Progressão Aritmética

Progressão Aritmética (PA) é uma sequencia de números reais em que a diferença entre um

termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre a mesma constante.

Essa constante é chamada de razão da PA e representada por .

Exemplos:

( 2; 7/3; 8/3; 3; 10/3; 11/3; 4) PA de razão 1/3

(5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26) PA de razão 3

(1; 7; 14; 21; 28; 35; 42;49) PA de razão 7

Para cálculo de um termo geral onde é a incógnita e a posição do termo procurado. Para

cálculo do numero de termos da PA onde é o ultimo termo e é a incógnita. Para cálculo

da posição de um termo, onde é o termo procurado, é o primeiro termo e é a

incógnita.

Para cálculo da razão

Para cálculo do somatório de todos os termos da PA, onde é a incógnita, é o ultimo

termo e é o numero de termos da PA.

Para cálculo da razão quando apenas se sabe dois termos longínquos.(Interpolação)

Ex ( 2;…; …; …; …;…;12)

Sabemos o 1º e 6º termo, logo:

Para cálculo do nº de termos a interpolar onde é o ultimo termo e é a incógnita

Exemplo:

As medidas dos lados de um triângulo são expressas por e estão em PA.

Quanto vale o perímetro do triângulo?

Tomemos como exemplo outros valores: 3; 6 e 9. Se estão em PA pode-se dizer que 6-3= 9-6.

Para os valores do lado do triângulo teríamos igual , ou seja:

(A medida não pode ser negativa)

Agora substituindo na PA, por 4

Os termos da PA seriam 5; 8 e 11 que somando seria 24 (o perímetro do triângulo)

Progressão Geométrica

Entenderemos por progressão geométrica (PG) como qualquer sequência de números reais ou

complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma

constante denominada razão ou quociente.

Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2

(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1

(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2

(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

Para cálculo de um termo geral onde é a incógnita e é a posição do termo procurado e

cálculo do numero de termos da PG, onde é a incógnita e é o ultimo termo. (Neste ultimo

caso temos uma equação exponencial. Abaixo se exemplifica como resolver). Também se pode

calcular o quociente ou razão onde é qualquer termo à direita de e por sua vez é

qualquer termo à esquerda de e é a posição de e é a incógnita.

Para cálculo do quociente ou razão onde é qualquer um termo e o termo

imediatamente anterior.

Para cálculo do somatório de todos os termos da PG onde é a incógnita e é o numero de

termos.

Para cálculo do somatório de uma PG infinita ou decrescente.

Equação Exponencial

As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Estas

possuem um método de resolução diferenciado, precisamos igualar as bases para aplicarmos a

propriedade de igualdade entre os expoentes.

Exemplo:

Sabe-se que o primeiro termo de uma PG é 3, que o ultimo é 6561 e que seu quociente é 3.

Quantos são os termos da PG?

Agora temos de factorar o nº 2187 e transformá-lo em base 3

Tudo o que fizemos foi dividir 2187 por 3, e esse resultado a dividir por 3,

e de novo o resultado a dividir por 3, e assim sucessivamente até se obter

1. Foram feitas 7 divisões. Isso significa que 2187 na base 3 é igual a .

Voltando de novo à equação exponencial:

Agora como temos bases iguais, vamos eliminá-las e fica:

Resposta: A PG tem 8 termos. Se seu quociente é 3, então temos que é o ultimo termo.

Exemplos:

a) Dada a PG (2,4,8,... ), calcular o décimo termo.

Temos:

. Para calcular o décimo termo ou seja , vem pela fórmula:

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a

320. Qual a razão desta PG?

Temos e . Logo podemos escrever que:

Interpolação Geométrica

Exemplo: 1;__;__;__;__;243

Logo: (1;3;9;27;81;243)

Também se poderá dizer que:

; (

Ache a progressão geométrica em que:

(I)

= 351 (II)

Dividindo (II) por (I)

De (I) vem:

Resposta: (1;3;9;27;81;243)

O autor

Francisco S. M. Silva