2Jr. 2Jr[63] Temos a = cos- = onde Wn = cos- + I sen- é uma raiz primária

n 2 n n2Jr. 2Jr

enésima da unidade e Uln = cos- - I sen- é seu conjugado.n n


[64] Preço inicial Preço final Variação absoluta Variação relativa

R$ 2.000,00 R$ 2.260,00 R$ 260,00 13%

R$ 200,00 R$ 226,00 R$ 26,00 13%

R$ 2.000,00 R$ 2.350,00 R$ 350,00 17,5%

R$ 200,00 R$ 550,00 R$ 350,00 175%

R$ 2.000,00 R$ 1.900,00 R$ -100,00 -5%

R$ 200,00 R$ 190,00 R$ -10,00 -5%

Podemos ver claramente nessa tabela que uma mesma variação relativa (por exem-plo, de 13%) pode representar variações absolutas muito diferentes e vice-versa.

2Jr[65] Se cos- pode se expressar com racionais e radicais, o que podemos dizer de

n

2JrkCOS-?

nPróxima ajuda: [141].

[66] A régua permite traçar faixas (r, r') de largura d formadas por duas retas parale-las r e r' na distância d uma da outra. Traçar uma faixa (r, r') tal que r passe por A e r' porB. Traçar, então, outra faixa (r', r") de tal modo que r" não coincida com r. O ponto C é ainterseção de r" e (AB).

[67] Traçar a reta r paralela a (AB) que passa por P (Problema 2 (a)) e depois aperpendicular a r que passa por P (Problema 1 (d)).


[68] Referências bibliográficas:W. Watkins & J. Zertlin, "The Minimal Polynornial of cos(2Jt/n)", American Mathema-

tical Monthly, 1993, p. 471-474). (Dá a forma explícita do polinômio mínimo <t>n(x)decos(2Jt/n) sobre Q e demonstra que seu grau é cp(n)/2 e que suas demais raízes são cos(2Jtk/n) sendo (k, n) = 1 e k s s, com s = n/2 se n for par ou s = (n-1)/2 se n for ímpar).

I. M. Isaacs, "Solution of Polynomials by Real Radicals", American Mathematical Mon-thly, 1985, p. 571-575. (O principal resultado desse artigo é o seguinte: SejafE Q[x] umpolinômio irredutível com todas as suas raízes em R. Seftem uma raiz que pode se expres-sar com radicais reais, então o grau def é uma potência de 2 e todas as suas raízes constru-tíveis com régua e compasso).

J. C. Carrega, Théorie des corps. La rêgle et le compas. Hermann, Paris, 1981.H. M. Edwards, Galois Theory. Springer-Verlag, Nova York, 1984.A. Jones (et. al.), Abstract Algebra and Famous Impossibilities. Springer-Verlag, Nova

York,1991.

[69] Existem varias soluções. Talvez a mais simples seja construir um paralelogramode vértices A e P com um lado na reta (AB).


2Jr úJ + tu[70] Temos =: = -2- com O) = exp(i2Jt/n) raiz primitiva enésima da unidade.

Caso n = 5. Resolvendo a equação de segundo grau 4x2 + 2x - 1 = O, temos que

2Jr -l+JScos-=---

5 4Caso n = 7, se tivermos 0)6 + 0)5 + 0)4 + 0)3 + 0)2 + O) + 1 = ° e, como 0)6 = W, 0)5 =

w2 e 0)4 = w3, chegamos a:

6Jt 4Jt 2Jr2 cos - + 2 cos - + 2 cos - + 1 = °

777

6Jt 4Jt 2Jr 2JrExpressando agora cos7 e cos7 em função de cos7' vemos que cos7 é a

solução da equação de terceiro grau 8x3 + 4x2 - 4x - 1 = O. Então, embora essa equaçãopossa ser resolvida por radicais (como todas as equações polinomiais de grau :5 4), a ex-pressão de suas soluções faz surgir raízes de racionais negativos e não somente radicaisreais. (Para a resolução da equação cúbica e a forma geral de suas soluções, ver, por exem-plo, G. Birkhoff e S. MacLane (1970). Algebra Moderna, Vicens-Vives 1980, ou Jean Dieu-donné (1987) En honor dei espíritu humano. Las matemáticas hoy, Alianza Editorial 1989).Portanto, não está claro que cos 2Jt/7 possa se expressar com somas, produtos e radicaisreais de números racionais.

Caso n = 9. Pode ser trabalhado da mesma maneira que o anterior, observando que 0)8

= nr, 0)7 = w2, 0)6 = w3 e 0)5 = w4. A solução da equação cúbica obtida também não pode serresolvida com radicais reais.

Caso n . m, com (n, m) = 1. Pela identidade de Bézout, existem r e s tais que nr + ms= 1. Então, visto que


2Jr 2Jrr 2ns 2Jrr Zns 2Jrr 2nscos-- = cos (- + -) = cos-· cos- - sen-· sen-,

n·m n m n m n m

2Jr 2Jrcos-- será expresso com racionais e radicais reais se, e somente se, também o são cos-

n·m n

2Jre cos-.

m

[71] Como xê - 5 é irredutível sobre Q[x], o anel (x3 :~;~[x] é um corpo e o polinô-

1mio "6 (2 - x) tem um inverso p(x) que cumpre: (2 - x) . p(x) = k + (x3 - 5) . q(x) para

certo k E Q* e certo q(x) E Q[x].Próxima ajuda: [7]. .

[72] María Moliner (1990): Dieeionario de uso dei espaiiol, Editorial Gredos, Madri."elasticidade. Qualidade de elástico".Real Academia Espafiola (1992): Dieeionario de Ia lengua espoiiola, Madri."elasticidade. f. Qualidade de elástico [... ]"Vemos que os dicionários da língua não são muito explícitos. Precisamos consultar

algum dicionário de termos econômicos, algum livro elementar de economia ou uma enci-clopédia. Não é necessário buscar em literatura muito especializada: se os professores fa-lam em introduzir essa noção no currículo da escola fundamental, é porque não deve seruma noção excessivamente técnica nem complicada.


6 = (2 - if5)(a + bif5 + dJ2S) = (2a - Se) + (2b - a)if5 + (2c - b)'}j2S

[73] O número de intérpretes I é dado por 1= n2 - n = n(n - 1), solução lógica vistoque cada língua deve ser traduzida para outros n - 1 idiomas, e que no total há n línguasdiferentes. Se acrescentarmos k novos idiomas, o número de intérpretes r é: r = (n + k)2- (n + k). É necessário, assim, um aumento de 2nk + k(k - 1) intérpretes. Os k novospaíses necessitarão, para uma tradução entre eles, de k(k - 1) intérpretes, aos quais deve-mos acrescentar os intérpretes necessários para traduzir as n línguas anteriores às k novaslínguas e vice-versa (2nk).

[74] Se aparecer um problema na manipulação de desigualdades, podemos utilizar oseguinte resultado:

Se x e y forem inteiros positivos, então x < y <= > x :s y - 1.Próxima ajuda: [136].

[75] Sabemos que Q(if5) coincide com o anel Q(if5) = Q[if5,'}j2S].

6Portanto, 2 _ if5 é da forma a + bif5 + e'}j2S . Temos, então, a igualdade:


onde:

12a - Se = 62b-a=O2c - b = O

=> la= 8b=4c = 2

6 3{;: 3{;:Assim 3{;: = 8 + 4v 5 + 2v 5

, 2- v5

Domesmomodo ifj ~ EQ(ifj) = Q[ifj,f72,V73] é da forma a + b V7 +, 7+ 7+1

cJ7 + dif, e V553.fi EQ(V5 + .fi) = Q(.fi) [V5]5 + 7

(b + b'.fi)V5 + (c + c'.fi)if2s .

é da forma V553.fi = (a + a'.fi) +5 + 7

1No caso de expressões como .fi _ 2' essa técnica levaria a considerar, rapidamente,

1que .fi _ 2 é da forma a + b.fi e a deduzir a e b da igualdade: (.fi - 2)(a + b.fi) = 1.

Com a técnica inicial (multiplicação pelo conjugado do denominador), o fato de que aracionalização de frações com um radical leve a uma expressão do tipo a + bfn, e que a deracionalização de frações com dois radicais conduza a uma expressão do tipoa + bfn + crm + d& era um resultado tecnológico que se podia conjeturar (como fa-zem os alunos de Luis) e que ficava por demonstrar. No âmbito teórico, no qual estamosagora, já não se trata de um resultado a ser estabelecido, mas do princípio coordenador datécnica, ~e poderia se,Uustificado, ao mesmo tempo, pelas igualdades Q( fn) = Q[fn] eQ(fn,.Jm) = Q(fn)[.Jm].

2nk 2n 2n(k - 1) 2n 2n(k - 1)[76] Visto que cos- = cos-' cos . - sen-' sen--O.-_.c..

n n n n n2".

se cos-n

2n 4npode se expressar com racionais e radicais e como sen- também poderá, então cos- e

n n

4n 6n 6n 2nksen-, cos- e sen-, ... , também cos- para todo k > O.

n n n nPróxima ajuda: [48].


[77] Comprimento do fio do varal

Lado do quadrado 1 metro 1,25 m 0,75 m a a(8 quadr.) (10 quadr.) (6 quadr.)

N° de segmentos 9 11 7 n ímpar n par

Varal A 9 metros 13,75 m 5,25 m a·n a·n

LA (72 quadr.) (110 quadr.) (42 quadr.)

N° de quadradosn-l n

4 5 32 2

Varal B 10 m 15 m 6m a(n +1)n2

a--n-l

(80 quadr.) (120 quadr.) (48 quadr.)

~ 1 1 1 1 11+- 1+- 1+- 1+- 1+--

LA 9 11 7 n n-l

[78] O ponteiro grande e o pequeno não percorrem as divisões do mostrador namesma velocidade. Por exemplo: após 60 min, o ponteiro grande está na divisão 60, e opequeno, na divisão 5 (a que indica, ao mesmo tempo, 5 minutos e 1 hora); após 72 min,o ponteiro grande está na divisão 12 e o pequeno na 6; após 100 min, o ponteiro grandeestá na divisão 8 e o pequeno entre a 8 e a 9; etc.

Encontrar a velocidade na qual cada ponteiro se move e a divisão na qual cada umestá após t minutos. A partir daí, basta supor que, no minuto buscado, os dois ponteirosdevem estar na mesma divisão do relógio.


TT

1(n - 1)

++

2(n - 2)

++

++

(n -1)1

[79] No caso de que AB < d, podemos construir, igualmente, o ponto médio I de [AB]considerando um ponto O externo a (AB), as retas (AO) e (BO) e retas paralelas a (AB) auma distância d umas das outras.


[80] No primeira fileira da tabela há n - 1 casas. O número buscado T é a soma dosn - 1 primeiros números naturais. Podemos escrever:

Ao somarmos termo a termo as duas igualdades, obtemos uma expressão simples para2T.



[81] Seja q' o quociente de a por b' e q" o quociente de q' por b", temos:

b'q' s a s b' (q' + 1) - 1.b"q" s q' s b" (q" + 1) - 1.

(1)(2)

Queremos ver que (1) e (2) implicam que q" é o quociente de a por b, isto é, quebq" s a s b (q" + 1) - 1.

De b'q' s a e b"q" s q' podemos deduzir, imediatamente, que a .<! b'q' .<! b'b"q" = b q".Para demonstrarmos a segunda desigualdade:

a s b'(q' + 1) - 1 s b'((b"(q" + 1) - 1) + 1) - 1 =

= b'(b"q" + b") - 1 = bq" + b - 1 = b(q" + 1) - 1.Logo, a < b(q" + 1).Agora falta demonstrar o caso geral.Próxima ajuda: [116].

2.n[82] Utilizar ())4 = UJ e ())3 = UJ2 para n = 5. Podemos ver do mesmo modo que cosl5

2.né solução da equação 8x3 + 4x2 - 4x - 1 = O e que cos9 é solução de 8x3 - 6x + 1 = O.

2.n 2.nO que acontece com cos- ou cos-?15 21 .


[83] No primeiro caso (o produto de R$ 2.000,00 cujo preço aumenta 13%), a vari-ação relativa do preço é de 13%. A variação absoluta é 13% de R$ 2.000,00, isto é:

(13% x R$ 2.000,00) = (1~0 x R$ 2.000,00 J = R$ 260,00. O produto custará R$ 2.260,00.


2.n[84] Podemos buscar primeiro em quais casos a. = cos- é solução de uma equação

npolinômica com coeficientes em Q que pode ser resolvido por radicais. Depois, teremos dever em quais casos a solução pode ser expressada com radicais reais.


[85] Da igualdade cos-x + sen-x = 1, temos senx = ±Jl- cos+x . Portanto, se cosxpode se expressar com somas, produtos e raízes de números racionais, então, senx tambémpode.

Alguns casos simples: provar com 1t/8, 31t/8, 51t/8, etc., 1t/16, 31t/16, etc., 1t/12, ;rI24, etc.


[86] Sen r = 0,76'sen i :5 0,76. Ao deslocarmos o ponto T em direção à superfície daágua, o ângulo r aumenta.



[87] Utilizar a seguinte propriedade:Dados três círculos C], C2 e C3 de centros não-alinhados e que se cortam dois a dois,

então, as retas R], R2 e R3 definidas respectivamente pelos pontos de interseção de C] e C2;

C2 e C3; C] e C3 se cortam em um único ponto W, chamado de centro radical de C], C2 e C3•


[88] Gran Enciclopedia Larousse, Editorial Planeta, Barcelona."ELASTICIDADE" n. f. Qualidade de elástico [... ]Econ. pol. O conceito de elasticidade, introduzido em economia por Alfred Marshall,

indica o grau de variação de um fenômeno econômico em função das variáveis exôgenas.Seja a função y = !(x); a elasticidade será a relação entre a porcentagem da variação de ye a porcentagem da variação de x. O coeficiente de elasticidade será dado, então, pelafórmula geral

dy dx dy x dy xe=-+-=-x-=-x-

y x y dx dx y'

Ou, ainda

dy ydx+-;:

Se considerarmos a fórmula

dy dxe=-+-,

y x

podemos definir a elasticidade como a relação entre o valor marginal da função e seu valormédio.

a[89] Seja d = -- a distância entre dois segmentos ou entre dois quadrados conse-

n-l

dcutivos. Ao passarmos do modelo A para o B faltam n pedacinhos de comprimento "2 (os da

parte inferior).Próxima ajuda: [135].

[90] F),.(x) = À.!f.(x) + (1- À.)fz(x)com À.E (0,1) é uma função cujo gráfico está, paratodo x, entre os gráficos de!] efz. Temos que, para todo x, a ordenaday = F),.(x) pertence aosegmento CfJ(X);f2(X)) quando jjfx) for maior que!] (x) ou ao segmento (f] (X);f2(X)) quan-do for menor.


[91] A construção é evidente se considerarmos que o ângulo adjacente à base é

11: - B, ângulo que obtemos traçando a bis se triz do complemento do ângulo dado (ver2

Problema l(e) deste mesmo PEM).


6[92] Considerar a fração 2 _ V5 como um elemento de Q(V5).


[93] Estabelecer a igualdade (x-l)f(x) = xn - 1 e derivá-Ia.Próxima ajuda: [22].

[94] É necessário distinguir dois casos: b = d e b •• d.Próxima ajuda: [147].

[95] A extensão Q(wn) ~ Q é de grau <p(n) onde rp é a função de Euler (<p(n) =

número de inteiros menores que n e primos com ele). Então, a extensão Q(a) ~ Q é de grau<p(n)/2.


[96] Como no varal total, o lado inferior dos dois primeiros "quadrantes" coincidecom o superior, ao passar do modelo A para o B faltará fio. Caso n seja par: é necessárioreduzir para o caso de n ímpar.


[97] Estabelecer os resultados parciais indicados no roteiro 1.Próxima ajuda: [127].

[98] A dificuldade está em encontrar a fórmula para a variação relativa. Resolverantes o problema 1 desse PEM e tentar encontrar a fórmula geral a partir do trabalhorealizado.


llq 94,34": 100[99] Parap = 6, q = f(6) = 100,p' = 1,01 . 6, q' = f(6,06) = 94,34 e q = 100

=-5,66%.

llq llq llqParap = 10, - = -1,96% e parap = 45, - = -1,2%. Falta encontrar p tal que -q q q

= -1,5% = -0,015.Próxima ajuda: [145].

[100] No caso de n ser ímpar: considerar a figura abaixo que representa um quartodo varal:



[101] Ph. Deane, J. Kuper, eds. (1986): Vocabulario básico de economía, EditorialCrítica, Barcelona.

"Elasticidade (elasticity). Muitas proposições em economia são expressadas comouma relação entre duas variáveis. Em geral, podemos escrever a relação como y = f(x), quelemos como 'y é função de x". "Aquantidade consumida (y) é uma função do preço (x)" éum exemplo de uma proposição semelhante. Uma característica importante de qualquerrelação desse tipo é como y responde a uma mudança em x. Se supuzermos que sx é amudança em x e que l1y é a mudança correspondente em y, o sinal de l1y/ Sx nos diz se yaumenta ou diminui quando produzimos um acréscimo dado em x. Assim, "a quantidadeconsumida diminui quando o preço aumenta" seria representado por um sinal negativo del1y/ Sx.

Para muitas finalidades, não basta simplesmente conhecer a direção da resposta de ydiante de uma mudança dada em x; também temos de saber a ordem de grandeza dessaresposta. Como medi-Ia? Uma possibilidade é o valor absoluto de l1y//'"x.

O problema dessa medida é que ela depende das unidades nas quais tenham sidomedidos x e y, visto que Sx e l1y são medidos em suas respectivas unidades. No entanto, Wx e l1y/y são medidas - independentes do tipo de unidade - da mudança em x, e da corres-pondente mudança emy. Portanto,

l1y / ySx / x

é uma medida - independente do tipo de unidade - da sensibilidade de y diante de umamudança em x. O valor absoluto desse é conhecido como elasticidade de y em relação a x. Aexpressão pode ser escrita como (l1y//'"x) . (x/y), e para variações infinitamente pequenasde x se transforma em (dy/dx) . (x/y), onde ây/âx é a derivada dey em relação a x. [ ... ]"


[102] Na tabela quadrada de n fileiras e n colunas, há um total de n2 casas. Nadiagonal da tabela há n casas.


[103] Podemos escolher dois contextos tecnológico-teóricos distintos (embora inti-mamente relacionados): o dos anéis de polinômios (via 1) e o das extensões algébricas deQ (via 2).

Próxima ajuda: via 1: [34]; via 2: [92].

[104] Basta demonstrar que os pontos abaixo são construtíveis com a régua de duasbordas paralelas:

(a) Dado um ponto P(x,y), as projeções de P sobre os eixos: M(x,O) e N(O,y).(b) Dado P(x,y), o ponto Q de coordenadas (y,x).(c) Dados os pontos (XI,O) e (X2,O) , um ponto de abscissa x = Xl + X2'

YIX2(d) Dados (XI,yI) e (X2,0), um ponto de ordenada Yz = --o

Xl


[106] Seja Q um ponto exterior a (AB) e sejam rI> r2, ... , rn retas paralelas a (AB) e auma distância d umas das outras. A reta (OA) corta essas retas nos pontos AI, A2, ••• , An e areta (OS) nos pontos S], B2, .•. , Bn. Para algum n teremos AnBn> d. Podemos, então, cons-truir o ponto médio I, de [AnBn]e obtermos o ponto I como a interseção de (OIn) com (AB).

Para construirmos o simétrico C de B em relação a A, construímos, a partir dos pontosAn e B, construídos anteriormente, o simétrico C, de B, em relação a An. Então, C é ainterseção de (OC) e (AB).

Para construirmos a perpendicular a (AB) em B, podemos começar traçando umafaixa (r;r') tal que r passe por B e r' corte (AB) em um ponto Pi..Teremos, então, A'B 2: d.

A construção da bissetriz não requer nenhuma condição sobre a distância entre A, B e

(e) Dados (XI,O) e (X2,0), um ponto de abscissa x = JXIX2 .


[105] Temos x' (1 + r)x com r > O e f(x')/':,.f/ f

(1 + s)f(x). Seja E = -- =Sx / x

f(x') - f(x) xf() . -, -. Segundo o Teorema do Valor Médio, existe um c E (x,x') tal quex x -x

f(x') - f(x) = f'(c) (x' - x).Próxima ajuda: [128].

c.

[107] (1) Se igualdade E(j ,x,x') = e(j,x) quando f'(c) = f'(x) para todos x, x', c E I,então f(x) é uma função afim.

(2) O erro absoluto cometido ao substituir E(f,x,x') por e(j,x) é (para certo d (x,c) E I:

x f"(d)x(c - x)IE (j,x,x') - e(j,x) I :5 f(x) :5 I (t(c)) - f(x) I :5 f(x)

M2x2r

:5 f(x) onde M2 = sup{f"(u)/u E [x,x']}.

Assim, se aproximarmos tJ.f(x)/f(x) = E . Sx/x por /').f(x)/f(x) = e . õx/x, o erro come-tido será:

M (/';x)2IEtu/x - eõx/x I < --=2~_f(x)

Agora seria interessante voltar ao Problema 2 do PEM 8 e comprovar, para a função

100f(P) = --5' que os erros encontrados são inferiores à cota aqui obtida.p-

[108] Temos a = b'q' + r' com 0:5 r' < b' e q' = b"q" + r" com 0:5 r" < b". Precisamosdemonstrar que existe r tal que a = bq" + r e O :5 r < b.



2n:[109] Propomos estudar aqui os casos n = 5, n = 7, n = 9 e os do tipo -- quando

n·m

2n: 2n:sabemos de antemão que - e - podem ser expressos com radicais.

n mPróxima ajuda: [18].

[110] Se, no caso de serem 7 jogadores, contarmos o número de casas da tabelatriangular por fileiras, começando por baixo, contaremos 1 casa, depois 2 casas, 3 casas, 4,etc., até chegarmos às 6 casas da primeira fileira. O número total de casas é, para n = 7: T= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6.


3 9 3[111] Caso F(Z) = yZ2 - 3y2Z e Vy = Vy = ('3 y,-'4 y ).

A ordenada de Vy é mínima paray = 1 e também é o mínimo da família de parábolas.

3Portanto, podemos afirmar quef(x,y) = x2y - 3xy2 tem somente um mínimo em (2,1), cuja

3 9imagem é f(2,1) = -'4'

Como as parábolas têm forma de U, o máximo de cada uma será um extremos dointervalo [0,1]. Como f(O,y) = O efO,y) = y - 3y2, o máximo será o máximo defO,y), isto

1 1é, f(l'"6) = 12'

X x3

Caso G(Z) = -3XZ2 + x2Z e V = V = (_. -).x x 6 12

A ordenada de Vxé máxima parax = 1 e também é o máximo da família de parábolas.Portanto, podemos afirmar quef(x,y) = x2y - 3xy2 tem somente um máximo em O, 1/6),em cujo casofO,1/6) = 1/12. Como as parábolas têm forma de U invertido, o mínimo decada uma será um extremo do intervalo [0,1]. Como f(x,O) = Oe f(x, 1) = x2 - 3x, o mínimoserá o mínimo def(x,l), isto é,f(3/2,1) = - 9/4.

[112] Se E(f, x, r) não depende de x, então e(f,x) = lim E(f ,x,r) também dependeráx->o

dex.Próxima ajuda: [124].

[113] Em geral, se (n,m) = 1, existem r, s E Z tais que mr + ns = 1 (identidade deBézout).


[114] Estabelecer que cos(3a) = 4cos3a - 3cosa.Próxima ajuda: [46].


i.

[115] Podemos considerar que em vez de idiomas e intérpretes temos jogadores depingue-pongue e partidas de ida e volta: ao intérprete de alemão-italiano corresponde apartida Alemanha-Itália, ao tradutor de italiano-alemão, a partida Itália-Alemanha, etc.Dessa maneira, o número de intérpretes será igual ao de partidas a serem organizadas. VerPEM l.


[116] Sejam q e r o quociente e o resto da divisão de a por b = bjbzb3 .. · b.; Sejam qi,ri tal que qIbI + rI e qi-l = qibi + ri com O s; ri = qi-l - qibi s; b, - 1 para i = 1... n. Queremosver que q = qn, isto é, que O s r = a - bqn s; b - l. Vamos ver primeiro que O s; r, isto é, quebq; = b1bzb3 .. · bnqn s; a. Como qi-l s; qibi, temos: b1bzb3 ... bnqn s; b1b2b3 ... bn-1 s; b1bzb3 ... b.:zqn-z s; bjql s; a.

Vejamos agora que a - bq; s; b - 1, isto é, que bq; 2: a - b + l. Como q.b, 2: qi-l - b, + 1,temos:

b1b2br.bnqn 2: blbzbr.bn_l(qn_l - b; + 1)2: blb2br.bn_lqn_l - b + blbZb3".bn_l2: blbzby".bn_z(qn_z - b; + 1) - b + blbzbr.bn_l2: blb2b3".bn_2qn_2 - b + blbZb3".bn_z

[117] Vimos no problema 2 (c) e (d) que podemos transportar um segmento [AB]sobre uma reta r. Então, também podemos transportar ângulos dados por duas serni-retas[OA) e [OB): transportamos o segmento [OA] e o segmento [AH] onde H é a interseção de(OB) com a perpendicular a (OA) em A.

Para construirmos o triângulo, basta pegar OA igual ao comprimento a dado e traçarOB de tal maneira que o ângulo AOB seja igual ao ângulo dado e que OB = OA.

[118] O lado do quadrado passa a ser x = x + r% . x = x(l + r%). Falta calcular a

M A'-Avariação de sua superfície A, isto é, A = -A-' O mesmo com a variação relativa ôB/B

da superfície B do retângulo, que passa de B = x(x + 1) para B' = (l + r%)x((l + r%)x +1).


A A(B - cFn)B-CFn

[119] No caso de expressões com um radical, temos que: B + cFn

AB -ACa + bFn, e é evidente que z CZ EQ e b = 2 CZ EQ.

B - n B - nOs casos das expressões com dois radicais serão demonstrados de maneira análoga.


ARessaltamos, aqui, que essas transformações da expressão geral B + cFn poderiam

suscitar a necessidade de justificativas: A condição A, B, C E Q* é suficiente? Não seriaconveniente impor também a condição B2 = CZn ,. 07

ABPois sempre temos a = 2 2 EQ etc, Essas explicações e justificativas de resulta-

B -C ndos tecnológicos fariam parte, então, da teoria da organização' matemática construída emtorno da técnica de racionalização por "multiplicação do conjugado do denominador".

[120] Nos episódios, os professores parecem se referir à elasticidade como se fosseuma noção de economia, relacionada à variação na demanda e no preço de um produto. Omais simples é começar consultando um dicionário da língua, por exemplo:

Maria Moliner (1990). Diccionario de uso dei Espciio', Editorial Gredos. Madrid.Real Academia Espaii.ola (1992). Diccionario de Ia lingua Espaiiola.Próxima ajuda: [72].

[121] Traçar uma faixa (ru r\) tal que rI = (AB). Seja X um ponto qualquer de r\ eseja B' um ponto de r\ tal que (M)/ /(BB'). Seja r2 a reta paralela a (XC) que passa por B'.r2 corta em D e temos AB = CD.

[122] Caso n seja ímpar (o caso de n ser par pode ser estudado da mesma maneira):

aa distância entre dois segmentos ou entre dois quadrados consecutivos é d = --1' O

n-cálculo do comprimento dos segmentos do varal A não apresenta nenhuma dificuldade.Para calcular LB, podemos calcular quantos quadrados concêntricos há e determinar o com-primento de cada um deles em relação ao comprimento do anterior.

Pr6xima a)\lda·. ~171.

2r r2[123] Para o caso do quadrado, temos A = x2 eA' = x2(1 +r%)2 = x2(1 + -- + --).

100 10000

A variação relativa da superfície do quadrado é M = (~ + _r_2_) = (2 + _r_) . r%. NãoA 100 10000 100

depende de x.Para o caso do retângulo, temos B = x2 + x e B' = (1 +r%)B + (1 +r%)r%·x2.

M3 B' - B r%(1 + r%)xEm que: - = -- = r% + , depende de x. A partir dessa última ex-

B B 1+ xpressão, vemos que, dada uma variação relativa r% constante, quanto maior for x, menorserá a variação relativa ~B/B da área do retângulo. Esse fenômeno tem uma explicaçãosimples.


CHEVALLARD, BOSCH & GASCÓN

[124] Se ECf,x, r) não depende de x, então eCf,x) também não depende de x e temos

xf'(x) f'(x) e eque e = f(x) é uma constante que depende somente de f. Assim, f(x) = -; e f(x) = Cx

para certa constante C > O. Reciprocamente, é fácil comprovar que as funções do tipo f(x)= CX" com C e a constantes positivas têm uma elasticidade que não depende de x. Além

(1+ r)a - 1disso, temos que E (CX", x, r) = e que e(CX") = a.

r

2nk[125] De fato, as raizes de <l>n(x) são: cos - com (k,n) = 1 e k:s n!2 se n for par oun

k s: (n-l)/2 se n for Ímpar.Próxima ajuda: [36].

[126] Temos: bq' -sa < b'(q' + 1) < = > bq' :5 a :5 b(q+ 1) - l.Próxima ajuda: [81].

2n[127] O problema se reduz a encontrar para que valor de n E N cos - pode se

n

expressar com somas, produtos e radicais reais de números racionais. Podemos começar

2n 2npor um caso particular: aquele em que cos - (e pois o ângulo - ou o polígono regular

n nde n lados) é construtível com régua e compasso, o que equivale a dizer que pode se expres-sar com racionais e raizes quadradas.


x' - x f'(c)x[128] Se r = -x- é suficientemente pequeno, então, f'(c) = f'(x) e E = f(x)

xf'(x)f(x) . Essa última expressão é o que podemos definir como a elasticidade pontual de f:

xf'(x) t:.f / feCf,x) = f(x) , enquanto que E = tlX / x é a elasticidade arco de f entre x e x'. Agora,

surgem duas questões:(1) Em quais casos temos que ECf,x,x') = eCf,x)? (2)Qualo erro cometido ao substituir

ECf,x,x') poreCf,x)?Próxima ajuda: [107].

[129] Quando a onda luminosa se propaga de um meio para outro, a transmissão daonda sofre uma mudança de direção (ver figura). Assim, se a fonte de luz se encontra em S,o raio chegará até o ponto T sempre que seja cumprida a relação: sen r = I sen i onde i é oângulo entre o raio de luz e a reta perpendicular (normal) à superfície da água

r é o ângulo do raio de luz na água com a mesma reta,


I = w/v é o índice de refração, isto é, a razão entre a velocidade da luz na água (w=2,3.108 rri/s) e a velocidade da luz no ar (v = 3.108 m/s).

sen r = sen i

S

AR

1= w/v = 0,76ÁGUA

w = velocidade da luz na águav = velocidade da luz no ar

T


[130] Queremos saber de que grau é a extensão Q(a) ::J Q. Temos Q(wn) ::J Q(a) ::J Q2.n:

e Wn raiz do polinômio irredutível sobre Q(a): X2 - 2cos - x + 1.n


[131] Sejam 1\ e B' tais que M = b, BB' = a, (M) e (BB') sejam perpendiculares a(AB) e 1\, B' estejam do mesmo lado em relação a (AB). Seja r o ponto médio de [I\B'].Temos, agora, três círculos: CI (A;b), C2(B;a) e C3(I'; 1',1\) com centros não-alinhados. Paraencontrar o ponto W, traçar a perpendicular a (AI') que passa por 1\ e a perpendicular a(BI') que passa por B'. Traçar, finalmente, a reta r perpendicular a (AB) por W. O problema,agora, ficou reduzido em encontrar os pontos de interseção da reta r com os círculos CI (A,b)e C2(B,a) (ver Problema 2 desse mesmo PEM).

[132] Traçar duas faixas (rl,r\) e (r2,r'2) tal que rI passe por A e B e r2 passe por A eC. r\ e r'2 se cortam no ponto D. Então, (AO) é a bissetriz do ângulo CAB.

[133] Vamos resumir. Seja <Pn(x) o polinômio mínimo de a sobre Q. Vimos que <Pn(x)tem grau <P(n)/2. Se cp(n) s 8, então <Pn(x) é de grau s 4, logo, pode ser resolvido porradicais. Se cp(n) ~ 10, <Pn(x) pode ser resolvido ou não por radicais. Em qualquer caso, ofato de que possa ser resolvido por radicais não significa, necessariamente, que suas raízessejam dadas por uma expressão com números racionais e radicais reais ("casus irreducibilis"da equação cúbica). Para nós, interessa o seguinte resultado (ver Isaacs (1985) na ajuda[68]):

SejafE Q[x] um polinômio írredutível com todas as suas raizes em R. Seftem umaraiz que pode se expressar com radicais reais, então, o grau de f é uma potência de 2 etodas as suas raízes são construtÍveis com régua e compasso.

Para aplicar esse resultado, é necessário estabelecer que todas as raizes <Pn(x) sãoreais.



[134] Utilizar o resultado abaixo:Sejam q e r o quociente e o resto da divisão inteira de a por b, então, r é o menor

inteiro tal que a - r é divisível por b.Vemos que, se O s x s r, então a, a - x e a - r têm o mesmo quociente ao serem

divididos por b.Próxima ajuda:] 58].

a[135] Temos LA = La - 2'2' logo La = LA + a para o caso de n ser ímpar. Para o caso

d a nde n par, LA = La - n- com d = --, logo La = LA + a--.

2 n-1 n-1Próxima ajuda: [77].

[136] Seja q' o quociente de a por b' e q" o quociente de q' por b", temos:a = b'q' + r' com O s r' s b' - 1. (1)q' = b"q" + r" com O s r" :s b" - 1. (2)

Queremos ver que se (1) e (2) implicam que q" é o quociente de a por b = b'b", isto é,a = b'b"q" + r com O s r s b'b" - 1. (3)

Vamos considerar r = a - bq" = a - b'b"q". Temos:r = a - b'b"q" = a - b'(q' - r") = a + b'q' - b'r" =

= a - (a - r') + b'r" = r' + b'r".É evidente que r 2: O. Utilizando as desigualdades de (1) e (2) obtemos:

r = r' + b'r" s b' - 1 + b'(b" - 1) s b'b" - 1 < b'b".Logo q" é o quociente de a por b.Próxima ajuda: [52].

[137] Traçar duas faixas distintas (rl,r\) e (r2,r'2) tal que rI e r2 passem por A e r\ er'2 por B. Sendo C o ponto de interseção de rI e r'2, e O a interseção de r2 e r\. Obtemos umLosango ACBO. Suas diagonais [AB] e [CO] são perpendiculares e se cortam no pontomédio I de [AB].

[138] Dados quatros inteiros positivos e não nulos a, b, c, d, a questão é demonstrarque:

a cse b = d com m.d.c. (a.b) =m.d.c. (c,d) = 1, então a = c e b = d.


[139] Velocidade do ponteiro grande: V = 60 divisões/hora = 1 divisão/minuto.Velocidade do ponteiro pequeno: v = 60 div/12h = 5 div/h = 5 div/60min = 1/12div/mino

Posição do ponteiro grande após t minutos (60 < t < 120): P = 1t - 60.Posição do ponteiro pequeno após t minutos (60 < t < 120): P = (1/12) t.Os ponteiros se encontram quando P = p, isto é, quando:

1t -60 = (1/12)t, ou seja, t = 60.12/11 = 65.Em qual outros momentos eles se encontrarão novamente?Próxima ajuda: [57].


[140] Traçar uma faixa (r1,r\) com rI = (AP); traçar outra linha (rz,r'z) tal querz = r\ e r'z;é r\. Sendo D a interseção de r'z com (AB). (PD) corta r\ em E, ponto médio de(PD), e (AE) corta r'z em um ponto F simétrico de A em relação a E. Agora, temos que APFDé um paralelogramo e que (j=)F)//(AD).

2nk 2n 2n(k - 1)[141] Temos cos - = cos (- + ).

n n nPróxima ajuda: [76].

[142] Dividir a por b consiste em encontrar dois números q e r tais que a = bq + r,com O:s; r < b.


[143] Utilizar cos (4rr/5) = cos(rr - p/5) = - costrr/S) e cos(3rr/5) = - cos(2rr/5)para demonstrar que cosfrn/S) é solução da equação 4xz + 2x - 1 = O.

Podemos ver de modo similar que cos(rr/7) é solução de 8x3 + 4xz - 1 = O.

[144] A. Seldon, E G. Pennace: Diccionario de Economía, Oikos-tau edições, Barcelo-na.

"elasticidade de demanda: Conceito que descreve a sensibilidade da demandapara uma mudança de preço. De maneira mais precisa, mede a mudança na demanda deuma mercadoria quando seu preço varia numa pequena proporção.

A elasticidade pode ser definida como a mudança relativa na quantidade demandadadividida pela mudança relativa no preço. Se uma baixa de 1% no preço resulta em umaumento de 2% na quantidade demandada, dizemos que a elasticidade tem um valor de 2.(Falando em termos precisos, essa quantidade será negativa, visto que a demanda aumentaquando o preço baixa e vice-versa e o numerador e o denominador da expressão da elasti-cidade terão sinais diferentes e, portanto, toda expressão será negativa. Na economia não-matemática, normalmente se ignora o sinal negativo). [... ]"


[145] ~q = f(P + O,Olp) - f(P) = f(1,Olp) - f(p)·~q/q = -1,5% <=> f(l,Olp) - f(P) = - 0,015f(P) <=> f(1,Ol)p = 0,985f(P)·Resolvendo a equação obtemos p "" 14,56.A utilização da fórmula simplifica os cálculos, uma vez que se tenha derivado a função

100f(P) = P _ S'


[146] Queremos verificar que toda figura construtÍvel com uma régua de duas bor-das paralelas também é construtÍvel com régua e compasso. Para isso, devemos construircom a régua e o compasso, por um lado, uma faixa de largura d dada que passe por doispontos dados A e !\ e, por outro lado uma faixa da mesma largura que passe por uma retadefinida por dois pontos A e B.


-- --~-

,;--- ---


[147] Se b = d, traçar uma faixa (r,r') tal que r passe por A e r' por B. Sendo R aperpendicular a r' em A, R corta r' no ponto C buscado. O caso b '" d não é tão simples.


[148] Temos E = 2e (relação dada pelo enunciado) e E - e = 23 (diferença entre asidades). Portanto, chegamos a 2e -: e = 23 = > e = 23. Se o filho tem hoje 10 anos, ele terá23 anos daqui a 13 anos.

[149] A variação absoluta é Sp = p' - p. Vamos supor que a variação relativa é dadana forma de tantos porcento r% (se r > O a variação será um aumento, se r < O será umadiminuição). Se p varia r%, então p' = p + r% . p = (1+r%)·p, portanto, r% =_r_ = p' - p = t:.p

100 P P

1[150] F/..(x) = 45 [)...(2 + x) + 2(1 - À.) (1 + -)]. A derivada em relação a x é

x

1F')...(x) = 45 [À. - 2(1 - À.) 2], que é positiva para x 2: .J2(1- À) / À e negativa para

x

x :s; .J2(1- À) / À. Como pegamos 1<x<2, podemos garantir que F/..(x) é uma função de-

1 2 1crescente quando O < À. :s; -3 ' e crescente quando - s À. :s; 1. Se pegarmos À. = -, então, para

.33x E (1,4; 1,5), a função F1i3 nos dá uma aproximação de a com um erro máximo e = 1,4.

íNDICE

ábaco, 186-187ação, 80, 94-96,114-115,117,126-127,216-217,

220-221ajuda para ° estudo, 46, 59-60, 77-78, 174, 195,

277-278,301alcance (de uma técnica), 47, 61-62, 76-77, 123,

125-126,177-178,186-187,189,215-216,249-250,261,264-266,271-272,280-284,288-289

álgebra, 76-77, 146-l47, 167-168, 174, 184-185,191, 254-255

algoritmo, 49-50, 123-124, 181-182, 186-189, 220-221,237,305-306

al-jabr, 174-175al'muqâbala, 174-175aprender matemática, 23, 25, 27, 32-33, 35, 54, 56,

74-75,76-77,81-82aprendizagem instantânea, 299aritmética, 76-77, 174-175, 180-181, 184-185, 186-

187,192,311-312atitude, 41, 61-62, 63, 81-82, 95,102-103,111-112,

128-129,135-136,198-199,201-202,300atividade matemática, IX, 49-50,53-54,56,61-63,

76-78,80,81-82, 120, 133-135, 162-163,201-202,202-203,213-215,250-251,263-264,275,278-279,280-281,283-286,289-291,301-302

atomização do ensino, 285-286, 286-287aula de matemática, 30-31,112-113,151,193,277-

278, 278-279aula de prática, 277-280, 280-281aula de problemas, 278-279, 280-281, 283-284aula de teoria, 277-279, 281-283

.avaliação externa, 201-202avaliação formativa, 166-167avaliação, 57, 73-74,81-82,144,166-167,198-199,

201-202, 272-273, 276, 290-291

Boutique de Mathématiques, 49-50Brousseau, 76-77, 77-78, 79, 82-83, 213, 215, 216-

217,217-218,219-220,223-224,224-225,225,282-283

cálculo mental, 184-185ciência do estudo, 36-37, 46, 60-61, 77-78cláusulas do contrato, 63, 285-287co-dísciplinariedade, 89-90colégio invisível, 196-197comunidade de estudo, 40,174,196-197, 199-201conteúdos atitudinais, 120conteúdos conceituais, 119-120conteúdos procedimentais, 119-120contrato didático, 60-63,79,80-81, 159, 161-162,

165-166,179-180,182-183,202-203,205-206,217-220

contrato escolar, 202-206, 286-287contrato pedagógico, 202-203, 205-206, 286-287coordenador de estudo,corrida até ° 20, 212, 214-215, 221-223co-seno, 21, 36-39, 68criação técnica, 236criatividade, 287-288, 289-290currículo aberto, 240-241currículo, 21, 87-89, 90-91, 93, 95-96, 100-105, 115-

116,117-122,126-128,135-138,142-144,145-148,165-166,172-173,192,199-200,240-241,256,278-279,317-318

curvas mecânicas, 53-54demonstrar, 70, 133, 167-168,211-212,222-223,

238-239,243-244,257,263-265,267-270,271-272,294-296,297-298,306-307,308-309,311-312,318-320,322-325,330-332

Desenho Curricular Base, 90devolução,217-219


didática clássica, 213didática da matemática, 36-37, 39, 46, 58-63, 73-78,

122, 135-136, 137-138, 145-146, 147-148,223-224,225

Dieudonné, 196, 316-317disciplina de uma obra, 113-114, 118disciplina matemática, 107, 113-116, 118, 129-131,

133-136disciplina, 58-59, 73-77, 77-78, 107, 112-116, 118,

129-131,133-136,144,145-146,147-148,286-287

dispositivo didático, 216-217, 277c279, 283-284,289-290

dispositivo pedagógico, 284-285divisão euclidiana, 215elasticidade, 21, 87-89, 90-91, 93-96, 101-102, 106,

117,142,305-306,317-318,320-323,326-329,331-332

ensinar matemática, 32, 54, 74-75, 76-77ensino formal, 46, 81-82ensino/aprendizagem, 39-40entender um fenômeno matemático, 245-246, 282-

283entorno tecnológico, 264-265, 266-269, 282-283entradas brutas, 152-154, 158entradas líquidas, 152-153entrar numa obra, 112-113, 134-135, 163-164, 180-

181equações de primeiro grau, 120, 160, 163-166, 173,

176-177,179-180,186-187,192,282-283estilo docente, 159-162estratégias de resolução, 215-216"estudabilidade", 175-177, 193 .estudar matemática, IX, 32-33, 56-57, 59-60, 105-

106,108,114-116,128-130,135-136,299expressões com radicais, 235, 240-241, 243-244,

293-295fazer matemática, 25, 45, 47, 49-51, 56, 103-104,

111, 174, 253-255fenômeno didático, 59-60, 63, 77-78, 128-129, 137-

138fenômeno matemático, 77-78, 245-246, 282-283fontes do currículo, 143-144fórmula, 20-21, 25-26, 68, 131-132, 140-141, 154-

158,163-164,171-172,258-260,268-269,304,308-310,320-322,331-332

formulação, 59-60, 65, 122, 126-127, 128-129, 130-131, 133, 147-148,214-215,221-223

frações irredutíveis, 295-296função quadrática, 208geometria afim, 136-137geometria euclidiana, 53-54, 96-97, 98-99, 208geometria vetorial, 120

1--

geometria, 53-54, 55-56, 58-59, 76-77, 120, 127-128,136-137,170-171,174,177-178,208,241-242,248

gesto técnico, 184-185I.R.P.F, 27I.Y.A, 151-154, 158, 162-163, 168-171, 175-176,204Idade do capítãe, 60-62imposto sobre as vendas, 151individualização, 196-200institucionalização, 218-219, 222-223, 265-268,276,

290-291instituição didática, 58-59, 215-216, 300instituição, 23, 58-59, 75-77, 80-81,100-101,117,

127-128, 136-138, 146-147,200-201,204-205,215-217,265-267,284-287,290-291,300

instrução informal, 36-37, 37,40interdisciplinaridade, 89irresponsabilidade didática, 59-60, 61-63, 79, 200-

201jogo formal, 214-215justificação, 125-126,259-260,263-264,276,294-

295,310-311laboratório, 178-179, 191lei curricular, 90-91lei didática, 173logos, 125-126,237-238,251-252,275matriz simétrica, 19-20meio matemático, 169-170, 172-173, 176-177, 182-

183,191-192,216-217,279-280meio, IX, 20-21, 37, 54, 56-59, 80-81, 95, 101-102,

112-113,122,125-126,130-131,169-173,175-177,178-180,182-183,191-192,198-199,200-201,209-210,216-217,220-221,230,244-245,279-280,308-309,315-316,318-319,320-321,322-323,327-331

método interativo, 51-52metodologia, 121-122milieu, 169-170,178-179,216-217modelação, 49-50,53-54,56,213modelo matemático, 25, 53-54, 55, 245-246modelo, 18,20-21,40,48,49-54,55,76-77, 131-

132,213,220-224,245-246,310-311,320-322momento da avaliação, 272-273momento da institucionalização, 265-266momento do primeiro encontro, 262-263, 266-268,

276, 284-285momento do trabalho da técnica, 262-263, 276, 277-

278,284-285,287-288,289-290momento exploratório, 266-267, 276, 284-285, 286-

287, 290-291momento tecnológico-teórico, 263-264, 266-268,

276, 289-291momentos do estudo, 57


motivação, 61-63, 81-82, 129-130, 135-136, 198-199,201-202,217-218,284-285

necessidade matemática, 30, 240-241Newton, 198-199número irracional, 263-265, 269-270, 311-312número racional, 36-37, 68, 267-268, 269-271o abstrato, 167-169o concreto, 165-166, 167-169,224-225obra aberta, 93, 95-97, 102-103, 115-116, 129-130,

172-173obra algébrica, 188-189, 192obra fechada, 118obra matemática, IX, 97-98, 108, 114-115, 123, 125-

127, 129-130, 134-135, 136-138, 143, 145, 163-166, 180-181, 184-185, 191, 196,201-202,240-241,251-253,256,272-275,276

obra, IX, 93, 95-106,108-116,117-118,121,123,125-126, 126-132, 134-135, 136-138, 143-145,147-148,196,205,240-241,251-254,256,263-264, 272-276, 282-283, 284-285

obrigação escolar, 204obstáculo didático, 224-225obstáculo epistemológico, 282-284, 286-287obstáculo, 177-178,223-225,282-285,286-287organização do estudo, 57, 286-287organização matemática escolar, 145-146,282-283organização matemática, 126-127, 136-138, 145-

146, 250-254, 255-256, 260, 263-264, 265-268,271-275, 282-283, 294-295, 326-327

organização praxiológica, 252-253paradoxo da criatividade, 289-290paradoxos do contrato didático, 218-219personalização, 198-199Piaget, 216-217, 221-222Poincaré, 196Polya, 130-132porcentagem, 172-173,307-321potência enésima, 268-269praxeologia didática, 254-255, 260praxeologia matemática, 251-252, 253-255, 265-

266, 275-276praxeologia, 251-255, 260, 265-266, 271-276práxis, 250-252, 276preço bruto, 151, 154-155, 158, 162-163, 164-165,

168-169,172-173primeiro encontro, 262-263, 266-268, 276, 284-285problema do currículo, 119, 122, 126-128, 137-138,

143,145-146,165-166,199-200problemas isolados, 133, 196, 290-291problemática didática, 73-75, 76-78, 145-146problemática do professor, 143procedimentos, 120-121, 166-167processo de ensino/aprendizagem, 39-40

processo de estudo, IX, 38-39, 46,56,58-59,61-62,74-75,77-78,80-82, 121-122, l26-127, 133-135,144,166-167,175-177,195,198-199,200-201,227,261-263,276-278,283-288,289-291,297-298

processo didático, IX, 38-40, 56-57, 61-62, 80, 81-82,137-138,166-167,175-177,195,198-203,282-285, 286-287

programa de cálculo, 185-186prova, 56-57, 75-77, 99-100, 201-202quadrilátero,145-146 !questão extra matemática, 170-171 'questão intramaternática, 49-50, 170-171questão problemática, 120raciocínio conjetural, 130-131raciocínio plausível, 130-131radicais, 21-22, 36-37, 68, 219-220, 235-239, 240-

242,243-245,247-248,249-251,252-253,262,265-266,268-269,271-272,293-295,307-308,309-310,311-312,315-317,318-320,323-325,326-327, 329-330

reconstrução escolar da matemática, 136-137relação didática, 74-75, 199-201,202-203,216-217,

219-220resolver equações, 164-165, 183-184, 186-187,280-

281rotineiro, 279-280ruptura técnica, 249-250saber, 18-20,21-22,27,36-37,40-42,45,47-49,53-

54,61-62,67-68,73-75,81-82,87,89,93,98-99,103-104,106-107,109,113-114,119-120,128-129, 130-132, 143, 145-147, 154, 156-158, 159,162-164,165-166,168-169,171-172,175-176,177-179,193,200-201,210-211,213,237,238-239, 240-241, 242-246, 247-248, 265-267, 299,301, 322-323, 329-330

seqüenciação, 122, 143, 145ser matemático, 26, 28-29, 32sistema autodidático, 195-196sistema de ensino, 145, 166-167sistema de equações, 287-288'sistema didático, 193-197,202-203,213,276sistema, 54, 56, 60-61, 81-83, 105-106, 125-126,

145,252-253,276,281-282,286-287,288-291situação adidática, 215-218, 219-223, 224-225situação didática, 192, 213, 216-218situação fundamental, 215-216, 218-219situação matemática, 160,214-215skholé,300tarefa problemática, 128-129, 130-131, 195tarefas, 57, 120-121, 123, 125-127, 130-131, 147-

148,179-180,184-185,186-187,191,205-206,223-224,247-249,250-251,263,275,289-290

! J -- ....- ••.\",J ,(j {.


técnica didática, 162, 254-256, 259-260técnica docente, 162-163técnica, 32, 50-52, 59-60, 61-62, 71, 90-91, 95, 123-

126,133-135,162-164,174-175,180-185,186-189, 192,200-201, 205, 208, 230, 236-239,247-248,248-251,254-260,262-270,271-273,276,277-278,279-280,280-296,297-298,304-306,308-309,311-313,317-319,326-327

tecnologia.TOô, 125-126,134-135,237-239,245-246,247-248,252-253,263-265,267-268,275,294-295

tékhne, 125-126temporalização, 121-122, 143, 145Tenda de Matemática, IX, 17-18,23,26,32,36-37,

38,41,49-50,55teoria das situações, 76-78, 202-203, 214-215, 217-

218,219-220,223-225,282-283teoria, 74-75, 76-79, 97-98, 106, 125-127, 137-138,

143,145,148,163-165,170-171,172-173,177-178,196,202-203,213-215, 216c218, 219-222,223-224, 238-239, 252-253, 256, 259-260, 263-264, 267-26&, 275, 277-279, 280-283, 290-291,326-327 -~"

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tipo de problema, 61-62, 90,124,125-126,160,183-184,196-197,199-201,209-210,215-216,235,241-242,247-248,252-253,254-256,261-263, 266-268, 275-276, 278-279, 280-281, 283-285, 289-290 ..

trabalho autônomo, 166-167trabalho da técnica, 262-263, 276, 277-278, 280-

281,284-285,286-291transposição didática, 135-136, 137-138, 143, 145-

146tratamento diferencial, 166-167utilizar matemática, 54validação, 222-223varal, 17,20-21,66-68,304,306-307,318-319,321-

322, 326-327variação absoluta, 137-138, 140,315-316,319-320,

332variação relativa, 137-138, 140-142,305-307,315-

316,319-320,321-322,326-329,332variável didática, 166-167,215-216,223-225vontade de estudar, 127-130zona de desenvolvimento proximal, 173-174

BIBLIOTECA ARTMEDConhecimento Matemático

Bacquet, M. - Matemática sem DificuldadesCerquetti, F. & Berdonneau, C. - O Ensino

da Matemática na Educação InfantilChevallard, Bosch & Gascón - Estudar Matemáticas

- O Elo Perdido Entre o Ensino e a AprendizagemDorneles, B.V. - Escrita e Número - Relações IniciaisDuhalde, M.E. & Cuberes, M.T.G. - Encontros Iniciais

com a Matemática - Contribuiçõesà Educação Infantil

Fainguelernt, E.K. - Educação Matemática-Bepresentação e Construção em Geometria

Fayol, M. - A Criança e o Número- Da Contagem à Resolução de Problemas

Knijnik, G. - Exclusão e Resistência

- Educação Matemática e Legitimidade CulturalLerner, D. - A Matemática na Escola - Aqui e AgoraNunes, T. & Bryant, P. - Crianças Fazendo MatemáticaParra, C. & Saiz, I. - Didática da Matemática

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Smole, Diniz.ê Cândido - Coleção "Matemática

de O a 6" - v.1 - Brincadeiras Infantisnas Aulas de Matemática

Smole, Diniz & Cândido - Coleção "Matemáticade O a 6" - v.2 - Resolução de Problemas

"Smole, Diniz & Cândido - Coleção "Matemáticade O a 6" - v.3 - Figuras e Formas

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~ *Smole & Diniz (orgs.) - Ler, Escrever e Resolver~ Problemas - Habilidades Básicas~-5 para Aprender Matemática,,~I' a. Smole, K.C.S. - A Matemática na Educação Infantil,~ - A Teoria das Inteligências Múltiplas1"-,..g na Prática Escolar

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111111111111~ltlll9788573 077698

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