Problema I (6 val.) Página I - fenix.tecnico.ulisboa.pt · Estabeleça a formulação fraca do...
Transcript of Problema I (6 val.) Página I - fenix.tecnico.ulisboa.pt · Estabeleça a formulação fraca do...
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
Problema I (6 val.) Página I.1 Considere o problema da determinação da deformada de uma viga, encastrada nas duas extremidades, e sujeita ao carregamento esquematizado na figura:
L/3 L/3 L/3
qP P
L/3 L/3 L/3
qP P
As equações diferenciais que governam a flexão desta viga elástica são dadas por:
2 2
2 2
( )( ) , , 0d M d w M xq x x Ldx dx EI
= = < <
em que q(x) é o carregamento uniforme, w(x) a deformada da viga, M(x) o momento flector, E o módulo de Young e I o momento de inércia. 1. Estabeleça a formulação fraca do problema, especificando as classes de funções teste e
tentativa admissíveis (2.5 val.). 2. Diga, justificando, se para este problema há vantagem em recorrer a transformações de
coordenadas para o cálculo das componentes da matriz dos coeficientes e do vector dos termos independentes (2 val.).
3. Considere a resolução de um problema semelhante, com a viga apoiada nas duas
extremidades, através de um programa comercial. Suponha que na resolução do problema se utilizaram duas malhas uniformes, uma com n elementos e outra com 2n elementos, conduzindo a valores da norma quadrática media do erro da rotação de 2x10-3 e 0.5x10-3 respectivamente. Diga, justificando, qual o tipo de elementos utilizados (1.5 val.).
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
Problema II (7 val.) Página II.1 Considere a estrutura de espessura t = 1 cm, em tensão plana, modelada com dois elementos de 8 nós e com uma força distribuída P=3KNcm-2 como indica a figura,
1 2 3 4 5
6 7 8
9 10 11 12 13
4 cm 4 cm
2 cm P = 3 KNcm-2
1. Indique quais as condições de fronteira essenciais do problema (1 val).
2. Determine o vector de forças do problema. Indique todos os cálculos necessário à sua determinação (2 val).
3. Determine o padrão de esparsidade da matriz de rigidez, indicando com X os elementos não nulos. Calcule a semi-largura de banda da matriz (2 val).
4. Renumere os nós de modo a minimizar a largura de banda. Calcule a nova semi-largura de banda (2 val).
Problema III (7 val.) Página III.1 Considere a seguinte equação diferencial:
. 600u ut
∂= ∇∇ +
∂
com a condição de fronteira: u=0 em δΩ1 e a condição inicial: u=0 para t=0. Pretende-se resolver este problema com o método dos elementos finitos numa malha com 4 elementos triangulares.
1
2
3
4
5
1
2
3
4 2
21
2
3
4
5
1
2
3
4 2
2
1- Construa a matriz da conectividade do problema definindo claramente o elemento de referência que utilizou. (1.5 val)
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
2- Determine a matriz da condutividade, kij, e o vector de fontes, fi para o elemento de referência. (2 val)
3- Determine o valor máximo que u pode atingir no domínio e o local em que se verifica. (1.5 val)
4- Utilizando o método explícito e um único passo no tempo determine o tempo que u leva a atingir metade do valor máximo. (2 val)
2 1 1
1 1 2 124
1 1 2
eijC
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
para o elemento 1
Nota: se não resolveu a alínea 3 admita que umax=60 Problema I (5 val.) Página I.1 Uma parede de espessura 0.1m e de condutibilidade 1250k Wm K−= , separa dois meios a temperaturas 1 100oT C∞ = e 2 50oT C∞ = (ver figura). Os coeficientes de convecção são
2 11 2000h Wm K− −= e 2 1
2 5000h Wm K− −= , respectivamente. A distribuição de temperaturas na parede, em regime estacionário, pode ser obtida pela resolução do seguinte problema unidimensional.
( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
2
2
1 1
2 2
0 0 0.1
00 0
0.10.1 0.1
dT xk x
dxdT
k h T T em xdx
dTk h T T em x
dx
∞
∞
⎧− = < <⎪⎪⎪⎪− + − =⎨⎪⎪
+ − =⎪⎪⎩
a) Obtenha a formulação fraca para este problema. (2.5 val) b) Determine a distribuição de temperaturas utilizando 2 elementos finitos lineares de igual
comprimento. (2.5 val)
h1=2000 T∞=100
h2=5000 T∞=50
Parede k=250
0.1
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
Problema II (5 val.) Página II.1 Considere o problema de determinação da deformada de uma viga pelo método dos elementos finitos. Admita que a viga é encastrada numa extremidade, apoiada na outra e sujeita ao carregamento esquematizado na figura.
P q
L/3L/3L/3
P q
L/3L/3L/3
a. Estabeleça a formulação fraca do problema. (2 val)
b. Indique, justificando, qual o número mínimo de elementos que é necessário utilizar na malha de elementos finitos. (1 val)
c. Determine o vector de cargas da cada elemento e o vector de cargas global da viga considerando a malha com o menor numero de elementos admissível. (2 val)
Problema III (5 val.) Página III.1 Seja Ω̂ o elemento de referência isoparamétrico e eΩ o seu transformado, tal como se indica na figura. Designem-se as coordenadas do nó 5 por (a,b) e admita-se que as coordenadas dos restantes nós são (xi,yi) = (ξi,ηi).
Ω̂
1 4 2
3
56
ξ
η
1 4 2
3
5
6
X
Y
eΩΩ̂
1 4 2
3
56
ξ
η
Ω̂
1 4 2
3
56
ξ
η
1 4 2
3
5
6
X
Y
eΩ
1 4 2
3
5
6
X
Y
eΩ
a. Deduza as expressões para a transformação de coordenadas. (2 val.).
b. Determine a expressão do jacobiano (1 val.)
c. Quais as posições aceitáveis do nó 5 de eΩ (2 val.).
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
Problema IV (5 val.) Página IV.1 a. Pretende-se resolver pelo método dos elementos finitos a equação de Poisson, i.é.,
2 1 em0 para
uu δ∇ = Ω= Ω
Sendo Ω o domínio representado na figura e δΩ a fronteira desse domínio. Diga se a malha apresentada é ou não admissível. (2 val)
Considere agora a malha de elementos finitos que se apresenta na figura que se segue. Admita que o problema que se pretende resolver é descrito pela equação de Laplace.
b. apresente o padrão de esparsidade da matriz de conductividade (1 val.)
c. Renumere a malha de forma a minimizar a largura da banda da matriz e represente o novo padrão de esparsidade (2 val.).
1
2
3
45
6
78
9
10
1
2
3
45
6
78
9
10
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
1 10 100 1000
-1
-3
-4
-5
-6
-6
-7
-8
-9
-2
Numero de elementos
Log 1
0 ||E
|| 0
31
1 10 100 1000
-1
-3
-4
-5
-6
-6
-7
-8
-9
-2
Numero de elementos
Log 1
0 ||E
|| 0
31
Problema I (7 val.) Página I.1 1. Considere a equação diferencial:
( ) ( ) ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3)u x u x x x xδ δ δ′′ + = − + − + − 0 4x≤ ≤
E as condições de fronteira u(0) = 2, u′(4)=1. a) Estabeleça a formulação fraca, especificando as classes de funções teste e tentativa
admissíveis. (2val) b) Sabendo que a matriz de rigidez global, correspondente à discretização por 4
elementos lineares, é dada por:
2 /3 7 / 6 0 0 07 / 6 4 / 3 7 / 6 0 0
0 7 / 6 4 / 3 7 / 6 00 0 7 / 6 4 / 3 7 / 60 0 0 7 / 6 2 / 3
K
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Obtenha o sistema final de equações a resolver. (2 val) 2. A solução pelo método dos elementos finitos de uma equação diferencial ordinária linear,
de 2ª ordem, num domínio de comprimento unitário, foi efectuado usando diversas malhas uniformes com o mesmo tipo de elementos. Obteve-se o gráfico da figura, que mostra a evolução da norma quadrática média do erro da solução em função do numero de elementos utilizado. Suponha que a solução exacta é uma função infinitamente diferenciável.
a) Qual o tipo de elementos que foram utilizados? Justifique.
(1 val) b) Se a curva representasse a norma da energia em vez da
norma quadrática média, a resposta à alínea anterior seria a mesma? Justifique. (1 val)
c) Qual a ordem de grandeza expectável para a norma quadrática média do erro do fluxo, para uma malha com 1000 elementos? Justifique. (1 val).
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
Página I.2 Problema II (6 val.) Página II.1 A estrutura reticulada apresentada na figura é constituída por barras articuladas cuja secção transversal é A= 10-4 m2 e o módulo de elasticidade E = 1010 Nm-2. Admita ainda que as dimensões representadas na figura correspondem a L = 5 m e as cargas são P=103 N. Na solução do problema aplique o método dos elementos finitos para:
P
2L2L
P
LP
2L2L
P
L
a) Proponha a malha mais simples com que possa resolver o problema de calcular a
deformada da estrutura. (1 val) b) Determine a matriz de rigidez de cada elemento finito da malha escolhida. (1 val) c) Determine o vector de cargas de cada elemento da malha. (1 val) d) Construa a matriz de rigidez global e o vector de cargas global para a estrutura. (2 val) e) Apresente o sistema de equações de equilíbrio da estrutura que lhe permite calcular a
deformada da estrutura (não calcule os deslocamentos). (1 val) Problema III (7 val.) Página III.1 Considere o problema de condução de calar num placa bidimensional definido pela equação
( ), 2u x y−Δ = , resolvido com malha de elementos finitos indicada na figura a. Considere h=1 e as seguintes condições de fronteira:
142u y em= − Γ , 564u em= Γ e
12 25 34 630 , , ,u emn∂
= Γ Γ Γ Γ∂
.
figura a figura b a) Determine nas coordenadas (x,y) as funções de forma de um elemento característico
representado na figura b. (1 val) b) Calcule as componentes 22 12 23,e e eK K e K , da matriz dos coeficientes (rigidez) local do
elemento da figura b.(1 val) c) Calcule o vector de cargas ef (forças) do elemento. (1 val)
1 2
3 4
5
6
x
y
(0,0) (h,0)
(h,h) (0,h)
x
y
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
d) Obtenha o sistema de equações a resolver, incluindo as condições de fronteira, e calcule a solução do problema. Independentemente do resultado das alíneas anteriores considere que a matriz dos coeficientes e o vector de cargas locais são dados por, (2 val)
4 1 2 11 4 1 212 1 4 161 2 1 4
eK
− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
e 2
11121
e hf
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
e) Independentemente do resultado das alíneas anteriores, admita, que a solução de elementos finitos nos nós é a seguinte: 1 0u = ; 2 3u = , 3 1u = , 4 2u = − , 5 4u = , 6 4u = .
(i) Trace a isolinha 0hu = (1 val) (ii) Estime as componentes do fluxo no ponto de coordenadas ( )0.5 ; 0.5x y= = . (1 val)
Problema I (6.5 val.) Página I.1 Considere o seguinte problema de valores de fronteira,
1( ) 2 0 12
(0) 0(1) 0
u x x x
uu
δ⎧ ⎛ ⎞′′− = − < <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩
1. Obtenha a formulação fraca do problema. (1.5 val)
2. Qual o número mínimo de elementos finitos necessário a resolver o problema. Justifique. (1.5 val)
3. Obtenha a solução aproximada utilizando dois elementos finitos lineares. (1.5 val)
4. Obtenha a solução no caso da condição de fronteira em x=1 ser (1) (1) 2u u′ + = . (2 val) Problema II (7 val.) Página II.1 Considere o elemento de 4 nós com as seguintes coordenadas :
Nó x y 1 0 0 2 1 0 3 1 1 4 x4 2-2x4
d. Determine a transformação de coordenadas do elemento dado para o elemento de referência bi-linear. (2 val)
e. Determine os valores de x4 para os quais a transformação é invertível. (2 val)
f. Para x4=-1, determine a área do elemento. (1.5 val)
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
g. Para x4=-1, determine as coordenadas do centróide do elemento utilizando uma regra de Gauss com um ponto de integração. O valor que obteve é exacto ? Justifique. (1.5 val)
Problema III (6.5 val.) Página III.1
Considere a equação ( ) ( ) ( )2
2
( , )( ) , ,u x tx k x u x t f x tt x x
ρ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ no domínio 0≤x≤1,
0≤t<T, as condições de fronteira u(0,t) = u(1,t) = 0 e as condições iniciais u(x,0) = û(x), ů(x,0) = v̂ (x), sendo û(x) e v̂ (x) funções conhecidas.
1. Mostre que a semi-discretização da equação conduz a M ü(t) + K u(t) = f (t) (2.5 val.).
2. Efectue a discretização temporal usando o método de Newmark (2.5 val.)
3. Diga, justificando, se o esquema de discretização temporal de Newmark conduz a um método implícito ou explícito (1.5 val.).
Problema I (6 val.) Página I.1 Considere o problema da determinação da deformada de uma viga, encastrada nas duas extremidades, e sujeita ao carregamento esquematizado na figura:
L/3 L/3 L/3
qP P
L/3 L/3 L/3
qP P
As equações diferenciais que governam a flexão desta viga elástica são dadas por:
2 2
2 2
( )( ) , , 0d M d w M xq x x Ldx dx EI
= = < <
em que q(x) é o carregamento uniforme, w(x) a deformada da viga, M(x) o momento flector, E o módulo de Young e I o momento de inércia. 1. Estabeleça a formulação fraca do problema, especificando as classes de funções teste e
tentativa admissíveis (2.5 val.). 2. Diga, justificando, se para este problema há vantagem em recorrer a transformações de
coordenadas para o cálculo das componentes da matriz dos coeficientes e do vector dos termos independentes (2 val.).
3. Considere a resolução de um problema semelhante, com a viga apoiada nas duas
extremidades, através de um programa comercial. Suponha que na resolução do problema se utilizaram duas malhas uniformes, uma com n elementos e outra com 2n elementos, conduzindo a valores da norma quadrática media do erro da rotação de 2x10-3 e 0.5x10-3 respectivamente. Diga, justificando, qual o tipo de elementos utilizados (1.5 val.).
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
Página I.2 Problema II (7 val.) Página II.1 Considere a estrutura de espessura t = 1 cm, em tensão plana, modelada com dois elementos de 8 nós e com uma força distribuída P=3KNcm-2 como indica a figura,
1 2 3 4 5
6 7 8
9 10 11 12 13
4 cm 4 cm
2 cm P = 3 KNcm-2
1. Indique quais as condições de fronteira essenciais do problema (1 val).
2. Determine o vector de forças do problema. Indique todos os cálculos necessário à sua determinação (2 val).
3. Determine o padrão de esparsidade da matriz de rigidez, indicando com X os elementos não nulos. Calcule a semi-largura de banda da matriz (2 val).
4. Renumere os nós de modo a minimizar a largura de banda. Calcule a nova semi-largura de banda (2 val).
Problema III (7 val.) Página III.1 Considere a seguinte equação diferencial:
. 600u ut
∂= ∇∇ +
∂
com a condição de fronteira: u=0 em δΩ1 e a condição inicial: u=0 para t=0. Pretende-se resolver este problema com o método dos elementos finitos numa malha com 4 elementos triangulares.
1
2
3
4
5
1
2
3
4 2
21
2
3
4
5
1
2
3
4 2
2
5- Construa a matriz da conectividade do problema definindo claramente o elemento de referência que utilizou. (1.5 val)
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
X
Y
1
2
3
4
Ωe
X
Y
1
2
3
4
Ωe
6- Determine a matriz da condutividade, kij, e o vector de fontes, fi para o elemento de referência. (2 val)
7- Determine o valor máximo que u pode atingir no domínio e o local em que se verifica. (1.5 val)
8- Utilizando o método explícito e um único passo no tempo determine o tempo que u leva a atingir metade do valor máximo. (2 val)
2 1 1
1 1 2 124
1 1 2
eijC
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
para o elemento 1
Nota: se não resolveu a alínea 3 admita que umax=60 Problema I (10 Val.) Pretende-se resolver pelo método dos elementos finitos a equação diferencial u″(x)+ u(x) = 0 no domínio -h≤x≤h, com condições de fronteira u′(-h) = sen (h) e u(h) = cos(h).
1. Estabeleça a formulação fraca do problema, especificando os espaços de funções teste e tentativa admissíveis (1.5 val.)
2. Considere uma malha constituída por dois elementos lineares de igual comprimento. a) Sabendo que 11 1 3ek h h= − + determine todas as outras componentes da matriz de
rigidez local para o elemento Ω1 (-h≤x≤0) (1.5 val). b) Determine a matriz de rigidez e o vector de carga globais (2 val.). c) Determine o sistema final de equações a resolver (2 val.).
3. Considere a malha usada na questão 2 e tome h = 3 a) Determine a solução aproximada do problema (1 val.). b) Determine o fluxo em x = - 3 a partir da solução aproximada calculada em a).
Comente o resultado (1 val.). c) Determine, por dois processos diferentes, o valor aproximado do fluxo em x = 3 (1
val.). Problema II (4 val.) Considere o elemento bilinear quadrangular Ωε e esquematizado na figura. As coordenadas dos nós 1, 2, 3 e 4 são (-1,0), (0,-1), (a,0) e (0,1), respectivamente.
1. Diga, justificando, se a função teste veh(x,y)=a1+a2x+a3y+ a4xy
é admissível (2 val.).
2. Verifique que o elemento representado na figura é admissível para valores de a positivos (2 val.).
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
Problema III (6 val.) Pretende-se resolver um problema pelo método dos elementos finitos usando a malha representada na figura:
1. Comente as seguintes afirmações:
a) A numeração dos elementos influencia a largura da banda e o padrão de esparsidade (localização dos elementos nulos e não nulos) da matriz de rigidez global (1 val.).
b) A numeração dos nós influencia a largura da banda e o padrão de esparsidade da matriz de rigidez global (1 val).
c) A taxa de convergência para os elementos quadrangulares bilineares é maior do que para os elementos triangulares (1 val).
2. Numere os nós da malha de modo a minimizar a largura da banda da matriz de rigidez. Qual é a largura da banda para essa numeração? (1.5 val.).
3. Qual é o numero de graus de liberdade para um problema de: a) Condução de calor em regime estacionário? (0.5 val.). b) Condução de calor em regime transiente? (0.5 val.). c) Elasticidade linear, assumindo tensão plana? (0.5 val.).
Problema I (7 val.) Página I.1 Pretende-se resolver pelo método dos elementos finitos a equação diferencial u″(x)+ u(x) = 0 no domínio -h≤x≤h, com condições de fronteira u′(-h) = sen (h) e u(h) = cos(h).
1. Estabeleça a formulação fraca do problema, especificando os espaços de funções teste e tentativa admissíveis (1.5 val.)
2. Considere uma malha constituída por dois elementos lineares de igual comprimento. a) Sabendo que 11 1 3ek h h= − + determine todas as outras componentes da matriz de
rigidez local para o elemento Ω1 (-h≤x≤0) (1.5 val). b) Determine a matriz de rigidez e o vector de carga globais (2 val.). c) Determine o sistema final de equações a resolver (2 val.).
3. Considere a malha usada na questão 2 e tome h = 3 a) Determine a solução aproximada do problema (1 val.). b) Determine o fluxo em x = - 3 a partir da solução aproximada calculada em a).
Comente o resultado (1 val.). c) Determine, por dois processos diferentes, o valor aproximado do fluxo em x = 3
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
Problema II (6 val.) Página II.1 Considere o elemento plano de quatro nós, apresentado na figura, para um problema de deformação plana: (a) Estabeleça as funções de base para este elemento. (b) Escreva a matriz de rigidez [K] em função do módulo de Young E. Considere o material
homogéneo, com coeficiente de Poisson ν=0 e espessura unitária. Não é necessário calcular os integrais, sendo suficiente a indicação detalhada da integranda e dos limites de integração.
(c) Determine os deslocamentos nodais para as condições indicadas na figura. (Sugestão: Admita que os elementos da diagonal da matriz de rigidez valem E/2 e os elementos fora da diagonal E/8)
(d) Determine o campo de tensão no elemento. Problema III (7 val.) Página III.1 Considere a seguinte equação diferencial :
. 0u em∇∇ = Ω com as seguinte condições de fronteira :
1
2
0
0
u emu emn
= ∂Ω∂
= ∂Ω∂
Pretende-se resolver este problema utilizando o método dos elementos finitos com uma malha de elementos triangulares de 3 nós ilustrada na figura 1.
a) Construa a matriz da conectividade do problema definindo claramente o elemento
de referência que utilizou.
x
y
2 1
1
1
1
4 P
3 30o
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
1 10 100 1000
-1
-3
-4
-5
-6
-6
-7
-8
-9
-2
Numero de elementos
Log 1
0 ||E
|| 0
31
1 10 100 1000
-1
-3
-4
-5
-6
-6
-7
-8
-9
-2
Numero de elementos
Log 1
0 ||E
|| 0
31
b) Determine a matriz de rigidez, kij, e o vector de carga, fi, do elemento de referência.
c) Determine a solução aproximada do problema. d) A malha proposta é uma boa escolha. Justifique ?
Problema I (7 val.) Página I.1 2. Considere a equação diferencial: ( ) ( ) ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3)u x u x x x xδ δ δ′′ + = − + − + − 0 4x≤ ≤
E as condições de fronteira u(0) = 2, u′(4)=1. c) Estabeleça a formulação fraca, especificando as classes de funções teste e tentativa
admissíveis. (2val) d) Sabendo que a matriz de rigidez global, correspondente à discretização por 4
elementos lineares, é dada por:
2 /3 7 / 6 0 0 07 / 6 4 / 3 7 / 6 0 0
0 7 / 6 4 / 3 7 / 6 00 0 7 / 6 4 / 3 7 / 60 0 0 7 / 6 2 / 3
K
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Obtenha o sistema final de equações a resolver. (2 val) 3. A solução pelo método dos elementos finitos de uma equação diferencial ordinária linear,
de 2ª ordem, num domínio de comprimento unitário, foi efectuado usando diversas malhas uniformes com o mesmo tipo de elementos. Obteve-se o gráfico da figura, que mostra a evolução da norma quadrática média do erro da solução em função do numero de elementos utilizado. Suponha que a solução exacta é uma função infinitamente diferenciável.
d) Qual o tipo de elementos que foram utilizados? Justifique.
(1 val) e) Se a curva representasse a norma da energia em vez da
norma quadrática média, a resposta à alínea anterior seria a mesma? Justifique. (1 val)
f) Qual a ordem de grandeza expectável para a norma quadrática média do erro do fluxo, para uma malha com 1000 elementos? Justifique. (1 val).
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
Problema II (6 val.) Página II.1 A estrutura reticulada apresentada na figura é constituída por barras articuladas cuja secção transversal é A= 10-4 m2 e o módulo de elasticidade E = 1010 Nm-2. Admita ainda que as dimensões representadas na figura correspondem a L = 5 m e as cargas são P=103 N. Na solução do problema aplique o método dos elementos finitos para:
P
2L2L
P
LP
2L2L
P
L
f) Proponha a malha mais simples com que possa resolver o problema de calcular a
deformada da estrutura. (1 val) g) Determine a matriz de rigidez de cada elemento finito da malha escolhida. (1 val) h) Determine o vector de cargas de cada elemento da malha. (1 val) i) Construa a matriz de rigidez global e o vector de cargas global para a estrutura. (2 val) j) Apresente o sistema de equações de equilíbrio da estrutura que lhe permite calcular a
deformada da estrutura (não calcule os deslocamentos). (1 val) Problema III (7 val.) Página III.1 Considere o problema de condução de calar num placa bidimensional definido pela equação
( ), 2u x y−Δ = , resolvido com malha de elementos finitos indicada na figura a. Considere h=1 e as seguintes condições de fronteira:
142u y em= − Γ , 564u em= Γ e
12 25 34 630 , , ,u emn∂
= Γ Γ Γ Γ∂
.
figura a figura b f) Determine nas coordenadas (x,y) as funções de forma de um elemento característico
representado na figura b. (1 val) g) Calcule as componentes 22 12 23,e e eK K e K , da matriz dos coeficientes (rigidez) local do
elemento da figura b.(1 val) h) Calcule o vector de cargas ef (forças) do elemento. (1 val)
1 2
3 4
5
6
x
y
(0,0) (h,0)
(h,h) (0,h)
x
y
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
i) Obtenha o sistema de equações a resolver, incluindo as condições de fronteira, e calcule a solução do problema. Independentemente do resultado das alíneas anteriores considere que a matriz dos coeficientes e o vector de cargas locais são dados por, (2 val)
4 1 2 11 4 1 212 1 4 161 2 1 4
eK
− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
e 2
11121
e hf
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
j) Independentemente do resultado das alíneas anteriores, admita, que a solução de elementos finitos nos nós é a seguinte: 1 0u = ; 2 3u = , 3 1u = , 4 2u = − , 5 4u = , 6 4u = .
(i) Trace a isolinha 0hu = (1 val) (ii) Estime as componentes do fluxo no ponto de coordenadas ( )0.5 ; 0.5x y= = . (1 val)
Problema I (7 val.) Página I.1 Pretende-se resolver pelo método dos elementos finitos a equação diferencial u″(x)+ u(x) = 0 no domínio -h≤x≤h, com condições de fronteira u′(-h) = sen (h) e u(h) = cos(h).
1. Estabeleça a formulação fraca do problema, especificando os espaços de funções teste e tentativa admissíveis (1.5 val.)
2. Considere uma malha constituída por dois elementos lineares de igual comprimento. a) Sabendo que 11 1 3ek h h= − + determine todas as outras componentes da matriz de
rigidez local para o elemento Ω1 (-h≤x≤0) (1.5 val). b) Determine a matriz de rigidez e o vector de carga globais (2 val.). c) Determine o sistema final de equações a resolver (2 val.).
3. Considere a malha usada na questão 2 e tome h = 3 a) Determine a solução aproximada do problema (1 val.). b) Determine o fluxo em x = - 3 a partir da solução aproximada calculada em a).
Comente o resultado (1 val.). c) Determine, por 2 processos diferentes, o valor aproximado do fluxo em x= 3 (1 val).
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
Problema II (6 val.) Página II.1 A estrutura apresentada na figura é constituída por vigas cuja secção transversal é A= 10-3 m2 o momento de inércia é I= 50x10-8 m4 e o módulo de elasticidade E = 1010 Nm-2. Admita ainda que as dimensões representadas na figura correspondem a L = 5 m e as cargas são P=103 N. Na solução do problema aplique o método dos elementos finitos para:
P
L
L
45ºP
L
L
45º
k) Proponha a malha mais simples com que possa resolver o problema de calcular a deformada da estrutura. (1 val)
l) Determine a matriz de rigidez de cada elemento finito da malha escolhida. (1 val) m) Determine o vector de cargas de cada elemento da malha. (1 val) n) Construa a matriz de rigidez global e o vector de cargas global para a estrutura. (2 val) o) Apresente o sistema de equações de equilíbrio da estrutura que lhe permite calcular a
deformada da estrutura (não calcule os deslocamentos). (1 val) Problema III (7 val.) Página III.1 Considere a seguinte equação diferencial:
. 600u ut
∂= ∇∇ +
∂
com a condição de fronteira: u=0 em δΩ1 e a condição inicial: u=0 para t=0. Pretende-se resolver este problema com o método dos elementos finitos numa malha com 4 elementos triangulares.
1
2
3
4
5
1
2
3
4 2
21
2
3
4
5
1
2
3
4 2
2
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
9- Construa a matriz da conectividade do problema definindo claramente o elemento de referência que utilizou. (1.5 val)
10- Determine a matriz da condutividade, kij, e o vector de fontes, fi para o elemento de referência. (2 val)
11- Determine o valor máximo que u atinge no domínio e o local em que se verifica. (1.5 val)
12- Utilizando o método explícito e um único passo no tempo determine o tempo que u leva a atingir metade do valor máximo. (2 val)
2 1 1
1 1 2 124
1 1 2
eijC
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
para o elemento 1
Nota: se não resolveu a alínea 3 admita que umax=60 Problema I (6.5 val.) Página I.1 Considere o seguinte problema de valores de fronteira,
1( ) 2 0 12
(0) 0(1) 0
u x x x
uu
δ⎧ ⎛ ⎞′′− = − < <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩
5. Obtenha a formulação fraca do problema. (1.5 val)
6. Qual o número mínimo de elementos finitos necessário a resolver o problema. Justifique. (1.5 val)
7. Obtenha a solução aproximada utilizando dois elementos finitos lineares. (1.5 val)
8. Obtenha a solução no caso da condição de fronteira em x=1 ser (1) (1) 2u u′ + = . (2 val)
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
Problema II (7 val.) Página II.1 Considere o elemento de 4 nós com as seguintes coordenadas :
Nó x y 1 0 0 2 1 0 3 1 1 4 x4 2-2x4
h. Determine a transformação de coordenadas do elemento dado para o elemento de referência bi-linear. (2 val)
i. Determine os valores de x4 para os quais a transformação é invertível. (2 val)
j. Para x4=-1, determine a área do elemento. (1.5 val)
k. Para x4=-1, determine as coordenadas do centróide do elemento utilizando uma regra de Gauss com um ponto de integração. O valor que obteve é exacto ? Justifique. (1.5 val)
Problema III (6.5 val.) Página III.1
Considere a equação ( ) ( ) ( )2
2
( , )( ) , ,u x tx k x u x t f x tt x x
ρ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ no domínio 0≤x≤1,
0≤t<T, as condições de fronteira u(0,t) = u(1,t) = 0 e as condições iniciais u(x,0) = û(x), ů(x,0) = v̂ (x), sendo û(x) e v̂ (x) funções conhecidas.
1. Mostre que a semi-discretização da equação conduz a M ü(t) + K u(t) = f (t) (2.5 val.).
2. Efectue a discretização temporal usando o método de Newmark (2.5 val.)
3. Diga, justificando, se o esquema de discretização temporal de Newmark conduz a um método implícito ou explícito (1.5 val.).
Problema I (7 val.) Página I.1 Considere o seguinte problema de valores de fronteira,
1( ) ( ) 2 0 13
(0) 0(1) 0
u x u x x x
uu
δ⎧ ⎛ ⎞′′− + = − < <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩
9. Obtenha a formulação fraca do problema. (1.5 val)
10. Qual o número mínimo de elementos finitos necessário a resolver o problema. Justifique. (1.5 val)
11. Obtenha a solução aproximada utilizando dois elementos finitos lineares. (2 val)
Nome: ___________________________________________________ Numero:__________
12. Obtenha a solução no caso da condição de fronteira em x=1 ser (1) (1) 2u u′ + = (em vez de u(1)=0). (2 val)
Problema II (6 val.) Página II.1 A estrutura apresentada na figura é constituída por vigas cuja secção transversal é A= 10-3 m2 o momento de inércia é I= 50x10-8 m4 e o módulo de elasticidade E = 1010 Nm-2. Admita ainda que as dimensões representadas na figura correspondem a L = 5 m e as cargas são P=103 N. Na solução do problema aplique o método dos elementos finitos para:
p) Proponha a malha mais simples com que possa resolver o problema de calcular a deformada da estrutura. (1 val)
q) Determine a matriz de rigidez de cada elemento finito da malha escolhida. (1 val) r) Determine o vector de cargas de cada elemento da malha. (1 val) s) Construa a matriz de rigidez global e o vector de cargas global para a estrutura. (2 val) t) Apresente o sistema de equações de equilíbrio da estrutura que lhe permite calcular a
deformada da estrutura (não calcule os deslocamentos). (1 val) Problema III (7 val.) Página III.1 Considere o elemento de 4 nós com as seguintes coordenadas :
Nó x y 1 0 0 2 2 0 3 2 2 4 x4 2-2x4
l. Determine a transformação de coordenadas do elemento dado para o elemento de referência bi-linear. (2 val)
m. Determine os valores de x4 para os quais a transformação é invertível. (2 val)
n. Para x4=-1, determine a área do elemento. (1.5 val)
PL
L
45º
k
PL
L
45º
PL
L
45º
kk