Probabilidade Condicional

Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros

DTAiSeR-Ar

Disciplina: 221171

1

• Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório

com o qual trabalhamos pode ser separado em etapas.

• A informação do que ocorreu em determinada

etapa pode influenciar nas probabilidades de

ocorrências das etapas sucessivas.

• Neste casos, dizemos que ganhamos informação e

podemos “recalcular” as probabilidades de interesse.

Probabilidade condicional

2

0,425200

85)()( FPmulherP

Curso \ Sexo Homens

(H)

Mulheres

(F)

Total

(Curso)

Matemática pura (M) 70 40 110

Matemática aplicada (A) 15 15 30

Estatística (E) 10 20 30

Computação (C) 20 10 30

Total (Sexo) 115 85 200

Dado que um estudante, escolhido ao acaso,

qual a probabilidade de que seja mulher?

Na tabela temos dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos de

uma universidade no ano passado:

Exemplo 1

3

Do total de 30 alunos que estudam Estatística, 20 são mulheres. Logo,

Probabilidade condicional

0,66673

2

30

20)|()|( EFPaEstatísticmulherP

Curso \ Sexo Homens

(H)

Mulheres

(F)

Total

(Curso)

Matemática pura (M) 70 40 110

Matemática aplicada (A) 15 15 30

Estatística (E) 10 20 30

Computação (C) 20 10 30

Total (Sexo) 115 85 200

Dado que um estudante, escolhido ao acaso, está matriculado no curso de

Estatística, qual a probabilidade de que seja mulher?

4

Ω

A B

AB

Probabilidade condicional

Dados dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade condicional de A

dado que ocorreu B é representada por P(A|B) e é dada por:

0)(,)(

)()|(

BP

BP

BAPBAP

OBS: Se P(B) = 0 usaremos P(A|B) = P(A)

Basta pensar que o espaço

amostral ficou reduzido,

ou restrito ao evento B, o

qual já ocorreu.

5

Curso \ Sexo Homem

(H)

Mulher

(F)

Total

(Curso)

Matemática pura (M) 70 40 110

Matemática aplicada (A) 15 15 30

Estatística (E) 10 20 30

Computação (C) 20 10 30

Total (Sexo) 115 85 200

)(

)()|(

EP

EFPEFP

O aluno está matriculado em

estatística e do sexo feminino.

3

2

200/30

200/20

Como havíamos

obtido!!!

Voltando

ao exemplo...

Sejam:

Evento E: aluno está matriculado em estatística, e

Evento F: aluno é mulher, então:

0,66673

2

30

20)|( EFP

6

Da definição de probabilidade condicional,

deduzimos a regra do produto de probabilidades:

Regra do produto de probabilidade

Sejam A e B eventos de Ω. Então,

0)(),()|()( BPcomBPBAPBAP

0)(,)(

)()|(

BP

BP

BAPBAP

7

Independência de eventos

Definição:

Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência

ou não de B não altera a ocorrência de A, ou seja,

P(A|B) = P(A), para P(B) > 0

Ou de forma equivalente:

P(A B) = P(A) . P(B)

Não confundir com eventos

disjuntos!!!!

8

Definição:

Três eventos A, B e C são independentes se, e somente se:

P(A B) = P(A) . P(B)

P(A C) = P(A) . P(C)

P(B C) = P(B) . P(C)

P(A B C) = P(A) . P(B) . P(C)

• Se apenas as três primeiras equações forem satisfeitas, os eventos

A, B e C são mutuamente independentes.

9

Independência de eventos

Exemplo 4

Uma empresa possui duas máquinas (I e II) para produzir peças que

podem apresentar desajustes com probabilidade 0,05 e 0,10,

respectivamente. Para cumprir o nível mínimo de produção pelo menos

uma das máquinas deve operar.

No início do dia de operação um teste é

realizado e caso a máquina esteja fora de

ajuste ela ficará sem operar nesse dia.

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Qual é a probabilidade da empresa

conseguir cumprir com suas metas

de produção?

• Seja Oi o evento da máquina i estar operando, i = 1, 2.

• Pelas informações disponíveis temos:

P(O1) = 0,95 e P(O2) = 0,90

Árvore de probabilidades,

representa os eventos e as

probabilidades condicionais

associadas às realizações.

Cada um dos caminhos da árvore

representa uma possível

ocorrência

O1

O1C

O2

O2C

O2

O2C

0,95

0,05

0,90

0,10

0,90

0,10

11

• Então as possíveis ocorrências são:

= {(O1 O2 ), (O1 O2C ), (O1

C O2 ), (O1C O2

C )}

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OBS: Assumimos independência entre O1 e O2 , pois acreditamos que uma

eventual falta de ajuste em uma máquina não interfere no comportamento da outra

P(O1 | O2) = P(O1)

Eventos Probabilidade

O1 O2 P(O1 O2) = P(O1|O2 ) P(O2)

O1 O2C P(O1 O2

C) = P(O1|O2C) P(O2

C)

O1C O2 P(O1

C O2) = P(O1C|O2) P(O2)

O1C O2

C P(O1

C O2C) = P(O1

C|O2C) P(O2

C)

• Para obter o nível mínimo de produção diária, precisamos ter pelo menos

1 máquina operando. Isto corresponde a união dos 3 primeiros eventos:

P[(O1 O2) (O1 O2C ) (O1

C O2 )] =

= P(O1 O2) + P(O1 O2C ) + P(O1

C O2 )

= 0,855 + 0,095 + 0,045 = 0,995

Realizações disjuntas!!!

Existe outra maneira de resolver essa situação?

Ω

Partição do espaço

amostral (n=5)

Definição:

• Os eventos C1, C2, ..., Cn formam uma partição do espaço

amostral :

a) Se eles NÃO tem intersecção entre si; e

b) Se a sua união é igual ao espaço amostral.

Ci Cj = para i j e

n

iiC

1

13

Partição do espaço amostral

Lei da probabilidade total

Suponha que os eventos C1, C2, ..., Cn formam uma partição do

espaço amostral e todos têm probabilidade positiva

P(Ci) > 0, i, i=1,...,n

Então,

)|()()(1

i

n

ii CAPCPAP

A

14

• Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades

condicionais é dada pelo teorema de Bayes.

A versão mais simples é:

Teorema de Bayes

)(

)|()(

)(

B)P()|(

BP

ABPAP

BP

ABAP

Atualiza a probabilidade inicial P(A) multiplicando-a por:

)(

)|(

BP

ABP

15

Teorema de Bayes

• Suponha que os eventos C1, C2, ..., Cn formem uma partição do

espaço amostral e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha

ainda que para um evento A, se conheçam as probabilidades P(A|Cj)

para todo j.

• Então, para qualquer j,

njCPCAP

CCAACP

j

n

jj

jj

j ,...,2,1,)()|(

))P(|P()|(

1

ARegra do produto de probabilidades

Lei da probabilidade total=

16

Um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite

que utiliza de uma fazenda F1, 30% de outra fazenda

F2 e 50% da fazenda F3.

Da amostra adulterada, qual é a probabilidade

do leite ter sido fornecido pela fazenda F1?

Exemplo 5

Houve uma fiscalização e observou-se que 20% do leite produzido

por F1 está com adição de água, enquanto que para F2 e F3 a

proporção era de 5% e 2%.

Contudo, na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados

em um refrigerador sem identificação das fazendas.

17Resposta: 0,615.

a) Da amostra adulterada, qual é a probabilidade do leite ter sido

fornecido pela fazenda F2?

Exercícios

18Resposta: a) 0,2308; b) 0,1538

b) Da amostra adulterada, qual é a probabilidade do leite ter sido

fornecido pela fazenda F3?

Tarefa 1

Experimento: Uma urna contém 4 bolas brancas e 3 bola pretas de onde são feias duas

extrações de 1 bola ao acaso e sem reposição. Considere os seguintes eventos:

B1: sair bola branca na primeira extração;

B2: sair bola branca na segunda extração;

P1: sair bola preta na primeira extração;

P2: sair bola preta na segunda extração.

a) Construa o espaço amostral . Utilize a árvore de probabilidades e faça uma tabela com:

(i) os possíveis resultados (eventos) em palavras; (ii) sua notação usado teoria de

conjuntos; e (iii) indique as probabilidades associadas a cada um dos pontos amostrais.

b) Calcule a probabilidade de sair branca na 1.a extração e preta na 2.a extração.

c) Calcule a probabilidade de sair bola branca na 2.a extração.

d) Calcule a probabilidade de sair bola preta na 2.a extração.

e) Calcule a probabilidade de ter saído bola preta na 2.a extração sabendo-se que (dado que)

saiu bola branca na primeira extração.

f) Calcule a probabilidade de ter saído bola preta na 2.a extração sabendo-se que (dado que)

saiu bola preta na primeira extração.

g) Os eventos B1 e B2 são independentes? Prove para justificar sua resposta.

h) Os eventos P1 e P2 são independentes? Prove para justificar sua resposta. 19

Tarefa 2

Experimento: Uma urna contém 4 bolas brancas e 3 bola pretas de onde são feias duas

extrações de 1 bola ao acaso e com reposição da 1.a bola extraída, antes da extração da

2.a bola. Considere os seguintes eventos:

B1: sair bola branca na primeira extração;

B2: sair bola branca na segunda extração;

P1: sair bola preta na primeira extração;

P2: sair bola preta na segunda extração.

a) Refaça os itens da tarefa 1 para esse experimento. Os resultados foram os mesmos?

b) Calcule as seguintes probabilidades:

b.1) P(B2|B1); h.3) P(P2|P1);

b.2) P(B2|P1); h.4) P(P2|B1).

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