PROVA MODELO 4

1. Na escola do Rui h uma equipa de basquetebol com 13 atletas. A distribuio do

nmero de jogos em que cada atleta participou, no ltimo ano letivo, est

representada no seguinte grfico de barras.

Um dos atletas escolhido

ao acaso para dar uma entrevista ao jornal da escola. Determina a probabilidade

de ser escolhido um elemento com um nmero de participaes inferior mdia

das participaes dos atletas da equipa.

Apresenta o resultado arredondado s milsimas.

Mostra como chegaste tua resposta.

2. O hectare (ha) uma unidade de medida de rea e sabe-se que 1 hectare equivale

a 4 210 m .

Em 2010, um incndio consumiu 725 ha de floresta. Neste momento, 20% dessa

rea ardida foi recuperada. Representa, em metros quadrados e em notao

cientfica, a rea que falta recuperar.

Indica todos os clculos que tiveres de efetuar.

3. Os segmentos de reta [AB] e [BC] representam dois lados

consecutivos de um polgono regular inscrito na

circunferncia de centro O, representada na figura.

Sabe-se que 140CBA .

Determina o nmero de lados do polgono.

Mostra como chegaste tua resposta.

1

34

23

0

2

4

6

13 14 15 16 17

N.o

de

atl

eta

s

N.o de jogos

Nmero de participaes

140

C

B

A

O

Caderno 1

Nas respostas aos itens deste caderno permitido o uso da calculadora.

4. Construiu-se um cubo com volume igual ao de uma esfera com 7 cm de raio.

Qual a medida da aresta do cubo, em centmetros, arredondada s dcimas?

Transcreve a opo correta.

(A) 11,4 (B) 11,2 (C) 11,3 (D) 11,1

5. Uma pea utilizada em mecnica est representada na figura A e um seu esquema,

com as dimenses em centmetros, na figura B.

Figura A Figura B

A pea constituda por um prisma hexagonal regular e por um cilindro em que a

base superior do cilindro est inscrita na base inferior do prisma.

Sabe-se que:

a altura da pea 7 cm;

a altura do prisma 2 cm;

o comprimento do lado do hexgono 6 cm.

Determina, em centmetros cbicos, o volume do slido representado no esquema,

comeando por mostrar que o comprimento do raio da base do cilindro 27 cm

.

Apresenta o resultado arredondado s dcimas.

Nota: Sempre que em clculos intermdios procederes a arredondamentos,

conserva, no mnimo, trs casas decimais.

1. O Pedro est a fazer um conjunto de sete lanamentos de um dado cbico com as

faces numeradas de 1 a 6.

Nos seis primeiros lanamentos as pontuaes obtidas foram as seguintes:

5 2 4 6 6 2

O dado vai ser lanado a ltima vez. Qual a probabilidade de ocorrer, no stimo

lanamento, uma pontuao de modo que a mediana das sete pontuaes seja 4?

Transcreve a opo correta.

(A) 2

3 (B)

1

6 (C)

1

3 (D) 1

2. Considera um nmero racional a representado por

53

14

.

Qual das seguintes representaes corresponde ao nmero a?

Transcreve a opo correta.

(A) 102 (B) 54 (C)

51

4

(D) 52

3. No quadriculado da figura esto representados quatros quadrilteros, A, B, C e D,

geometricamente iguais.

3.1. Dos quatro quadrilteros dados, identifica

dois em que um seja a imagem do outro por

uma reflexo em relao a um eixo.

3.2. Considera a translao que aplica o

quadriltero C no quadriltero D.

Quantos vrtices do quadriltero B so

aplicados em vrtices do quadriltero A por

essa translao?

4. Resolve a equao seguinte.

2

2 7 1x x x

Caderno 2

Nas respostas aos itens deste caderno no permitido o uso da calculadora.

5. Num refeitrio h mesas de quatro lugares e de seis lugares.

5.1. O nmero de mesas de quatro lugares e o nmero de mesas

de seis lugares representam-se, respetivamente, por x e y .

Sabe-se que o par ordenado ,x y soluo do seguinte sistema de equaes:

2 1

2 6

2 1 13

y x x

yx y

Resolve o sistema e determina o nmero mximo de lugares que h no refeitrio.

Apresenta todos os clculos que efetuares.

5.2. Admite que possvel utilizar qualquer nmero de mesas de quatro ou de seis

lugares.

Na figura esto representados os quatros primeiros termos de uma sequncia que

resulta da disposio das mesas seguindo a lei de formao sugerida.

No 1. termo da sequncia h 10 lugares, no 2. termo h 18 lugares, no 3. termo

h 26 lugares, no 4. termo h 43 lugares, e assim sucessivamente.

Qual dos seguintes nmeros pode ser o nmero de lugares de um dos termos da

sequncia?

Transcreve a opo correta.

(A) 240 (B) 274 (C) 286 (D) 305

6. No referencial da figura abaixo esto representadas duas retas paralelas r e s.

4 lugares 6 lugares

Qual dos seguintes sistemas de equaes pode corresponder representao

grfica apresentada?

(A) (B)

2 1

3 4

y x

y x

3 2

3 1

y x

y x

(C) (D)

2 2

2 4

y x

y x

3 2

3 4

y x

y x

7. Na figura est representada uma circunferncia, de centro O, em que:

A, B, C e D so pontos da circunferncia;

36ACB e 38CD ;

AC um dimetro da circunferncia;

V o ponto de interseo das retas AC e BD.

7.1. Como classificas, quanto aos ngulos, o tringulo [ABC]?

Justifica.

7.2. Numa rotao de centro O e amplitude , com

0 360 , o ponto A transformado no ponto B. Determina o valor de .

7.3. Determina, em graus, a amplitude do ngulo AVB.

8. No referencial da figura esto representados dois retngulos, [OABC] e [ODEF],

e parte do grfico de uma funo f de proporcionalidade inversa.

Sabe-se que:

os pontos B e E pertencem ao grfico da

funo f;

os pontos A e D pertencem ao semieixo

positivo das abcissas;

os pontos C e F pertencem ao semieixo

positivo das ordenadas;

a rea do retngulo [OABC] 2,5.

Determina o permetro do retngulo [ODEF], sabendo que a abcissa do ponto D

igual a 5.

9. Na figura esto representadas, num referencial cartesiano, as retas r e s.

V

36

D

C

B

O A38

Sabe-se que:

A reta r definida por 0,5 4y x .

A reta r interseta os eixos Ox e Oy nos pontos A e B,

respetivamente.

A reta s a mediatriz de [AB].

As retas r e s intersetam-se no ponto P.

A reta s interseta os eixos os eixos Ox e Oy nos pontos

C e D, respetivamente.

9.1. Determina as coordenadas dos pontos A e B.

9.2. Os tringulos [OAB] e [PCA] so semelhantes. Justifica.

9.3. Os tringulos [PCA] e [ODC] so semelhantes.

Sejam p e a, respetivamente, o permetro e a rea do tringulo [ODC] e p e a o

permetro e a rea do tringulo [PCA]. Sabe-se que 2 11

' 5

p

p .

Qual o valor da razo a

a? Transcreve a opo correta.

(A) 5

2 11 (B)

44

25 (C)

44

5 (D)

22

25

10. No referencial cartesiano da figura esto representados parte de duas parbolas,

grficos de duas funes f e g, e um trapzio [ABCD].

Sabe-se que:

os pontos A e B tm ordenada igual, pertencem

a uma das parbolas e a abcissa de B 1;

os pontos C e D pertencem outra parbola e

tm ordenada 8.

a funo f definida por 20,5f x x ;

a funo g definida por 23g x x .

Determina a medida da rea do trapzio [ABCD].

Mostra como chegaste tua resposta.

11. Na figura est representado um mapa de uma zona florestal onde vai ser instalada

uma antena.

A localizao da antena deve obedecer s seguintes condies:

ficar na zona representada pelo mapa;

a distncia ao ponto B no deve ultrapassar 4 km;

as distncias aos pontos A e C devem ser iguais.

Faz as construes geomtricas rigorosas que te permitam representar no mapa as

possveis localizaes para a instalao da antena.

FIM

Proposta de Resoluo

Caderno 1

1. Seja x a mdia das participaes:

13 3 14 4 15 2 16 3 17 198

13 13x

15,231x

H oito atletas com um nmero de participaes inferior mdia.

Assim, a probabilidade pedida 8

13.

O valor da probabilidade arredondado s milsimas 0,615.

2. A rea no recuperada corresponde a 80% da rea ardida, ou seja, 0,8 725 580 ha 4 2580 ha 580 10 m

4 2 2 4 2 6 2580 10 m 5,8 10 10 m 5,8 10 m

Assim, falta recuperar 6 25,8 10 m .

3. 360

1402

AC pelo que 360 280AC , ou seja, 80AC .

Como AB BC e 80AC , ento 40AB .

A cada lado do polgono corresponde um arco de amplitude 40 .

Seja n o nmero de lado do polgono, 360

940

n , ou seja, o polgono tem nove lados

(enegono).

4. O volume de uma esfera de raio r 34

3

r . Como 7r , ento o volume da esfera

1372

3. Sendo o volume do cubo igual a

1372

3, ento o comprimento da aresta do

cubo dado por 31372

3.

O valor do comprimento da aresta arredondado s dcimas 11,3.

A opo correta a (C).

5. Para determinar o valor do raio da base do cilindro, recorre-se ao Teorema de Pitgoras. Tal como sugerido na figura, tem-se:

2 2 2 23 6 27r r

Como 0r , ento 27r .

A altura do prisma hexagonal 7 5 2 cm . O hexgono regular pode ser decomposto em seis tringulos equilteros iguais.

rea da base do prisma: 6 27

6 18 272

Volume do prisma: 18 27 2 36 27 Volume do cilindro:

2

27 5 5 27 135

Volume da pea: 36 27 135 O volume da pea, em centmetros cbicos, arredondado s dcimas, 611,2 cm3

Caderno 2 1. As seis primeiras pontuaes ordenadas:

2 2 4 5 6 6

Ao introduzir um novo dado a mediana do conjunto dos sete dados ordenados igual ao que ocupa a posio de ordem 4. Se a stima pontuao for 1, 2, 3, ou 4, ento a mediana 4. Se a stima pontuao for 5 ou 6, ento a mediana 6. Assim, em seis resultados possveis h quatro favorveis.

A probabilidade pedida 4

6, ou seja,

2

3.

A opo correta a (A).

2. 5 5 5 5

52 10

2

3 4 3 1 11 2 2

4 4 4 4 2

A opo correta a (A).

3. 3.1 As figuras B e D.

Reflexo de eixo r (ver figura ao lado).

r

3

6

3.2 H dois vrtices da figura B que so aplicados em vrtices da figura

A pela translao de vetor u que aplica a figura C na figura D (ver figura ao lado).

4. 2

2 7 1x x x

2 2 2 22 7 1 4 4 7 2 5 3 0x x x x x x x x x

5 25 24 5 7 5 7 13

4 4 4 2x x x x x

Conjunto-soluo: 1

3,2

5. 5.1

2 13 6 1

7 3 1 7 3 12 62

3 6 2 3 3 3 92 12 1 1 3

3

y x xy x x

x y x yy

y x y y x yx yx y

7 3 3 9 1 7 9 27 1 133 9 303 9

x x x x x

y x yy x

H 13 mesas de quatro lugares e 30 mesas de seis lugares.

O nmero mximo de lugares no refeitrio 4 6x y , ou seja, 4 13 6 30 232 .

Existem 232 lugares no refeitrio. 5.2 No termo de ordem n h n mesas com 4 lugares e 2 mesas com 3 lugares.

O nmero de lugares no termo de ordem n dado pela expresso 8 2n ( um mltiplo de 8 mais 2).

240 8

00 30

0

274 8

34 34

2

Repara que 274 8 34 2 , ou seja, ao termo de ordem 34 corresponde 274 lugares. A opo correta a (B).

6. As retas representadas graficamente so estritamente paralelas, logo tm igual declive

(negativo) e as suas ordenadas na origem so diferentes, uma positiva e outra negativa. A opo correta a (D).

7.

7.1 [ABC] um tringulo retngulo porque 180 90

2 2

CAABC .

7.2 36 2 72AOB AB O valor de 72.

7.3 72 38 55

2 2

AB CDAVB

A amplitude do ngulo AVB 55.

8. Sejam ,x y as coordenadas do ponto B.

A rea do retngulo [OABC] 2,5. Ento, 2,5

2,5x y yx

.

Como y f x , tem-se que 2,5

f xx

.

Repara que 2,5

5 0,55

DE f .

O permetro do retngulo [ODEF] : 2 5 2 0,5 10 1 11 .

Logo, o permetro do retngulo [ODEF] 11. 9.

9.1 O ponto A pertence reta de equao 0,5 4y x e tem ordenada 0.

0 0,5 4 0,5 4 8x x x .

Logo, 8, 0A . O ponto B pertence reta de equao 0,5 4y x e tem abcissa 0.

0,5 0 4 4y y

Logo, 0,4B . 9.2 Os tringulos [OAB] e [PCA] so semelhantes. A justificao pode ser feita recorrendo

ao critrio AA de semelhana de tringulos. PAC BAO e CPA AOB . Repara que a mediatriz de um segmento de reta

perpendicular reta que contm esse segmento de reta.

9.3 Se 2 11

5

p

p

(razo de semelhana), ento

2

2 11 4 11 44

5 25 25

a

a

.

A opo correta a (B). 10. A parbola que contm os pontos C e D corresponde ao grfico da funo f e a parbola

que contm os pontos A e B corresponde ao grfico da funo g.

Repara que para o mesmo valor de x a imagem y por f menor do que a imagem y por g (0,5 e 3 so ambos positivos, as parbolas tm concavidades voltadas para cima e 0,5 < 3). Seja x a abcissa do ponto C.

2 28 0,5 8 16 4 4f x x x x x

4, 8C e 4, 8D

Ento, 4 4 8CD .

Em relao aos pontos A e B, tem-se:

21 3 1 3g

1,3A e 1, 3B . Ento 1 1 2AB .

Altura do trapzio: 4 1 8 3 5f g

rea do trapzio [ABCD]: 8 2

5 5 252 2

AB CD

A rea do trapzio [ABCD] 25. 11. Considerando a escala apresentada, a abertura do compasso feita para que seja

traada uma circunferncia de centro em B e raio correspondente a 4 km. Todos os pontos da regio limitada por essa circunferncia distam de B no mximo 4 km. De seguida, traa-se a reta r, mediatriz de [AC]. Todos os pontos da reta r esto a igual distncia de A e de C. Os possveis pontos para instalar a antena correspondem ao segmento de reta [PQ].