QFL2642 2015 Ex2 Matrizes
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IQ-USP - QFL-2642 - 2/2015Aplicação de Computadores em Química
Lista de Exercícios II/Matrizes
Antonio Carlos Borin
16/03/2015
Como já ficou demostrado, as matrizes ocupam um papel muito importante nesta disciplina.Para recordar alguns aspectos mais relevantes, recomendamos a leitura do Capítulo 9 do livroMathematical Methods for Scientists and Engineers, de Donald A. McQuarrie (University ScienceBooks, 2003). Caso você não tenha acesso a esse livro, consulte seu livro predileto sobre ÁlgebraLinear.
Lembre que a disciplina é sobre Aplicação de Computadores em Química. Portanto, vocêtambém pode resolver esses exercícios com o auxílio de computadores!
1. Mostre que as matrizes
A =1 0
0 1
e B =−1 0
0 1
correspondem à reflexões de um vetor através dos eixos x e y, respectivamente.
2. Uma rotação no espaço tridimensional em torno do eixo z de um vetor por ser representadapela matriz:
R =
cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0
0 0 1
Mostre que detR = |R| = 1 e que
R−1 = R(−θ)
cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
3. Se BA = AB = 1, então dizemos que B é o inverso de A, sendo representado por B = A−1.Portanto, A−1 tem a seguinte propriedade:
AA−1 = A−1A = I
onde I é a matriz identidade ou unidade.Considerando as matrizes dadas no item 2, mostre que a matriz de rotação R−1 é a matrizinversa de R.
1
4. Obtenha a matriz inversa de:
A =
2 0 1−1 1 3
0 −2 1
5. Dadas as matrizes:
C3 =−1
2 −√
32√
32 −1
2
σv =1 0
0 −1
σ′v =−1
2
√3
2√3
212
σ′′v = −1
2 −√
32
−√
32
12
(a) Mostre que σvC3 = σ′′, C3σv = σ′v, σ′′vσ′v = C3, e C3σ
′′v = σ. As matrizes comutam?
(b) Calcule o determinante associado a cada uma das matrizes.(c) Se AT = A−1, então A é ortogonal. Dentre as matrizes do item 5a, quais são
ortogonais?
6. Determine o valor de x tal que o conjunto de equações
xc1 + c2 = 0c1 + xc2 + c3 = 0
c2 + xc3 + c4 = 0c3 + xc4 = 0
tenha soluções não triviais para os cj. Em qual contexto essa equação apareceu nadisciplina de Química Quântica?
7. Se (A∗)T = A−1, dizemos que a matriz A é unitária (não confundir com unidade, item 3).Para simplificar a notação, usaremos (A∗)T = A†, chamada de conjugado Hermitiano deA. Portanto,
A†A = AA† = I
ou, em outras palavras, A−1 = A†.Mostre que a matriz
A = 15
−1 + 2i −4− 2i2− 4i −2− i
é unitária.
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