Profª Jusciane da Costa e Silva Momento Linear e Colisões.
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Profª Jusciane da Costa e Silva Momento Linear e Colisões
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Profª Jusciane da Costa e Silva
Momento Linear e Colisões
Momento Linear e Colisões
Momento Linear
Colisão de um caminhão (18 rodas) e um carro. Os ocupantes de que carro ficará mais ferido?
O que determina o manejo do taco de bilhar para produzir uma colisão entre as bolas de modo que a bola alvo entre na caçapa?
Essas respostas não pode ser dadas aplicando as Leis de Newton, já que as forças atuantes não pode ser determinadas com exatidão.
considere uma partícula de massa m, como uma aceleração a = dv/dt
“ a segunda lei de Newton afirma que: a força resultante que atua sobre a partícula é igual a derivada em relação ao tempo da grandeza (mv). Essa grandeza é chamada de Quantidade de movimento ou Momento Linear da partícula.”
Momento Linear e Impulso
)( vmdt
d
dt
vdmamF
vmp Direção e sentido coincidem
com o da velocidade.
smkgIS /..
Portanto
Momento Linear e Impulso
dt
“ uma variação rápida no momento linear necessita de uma força grande, enquanto uma variação lenta do momento linear necessita de uma força menor.” Este principio é usado no air bag.
Podemos expressar o momento de uma partícula em termos de suas coordenadas:
Momento Linear e Impulso
Qual a diferença entre p = mv e k = 1/2 mv2 já que ambos depende da massa e da velocidade?
Matemática: o momento é um vetor cujo módulo depende da velocidade escalar, enquanto a energia cinética é uma grandeza escalar proporcional ao quadrado da velocidade escalar.
Física: temos que definir uma grandeza intimamente relacionada com momento linear denominado IMPULSO.
Consideremos uma F resultante atuando sobre uma partícula durante um intervalo de tempo t de t1 e t2. O impulso da força resultante, J, é definido como a força resultante atuante neste intervalo de tempo.
tFttFJ )( 12
Impulso é uma grandeza vetorial, que possui mesma direção da força. S.I: N.s Para verificarmos a utilidade do conceito de impulso, vamos
examinar a 2 lei de Newton em termos de momento linear.
dt
Quando F for constante dp/dt também será.
12
1212
12
12
)(
ppJ
ppttF
tt
ppF
Teorema do Impulso – momento
linear.
Momento Linear e Impulso
Teorema do Impulso – momento linear também é válido quando as forças não são constantes.
dtFJ
pppddtdt
pddtF
t
t
t
t
t
t
t
t
2
1
2
1
2
1
2
1
12
Definição geral de Impulso.
Podemos definir uma força média Fmed, de forma que mesmo quando a FR varia com o tempo, o impulso será
)( 12 ttFJ med
Momento Linear e Impulso
Consideremos um gráfico da força
resultante em função do tempo durante
uma colisão.
O impulso é a área embaixo da curva
no intervalo no dado intervalo de tempo.
Essa área é igual a área do retângulo cuja
base é (t2 – t1) e a altura é Fmed.
O impulso pode ser representado por suas coordenadas.
Momento Linear e Impulso
Comparação entre momento e energia cinética
Diferença fundamental entre momento e energia cinética.
O teorema Impulso-momento linear J = P2 – P1 afirma que as variações do movimento da partícula são produzido pelo impulso, que depende do tempo durante a qual a F atua. No entanto, o teorema trabalho-energia cinética afirma que quando um W é realizado ocorre uma variação na K; o trabalho total depende da distância ao longo da qual a F resultante atua.
Exemplo: Considere uma partícula que parte do repouso no instante t1 de modo que v1 = 0. Seu momento linear inicial é p = 0 e K = 0. Suponha agora que uma FR atua sobre a partícula entre os instantes t1 e t2. Durante esse intervalo a partícula se desloca uma distância d na direção da força. O momento linear da partícula no instante t2 será
O momento linear é igual ao impulso que acelera do repouso à sua velocidade atual.O impulso é igual ao módulo da FR que acelerou a partícula pelo tempo necessário para essa aceleração. Já a energia cinética em t2 é K2 = WT = fd, ou seja, é igual ao WT realizado sobre a partícula para acelerá-lo a partir do repouso.
)( onde 1212 ttFJJJpp med
Exemplo 02: Suponha que você tenha de escolher agarrar uma bola de 0.5 kg que desloca-se com uma velocidade de 4 m/s ou uma bola de 0,1 kg com v = 20 m/s. Qual das duas bolas seria mais fácil agarrar?
Ambas possui o mesmo módulo p = mv = 0,5 . 4 = 0,1 . 20 = 2 kg m/s. Porém a K da bola maior é mais lenta, dada por K = 4 J enquanto K da bola menor é mais veloz, K = 20 J. Como ambas tem o mesmo momento, então as duas precisam do mesmo impulso para pará-la, contudo o W realizado por sua mão para fazer a bola menor pará é 5x maior do que a bola maior, já que a bola menor possui K cinco vezes maior do que a bola maior. Portanto, para uma dada Fmed exercida por sua mão, ela leva o mesmo tempo para fazer as bolas entrarem em repouso, porém o deslocamento de sua mão e do seu braço é cinco vezes maior para agarrar a bola mais leve.
Conservação do Momento Linear
O conceito de momento linear é particularmente importante quando ocorre interação entre dois ou mais corpos.
Fint = a força que uma partícula de um sistema exerce sobre a outra.
Fext = a força exercida por um corpo no exterior do sistema sobre uma parte interna ou sobre algum corpo no interior do sistema.
No caso dos astronautas, a força que o astronauta A exerce sobre o B é FAB e força que B exerce sobre A FBA não existe nenhuma força externa, e dizemos que se trata de um sistema isolado
As forças resultantes de FAB e FBA são
,dt
dt
pdF B
BAA
AB
Os momentos linear de cada partícula varia, porém estas variações
não são independentes. Pela 3 Lei de Newton FAB = -FBA de modo
que FAB+ FBA=0 0.
)(
dt
ppd
dt
pd
dt
pdFF BABABAAB
As taxas das variações do momento também são iguais e contrárias,
de modo que d/dt(pA + pB)= 0.
• Portanto o momento linear total P será
Obtemos finalmente
“a taxa de variação do momento linear total P é igual a zero. Portanto o momento linear total do sistema é constante, embora o momento linear de cada partícula possa variar.”
Quando forças externas estão presentes, deverão ser incluídas na equação acima, neste caso o momento linear total não permanece constante. Porém, quando a soma vetorial das forças externas é igual a zero, o momento total volta a ser conservado.
BA ppP
0.dt
PdFF BAAB
Para um número qualquer de partículas A, B, C,... que interagem apenas mediante a forças internas. O momento total do sistema é
“ a taxa de variação do momento linear total produzida pela soma de cada par de ação e reação das forças internas entre as partículas é igual a zero.”
“quando a soma vetorial das forças externas que atuam sobre um sistema de partícula é igual a zero, o momento linear total do sistema permanece constante” Conservação do momento linear.
Ponto importante é que sua aplicação não depende da natureza detalhada das forças internas entre as partículas do sistema.
Colisão
Uma colisão é uma interação com duração limitada entre dois ou mais corpos.
Bola de bilhar, acidente de carro e meteoro e a terra.
Numa Colisão há troca de momento e energia em conseqüência de sua interação.
Veremos colisões envolvendo apenas dois corpos que estarão livres que qualquer força externa, ou seja, a força externa será menor que as forças envolvidas nas colisões e portanto desprezíveis.
Colisões
O momento linear do sistema é conservado, já que as forças externas resultante são desprezíveis. Momento linear final será igual ao momento linear inicial.
Se a energia total não for alterada pela colisão, então K do sistema é conservada (mesma antes e depois da colisão). Tal colisão é chamada Colisão Elástica. Ex: meteoro e bilhar.
Em colisões do cotidiano, alguma energia é transferida da K para outras formas de energia, como sonora e térmica. Dessa forma a energia total do sistema não se conserva. Tal colisão é chamada de Colisão inelástica. Ex: Colisão de automóveis.
Colisões Inelásticas (1D)
Consideremos dois corpos imediatamente antes e imediatamente depois de sofrerem uma colisão unidimensional. Podemos escrever a lei de conservação do momento linear como
Podemos reescrever como
Se conhecermos as massas e a velocidade inicial, saberemos a velocidade final.
Consideremos dois corpos de massas m1 e m2, onde m1 > m2 e com m2 inicialmente em repouso (v2i = 0).
Nos referiremos ao corpo parado como alvo e ao corpo incidente como projétil. Após a colisão os corpos grudam e
se movem com velocidade V.
Note que V deve ser menor que a velocidade inicial.
Colisões Inelásticas (1D)
Colisão completamente inelástica
Colisões Inelásticas (1D) Demonstrar que a energia K total depois da colisão inelástica é menor do que antes da colisão. As energias K antes e depois da colisão é
a razão entre a energia cinética final e inicial é
O membro direito é sempre menor do que 1 porque o denominador é
sempre maior que o numerador.
Conservação da Energia Mecânica
Exemplo 03: Pêndulo balístico (mede a velocidade da bala).
Conservação do momento
Conservação da Energia
dai
Colisões Elásticas As forças que atuam numa colisão
elástica são forças conservativas. Em uma colisão elástica a energia cinética
de cada corpo pode variar, no entanto a K total não pode variar.
Colisão elástica entre dois corpos A e B. Começamos com uma colisão 1D. Pela conservação do momento
e da energia cinética, temos
Se conhecermos as massas e as velocidades iniciais, podemos encontraras velocidades finais.
Consideremos o caso em que uma das partículas está em repouso B antes da colisão. Aplicando a conservação da energia e momento
Reescrevendo
obtemos
Colisões Elásticas
Massas iguais
Alvo maciço
Projétil maciço
Colisão elástica frontal, o corpo 1 para abruptamente e o 2 segue com a v inicial do corpo 1.
O corpo 1 é rebatido com v inicial e o 2 move-se com a v muito baixa
O corpo 1 continua se mover com v, e o corpo 2 dispara para frente com v aproximadamente o dobro da v inicial da bola 1.
Colisões Elásticas – Alvo móvel
- Examinar a situação na qual dois corpos estão em movimento antes de colidirem elasticamente um no outro.
- A conservação do momento linear
- Conservação do momento
- Usando alguma álgebra
Colisões em Duas Dimensões Quando dois corpos colidem, o impulso entre o mesmos determina
os sentidos que os mesmos seguem após a colisão. Quando a colisão não é frontal, os corpos não seguem ao longo de
seus eixos originais. Para colisões bidimensionais num sistema isolado, o momento
linear deve ser conservado
Se a colisão for elástica, K conserva
Escrevendo o momento em termo de
suas componentes:
Centro de Massa Reformular a Lei de Conservação
em termos do conceito Centro de Massa.
“ Centro de Massa (CM) de um sistema de partícula é o ponto que se move como se ali (1) toda massa do sistema estivesse concentrada e (2) todas as forças externas fosse aplicadas.
Veremos:Localizar o CM em sistema com poucas partículas; Sistemas com o grande número de partículas; Como o CM se move quando forças externas atuam sobre o mesmo.
Centro de MassaSistema de Partículas Consideremos duas partículas de massas m1 e m2 separadas por
uma distância d
Escolhemos a origem de um eixo x que coincidindo com a massa m1
definimos a posição do CM desse sistema de duas partículas como
Centro de Massa
Se m2 = 0, só tem uma partícula, e o CM deve estar na posição desta partícula; xCM = 0.
Se m1 = 0, de novo teremos só uma partícula e xCM = d.
Se m1 = m2, o CM deve está a meia distância entre as duas partículas; xCM = ½ d.
Se m1 e m2 0, então o CM estará entre 0 e d, ou seja, o CM estará em algum lugar entre as duas partículas
Situação mais geral.
Se x1 = 0, então x2 = d.
Centro de Massa
Sistemas de n-partículasConsideremos diversas partículas cujas massas são m1, m2, m3, ...mn.
Suponha que as coordenadas de m1 sejam (x1, y1), as de m2 sejam
(x2,y2) e assim por diante. Definimos o CM como
O vetor posição pode ser escrito como
Centro de MassaCorpos SólidosEm um bastão de beisebol, contém tantas partículas que nos permite
tratá-lo melhor como uma distribuição contínua de massa. As partículas são representadas por elementos de massa dm, e
portanto a soma se transforma em integral
Quando o corpo homogêneo possui um centro geométrico (cubo, circulo), o CM coincide com o centro geométrico.
Quando o corpo possui eixo de simetria (polia) o CM está sempre situado no eixo.
O centro de massa não existe somente na parte maciça do corpo, o CM da rosca está situado exatamente no centro do buraco.
Movimento do Centro de Massa O que ocorre com o CM quando as partículas se movem?
vetorialmente
Representando a soma das massas m1 + m2 + mn = M, temos
“ o momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa.”
Movimento do Centro de Massa
Para um sistema de partículas onde a Fext = 0, o momento é constante, e a velocidade do centro de massa também é constante.
Suponha que você marque o CM de uma chave inglesa, situado em um ponto entre a extremidade e o punho da chave. E a seguir coloque a chave em movimento. Apesar de achar o movimento complicado, verá que o movimento do CM segue em linha reta, como se toda a massa estivesse concentrada neste ponto.
Forças Externas e Movimento CM
Quando a força externa resultante sobre um sistema de partículas não é
igual a zero, então o momento linear não se conserva e a velocidade do
centro de massa deve variar. derivando a última equação, temos
Onde m1a1 é a força que atua sobre a partícula m1 e assim por diante, e
portanto o lado direito é igual a soma de todas as forças externas que atuam
sobre as partículas. Onde o somatório de todas as forças é
Pela terceira lei de Newton todas as forças internas se cancelam aos pares.
Forças Externas e Movimento CM
Só restam as forças externas, portanto
“Quando forças externas atuam sobre um corpo ou sobre um conjunto de partículas, o centro de massa se move exatamente como se toda a massa estivesse concentrada nesse ponto, e estivesse submetida a uma força igual à resultante de todas as forças que atuam sobre o sistema.”
Resultado importante, pois sem ele nós não podíamos representar uma distribuição contínua como algo puntiforme.
Forças Externas e Movimento CM
Suponha um projétil disparado por um canhão esteja descrevendo uma trajetória parabólica. Os fragmentos seguem novas trajetórias parabólicas, porem o CM continua a descrever sua trajetória original, exatamente como se todas a massa estivesse ainda concentrada mo CM.
