Algarismos SignificativosPropagação de Erros ou Desvios

• Qual destas medidas está correta? Qual apresenta algarismos com significado?

• O instrumento de medida não garante precisão de milímetros (0,1 cm), muito menos de décimos de milímetros (0,01 cm).

• Então, 0,3 cm é um valor duvidoso, mas pode ser estimado por um ser humano, mas 0,05 cm não pode ser estimado com a escala da figura.

L1 = 1,35 cm; L2 = 1,3 cm; L3 = 1,30 cm L4 = 1,4 cm; L5 = 1,7 cm.

• Nesta escala, centésimos de centímetros, ou décimos de milímetros(0,01 cm = 0,1 mm) são os primeiros algarismos duvidosos, e poristo passam a ser significativos

• comprimento do palito é L6 = 1,34 cm, mas 1,36 também seria umaboa leitura.

• Os algarismos significativos são todos os algarismos corretos e oprimeiro algarismo duvidoso.

• vamos assumir que se não soubermos qual é aincerteza da medida, assumiremos como sendo iguala metade do menor intervalo de medida doinstrumento.

• de modo que poderíamos escrever

• L4 = (1,4 ± 0,5) cm,

• e para o instrumento mais preciso:

• L7 = (1,35 ± 0,05) cm.

Zero a direita é algarismo significativo, maszero a esquerda não é algarismo significativo.

• Média aritmética: Se n número dados, cada númerodenotado por xi, onde i = 1, ..., n, a média aritmética é asoma dos valores xi's divididos por n, ou

• Desvio médio: Se desejamos determinar a precisão deum conjunto de dados, primeiramente devemosentender o que é desvio da média, ΔXi, de uma medidaxi:

i med iX x x

1

n

i

i

x

xn

• quando calculamos a soma dos desvios da média,obtemos o valor zero. Isto faz muito sentido porque amédia está situada em uma posição que separa oconjunto de dados “ao meio”.

• É bastante simples: digamos que se tenha o conjunto(2,4). A média é 3, e a medida 2 está uma unidadeabaixo da média (seu desvio é -1) enquanto que amedida 4 está uma unidade acima da média (seudesvio é +1). A soma dos desvios é zero (tente mostrarque este resultado sempre é verdadeiro).

• Uma vez que a soma dos desvios é nula, amaneira de obtermos o desvio médio é tomarmosa média dos módulos dos desvios:

• Com o média dos módulos dos desvios em mãospoderemos expressar a grandeza X de um modobastante interessante:

i

i

med

X

Xn

med medX X X

• A variância é calculada subtraindo o valorobservado do valor médio. Essa diferença équanto um valor observado se distância do valormédio. Observe o exemplo a seguir:

2

2

1

med i

i

X x

N

2) Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com skates.

Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0

Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0

Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0

Ao calcular a média das notas dos três competidores iremos obter média cinco para todos, impossibilitando a nossa análise sobre a regularidade dos competidores.Partindo dessa ideia, precisamos adotar uma medida que apresente a variação dessas notas no intuito de não comprometer a análise.

Competidor A:

Competidor B:

Competidor C:

2 2 2

25 7 5 5 5 3

2,03 1

A

2 2 2

25 5 5 4 5 6

1,03 1

B

2 2 2

25 4 5 4 5 7

3,03 1

C

• O desvio padrão, S, é estatisticamente mais significativo que odesvio médio de uma amostra.

• Para um conjunto de N dados, a variância, σ2 é definida como:

2

2

1

med i

i

X x

N

• O Desvio padrão é obtido através da Raiz quadrada da Variância. Utilizando ainda o mesmo exemplo podemos obter o seguinte:

Competidor A

√2,0 = 1,41

Competidor B

√ 1,0 = 1,0

Competidor C

√3,0 = 1,73

-> Logo Podemos notar que o competidor B possui uma melhor regularidade nas notas.

2

1

med i

i

X x

N

2

1

med i

i

m

X x

N NN

Sabemos agora determinar a partir de n observações odesvio padrão de uma medida, isto é, sabemos estimar apartir da análise de n observações o erro que teríamos,com uma dada probabilidade, caso houvéssemos realizadouma única determinação.

Entretanto, tendo realizado n determinações omelhor valor disponível é a sua média (xmed), e portantoestaremos mais interessados em estimar o erro em xmed.

Note que, quanto maior o número

de observações n, menor será o

desvio padrão da média e

portanto, maior a precisão do

resultado. Este é um princípio

fundamental da estatística.

Quando a medição de uma grandeza R de interesse é feitade maneira indireta, sendo esta grandeza obtida a partirde medidas de n grandezas primárias {a1, a2, a3, ..., ak, ...,an}, o cálculo de R é feito a partir de uma funçãoconhecida das grandezas primárias.

Estas grandezas são tambémdenominadas grandezas de entrada,enquanto a grandeza R édenominada grandeza de saída.

Exemplo:

Cálculo da Densidade

Grandezas de entrada: massa e volume

Grandeza de saída: densidade

Fazendo um desenvolvimento matemático apropriado,temos uma expressão para o cálculo da incerteza padrãoda grandeza de saída

1 2

22 222 2

1 2

...na a aR

n

R R R

a a a

Esta expressão para a incerteza padrão da grandeza desaída, também chamada de incerteza padrãocombinada, é utilizada quando as grandezas deentrada {a1, a2, a3, ..., ak, ..., an} são medidas repetidasvezes, gerando valores médios e desvios padrão dasmédias

ka

ka

Consideremos o caso em que se deseja calcular a incertezapadrão propagada no valor de uma grandeza de saída R,com relação funcional do tipo R = a + b.

Sendo as incertezas padrão de a e b, e respectivamente.

Sendo a forma final para grandeza combinada e sua

incerteza padrão combinada escrita como:

a b

2 222

22

aR b

aR b

R R

a b

22

aR bR a b

Referências

• Referências Bibliográficas

1. Domiciano, J. B., Juraltis K. R., “Introdução ao

laboratório de Física Experimental”, EDUEL, 2009.

2. Vuolo, J. H. – “Fundamentos da Teoria de Erros” –

Ed. Edgard Blücher , São Paulo, 1992.

3. http://www.uel.br/cce/fisica/docentes/dari/d3_material10_6ce2c61b.pdf