UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIACENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

BACHARELADO EM CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

PROJETO DE CALCULO NUMÉRICO COMPUTACIONALUMA APLICAÇÃO PRÁTICA A UM PROBLEMA DE ENGENHARIA

UALLAS HENRIQUE DE OLIVEIRA DE BRITO

CRUZ DAS ALMASABRIL 201

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIACENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

BACHARELADO EM CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

PROJETO DE CALCULO NUMÉRICO COMPUTACIONALUMA APLICAÇÃO PRÁTICA A UM PROBLEMA DE ENGENHARIA

Trabalho do componente CurricularCálculo Numérico Computacional –

CET 059 apresentado ao Prof. Doutor Julio César de Jesus como requisito

parcial para avaliação no referido componente.

Cruz das AlmasAbril 2013

PROJETO 1 - RESERVATÓRIO CILÍNDRICO DEITADO

Um tanque de comprimento L tem uma secção transversal no formato de um semicírculo com raio r (veja a figura). Quando cheio de água até uma distância h do topo, o volume V de água é:

V=L .[0.5 . π . r2−r2arc sen( hr )−h√(r 2−h2 )] .

Supondo que L = 10 ft, r = 1 ft e V = 12.4 ft³, encontre a profundidade da água no tanque com precisão de 0.01 ft .

Resolução:

1ª Parte: Isolamento das Raízes.

Partindo da informação que o volume de água no reservatório cilíndrico é dado pela equação:

V=L .[0.5 . π . r2−r2arc sen( hr )−h√(r 2−h2 )]

Onde L =10ft, o raio =1ft e o volume V=12,4 ft³, basta substituir esses valores na equação, para obter:

12,4=10 .[0.5 . π .12−12 arc sen( h1 )−h√(12−h2 )]

Logo,

f ( h )=10. [0.5 π .−arc sen (h )−h√( 1−h2 ) ]−12,47 (1)

Encontrando a raiz temos:

H -1 0 1f (h) + + -

Tendo em vista que a função é continua no intervalo [0,1] = [a,b] e que f(a).f(b)< 0, existe pelo menos um h=ξ entre a e b que é zero de f(h).

Pode-se observar que f(h) é continua em todo intervalo [0,1] e que,

f ´ ( h )=10[ −1

√1−h2−(√1−h2− h2

√1−h2 )](2)Preserva o sinal em (0,1), então este intervalo contem um único zero de f(h).

2ª Parte: Refinamento

No refinamento são utilizados alguns métodos numéricos desenvolvidos de modo a satisfazer pelo menos um dos seguintes critérios:

(b−a )<ε |f (h )|<ε

O método computacional a ser utilizado será o da Posição Falsa, pois assim como o da Bissecção, gera uma sequência convergente já que f (h) é continua em [0,1] com f (0 ) f (1 )<0 e f ' (h ) preserva o sinal em (0,1). Além de ser um método de fácil implementação. No método da Bissecção a raiz aproximada seria alcançada na 7º interação já que:

k>log (b−a )−logε

log 2⇒k>6.64≅ 7

Como utilizaremos o método da Posição Falsa espera-se que a convergência para a raiz aproximada seja alcançado mais rapidamente.

Sendo assim para ε=0.01 :

h=af (b )−bf (a)

f (b )−f (a)

k a b hk f (hk ) f (a) f (b) b−a0 0 1 0.210592 -0.872524 3.30796 -12.400 11 0 0.210592 0.166638 -0.000931 3.30796 -0.872524 0.2109522 0 0.166638 0.166170 -8.6840e-5 3.30796 -9.3118e-3 0.16638

Um dos critérios foi alcançado na 2º interação|f (h )|<ε⇒|−0.0 0 931|<0.01. Portanto a raiz aproximada é h=0.166638 .

Este valor é a aproximação da altura do tanque que não está preenchido com água, para obter o valor da profundidade da água basta subtrair essa altura do raio do semicírculo.

p=r−h ⇒ p=1−0.166638=0.833362ft

A profundidade da água no tanque é de 0.833362ft com precisão de 0.01ft.