PROGRAMA INTEGRADO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA - PIC

PERÍODO DE AGOSTO/2013 A JULHO/2014

RELATÓRIO FINAL DE ATIVIDADES

AUTONOMIA E LIBERDADE: CONFLUÊNCIAS ENTRE A MATEMÁTICA DE DESCARTES

E AS IDÉIAS LIBERTÁRIAS DE PAULO FREIRE E UBIRATAN D’AMBRÓSIO

Aluno: Priscila de Moraes – RA: 12249983

Faculdade de Matemática – CEATEC

primoraessampra@hotmail.com

Orientador: Prof. Dr. Tadeu Fernandes de Carvalho RU: 780588

Faculdade de Matemática – CEATEC

tadeu_fc@puc-campinas.edu.br

GPLM^LM - Grupo de Pesquisa em Lógica

Matemática e Linguagem da Matemática

Linha de pesquisa: Lógica, linguagem matemática e formação profissional

Centro de Ciências Exatas, Ambientais e de Tecnologias – CEATEC - PUC-Campinas

Modalidade: ( x ) PIBIC/CNPq ( ) FAPIC/Reitoria

( ) FAPESP ( ) Outra Agência: _____________

Campinas, 10 de agosto de 2014

OBJETIVOS

Cumprimos os objetivos traçados: conhecer e descrever, de forma ordenada e

rigorosa, aspectos matemáticos fundamentais que embasam as opções de

Descartes para unir a Álgebra e a Geometria Euclidiana; descrever e refletir

sobre a presença da Álgebra Linear no Ensino Médio e no Ensino Superior do

Brasil, nos dias de hoje e promover uma reflexão sobre o desempenho dos

estudantes brasileiros do Ensino Médio e do Ensino Superior em questões

específicas da área.

METODOLOGIA

Seguimos o processo proposto, de leitura da obra O Método, em particular, da

Geometria, com destaque para suas próprias justificativas. Também lemos e

discutimos artigos científicos sobre o assunto, obtidos de buscas bibliográficas

acompanhadas e supervisionadas pelo orientador.

Analisamos, ainda, para inclusão na pesquisa, resultados do GPLM^LM sobre

a presença da Álgebra Linear no Ensino Médio e no Ensino Superior do Brasil,

informações dos Parâmetros Curriculares, artigos e revistas, entre outros,

associados aos resultados das avaliações de cursos ENEM e ENADE.

PROCEDIMENTOS E RESULTADOS ALCANÇADOS

1. Estudamos e avaliamos obras e ideias de Descartes, afins com o foco do

problema, como A geometria, bem como promovemos a leitura crítica de

artigos científicos atualizados, destacando aspectos matemáticos da Geometria

Analítica.

2. Promovemos leituras de artigos, revistas científicas e de divulgação,

consultas a sítios especializados da Internet, aos Parâmetros Curriculares e

outras fontes tratando da presença da Geometria Analítica na Educação

Brasileira.

3. Promovemos a análise e interpretação de resultados particulares das duas

últimas provas do ENEM e duas últimas do ENADE.

ARTIGO: Os resultados alcançados foram trabalhados na forma de artigo, em

trabalho bastante amplo, organizado em trabalho integrado com nosso

orientador. Daí será extraído um artigo para encaminhamento a uma Revista

indexada. Vamos, na sequência, apresentar o texto completo.

AUTONOMIA E LIBERDADE: CONFLUÊNCIAS ENTRE A MATEMÁTICA DE

DESCARTES E AS IDÉIAS LIBERTÁRIAS DE PAULO FREIRE E UBIRATAN

D’AMBRÓSIO

1.INTRODUÇÃO

Poucos cientistas apresentam a vida e a obra tão indissociáveis quanto René

Descartes. Nasceu a 31 de março de 1596 em La Haye- en- Touraine – cidade

distante 300 quilômetros de Paris, que em 1802 passou, em sua homenagem,

a ser chamada La Haye-Descartes e apenas Descartes, após 1969. Era filho

de Joachim Descartes, advogado, juiz e conselheiro no Parlamento de Rennes,

na Bretanha, e de Jeanne Brochard, que faleceu quando Descartes tinha

apenas 1 ano. Descartes foi, a partir de então, criado pela avó materna, Jeanne

Sain. Realizou seus estudos básicos no colégio jesuíta Royal Henry-Le-

Grand, em La Flèche. Escola compatível com as escolas de nível médio do

Brasil, destinada a jovens da corte e de famílias abastadas, foi criada no

reinado de Henrique IV em 1604, tendo como Reitor o Pe. Étienne Charlet.

Sua criação, sob a administração de jesuítas, é considerada um ato de

tolerância com a Igreja Católica, da mesma forma como o fez, no Edito de

Nantes, de 13 de abril de 1598 , ao conceder aos huguenotes, depois de anos

de perseguição religosa.

Descartes, de família abastada e bem educada, que reunia médicos e

advogados, foi matriculado em 1607 no no Colégio de La Flèche, gozando de

alguns privilégios em razão de problemas de saúde que o acometeram na

juventude. Equivocadamente, talvez em razão do hábito forçado de passar

muito tempo na cama, pelas manhãs, não se via naquele menino o seu real

brilho. O certo, porém, é que ali travou os primeiros contatos com a lógica e a

filosofia de Aristóteles nas aulas do Pe. Estevão de Noel, e matemática, como

a geometria de Euclides, através de obras do Pe. Christophorus Clavius ou

Cristóvão Clavio (Bamberg, Alemanha - 1538, Itália, Roma - 1612).

Mesmo tendo se graduado em Direito em 1616, área de formação de seu pai,

pela Universidade de Poitiers, iria se ocupar, verdadeiramente, da Filosofia, da

Lógica, da Física e, principalmente, da Matemática – ciência pela qual nutria

particular interesse.

artésienne, Paris

Fonte: http://www.bookine.net/descartes-bio.htm

2. RENÉ DESCARTES: VIAGENS E ESTUDOS .

Antes de nos aprofundarmos em sua relação com a Geometria Analítica,

teoria que descortinaria para a matemática, novos e até então inimagináveis

rumos, situaremos Descartes na época da Revolução Científica europeia, entre

os séculos XVI e XVII. Conforme Fonseca, Maria de Jesus (2013), no trabalho

Sobrevoando a Filosofia de Descartes: O seu Itinerário Filosófico, Millenium, 45

(junho/dezembro). Pp. 63-101:

Não se pode compreender bem Descartes (1596 - 1650) se não se compreender a

sua época, isto é, se não se contextualizar o filósofo e o seu pensamento no seu

tempo.

.........

Esta época caracteriza-se também pelo desenvolvimento de uma atitude de

Naturalismo, privilegiando-se a Natureza e a sua observação, por contraposição ao

tema predominante na época anterior - o sagrado e a divindade – e com o

consequente desenvolvimento do experimentalismo e de uma nova atitude

experimental e científica. Particular importância neste processo assumem os

Descobrimentos,4 com o alargamento do mundo até então conhecido, o incremento

da atividade comercial e o desenvolvimento das cidades. Esta atitude naturalista e

experimental constituirá a base sobre a qual se edificará a ciência moderna.

Copérnico (1473-1543)5, Tycho Brahe (1546-1601)6, Giordano Bruno (1548-1600)7

e Kepler (1571-1630)8, entre outros, preparam o advento dessa nova ciência: a

Terra não está no centro do Universo heliocentrismo; o universo é infinito; os corpos

celestes movem-se e têm órbitas elípticas. Exatamente o contrário do que afirmava

a ciência medieval de base aristotélica: a Terra estava no centro do Universo; o

Universo era finito e limitado; os planetas e todos os astros eram imóveis. E quando,

com Galileu (1564-1642), se consuma a revolução científica moderna, a Terra não

só se move, como é redonda e não plana como até aí se julgava. Neste sentido,

quer os Descobrimentos, quer a nova ciência que se está a edificar, são

acontecimentos históricos privilegiados, pelas incomensuráveis consequências que

provocaram na segundo o teu parecer e a tua decisão. A natureza bem definida dos

outros seres é refreada por leis por nós prescritas. Tu, pelo contrário, não

constrangido por nenhuma limitação, determiná-la-áspara ti, segundo o teu arbítrio,

a cujo poder te entreguei. (…) Não te fizemos celeste nem terreno, (…) a fim de que

tu, árbitro e soberano artífice de ti mesmo, te plasmasses e te informasses, na

forma que tivesses (…) escolhido. Poderás degenerar até aos seres que são as

bestas, poderás

regenerar-te até às realidades superiores que são divinas, por decisão do teu

ânimo.” (p. 51-53).

..........

Há portanto que desconfiar dos sentidos, pois que, por si só, não são uma fonte

fidedigna de conhecimento, e dar uma

oportunidade à razão como órgão capaz de chegar a conhecimentos verdadeiros.

Ora, para que não mais consideremos como verdadeiro o que, na realidade, é falso,

torna-se crucial a questão do método.

É do método que dependerá o sucesso ou fracasso da tarefa que

empreendemos, é do método que dependerá a verdade ou falsidade do

conhecimento, e, por isso, o método tem de permitir distinguir o verdadeiro do falso.

Daí os muitos tratados de método que nesta altura se escrevem, dos quais vale a

pena destacar o Novum Organum de F. Bacon13 (1561-1626) e o Discurso do

Método 11 Agrippa, De Incertitudine et Vanitate Scientiarium et Artium, o português

Francisco Sanches,

Quod nihil scitur que, antes de Descartes, segue um percurso muito idêntico àquele

que vai ser o percurso cartesiano, e que é tão mal conhecido e tão esquecido, e

Montaigne, Ensaios. O primeiro

proclama a incerteza e vanidade das ciências, o segundo afirma que nada se sabe,

e Montaigne, com o seu radical ceticismo, conclui – o homem nada sabe porque o

homem nada é. René Descartes, Discurso do Método.

Sua proposta, como comprovam seus trabalhos, era bem mais ampla do que a

criação de uma teoria matemárica particular, mas convém entender suas

primeiras motivações, ainda distantes dos rumos que daria a esses trabalhos.

Munido de seus primeiros estudos em La Flèche, livre de limites financeiros e

familiares, decidiu-se por viajar e conhecer alguns países de maior interesse.

Não teve grandes responsabilidades familiares, ao que parece, já que sua

única filha, Francine Descartes, faleceu muito jovem, aos 5 anos. A mãe de sua

filha, Helene Jans, era também sua governanta e não chegaram a se casar.

Fontes como http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm14/Descartes.htm

destacam como Descartes dependeu dessas viagens e dos contatos

decorrentes para desenhar o seu futuro na ciência.

Em 1612, abandonou os estudos no colégio de La Flèche e foi para Paris onde em

1615 e 1616 renovou a amizade colegial com o Padre franciscano Marin Mersenne,

que usou o cartesianismo para combater o ateísmo, e alguns jansenistas, ligados à

chamada lógica de Port-Royal, e durante estes dois anos se dedicaram ao estudo da

matemática, licenciando-se, ainda, Descartes, em Direito no ano de 1616 em

Poitiers, cidade e sede da região de Poitou-charentes na França. Descartes com o

seu espírito curioso e perspicaz, pôs-se à procura de novos conhecimentos, viajando

e acompanhando, com interesse, as experiências que os cientistas estavam

começando a fazer fora dos ambientes universitários.

Sobre a obra Discurso do método, encontramos, por outro lado, em

www.lpm.com.br/site/default.asp?TroncoID=805134&SecaoID=948848&Subsec

aoID=0&Template=../livros/layout_autor.asp&AutorID=062525, que para

Descartes,

O impulso para a viagem, para a aventura, nasce de uma profunda inquietação com

o tipo de ensinamento, com as formas de filosofia e de ciência reinantes naquela

época. Para ele, a filosofia e a ciência estavam esclerosadas, pois tinham como

ponto de referência indubitável e verdadeiro a filosofia escolástica, de cunho tomista-

aristotélico, como se não mais coubesse a pergunta pela verdade de algo, de uma

proposição, mas tão-somente uma disputa sobre a interpretação de "verdades" tidas

por eternas. Resgatar o princípio mesmo da filosofia implicava um pensamento

autônomo, livre de quaisquer amarras, e, sobretudo, livre de toda espécie de

preconceito. Se cada um de nós almeja ter uma idéia verdadeira, devemos

preliminarmente afastar esse tipo de pré-conhecimento, de pré-conceito,

sedimentado no senso comum, impeditivo de que se possa pensar diferentemente.

O senso comum de uma época, qualquer que seja, não é nem pode ser critério de

verdade.

Lembram, ainda, http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm14/Descartes.htm e

Short Account of the History of Mathematics' (4th edition, 1908) by W. W.

Rouse Ball, que estimulado pela tradição e desejo comum a homens de

posição de seu tempo, Descartes, em 1617 segue para a Holanda e se alista

no exército de Maurício de Nassau. Essa decisão o levaria a um encontro

aparentemente casual com o médico holandês Isaac Beeckman, dirigente do

College Dutch em Dort, de quem receberia incentivos para aprofundar seus

estudos em Física e em Matemática. Mantém, ainda, no início da guerra dos

trinta anos, a decisão de servir alguns príncipes alemães, incorporando-se ao

exército do duque Maximiliano I, da Baviera, e ao exército francês de La

Rochelle. Não parece haver clareza histórica sobre a participação efetiva que

teve em ações militares, mas sabe-se que, embora prejudicassem de alguma

forma a execussão de seus trabalhos científicos, não reduziam seu interesse

pelos mesmos:

Na noite do dia 10 de novembro de 1619, em uma cidade próxima de Ulm ou

Neuberg, quando estava em campanha no Danúbio, Descartes teve a intuição da

geometria analítica e de um novo método para a organização de uma filosofia após

ter aproveitado todo o seu tempo de laser no estudo da matemática.

Na primavera de 1621, Descartes renunciou a uma comissão de estudos e durante

os próximos cinco anos dedicou-se exclusivamente ao estudo da matemática pura.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm14/Descartes.htm e W. W. Rouse Ball

ou Ball, W.W.R. (1908) - A Short Account of the History of Mathematics.

London, New York: Macmillan), revelam que em 1626 Descartes mudou-se

para Paris, interessando-se, inicialmente, por aspectos sociais da cidade e

pela construção de objetos óticos. Em 1637 reencontra o Pe. Marin Mersenne,

frade do Convento Mínimo da anunciação, de Paris, cujos objetivos científicos

eram bastante progressistas, estimulando a troca de informações e trabalhos

científicos e a criação de grupos de estudos, do que esperava criar uma

Academia Internacional de Ciências. Descartes apoiava a ideia mas se

mantinha distante da sociedade que, afinal, não foi à frente, em razão da

criação da Sociedade de Ciências de Paris. A indiscrição de Mersenne, porém,

quanto à divulgação de informações sigilosas dos membros dos grupos,

estremeceria sua amizade por um tempo. Mersenne, extremamente despojado

de suas descobertas, não concordava com o comportamento egoísta de outros

cientistas e muitas vezes ultrapassava seus limites na gestão da sociedade.

No caso de Descartes, divulgou trabalhos filosóficos que criariam certa

dificuldade com a Igreja Católica. Convenientemente defendido pelo próprio Pe.

Mersenne, a amizade foi restituida.

Ainda sobre o Pe Mersenne, tratava-se, além de padre, também de um

grande matemático. Suas obras, como sugerem os próprios títulos, guardam

muita afinidade com os temas trabalhados por Descartes:

L'impiété des déistes et des plus subtils libertins découverte et réfutée par raisons de

théologie et de philosophie, 1624

La vérité des sciences contre les sceptiques et les pyrrhoniens, 1625

Euclidis elementorum libri, Apollonii Pergæ conica, Sereni de sectione coni, etc., 1626

Questions theólogiques, physiques, morales et mathématiques, 1634

Questions inouïes, ou récréations des savants, 1634

Les mécaniques de Galilée, 1634

Nouvelles découvertes de Galilée, 1639

Cogitata physico-mathematica, 1644

Universæ geometriæ mixtæque mathematicæ synopsis, 1644

Ainda em Paris, em 1628, Descartes impressionou o Cardeal Pierre de

Bérulle em uma palestra na qual tratou da certeza na ciência, a ponto de o

mesmo sugerir que Descartes desenvolvesse, como viria a ocorrer, seu próprio

sistema filosófico.

Na Holanda ele iniciou, sem concluir, a elaboração do trabalho Regulae ad

directionem ingenii (Regras para a direção do Espírito, com publicação

póstuma em 1701). Escreveu ainda, na Holanda, entre 1629 e 1633, os

tratados Traité de l'Homme (Tratado do Homem) e Le Monde (ou Traité de la

Lumière - Tratado da Luz). Embora a matemática já estivesse presente em

seus primeiros trabalhos, principalmente nas abordagens dos fenômenos

físicos, isso se intensificaria progressivamente em suas obras seguintes. Por

outro lado, sabendo da condenação de Galileu, evitou ou postergou algumas

publicações ligadas a teorias físicas do universo.

Claude Clerselier, consultor do Parlamento francês, rico e interessado em

ciências e sua divulgação, torna-se uma espécie de confidente, discípulo e

editor de algumas obras de Descarte, caso do “Tratado da Luz”, que edita em

1664. Isso estenderia mais sua fama pela Europa, sem saber, porém, que

Clerselier não era de todo confiável, como registra a história.

3. SUAS INTENÇÕES COM O DISCURSO DO MÉTODO.

Sua obra máxima, cujo título traduz bem a sua intenção e da qual falaremos

em detalhes mais à frente, Discours de la méthode pour bien conduire la raizon

et chercher la vérité dans les sciences (Discurso do método para bem conduzir

a razão e procurar a verdade nas ciências), inclui três apêndices, La Dioptrique,

Les Mètéores e Géométrie. Esta foi publicada em Leyden em 1637, tendo

como ponto de partida, a universalidade da razão, a intuição e a dedução, pela

qual podemos descobrir conjuntos de verdades ordenados

racionalmente. Podemos considerar que o método, a razão e a verdade, de

que trata o seu sofisticado discurso filosófico, sejam os mesmos objetos que

aparecem em inúmeros discursos inspirados no contexto do Ensino

Fundamental e do Ensino Médio, particularmente voltados para os processos

de ensino e aprendizagem da Matemática ?

Vejamos parte de uma resenha da obra para expandirmos um pouco

mais nossa compreensão de sua linguagem e de seus objetivos (Fonte:

http://www.ghtc.usp.br/server/Sites-HF/Fabio-Ardito/).

O Discurso do Método

Como já dito anteriormente, o "Discurso do Método" é apenas a introdução de

uma obra mais vasta, e visa apenas preparar o espírito do leitor para o que vem a

seguir.

O Discurso em si é composto por seis partes, sendo que na primeira ele faz várias

considerações à ciência que estudava até o momento. Na segunda é que ele de

fato enuncia o seu método científico, através de quatro regras básicas. Ele

justifica o seu método na terceira parte e trata de questões metafísicas na quarta.

Na quinta parte, ele faz considerações sobre o seu método na medicina.

Finalmente na sexta parte ele justifica os objetivos da obra.

No presente texto nos interessa apenas mostrar como Descartes caminhou em

direção à reformulação da ciência na idade média, tema contido principalmente

na primeira e segunda partes. A obra como um todo apresenta idéias muito

interessantes, como a célebre frase "Penso, logo existo" contida na quarta parte.

Mas estes temas, principalmente os metafísicos, fugiriam do escopo deste

trabalho, além do espaço e do tempo que seriam necessários para discutí-los

tornarem inviável este feito.

Antes de mostrar o método cartesiano, seria interessante visualizar a filosofia que era ensinada nos colégios

medievais como o colégio jesuíta de La Flèche, onde estudou Descartes. Tais colégios tinham origem na Igreja

Católica, e por isso a essência do ensino filosófico era escolástico. A filosofia escolástica nasceu da necessidade da

Igreja de unir a fé e a razão, de modo que é utilizado o modelo aristotélico para justificar a fé. Deste modo, surgem

na filosofia novos elementos, A Providência e Revelação Divina e Criação que servem justamente o propósito

apresentado.

Porém, como dito, a base é aristotélica. A filosofia de aristóteles é puramente conceitual, mas parte da experiência,

ou de uma hipótese considerada verdadeira (premissa primária), e então as conclusões são tiradas à partir de

dedução através do uso da razão e da lógica. A lógica é, neste caso, utilizada numa série de desencadeamentos, da

seguinte maneira: parte-se de uma verdade óbvia (uma premissa primária), une-se esta a outras verdades e tira-se

conclusões destas pela lógica. Por exemplo:

1ª Premissa: Todo físico é louco

2ª Premissa: Todo louco é engraçado

Conclusão: Todo físico é engraçado.

E esta vai ser a falha criticada por Descartes. A falta de duvidar das premissas, como veremos adiante.

Deste modo, a escolástica é a filosofia aristotélica que admite os elementos da fé cristã como premissas primárias.

Fazia parte dos estudos nos colégios medievais uma disciplina chamada "Retórica", na qual os alunos discutiam

textos clássicos e outros assuntos com o professor, de modo que uma parte defendia uma tese e a outra a atacava.

Tendo posto em perspectiva tais aspectos básicos da filosofia pré-cartesiana, gostaria agora de enumerar algumas

razões que fizeram com que Descartes se sentisse insatisfeito com a ciência de seu tempo, mostrando algumas

afirmações feitas por ele próprio em seu discurso. Após a apresentação dessas razões ficará mais fácil e clara a

compreensão das quatro regras básicas enunciadas por ele em seu método. Em primeiro lugar, fica evidente que

Descartes teve contato com a prática da Retórica e da filosofia escolástica durante os oito anos em que esteve em

La Flèche. No seu discurso é possível encontrar vários trechos em que critica o ensino que recebeu, e mostra

descontentamento com o modo como era praticada a ciência em seu tempo. Talvez o trecho mais marcante que

evidencia essa tese seja o seguinte:

"Fui nutrido das letras desde a infância, e por haver me persuadido de que, por meio delas, se podia adquirir um

conhecimento claro e seguro de tudo o que é útil à vida, sentia extraordinário desejo de aprendê-las. Mas, logo que

acabei todo esse curso de estudos, ao cabo do qual se costuma ser recebido na classe dos doutos, mudei

inteiramente de opinião."

Este parágrafo mostra com bastante clareza uma certa decepção do autor com relação à sua formação. Um pouco

mais adiante, ainda na primeira parte, encontramos críticas em relação à filosofia, como segue.

"Da Filosofia nada direi, senão que (...) nela não se encontra ainda uma só coisa sobre a qual não se dispute, e por

conseguinte que não seja duvidosa, eu não alimentava qualquer presunção de acertar melhor do que os outros; e

que, considerando quantas opiniões diversas, sustentadas por homens doutos, pode haver sobre a mesma matéria,

sem que jamais possa existir mais de uma que seja verdadeira, reputava quase como falso tudo quanto era somente

verossímil."

Talvez essa seja a crítica mais dura que ele fez sobre a filosofia no discurso. Ela vai diretamente de encontro ao ideal

que existia na época, em que temas eram debatidos, mas sem necessariamente levar à verdade devido ao

desencadeamento lógico que era utilizado, e pela falta de questionamento das premissas. Alguns filósofos da

antiguidade já criticavam apenas o uso da razão e da lógica para se alcançar a verdade.

Outro ponto importante nas considerações iniciais de Descartes dizem respeito à matemática, a qual segundo ele,

era capaz de trazer certeza através de suas demonstrações, como afirma na passagem:

"Comprazia-me sobretudo com as Matemáticas, por causa da certeza e da evidência de suas razões; mas não

notava ainda seu verdadeiro emprego, e, pensando que serviam apenas às artes mecânicas, espantava-me de que,

sendo seus fundamentos tão firmes e tão sólidos, não se tivesse edificado sobre elas nada de mais elevado."

É possível observar nesse parágrafo a intensão de Decartes de fazer um método que trouxesse com ele a certeza

das deduções matemáticas, nas quais parte-se de conhecimentos básicos e pode-se demonstrar coisas mais

complexas à partir delas. Mas, mesmo assim, ele também não se sente satisfeito com a matemática da época. Já na

segunda parte, pouco antes de enunciar o seu método, escreve:

"Depois, com respeito à Análise dos Atigos e à Álgebra dos modernos, além de se estenderem apenas a matérias

muito abstratas, e de não parecerem de nenhum uso, a primeira permanece sempre tão adstrita à consideração das

figuras, que não pode exercitar o entendimento sem fatigar muito a imaginação; e esteve-se de tal forma sujeito na

segunda, a certas regras, que se fez dela uma arte confusa e obscura que embaraça o espírito, em lugar de uma

ciência que o cultiva."

De fato, a geometria pura na qual se concebe apenas as figuras e suas dimensões parece pouco aplicável, enquanto

que a álgebra medieval era um tanto confusa, principalmente por causa da notação que era usada. Descartes, fez

duas coisas importantíssimas e que mudou o modo como a ciência, principalmente a física e a matemática,

seguiriam adiante. A primeira delas foi tão simples quanto genial. Ele introduziu uma nova notação para a álgebra,

ainda hoje utilizada, que consiste em nomear as quantidades conhecidas com as primeiras letras do alfabeto

(a,b,c,...) e as incógnitas com as últimas (...,x,y,z). A segunda mudança não é nada trivial, e é o tema de sua obra "La

Geometrie" na qual ele usa a álgebra para descrever figuras, através do que hoje se chama "plano cartesiano" e a

essa geometria hoje chamamos de "geometria analítica". Isso levou a física de um estado qualitativo para um

quantitativo, além de proporcionar o desenvolvimento do cálculo diferencial por Newton e Leibniz. O fato mais

notável e curioso sobre o assunto, é que o livro "La Geometrie" foi feito apenas para demonstrar o poder do

método que Descartes havia acabado de conceber. Voltando ao Discurso do Método, podemos ter uma noção do

método que Descartes irá propor. Trata-se de um método sistemático e que se parece muito com o que é utilizado

para se fazer deduções matemáticas. Ele o enunciou na forma de quatro passos, como a seguir:

"O primeiro era de jamais acolher alguma coisa como verdadeira que eu não conhecesse evidentemente como

tal, isto é, de evitar cuidadosamente a precipitação e a prevenção, e de nada incluir em meus juízos que não

se apresente tão clara e tão distintamente a meu espírito, que eu não tivesse nenhuma ocasião de pô-lo em

dúvida.

O segundo, o de dividir cada uma das dificuldades que eu examinasse em tantas parcelas quantas possíveis e

quantas necessárias fossem para melhor resolvê-las.

O terceiro, o de conduzir por ordem meus pensamentos, começando pelos objetos mais simples e mais fáceis

de conhecer, para subir, pouco a pouco, como por degraus, até o conhecimento dos mais compostos, e

supondo uma ordem entre os que não se procedem naturalmente uns aos outros.

E o último, o de fazer em toda parte enumerações tão completas e revisões tão gerais, que eu tivesse a

certeza d nada omitir. "

Os quatro passos consistem, então, em reconhecer algumas informações que se julgam verdadeiras, ou seja,

que não sejam passíveis de nenhuma dúvida; ainda mais: deve-se questionar tudo, e partir daquilo que não

corresponde a nenhuma dúvida. Em seguida, divide-se o problema em várias partes menores, a fim de

simplificá-lo, o que leva ao próximo passo, que é iniciar o entendimento pelas partes mais simples e extendê-

las aos poucos para o resto. Por fim, deve-se enumerar as conclusões e cuidar para que sejam amplas e que

não omitam nenhuma parte do problema.

Os passos propostos por Descartes são conhecidos como as operações básicas da mente humana, e são eles:

a indução, a dedução e a enumeração.

A primeira é a capacidade de captar verdades mínimas. A dedução trata de agrupar resultados e tirar

conclusões e a enumeração faz a revisão e reelaboração de conceitos.

Mas, a grande diferença entre o pensamento cartesiano e aristotélico é que o primeiro consiste

simplesmente em duvidar de tudo, que é o primeiro passo. Já a filosofia clássica e a escolástica acreditam que

as coisas existem porque precisam existir, e não duvidam, como Descartes fez, da existência. Ainda mais,

segundo Descartes, apenas o ato de duvidar é indubtável, porque se não fosse, alguém que não duvida não

pensaria e se não pensa, não existe. A máxima "Penso, logo existo", que justifica a sentença anterior é

encontrada na quarta parte do discurso, e sua discussão não cabe a nosso propósito.

Sua filosofia foi a base da ciência dali adiante, até que Newton a reformulou na segunda metade do século

XVII. E, como supra-citado, a geometria analítica continua viva até hoje com poucas alterações, embora já não

se use mais o texto original.

Mesmo reduzindo nossas intenções sobre Descartes ao plano do ensino

e da aprendizagem de conceitos matemáticos básicos, conhecê-lo mais

profundamente poderá nos fazer entender melhor muitos de seus aspectos

lógicos e filosóficos que ignoramos.

Voltando aos estudos de Descartes, o que se sabe é que, mesmo

optando por um trabalho científico solo, sem jamais ter sido um acadêmico no

sentido exato da palavra, tornou-se respeitado por suas posições e produções

científicas. Mas que posições defendia e de onde vinha sua credibilidade?

Sobrevoando a Filosofia de Descartes: O seu Itinerário Filosófico, Millenium, 45

(junho/dezembro), Pp. 63-101, mostra com clareza como via sua época, o que

herdara do passado, principalmente do passado grego, e o que devia ser

corrigido e transformado para o avanço da Matemática:

Se toda a filosofia posterior se torna inteligível porque se situa e se posiciona

relativamente a Descartes, a filosofia cartesiana, ela própria, com as profundas

novidades que traz, arrisca-se a ser olhada apenas como mais um estranho modo

de ver a realidade se não for perspetivada a partir das também profundas mudanças

que ocorrem e que caracterizam a sua época. De facto, como perceber o que é e em

que consiste a chamada “revolução cartesiana” e qual o seu alcance? E como

perceber verdadeiramente o significado da expressão “primeiro filósofo moderno”

aplicada a Descartes? Se assim é, então que época é esta? Que é que a caracteriza

como época distinta das anteriores? Quais são as grandes modificações que

ocorrem e quais são as profundas novidades que essas transformações acarretam e

implicam ?

..........

Galileu (1564-1642) e Descartes (1596-1650) serão os grandes destruidores dos

antigos dogmas e, ao mesmo tempo, os grandes reconstrutores; ambos

empreendem a tarefa de construção do novo conhecimento e de uma nova imagem

do mundo, sendo, por isso, considerados ambos cofundadores da ciência moderna.

(p.65)

Sem dúvida, situa lado a lado dois dos maiores responsáveis pelas

grandes transformações científicas da época, que abririam caminho para uma

nova era na filosofia e, principalmente, na Matemática e na Física:

E se, pelos vistos, até agora mais não fizemos senão enganarmo-nos, doravante não queremos mais enganar-nos. Por isso, o melhor é recomeçar tudo de novo, do zero e como se fosse a primeira vez, fazendo tábua rasa de tudo o que até agora pensávamos saber. E se até agora nos enganámos foi porque confiámos nos sentidos, porque guiámos os nossos passos por processos duvidosos. Há portanto que desconfiar dos sentidos, pois que, por si só, não são uma fonte fidedigna de conhecimento, e dar uma oportunidade à razão como órgão capaz de chegar a conhecimentos verdadeiros. Ora, para que não mais consideremos como verdadeiro o que, na realidade, é falso, torna-se crucial a questão do método. É do método que dependerá o sucesso ou fracasso da tarefa que empreendemos, é do método que

dependerá a verdade ou falsidade do conhecimento, e, por isso, o método tem de permitir distinguir o verdadeiro do falso (p.68),

Sua intenção foi mesmo tratar do conhecimento em todas as suas

dimensões, em particular, do conhecimento situado nos primeiros degraus da

formação básica, pelo qual todos devem passar. Ele próprio vivenciou esta

realidade, na qual a Matemática se coloca como uma das pedras

fundamentais.

3.1. OS ESTUDOS DE DESCARTES EM LA FLÈCHE

Elementos comuns aos sistemas educacionais do colégio de La Flèche e

aos colégios de Portugal foram estabelecidos pela presença da ordem dos

Jesuitas, que além de aspectos dogmáticos, incluíam, como no caso da Física

e da Matemática, a presença de padres que eram, também, grandes

estudiosos dessas ciências. Em A Educação na Colônia e os Jesuítas:

discutindo alguns mitos, de Luiz Carlos Villalta (* Artigo publicado em: PRADO,

Maria Lígia Coelho; VIDAL, Diana Gonçalves. (Org.), À Margem dos 500 Anos:

reflexões irreverentes. São Paulo: Edusp, 2002, p. 171-184)), podemos ver que

um traço comum era a elitização do ensino, que se estendia ao Ensino

Superior.

A pedagogia escolar jesuítica, de um modo geral, possuía algumas características básicas. Além de envolver estudos e métodos de ensino assentados fundamentalmente na repetição e imitação dos textos clássicos, latinos e gregos; de ser prisioneira da orientação religiosa, contrapondo-se, em parte, ao espírito científico nascente, caracterizava-se por voltar-se para a elite, constituindo-se como um elemento de distinção dessa mesma elite no interior da sociedade, um ornamento para as camadas superiores da sociedade.

Nos colégios jesuíticos e na Universidade de Coimbra, o autor fundamental era Aristóteles. Esse e são Tomás de Aquino constituíam objeto de defesa cautelosa nos colégios, tendo sido recomendado aos mestres, pelo Ratio Studiorum, que se evitasse qualquer suspeita contra as doutrinas dos mesmos.

Como era comum entre o final da Idade Média e os primeiros séculos da

modernidade, ao contrário do que as restrições da Igreja Católica a publicações

contrapondo o sistema heliocêntrico ao sistema geocêntrico poderiam sugerir,

inúmeros clérigos se dedicavam aos estudos da Matemática e da Física. Era o

caso do padre jesuíta Cristóvão Clavius (Bamberg, 1538 — Roma, 1612),

grande estudioso dessas ciências e, também, grande professor e autor:

http://www.jesuites.com/2012/04/clavius/

Entrou para a ordem dos jesuítas em 1555, passando pela Universidade

de Coimbra, em Portugal, estudou teologia no Colégio Romano dos Jesuítas,

em Roma, onde, após 1597, se fixaria pelo restante de sua vida como

professor de matemática .

Em 2012, em comemoração aos 400 anos de sua morte, uma exposição,

iniciada na Itália, passou pelo Brasil, em particular, por colégios jesuítas, pelo

IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada - RJ), PUC-Rio, USP e pelo

Colégio São Francisco Xavier, cujos registros destacam alguns de seus

trabalhos (ver http://www.sanfra.g12.br/default.asp?idiomaId=1&PaginaId=169).

Home / Exposição Cristovão Clavius SJ 400 anos

Exposição Cristovão Clavius SJ 400 anos

O Sanfra sedia, de 03 a 10 de setembro, a exposição 'Cristóvão Clavius', um importante cientista, astrônomo e matemático jesuíta. Em 2012, ano do 4º centenário de sua morte, a exposição pretende visitar diversas instituições acadêmicas e obras jesuítas. A jornada, que iniciou em fevereiro, na Igreja do Gesù em Roma, e que, já no Brasil, passou pelo Rio de Janeiro (PUC, Colégio Santo Inácio e IMPA), está em São Paulo desde o mês de agosto. Após ter passado pela USP e pelo Colégio São Luís é a vez do Sanfra prestigiar o trabalho deste importante cientista jesuíta.

Clavius não criou muitos resultados próprios na Matemática e na Física,

mas foi, além de grande professor, um de seus principais divulgadores. Foi o

primeiro a utilizar o ponto decimal, desenhou relógios solares e um quadrante

para uso em topografia. Produziu a versão dos Elementos de Euclides mais

procurada no século XVII, comentada e completada por teoremas ausentes do

original, e outras obras traduzidas por seu orientando Matteo Ricci (Li Madou)

para o chinês. Sua obra Álgebra foi publicada em 1608, em Roma. Essa teria

sido, também, a grande referência de Descartes para reformular a geometria

de Euclides com base nas propriedades e ordenação da Álgebra.

3.1.1. O DOCUMENTO RATIO ATQUE INSTITUTIO STUDIORUM

SOCIETATIS IESU.

Descartes estudou em um colégio em La Flèche, como foi dito, que

seguia uma nova organização educacional implantada pelos jesuítas, que

ajudaria a transformar o Ensino na Europa e nas colônias portuguesas e

espanholas. Sem se constituir, propriamente, em uma Projeto Pedagógico para

suas instituições, ajudou a moldar ações que se mostrariam eficientes e que

ainda são referência para as escolas atuais.

Collège La Flèche (1695)

Conforme vemos na Introdução de Obras Completas do Pe. Leonel

Franca S.J - O Método Pedagógico dos Jesuítas – O “Ratio Studiorum”

Introdução e Tradução. Rio de Janeiro: Livraria AGIR Editora, 1952, em

O MÉTODO PEDAGÓGICO DOS JESUÍTAS - O “Ratio Studiorum” Padre

Leonel Franca S.J.),

No desenvolvimento da educação moderna o Ratio Studiorum ou Plano de Estudos

da Companhia de Jesus desempenha um papel cuja importância não é permitida

desconhecer ou menosprezar. Historicamente, foi por esse Código de ensino que se

pautaram a organização e a atividade dos numerosos colégios que a Companhia de

Jesus fundou e dirigiu durante cerca de dois séculos, em toda a terra. Ordem

consagrada ao ensino pela Constituição escrita por seu próprio fundador, a

Companhia, onde quer que entrasse a exercer os seus ministérios, instituía logo e

multiplicava rapidamente os seus estabelecimentos de ensino. Em 1750, poucos

anos antes de sua supressão (1773) por Clemente XIV, a Ordem de Inácio dirigia

578 colégios e 150 seminários, ao todo, 728 casas de ensino[1]

. Esta imensa

atividade pedagógica, com a sua incoercível influência e espontânea irradiação

sobre outros colégios e outros sistemas educativos que se iam formando e

desenvolvendo ao seu lado, não pode deixar de oferecer ao historiador da educação

ocidental um interesse de primeira importância. Pedagogicamente, a aplicação

do Ratio foi coroada em toda parte, de um êxito incontestável. Confessam-no todos

os escritores desapaixonados, ainda os menos simpáticos aos jesuítas. E se a

árvore se conhece pelos frutos, aí estão eles numerosos e sazonados, a atestar-lhe

a boa seiva e fecundidade. Não só a obra educativa dos colégios da Companhia foi

um dos fatores mais eficientes da contra-reforma católica, senão também ela se

acha ligada a grande parte da aristocracia intelectual dos últimos séculos. Na

França, S. Francisco de Sales, Corneille, Moliere, Fontenelle, Descartes, Bossuet,

Monstesquieu, Malesherbes, Rousseau, La Condamine, Diderot, Buffon, Langrage,

Richelieu, Conde, Cauchy, Flechier, Fleury, Lamartine, Foch; na Espanha, S. João

da Cruz, Cervantes, Calderón, Lope de Veja, José Zorrila, Rubem Dario, Ramon

Jimenes; na Itália, Tasso, Alfiere, Vico, Goldoni, Segneri, Bartoli, Prospero

Lambertini (Bento XIV); na Bélgica, Justo Lipsio; na Irlanda, O´Connel; em Portugal

e na América Latina, Antonio Vieira, João de Lucena, Baltazar Teles, Zorrilla de S.

Martin, para não lembrar senão estrelas de primeira grandeza, saíram dos Colégios

da Companhia. Estudar, portanto, um sistema pedagógico eu tem em seu abandono

a prova decisiva de uma experiência multissecular não é porventura empreender um

trabalho com a segurança dos resultados mais positivos, com a certeza de deparar

muitos destes elementos da pedagogia perene que mergulha as suas raízes nas

profundezas da própria natureza humana? Quantos problemas agitados pelos

educadores modernos encontrariam, talvez, num principio ou numa sugestão

do Ratio, a inspiração bem-vinda de uma solução feliz? A Historia e a Ciência da

educação tem, portanto, no Plano de Estudos da Companhia de Jesus, um

instrumento de trabalho de primeira necessidade e de incontestáveis vantagens.

Como índice do Ratio , HISTEDBR - Grupo de Estudos e Pesquisas

"História, Sociedade e Educação no Brasil", sugere o proposto por Farrell , que

reformatamos aqui, destacando a Matemática e a Filosofia :

I. A. Regras do Provincial (1-40)

B. Regras do Reitor (1-24)

C. Regras do Prefeito de Estudos Superiores (1-30)

II D. Regras comuns a todos os professores das Faculdades

Superiores (1-20)

E. Regras particulares dos professores das Faculdades

Superiores.

Ea. Professor de Escritura (1-20)

Eb. Professor de Hebreu (1-5)

Ec. Professor de Teologia (1-14)

Ed. Prof. de Teologia Moral (1-10)

F. Regras dos Professores de Filosofia.

Fa. Professor de Filosofia (1-20)

Fb. Professor de Filosofia Moral (1-4)

Fc. Professor de Matemática (1-3)

III G. Regras do Prefeito de Estudos Inferiores (1-50)

H. Regras dos exames escritos (1-10)

I. Normas para a distribuição de prêmios (1-13)

J. Regras comuns aos professores das classes inferiores (1-30)

L. Regras particulares dos professores das classes inferiores

La. Retórica (1-20)

Lb. Humanidades (1-10)

Lc. Gramática Superior (1-10)

Ld. Gramática Média (1-10)

Le. Gramática Inferior (1-9)

IV M. Regras dos estudantes da Companhia (1-11)

N. Regras dos que repetem a Teologia (1-14)

O. Regras do Bedel (1-7)

P. Regras dos estudantes externos (1-15)

IV Q. Regras das Academias

Qa. Regras gerais (1-12)

Qb. Regras do Prefeito (1-15)

Qc. Academia de Teologia e Filosofia (1-11)

Qd. Regras do Prefeito desta Academia (1-4)

Qe. Academia de Retórica e Humanidades (1-7)

Qf. Academia de Gramáticos (1-8)

Com um elenco tão rico de conteúdos, não se estranha que estudantes com

bons recursos materiais, que se submetiam a uma disciplina rigorosa, que

podiam contar com uma sólida estrutura da instituição e um excelente corpo

docente, viessem a se transformar em figuras notáveis das ciências, entre

outras áreas de formação, como foi o caso de Descartes.

Notable people connected with the city[edit]

http://en.wikipedia.org/wiki/La_Fl%C3%A8che

Jean Picard or "Father Picard" (July 21, 1620 - July 12, 1682), astronomer and priest.

Baif Lazarus (1496–1547): diplomat, priest, poet and humanist.

Jacques Bouillault: naturalist and founder of La Flèche Zoo in 1946.

Jean de Beaugency: first lord of La Flèche.

Jérôme Le Royer, Sieur de La Dauversière (1597–1659): man behind the departure of the

settlers for the foundation of a city on the island of Montreal, "Ville Marie" has since become

Montreal.

Jean-Baptiste Lemire (1867–1945), composer and conductor buried at La Flèche.

Leo Delibes composer, author of Lakmé and Coppélia.

Felix John Bayle (1843–1920), lecturer at the National Prytanée military schools in the city, it

restores and manages the town band. Composer, he wrote such a "cantata Leo Delibes' and

many operas.

René Descartes (1596–1650): Students of the Royal College Henri IV.

Jean-Baptiste Cresset (1709–1777), poet and satirist, professor at the College Henri IV. He left

the Jesuits later.

Louis-Adrien Lusson, architect, designer, born in La Fleche August 4, 1788, he created and

manages the implementation of paintings of the dome of the Little Theatre, which he entrusted

to the painters of the Royal Academy of Music.

David Hume (1711–1776), British philosopher. He wrote in 1737 in La Fleche his Treatise of

human nature.

Mary Pope-Carpantier (1815–1878): organizer of the first kindergartens.

Joseph Gallieni, General of the First World War, a student at Prytanée.

Pierre-Félix Delarue, architect of the Little Theatre in 1839 and the sub-prefecture in 1861. He

also made many castles in the area at that time.

Paul Henri d'Estournelles Balluet Constant (1852–1924): Diplomate, MP, senator, Nobel Peace

Prize in 1909.

Paul Gauthier (1914–2002): theologian and humanist.

Balinec Yan (1928–2009), writer and poet.

Alain Pellegrini (1946 -): Major General.

Marquis de Turbilly: agronomist.

Guillaume Fouquet de la Varenne: Officer and friend of Henry IV.

Anne-Marie Chassaigne, also known as Liane de Pougy: dancer and courtesan of the Belle

Epoque.

Francis Theodore Latouche: former mayor, died in 1861, to whom was erected by public

subscription in 1862, a mausoleum, representing the city of La Flèche mourning the

disappeared. This monument by the sculptor Eugène-Louis Lequesne, is visible in the cemetery

of St. Thomas.

Joseph Sauveur (born in La Fleche in 1653 - died in Paris in 1716): French scientist, inventor of

physical acoustics and professor at the College de France.

Michel Virlogeux: architect involved in the completion of the Millau Viaduct.

Adrien Fainsilber, architect of the town hall of La Fleche, was also the architect of the City of

Science and Industry in Paris.

Jean Vilain, born August 3, 1836 in Poitiers, and died April 30, 1863 during the Battle of

Cameron, is a French officer of the Foreign Legion, hero of the Mexican campaign. Student of

Prytanée of La Flèche and Knight of the Legion of Honor. He was appointed patron of the 2006-

2007 cycle of the 4th Battalion of the Special Military School of the Schools of Saint-Cyr-

Coëtquidan, but also patron to promote the 1999 - 2001 Corniche Brutionne of the National

Military Prytanée.

As descobertas de Descartes, Fermat e Galileu, e as de seus

sucessores, como Newton e Leibniz, promoveriam enormes transformações

nos conteúdos de Matemática e de Física do equivalente ao Ensino Básico

e ao Ensino Superior atuais. A Geometria Analítica esteve no centro dessas

transformações.

3.2. A GEOMETRIA ANALÍTICA – SUA PRESENÇA NO DISCURSO DO

MÉTODO.

A partir de sua proposta racionalista, Descartes, conforme Struik: A Concise

History of Mathematics: The Seventeenth Century, cria a sua Geometria

Analítica como um dos três apêndices do Discurso do Método. Sua motivação

era a tentativa de encontrar um modelo de raciocínio aplicável a todas as

ciências. Assim,

Descartes escreveu a Geometria como uma aplicação do seu método geral de

unificação racionalista do saber. É neste contexto que surge o projeto de unir a

Álgebra com a Geometria.(...)

A publicação de La Géométrie (1637), de Descartes, colocou todo o campo da

geometria clássica no domínio de ação dos algebristas. (Struik 1997, p. 162).

Conforme Davide Crippa, Scientiae Studia, Print version ISSN 1678-3166 -

Sci. stud. vol.8 no.4 São Paulo Dec. 2010, A solução cartesiana da

quadratura do círculo,

Durante a primeira metade do século xvii, o problema de saber se a quadratura do

círculo é possível - isto é, se é possível construir, com métodos geométricos, um

quadrado com área igual à de um círculo dado - permaneceu um problema aberto na

agenda dos matemáticos (cf. Mancosu, 1996, p. 79).

É talvez surpreendente ver que, em face da prudência mostrada, por exemplo, por

Mersenne,1 a opinião de Descartes quanto à possibilidade da quadratura do círculo é

definitiva. Em uma carta de 1638, ao expor a Mersenne quais são os gêneros de

problemas que devem ser postos fora do âmbito da geometria, ele julga de maneira

categórica que a quadratura do círculo é impossível:

Mas, quanto às questões de geometria que eles vos prometem me propor, as quais

não conseguem solucionar e crêem não poder serem resolvidas pelo meu método,

eu penso que me encontro em uma posição desvantajosa. Com efeito,

primeiramente, é contra o estilo dos geômetras propor aos outros questões que eles

mesmos não podem resolver. Depois, há as que são impossíveis, como a

quadratura do círculo etc., há outras que, embora sejam possíveis, estendem-se,

contudo, para além dos limites que coloquei, não porque exigem outras regras ou

mais espírito, mas porque é preciso mais trabalho (...). Enfim, há as que pertencem

à aritmética e não à geometria, como aquelas de Diofanto (AT, 2, 90-1).2

Ao contrário, a solução cartesiana para a quadratura do círculo mostra, em virtude

de sua quase equivalência com a construção ponto por ponto da quadratura dada

por Clavius, que, nesse último caso, o ponto E (ver a figura 5), intersecção entre

essa curva e a reta AB, não pode ser construído com um número finito de passos

por meio do mesmo procedimento que fornece os pontos C, O, H. Por conseguinte,

esse método, apesar de encontrar um número infinito de pontos da quadratriz, não

encontra, como observa Descartes - e contra a opinião de Clavius -, esse ponto E,

necessário para os efeitos desejados. Daí, portanto, o caráter específico dessa

construção ponto por ponto da quadratura.

A demonstração completa desse teorema pode ser encontrada no

referido artigo. Descartes inicia, aí, o processo de reformulação da geometria,

mantendo a base axiomática de Euclides, mas incorporando a Álgebra à sua

linguagem.

Destacaremos os parágrafos seguintes como uma tradução adaptada do

excelente texto da Stanford Encyclopedia.

O Método é dividida em três livros: os dois primeiros tratando da Geometria Analítica, e

o terceiro inclui uma análise da álgebra em construção. É difícil seguir o raciocínio

adotado por Descartes, mas a obscuridade era intencional. "Je n'ai rien omis."

diz ele, "qu'à dessein ... j'avais prévu que certaines gens qui se vantent de

ssavoir tout n'auroient par manqué de dire que je n'avais rien écrit qu'ils

n'eussent sçu auparavant, si je me fusse rendu assez intelligible pour eux." ( "

Eu não omiti nada " diz ele, de propósito...eu havia previsto que certas pessoas

que se vangloriam de saber tudo não teriam necessidade de dizer que eu não

tinha escrito nada que eles já não soubessem antes, se eu me tivesse tornado

inteligível para eles " ).

O primeiro livro inicia com uma explicação dos princípios da Geometria Analítica, e

contém um discurso sobre um certo problema que foi apresentado por Pappus (o

problema do qual tratamos anteriormente).

No segundo livro, Descartes divide as curvas em duas classes: curvas geométricas e

curvas mecânicas, restringindo sua discussão a curvas geométricas, e não tratando da

teoria de curvas mecânicas.

Pode ser dito também que ele enunciou o teorema, comumente atribuído a Euler, na

relação entre os números de faces, bordas e ângulos de um poliedro:

O número das arestas de um poliedro convexo aumentado de dois é igual à soma

do número das faces e do número dos vértices, ou seja, A + 2 = F + V, onde A, V e

F representam, respectivamente, os números das arestas, vértices e faces.

Podemos, também, enunciar um outro teorema, o qual recebeu o nome do grande

geometra Descartes, como segue:

Quando uma linha rola sobre outra linha sem escorregamento, e se considera uma

posição qualquer, a normal à curva descrita por um ponto fixo da primeira linha passa

pelo ponto de contato das duas linhas consideradas.

O método usado por Descartes para encontrar a tangente ou a normal em

qualquer ponto de uma curva dada, foi exatamente como se segue: ele

determinou o centro e o raio de um círculo que deveria cortar a curva em dois

pontos consecutivos. A tangente em relação ao círculo naquele ponto será a

tangente requerida em relação à curva. Em livros didáticos modernos, é comum

expressar a condição de que dois dos pontos nos quais uma linha reta (como y =

mx + c) corta a curva devem coincidir com determinado ponto: isto nos habilita a

determinar m e c, e a equação da tangente ali determinada. Descartes, entretanto,

não se aventurou a fazê-lo, porém, selecionando um círculo com a curva mais

simples e um do qual ele sabia como desenhar uma tangente, fixou o círculo de

maneira a fazê-lo tocar a dada curva no ponto em questão, e assim restringiu o

problema a desenhar uma tangente em relação a um círculo. Vale a pena

ressaltar que ele somente aplicou esse método a curvas que fossem simétricas

em um eixo, e que tomou o centro do círculo sobre o eixo.

O terceiro livro da Geometria contém uma análise da álgebra da época, e isto alterou a

linguagem adotada, em razão do costume de empregar as letras iniciais do alfabeto

para denotar quantidades conhecidas, e aquelas do final para denotar quantidades

desconhecidas. Mais tarde, Descartes introduziu, talvez pela primeira vez, o sistema

de índices atualmente em uso. Não é certo que Descartes reconhecesse que suas

variáveis pudessem representar qualquer quantidade, positiva ou negativa, e que isso

fosse suficiente para resolver um geral. ... Ele compreendeu o significado das

quantidades negativas e usou-as livremente. Neste livro, ele fez uso da regra para

encontrar o limite do número de raízes positivas e negativas de uma equação

algébrica, que ainda leva o seu nome, e introduziu o método de coeficientes

indeterminados para a solução de equações.

Descartes utilizou, naturalmente, obras de predecessores, entre os quais

Françoise Viète (1540 – 1603), considerado o maior matemático francês do

século XVI, tendo sido grande algebrista. Área que aplicou à trigonometria e à

geometria. E obras de contemporâneos, inclusive do coautor de parte da

Geometria, Pierre de Fermat:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat

Pierre de Fermat

17 de Agosto de 1601 - 12 de Janeiro de 1665

Ainda dessa fonte, observamos que teve oportunidades semelhantes às

de Descartes para educar-se: seu pai, Dominique de Fermat, era um rico

mercador de peles que lhe proporcionou uma educação privilegiada,

inicialmente no mosteiro franciscano de Grandselve e depois na Universidade

de Toulouse. Ingressou o serviço público em 1631. Em 1652 foi promovido a

Juiz Supremo, na Corte Criminal Soberana do Parlamento de Toulouse.

Quanto à sua formação em La Flèche, Descartes deixa claro no Discurso do

Método, em AT VI, 17; CSM I, 119, que encantou-se pela Matemática ao

estudar as obras de Clavius. Chamou-lhe a atenção sua certeza e a

autoevidência de seus raciocínios. As primeiras obras mais importantes de

Clavius que leu devem ter sido a tradução dos Elementos (de Euclides),

Álgebra e Geometria Prática, pois faziam parte do currículo em La Flèche.

3.2.1. A GEOMETRIA

Inspirado no Teorema de Papus, que resolveu a pedido do matemático

holandês Golius, Descartes, em 1637, começou a desenvolver os seus

princípios e sua linguagem no livro I. Suas inovações geométricas já são

evidentes, como se vê na Figura 1:

Figura 4: Um problema de duas linhas - Pappus

Ali são dadas duas retas ( L1 , L2 ), dois ângulos ( θ1 , θ2 ), e uma

proporção β . Designa-se d1 como a a distância entre um ponto

oblíqua P e L1, sendo que P cria o ângulo θ1 com L1 . Por outro lado, d2 é a

distância entre o ponto oblíqua P no plano e L2 . Com isso, P cria o ângulo

θ2 com L2 . O problema é encontrar todos os pontos P tais que d1 : d2 = β , que

ocorrem, como pode ser visto, à direita de L1 e à esquerda de L2.

Devemos observar, sobre seus novos paradigmas geométricos: uma

clara distinção é feita por ele entre a exatidão das formas e a precisão do

formalismo matemático. A interpretação das curvas, do ponto de vista da

exatidão da forma, é tratada do ponto de vista mecânico. A exatidão de

raciocínio é que ele considera fundamental e necesária para sua classificação

como uma curva legítima. Ou seja, a Geometria de Descartes tornou o trabalho

de Clavius e demais matemáticos que o antecederam, desnecessário, já que

não mais precisavam depositar na exatidão das formas, a precisão dos

cálculos.

A importância da Geometria Analítica se refletiria, principalmente, na

resolução de problemas mais complexos. Um exemplo pode ser visto no

“Folium (folha) de Descartes”: curva que leva o seu nome, representada na

figura abaixo, extraída de http://pt.wikipedia.org/wiki/Folium_de_Descartes:

Folium de Descartes para o parâmetro a=1

Trata-se de uma curva representada pela equação

,

com uma assíntota

e simétrica em relação aos eixos x e y, com x = y.

Em sua forma paramétrica, y = px, tem-se as equações

O parâmetro p, que se relaciona com o vetor posição da curva, caracteriza

suas partes:

p < -1: corresponde ao seu braço inferior;

-1 < p < 0: corresponde ao seu braço superior esquerdo;

p > 0: corresponde ao seu laço.

A partir de sua construção algébrica, Descartas, no Livro 2, promove

uma classificação das curvas de acordo com sua complexidade, ou seja, de

acordo com o grau de suas equações correspondentes.

Se a equação [da curva] não contém nenhum termo de maior grau do que o

retângulo [produto] de duas quantidades desconhecidas, ou o quadrado de um, a

curva pertence à primeira e mais simples categoria, que contém apenas o círculo, a

parábola, a hipérbole e a elipse; mas quando a equação contém uma ou mais

condições do terceiro ou quarto grau, com uma ou ambas as quantidades

desconhecidas, ..., a curva pertence à segunda classe; e se a equação contém um

termo do quinto ou sexto grau, em qualquer um ou em ambos os quantidades

desconhecidas, a curva pertence à terceira classe, e assim por diante

indefinidamente (G, 48).

Em http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fermat/geometria_analitica.htm,

vemos:

Pode-se dizer que Descartes e Fermat foram co-fundadores da geometria analítica, contudo,

existem algumas diferenças nas estratégias utilizadas por cada um deles, nomeadamente:

Descartes construiu a sua geometria em torno do difícil problema de Papus.

Descartes começou com o lugar das três e quatro rectas, usando uma das rectas como eixo das abcissas.

Descartes dava mais ênfase à construção de soluções algébricas.

Fermat limitou a sua geometria aos lugares mais simples.

Fermat começou com a equação linear e escolheu um sistema de coordenadas arbitrário sobre o qual a esboçou.

Fermat dava mais ênfase ao esboço de soluções indeterminadas.

A descrição da geometria analítica de Fermat era muito mais sistemática e didáctica

que a de Descartes. Além disso, era mais próxima da actual, pelo facto de tomar o

eixo das ordenadas, como usualmente, perpendicular ao eixo das abcissa (Boyer,

1996).

4. A PRESENÇA DE DESCARTES NA EDUCAÇÃO BRASILEIRA

CONTEMPORÂNEA.

Seguindo conforme proposto nosso projeto, estudamos e descrevemos

com objetividade e dentro do rigor possível, as motivações matemáticas de

Descartes para a criação da Geometria Analítica. Quanto à sua presença na

Educação Brasileira contemporânea, do ENEM e do ENADE, analisamos os

estudos recentes realizados pelos membros do Grupo de Pesquisa em Lógica

Matemática e Linguagem da Matemática – GPLM^LM, do qual fazemos parte,

sob orientação do Prof. Dr. Tadeu Fernandes de Carvalho.

ENADE 2005 ENADE 2008

Q11 – AL– Questão aplicada associando sistemas

lineares à transposição do Rio São Francisco.

Q11 – GA – Questão envolvendo uma aplicação prática

da GA, com uso da equação da parábola.

Q18 – GA – Questão relacionando equação e

propriedades da circunferência.

Q12 – GA – Questão conceitual relacionando a

equação da circunferência à da parábola, incluindo

propriedades de tangência.

Q24 – AL – Questão que explora transformações

lineares no R2.

Q14 – GA e AL – Questão conceitual envolvendo GA e

AL em um exercício explorando inequações lineares.

Q22 – AL – Questão que explora transformações

lineares no plano, destacando os conceitos de

autovalores e de autovetores.

Q23 – AL – Questão conceitual sobre sistemas lineares.

Os resultados falam por si: as notas foram baixas. Da mesma forma como as

notas de 2011 não foram muito diferentes. Estas refletem a fragilidade matemática

com que os estudantes chegam ao Ensino Superior. O ENEM e o PISA, com

resultados também muito abaixo do desejável, mostram como esse quadro precisa ser

alterado sob pena de se tornar crônico. Se pensarmos no que se estudava em La

Flèxe, na época de Descartes, verificamos que os conteúdos programáticos atuais

para a Matemática e a Física são bem estruturados e adequados para uma formação

generalista dos estudantes. O problema é que, ao lado da diversidade cultural e social,

soma-se a formação heterogênea dos estudantes e a desvalorização do magistério, o

que leva à impossibilidade de sua execução satisfatória. E assim os problemas se

agravam cada vez mais. Dois dos mais importantes professores brasileiros, Paulo

Freire e Ubiratan D’Ambrósio, fizeram de suas vidas a luta para o aperfeiçoamento da

Educação Brasileira. O Prof. Paulo Freire faleceu em 1997, mas suas ideias continuam

inspirando estudantes, trabalhadores, educadores e pesquisadores. O Prof. Ubiratan,

criador da Etnomatemática, que já foi docente do Curso de Matemática da PUC-

Campinas, pelo qual nutre grande carinho, segue lutando pela mesma causa.

Brasil - Média

Q11 - 32,3

Q18- 31,5

Q24- 18,4

Brasil - Média

Q11 - 15

Q12 - 21,7

Q14 - 27,1

Q22 - 18,8

Q23 - 21,2

Paulo Freire – síntese biográfica Wikipédia e outras fontes.

Paulo Freire

Nome completo Paulo Reglus Neves Freire

Nascimento 19 de setembro de 1921

Recife, Pernambuco

Morte 2 de maio de 1997 (75 anos)

São Paulo, São Paulo

Nacionalidade brasileiro

Ocupação Educador

Escola/tradição Marxista

Principais interesses Educação

Paulo Reglus Neves Freire (Recife, 19 de setembro de 1921 — São Paulo, 2 de maio de 1997) foi um educador, pedagogista e filósofobrasileiro. É Patrono da Educação Brasileira.

Paulo Freire é considerado um dos pensadores mais notáveis na históriada Pedagogia mundial,

1 tendo influenciado o movimento chamado pedagogia

crítica.

Sua prática didática fundamentava-se na crença de que o educando assimilaria o objeto de estudo fazendo uso de uma prática dialética com a realidade, em contraposição à por ele denominada educação bancária, tecnicista e alienante: o educando criaria sua própria educação, fazendo ele próprio o caminho, e não seguindo um já previamente construído;

libertando-se de chavões alienantes, o educando seguiria e criaria o rumo do seu aprendizado. Destacou-se por seu trabalho na área daeducação popular, voltada tanto para a escolarização como para a formação da consciência política.

Autor de Pedagogia do Oprimido, livro que propõe um método de alfabetização dialético, se diferenciou do "vanguardismo" dos intelectuais de esquerda tradicionais e sempre defendeu o diálogo com as pessoas simples, não só como método, mas como um modo de ser realmente democrático.

Em 13 de abril de 2012 foi sancionada a lei 12.612 que declara o educador Paulo Freire Patrono da Educação Brasileira.

2

Foi o brasileiro mais homenageado da história: ganhou 41 títulos de Doutor Honoris Causa de universidades comoHarvard, Cambridge e Oxford.

3 4 5

Paulo Freire nasceu em 19 de setembro de 1921 em Recife. Filho de Joaquim Temístocles Freire, capitão da Polícia Militar de Pernambuco e de Edeltrudes Neves Freire, Dona Tudinha, Paulo teve uma irmã, Stela, e dois irmãos, Armando e Temístocles.

A irmã Stela foi professora primária do Estado. Armando, funcionário da Prefeitura da Cidade do Recife, abandonou os estudos aos 18 anos, não chegou a concluir o curso ginasial. Temístocles entrou para o Exército. Aos dois, Paulo agradece emocionado, em uma de suas entrevistas a Edson Passetti, pois começaram a trabalhar muito jovens, para ajudar na manutenção da casa e possibilitar que Paulo continuasse estudando.

Sua família fazia parte da classe média, mas Freire vivenciou a pobreza e afome na infância durante a depressão de 1929, uma experiência que o levaria a se preocupar com os mais pobres e o ajudaria a construir seu revolucionáriométodo de alfabetização. Por seu empenho em ensinar os mais pobres, Paulo Freire tornou-se uma inspiração para gerações de professores, especialmente na América Latina e na África.

O talento como escritor o ajudou a conquistar um amplo público de pedagogos, cientistas sociais, teólogos e militantes políticos, quase sempre ligados a partidos de esquerda.

A partir de suas primeiras experiências no Rio Grande do Norte, em 1963, quando ensinou 300 adultos a ler e a escrever em 45 dias, Paulo Freire desenvolveu um método inovador de alfabetização, adotado primeiramente em Pernambuco. Seu projeto educacional estava vinculado ao nacionalismo desenvolvimentista do governo João Goulart.

Na política, integrou o Partido dos Trabalhadores, tendo sido Presidente da 1ª Diretoria Executiva da Fundação Wilson Pinheiro, fundação de apoio partidária instituída pelo PT em 1981 (antecessora da Fundação Perseu Abramo); além de Secretário de Educação da Prefeitura Municipal de São Paulo na gestão petista de Luiza Erundina (1989-1992)

6 .

Primeiros trabalhos

Em 1991 foi fundado em São Paulo o Instituto Paulo Freire, para estender e elaborar as ideias de Freire. O instituto mantém até hoje os arquivos do educador, além de realizar numerosas atividades relacionadas com o legado do pensador e a atuação em temas da educação brasileira e mundial.

Freire morreu de um ataque cardíaco em 2 de maio de 1997, às 6h53, no Hospital Albert Einstein, em São Paulo, devido a complicações em uma operação de desobstrução de artérias.

O Estado Brasileiro, por meio do Ministério da Justiça, no Fórum Mundial de Educação Profissional de 2009, realizado em Brasília, fez o pedido de perdão post mortem à viúva e à família do educador, assumindo o pagamento de "reparação econômica"[4].

A Pedagogia da Libertação[editar | editar código-fonte]

Painel Paulo Freire no CEFORTEPE - Centro de Formação, Tecnologia e Pesquisa Educacional da Secretaria

Municipal de Educação de Campinas-SP

Paulo Freire delineou uma Pedagogia da Libertação, intimamente relacionada com a visão marxista do Terceiro Mundo e das consideradas classes oprimidas na tentativa de elucidá-las e conscientizá-las politicamente. As suas maiores contribuições foram no campo da educação popular para a alfabetização e a conscientização política de jovens e adultos operários, chegando a influenciar em movimentos como os das Comunidades Eclesiais de Base (CEB).

No entanto, a obra de Paulo Freire não se limita a esses campos, tendo eventualmente alcance mais amplo, pelo menos para a tradição de educação marxista, que incorpora o conceito básico de que não existe educação neutra. Segundo a visão de Freire, todo ato de educação é um ato político.

Algumas de suas 0bras:

1959: Educação e atualidade brasileira. Recife: Universidade Federal do Recife, 139p.

(tese de concurso público para a cadeira de História e Filosofia da Educação de Belas

Artes de Pernambuco).

Paulo Freire. Educação como prática da liberdade. Paz e Terra; 2000. ISBN 978-85-

219-0109-9

Paulo Freire; Raul Veloso; Luís Fiori. Educação e conscientização: extensionismo

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1981: Ideologia e educação: reflexões sobre a não neutralidade da educação. Rio de

Janeiro: Paz e Terra.

1982: Sobre educação (Diálogos), Vol. 1. Rio de Janeiro: Paz e Terra ( 3 ed., 1984),

Paulo Freire; Sérgio Guimarães. Aprendendo com a própria história. Editora Paz e

Terra; 2000. ISBN 978-85-219-0371-0

Paulo Freire, Sérgio Guimarães, Moacir Gadotti, Pedagogia: diálogo e conflito,1986,

Cortez Editora Autores Associados

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Paz e Terra, ISBN 978-85-7753-015-1, Ver artigo Pedagogia da Autonomia

Paulo Freire, Pedagogia da indignação: cartas pedagógicas e outros escritos , 2000,

Editora Unesp, ISBN 978-85-7139-291-5

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São Tomé e Príncipe, 2003, Paz e Terra, ISBN 978-85-219-0646-9

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GADOTTI, Moacir. Convite à leitura de Paulo Freire. São Paulo: Scipione, 1989.

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método Paulo Freire. São Paulo: Cortez, 1981, 114 p.

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(Boletim CEDOC, pg.89

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Paulo Kramer. Rio de Janeiro, Paz e Terra, 1981, 167 p.

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EDUC-Ação).

TORRES, Carlos Alberto. Leitura crítica de Paulo Freire. São Paulo: Loyola, 1981.

UBIRATAN D'AMBROSIO

Resumo biográfico adaptado de http://www.cfh.ufsc.br/~aped/ubiratan_d.htm

Nascimento: 8 de dezembro de 1932.

Ubiratan D'Ambrosio: Professor Emérito de Matemática da Universidade Estadual de

Campinas/UNICAMP.

Nascido em São Paulo, em 8/12/32. Bacharel e Licenciado em Matemática pela Faculdade de

Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São Paulo (1954). Doutor em Matemática pela

Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade São Paulo (1963). Pós-doutorado na

Brown University, USA, (1964-65).

Já atuou em: Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática do Instituto de

Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista "Julio de Mesquita

Filho"/UNESP; Professor do Programa de Estudos Pós-Graduados de História da Ciência da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo/PUC; Professor do Programa de Pós-Graduação

em Educação da Pontifícia Universidade Católica de Campinas/PUCCamp; Professor Visitante

no Programa Senior da FURB/Universidade Regional de Blumenau.

Algumas de suas publicações relacionadas com o Ensino e com Políticas Educacionais:

Ethnomathematics, the Nature of Mathematics and Mathematics Education Mathematics,

Education and Philosophy: An International Perspective, ed. by Paul Ernest, The Falmer Press,

London, 1994; Chapter 17, pp. 230-242.

Metodos de Topologia, Editora da FURB, Blumenau, 1994; vii+119 pages.

Globalização e Multiculturalismo, Coleção Fio do Mestrado n.11, Editora da FURB, Blumenau,

1996; 95 páginas.

Educação Matemática. Da Teoria à Prática, Papirus Editora, Campinas, 1996; 121 páginas.

A Era da Consciência, Editora Fundação Peirópolis, São Paulo, 1997; 53 páginas.

Etnomatematica: lo stato dell’arte, lettera matematica PRISTEM, 27-28, marzo-giugno 1998;

pp. 4-12.

Ethnomathematics. The Art or Technique of E372. História da Matemática no Brasil: Uma Visão

Panorâmica até 1950, Saber y Tiempo, vol. 2, n°8, Julio-Deciembre 1999; pp.7-37.

Matemáticas de ontem ou de hoje na educação para o amanhã, Epsilon. Número Monográfico,

S.A.E.M. "Thales", n° 42, volumen 14(3), 1998; pp.551-560.

Prefácio para o livro Educação Matemática. Representação e Construção em Geometria, por

Estela Kaufman Fainguelernt, ArtMed, Porto Alegre, 1999; pp.vii-ix.

Methodological Questions in Studying the History of Mathematics in Colonial Latin America,

Acta historiae rerum naturalium necnon technicarum, vol.3, 1999; pp.139-151.

Sobre a Etnomatemática e Etnociência, que extraímos de entrevista concedida à Folha

de São Paulo:

http://www.folhadirigida.com.br/htmls/Hotsites/Professor_2003/Cad_08/EntUbirant

anDambrosio.htm

Etnociência e Etnomatemática

Em meados da década de 70, propus um programa educacional que denominei Programa

Etnomatemática. Embora o Programa Etnomatemática possa sugerir uma ênfase na

Matemática, esse programa é um estudo da evolução cultural da humanidade no seu sentido

amplo, a partir da dinâmica cultural que se nota nas manifestações matemáticas. Mas que não

se confunda com a Matemática no sentido acadêmico, estruturada como uma disciplina. Sem

dúvida essa Matemática é importante, mas de acordo com o eminente matemático Roger

Penrose, ela representa uma área muito pequena da atividade consciente que é praticada por

uma pequena minoria de seres conscientes, para uma fração muito limitada de sua vida

consciente. O mesmo pode-se dizer sobre a ciência acadêmica em geral.

Em essência, o Programa Etnomatemática é uma proposta de teoria do conhecimento, cujo

nome foi escolhido por razões que serão explicadas mais adiante. Na verdade, poderia

igualmente ser denominado Programa Etnociência. Ao lembrar a etimologia, ciência vem do

latim scio, que significasaber, conhecer, e matemática vem do grego máthema, que significa

ensinamento – portanto, está claro que os Programas Etnomatemática e Etnociência se

complementam. Na verdade, na acepção que proponho, eles se confundem.1

A idéia nasceu da análise de práticas matemáticas em diversos ambientes culturais, porém foi

ampliada para analisar diversas formas de conhecimento, não apenas as teorias e práticas

matemáticas. Embora o nome sugira ênfase na Matemática, esse é um estudo da evolução

cultural da humanidade no seu sentido amplo, a partir da dinâmica cultural que se nota nas

manifestações matemáticas.

O ponto de partida é o exame da história das ciências, das artes e das religiões em várias

culturas. Adotamos um enfoque externalista, o que significa procurar as relações entre o

desenvolvimento das disciplinas científicas, das escolas artísticas ou das doutrinas religiosas e

o contexto sociocultural em que tal desenvolvimento se deu. O programa vai além desse

externalismo, pois aborda também as relações íntimas entre cognição e cultura.

Ao reconhecer que o momento social está na origem do conhecimento, o programa, que é de

natureza holística, procura compatibilizar Cognição, História e Sociologia do Conhecimento e a

Epistemologia Social num enfoque multicultural.

A questão do conhecimento

O enfoque holístico à história do conhecimento consiste essencialmente de uma análise crítica

da geração e produção de conhecimento, da sua organização intelectual e social e da sua

difusão. No enfoque disciplinar, essas análises se fazem desvinculadas, subordinadas a áreas

de conhecimento muitas vezes estanques: ciências da cognição, epistemologia, ciências e

artes, história, política, educação, comunicações.

Considerando que a percepção de fatos é influenciada pelo conhecimento, ao se falar em

história do conhecimento estamos falando da própria história do homem e do seu habitat no

sentido amplo, isto é, da Terra, e mesmo do Cosmos. Mas não há como falar da Terra e do

Cosmos, desligados da visão que o próprio homem criou e tem da Terra e do Cosmos. A

ciência moderna, ao propor "teorias finais", isto é, explicações que se pretendem definitivas

sobre a origem e a evolução das coisas naturais, esbarra numa postura de arrogância.

A proposta é o enfoque transdisciplinar, que substitui a arrogância do pretenso saber absoluto,

que tem como conseqüências inevitáveis os comportamentos incontestados e as soluções

finais, pela humildade da busca incessante, cujas conseqüências são respeito, solidariedade e

cooperação.2

A transdisciplinaridade é, então, um enfoque holístico ao conhecimento que procura levar a

essas conseqüências e se apóia na recuperação das várias dimensões do ser humano para a

compreensão do mundo na sua integralidade.

Lembremos que variantes da postura disciplinar têm sido propostas. As disciplinas dão origem

a métodos específicos para conhecer objetos de estudo bem definidos.

A multidisciplinaridade procura reunir resultados obtidos mediante o enfoque disciplinar. Como

se pratica nos programas de um curso escolar.

A interdisciplinaridade, muito procurada e praticada hoje em dia, sobretudo nas escolas,

transfere métodos de algumas disciplinas para outras, identificando assim novos objetos de

estudo. Já havia sido antecipada em 1699 por Fontenelle, Secretária da Academia de Ciências

de Paris, quando dizia que "Até agora a Academia considera a natureza só por parcelas...

Talvez chegará o momento em que todos esses membros dispersos [as disciplinas] se unirão

em um corpo regular; e se são como se deseja, se juntarão por si mesmas de certa forma."3

A transdisciplinaridade vai além das limitações impostas pelos métodos e objetos de estudos

das disciplinas e das interdisciplinas.

O processo psico-emocional de geração de conhecimentos, que é a essência da criatividade,

pode ser considerado em si um programa de pesquisa, e pode ser categorizado através de

questionamentos como:

1. Como passar de práticas ad hoc a modos de lidar com situações e problemas novos e

a métodos?

2. Como passar de métodos a teorias?

3. Como proceder da teoria à invenção?

Explicitando o que já foi dito acima, essas perguntas envolvem os processos de:

geração e produção de conhecimento;

sua organização intelectual;

sua organização social;

sua difusão.

Tais processos são normalmente tratados de forma isolada, como disciplinas específicas:

ciências da cognição (geração de conhecimento), epistemologia (organização intelectual do

conhecimento), história, política e educação (organização social, institucionalização e difusão

do conhecimento).

O método chamado moderno para se conhecer algo, explicar um fato e um fenômeno baseia-

se no estudo de disciplinas específicas, o que inclui métodos específicos e objetos de estudo

próprios. Esse método pode ser traçado a Descartes. Isso caracteriza o reducionismo. Logo

esse método se mostrou insuficiente e já no século XVII surgiram tentativas de se reunir

conhecimentos e resultados de várias disciplinas para o ataque a um problema. O indivíduo

deve procurar conhecer mais coisas para poder conhecer melhor. As escolas praticam essa

multidisciplinaridade, que hoje está presente em praticamente todos os programas escolares.

Metaforicamente, as disciplinas funcionam como canais de televisão ou programas de

processamento em computadores. É necessário sair de um canal ou fechar um aplicativo para

poder abrir outro. Isso é a multidisciplinaridade. Mas quando se utiliza Windows 95, a grande

inovação é poder trabalhar com vários aplicativos, criando novas possibilidades de criação e

utilização de recursos. A interdisciplinaridade corresponde a isso. Não só justapõe resultados,

mas mescla métodos e, conseqüentemente, identifica novos objetos de estudo.

A interdisciplinaridade teve um bom desenvolvimento no século passado e deu origem a novos

campos de estudo. Surgiram a neurofisiologia, a físico-química e a mecânica quântica.

Inevitavelmente, essas áreas interdisciplinares foram criando métodos próprios e definindo

objetos próprios de estudo. Depois, se tornaram disciplinas em si e passaram a mostrar as

mesmas limitações das disciplinas tradicionais. Surgiram então os especialistas em áreas

interdisciplinares.

É oportuno falarmos de cultura. Há muitos escritos e teorias fortemente ideológicos sobre o que

é cultura. Conceituo cultura como o conjunto de mitos, valores, normas de comportamento e

estilos de conhecimento compartilhados por indivíduos, vivendo num determinado tempo e

espaço.

Ao longo da história, tempo e espaço foram se transformando. A comunicação entre gerações

e o encontro de grupos com culturas diferentes cria uma dinâmica cultural e não podemos

pensar numa cultura estática, congelada em tempo e espaço. Essa dinâmica é lenta e o que

percebemos na exposição mútua de culturas é uma subordinação cultural e algumas vezes até

mesmo destruição de uma das culturas em confronto, ou em alguns casos dá-se a convivência

multicultural. Naturalmente, a convivência multicultural representa um progresso no

comportamento das sociedades, conseguido após violentos conflitos. Agora, não sem

problemas, ganha espaço na educação o multiculturalismo.

Enquanto os instrumentos de observação (aparelhos – artefatos) e de análise (conceitos e

teorias – mentefatos) eram mais limitados, o enfoque interdisciplinar se mostrava satisfatório.

Mas com a sofisticação dos novos instrumentos de observação e de análise, que se

intensificou em meados do século XX, vê-se que o enfoque interdisciplinar se tornou

insuficiente. A ânsia por um conhecimento total, por uma cultura planetária, não poderá ser

satisfeita com as práticas interdisciplinares. Da mesma maneira, o ideal de respeito,

solidariedade e cooperação entre todos os indivíduos e todas as nações não será realizado

somente com a interdisciplinaridade.

Não nego que o conhecimento disciplinar, conseqüentemente o multidisciplinar e o

interdisciplinar, são úteis e importantes, e continuarão a ser ampliados e

cultivados, mas somente poderão conduzir a uma visão plena da realidade se forem

subordinados ao conhecimento transdisciplinar.

A educação está caminhando, rapidamente, em direção a uma educação transdisciplinar.4

* Professor Emérito da Unicamp.

Os trabalhos de Ubiratan D’Ambrósio e de Paulo Freire inspiraram e

continuam inspirando novos trabalhos e novas ações para a recuperação da

Educação Brasileira. Os resultados das provas oficiais, como ENEM, ENADE e

PISA mostram que são necessários e urgentes. Trabalhos do GPLM^LM tem

mostrado, em particular, que o Cálculo Diferencial e Integral, a Álgebra Linear e

a Geometria Analítica, sem distinção, tem levado a resultados muito fracos, que

não sendo revertidos rapidamente, comprometerão de forma desastrosa a

formação de todos os cursos da área de Ciências Exatas.

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Conhecer a vida de Descartes, os seus estudos, seus trabalhos, como

influenciou e foi influenciado por outros pesquisadores, a escola onde estudou

em La fleche, a importância do trabalho dos jesuítas e as obras de Clavius,

permitiram-nos entender como o tempo é mesmo relativo no contexto da

ciência e, principalmente no contexto da Matemática. De fato, a Geometria

Analítica de Descartes, como praticamente todas as teorias matemáticas, traz

as suas inovações mas traz, também, a colaboração, em diferentes

proporções, de Gregos que viveram 2000 anos antes dele. Sem dúvida, a

criação do Cálculo Diferencial e Integral por Newton e Leibniz não teria sido

possível sem o tratamento de funções necessários para o seu

desenvolvimento. Por outro lado, poderá inspirar teorias que ainda não

existem, em qualquer lugar do mundo em que exista alguém pesquisando

sobre Geometria ou Álgebra, ou buscando solução para grandes problemas

que necessitem de seus princípios.

Os trabalhos de Descartes, de Fermat e de tantos outros que viveram

entre os séculos XVI e XIX, principalmente, ajudaram, portanto, a dar forma à

atual Geometria Analítica, uma das mais notáveis teorias já criadas.

Concluimos este trabalho apresentando o conteúdo dessa teoria,

estudada no Ensino Básico e no Ensino Superior.

Geometria Analítica

EMENTA

Vetores no Plano e no Espaço

Retas

Planos

Cônicas

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

O PLANO

Sistemas de coordenadas

Distância entre dois pontos

Vetores no plano

Operações com vetores

Propriedades dos vetores no plano

Produto escalar, propriedades e interpretação geométrica

Ângulo entre vetores, paralelismo e perpendicularismo de vetores

Projeções de vetores

Equações da reta: paramétricas, simétricas, cartesiana, geral, reduzida e segmentária

Ângulo entre retas

Posições relativas entre duas retas

Distância de um ponto a uma reta

Interseções entre duas retas

Equações paramétricas, reduzida e cartesiana da circunferência

CÔNICAS

Elipse

Hipérbole

Parábola

Rotação e translação de eixos

Equação geral do 2º grau

Definição unificada das cônicas

O Espaço

Sistemas de coordenadas

Distância entre dois pontos

Esfera

Vetores no espaço

Operações e propriedades dos vetores no espaço

Produto vetorial e interpretação geométrica

Produto misto e interpretação geométrica

Equações cartesianas e paramétricas do plano

Equações paramétricas da reta

Ângulo: entre dois planos, entre um plano e uma reta e entre duas retas

Posições relativas entre dois planos, entre um plano e uma reta e entre retas

Interseções: de dois planos, de um plano e uma reta e de duas retas

Distâncias: de um ponto a um plano, de um ponto a uma reta e entre retas reversas

REFERÊNCIAS

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http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fermat/geometria_analitica

.htm,

http://www.folhadirigida.com.br/htmls/Hotsites/Professor_2003/Cad_08/EntUbir

antanDambrosio.htm

http://www.universalis.fr/

http://www.sanfra.g12.br/default.asp?idiomaId=1&PaginaId=169

http://en.wikipedia.org/wiki/La_Fl%C3%A8che

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat

CRONOGRAMA Atividades 1º sem/13

2º sem/13 1º sem/14 2º sem/14

1. GPLM^LM - Grupo de Pesquisa em Lógica Matemática e Linguagem da Matemática.

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2. Pesquisa bibliográfica para fundamentação teórica. Participação em evento científico.

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3. Pesquisa, avaliação e leitura discutida e orientada de obras de Descartes, artigos, textos, livros, vídeos, etc. Redação.

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4. Trabalho de Redação. Possível participação em evento científico.

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5. Trabalho de conclusão. Participação em evento científico.

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Participação em eventos científicos – Semana Integrada da PUC-Campinas - 2013

Aluna: Priscila de Moraes – RA 12249983

Faculdade de Matemática - CEATEC - primoraessampa@hotmail.com

Orientador: Tadeu Fernandes de Carvalho – RU 780588

Faculdade de Matemática - CEATEC - tadeu_fc@puc-campinas.edu.br

Pretende-se neste trabalho, estudar aspectos históricos,

lógicos e matemáticos que caracterizam as descobertas

matemáticas de René Descartes (1596 – 1650) na Geometria

e Álgebra, buscando situá-los no atual contexto da Educação

Matemática Brasileira, analisando dados e comentando

resultados dos exames nacionais ENEM e ENADE.

XVIII ENCONTRO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

ISSN 1982-0178

Grupo de Pesquisa em Lógica Matemática e

Linguagem da Matemática: GPLM^LM

GEOMETRIA ANALÍTICA: MOTIVAÇÕES DE DESCARTES E

PRESENÇA NA EDUCAÇÃO BRASILEIRA CONTEMPORÂNEA

PALAVRAS-CHAVE: Descartes; Geometria Analítica; Educação Matemática.

[1] Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira

<http://www.inep.gov.br>

[2] DESCARTES, R A Geometria. Trad. Emídio César de Queiroz Lopes. Lisboa: Editorial

Prometeu, 2001

[3] BRASIL. PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais). Ciências da natureza, matemática e

suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006.

[4] PARRA, B. M. El surgimiento de la geometría analítica. UIA Tijuana, 2009

[5] Souza, Flávio de. O papel da História da Matemática no ensino da Matemática: O que

pensam os pesquisadores atuais.

<https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96614/Flavio_de_Souza.pdf>

[6] FORLIN, Enéias. A Teoria Cartesiana da Verdade. São Paulo: Unijui/Fapesp, 2005.

CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA - MATEMÁTICA

II ENCONTRO DE INICIAÇÃO EM DESENVOLVIMENTO TECNOLÓGICO E INOVAÇÃO DA PUC – CAMPINAS

ISSN 2237-042024 e 25 de Setembro de 2013

TADEU FERNANDES DE CARVALHO IC131633 - AUTONOMIA E LIBERDADE: CONFLUÊNCIAS ENTRE A MATEMÁTICA DE DESCARTES E AS IDÉIAS LIBERTÁRIAS DE PAULO FREIRE E UBIRATAN D’AMBRÓSIO

Código: IC131633

Título do Plano de AUTONOMIA E LIBERDADE: CONFLUÊNCIAS ENTRE A MATEMÁTICA DE

Trabalho de IC: DESCARTES E AS IDÉIAS LIBERTÁRIAS DE PAULO FREIRE E UBIRATAN D’AMBRÓSIO

Aluno: PRISCILA DE MORAES

Faculdade: Faculdade de Matemática

E-mail: priscila.m3@puccampinas.edu.br

Docente: TADEU FERNANDES DE CARVALHO

E-mail: dir.matematica@puc-campinas.edu.br

Grupo de Pesquisa: GPLM^LM - GRUPO DE PESQUISA EM LÓGICA MATEMÁTICA E LINGUAGEM DA MATEMÁTICA

Linha de Pesquisa: LÓGICA, LINGUAGEM MATEMÁTICA E FORMAÇÃO PROFISSIONAL

Centro: CEATEC

Resumo: Foi no ano de 1637 que René Descartes, (1596-1650), matemático e filósofo francês,apresentou sua obra La Géométrie (A Geometria) como último de três ensaios prefaciados pelo “Discurso sobre o Método para Bem Conduzir sua Razão a Procurar a Verdade nas Ciências”. Obra na qual o filósofo e matemático desenvolve uma revolucionária proposta para a resolução de problemas geométricos, justificando, com o auxílio da interpretação algébrica da geometria, aspectos científicos e filosóficos do Discurso do Método. Descartes juntou, nessa não muito extensa, porém revolucionária, obra matemática, a álgebra e a geometria. Não foi um trabalho solitário, é verdade. Nicole Oresme (1323-1382), matemático francês que inventou a coordenada geométrica, inspirou-o na utilização das coordenadas cartesianas. Outros nomes, impulsionados pelos bons ventos que sopravam desde o limiar da Revolução Científica na Europa, como François Viète (1540–1603) e William Oughtred (1574–1633), introduziram novos conhecimentos matemáticos, expandindo a linguagem e a influência da álgebra a novos domínios da ciência. Esses foram alguns dos elementos que estimularam e auxiliaram Descartes a reunir a Álgebra e a Geometria em uma nova teoria matemática, a Geometria Analítica, que desde sua criação se mostrou promissora. Mostrou, pela primeira vez, como se podia representar geometricamente uma curva, inserindo em sua representação elementos que permitiam traduzirsimbolicamente suas propriedades algébricas. O problema proposto é o de estudar e descrever, com objetividade e rigor, as motivações matemáticas de Descartes para acriação da Geometria Analítica e sua presença na Educação Brasileira contemporânea, avaliada a partir de uma análise comparativa de resultados observados nas duas últimas provas de matemática do ENEM e duas últimas provas do ENADE. Suas conclusões se somarão a outras pesquisas afins, já concluídas ou em andamento no Grupo de Pesquisa em Lógica Matemática e Linguagem da Matemática do CEATEC – Centro de Ciências Exatas, Ambientais e de Te

Área-Subárea: Ciências Exatas e da Terra; Engenharias - Matemática

Modalidade: PIBIC/CNPq

Palavras chave: Descartes, Geometria Analítica, Motivações matemáticas

Declarão do orientador, Prof. Tadeu Fernandes de Carvalho

BOLSISTA: Priscila de Moraes RA: 12249983

Título do Plano de Trabalho da Bolsista:

AUTONOMIA E LIBERDADE: CONFLUÊNCIAS ENTRE A MATEMÁTICA DE DESCARTES E AS

IDÉIAS LIBERTÁRIAS DE PAULO FREIRE E UBIRATAN D’AMBRÓSIO

Modalidade: ( X ) PIBIC/CNPq ( ) FAPIC/PUC-Campinas ( ) Outra: FAPESP

ORIENTADOR: Prof. Dr. Tadeu Fernandes de Carvalho

RF: P780588

Título do Projeto de Pesquisa do Orientador: MATEMÁTICA E ENSINO BÁSICO: INDICADORES INTERNACIONAIS E PRESSUPOSTOS PARA A

EXCELÊNCIA

Declaramos, por este, que a acadêmica Priscila de Moraes desempenhou adequadamente, de acordo

com o programado, suas atividades de Iniciação Científica. Consideramos que suas leituras,

discussões realizadas em reuniões do Grupo de Pesquisa e redação do Relatório Final e do Resumo

Expandido, convenientemente revisados, irão ajudá-la na sequência de seus estudos e trabalhos.

Tadeu F. Carvalho

Data: 10/08/2014