Progressão geomética

Progressão Geométrica (P.G.)

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• Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o termo anterior por uma constate q. Exemplos: • A sequência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... é uma P.G. de razão q=2

• A sequência 3, -6, 12, -24, ... é uma P.G. de razão q=-2

• A sequência 10, 5, 5/2, 5/4, ... é uma P.G. de razão q=1/2

• A sequência 5, 0, 0 , 0 , 0, ... é uma P.G. de razão q=0



• Termo geral: •Por exemplo na P.G. : 1,2, 2, 22, 4, ... Qual o 8º termo ?

1

1. n

n qaa

282.2222.1

21

2

1

82

1

32

7718

8

1

aa

q

a

mnqaa mn

mn ,. )(

qaa nn .1



• Qual é a razão da P.G. em que a1=2 e a7=128 ? • Interpolando-se 5 meios geométricos positivos entre 2 e 1458, obtém-se uma P.G. de razão q. Determine q e o primeiro termo a ser interpolado. • Interpolar 5 meios geométricos entre 2 e 1458 significa formar uma P.G. com 1º termo 2 e 7º termo 1458:

66171

17 264.2128. qqqaa n

226 6 q

33729.21458 6617

7 qqqa



• Como os termos são somente positivos: q = 3 O 1º termo interpolado será: 63.2 2

12

2 aa



• Numa P.G., a partir do 2º termo, o quadrado do termo central é a multiplicação do termo antecessor e do sucessor, isto é: • Exemplo: Determine x de modo que x-2, x+4 e x+8 sejam, nesta ordem, termos consecutivos de uma P.G.

11

2. nnn aaa

8.242

xxx

16322166168 22 xxxxxx



• A soma de n termos consecutivos de uma P.G. é dado por: •Exemplo: Resolver a equação x + 4x + 16x + ... + 1024x=1365 • Os termos a serem somados formam uma P.G. de razão q=4, a1=x e an = 1024x :

q

qaS

n

n

1

11

13653

40951365

14

4.1024

xxxSn

113651365 xx

q

qaaS n

n

1

.1



• A soma de termos consecutivos de uma P.G. convergente, isto é, se sua razão q é tal que -1 < q < 1 é: •Exemplo: Calcule a soma dos termos da P.G. (1, ½, ¼, ...) • A P.G é infinita e convergente, pois q = ½ e a1 =1.

q

aS

1

1

2

21

1

211

1

S



•Exemplo: Determine a soma de • Esta soma representa uma P.G infinita de razão q = 1/10 que é convergente. A soma é dada por: • Observação: Observe que a soma representa o número 0,4444.... que pode ser resolvido por uma regra prática (vista em números racionais): 10x0,444.... – 0,444... = 4,444... – 0,444... = 4 9x0,444.... = 4 0,444... = 4/9 (Bem mais fácil não é mesmo!) Muitas vezes pode aparecer solicitando a fração geratriz da dízima periódica 0,444....

9

4

10.9

10.4

10910

4

1011

104

S

...000.10

4

000.1

4

100

4

10

4



• O produto dos termos de uma P.G., a partir do 1º, é dada por:

21

2

)1.(

1 ..n

n

nnn

n aaqaP



• Exercício: Na sequência 1, 3, 7, ... cada termo é duas vezes o anterior mais um. Assim, por exemplo, o quarto termo é igual a 15. Então o décimo termo é: •Observe que a diferença entre os termos consecutivos é: 2, 4, 8, ... que representa uma P.G de razão q=2. Outra observação é que cada termo a partir do 2º é dado pelo termo anterior da sequência mais o termo da P.G. (1+a1=1+2=3, 3+a2=3+4=7, 7+a3=7+8=15, ...). Podemos chegar que os termos da sequência são dados pela soma do 1º termo mais a soma dos termos anteriores da P.G. : Assim o enésimo termo (an) da sequência será dado por 1+Sn-1:

12.211

21.21

21

21.21

1

111 9

91101

11

q

qaS

n

n

)1512.(21)18.8.8.(21)12.2.2.(2112.21 3339

102310221511.21)1512.(21



• Exercício: A sequência 10x, 10x+1, 10x+2, ... representa: • Uma P.A. não pode ser porque os termos não formam uma sequência que adicionando uma razão de o próximo. • Se tentarmos obter a razão de uma P.G. entre o 2º e 1º termos ou 3º ou 2º termos iremos obter q=10. Logo trata-se uma P.G. de razão igual a 10.



• Exercício: Os termos (a, b, c) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, cuja soma é igual a 21. Então os termos formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão igual a: • Pelos dados iniciais temos que a+b+c =21, e também usando a fórmula da soma de uma P.A. temos: •Destas duas equações obtemos já que b = 7

cbac

b

ca,,

2

14212

3).(

2

).( 1

cacanaa

S n



• Pela sequência da P.G., temos que o termo central elevado ao quadrado é igual a multiplicação dos 1º e último termo. Logo :

• Desenvolvendo:

• Substituindo a+c=14 a = 14-a

caccaccbb

caac

77.

7.2

14.

2

222

caacccac 727 222

22530243249189.4.457..40189.574

7.28196).14.(2

28196

222

22

22

cabcc

cccccc

cca



• Pelas condições impostas no problema, c > b > a porque a sequencia a, b, c forma uma P.A. crescente. Logo somente podemos considerar a 1ª solução, isto é, c = 9. • Como a+c=14, então a = 5. •Portanto a razão da P.G. é 4.

25,54

21

9

8

1557

4.2

15)57(

.2

15225

2

1

2

2

c

c

a

bx

44

16

59

97

q

ac

cbq



• Exercício: Se os números x, y e z formarem nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 10x, pode-se afirmar que log(x.y.z) é igual a: • Sabe-se que y2 = x.z e que q = 10x = y/x y=x.10x. Logo: • x.y.z = y.y2 = y3 = x3.103x . Então log(x.y.z) = log(x3.103x)

= log(x3) + log(103x) = 3.log(x) + 3x.log10 = 3.log(x) + 3x log(x.y.z) = 3.x + 3.log(x)



• Exercício: Pedro possui três parentes, João, José e Maria, cujas idades formam uma progressão geométria. João é o mais novo, e Maria é a mais velha. Se o produto das idades dos três parentes de Pedro é 1.728, qual é a idade de José ? • A P.G. das idades é formada por João, José, Maria que pode ser representado por x/q, x, x.q. Como o produto das idades é igual a 1.728 teremos: • Portanto a idade de José é de 12 anos.

1217281728... 3 xxqxxq

x

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