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Apostila ENEM em 100 Dias

Matemática - Apostila

Índice

1. Progressão Aritmética 2 2. Progressão Geométrica 6 3. Função do 1º Grau 11 4. Conjuntos 18 5. Princípio Multiplicativo e Permutações 29 6. Probabilidade 41 7. Gráfico Estatístico 42 8. Estatística 46 9. Geometria Analítica 50 10. Geometria Plana 58 11. Áreas 68 12. Geometria Espacial 1 77 13. Geometria Espacial 2 81 14. Trigonometria 84 15. Aritmética 94


2



Progressão Aritmética Progressão Aritmética: P.A. Definição: Sequência numérica onde excetuando-se o primeiro e o último todos os termos são médias aritméticas dos seus vizinhos. Ex.: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36.

2

261621

2

211116

2

16611

2

1116

1. Nomenclatura.

2. Razão de uma P.A. Constante formada a partir da diferença de um termo pelo seu antecessor. Ou seja:

1 nn aar

Ex.: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. r = 6 -1 = 11 – 6 = 16 – 11 = ...

A Progressão Aritmética será crescente se, e somente, se r > 0.

A Progressão Aritmética será decrescente se, e somente, se r < 0;

A Progressão Aritmética será monótona ou constante se e somente se r = 0. 3. Termo Geral de uma Progressão Aritmética.

razãor

termoésimona

termoprimeiroa

n

:

:

:1


3



Ex.: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36.

rnaa

a

a

a

a

a

n )1(

5.991

5.31

5.21

51

1

1

100

4

3

2

1

ATENÇÃO! Poderíamos utilizar como referência outro termo da progressão não sendo, necessariamente, o primeiro. Repare que:

raa

rraa

rraa

raa

a

r

49

4950

4950

99

51100

1100

99

1100

1100

51

Utilizando o mesmo raciocínio, teríamos:

raa

raa

raa

.60

.75

.90

40100

25100

10100

Portanto, poderíamos utilizar uma generalização do modelo numérico acima:

yxp

Para

ryaa xp

:

.

4. Representação Prática de uma Progressão Aritmética.


4



3 termos: x – r, x , x + r

5 termos: x-2r, x – r, x, x + r, x + 2r

7 termos: x – 3r, x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r, x + 3r

5. Soma dos termos de uma Progressão Aritmética

n

aaSn n .

2

1

Observação: A soma dos termos equidistantes será constante. Ex.: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. 1 + 36 = 6 + 31 = 11 + 26 = 16 + 21 = 37. Exercícios Resolvidos

1. Calcule o 17º termo de uma PA cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5. Solução: a1 = 3 e r = 5 , utilizando o termo geral, temos:

a17 = a1+ 16r a17 = 3 + 16 . 5

a17 = 83

2. Determine a PA onde a5 = 15 e a8 = 21. Solução: Para determinar a PA precisamos achar a, e r.

a5 = a1+ 4r = 15

a8 = a1+ 7r = 21

Resolvendo o sistema, temos: a1 = 7 e r = 2

Logo, a PA é:


5



(7,9,11,13, 15, ...)

3. Qual é o primeiro termo negativo da PA (60, 53, 46,...)? Solução:

an < 0 a1 + (n - 1) r < 0

60 + (n - 1) (-7) < 0 n – 1 > 60/7

n > 67/7 9,5

Como n tem que ser um número natural, o primeiro termo negativo será quando n = 10.

a10 = 60 + (10 – 1) ( - 7) a10 = - 3

4. Em uma PA de 3 termos, a soma deles vale 21 e o produto 231. Determine esta PA.

Solução:

x - r + x + x + r = 21 3x = 21

x=7 (7 - r) . 7(7 + r) = 231

(7 - r) (7 + r) = 33 49 - r2 = 33

r2 = 16 r = ± 4

Logo, temos: r = 4 ou r = -4

(3,7, 11) (11,7,3)


6



Progressão Geométrica

Definição: Sequência numérica onde excetuando-se o primeiro e o último todos os termos são médias geométricas dos seus vizinhos. Ex.: 2, 6, 18, 54, 162, 486...

486.54162

162.1854

54.618

18.26

1. Nomenclatura

2. Razão de uma P.G. Constante formada a partir do quociente entre um termo e o seu antecessor. Ou seja:

1

n

n

a

aq

Ex.: 2, 6, 18, 54, 162, 486...

162

486

54

162

6

18

2

6q

3. Termo Geral de uma Progressão Geométrica. Ex.: 2, 6, 18, 54, 162, 486...

razãoq

termoésimona

termoprimeiroa

n

:

:

:1


7



1

1

99

100

3

4

2

3

2

1

.

3.2

3.2

3.2

3.2

2

n

n qaa

a

a

a

a

a

ATENÇÃO! Poderíamos utilizar como referência outro termo da progressão não sendo, necessariamente, o primeiro. Repare que:

49

51100

4950

1100

99

1100

.

..

.

99

qaa

qqaa

qaa

q

Utilizando o mesmo raciocínio, teríamos:

60

40100

75

25100

90

10100

.

.

qaa

qaa

qaa

Portanto, poderíamos utilizar uma generalização do modelo numérico acima:

yxp

Para

qaa r

xp

:

.

4. Representação Prática de uma Progressão Geométrica.

3 termos: xqxq

x,,

5 termos: x.qx.q,x,,q

x,

q

x 2

2


8



7 termos: x.q,x.qx.q,x,,q

x,

q

x, 32

23q

x

5. Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Finita.

1

1.1

q

qaSn n

n

1

. 1

q

aqaSn n

6. Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita e Decrescente.

q

aS

1

1

Observação: O produto dos termos equidistantes será constante. Ex.: 2, 6, 18, 54, 162, 486... 2.486 = 6.162 = 18.54 = 972 Exercícios Resolvidos 1. Obtenha o 10º termo da PG (1, 2, 4, 8, ...) Solução:

a1 = 1 q = 2

a10 = a1 . q9 = 1 . 29

a10 = 512

2. Em uma PG de termos positivos a3 = 45 e a5 = 405, calcule o primeiro termo e a razão desta sequência. Solução:

a5 = a1 . q4 = 405

a3 = a1 . q2 = 45

Dividindo uma pela outra, temos:


9



4

1

2

1

405

45

a q

a q

q2 = 9

(Como todos os termos são positivos) q=3

Substituindo em a3, temos:

a1 . 32 = 45

9a1 = 45

a1 = 5

3. Calcular a soma dos 10 termos iniciais da PG (1,3,9,27, ...) Solução:

S10 = 101. 3 1 59049 1

295243 1 2

4. Calcular a soma dos termos da PG 1 1 1

1, , , ,...3 9 27

Solução: a1 = 1

q = 1

3

1 1 3

1 2 213 3

aS

5. Em uma PG de 3 termos, a soma deles vale 21 e o produto 216. Determine esta PG. Solução: Neste tipo de exercício, deveremos fazer a seguinte notação:

, ,x

x xqq

pois quando fizermos o produto, eliminaremos uma variável.

. . 216x

x xqq

x3 =216

x = 6


10



66 6 21q

q

66 15 0q

q

26 15 6 0q q 22 5 2 0q q

q = 2 ou q = ½ PG PG

(3,6,12) (12, 6, 3)


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Função do 1º Grau

Síntese Teórica

FUNÇÃO AFIM

f: RR

x f(x) = ax + b, a 0

ZERO DA FUNÇÃO AFIM

f (x) = ax + b = 0 x = b

a

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA O gráfico da função afim é uma reta, que intercecta:

* o eixo das abscissas (Ox) em

0 ,

a

b

* o eixo das ordenadas (Oy) em (0, b). Exemplos:

Representar graficamente a função afim f : R R tal que f(x) = 2x - 3 Tendo em vista que:

b = 3 é a ordenada do ponto que a reta intercecta Oy e 2x - 3 = 0 x = 2

3 é a abscissa do ponto

onde a reta intercecta Ox, a representação gráfica da função f será:


12



b) g : R R tal que g(x) = 6 - 3x Tendo em vista que:

b = 6 é a ordenada do ponto onde a reta intercecta Oy e 6 - 3x = 0 x = 2 é a abscissa do ponto onde a reta intercecta Ox. A representação gráfica da função g será: Atenção:

I) a > 0 f é crescente Veja a função f do exemplo anterior.

II) a < 0 f é decrescente Veja a função g do exemplo anterior. A função afim é bijetiva.

VARIAÇÃO DOS SINAIS Observe os gráficos dados a seguir:


13



Em resumo: Exemplos: Estudar a variação dos sinais da função:

f : R R tal que f(x) = 2x - 3

Determinação da raiz: f(x) = 2x -3 = 0 x = 2

3

Já que a = 2, portanto a > 0, vem: isto é,

x, x R e x > 2

3 f(x) > 0

x, x R e x < 2

3 f(x) < 0

g: R R tal que g(x) = 6 - 3x

Determine a raiz g(x) = 6 - 3x = x = 2 Já que a = 3, portanto a < 0, vem: isto é,

x, x R e x > 2 f(x) < 0

x, x R e x < 2 f(x) < 0 Função Constante

A função f : R R

x f(x) = k, k R é dita função constante e o seu gráfico é uma reta paralela ao eixo Ox.


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Casos Particulares FUNÇÃO LINEAR f(x) = ax Termo independente de x é nulo. OBERVAÇÃO I) O gráfico da função linear é uma reta que contém a origem do sistema de eixos cartesianos, já

que para x= 0 y = f (0) = a . 0 = 0 II) Se a = 1, tem-se f(x) = x e o seu gráfico é a reta suportes das bissetrizes do 1º e 3º quadrantes do sistema de eixos cartesianos. III) Se a = -1, tem-se f(x) = -x e o seu gráfico é a reta suporte das bissetrizes do 2º e 4º quadrantes do sistema de eixo cartesianos.

DESIGUALDADES São relações da forma:


15



(I) a> b ou

(II) a b (III) c < d

(IV) c d Em (I) e (III) lemos respectivamente: a é maior do que b, c é menor do que d. Os termos a e c estão no primeiro membro e os termos b e d estão no segundo membro da desigualdade. As desigualdades entre expressões algébricas que são verdadeiras indepen-dentemente dos valores atribuídos às variáveis são conhecidas como desigualdades incondicionais. Exemplo: (a + b)2 >-1 Existem também as desigualdades que se verificam apenas para determinados valores de incógnitas que nelas se encontram. Neste caso temos, as desigualdades condici-onais ou inequações. Exemplo: (a + b)2 > 25 INEQUAÇÕES O conjunto de valores da incógnita que ao ser substituída torna a inequação uma sentença verdadeira, constitui a solução da inequação. PROPRIEDADES I) Uma inequação não se altera quando somamos ou diminuímos aos dois membros a mesma quantidade. II) Uma inequação não se altera quando multiplicamos ou dividimos os dois membros pelo mesmo número positivo. III) Alteramos os sentidos da inequação quando multiplicamos ou dividimos os dois membros pelo mesmo número negativo. IV) Podemos elevar os dois membros de uma desigualdade à mesma potência (ou deles extrair raízes de mesmo índice) desde que eles sejam positivos. INEQUAÇÕES DO 1º GRAU Chamamos de inequação do 1º grau as sentenças reduzidas as formas: ax + b > 0, ax + b < 0, ax

+ b 0, ax + b 0.


16



INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Para acharmos o conjunto solução das inequações devemos resolvê-las separadamente e depois encontrarmos a intersecção das respostas. Nos seguintes exemplos tomaremos U = R

5

3x2x3x

7

2x3

( I )

4

5x11

2

115x2x

( II )

Resolvendo a inequação (I) encontramos x>2

11

Resolvendo a inequação (II) encontramos x>11

S = {x R x > 11}

4

x5x

2

x

8

x ( I )

)2(7

1)2(

8

1 xx ( II )

Resolvendo a inequação (I) encontramos x >- 8 Resolvendo a inequação (II) encontramos x<30

S={x R -8 < x < 30}

2

815x58x

( I )


17



4

35x3)2(x ( II )

Resolvendo a inequação (I ) encontramos x > 2

Resolvendo a inequação (II) encontramos x <4

7

S =

52

1x2

equivalente a: 2

1x2

( I )

52

1x

( II )

Resolvendo a inequação (I) encontramos x > 5 Resolvendo a inequação (II) encontramos x<11

S = {x R 5< x <11}


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Conjuntos

SS II MMBB OOLL OO GGII AA DDEE CC OO NN JJ UUNN TT OOSS = igual a

pertence a ≠ diferente de

não pertence a > maior do que < menor do que

maior do que ou igual a

menor do que ou igual a

e

ou

contém

está contido

implica

se e somente se

, { } conjunto vazio

cB

A complementar de B em relação à A

união

interseção

existe

para todo não existe

CCAA RR DDII NNAA LL II DDAA DDEE DDEE UU MM CC OO NNJJ UUNN TT OO A cardinalidade de um conjunto A, finito, indica a quantidade de elementos deste conjunto.

Notação: A ou Card(A) ou nA. Exemplo: Sendo

A = {a, b, c } e B = ( a, b, d, e } temos: A= 3 e B =4.

CCOO NN JJ UU NN TT OO DD AA SS PPAA RR TTEE SS Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, P (A), o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.

P (A) = {B B A}


19



Exemplos:

I) A= {a} P (A) ={, {a}}

II) A= {a,b} P (A) ={, {a}, {b}, {a,b}}

III) A= {a,b,c} P (A) ={,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} De um modo geral temos # P(A) = 2n onde n = #A.

UUNNII ÃÃ OO DDEE CCOO NNJJ UU NNTT OO SS --

A união de dois conjuntos A e B é o conjunto A B, formados pelos elementos de A e pelos elementos de B.

A B ={x x A v x B} Exemplo: Sendo

A={a, b, c} e B={a, b, d, e} então A B ={a, b, c, d, e}

IINNTTEE RRSS EE ÇÇÃÃ OO DDEE CC OONN JJ UU NN TT OOSS --

A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto A B, formado pelos elementos que pertencem a esses dois conjuntos simultaneamente.

A B= {x x Ax B} Exemplo: Sendo

A= {a, b, c} e B= {a, b, d, e} então A B = {a, b}

CCOO NN JJ UU NN TT OOSS DD II SS JJ UU NN TT OOSS

Dois conjuntos A e B, são disjuntos quando A B = . Exemplo: A = {conjunto dos torcedores do vasco} B = conjunto dos seres que possuem mais de um neurônio

CCAA RR DDII NNAA LL II DDAA DDEE DDAA UUNNII ÃÃ OO DDEE CCOO NNJJ UU NNTT OO SS De um modo geral temos:

# (A B) = #(A) + # (B) - # (A B)

# (A B C) = # (A) + # (B) + # (C) - # (A B) - #(A C)- # (B C) + (A B C)


20



DD II FFEE RREE NNÇÇ AA DD EE CCOO NNJJ UUNN TT OOSS A diferença entre conjuntos A e B é o conjunto A - B, formado pelos elementos que a A que a B.

A - B= {x x A x B} Exemplo: Sendo A= {a, b, c, j }, B= {a, b, d, e}, C={0, 5, 7} e D = {0, 3, 5, 7} então: A-B={c, j} B-A={d, e}

C-D= C-A={0, 5, 7}

OOBB SS EE RRVV AA ÇÇÃÃ OO

Se A B = então A –B = A e B - A= B. Se A B então A -B= .

Em geral, temos: A - B B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

CCOO MM PP LL EE MM EE NN TTAA RR DDEE BB EE MM RREE LL AA ÇÇ ÃÃ OO ÀÀ AA

Quando temos B A, o conjunto A-B é chamado de complementar de B em relação à A e escreve-se: A – B = CAB

Note que x CAB x A e x B Atenção!!! "O complementar de B em relação à A é o que falta em B para B se tomar igual a A." CONJUNTOS NUMÉRICOS

IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO Os primeiros números que conhecemos quando aprendemos a contar são: 1, 2, 3, 4, 5, ... Estes números surgiram como resultado da comparação de diferentes conjuntos que tinham algo em comum. Certo conjunto de pedras colocadas numa sacola podia ser colocado em correspondência com o conjunto das ovelhas de um rebanho; o conjunto das pedras tinha algo em comum com o das ovelhas: este algo em comum é o mesmo número de elementos. Paulatinamente a ideia de número se tornou menos concreta e os números passaram a ser tratados como entes em si, independentes dos conjuntos dos quais, num certo sentido, eram representantes. E por serem necessários surgiram o zero: 0, e os números negativos: -1, -2, -3, . . . Os números considerados até aqui são atualmente "organizados" do seguinte modo:


21



CCOONNJJUUNNTTOO DDOOSS NNÚÚMMEERROOSS NNAATTUURRAAIISS:: IINN IN = {0, 1, 2, 3,4, ...}

Todo número natural n, n 2 pode ser decomposto como um produto de fatores primos, isto é, n 2a . 3b . 5c . 7d ... Dados dois números naturais a e b, chama-se mínimo múltiplo comum entre a e b e representa-se mmc (a, b) o menor dos múltiplos comuns entre a e b. Dados dois números naturais a e b, chama-se maior divisor comum entre a e b e representa-se mdc (a, b) o maior dos divisores comuns entre a e b. Exemplo: 120 e 360 840= 23. 3 . 5 . 7 360 = 23 . 32 . 5 . mmc (840, 360) = 23 . 32 . 5. 7 = 2520 . mdc (840, 360) = 23 . 3 . 5 = 120 Propriedades: mdc (a, b) = a . b

CCOO NN JJ UU NN TT OO DDOOSS NNÚÚ MM EE RR OOSS IINNTT EE II RR OOSS :: ZZ Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} Graficamente: Atenção! O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros, isto é:

OO SS ÍÍ MMBB OO LL OO (+): como índice de um conjunto, indica a exclusão dos seus elementos negativos; (-): como índice de um conjunto, indica a exclusão dos seus elementos positivos; (*): como índice de um conjunto, indica a exclusão do zero. Como exemplos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4...} é o conjunto dos inteiros não negativos.


22



Z*

+ = {1, 2, 3, 4 ...} é o conjunto dos inteiros positivos. Z - = {...-3, -2, -1, 0} é o conjunto dos inteiros não positivos. Z*

- = {..., -3, -2, -1} é o conjunto dos inteiros negativos.

NNÚÚ MMEE RR OOSS RRAA CCII OONN AA II SS O conjunto dos números inteiros pode ser representado sobre uma reta ordenadamente conforme o esquema: Nesta reta há muito mais pontos que os que representam os números inteiros. A idéia de dividir um objeto em partes iguais levou-nos aos números fracionários que são números da forma p/q

com q 0. O nome racional deve-se ao fato deles terem origem na razão entre dois números inteiros. No conjunto dos números racionais, destacamos os subconjuntos: Q+ = conjunto dos racionais não negativos Q- = conjunto dos racionais não positivos Q* = conjunto dos racionais não nulos.

RREE PP RREE SS EE NNTT AAÇÇ ÃÃ OO DDEE CCII MM AALL Todo número racional pode ser representado por um número decimal. Este número decimal pode aparecer de 2 modos:

CCOOMM AA QQUUAANNTTIIDDAADDEE FFIINNIITTAA DDEE CCAASSAASS DDEECCIIMMAAIISS Exemplo:

3

22

3

162 ;

10

161,6 ;

100

50,05 ;

2

36

Nestes casos, o denominador da fração será da forma: 2x . 5y com x e y N


23



CCOOMM UUMMAA QQUUAANNTTIIDDAADDEE IINNFFIINNIITTAA DDEE AALLGGAARRIISSMMOOSS Que se repetem periodicamente, isto é, uma dízima periódica. Exemplo:

30,0,333...3

1 (período: 3)

2857140,714...02857142857

2 (período

285714)

31,8...8333,16

11 = (período)

As dízimas periódicas dividem-se em 2 grupos: a) Dizima periódica simples: Formada pela fração irredutível p/q onde q possui fatores primos da forma

q = 3a . 7b...(a, b, ... N) e q 1.

Exemplo: ...11

1 ,

21

5 ,

3

2

b) Dízima periódica composta: Formada pela fração irredutível p/q onde q possui fatores primos da forma q = 3a . 7b associados a

fatores primos (2a) ou (5b) ou ambos com a 0 ou b ≠0. Definimos geratriz como a fração que origina a dízima periódica.

MMÉÉTTOODDOO PPAARRAA OOBBTTEENNÇÇÃÃOO DDEE UUMMAA FFRRAAÇÇÃÃOO GGEERRAATTRRIIZZ

Exemplo: x = 0,777 ... x = 0,777... 10x = 7,777...

x = 9

7 (Geratriz)

Exemplo: x = 6,4343... 100x - x = 637 100x = 643, 4343... 99x = 637


24



99

637x (Geratriz)

Exemplo: x = 2,133... 10x = 21,3333...

5 1

32

45

96

90

192x (Geratriz)

CCOO NN JJ UUNNTT OO DD OOSS NNÚÚMM EE RR OOSS II RRRR AACC II OONN AAII SS

Sabendo-se que entre 2 números racionais sempre há um número racional (por exemplo entre 2

1

e 3

1 existe

2

1

3

1:

12

52 durante muito tempo, achou-se que seria possível preencher a reta

somente com a presença de números racionais. Observemos a seguinte construção: Se o ponto A representa o número zero e o ponto B representa o número 1, o segmento AB tem comprimento 1. Construindo BC perpendicular a AB e de comprimento 1, o teorema de Pitágoras

dá o comprimento de AC que será 2 .

Marcando na reta AD de mesmo comprimento que AC, o ponto D representará o número 2 ; o

número 2 não é racional, o que pode ser mostrado com alguns recursos de Aritmética.

Números que não podem ser representados da forma p / q com p z e q z* são números irracionais.

Também não são racionais os números 3 e 3 9- , e alguns mais extravagantes como (pi =

3,14159...) e outros. Todos eles têm representação na reta onde já estão colocados os números racionais e é muito importante o fato de que a completam.

10x – x = 19,2

9x = 19,2

10

1929x


25



OOBB SS EE RRVV AA ÇÇÃÃ OO A representação decimal de um número irracional é infinita e não-periódica,

CCOO NN JJ UUNNTT OO DD OOSS NNÚÚMM EE RR OOSS RREE AAII SS IR = {x / x é racional ou x é irracional} naturais inteiros negativos racionais números não-inteiros reais irracionais Os números reais podem ser representados pelos pontos de uma reta r, de tal modo que: Essa correspondência biunívoca entre elementos de IR e os pontos de r é denominada sistema de coordenadas abscissas; a reta r é chamada de reta real ou do eixo dos números reais, e o ponto O, corresponde ao número zero, é a origem desse sistema. Observe que são reais todos os números naturais, inteiros, racionais e irracionais, assim:

CCOOMMPPAARRAAÇÇÃÃOO DDEE NNÚÚMMEERROOSS RREEAAIISS Dados dois números reais a e b, então ocorre somente uma das seguintes situações:

a = b a – b = 0

a > b a – b > 0 ou (a – b) IR*+

a < b a – b < 0 ou (a – b) IR*-

a < b - a > - b

a > b - a < - b


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DDEEMMOONNSSTTRRAAÇÇÃÃOO

a < b a - (a + b) < b - (a + b)

- b < - a

- a > - b Observe que devemos mudar o sentido da desigualdade se multiplicarmos seus dois membros por -1.

IINNTT EE RRVV AALL OOSS No conjunto dos números reais destacaremos alguns subconjuntos importantes, determinados por desigualdades, chamados intervalos. Quaisquer que sejam os números reais a e b, a < b, temos:

IINNTTEERRVVAALLOOSS LLIIMMIITTAADDOOSS

{x IR a x b} é o intervalo fechado de extremos a e b Notação: [a; b]

{x IR a < x < b} é o intervalo aberto de extremos a e b

Notação: b:a

{x IR a x < b} é o intervalo fechado em a e aberto em b. Notação: [a; b[

{x IR a < x b} é o intervalo aberto em a e fechado em b. Notação: ]a; b]

IINNTTEERRVVAALLOOSS IILLIIMMIITTAADDOOSS

{x R x a} = [a, + [ = [a, + )


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{x R x > a} = ]a, + [ = (a, +)

{x R x b} = ] - , b] = (- , b)

{x R x < b} = ] - , b[ = (- , b) Exemplo:

Sendo A = ] - ; 2 ] e B = ] - ; + [, temos:

Portanto, A B =] -; 2 ], A B = IR

A – B = ]- ; -] e B -A= 2 ; + [.

OOBB SS EE RRVV AA ÇÇÃÃ OO Módulo de um número real:

Definimos módulo de um número real x (x) como a distância da origem da reta real ao número x. De um modo geral temos.

x se x 0

x = -x se x < 0 Exemplo:

5 = 5 pois 5 0


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-3 = 3 pois -3 < 0

x -3 se x 3

x-3 = -x + 3 se x < 3


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Princípio Multiplicativo e Permutações A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dados, jogos de carta etc. Atualmente, você também pode perceber a utilização da Análise Combinatória nas estimativas de acerto em jogos populares tais como: loteria esportiva, loto, loteria federal etc., além de aplicações mais específicas, como confecções de horários, de planos de produção, de número de placas de automóveis etc. Fatorial Introduziremos, inicialmente, o conceito de fatorial que será de grande utilidade nos exercícios de Análise Combinatória. DEFINIÇÃO

n! =n . (n - 1) . (n - 2). ... 3.2.1 para n N e n > 1 O símbolo n! (lê-se fatorial de n ou n fatorial) Exemplos • 2! = 2 x 1 = 2 • 4!= 4 x 3 x 2 x 1 = 24 • 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 Exemplos • 6! = 6 x 5! • 9! = 9 x 8! Simplifique as expressões:

a) 7!

6!

b) 8!

8.6!

c) 20!8!3!

4!19!7!

Solução

a) 7!

6!=

7.6!7

6!

Por definição temos: 01 = 1 e 1! =1 n! = n . (n – 1)!


30



b) 8!

8.6!=

8.7.6!7

8.6!

c) 20!8!3!

4!19!7!=

20!19!8!7!3! 20.840

4!.3!.19!.7! 4

Simplifique as expressões:

a) 2 !

!

n

n

b)

2 !

2 2 !

n

n

Solução

a) 2 !

!

n

n

=

2 1 !2 . 1

!

n n nn n

n

b)

2 !

2 2 !

n

n =

2 2 1 2 2 !2 2 1

2 2 !

n n nn n

n

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Se um determinado evento A pode ocorrer de m maneiras' e um evento independente B pode ocorrer de n maneiras, então, a ocorrência sucessiva dos eventos A e B pode acontecer de m . n maneiras distintas. Um rapaz possui cinco camisas e duas calças. De quantos modos diferentes ele poderá se vestir? Solução A escolha de uma calça poderá ser feita de duas maneiras diferentes. Escolhida a primeira calça, o rapaz poderá escolher qualquer uma das cinco camisas, formando portanto, cinco conjuntos diferentes. Se tivesse escolhido a segunda calça, novamente poderia combinar essa calça com as cinco camisas que possui, formando outros cinco conjuntos diferentes. Portanto, o número total de maneiras diferentes de se vestir nesse caso será: 2 x 5 = 10. Poderíamos esquematizar o problema desse modo: • escolha de uma calça: 2 possibilidades diferentes; • escolha de uma camisa: 5 possibilidades diferentes. Total: 2 x 5 = 10 Quantos números de dois algarismos podemos formar com os algarismos de 1 a 9? Solução • escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades; • escolha de um algarismo para a casa das unidades: 9 possibilidades.


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Total: 9 x 9 =81. Podemos portanto, formar 81 números algarismos com os algarismos de 1 a 9. Num grupo de 5 rapazes e 4 moças, de quantos modos distintos podem ser escolhidos um rapaz para presidente e uma moça para secretária do grêmio estudantil? Solução • escolha de um rapaz para presidente: 5 possibilidades; • escolha de uma moça para secretária: 4 possibilidades. Total: 5 x 4 = 20 Quantos números de dois algarismos podem ser formados no sistema de numeração decimal? Solução • escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades (o zero não pode ocupar essa posição); • escolha de um algarismo para a casa das unidades: 10 possibilidades. Total: 9 x 10 = 90 Observação Quando alguma das escolhas que iremos fazer possuir restrição, devemos começar por esta escolha. Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados com os algarismos de 1 a 9? a) Podendo ocorrer a repetição de algarismos. b) Sem ocorrer a repetição de algarismos. Solução a) • escolha de um algarismo para a casa das unidades: 4 possibilidades (o número deve terminar em 2, 4, 6 ou 8, para ser par); • escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades. Total: 9 x 4 = 36 b) • escolha de um algarismo para a casa das unidades: 4 possibilidades (2, 4, 6, 8); • escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 8 possibilidades, já que do total de 9 algarismos que podem ser escolhidos não podemos utilizar aquele que estiver ocupando a casa das unidades, para que não haja repetição.


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Total: 8 x 4 = 32 Quantos são os divisores do número 72? Solução

Cada divisor de 72 é da forma 2x.3Y pois 72 = 23.32, onde x (0,1,2,3) e y (0,1,2). • escolha de um valor para x: 4 possibilidades (0,1,2,3); • escolha de um valor para y: 3 possibilidades (0,1,2). Total: 4 x 3 = 12 divisores No sistema decimal, quantos são os números de três algarismos distintos que podemos formar? Solução • escolha de um algarismo para a casa das centenas: 9 possibilidades (pois o zero não pode ocupar essa posição); • escolha de um algarismo para a casa das dezenas: 9 possibilidades, pois embora o zero possa ocupar essa posição, não podemos repetir o algarismo que se encon-tra na casa das centenas; • escolha de um algarismo para a casa das unidades: 8 possibilidades já que não podemos repetir o algarismo das centenas e nem o das dezenas. Total: 9 x 9 x 8 = 648 Quantos são os resultados possíveis para um teste da loteria esportiva com 16 jogos? Solução Para cada um dos 16 jogadores, temos três resultados possíveis (coluna 1, coluna do meio e coluna 2). Pelo multiplicativo, teremos que o total de resultados possíveis será: T = 3x 3 x 3 x 3 x ... x 3 = 316 = 430467721 resultados distintos. PERMUTAÇÃO SIMPLES Uma permutação simples de um grupamento com n elementos distintos é uma ordenação destes elementos onde cada um aparece uma única vez. O número de permutações simples destes n elementos é dada por: Exemplos • P3= 3! = 3 x 2 x 1 = 6 • P2 = 2! = 2 x 1 = 2

Pn = n!


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Quantos números com 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5? Solução Verificando que n = p = 5, vamos obter: P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Portanto, poderemos formar 120 números.

Observação Note que na permutação utilizamos todos os elementos. Apenas arrumamos. Então não se esqueça: arrumar é o mesmo que permutar. Quantos são os anagramas da palavra "cola"? Solução Anagramas são palavras obtidas, efetuando-se todas as trocas possíveis entre as letras de uma palavra dada e que podem ter ou não significado na linguagem corrente. A palavra em questão, "cola", possui 4 letras distintas, logo o total de anagramas será igual ao total de permutações que podem ser feitas com essas 4 letras, isto é: Total de anagramas: P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Permutando os algarismos 2, 4, 6 e 8, formamos números. Dispondo esses números em ordem crescente, qual o número que ocupa a 22ª posição? Solução 2 _____ _____ _____ P3 =3!=6 4 _____ _____ _____ P3 =3!=6 6 _____ _____ _____ P3 =3!=6 8 2 _____ _____ P2 =2!=2 8426 é o 21º número, portanto, o 22º será: 8462. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Quando temos n elementos com as repetições de um tipo, b repetições de outro, q de outro, etc. O número de permutações que podemos formar é dada por:

Quantos são os anagramas da palavra: a) ELEGER b) CANDIDATA

, , ,... !

! ! !...n

nP


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Solução Já sabemos que cada anagrama corresponde a uma permutação das letras da palavra. Neste exemplo, ocorrem letras repetidas. a) ELEGER 6 letras, sendo 3 E, 1 L, 1 G, 1R. O número de anagramas é:

3

6

6!120

3!P

b) CANDIDATA 9 letras, sendo 3A, 2D, 1C, 1N, 1 I, 1T. O número de anagramas é:

3,2

9

9!30240

3!2!P

Quantos números pares obteremos, permutando-se os algarismos 1, 2, 2, 3, 3, 3 e 4 ? Devemos contar as permutações que terminam por 2 e as que terminam por 4. Terminado por 2:

Deixando um algarismo 2 fixo na casa das unidades, devemos permutar nas outras casas os algarismos 1, 2, 3, 3, 3 e 4. O número de permutações é:

3

6

6!120

3!P

Terminando por 4:

Deixando o 4 fixo na casa das unidades, permutamos nas outras casas os algarismos 1, 2, 2, 3, 3 e 3. O número de permutações é:

3,2

6

6!60

3!2!P

Logo, o total de números pares é 120 + 60 = 180.


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PERMUTAÇÃO CIRCULAR “De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em fila?” Responder esta pergunta é simples: para a 1ª posição da fila, temos 4 possibilidades, para a 2ª, 3 possibilidades, para a 3ª, 2 possibilidades e para 4ª, 1 possibilidade. Logo, o total de possibilidades é 4.3.2.1 = 4! = 24. Agora, responda o seguinte "De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em uma mesa circular?" A primeira vista parece que estas perguntas possuem a mesma resposta, mas repare o esquema a" seguir: 4 das possibilidades que estávamos considerando representam uma única arrumação visto que, de uma arrumação para outra, basta girarmos a mesa.

Logo, como consideramos cada arrumação quatro vezes, basta dividir o resultado por quatro:

4!3! 6

4

De uma forma geral, dizemos que o número de permutações circulares de n elementos é dada por: Se não quisermos decorar a fórmula, basta pensar o seguinte: Em uma mesa circular vazia com quatro cadeiras ao redor, de quantas formas diferentes a primeira pessoa pode sentar-se? Antes de responder, pense o seguinte: O problema cita mesa circular para mostrar uma ausência de referencial. Como a mesa está vazia, é indiferente para primeira pessoa onde ela sentará, logo, só existe urna forma de escolha. Já a segunda pessoa a sentar à mesa possui referência. Ela pode sentar-se à frente da primeira, ou à sua esquerda ou à sua direita, logo, a segunda pessoa possui três possibilidades. 1ª pessoa - 1 possibilidade 2ª pessoa - 3 possibilidades 3ª pessoa - 2 possibilidades 4ª pessoa - 1 possibilidade 1 x 3 x 2 x 1 = 6 arrumações possíveis ARRANJO E COMBINAÇÃO

Arranjos Simples

Pc = (n-1)!


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Todos os problemas de Arranjos Simples também poderão ser resolvidos pelo Princípio Multiplicativo.

Seja o conjunto A = (1, 2, 3). Quantos números com 2 algarismos distintos podemos formar com os elementos de A? Teremos como resposta do problema os seguintes números: 12, 13, 21, 23, 31 e 32. Cada número obtido será chamado de agrupamento. Note, então, que obtivemos 6 agrupamentos distintos. A ordem dos elementos que formam cada agrupamento é considerada, isto é, os agrupamentos 12 e 21, por exemplo, são diferentes embora formados pelos mesmos elementos (os algarismos 1 e 2). Tais agrupamentos, formados por elementos distintos e cuja ordem é levada em conta, chamam-se Arranjos Simples.

CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES Sendo n o número de elementos de um conjunto A, o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p será dado por:

,n pA : lê se arranjo de n elementos tomados p a p

Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto {1,2,3,4,5}? Solução Nesse caso n = 5, que indica o total de elementos que temos para usar, e p = 3, que é a forma segundo a qual os elementos vão ser associados, já que o problema pede números de três algarismos. Aplicando a fórmula vamos obter:

5,3

5! 5.4.3.2!60

5 3 2!A

Portanto, poderemos formar 60 números com três algarismos distintos. Com os algarismos 0, 1, 2, 5 e 6, sem os repetir, quantos números compreendidos entre 100 e 1000 poderemos formar?

Atenção: Arranjos Simples não há repetição de elementos; a ordem dos elementos é considerada.

,

!n p

n

n pA


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,

!

! !n p

n

n p pC

Solução Como os números devem estar compreendidos entre 100 e 1000, terão 3 algarismos. Como não pode haver repetição de elementos e a ordem dos elementos em cada agru-pamento é considerada (por exemplo, o número 123 é diferente do número 132), trata-se de um problema de arranjos simples. Números iniciados por 1: 1 ___ ___ A4,2 =12 Números iniciados por 2: 2 ___ ___ A4,2 =12 Números iniciados por 5: 5 ___ ___ A4,2 =12 Números iniciados por 6: 6 ___ ___ A4,2 =12 Portanto, o total de números pedido é 4 x 12 = 48. Em um campeonato de futebol, participam dez clubes, todos com a mesma possibilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes poderemos ter a classificação para os três primeiros lugares? Solução Note que a ordem dos elementos em cada agrupamento é importante, pois o clube A em primeiro, B em segundo e C em terceiro é diferente de B em primeiro, A em segundo e C em terceiro. Não há repetição de elementos, pois o mesmo clube não pode ocupar duas posições diferentes simulta-neamente. Portanto, trata-se de um problema de arranjo simples. Temos um total de dez clubes para ocuparem três posições, logo: A10,3 = 720. COMBINAÇÃO SIMPLES São agrupamentos onde a ordem com que os elementos comparecem não é considerada. O número de combinações de n elementos tomados p a p, que indicamos por Cn,p será dado por:

Quantas duplas distintas podemos formar com 3 pessoas A, B e C? Repare que agora, se mudarmos a posição dos elementos em um agrupamento, não obteremos um novo agrupamento. Isto é, a dupla AB é igual à dupla BA, a dupla AC é a mesma que CA e a dupla BC é a mesma que CB. Portanto, o total de duplas distintas será 3 (AB, AC e BC). Quantas comissões formadas de 4 elementos cada uma, podemos formar com 10 alunos de uma classe? Solução


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10,4

10! 10! 10.9.8.7.6!120

10 4 !4! 6!4! 6!.4.3.2.1C

Quantos são os resultados distintos possíveis de serem obtidos num teste da loto? Solução Cada resultado possível corresponde a um conjunto de 5 números, sem importância de ordem, obtidos de um total de cem números. Teremos então:

100,5

100! 100.99.98.97.96.95!75287520

100 5 !5! 95!.5.4.3.2.1C

Numa escola, existem 10 professores de Matemática e 7 de Física. Quantas comissões podemos formar compostas de 5 professores de Matemática e 3 de Física? Solução • escolha dos professores de Matemática: C10,5 = 252 • escolha dos professores de Física: C7,3 = 35 Pelo princípio multiplicativo, vamos ter:

C10,5 x C7,3 = 252 x 35 = 8820. Poderemos portanto, formar 8820 comissões. Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva? Solução Total de associação: C10,6 = 210 Total de associações onde aparecem juntas A e B: C8,4 = 70 Logo, o total de associações possíveis será:

C10,6 - C8,4 = 210 – 70 = 140 (CESGRANRIO) Seja M um conjunto de 20 elementos. O número de subconjuntos de M que contém exatamente 18 elementos é: a) 360 b) 190


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c) 180 d) 120 e) 18 Solução Temos um total de 20 elementos para escolhermos 18, independendo da ordem. Logo, teremos

20,18

20!190

20 18 !18!C

Portanto, o total de subconjuntos com 18 elementos que podemos formar com um conjunto de 20 elementos será 190. Alternativa b. Uma organização dispõe de 10 economistas e 6 administradores. Quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha no mínimo, 3 administradores? a) 2400 b) 675 c) 3136 d) 60 e) 3631 Solução Teremos que considerar as seguintes comissões: • com 3 administradores e 3 economistas:

C6,3 x C10,3 = 2400 • com 4 administradores e 2 economistas:

C6,4 x C10,2 = 675 • com 5 administradores e 1 economista:

C6,5 x C10,1 = 60 • com 6 administradores e nenhum economista: teremos só uma possibilidade. O total de comissões que poderemos formar será então: 2400 + 675 + 60 + 1 = 3136 Alternativa c. Soluções Inteiras de um Sistema Exemplo 1 Determine o número de soluções inteiras positivas da equação x + y + z =,6.


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Solução Representando cada unidade por • e colocando a barra I entre duas quaisquer das 6 bolas, obtemos uma maneira de escrever 6 como soma de três inteiros positivos. Exemplo

Basta, então, colocar a barra em duas das cinco posições. Logo, temos C5,2 = 10 maneiras diferentes de escrevermos 6 como soma de 3 inteiros positivos. Exemplo 2 Determinar o número de soluções naturais da equação x+y+z=6. Solução Acrescentando 1 a cada uma das parcelas do 1º membro,

Para obtermos o número de soluções naturais de x + y + z = 6, basta contar o número de soluções inteiras positivas de x'+y'+ z' = 9, ou seja:

C 8,2= 28 soluções naturais de x + y + z = 6. Com 5 consoantes diferentes e 4 vogais diferentes, quantas "palavras" podemos formar tendo 3 consoantes distintas e 2 vogais distintas? Solução Escolha 3 das 5 consoantes: C5,3

Escolha 2 das 4 vogais: C4,2 No de grupos de 3 consoantes e 2 vogais: C 5,3 . C4,2 Em cada um desses grupos, devemos permutar os elementos. Portanto, teremos C5,3 . C4,2 . P5 = 7200 "palavras" com 3 consoantes distintas e 2 vogais distintas.

Como as soluções são naturais (inclui o zero), somamos 1 a x, y e z e, assim, voltamos a trabalhar com soluções inteiras positivas.


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Probabilidade Dado um experimento com um número finito de possíveis resultados, definem-se:

Espaço amostral do experimento É o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento.

Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral.

Probabilidade

Sendo o espaço amostral de um experimento dado e A um evento (A ), a probabilidade de

ocorrência do evento A é representada e definida por )n(Ω

n(A)p(A) , onde

)A(n número de elementos do conjunto A

)(n número de elementos do conjunto .


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Gráfico Estatístico 1. Introdução O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os gráficos falam mais rápido à compreensão do que as séries. O gráfico é um instrumento que possibilita transmitir muitas vezes o significado de planilhas ou tabelas complexas de uma forma mais eficiente e mais simples. Não adianta você saber efetuar a confecção de um gráfico se não souber a que finalidade se destina determinado gráfico. Desta forma você correrá o risco de apresentar um gráfico que não seja adequado a uma determinada situação. O gráfico apresenta de forma detalhada, a elaboração e utilização do fichário-imagem. Uma representação gráfica tem por objetivo fazer aparecer as relações que existem entre elementos que são representados prévia e rigorosamente de modo a garantir a monossemia que envolve a "Graphique". O exemplo utilizado é o de uma cooperativa com diferentes tipos de informações que foram representadas na forma gráfica com o auxílio do fichário-imagem. 2. Gráficos Estatísticos Para se criar um gráfico é preciso primeiro conhecer o tipo de informação que se deseja transmitir, pois um gráfico poderá informar de forma visual as tendências de uma série de valores em relação a um determinado espaço de tempo, a comparação de duas ou mais situações e muitas outras. Cada tipo de gráfico é adequado para uma diferente situação a ser analisada. Se um gráfico for definido de forma incorreta, poderá ocorrer a análise errada de uma situação, causando uma série de interpretações distorcidas do assunto em questão, tornando desta forma o desenho do gráfico sem qualquer efeito aproveitável. Para tornarmos possível uma representação gráfica, estabelecemos uma correspondência entre os termos da série e determinada figura geométrica, de tal modo que cada elemento da série seja representado por uma figura proporcional. A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais para ser realmente útil: 2.1 Aspectos básicos no tracejado a) Simplicidade: o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, assim como de traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise morosa ou com erros; b) Clareza: o gráfico deve possibilitar uma interpretação correta dos valores representativos do fenômeno em estudo; c) Veracidade: o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo, ou seja, cálculos devem coincidir com as marcações


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2.2 Diagramas Os diagramas são gráficos geométricos de, no máximo, duas dimensões; para sua construção, em geral, faz-se uso do sistema cartesiano. Dentre os principais diagramas, destacamos: 2.2.1. Gráfico em linha ou em curva São ideais para ilustrar tendências em dados que ocorrem ao longo do tempo. Esse tipo de gráfico se utiliza da linha poligonal para representar a série estatística. Constitui uma aplicação do processo de construção do gráfico de uma função no sistema de coordenadas cartesianas. Construção: O gráfico pode apresentar linhas contínuas ou conter marcadores de dados. Exemplo:

2.2.2. Gráfico em colunas ou em barras É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras). Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os Comprimentos são proporcionais aos respectivos dados. Desse modo, estamos garantindo a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os dados estatísticos. Construção: As Categorias são organizadas horizontalmente e os valores verticalmente. Quando há mais de uma sequência, é interessante inserir a legenda no gráfico; cada sequência é diferenciada por uma cor ou padrão. Exemplos: a) Gráfico em colunas O gráfico em questão terá a finalidade de demonstrar a projeção dos valores de vendas de diversos produtos durante o primeiro trimestre de um determinado ano em relação à taxa de projeção aplicada a cada mês.


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b) Gráfico em barras Construção: As Categorias são organizadas verticalmente, para focalizar a comparação de valores. São usualmente bem ilustrados num simples gráfico de barras onde a altura da barra é igual à frequência. Dados qualitativos, particularmente quando as categorias são ordenadas, Gráficos de barras empilhadas mostram o relacionamento de itens individuais com o todo.

2.3 Gráfico em setores Construção: Esse gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. Obtemos


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cada setor por meio de regra de três simples e direta, lembrando que o total da série corresponde a 360°. Os setores do gráfico são desenhados de tal forma que eles tenham área proporcional à frequência. Exemplo:


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Estatística 1- Introdução Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão. A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo. Sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam. Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja para a população de onde os dados provêm. Quando de posse dos dados, procura-se agrupa-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido. 2- População e amostra Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. Obviamente teríamos uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a população, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, estudar-se a população em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos. A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que a inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de determinação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra. Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra. Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua utilização pode dar origem a interpretações erradas. 3- Medidas de tendência Central As mais importantes medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média


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harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância.

Medidas

Média aritmética

Média aritmética para dados agrupados

Média aritmética ponderada

Mediana 1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais

Moda Valor que ocorre com mais frequência.

Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados. A média possui uma particularidade bastante interessante, que consiste no seguinte: se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a zero. A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações: Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média. Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida. 4.1- Moda Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana. 4.2- Mediana A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo:


48



Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:

Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.

Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios 4.3-Considerações a respeito de Média e Mediana Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados. 1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações. Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana. A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana 2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que a mediana 3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior à mediana. 5 - Medidas de dispersão Introdução No capítulo anterior, vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados através das seguintes medidas: 5.1- Medidas de dispersão Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.


49



Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir. 5.2- Variância Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.

5.3- Desvio-padrão Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão: O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são: O desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.


50



Geometria Analítica

PPoonn ttoo nnoo RR22 Um ponto é um par ordenado (x, y) onde x é a abscissa e y é a ordenada. Exemplo: Observe no gráfico abaixo os pontos A (xA, yA) e B (xB, yB).

DD II SS TT ÂÂ NNCC II AA EE NNTT RREE DD OOII SS PP OONNTT OOSS Dados dois pontos A (xA, yA) e B (xB, yB), como calcular a distância entre eles? Para calcular a distância entre os pontos A e B, nós criamos um triângulo retângulo de catetos conhecidos e utilizamos o teorema de Pitágoras.


51



Assim: dAB

2 = (xA - xB)2 + (yA - yB)2 Temos que a distância entre eles é:

2BA

2

BAAB yyxxd

PPOONN TT OO MMÉÉ DDII OO Dados dois pontos: A(xA,yA) e B(xB, yB), como descobrir as coordenadas do ponto médio entre eles? Para isso vamos criar dois triângulos retângulos:

Note que os triângulos TMA e MBR são congruentes, pois têm dois ângulos iguais, o que

garante que são semelhantes MAMB . O que garante que a razão de semelhança seja 1 é o fato de eles serem congruentes. Logo,

MTBR e MRAT , ou seja,

mammb xxxxx é o ponto médio de xa e xb

mamma yyyyy é o ponto médio de ya e yb

xm- xb = xa - xm 2xm = xa + xb

xm –xb = yb - ym 2ym =ya + yb


52



Portanto,

M = (Xm, Ym) =

2

yy,

2

xx BABA

BBAARR II CC EE NNTT RR OO DDEE UUMM TTRR II ÂÂNN GG UULL OO Seja G o baricentro do triângulo ABC, podemos dizer que as coordenadas de G são as médias das coordenadas dos vértices do triangulo. G= A + B + C 3

EEqquuaaççããoo ddaa RReettaa Neste momento, iremos ver que uma reta do plano cartesiano pode sempre ser representada por uma equação do tipo ax + by + c = 0, onde a, b e c são constantes e as variáveis x e y são as coordenadas dos pontos P (x, y) da reta. Dados dois pontos: A (xA, yA) e B (xB, yB), temos que a equação da reta que os contem pode ser obtida da seguinte forma: Se um ponto P (x, y) pertence à reta Temos pela semelhança dos triângulos RPB e TAB que:

ba

ba

b

b

xx

yy

xx

yy


53



Obtenha a equação da reta determinada por A (2, 3) e B (3, 5).

tg

xx

yym

BA

BA

y - 5 = 2 (x -3) 2x - y + 1 = 0

CCOO EE FF II CC II EE NNTT EE AANN GG UU LL AARR DDEE UUMM AA RREE TT AA Se A (xA,yA) e B (xB, yB) são dois pontos distintos do plano cartesiano e xA ≠ xB (isto é, a reta AB não é paralela a 0y), define-se o coeficiente angular m da reta AB, como:

tg

XX

YYm

BA

BA

temos que o coeficiente angular é a tangente do ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo x. Equação da Reta dados o Coeficiente Angular e um Ponto Se forem dados o coeficiente angular m= tg a, e um ponto A (xA,yA) da reta podemos obter sua equação fazendo:

mxx

yy

a

a

donde y – yA = m (x – xA) y = mx +yA - mxA


54



Chamando yA–mxA=n teremos a Equação reduzida da reta y = mx+ n Caracterizada por ter o y isolado no 1º membro da equação:

PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS I) Coeficiente linear n. O ponto de interseção da reta com o eixo y é (0, n).

II) Coeficiente angular m = tg III) Dado um ponto (x0,y0) e o coeficiente angular m, a equação da reta poderá ser obtida por: y – y0 = m (x – x0)

PPOOSS II ÇÇÃÃ OO RREE LL AATT II VV AA DDEE DDUU AASS RREE TT AASS • CCOONNCCOORRRREENNTTEESS Sabemos que s e r são concorrentes se tiverem um só ponto comum. Isto ocorre se o sistema formado pelas suas equações é satisfeito por um único par (x, y), isto é, se o sistema e possível e determinado. Caso particular: retas perpendiculares.

•• PPAARRAALLEELLAASS No plano cartesiano, duas retas paralelas têm coeficientes angulares iguais ou são ambas verticais. Se forem r e s paralelas então não existe par ordenado (x, y) que satisfaz ao sistema formado pelas equações das retas (então um sistema impossível). Se r e s forem coincidentes (r = s), o sistema formado por suas equações é satisfeito por uma infinidade de pares (x, y). Neste caso, as equações de s e r são equações equivalentes, formam um sistema indeterminado.

PPAARR AALLEE LL II SS MM OO Duas retas são paralelas se possuem o mesmo coeficiente angular (ou seja, tem a mesma inclinação em relação ao eixo x). Obter a equação da reta s que passa pelo ponto A (1, -2) e é paralela a reta r de equação x + y - 3 = 0.


55



Resolução 1º modo: A equação reduzida de r é y= - x + 3; então, o seu coeficiente angular é m = - 1.

11x

2y

y + 2 = - x +1 equivalente a x + y + 1= 0 (equação geral) 2° modo: Como a equação reduzida de r é y=- x + 3, a equação reduzida de s, paralela a r, seja y = - x + p. O ponto A (1,-2) pertence a s; substituindo x = 1 e y =-2 temos -2 = -1 + P e daí, p = -1. Então, a equação de s é y = -x -1 (equação reduzida)

PPEE RR PP EE NN DDII CCUU LL AARRII SS MM OO Se duas retas r e s são perpendiculares, então mr . ms = -1.

CC II RR CCUU NN FFEE RRÊÊ NNCC II AA É o conjunto dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo (a, b), chamado centro da circunferência. A distância comum é o raio r.

EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDEE UUMMAA CCIIRRCCUUNNFFEERRÊÊNNCCIIAA Em geral, seja P (x, y) um ponto da circunferência de centro (a, b) e raio r. Temos que a distância entre P e C é d = r. Então, temos a equação em x e y:

22byaxr

da qual obtemos a equação reduzida da circunferência: (x – a )2 + ( y – b )2 = r2


56



EEQQUUAAÇÇÃÃOO GGEERRAALL Desenvolvendo-se a equação reduzida (os produtos notáveis) obtemos a equação geral da circunferência: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Onde: D = - 2a E = - 2b F = a2+ b2- r2

PPOOSS II ÇÇÃÃ OO RREE LL AATT II VV AA DDOO PPOONNTT OO EE CC II RR CCUU NN FFEE RRÊÊ NN CCII AA Com um ponto P (x, y) em relação a uma circunferência de centro C (a, b) e raio r, pode ocorrer uma das três situações que estudaremos a seguir: a) Ponto P pertencente à circunferência A distância entre P e C é igual ao raio: dC,P = R Logo, satisfazem equação da circunferência (x – a)2 + ( y – b)2 = r2

b) O ponto P esta no interior do círculo definido pela circunferência, quando diremos que e interno a circunferência. A distância entre P e C é menor do que o raio: dC,P < R Portanto, suas coordenadas satisfazem a inequação: (x - a)2+ (y - b)2 < r2


57



c) O ponto P está no exterior do círculo determinado pela circunferência quando diremos que P é externo a circunferência. A distância entre P e C é maior do que o raio: dC;P > R Logo suas coordenadas satisfazem a inequação ( x - a)2 + (y - b)2 > r2


58



Geometria Plana

CÍRCULO E ÂNGULOS

Circunferência de círculo é a linha formada por todos os pontos do plano que possuem uma distância constante (raio) de um ponto fixo (centro O).

Comprimento da circunferência de raio R: R2c , sendo 1415,3

Ângulo central: BOA , de medida .

Arco subentendido:

AB , tal que a medida angular do arco é igual à medida do ângulo

central (

AB ).

Sistema sexagesimal de unidades angulares:

Divide-se a circunferência em 360 partes iguais; o ângulo central que subentende o arco limitado por dois pontos consecutivos, é o ângulo de um grau (1º).

Submúltiplos: minuto: )º60

1('1 ; segundo: )'

60

1("1 .

Vocabulário:

Ângulos adjacentes

( BOA e COB )

Ângulos opostos pelo vértice


59



Retas perpendiculares

(ângulo reto)

Ângulo agudo

Ângulo obtuso

Bissetriz do ângulo

Dois ângulos complementares: somam 90º Dois ângulos suplementares: somam 180º Dois ângulos replementares: somam 360º RETAS PARALELAS CORTADAS POR TRANSVERSAL

Para os ângulos numerados na figura, tem-se: Alternos internos: 3 e 5 ; 4 e 6 Alternos externos: 1 e 7; 2 e 8 Propriedade: os alternos são congruentes. Colaterais internos: 3 e 6; 4 e 5 Colaterais externos: 1 e 8; 2 e 7


60



Propriedade: os colaterais são suplementares. Correspondentes: 1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8 Propriedade: os correspondentes são congruentes

TRIÂNGULOS

Classificação quanto aos lados:

Classificação quanto aos ângulos:

Condição de existência do triângulo: Cada lado é menor que a soma e maior que a diferença dos outros dois. Cevianas notáveis do triângulo:

Mediana: MA , tal que MB = MC .

Altura: HA , tal que BCAH

Bissetriz interna: AP, tal que PÂB = PÂC Bissetriz externa: AP' , tal que P'ÂC = P'ÂD.


61



Casos de congruência de dois triângulos: Dois triângulos são congruentes quando possuem:

- (ALA) um lado congruente entre ângulos respectivamente congruentes.

- (LAL) um ângulo congruente entre lados respectivamente congruentes.

- (LLL) três lados respectivamente congruentes.

- (LAAO) um lado congruente, um ângulo congruente adjacente ao lado e um ângulo congruente oposto ao lado.

- Caso especial de triângulos retângulos: hipotenusa congruente e um cateto congruente. Maior lado e maior ângulo de um triângulo: Em um triângulo, o maior lado é oposto ao maior ângulo. Soma dos ângulos internos do triângulo: é igual a 180º. Propriedade do ângulo externo do triângulo: cada ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.

POLÍGONOS

Polígono convexo: Polígonos não convexos:


62



Nomenclatura dos polígonos: Gênero de um polígono é o seu número de lados

GÊNERO NOME

3 triângulo

4 quadrilátero

5 pentágono

6 hexágono

7 heptágono

8 octógono

9 eneágono

10 decágono

11 undecágono

12 dodecágono

15 pentadecágono

20 icoságono

Diagonais do polígono: No polígono de gênero n, tem-se: Número de diagonais traçadas de um vértice 3n

Número total de diagonais: 2

)3n(nD

Ângulos do polígono convexo: No polígono convexo ABCD... de gênero n , representa-se:

...CBAS iiii (soma dos ângulos internos)

...CBAS eeee (soma dos ângulos externos)

Propriedades: )2n(º180Si e º360Se .

Polígonos regulares: Possuem lados congruentes e ângulos congruentes. Propriedades: Num polígono regular convexo de gênero n , tem-se:

Medida de cada ângulo interno: n

)2n(º180Ai

Medida de cada ângulo externo: n

º360Ae


63



QUADRILÁTEROS

Vocabulário:

TRAPÉZIO (dois lados paralelos)

RETÂNGULO (quatro ângulos

retos)

PARALELOGRAMO (lados opostos paralelos)

LOSANGO (quatro lados congruentes)

QUADRADO (quatro ângulos

retos e 4 lados

congruentes) Propriedades do paralelogramo: Sendo ABCD um quadrilátero convexo, valem os seguintes teoremas:

- (AB//CD e AD//BC) (AB = CD e AD = BC)

- (ABCD é paralelogramo) (Â = C e B = D )

- (ABCD é paralelogramo) ( CA e DB se cortam ao meio)

- (ABCD é paralelogramo) (AB//CD e AB = CD) Propriedades do retângulo:

- Todo retângulo também é um paralelogramo.

- As diagonais são congruentes e se cortam ao meio.


64



Propriedades do losango:

- Todo losango também é paralelogramo

- As diagonais são perpendiculares e se cortam ao meio. Propriedades do quadrado:

- Todo quadrado também é paralelogramo, retângulo e losango.

- As diagonais são congruentes, perpendiculares e se cortam ao meio.

BASES MÉDIAS

Base média do triângulo:

É o segmento MN que une pontos médios de dois lados.

Propriedade: MN // BC e MN = 2

BC.

Base média do trapézio:

É o segmento MN que une os pontos médios dos lados não paralelos. Propriedade: MN // AB // CD e

MN = 2

CDAB .

Mediana de Euler do trapézio:

É o segmento RS que une os pontos

médios das diagonais. Propriedade: RS // AB // CD e

RS = 2

CDAB .


65



TRIÂNGULO RETÂNGULO

Círculo circunscrito ao triângulo retângulo:

- O centro do círculo circunscrito a um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa.

- O raio do círculo circunscrito é igual à metade da hipotenusa.

- A mediana relativa à hipotenusa mede a metade da hipotenusa. Relações métricas no triângulo retângulo:

222 cba (Teorema de Pitágoras)

mnh2 ahbc

amb2 ; anc2

Linhas trigonométricas no triângulo retângulo:

seno: a

b

hipotenusa

opostocatetoxsen

cosseno: a

c

hipotenusa

adjacentecatetoxcos


66



tangente: c

b

adjacentecateto

opostocatetoxtg

cotangente: b

c

tgx

1xgcot

secante: c

a

xcos

1xsec

cossecante: b

a

xsen

1xseccos

Linhas trigonométricas de 30º, 45º e 60º:

x 30º 45º 60º

sen x 2

1

2

2

2

3

cos x 2

3

2

2

2

1

tg x 3

3 1 3

CÍRCULOS E RETAS

A reta tangente ao círculo é perpendicular ao raio do ponto de tangência.

Se PA e PB são tangentes ao círculo traçadas pelo ponto P exterior, então PBPA .

Tangentes comuns exteriores a dois círculos:


67



Tangentes comuns interiores a dois círculos:

Círculos tangentes: O ponto de tangência (A) pertence à linha dos centros. Círculos tangentes exteriores )rROO( 21

Círculos tangentes interiores )rROO( 21


68



Áreas Vejamos como se calculam as áreas das principais figuras geométricas planas. RETÂNGULO Tomaremos como referência para o cálculo das outras áreas, a área do retângulo. A = b . h QUADRADO O quadrado é um retângulo, logo, sua área também pode ser calculada, multiplicando-se sua base por sua altura. Como no quadrado, a base é igual a altura, podemos chamá-los de lado . Logo, a área do

quadrado fica da seguinte forma: A = . = 2

PARALELOGRAMO Observe o paralelogramo abaixo:

. .

. .


69



Se dividirmos o paralelogramo como mostra a figura e deslocarmos como sugerido, a nova figura é um retângulo de base b e altura h. Logo, podemos calcular a área do paralelogramo da seguinte forma: A = b . h LOSANGO Considere o losango abaixo: Traçando paralelas às suas diagonais passando por seus vértices, encontraremos um retângulo de lados D e d. Repare que os 8 triângulos possuem mesma área. Logo, a área do losango é a metade da área do retângulo. Temos então que:

2

D.dA


70



TRAPÉZIO Observe o trapézio abaixo: Traçando uma paralela a um dos lados do trapézio como mostra a figura, obtemos um paralelogramo e um triângulo. A área do trapézio é a soma da área do paralelogramo do triângulo.

2

h bB

2

bhBh

2

bhBh2bh

2

h bBbhA

2

h bBA

Repare o paralelogramo abaixo: Sua diagonal o divide em dois triângulos de mesma área. Logo, a área do triangulo é a metade da área do paralelogramo.


71



2

b.hA

Existe outra relação para o cálculo da área do triângulo. Observe o triângulo abaixo:

Sabemos que sen a = a

h logo,

h = a . sen A área do triângulo será:

2

b.hA

substituindo h por a . sen TEMOS:

2

αsen a.b.A

Repare que as duas relações calculam a área do triângulo. A diferença são os elementos necessários para esse cálculo. Enquanto na primeira, utilizamos a base e altura, na segunda, utilizamos dois lados do triângulo e o ângulo formado por eles.

2

αsen a.b.A


72



TRIÂNGULO EQUILÁTERO No triângulo equilátero temos:

2

3h

, logo,

4

3

24

3.

22

b.hA

2

2

3h

4

3A

2

TRIÂNGULO CIRCUNSCRITO

Vamos provar que A = p.r, onde A é a área do triângulo, 2

cbap

é o semiperímetro e r o raio

da circunferência inscrita. A prova é simples, acompanhe: Traçamos os três raios nos pontos de tangência e ligamos o centro da circunferência inscrita com os vértices. O triângulo original, fica decomposto em outros três. Em cada um deles, a base é um dos lados (a, b c) e a altura é o raio r, pois o raio é perpendicular ao lado no ponto de tangência. Segue-se que área do triângulo original é a soma das áreas dos triângulos menores, ou seja:

r . 2

c)b(a

2

c)rb(a

2

c.r

2

b.r

2

a.rA


73



A = p.r

2

cbap

ÁREAS DE POLÍGONOS SEMELHANTES Sejam os polígonos acima semelhantes com

k...c

c

b

b

a

a111

então 1s

s valerá k2.

OBSERVAÇÃO Se dois polígonos são semelhantes então a razão entre suas áreas será igual ao quadrado da razão entre seus lados. Observe a relação entre lados e áreas dos quadrados: Repare que quando dobramos os lados de um polígono sua área não dobra e sim quadruplica. Para calcularmos a área de um circulo utilizaremos a relação A = PpR2


74



A = R2 Observação

Cuidado para não confundir comprimento da circunferência com área do círculo C = 2 R e A =

.R2. COROA CIRCULAR É a região situada entre duas circunferências concêntricas. A área da coroa circular é igual à área do círculo maior menos a área do círculo menor.

A coroa. = (R2 – r2)

Repare que a expressão que determina a área da coroa circular é um produto notável A = (R2 –

r2) = (R+r) (R- r). Isso é explorado em alguns exercícios. SETOR CIRCULAR É a parte do círculo limitada por dois raios e um arco. Chamando de α o ângulo formado pelos raios e medindo esse ângulo em graus, a área do setor é:

360

2R

setorA


75



Calcule a área do setor circular da figura: Solução: Utilizando-se a fórmula da área do setor, fica fácil.

Como 360

2R

setorA ,

= 720 e R = 10 cm, obtemos

20360

72.10.2

setorA cm2

Agora repare como você pode resolver o problema sem ter que decorar a fórmula da área do setor. Observe que 720 é um quinto de 3600, a partir disto, concluímos que o setor de 720 é um quinto do círculo que o contém e, portanto, a área do setor é a quinta parte da área do círculo:

20

5

102.

5

2.

RsetorA cm2

SEGMENTO CIRCULAR É a região limitada pela circunferência e uma corda. Para o cálculo da área do segmento circular, faremos a ,diferença entre a área do setor circular e a área do triângulo como mostra a figura:


76



Calcule a área do setor abaixo sabendo que o raio da Circunferência vale 12cm. Solução: Primeiro, calcularemos a área do setor Circular.

24

360

60.122.

360

2.

RsetorA

Repare que o triângulo, neste caso, é um triângulo equilátero.

336

4

3122

4

32

triânguloA

Logo, a área do setor será calculada da seguinte forma:

A segmento = A setor - A triângulo = 24 - 36 3


77



Geometria Espacial

PRISMAS

Prisma qualquer: Altura : h = distância entre as bases. Seção reta: É a seção perpendicular à arestas laterais. Área lateral do prisma: ap2S r ,

sendo:

rp2 perímetro da seção reta; a aresta lateral.

Prisma reto: As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base. Prisma regular: A base é um polígono regular e as arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.

Paralelepípedo: É o prisma cuja base é um paralelogramo.

PARALELEPÍPEDO OBLÍQUO

PARALELEPÍPEDO RETO

PARALELEPÍPEDORETÂNGULO

No paralelepípedo retângulo, tem-se:

Diagonal: 2222 cbad

Área total: ac2bc2ab2St .


78



PIRÂMIDES

Pirâmide qualquer: Possui um polígono qualquer como base, e um vértice fora do plano da base. A altura da pirâmide (h) é a distância do vértice da pirâmide ao plano da base.

Pirâmide regular: A base é um polígono regular e o pé da altura coincide com o centro da base. Apótema da pirâmide: a = distância do vértice da pirâmide a cada aresta da base.

Tetraedros:

TETRAEDRO QUALQUER TETRAEDRO DE VÉRTICE TRI-RETÂNGULO

POLIEDROS REGULARES

Por definição, um poliedro é regular quando as faces são polígonos regulares congruentes, e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas (os ângulos sólidos são congruentes). Só existem cinco poliedros regulares convexos. Eles são construídos com triângulos equiláteros, ou quadrados, ou pentágonos regulares. Tetraedro Regular: Em cada vértice reúnem-se 3 triângulos equiláteros. F = 4 V = 4 A = 6


79



Octaedro Regular: Em cada vértice reúnem-se 4 triângulos equiláteros. F = 8 V = 6 A = 12

Icosaedro Regular: Em cada vértice reúnem-se 5 triângulos equiláteros. F = 20 V = 12 A = 30

Hexaedro Regular: Em cada vértice reúnem-se 3 quadrados. F = 6 V = 8 A = 12

Dodecaedro Regular: Em cada vértice reúnem-se 3 pentágonos regulares. F = 12 V = 20 A = 30

Relações métricas no tetraedro regular de aresta a:


80



Altura do tetraedro: AH , sendo H o centro do triângulo BCD. 3

6aAH .

Perpendicular comum a duas arestas opostas: MN , sendo M e N os pontos médios de AB e CD .

2

2aMN .

Centro do tetraedro: Ponto O, interseção das 4 alturas e das 3 perpendiculares comuns aos pares de arestas opostas.

OM = ON e 3

1

OA

OH . O ponto O equidista dos vértices, equidista das faces e equidista das

arestas do tetraedro regular. Relações métricas no hexaedro regular de aresta a:

Diagonal da face: 2aAC .

Diagonal do cubo: 3aCE .

Centro do cubo: Ponto O, interseção das quatro diagonais do poliedro. O ponto O equidista dos vértices, equidista das arestas e equidista das faces do cubo. Relações métricas no octaedro regular de aresta a:

BCDE, ABFD e ACFE são quadrados de lado a.

Diagonal do octaedro: AF = BD = CE = a 2 .

Centro do octaedro: Ponto O, interseção das três diagonais. O ponto O equidista dos vértices, equidista das faces e equidista das arestas do octaedro.


81



Geometria Espacial 2

CILINDRO DE REVOLUÇÃO

É gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados. Raio da base: r Altura: h Área lateral: hr2SL

Volume: hrV 2

Caso particular: o cilindro é equilátero quando a seção meridiana é um quadrado )r2h( .

CONE DE REVOLUÇÃO

É gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Raio da base: r Altura: h Geratriz: g Área lateral: grSL

Volume: hr3

1V 2

Caso particular: o cone é equilátero quando a seção meridiana é um triângulo equilátero )r2g( .

TRONCO DE CILINDRO DE REVOLUÇÃO

Raio da seção reta: r Segmento do eixo limitado pelas bases: e Área lateral: er2SL

Volume: erV 2


82



TRONCO DE CONE DE REVOLUÇÃO DE BASES PARALELAS

Raios das bases: 1r e 2r

Altura: h Geratriz: g

Área lateral: )rr(gS 21L

Volume: 2221

21 rrrr

3

hV

ESFERA

É gerada pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro. Dada a esfera de centro O e raio R: Seção plana: Círculo de centro C e raio r.

Diâmetro da esfera perpendicular à seção: 'PP Distância do centro da esfera ao plano secante: OC

Polos relativos ao círculo seção: P e P'.

Distâncias polares: as medidas de A'PePA .

Área da superfície esférica: 2R4S

Volume da esfera: 3R3

4V

SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO

É gerada pela rotação de uma linha plana em torno de um eixo coplanar com a linha.

Área gerada pela rotação da linha: g2S , sendo g a distância do centro de gravidade da linha

ao eixo e o comprimento da linha plana.


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SÓLIDO DE REVOLUÇÃO É gerado pela rotação de uma área plana em torno de um eixo coplanar com a área. Volume gerado pela rotação da área: Ag2V , sendo g a distância do centro de gravidade da

área plana ao eixo e A a medida desta área.


84



Trigonometria O grau e o radiano são as unidades de medida de arcos e de ângulos normalmente utilizadas na trigonometria. • Grau: na geometria, trabalhamos com a unidade grau para medir ângulos; na trigonometria também usamos a unidade grau, agora para medir arcos (dois pontos distintos de uma circunferência a dividem em dois arcos), normalmente usamos a unidade radiano. A utilização da unidade grau para a medida de arcos é feita a partir da seguinte associação: O arco de uma circunferência completa mede 360º. Disto concluímos que: Meia volta corresponde a: 180º Um quarto de volta corresponde a: 90º

As subdivisões do grau são: 1º = 360

1 da circunferência.

1'= 60

º1 (1'= 1 minuto)

1"=60

'1 (1"=1 segundo)1"=

3600

º1

• Radiano: um radiano é o ângulo que compreende um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém; abrevia-se 1 rad. Exemplos: I) Numa circunferência de raio 10m, um arco de 10m de comprimento mede 1 rad; um arco de 35m mede 3,5 rad:

AM= 10 cm = raio AM =1rad

MN= 10 cm = raio NM =1 rad

NA= 20 cm = 2 x raio AN= 2 rad II) Numa circunferência de raio 20 m, um arco de 2,5 rad tem comprimento de 2,5 x 20m = 50m, pois cada radiano, neste exemplo, mede 20m.


85



rad6

π

180

30π

III) Numa circunferência de raio igual a 1cm, o arco de 1 radiano tem comprimento também de 1cm; se a circunferência tem raio de 2cm, o arco de 1 radiano nessa circunferência tem comprimento de 2cm; numa circunferência de raio 3cm, o arco de 1 rad tem comprimento 3cm; e assim por diante. Repare, porém, que o ângulo central determinado por esses arcos tem sempre a mesma abertura. Observe a figura: A medida do ângulo central é sempre igual à medida do arco compreendido entre seus lados e, por isto, a medida do ângulo central da figura é 1 rad.

Como o comprimento de uma circunferência de raio R é sempre 2R, concluímos que o arco de

uma circunferência completa tem medida igual a 2 rad, pois o comprimento do raio é o comprimento do radiano. Assim, podemos estabelecer a correspondência entre a unidade radiano e a unidade grau:

2 rad = 360º ou rad = 180º A partir das igualdades acima, podemos converter medidas de um sistema para outro, através de uma regra de três simples. "Converter 30º a radianos." graus radianos

180 ------------- 30 --------------- x

Portanto: 30º = rad6

π

Para converter radianos a grau, é mais simples substituir por 180º. Exemplo:

Converter rad6

5π a graus.

Teremos: 000

1505.306

5.180

6

5π


86



Trigonometria no Triângulo Retângulo

Consideremos então um triângulo retângulo; onde são seus ângulos agudos e sejam a, b e c as medidas da hipotenusa e dos dois catetos, respectivamente: Neste triângulo, temos: a: hipotenusa;

b: cateto oposto a ;

c: cateto adjacente a . Utilizando todos estes elementos, podemos escrever:

α cos

αsen α tg

,adjacente cateto

oposto cateto

a

bα tg

,hipotenusa

adjacente cateto

a

cα cos

,hipotenusa

oposto cateto

a

bαsen

OBSERVAÇÃO

Observe que se + = 90º então; sen = cos e vice-versa Exemplo Consideremos o triângulo retângulo seguinte:

3

4

AB

BC

adjacente Cateto

oposto Cateto α Tg

5

3

AC

AB

hipotenusa

adjacente Cateto α Cos

5

4oposto Cateto Sen

AC

BC

hipotenusa

Temos:


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SISTEMA CIRCULAR DE UNIDADES

ANGULARES

O ângulo central possui medida 1 rad (um radiano) quando o comprimento do arco subentendido é igual ao raio do círculo

No caso geral em que o ângulo central de

medida radianos subentende um arco de comprimento num círculo de raio R, tem-se:

Rα

Conversão do sistema circular para o sistema sexagesimal: º180rad

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

- O raio do círculo trigonométrico é a unidade de comprimento.

- Os diâmetros perpendiculares AA’ e BB’ dividem o círculo em 4 quadrantes: I, II, III e IV.

- Os ângulos marcados no círculo trigonométrico são ângulos centrais, sendo o ponto A a origem do arco subentendido.

- Sentido positivo: anti-horário.

ARCOS CÔNGRUOS

No círculo trigonométrico, os arcos a e b são côngruos quando possuem a mesma extremidade. Os arcos a e b são côngruos se e somente se

k2ba , k ℤ


88



SENO E COSSENO NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

MPxsen

OPxcos

No triângulo OMP: 1xcosxsen 22 Sinal do seno: positivo nos quadrantes I e II; negativo nos quadrantes III e IV.

Sinal do cosseno: positivo nos quadrantes I e IV; negativo nos quadrantes II e III.

TANGENTE E SECANTE NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

Sendo 2

kx

, k ℤ, tem-se:

xcos

xsenATxtg

xcos

1OTxsec

No triângulo OAT: xtg1xsec 22

COTANGENTE E COSSECANTE NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

Sendo kx , k ℤ, tem-se:

xtg

1BSxgcot

xsen

1OSxseccos

No triângulo OBS: xgcot1xseccos 22

ARCOS COMPLEMENTARES

Se 2

yx

, então

ysenxcos

ycosxsen


89



ARCOS SUPLEMENTARES

Se yx , então

ycosxcos

ysenxsen

ADIÇÃO DE ARCOS

Linhas trigonométricas do arco soma e do arco diferença:

acosbsenbcosasen)ba(sen

acosbsenbcosasen)ba(sen

bsenasenbcosacos)ba(cos

bsenasenbcosacos)ba(cos

btgatg1

btgatg)ba(tg

btgatg1

btgatg)ba(tg

Linhas trigonométricas do arco duplo:

acosasen2a2sen

asen21

1acos2

asenacosa2cos

2

2

22

atg1

atg2a2tg

2

Observação: A aplicação conveniente das fórmulas do arco duplo )a2(cos e )a2tg( permite

calcular as linhas trigonométricas do arco metade.

FUNÇÃO PERIÓDICA

Uma função real f é periódica, quando existe um número real p tal que )x(f)px(f , qualquer que seja x pertencente ao domínio da função.

O menor valor positivo de p que satisfaz à sentença acima é o período da função. Propriedades das funções periódicas:

- Se f(x) possui período p , então f(kx) possui período igual a |k|

p.

- Se f(x) e g(x) possuem períodos 1p e 2p respectivamente, então a função soma )x(g)x(f e a

função diferença )x(g)x(f possuem período igual ao mínimo múltiplo comum entre 1p e 2p .


90



FUNÇÃO SENO

Domínio: ℝ Conjunto imagem: [-1; 1]

Período: 2

FUNÇÃO COSSENO

Domínio: ℝ Conjunto imagem; [-1,1]

Período: 2

FUNÇÃO TANGENTE


91



Domínio: {x ℝ | 2

kx

, k ℤ}

Conjunto imagem: ℝ

Período:

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Equações da forma sen x = a:

kx0xsen , k ℤ.

2k2x1xsen

, k ℤ.

2k2x1xsen

, k ℤ.

0ae1a1,axsen

k)1(kx , k ℤ.

Equações da forma cos x = a:

2kx0xcos

, k ℤ.

k2x1xcos , k ℤ.

k2x1xcos , k ℤ.

0ae1a1,axcos

k2x , k ℤ.

Equações da forma tg x = a:

Sendo a ℝ, tem-se:

kxaxtg , k ℤ.


92



Equações da forma sen a = sen b:

bsenasen

k2baouk2ba , k ℤ.

Equações da forma cos a = cos b:

bcosacos

k2baouk2ba , k ℤ.

Equações da forma tg a = tg b:

btgatg

kba , k ℤ.

Restrição: 2

kbe2

ka

, k ℤ.

LEI DOS COSSENOS

Sendo A, B e C as medidas dos ângulos opostos, respectivamente, aos lados a, b e c de um triângulo qualquer, tem-se:

Ccosab2bac

Bcosac2cab

Acosbc2cba

222

222

222


93



LEI DOS SENOS

Sendo R o raio do círculo circunscrito ao triângulo cujos ângulos A, B e C são respectivamente opostos aos lados a, b e c, tem-se:

R2Csen

c

Bsen

b

Asen

a


94



Aritmética Máximo Divisor Comum Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. CÁLCULO DO M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5 O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18. Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18)


95



2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais números são primos entre si quando o máximodivisor comum desses números é 1. Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7. PROPRIEDADE DO M.D.C. Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6 = 2 x 3 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. Mínimo Múltiplo Comum MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ... Observações importantes:


96



1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. CÁLCULO DO M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5 O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 . Portanto m.d.c.(36,90) = 18. Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.


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CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18) 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1. Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7. PROPRIEDADE DO M.D.C. Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6 = 2 x 3 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. Mínimo Múltiplo Comum MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.


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Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ... Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. CÁLCULO DO M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.


99



PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

PROPRIEDADE DO M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados. Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números. Grandezas - Introdução Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo: Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.


100



Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos) Produção (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5 min ----> 100Kg 10 min ----> 200Kg Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5 min ----> 100Kg 15 min ----> 300Kg Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s)

5 200

8 125

10 100

16 62,5

20 50


101



Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/s ----> 200s 10 m/s ----> 100s Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s ----> 200s 20 m/s ----> 50s Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00


102



O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos: Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

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