prova2_FFC

UFRJ - Instituto de MatematicaLicenciatura de MatematicaFundamentos de Funcoes e Conjuntos

Prof. Victor Giraldo ([email protected])

2a. Prova

1. (2,5 pontos) Considere a funcao f : R R definida por f(x) = x3 3 k x2 + 1, com k R.Considerando todas as possibilidades para a constante k, determine: o numero total de razes reaisde f ; o numero total de razes complexas de f ; as multiplicidades de cada uma destas razes.

2. (2,5 pontos) Considere a funcao g : R \ {2} R definida por g(x) = x3

x 2 .

(a) (0,5 ponto) Determine os intervalos em que g e crescente e os intervalos em que g e decrescente.

(b) (1,0 ponto) Escolha uma janela grafica em que seja possvel visualizar claramente todos ospontos de extremo locais e absolutos e todas as assntotas verticais de g. Esboce os graficode g na janela escolhida, indicando esses extremos e assntotas.

(c) (1,0 ponto) Escolha uma janela grafica em que seja possvel perceber o comportamentoassintotico de g. Esboce os grafico de g na janela escolhida, indicando a funcao polinomial daqual g se aproxima quando x .

3. (2,5 pontos) As figuras abaixo representam o grafico da funcao u : R R, definida por u(x) =sen (x) + 1

1000cos(1000x), tracado na janelas graficas 0 x 2 pi, 2 y 2 (a` esquerda) ex pi

2

0, 02, |y 1| 0, 01 (a` direita).(a) (0,75 ponto) Determine a imagem de u. Justifique sua resposta.

(b) (0,75 ponto) Determine x1, x2 [0, 2 pi] tais que u(x1) u(x) e u(x2) u(x) x R.Justifique sua resposta.

(c) (1,0 ponto) A funcao u e periodica? Em caso afirmativo, determine o perodo de u. Justifiquesuas respostas.

4. (2,5 pontos) A figura abaixo a` esquerda mostra as curvas y = x2, y = x3, y = x4 e y = x5,tracados no sistema de eixos conhecido como log-log. A figura abaixo a` direita mostra as curvasy = 2x, y = 3x, y = 4x e y = 5x, tracados no sistema de eixos conhecido como semi-log.

No sistema log-log, os eixos horizontal e vertical sao representados em escalas logartmicas decimais(isto e, um sistema de eixos xy em que x = log x e y = log y). No sistema semi-log, o eixohorizontal e representado em escala linear usual e o eixo vertical e representado em escala logartmicadecimal (isto e, um sistema de eixos xy em que y = log y).

(a) (1,0 ponto) Explique porque essas curvas assumem o aspecto de retas.

(b) (0,75 ponto) Caracterize todos os graficos de funcao que assumem o aspecto de retas nosistema log-log.

(c) (0,75 ponto) Caracterize todos os graficos de funcao que assumem o aspecto de retas nosistema semi-log.



2a. Prova Gabarito

1. Se k = 0, f e a funcao dada por f(x) = x3 + 1.

Se k 6= 0, para determinar a variacao de crescimento da funcao, devemos estudar o sinal de suaderivada. A derivada de f e dada por f (x) = 3x2 6k x = 3 x (x 2k), que se anula para x = 0e em x = 2k. Logo, temos que:

Se k > 0, f possui um maximo local em x = 0, um mnimo local em x = 2k, e crescente em], 0 ] e em [ 2k,+[ e decrescente em [ 0, 2k ].

Se k > 0, f possui um maximo local em x = 2k, um mnimo local em x = 0, e crescente em], 2k ] e em [ 0,+[ e decrescente em [ 2k, 0 ].

Em ambos os casos acima, como a ordenada f(0) = 1 esta fixa, o numero de razes reais de f edeterminados pela ordenada f(2k) = 1 4k3:

Se f(2k) > 0, isto e, k 32

2, o grafico intercepta o eixo das abscissas tres vezes.

Assim, o comportamento de f quanto ao numero de razes podemo ser resumido da seguinte forma.

Caso 1: k 32

2Neste caso, f tem tres razes reais. Como f = 3, nao podem existir outras razes complexaspara f . Em resumo, temos:

numero de razes reais distintas: 3 numero total de razes complexas distintas: 3 multiplicidades: 1, 1, 1

2. (a) Temos que:

limx2

x3

x 2 = limx2+x3

x 2 = +Alem disso, temos que:

g(x) =2x3 6x2(x 2)2 =

2x2 (x 3)(x 2)2

Logo, g(x) = 0 para x = 0 ou x = 3; g(x) < 0 para x < 3, x 6= 0 e x 6= 2; g(x) > 0 parax > 3.

Da, segue que g e decrescente em ], 2[ e em ]2, 3 ]; e crescente em [ 3,+[ .(b) Do item anterior, temos que g tem uma assntota vertical em x = 2 e um mnimo local em

(3, 27). Assim, devemos escolher uma janela grafica que, por um lado, seja ampla o suficientepara incluir pelo menos esses valores e, por outro, nao seja ampla demais de forma que elesfiquem desprezveis. Assim, podemos tomar, por exemplo, (x, y) [2, 5 ] [10, 40 ], comomostra a figura abaixo, a` esquerda.

(c) Efetuando a divisao polinomial, conclumos que:

x3 = (x2 + 2x+ 4) (x 2) + 8

x3

x 2 = (x2 + 2x+ 4) (x 2) + 8

Logo:

limx

[x3

x 2 (x2 + 2x+ 4)

]= lim

x

(8

x 2)

= 0

Portanto, o grafico de g adquire o aspecto da curva x2 + 2x + 4 para valores grandes dasvariaveis. Para visualizar este comportamento assintotico, podemos escolher, por exemplo, ajanela (x, y) [10, 10 ] [100, 100 ], como mostra a figura abaixo, a` direita.

x

y

2 3

27

x

y

2

3. Consideremos as funcoes u1, u2 : R R definidas por u1(x) = sen x e u2(x) = 11000 cos(1000x).Como u1 e u2 sao limitadas superiormente e inferiormente, entao u e limitada superiormente einferiormente. Os maximos de u1 e de u2 sao dados por:

os maximos de u1 sao atingidos para x = pi2 + 2k pi, com k Z os maximos de u2 sao atingidos para x = k500 pi, com k Z

Entao, os maximos de u1 ocorrem nos pontos x =pi

2+2k pi, com k Z, que tambem sao maximos

de u2. Assim, temos que:

u1

(pi2+ 2k pi

) u1(x) u2

(pi2+ 2k pi

) u2(x) x R, k Z

Logo:

u(pi2+ 2k pi

)= u1

(pi2+ 2k pi

)+ u2

(pi2+ 2k pi

) u1(x) + u2(x) = u(x) x R, k Z

Entao o maior valor atingido por u ocorre nesses pontos. Este valor e dado por:

u(pi2+ 2k pi

)= u1

(pi2+ 2k pi

)+ u2

(pi2+ 2k pi

)= 1 +

1

1000

Por outro lado, os maximos de u1 e de u2 sao dados por:

os mnimos de u1 sao atingidos para x = 3pi2 + 2k pi, com k Z os mnimos de u2 sao atingidos para x = 2k+11000 pi, com k Z

Vemos que nao ha coincidencia entre os mnimos de u1 e u1. Alem disso, a derivada de u edada por u(x) = cos(x) sen (1000x). Portanto, a equacao u(x) = 0 nao pode ser resolvidaexplicitamente. Assim, sabemos que u e limitada inferiormente, mas nao podemos determinarexplicitamente os valores das abscissas ou das ordenadas dos pontos em que este valor maximoocorre.

(a) Pelo argumento acima, a imagem de u e um intervalo limitado e fechado na forma[, 1 + 1

1000

],

em que o numero real nao pode ser determinado explicitamente.

(b) Pelo argumento acima, conclumos que podemos tomar x1 =pi

2, e que existe um numero

x2 [ 0, 2pi ], mas este nao pode ser determinado explicitamente.(c) Temos que o perodo de u1 e 2pi e o perodo de u2 e

pi

500. Portanto, o perodo de u1 e multiplo

inteiro do perodo de u2. Segue que o perodo de u e igual a 2pi.

4. (a) Consideremos o sistema de eixos log-log decimal xy, em que x = log x, y = log y. Aplicandoo logaritmo decimal na famlia de curvas y = xk, com k N, obtemos:

log y = log(xk)= k log x

y = k x

Por isso, as curvas desta famlia sao representadas como retas neste sistema.

Consideremos agora o sistema de eixos semi-log decimal xy, em que y = log y. Aplicando ologaritmo decimal na famlia de curvas y = kx, com k N, obtemos:

3

log y = log (kx) = (log k) x

y = (log k) x

Por isso, as curvas desta famlia sao representadas como retas neste sistema.

(b) Consideremos o sistema de eixos log-log decimal xy, em que x = log x, y = log y. As funcoescujos graficos sao retas neste sistema sao aquelas cujas expressoes tem a forma y = ax + b,em que a e b sao constantes reais. Portanto, temos:

y = ax + b

log y = a log x+ b = log (xa) + log(10b

)= log

(10bxa

)

y = k xa

em k = 10b.

Portanto, as funcoes cujos graficos assume o aspecto de retas no sistema log-log sao aquelascujas expressoes tem a forma y = k xa, com a, k R, k > 0.

(c) Consideremos o sistema de eixos semi-log decimal xy, em que y = log y. As funcoes cujosgraficos sao retas neste sistema sao aquelas cujas expressoes tem a forma y = ax+ b, em quea e b sao constantes reais. Portanto, temos:

y = ax+ b

log y = a x+ b

y = 10a x+b = 10b 10ax = k cx

em k = 10b e c = 10a.

Portanto, as funcoes cujos graficos assume o aspecto de retas no sistema semi-log sao aquelascujas expressoes tem a forma y = k cx, com c, k R, c, k > 0.

4



3a. Prova

1. (2,5 pontos) Determine se as afirmacoes abaixo sao verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.

(a) (0,5 ponto) Se X e Y sao conjuntos infinitos, entao X Y e infinito.(b) (0,5 ponto) Se X e Y sao conjuntos infinitos, entao X Y e finito.(c) (0,5 ponto) Se X e Y sao conjuntos infinitos nao enumeraveis, entao f : X Y bijetiva.(d) (0,5 ponto) Se X e um conjunto infinito nao enumeravel e f : X Y bijetiva, entao Y e

um conjunto infinito nao enumeravel.

(e) (0,5 ponto) Se X e Y sao dois conjuntos tais que f : X Y injetiva e nao sobrejetiva,entao X e Y nao podem ser cardinalmente equivalentes.

2. (2,5 pontos)

(a) (0,5 ponto) Defina uma funcao que a cada par de numeros naturais associe o conjunto deseus fatores comuns.

(b) (0,5 ponto) Se X N e unitario, o que se pode afirmar sobre 1(X)?(c) (0,5 ponto) Se X N e infinito, o que se pode afirmar sobre 1(X)?(d) (0,5 ponto) A funcao que voce definiu e injetiva? Justifique a sua resposta.

(e) (0,5 ponto) A funcao que voce definiu e sobrejetiva? Justifique a sua resposta.

3. (2,5 pontos) Considere a funcao g : ] 0,+ [ \{1} R definida por g(x) = xln(x)

.

(a) (0,75 ponto) Determine as assntotas horizontais e verticais de g, caso existam.

(b) (0,75 ponto) Determine os intervalos em que g e crescente e os intervalos em que g e decres-cente.

(c) (1,0 ponto) Faca um esboco do grafico de g, escolhendo uma janela grafica em que sejapossvel visualizar claramente todas as assntotas e todos os extremos locais e absolutos de g.Indique estas assntotas e estes extremos locais no grafico.

4. (2,5 pontos) Considere a funcao f : R R definida por f(x) = x3 3 k x+ 1, com k R.(a) (0,5 ponto) Existe algum valor de k para o qual f nao tenha razes reais? Justifique a sua

resposta.

(b) (0,5 ponto) Mostre que, se k 0, entao f tem uma unica raiz real. Determine o numerototal de razes complexas de f e as multiplicidades de cada uma destas razes, neste caso.

(c) (1,0 ponto) Considerando todas as possibilidades para a constante k > 0, determine: o numerototal de razes reais de f ; o numero total de razes complexas de f ; as multiplicidades de cadauma destas razes.

(d) (0,5 ponto) Que aspecto voce espera que o grafico de f tenda a adquirir em janelas graficasindefinidamente grandes? Este aspecto depende do valor de k? Justifique sua resposta.



3a. Prova Gabarito

1. (a) Falso.Contra-exemplo: X = ], 0 ] e Y = [ 0,+ [ sao infinitos, mas X Y = {0} e finito.

(b) Falso.Contra-exemplo: X = ], 1 ] e Y = [1,+ [ sao infinitos, mas XY = [1, 1 ] e finito.

(c) Falso.Contra-exemplo: X = R e Y = P(R) sao infinitos nao enumeraveis, mas, pelo Teorema deCantor, nao pode existir f : X Y bijetiva.

(d) Verdadeiro.Se f : X Y bijetiva, entao X e Y sao cardinalmente equivalentes. Como X e enumeravel,entao Y e enumeravel.

(e) Falso.Contra-exemplo: a funcao f : N Z, f(x) = y, e injetiva e nao sobrejetiva, mas N e Z saocardinalmente equivalentes.

2. (a) : N N P(N)(m,n) 7 { k N | k|m, k|n}

(b) Como 1 e divisor de qualquer numero natural, entao 1 (m,n) (m,n) N N. Isto e,todo conjunto X N que e imagem de algum par (m,n) NN deve conter o elemento 1.Portanto:

Se X = {k}, com k 6= 1, entao 1(X) = . Se X = {1}, entao 1(X) e conjunto formado pelos pares de numeros naturais cujo

unico fator comum e 1, isto e pelos pares de numeros naturais que sao relativamenteprimos: 1({ 1 }) = {(m,n) N | mdc(m,n) = 1}.

(c) Todo X N que e o conjunto dos fatores comuns de um parte de numeros naturais, entaoX e finito, isto e X = (m,n) para algum (m,n) N N, entao X e finito. Portanto, seX N e infinito, entao 1(X) = .

(d) A funcao nao e injetiva. Por exemplo, (2, 3) = (2, 5) = 1.

(e) A funcao nao e sobrejetiva. Por exemplo, pelo argumento do item (c), se X N e infinito,entao 6 (m,n) N N tal que (m,n) = X.

3. (a) Para x = 1, o numerador da funcao nao se anula e o denominar se anula. Como ln(1) = 0,ln(x) > 0 para x > 1 e ln(x) < 0 para x < 1, temos que:

limx1

x

ln(x)= lim

x1+

x

ln(x)= +

Quando x 0+, o numerador da funcao tende a 0 e o denominador tende a . Portanto:limx0+

x

ln(x)= 0

Quando x 0+, o numerador e o denominador da funcao tendem a +. Portanto pela regrade LHospital, temos:

limx+

x

ln(x)= lim

x+

1

1/x= lim

x+x = +

Logo, g tem uma assntota vertical em x = 1 e nao tem assntotas horizontais.

1

(b) A derivada de g e dada por:

g(x) =ln(x) x 1/x

ln2(x)=

ln(x) 1ln2(x)

Portanto, g(x) > 0 para x > e e g(x) < 0 para x < e, x 6= 1. Logo, g e crescente em[ e,+ [ . Como g apresenta uma assntota vertical em x = 1, g e decrescente em ] , 1 ]e em ] 1, e ].

(c) Pelo estudo dos sinais da funcao e da derivada no item anterior, conclumos que o unicoextremo de g e um mnimo local no ponto (e, e). Para visualizarmos claramente este ponto demnimo e assntota vertical de g, podemos escolher, por exemplo, a janela [ 0, 10 ] [5, 5 ].

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

1

2

3

4

x

y

4. (a) Nao. Toda funcao polinomial e grau mpar tem pelo menos uma raiz real.

(b) Se k = 0, entao f se reduz a f(x) = x3 + 1, que e estritamente crescente. Se k < 0, aderivada de f e dada por f (x) = 3 x2 3 k. Como 3 k > 0, entao f (x) > 0 x R.Portanto, f tambem e estritamente crescente neste caso. Entao, f tem no maximo uma raizreal. Do item anterior, temos que f tem pelo menos uma raiz real. Logo, f tem uma unicaraiz real x0.

Alem disso, se k = 0, a unica raiz de f e 0; e se k < 0, entao f nao tem razes reais. Logo,f nao pode se anular em x0. Conclumos que x0 e uma raiz simples. Como f = 3, f possuimais duas razes complexas conjugadas. Assim, neste caso, temos:


(c) A derivada de f e dada por f (x) = 3 x23 k = 3 (x2k). Como k > 0, entao f e crescentepara x <

k e para x >

k, e e decrescente para

k < x 0 k > 0. Logo, o numero de razes reais de f sera determinado pelo

sinal de f(k): se f(

k) > 0, f tem uma unica raiz real; se f(

k) = 0, f tem duas razes

reais distintas; se f(k) < 0, f tem tres razes reais distintas.

Caso 1: k 32

2Neste caso, f tem tres razes reais. Como f = 3, nao podem existir outras razescomplexas para f . Assim, temos:


(d) Podemos escrever f na forma:

f(x) = x3(3 kx3

+1

x3

)

Como o termo entre parenteses na expressao acima tenda a 1 quando x , conclumos queo grafico de f adquirira o aspecto do seu termo de maior grau x3 em janelas independentementegrandes. Como este termo independe de k, entao o aspecto tambem nao depende de k.

3

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