Universidade do Algarve

Departamento de Fısica

Problemasde Electricidade e Magnetismo

Orlando Camargo Rodrıguez

Faro, 15 de Fevereiro de 2005

Capa:

Kubische ruimteverdeling

(Divisao cubica do espaco)

por:

M.C. Escher

§1. Carga electrica e Lei de Coulomb

Problema 1. A forca electrostatica entre dois ioes iguais, separados por uma distanciade 5,0×10−10 m, e de 3,7×10−9 N. (a) Qual e a carga em cada iao? (b) Quantos electroesfaltam em cada iao?

Problema 2. Duas cargas fixas, de +1×10−6 C e +3×10−6 C, estao separadas por umadistancia d = 10 cm. (a) Onde e que se pode localizar uma terceira carga, de modo a quea forca resultante sobre ela seja nula? (b) O equilıbrio dessa terceira carga vai ser estavelou instavel?

Problema 3. A carga total de duas pequenas esferas carregadas positivamente e de5×10−5 C. Como esta a carga distribuida entre as duas esferas, sabendo-se que a forca derepulsao entre elas, quando estao separadas de 2 m, e igual a 1 N?

Problema 4. Qual deve ser a distancia entre dois protoes, para que a forca electrica re-pulsiva que neles actua seja igual aos seus proprios pesos, na superfıcie da Terra? (Procureo valor da massa do protao na Tabela de Constantes Fısicas).

Problema 5. No modelo de Bohr o raio do atomo de hidrogenio e 5,29×10−11 m. De-termine: (a) A intensidade da forca electrica que actua no electrao devido ao protao ecompare esse valor com a intensidade da atraccao gravıtica entre as duas cargas. (b) Aaceleracao centrıpeta e a velocidade orbital do electrao.

Problema 6. Duas esferas iguais, de massa m e carga q, estao penduradas por fios deseda de comprimento l, como mostra a Figura No.1. Admita que o angulo θ e tao pequenoque permite fazer a substituicao tan θ ≈ sin θ, sem se cometer um erro apreciavel. Mostreque, dentro desta aproximacao, se tem que

x =

(lq2

2πε0mg

)1/3

,

onde x e a distancia entre os centros das duas esferas. Se l = 120 cm, m = 10 g e x = 5cm, qual e o valor de q?

Figura No.1

1

Problema 7. Duas esferas, de cargas identicas, estao penduradas em fios inextensıveisde comprimento l = 50 cm e cuja massa e desprezavel. Supondo que os fios fazem umangulo de 30 com a vertical e que a massa de cada uma das esferas vale 20 g, calcule ovalor da carga existente em cada esfera.

Problema 8. Duas partıculas com cargas iguais e separadas por uma distancia d =3,2×10−3 m sao largadas do repouso. A aceleracao da primeira partıcula e igual a 7m/s2 e a da segunda 9 m/s2. Se a massa da primeira partıcula for igual a 6,3×10−7 kg,determine: (a) A massa da segunda partıcula. (b) A carga de cada partıcula.

Problema 9. Duas cargas, q1 = +6µC e q2 = +4µC, assentes no eixo X, estao separadaspor uma distancia d= 10 cm. Considere a carga q1 colocada na origem do eixoX. (a) Umaterceira carga q3 = +2µC situa-se entre q1 e q2, num ponto equidistante daquelas duascargas. Determine a forca que e exercida na carga q3. (b) Ao longo do eixo X podedeslocar-se uma outra carga q = -2µC. Em que ponto(s) do eixo e que esta carga deixade ficar sujeita a accao de qualquer forca electrica?

Problema 10. Tres cargas estao dispostas nos vertices de um triangulo equilatero, talcomo indicado na Figura No.2(a). Qual e a direccao e o sentido da forca que age sobre acarga +q?

(a) (b)Figura No.2

Problema 11. Nos vertices de um quadrado de 40 cm de lado estao colocadas cargasidenticas de +3µC. Determine a forca que actua em cada uma das cargas.

§2. Campo electrostatico

Problema 12. Qual o modulo de uma carga electrica pontual, escolhida de modo aproduzir um campo de 2 N/C a distancia de 50 cm?

Problema 13. Localize na Figura No.2(b) o ponto (ou os pontos) onde a intensidadedo campo electrico e nula. Considere a = 50 cm.

Problema 14. Tres cargas identicas q estao colocadas em tres vertices de um quadradode lado l. Calcule o campo electrico no quarto vertice.

2

Problema 15. Um fio metalico, de comprimento l, esta uniformemente carregado comuma carga total q. Determine o campo electrico num ponto P situado ao longo do eixodo fio, a uma distancia a do seu extremo mais proximo.

Problema 16. Um bastao fino de vidro e encurvado de modo a formar um semicırculode raio R. Uma carga +Q esta distribuida uniformemente ao longo da metade superior,e uma carga -Q ao longo da metade inferior, como mostra a Figura No.3(a). Determineo campo electrico E, no centro P do semicırculo.

(a) (b)Figura No.3

Problema 17. Determine o campo electrico, num ponto P , criado por um fio de com-primento infinito e densidade linear de carga λ, a uma distancia r perpendicular ao fio.Qual e a simetria do campo?

Problema 18. Determine o campo electrico E, num ponto P , localizado no eixo de umanel uniformemente carregado, de raio R e carga total Q. O plano do anel e perpendicularao eixo X e o ponto P esta a uma distancia x do centro do anel.

Problema 19. Determine o campo electrico E, num ponto P , localizado no eixo de umdisco uniformemente carregado, de raio R e densidade superficial de carga σ. O plano dodisco e perpendicular ao eixo X e o ponto P esta a uma distancia x do centro do disco.Determine igualmente o campo electrico quando R→∞ (plano infinito).

Problema 20. Campo axial produzido por um dipolo electrico: Para um dipolo consti-tuido por uma par de cargas q e −q, separadas por uma distancia vertical 2a, considereum ponto P colocado a distancia r do centro do dipolo e situado no seu eixo (ver FiguraNo.3(b)).(a) Demonstre que para grandes valores de r a intensidade do campo electrico, em P ,corresponde a

E =1

4πε0

p

r3,

onde p representa o modulo do momento do dipolo (p = 2aqey).(b) Qual a direccao de E?

3

Problema 21. Experiencia de Millikan: No aparelho da Figura No.4 (idealizado porR.A. Millikan) uma pequena gota de oleo carregada, colocada num campo electrico uni-forme E, pode ser equilibrada ajustando-se o valor de E de modo a que a forca electricana gota tenha uma intensidade exactamente igual, e sentido oposto, ao seu peso. O raioda gota e de 1,64×10−4 cm, e o valor de E, na situacao de equilıbrio, de 1,92×105 N/C.(a) Qual a carga da gota em termos da carga do electrao, e? (b) Porque e que Millikannao tentou equilibrar electroes em vez de gotas de oleo? (A densidade do oleo e 0,851g/cm3).

Figura No.4

§3. Movimento de cargas num campo electrico uni-

forme

Problema 22. Existe um campo electrico uniforme no espaco entre duas placas parale-las de cargas opostas. Um electrao parte do repouso, na superfıcie da placa carregadanegativamente, e incide sobre a superfıcie da placa oposta, a 2 cm de distancia, apos1,5×10−8 s. (a) Qual a velocidade desse electrao quando ele incide sobre a segunda placa?(b) Qual e o modulo do campo electrico E?

Problema 23. Um electrao com uma velocidade inicial v0 = v0ex, onde v0 = 8,6×105

m/s, entra numa regiao onde existe um campo electrico uniforme E = E0ex, onde E0 =4,1×103 N/C. Determine: (a) A aceleracao do electrao. (b) O tempo que o electrao levaa parar. (c) A distancia que o electrao percorre ate parar.

Problema 24. Protoes sao projectados com uma velocidade inicial v0 = 9, 55× 103 m/s,numa regiao onde existe um campo electrico uniforme E = -E0ey (ver Figura No.5), ondeE0 = -720 N/C. Os protoes devem atingir um alvo que se encontra a uma distanciahorizontal l = 1,27 mm, do ponto de onde foram projectados. Determine: (a) Os angulosθ que resultam na colisao dos protoes com o alvo. (b) O tempo total de voo para cadatrajectoria.

4

X

Y

l

v0

E

θ

Figura No.5

§4. Potencial electrico

Problema 25. Uma carga pontual q1 = +2µC e colocada na origem do eixo X. Umasegunda carga q2 = -3µC e colocada na posicao x = 100 cm. Em que ponto(s) do eixo Xe que o potencial electrico se anula?

Problema 26. Duas cargas pontuais, q1 = +5nC e q2 = −3nC, estao separadas por umadistancia d = 35 cm. (a) Qual e a energia potencial do sistema constituıdo pelas duascargas? Qual e o significado do sinal algebrico dessa energia potencial? (b) Qual e opotencial electrico no ponto que se situa na linha que une as cargas e que e equidistantedas duas?

Problema 27. Demonstre que o potencial no ponto P da Figura No.6 e nulo.

Figura No.6

Problema 28. Tres cargas q estao colocadas em tres vertices de um quadrado de lado l.Determine o potencial electrico no quarto vertice.

Problema 29. Tres cargas encontram-se nos vertices de um triangulo isosceles, comoindicado na Figura No.7 (a = 2 cm, b = 4 cm). Calcule o potencial electrico no pontomedio da base. Considere que q = 7µC.

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Figura No.7

Problema 30. Duas placas metalicas, iguais e paralelas, com uma densidade superficialde carga +σ e -σ, estao separadas por uma distancia de 50 cm e encontram-se ligadasa uma bateria de 90 V. Supondo que a distancia entre as placas e muito menor do queas dimensoes das mesmas, determine: (a) A intensidade do campo electrico E entre asplacas. (b) A densidade superficial de carga σ.

Problema 31. Qual a diferenca de potencial, ∆ϕ, necessaria para parar um electrao comuma velocidade inicial de 4,2×105 m/s?

Problema 32. Considere dois pontos, P1 e P2, num campo electrico. O potencial em P1

e ϕ1 = -30 V e o potencial em P2 e ϕ2 = +150 V. Determine o trabalho que uma forcaexterna devera realizar para mover uma carga q = -4,7µC de P2 para P1.

Problema 33. A intensidade do campo electrico entre duas placas paralelas carregadas,separadas por 1,8 cm, e 2,4×104 N/C. Determine a diferenca de potencial ∆ϕ entre asplacas. Calcule a energia cinetica Ec, ganha por um protao que se move da placa positivapara a placa negativa.

Problema 34. (a) Calcule a velocidade v de um protao que e acelerado, do repouso, poruma diferenca de potencial ∆ϕ = 120 V. (b) Calcule a velocidade v de um electrao quee acelerado do repouso, pela mesma diferenca de potencial.

Problema 35. Um iao, acelerado por uma diferenca de potencial ∆ϕ = 115 V, sofre umacrescimo de energia cinetica ∆Ec = 7,37×10−7 J. Calcule a carga do iao.

Problema 36. Um electrao, movendo-se paralelamente ao eixo X, tem uma velocidadeinicial v0 = 3,7×106 m/s na origem. A sua velocidade e reduzida para v = 1,4×105 m/sno ponto x = 2 cm. Calcule a diferenca de potencial ∆ϕ entre a origem e este ponto.Qual dos pontos esta a um potencial mais elevado?

Problema 37. Calcule a energia potencial do atomo de hidrogenio, Ep, considerando queo seu electrao se encontra a uma distancia r em relacao ao nucleo do atomo.

Problema 38. Considere um fio uniformemente carregado, de comprimento l e densidadelinear de carga λ. Determine o potencial ϕ, num ponto P a uma distancia a do seu extremomais proximo.

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Problema 39. Determine o potencial ϕ, num ponto P , criado por um fio de compri-mento infinito e densidade linear de carga λ, a uma distancia r perpendicular ao fio.Determine tambem a diferenca de potencial ∆ϕ as distancias r e R (R > r), igualmenteperpendiculares ao fio. Calcule o campo electrostatico em r a partir de ∆ϕ.

Problema 40. Determine o potencial ϕ, num ponto P localizado no eixo de um aneluniformemente carregado, de raio R e carga total Q. O plano do anel e perpendicular aoeixo X e o ponto P esta a uma distancia x do centro do anel.

Problema 41. Determine o potencial ϕ, num ponto P , localizado no eixo de um discouniformemente carregado de raio interior R0, raio exterior R, e densidade superficial decarga σ. O plano do disco e perpendicular ao eixo X e o ponto P esta a uma distancia xdo centro do disco. Determine igualmente o potencial do disco quando R0 = 0.

Problema 42. O eixo X e o eixo de simetria de um anel uniformemente carregado deraio R e carga Q. Uma carga pontual Q, de massa M , situa-se no centro do anel. Quandoe deslocada ligeiramente, a carga pontual acelera ao longo do eixo X em direccao aoinfinito. Mostre que a velocidade da carga, no infinito, e:

v =

√Q2

2MRπε0.

Problema 43. Uma esfera oca, nao condutora, tem um raio exterior b e um raio interiora. A carga total da esfera e Q e encontra-se uniformemente distribuida. Determine ocampo electrico E e o potencial ϕ a uma distancia r do centro da esfera, se: (a) r < b.(b) a < r < b. (c) r < a.

Problema 44. Considere duas esferas ocas, condutoras e concentricas, uniformementecarregadas. As esferas tem raios r1 e r2 e cargas Q1 e Q2, respectivamente (r1 < r2).Determine o campo electrico e o potencial para uma distancia r em relacao ao centro dasesferas, nos seguintes casos: (a) r < r1. (b) r1 < r < r2. (c) r < r2.

§5. Fluxo de um campo electrico e Lei de Gauss

Problema 45. Um cone com uma base de raio R e altura h encontra-se numa mesahorizontal. Um campo electrico uniforme e horizontal, E, atravessa o cone. Determine ofluxo electrico que entra no cone.

Problema 46. Um campo electrico de intensidade 3,5×103 N/C e aplicado ao longo doeixo dos X. Calcule o fluxo electrico, atraves de um plano rectangular de area 0,35×0,70m2, se o plano: (a) For paralelo ao plano Y Z. (b) For paralelo ao plano XY . (c) Contivero eixo Y e a sua normal fizer um angulo de 40 com o eixo dos X.

Problema 47. Um campo electrico uniforme E = aex + bey N/C intersecta uma su-perfıcie de area A. Determine o fluxo atraves desta area, se a superfıcie se encontrar noplano: (a) Y Z. (b) XZ. (c) XY .

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Problema 48. Determine, pela aplicacao da Lei de Gauss, o campo electrico a umadistancia r de uma distribuicao linear de carga uniforme e infinita, cuja carga por unidadede comprimento e λ.

Problema 49. Determine o campo electrico devido a um plano Y Z infinito e nao con-dutor, carregado uniformemente com uma carga por unidade de area σ.

Problema 50. Um cubo de lado l esta colocado numa regiao do espaco onde existe umcampo electrico uniforme e perpendicular a duas das suas faces. Determine o fluxo docampo atraves do cubo.

Problema 51. Um fio de comprimento infinito, carregado com uma densidade de cargaλ, encontra-se a uma distancia d de um ponto O, como indicado na Figura No.8.a) Determine o fluxo do campo electrico atraves de uma superfıcie esferica centrada emO quando R < d.b) Mostre que o fluxo do campo electrico atraves de uma superfıcie esferica centrada emO, quando R > d, e dado por 2λ

√R2 − d2/ε0.

c) Se λ > 0 qual a orientacao e sentido das linhas do campo electrico em torno do fio?

Figura No.8

§6. Corrente electrica

Problema 52. De quantos electroes por segundo e constituıda uma corrente de 0,7 A,ao passar numa dada seccao de um condutor?

Problema 53. Um fio de cobre de seccao 3 mm2 transporta uma corrente de 5 A.Sabendo que a massa molar do cobre e 63,5 g/mol e que a densidade do cobre e 8920kg/m3, determine a velocidade de deslocamento dos electroes no fio. Assuma que cadaatomo de cobre contribui com um electrao para a corrente.

Problema 54. Num dado condutor tem-se um fluxo de electroes de 0,6 mol em 45 mi-nutos. Determine a carga total que atravessa o condutor e a intensidade da corrente.

8

Problema 55. Um fio condutor de seccao recta circular, com um diametro nao uniforme,transporta uma corrente de 5 A (ver Figura No.9). O raio da seccao recta A1 e 0,4 cm2.(a) Determine a densidade de corrente em A1. (b) Se a densidade de corrente em A2 forum quarto da densidade de corrente em A1, qual e o raio do condutor em A2?

A1

A2

Figura No.9

Problema 56. Uma corrente electrica e dada por

I(t) = I0 sin (ωt) ,

onde I0 = 100 A e ω = 120π rad/s. Determine a carga total transportada pela corrente,no intervalo de tempo entre ti = 0 s e tf = 1/240 s.

Problema 57. Suponha que a corrente atraves de um condutor decresce exponencial-mente no tempo, segundo a lei

I(t) = I0e−t/τ ,

onde I0 e τ sao constantes. Considere um ponto de observacao fixo dentro do condutor.(a) Que quantidade de carga passa por este ponto, entre t = 0 s e t = τ s? (b) Quequantidade de carga passa por este ponto, entre t = 0 s e t = 10τ s? (c) Que quantidadede carga passa por este ponto, entre t = 0 s e t = ∞ s?

§7. Resistividade

Problema 58. Considere um fio de chumbo de raio 0,321 mm. (a) Calcule a resistenciapor unidade de comprimento. (b) Determine a intensidade da corrente no fio, se umadiferenca de potencial de 10 V for mantida atraves do fio, agora de comprimento l = 1m. (c) Determine a densidade de corrente e o campo electrico no fio, supondo que estetransporta uma corrente de 2 A.

Problema 59. Um fio de metal, de resistencia R0 e comprimento l0, e cortado em tressegmentos iguais. Os segmentos sao unidos, de modo a formar um novo fio de comprimentol = l0/3. Determine a resistencia R do novo fio em funcao de R0.

Problema 60. Um fio condutor, de comprimento l0 e resistencia R0, e esticado a tem-peratura constante ate atingir um comprimento l = 2l0. Determine R, a resistencia finaldo fio, em funcao de R0 (considere que antes e depois do alongamento o fio mantem umaforma cilındrica).

9

Problema 61. Dois fios, um de cobre e outro de alumınio, tem o mesmo comprimentoe a mesma resistencia. Determine a razao dos seus raios atraves da razao entre as suasresistividades.

Problema 62. Pretende-se fabricar um fio uniforme a partir de 1 g de cobre. Supondoque se utiliza todo o cobre disponıvel, e que o fio deve ter uma resistencia de 0,5 Ω,determine qual devera ser o comprimento e o diametro do fio.

§8. Forca de Lorentz

Problema 63. Considere uma carga q animada de uma velocidade v numa regiao doespaco onde existe um campo magnetico B. Indique, para cada uma das situacoesseguintes, a direccao e o sentido da forca F, exercida sobre a carga, devido ao campomagnetico: (a) v = eyv e B = exB; (b) v = −

√2 (exv + eyv) /2 e B = exB; (c) v =√

2 (exv + eyv) /2 e B = −ezB. Desenhe no plano XY , para cada caso, os vectores v, Be F.

Problema 64. Um electrao e acelerado, a partir do repouso, por uma diferenca de poten-cial de 375 V, apos o que entra numa regiao do espaco onde existe um campo magneticode intensidade 4 mT, perpendicular a sua velocidade inicial. Calcule o raio da trajectoriacircular do electrao, a sua velocidade angular e o perıodo do movimento.

Problema 65. Um feixe de partıculas de carga q, animadas de velocidade v = exv(v > 0), entra numa regiao do espaco onde existe um campo electrico uniforme E = −eyE,de intensidade E = 80 kV/m. Perpendicular a E e no sentido negativo do eixo Z existeum campo magnetico uniforme e de intensidade 0,4 T. Se a velocidade das partıculas forconvenientemente escolhida, elas nao sao deflectidas por aqueles campos cruzados. Qualdevera ser a velocidade seleccionada para que tal aconteca?

Problema 66. Um electrao com uma velocidade de 5×106 m/s entra numa regiao doespaco onde existe um campo magnetico uniforme, de intensidade B = 0,5 T, e perpendi-cular a velocidade do electrao. Determine a forca magnetica, F, que actua sobre o electraoe o raio R da circunferencia descrita.

Problema 67. Um electrao que se desloca ao longo do eixoX com velocidade exv (v > 0)atravessa um campo magnetico constante B ⊥ v e sofre uma defleccao no sentido negativodo eixo Y . Determine o campo magnetico B.

Problema 68. Um protao, movendo-se a uma velocidade de 4×106 m/s atraves de umcampo magnetico de 1,7 T, experimenta uma forca magnetica de 8,2×10−13 N. Determineo angulo entre v e B.

Problema 69. Um iao monovalente executa cinco revolucoes, em 1,5 ms, num campomagnetico uniforme de magnitude B = 5×10−2 T. Determine a massa aproximada m doiao.

10

Problema 70. Um iao monovalente, de massa m, e acelerado do repouso por umadiferenca de potencial ∆ϕ. A sua trajectoria e entao deflectida por um campo magneticouniforme (perpendicular a velocidade do iao) num semicırculo de raio R. Um outro iao,bivalente, de massa m0, e tambem acelerado a partir do repouso, pela mesma diferenca depotencial e a sua trajectoria e deflectida pelo mesmo campo magnetico, num semicırculode raio R0 = 2R. Determine a razao das massas dos dois ioes.

§9. Forca magnetica sobre uma corrente electrica

Problema 71. Determine a forca exercida em cada segmento do fio condutor da FiguraNo.10. Considere que B = 0,15 T, I = 5 A, lBC = 16 cm, θ= 35.

A B

C

D E

I I

B

θ

Figura No.10

Problema 72. Considere o sistema indicado na Figura No.11. A barra AC tem umamassa de 50 g e pode deslizar livremente ao longo de dois fios metalicos paralelos queestao afastados entre si de 40 cm e fazem um angulo de 37 com o plano XZ. A correnteI e constrangida a fluir atraves desses fios e da barra. Existe um campo magnetico B =0,2 T na direccao −Y . Determine o valor que a corrente, I, deve tomar para que a barrapermaneca imovel (despreze uma pequena torcao na barra).

Figura No.11

11

Problema 73. Um fio de comprimento L = 2,8 m transporta uma corrente de 5 A numaregiao onde um campo magnetico uniforme tem uma magnitude de 0,39 T. Calcule aintensidade da forca magnetica F sobre o fio, se o angulo entre o campo magnetico e acorrente for de: (a) 60. (b) 90. (c) 120.

Problema 74. Um fio com uma massa por unidade de comprimento de 0,5 g/cm assentano plano XZ e transporta uma corrente de 2 A, no sentido positivo do eixo Z. Determinea direccao e magnitude do campo magnetico, B, mınimo necessario para levantar este fiono sentido positivo do eixo Y .

Problema 75. Um circuito rectangular, com dimensoes 10 cm × 20 cm, esta suspensopor um fio inextensıvel e de massa desprezavel, como indicado na Figura No.12. A seccaohorizontal inferior do circuito esta imersa num campo magnetico uniforme B. Se umacorrente de 3 A percorrer o circuito, no sentido indicado, determine o campo magneticoB necessario para produzir uma tensao de 4×10−2 N no fio.

I I

B

Figura No.12

§10. Forca entre correntes; Lei de Bio-Savart

Problema 76. Calcule o campo magnetico no ponto O, para o segmento condutor indi-cado na Figura No.13. O fio consiste em duas seccoes rectas e um arco circular de raio Re de comprimento Rθ (com θ expresso em radianos).

Problema 77. Um fio condutor, percorrido por uma corrente I1 = 30 A, e um circuitorectangular, percorrido por uma corrente I2 = 20 A, situam-se no mesmo plano, comoindicado na Figura No.14. Determine a forca resultante, R, que actua sobre o circuitodevido a corrente I1, sabendo que a = 1 cm, b = 8 cm e h = 30 cm.

Problema 78. Um condutor consiste num anel circular de raio R = 0,1 m e duas seccoesrectas (ver Figura No.15). O condutor assenta no plano da folha de papel e transportauma corrente I = 7 A. Determine o campo magnetico B, no centro do anel, resultante dapassagem de corrente.

12

I

Rθ

I

O

Figura No.13

PSfrag replacements

a b

hI1 I2

1

Figura No.14

Problema 79. Caracterize o campo magnetico no ponto C, BC , produzido pelas duascorrentes da Figura No.16. Considere I1 = 5 A, I2 = 10 A, a = 8 cm, b = 20 cm ec = 15 cm.

§11. Lei de Ampere

Problema 80. No cabo coaxial representado na Figura No.17 um fio, de raio a, trans-porta uma corrente I1, uniformemente distribuida por toda a sua seccao recta, ao longodo eixo de um tubo metalico, com raio interno b e raio externo c. O tubo metalico trans-porta uma corrente I1, no sentido oposto a corrente transportada pelo fio, uniformementedistribuida ao longo da sua seccao recta. Determine a intensidade do campo magneticopara: (a) r < a. (b) a < r < b. (c) b < r < c. (d) r > c.

Problema 81. Um cilindro condutor, oco, de raio interno b e raio externo c, transportauma corrente I, uniformemente distribuida ao longo da sua seccao recta. Determine aintensidade do campo B magnetico para: (a) b < r < c. (b) r < b.

Problema 82. Niobio metalico torna-se supercondutor quando arrefecido abaixo de 9 K.Se a supercondutividade for destruıda, quando o campo magnetico superficial exceder 0,1

13

I

R

Figura No.15

PSfrag replacements

a

b

c

C

I1 I2

1

Figura No.16

T, determine a corrente maxima, Imax, que um fio de niobio de 2 mm de diametro podetransportar, permanecendo supercondutor.

Problema 83. Um conjunto de 100 fios condutores rectilıneos e longos formam um cilin-dro de raio R = 0,5 cm. (a) Se cada fio transportar uma corrente de 2 A, caracterize aforca magnetica por unidade de comprimento que actua num fio situado a 0,2 cm do eixodo cilindro. (b) Um fio a superfıcie do cilindro sofre uma forca maior ou menor do que acalculada na alınea (a)?

Problema 84. Considere dois fios condutores, paralelos entre si e ao eixo X. Os fiosestao separados por uma distancia 2a e transportam uma corrente I no sentido negativodo eixo X. (a) Desenhe as linhas do campo magnetico no plano Y Z. (b) A que distanciad, ao longo do eixo Z, toma o campo magnetico um valor maximo?

14

PSfrag replacements

a

b

c

I1I1

1

Figura No.17

15

§A.I. O sistema SI de unidades

Unidades basicasQuantidade Unidade Sımbolo

Comprimento metro mMassa quilograma kgTempo segundo sTemperatura kelvin KCorrente electrica ampere AIntensidade luminosa candela cdQuantidade de substancia mol mol

Unidades adicionais

Angulo plano radiano rad

Angulo solido esteradiano sr

Unidades derivadas com nome proprioQuantidade Unidade Sımbolo Derivacao

Frequencia hertz Hz s−1

Forca newton N kg×m×s−2

Pressao pascal Pa N×m−2

Energia joule J N×mPotencia watt W J×s−1

Carga coulomb C A×sPotencial electrico volt V W×A−1

Capacidade electrica farad F C×V−1

Resistencia ohm Ω V×A−1

Conductancia electrica siemens S A×V−1

Fluxo magnetico weber Wb V×sDensidade do fluxo magnetico tesla T Wb×m−2

Inductancia henry H Wb×A−1

Fluxo luminoso lumen lm cd×srIluminancia lux lx lm×m−2

Actividade becquerel Bq s−1

Dose absorbida gray Gy J×kg−1

Dose equivalente sievert Sv J×kg−1

§A.II. Prefixos

yotta Y 1024 giga G 109 deci d 10−1 pico p 10−12

zetta Z 1021 mega M 106 centi c 10−2 femto f 10−15

exa E 1018 quilo k 103 milli m 10−3 ato a 10−18

peta P 1015 hecto h 102 micro µ 10−6 zepto z 10−21

tera T 1012 deca da 10 nano n 10−9 yocto y 10−24

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§A.III. Constantes fısicas

Aceleracao da gravidade g 9,80665 m/s2

Const. gravıtica G, γ 6, 67259× 10−11 m3kg−1s−2

Velocidade da luz no vacuo c 2, 99792458× 108 m/s (def)Carga elementar e 1, 6021892× 10−19 CConstante de Coulomb K 9× 109 Nm2/C2

Constante electrica ε0 8, 85418782× 10−12 F/mConstante magnetica µ0 4π × 10−7 =

µ0 = 12, 5663706144× 10−7 H/m(4πε0)

−1 8, 9876× 109 Nm2C−2

Const. da estructura fina α = e2/2hcε0 ≈ 1/137

Const. de Planck h 6, 6260755× 10−34 JsConst. de Dirac h = h/2π 1, 0545727× 10−34 JsMagnetao de Bohr µB = eh/2me 9, 2741× 10−24 Am2

Raio de Bohr a0 0, 52918 AConst. de Rydberg Ry 13,595 eVMagnetao nuclear µN 5, 0508× 10−27 J/TMomento magn. do electrao µe 9, 2847701× 10−24 A·m2

Momento magn. do protao µp 1, 41060761× 10−26 A·m2

c.d.o de Compton λCe = h/ (mec) 2, 2463× 10−12 mc.d.o de Compton λCp = h/ (mpc) 1, 3214× 10−15 mpara o protaoc.d.o de Compton λCn = h/ (mnc) 1, 3195909× 10−15 mpara o neutrao

Const. de σ 5, 67032× 10−8 Wm2K−4

Stefan-BoltzmannConst. de Wien kW 2, 8978× 10−3 mKConst. universal R 8,314472 J/moldos gasesConst. de Avogadro NA 6, 02214199× 1023 mol−1

Const. de Boltzmann k = R/NA 1, 3806503× 10−23 J/KVolume dum gas em Vm 22, 41383× 10−3 m3/molcondicoes normais

Raio do electrao re 2, 817938× 10−15 mMassa do electrao me 9, 109534× 10−31 kgMassa do protao mp 1, 6726485× 10−27 kgMassa do neutrao mn 1, 674954× 10−27 kgUnid. elementar de massa mu = 1

12m(12

6C) 1, 6605656× 10−27 kg(ou unid. de massaatomica, u.m.a.)

17

Diametro do Sol D 1392× 106 mMassa do Sol M 1, 989× 1030 kgPerıodo rot. do Sol T 25,38 diasRaio da Terra RT 6, 378× 106 mMassa da Terra MT 5, 976× 1024 kgPerıodo rot. da Terra TT 23,96 horasPerıodo orb. da Terra Ano tropical 365,24219879 dias

31556926 sUnidade astronomica AU 1, 4959787066× 1011 mAno-luz ly 9, 4605× 1015 mParsec pc 3, 0857× 1016 mUnidade Astronomica AU 149597870000 mConst. de Hubble H ≈ (75± 25) km×s−1×Mpc−1

c.d.o = comprimento de onda

§A.IV. Escalas de temperaturas

K = C + 273,15,C = K - 273,15,C = 5/9(F - 32),F = 9/5 C + 32.

18

§A.V. Relacoes uteis

Unidades angulares57,29577951308232 = 1 rad1 = 0,01745329251 rad1′ = 2,90888208666×10−4 rad1′′ = 4,8481368111×10−6 rad1 gradiano = 0,01570796326795 rad(angulo recto/100)

Unidades de comprimento1 amstrong = 1×10−10 m1 polegada = 0,0254 m1 pe = 0,3048 m1 pe (USA) = 1200/3937 m1 jarda = 0,9144 m1 jarda (USA) = 3600/3937 m1 milha nautica = 1852 m1 milha terrestre = 1609,344 m1 milha terrestre = 6336000/3937 m(USA)

Unidades de area1 acre = 4046,8564224 m2

1 are = 1×102 m2

1 hectare = 1×104 m2

Unidades de volume1 litro = 1×10−3 m3

1 barril de petroleo = 0,15898729492 m3

1 galao (USA) = 3,785411784×10−3 m3

1 galao (UK) = 4,54609929488×10−3 m3

19

Unidades de massa1 libra = 0,45359237 kg1 onca = 0,02834952312 kg1 slug = 14,5939029372 kg

Unidades de velocidade1 no = 1852/3600 m/s1 milha por hora = 0,44704 m/s

Unidades de pressao1 atm = 101325 Pa1 atmosfera tecnica = 98066,5 Pa1 metro de agua = 9806,65 Pa1 milimetro de mercurio = 101325/760 Pa1 torr = 101325/760 Pa1 pe de agua = 2989,06692 Pa1 polegada de agua = 249,08891 Pa1 polegada de mercurio = 3386,38815789 Pa1 libra por polegada quadrada = 6894,75729317 Pa

Unidades de forca1 dine = 1×10−5 N1 quilograma-forca = 9,80665 N1 libra-forca = 4,44822161526 N

Unidades de potencia1 cavalo-forca metrico = 735,49875 W1 BTU por hora = 0,29307107017 W

Unidades de energia1 cal = 4,186 J1 eV = 1,602×10−19 J1 pe libra-forca = 1,35581794833 J1 cavalo-forca = 745,699871582 J1 BTU = 1055,05585262 J(British thermal unit)

20

§A.VI. Propriedades fısicas de algumas substancias

§A.VI.1 Densidade

ρSubstancia kg/m3 kg/dm3 ou g/cm3

Agua∗ 1 ×103 1

Agua de mar∗ 1,02×103 1,02Gelo 9,2 ×102 0,92

Alumınio 2,71×103 2,71Ar 1,29 1,29×10−3

Betao 2,2 ×103 2,2Bronze 8,8 ×103 8,8Cobre 8,92×103 8,92

Duralumınio 2,79×103 2,79Glicerina∗ 1,26×103 1,26Granito 2,8 ×103 2,8Eter∗ 7,1×102 0,71Ferro 7,8×103 7,8Invar 8,7×103 8,7Irıdio 2,24×104 22,4Latao 8,4×103 8,4

Mercurio∗ 1,36×104 13,6

Oleo 9,2 ×102 0,92Ouro 1,93×104 19,3

Petroleo 8,5 ×102 0,85Prata 1,05×104 10,5

Volframio 1,91×104 19,1Zinco 7,14×103 7,14

∗A 20 C/293 K.

21

§A.VI.2 Calor especıfico

cSubstancia J/(kg·C) cal/(g·C)

Agua 4186 1Gelo 2090 0,5

Vapor de agua 2010 0,4802Alumınio 880 0,210

Ar 1000 0,24

Argon 314 0,075Chumbo 129 0,031Cobre 385 0,091

Estanho 250 0,06Ferro 461 0,11

Mercurio 125 0,03Vidro 840 0,2

§A.VI.3 Calor latente

Calor latente de fusao λf :

λf

Substancia J/kg cal/g

Agua 333×103 80

Calor latente de evaporacao λe:

λe

Substancia J/kg cal/g

Agua 2260×103 539

22

§A.VI.4 Condutividade termica

kSubstancia W/(m·K) cal/(s·cm·C)

Agua 0,596 0,1424Gelo 0,017 0,004

Neve seca 0,11 0,026Alumınio 209,0 50,0

Ar a temperatura ambiente 0,03 0,0072

Ar a 0C 0,024 0,0057Asbesto 0,17 0,04Chumbo 35,0 8,3Cobre 400,0 95,56

Concreto 8,4 2,0Cortica 0,046 0,011Ferro 68,0 16,3

Fibra de vidro 0,063 0,015Helio a 0C 0,13 0,03

Hidrogenio a 0C 0,17 0,04La 0,042 0,01

Lexan 0,19-0,22 0,0454-0,0525Madeira (Carvalho) 0,17 0,04

Prata 423 101,0Vidro 0,84 0,25

23

§A.VI.5 Constantes de van der Waals

Gas a (l2atm/mol2) b (l/mol)He 0,0341 0,02370Ne 0,211 0,0171Ar 1,34 0,0322Kr 2,32 0,0398Xe 4,19 0,0510H2 0,244 0,0266N2 1,39 0,0391O2 1,36 0,0318Cl2 6,49 0,0562H2O 5,46 0,0305CH4 2,25 0,0428CO2 3,59 0,0427CCl4 20,4 0,1383

§A.VI.6 Resistividade a 20C

Metal Resistividade (Ω·m)Alumınio 2,826×10−8

Borracha solida 1-100×1013

Chumbo 2,2×10−7

Cobre 1,724×10−8

Constantan 49×10−8

Cromonıquel 100×10−8

Ferro 9,71×10−8

Germanio 1-500×10−3

Grafite 3-60×10−5

Manganina 48,2×10−8

Mercurio 98×10−8

Platina 10,6×10−8

Prata 1,59×10−8

Quartzo fundido 7,5×1017

Silıcio 0,1-60Tungstenio 5,6×10−8

Vidro 1-10000×109

24

§A.VII. Tabela periodica dos elementos

Gru

po

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

IAII

AII

IBIV

BV

BV

IBV

IIB

VII

IBIB

IIB

IIIA

IVA

VA

VIA

VII

AV

IIIA

1 H 1,0

1

2

He

4,0

0

3 Li

6,9

4

4

Be

9,0

1

5 B 10,8

1

6 C 12,0

1

7 N 14,0

1

8 O 16,0

0

9 F 19,0

0

10

Ne

20,1

8

11

Na

22,9

9

12

Mg

24,3

1

13

Al

26,9

8

14 Si

28,0

9

15 P 3

0,9

7

16 S

32,0

6

17

Cl

35,4

5

18

Ar

39,9

5

19 K 3

9,1

0

20

Ca

40,0

8

21

Sc

44,9

6

22

Ti

47,9

0

23 V 5

0,9

4

24

Cr

52,0

0

25

Mn

54,9

4

26

Fe

55,8

5

27

Co

58,9

3

28

Ni

58,7

1

29

Cu

63,5

5

30

Zn

65,3

8

31

Ga

69,7

2

32

Ge

72,5

9

33

As

74,9

2

34

Se

78,9

6

35

Br

79,9

0

36

Kr

83,8

0

37

Rb

85,4

7

38

Sr

87,6

2

39 Y 8

8,9

1

40

Zr

91,2

2

41

Nb

92,9

1

42

Mo

95,9

4

43

Tc

(98)

44

Ru

101,0

7

45

Rh

102,9

1

46

Pd

106,4

47

Ag

107,8

7

48

Cd

112,4

0

49

In 114,8

2

50

Sn

118,6

9

51

Sb

121,7

5

52

Te

127,6

0

53 I

126,9

0

54

Xe

131,3

0

55

Cs

132,9

1

56

Ba

137,3

4

57

La*

138,9

1

72

Hf

178,4

9

73

Ta

180,9

5

74

W 183,8

5

75

Re

186,2

1

76

Os

190,2

77 Ir

192,2

2

78

Pt

195,0

9

79

Au

196,9

7

80

Hg

200,5

9

81

Tl

204,3

7

82

Pb

207,2

83

Bi

208,9

6

84

Po

(209)

85

At

(210)

86

Rn

(222)

87

Fr

(223)

88

Ra

226,0

3

89

Ac*

*(2

27)

104

Rf

(261)

105

Db

(262)

106

Sg

(263)

107

Bh

(262)

108

Hs

(265)

109

Mt

(266)

110

Uun

(269)

111

Uuu

(272)

112

Uub

(277)

113

Uut

(282)

*Lanta

nıd

eos

58

Ce

140,1

1

59

Pr

140,9

1

60

Nd

144,2

4

61

Pm

(145)

62

Sm

150,3

6

63

Eu

151,9

6

64

Gd

157,2

5

65

Tb

158,9

2

66

Dy

162,5

0

67

Ho

164,9

3

68

Er

167,2

6

69

Tm

168,9

3

70

Yb

173,0

4

71

Lu

174,9

7

**A

ctin

ıdeos

90

Th

232,0

4

91

Pa

231,0

4

92 U

238,0

3

93

Np

237,0

5

94

Pu

(244)

95

Am

(243)

96

Cm

(247)

97

Bk

(247)

98

Cf

(251)

99

Es

(252)

100

Fm

(257)

101

Md

(258)

102

No

(259)

103

Lr

(260)

Met

ais

Met

aloi

des

Met

ais

detransica

oN

ao-m

etai

sG

ases

nob

res

25

§B.VIII. Nocoes relevantes de Matematica

§B.VIII.1 Alfabeto grego

A α alfa N ν niuB β beta Ξ ξ csiΓ γ gama O o omicron∆ δ delta Π π, $ piE ε, ε epsilon P ρ, % roZ ζ zeta Σ σ, ς sigmaH η eta T τ tauΘ θ, ϑ teta Υ υ upsilonI ι iota Φ φ, ϕ fiK κ kapa X χ quiΛ λ lambda Ψ ψ, ϕ psiM µ miu Ω ω omega

§B.VIII.2 Constantes matematicas

Nome Sımbolo Valor

Constante de Arquimedes π 3,14159265358979323846...Constante de Napier e 2,718281828459...

Constante de Euler γ = limn→∞

(n∑

k=1

1/k − ln(n)

)= 0,5772156649...

Constante de Catalan G =∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)2 = 0,915965594...

26

§B.VIII.3 Figuras no plano

Figura Perımetro Area

Triangulo

b

ac

ha+ b+ c b× h/2

Quadrado

a

a 4a a2

Rectangulo

b

a 2a+ 2b a× b

Cırculo

r 2πr πr2

27

Perımetro dum polıgono regular de n ladosinscrito no cırculo

Triangulo Quadrado(n = 3) (n = 4)

r

2π/3

r

π/2

P3 = 6r sin (π/3) P4 = 8r sin (π/4)

Polıgono de n lados:

Pn = 2nr sin (π/n) (1)

28

§B.VIII.4 Solidos no espaco

Solido Area Volume

Cubo de lado a

a

aa

6a2 a3

Cilindro de altura he raio da base r

r

h

r

rr

2πr × h+ 2πr2 h× πr2

Cone de altura he raio da base r

r

h

r

πr × g ondeg = h/ cosα etanα = r/h

h× πr2/3

Esfera de raio r

rr

r4πr2 (4/3)πr3

29

§B.VIII.5 Trigonometria

b

ah

α

Para o triangulo rectangulo da figura ter-se-ia que

sinα = a/h , (2)

cosα = b/h , (3)

tanα = a/b . (4)

§B.VIII.5.1 Relacoes fundamentais

sin (−α) = − sinα , cos (−α) = cosα , sin2 α+ cos2 α = 1 , (5)

sin (π − α) = sinα , cos π − α = − cosα , (6)

sin (π/2− α) = cosα , cos (π/2− α) = sinα , (7)

tanα =sinα

cosα, tan (−α) = − tanα , (8)

cotα =cosα

sinα, secα =

1

cosα, cscα =

1

sinα, (9)

tan2 α = sec2 α− 1 , cot2 α = csc2 α− 1 , (10)

sin x = sinα ⇒ x = α± 2kπ ou x = (π − α)± 2kπ, k ∈ N , (11)

cosx = cosα ⇒ x = α± 2kπ ou x = −α± 2kπ , (12)

tan x = tanα ⇒ x = α± kπ e x 6= π

2± kπ . (13)

§B.VIII.5.2 Relacoes entre senos

sin (α+ β) = sinα cos β + sin β cosα , (14)

sin (α− β) = sinα cos β − sin β cosα , (15)

sin (2α) = 2 sinα cosα , (16)

sinα− sin β = 2 sin

(α− β

2

)cos

(α+ β

2

), (17)

sin2 α =1− cos (2α)

2, (18)

sin(α

2

)= ±

√1− cosα

2, (19)

30

sinα+ sin β = 2 sin

(α+ β

2

)cos

(α− β

2

), (20)

sinα− sin β = 2 cos

(α+ β

2

)sin

(α− β

2

). (21)

(22)

§B.VIII.5.3 Relacoes entre co-senos

cos (α+ β) = cosα cos β − sin β sinα , (23)

cos (α− β) = cosα cos β + sin β sinα , (24)

cos (2α) = cos2 α− sin2 α , (25)

cosα+ cos β = 2 cos

(α+ β

2

)cos

(α− β

2

), (26)

cosα− cos β = −2 sin

(α+ β

2

)sin

(α− β

2

), (27)

cos2 α =1 + cos (2α)

2, (28)

cos(α

2

)= ±

√1 + cosα

2. (29)

§B.VIII.5.4 Relacoes entre tangentes

tan (α+ β) =tanα+ tan β

1− tanα tan β, (30)

tan (α− β) =tanα− tan β

1 + tanα tan β, (31)

tan (2α) =2 tanα

1− tan2 α, (32)

tan(α

2

)= ±

√1− cosα

1 + cosα. (33)

§B.VIII.5.5 Relacoes entre funcoes inversas

arctanα = arcsin

(α√α2 + 1

)= arccos

(1√

α2 + 1

), (34)

sin (arccosα) =√

1− α2 . (35)

31

32

§B.VIII.6 Numeros complexos

i =√−1 , (36)

ρcisθ = ρ cos θ + iρ sin θ , (37)

(ρ1cisθ1) . (ρ2cisθ2) = ρ1ρ2cis (θ1 + θ2) , (38)

ρ1cisθ1

ρ2cisθ2

=ρ1

ρ2

cis (θ1 − θ2) , (39)

(ρcisθ)n = ρncis (nθ) , (40)

n

√ρcisθ = n

√ρcis

(θ + 2kπ

n

), k ∈ 0, . . . , n− 1 . (41)

33

§B.VIII.7 Logaritmos

• lnx corresponde ao logaritmo de x em base e.

• log x corresponde ao logaritmo de x em base 10.

• loga x corresponde ao logaritmo de x em base a (a > 1).

§B.VIII.8 Propriedades

ln (x1x2) = lnx1 + lnx2 ; (42)

ln (xn) = n lnx; (43)

ln(

n√x)

= ln x/n; (44)

ln (x1/x2) = lnx1 − lnx2 ; (45)

ln (1) = 0 ; (46)

ln (e) = 1 ; (47)

loga (1) = 0 ; (48)

loga (a) = 1 ; (49)

loga (x) = logb (x) / logb (a) ; (50)

loga (ax) = x ; (51)

aloga(x) = x . (52)

34

§B.VIII.9 Limites Notaveis:

limx→0

sin x

x= 1 , (53)

limx→0

tan x

x= 1 , (54)

limx→0

ex − 1

x= 1 , (55)

limx→0

ax − 1

x= ln a , (56)

limx→0

(x+ 1)1/x = e , (57)

limx→0

ln (x+ 1)

x= 1 , (58)

limx→0

(x+ 1)m − 1

x= m , (59)

limx→∞

ex

xp= ∞ (p ∈ IR) , (60)

limx→∞

xp

loga x= ∞ (p > 0 e a > 1) .

(61)

35

§B.VIII.10 Propriedades das derivadas

(C)′ = 0 (Cf)′ = Cf ′

(f ± g)′ = f ′ ± g′ (fg)′ = f ′g + g′f(f

g

)′=

f ′g − g′f

g2(f(g))′ = fgg

′

§B.VIII.11 Tabela de derivadas

x′ = 1 (xm)′ = mxm−1

(ex)′ = ex (ax)′ = ax ln a

(lnx)′ =1

x

(sinx)′ = cosx (cosx)′ = − sin x

(tan x)′ =1

cos2 x(cotx)′ =

−1

sin2 x

(arcsinx)′ =1√

1− x2(arccos x)′ =

−1√1− x2

36

§B.VIII.12 Propriedades dos integrais indefinidos

(∫f(x)dx

)′= f(x) d

(∫f(x)dx

)= f(x)dx∫

dP (f) = P (f) + C∫Cf(x)dx = C

∫f(x)dx∫

(f ± g)dx =∫fdx±

∫gdx

∫fdg = fg −

∫gdf

§B.VIII.13 Tabela de integrais indefinidos

∫dx = x +C

∫xmdx =

xm+1

m+ 1+C∫ dx

x= ln |x| +C

∫exdx = ex +C∫

sin xdx = − cosx +C∫

cosxdx = sinx +C∫ dx

sin2 x= tan x +C

∫ dx

cos2 x= − cotx +C∫ dx√

1− x2= arcsinx +C

∫ dx

1 + x2= arctanx +C∫ dx√

x2 + λ= ln

∣∣∣x+√x2 + λ

∣∣∣ +C∫ dx

(x2 + λ)3/2=

x

λ√x2 + λ

+C∫ xdx

(x2 + λ)3/2= − 1√

x2 + λ+C

37

§B.VIII.14 Mudancas de Sistemas de Coordenadas

1. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas cilındricas (r, φ, z):

r =√x2 + y2 , tanφ = y/x .

2. De coordenadas cilındricas (r, φ, z) para coordenadas cartesianas (x, y, z):

x = r cosφ , y = r sinφ .

3. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esfericas (φ, θ, r):

tanφ = y/x , tan θ = z/√x2 + y2 , r =

√x2 + y2 + z2 .

4. De coordenadas esfericas (φ, θ, r) para coordenadas cartesianas (x, y, z):

x = r cosφ sin θ , y = r sinφ sin θ , z = r cos θ .

38

§B.IX. Sistemas de coordenadas

Y

z

(x,y,z)

°

x

y

X

Z

Coordenadas cartesianas(x, y, z)

Y

z

(r,φ,z)

°

φ

X

r

Z

Y

(φ,θ,r)

°

φ

X

r

θ

Z

Coordenadas cilındricas Coordenadas esfericas(r, φ, z) (φ, θ, r)

39

§B.X. O operador nabla

1. Em coordenadas cartesianas:

∇ = ex∂

∂x+ ey

∂

∂y+ ez

∂

∂z. (62)

2. Em coordenadas cilındricas:

∇ = er∂

∂r+ eφ

1

r

∂

∂φ+ ez

∂

∂z. (63)

3. Em coordenadas esfericas:

∇ = er∂

∂r+ eθ

1

r

∂

∂θ+ eφ

1

r sin θ

∂

∂φ. (64)

4. Relacoes entre o operador nabla e alguns operadores diferenciais do Calculo Vecto-rial:

gradU = ∇U = ex∂U

∂x+ ey

∂U

∂y+ ez

∂U

∂z. (65)

divA = ∇ ·A =∂Ax

∂x+∂Ay

∂y+∂Az

∂z. (66)

rotA = ∇×A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣. (67)

§B.XI. O operador de Laplace (Laplaciano)

∆ = div grad = ∇ ·∇ = ∇2 . (68)

1. Em coordenadas cartesianas:

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2. (69)

2. Em coordenadas cilındricas:

∆ =1

r

∂

∂r

(r∂

∂r

)+

1

r2

∂2

∂φ2+

∂2

∂z2. (70)

3. Em coordenadas esfericas:

∆ =1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂φ2. (71)

40