SucessõesProgressões aritméticas e geométricas

O essencial

Dados 𝑎, 𝑟 ∈ ℝ, designa-se por progressão aritmética de primeiro

termo 𝒂 e razão 𝒓 a sucessão 𝑢𝑛 definida por recorrência por:

𝒖𝟏 = 𝒂

𝒖𝒏+𝟏 = 𝒖𝒏 + 𝒓, ∀𝒏 ∈ ℕ

Progressão aritmética

O termo geral da progressão aritmética 𝑢𝑛 de primeiro termo

𝑎 ∈ ℝ e de razão 𝑟 ∈ ℝ é dado por:

𝒖𝒏 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒓

Termo geral de uma progressão aritmética

Dada uma progressão aritmética 𝑢𝑛 de razão 𝑟, em que se

sabe os termos 𝑢𝑝 e 𝑢𝑞 quaisquer, tem-se que:

𝒓 =𝒖𝒑 − 𝒖𝒒

𝒑 − 𝒒

Sendo 𝑢𝑛 uma progressão aritmética de razão 𝑟 ∈ ℝ:

• Se 𝑟 > 0, a progressão é estritamente crescente.

• Se 𝑟 < 0, a progressão é estritamente decrescente.

• Se 𝑟 = 0, a progressão é constante.

Razão de uma progressão aritmética

Dado 𝑁 ∈ ℕ, designa-se por progressão aritmética (finita) de

comprimento 𝑵 a sequência 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑁 dos 𝑵 primeiros termos

de uma progressão aritmética.

Progressão aritmética (finita) de comprimento N

Dado 𝑁 ∈ ℕ, a soma dos termos de uma progressão aritmética de

comprimento 𝑁, 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑁 é dada por:

𝑺 =

𝒊=𝟏

𝑵

𝒖𝒊 = 𝒖𝟏 + 𝒖𝑵 ×𝑵

𝟐=

𝒖𝟏 + 𝒖𝑵

𝟐×𝑵

Soma de um número finito de termos consecutivos de uma progressão aritmética

Dado 𝑁 ∈ ℕ, a soma dos N termos consecutivos de uma progressão

aritmética 𝑢𝑛 a partir do termo 𝑢𝑝 é dada por:

𝑺 =

𝒊=𝒑

𝑵+𝒑−𝟏

𝒖𝒊 =𝒖𝒑 + 𝒖𝑵+𝒑−𝟏

𝟐×𝑵

Soma de um número finito de termos consecutivos de uma progressão aritmética

Dados 𝑎, 𝑟 ∈ ℝ, designa-se por progressão geométrica de primeiro

termo 𝒂 e razão 𝒓 a sucessão 𝑢𝑛 definida por recorrência por:

𝒖𝟏 = 𝒂

𝒖𝒏+𝟏 = 𝒖𝒏 × 𝒓, ∀𝒏 ∈ ℕ

Progressão geométrica

O termo geral da progressão geométrica 𝑢𝑛 de primeiro termo

𝑎 ∈ ℝ e de razão 𝑟 ∈ ℝ é dado por:

𝒖𝒏 = 𝒂𝒓𝒏−𝟏

Tem-se ainda que:

𝒖𝒏 = 𝒖𝒑 × 𝒓𝒏−𝒑

Termo geral de uma progressão geométrica

Dada uma progressão geométrica 𝑢𝑛 :

• Se 𝑢1 > 0 e 𝑟 > 1 (respetivamente, 0 < 𝑟 < 1), a progressão é

monótona crescente (respetivamente, monótona decrescente).

• Se 𝑢1 < 0 e 𝑟 > 1 (respetivamente, 0 < 𝑟 < 1), a progressão é

monótona decrescente (respetivamente, monótona crescente).

• Se 𝑟 = 1, a progressão é constante.

• Se 𝑟 < 0, a progressão é não monótona.

Monotonia de uma progressão geométrica

Dado 𝑁 ∈ ℕ, designa-se por progressão geométrica (finita) de

comprimento 𝑵 a sequência 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑁 dos 𝑵 primeiros termos

de uma progressão geométrica.

Progressão geométrica (finita) de comprimento N

Dado 𝑁 ∈ ℕ, a soma dos termos de uma progressão geométrica de

comprimento 𝑁, de primeiro termo 𝑢1 e de razão 𝑟 diferente de 1,

é dada por:

𝑺 = 𝒖𝟏

𝟏 − 𝒓𝑵

𝟏 − 𝒓

Soma dos N primeiros termos de uma progressão geométrica

Dado 𝑁 ∈ ℕ, a soma dos N termos consecutivos de uma progressão

geométrica 𝑢𝑛 a partir do termo 𝑢𝑝 é dada por:

𝒖𝒑 + 𝒖𝒑+𝟐 +⋯+ 𝒖𝒑+𝑵−𝟏 = 𝒖𝒑

𝟏 − 𝒓𝑵

𝟏 − 𝒓

Soma de um número finito de termos consecutivos de uma progressão geométrica