probabilidade

ProbabilidadeProbabilidadeChance de um evento ocorrerChance de um evento ocorrer

Prof. Marcelo EustáquioProf. Marcelo Eustá[email protected]@gmail.com

Histórico:Histórico:

A origem do estudo acerca de probabilidades A origem do estudo acerca de probabilidades data do século XVI por intermédio dos data do século XVI por intermédio dos

italianos italianos CardanoCardano (1501 - 1576) e (1501 - 1576) e Galileu Galileu Galilei Galilei (1564 - 1642) e tratavam dos jogos de (1564 - 1642) e tratavam dos jogos de

dados. dados.

Histórico:Histórico:Em 1654, o francês Em 1654, o francês Pascal Pascal (1612 -1668) foi (1612 -1668) foi

procurado por Chevalier de Méré amigo seu e procurado por Chevalier de Méré amigo seu e jogador profissional, que lhe apresentou jogador profissional, que lhe apresentou

questões do tipo: questões do tipo:

““Em oito lances de um dado, um jogador deve Em oito lances de um dado, um jogador deve tentar o número 1, mas, depois de três tentar o número 1, mas, depois de três

tentativas fracassadas, o jogo é interrompido tentativas fracassadas, o jogo é interrompido por seu oponente. Como ele poderia ser por seu oponente. Como ele poderia ser

indenizado?indenizado?”. ”.

Histórico:Histórico:

Atualmente, a Atualmente, a Teoria das ProbabilidadesTeoria das Probabilidades tem muita importância e várias aplicações em tem muita importância e várias aplicações em

estatística, economia, engenharia, física, estatística, economia, engenharia, física, química, sociologia, biologia e vários outros química, sociologia, biologia e vários outros

campos do conhecimento. campos do conhecimento.

Aplicação:Aplicação:

Experimentos ou eventos Experimentos ou eventos aleatóriosaleatórios (não determinístico)(não determinístico)

Não é conhecido o resultado Não é conhecido o resultado antes de sua ocorrênciaantes de sua ocorrência

Espaço Amostral:Espaço Amostral:

Espaço Amostral, normalmente representado Espaço Amostral, normalmente representado pela letra S, é o conjunto de todos os pela letra S, é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento resultados possíveis de um experimento aleatório. aleatório.

Exemplo: Exemplo:

Determine o espaço amostral do seguinte Determine o espaço amostral do seguinte experimento: “Um dado e uma moeda são experimento: “Um dado e uma moeda são

lançados e são observadas as faces voltadas lançados e são observadas as faces voltadas para cima”..para cima”..

Exemplo:Exemplo:

Determine o espaço amostral do seguinte Determine o espaço amostral do seguinte experimento: “Um dado e uma moeda são experimento: “Um dado e uma moeda são

lançados e são observadas as faces voltadas lançados e são observadas as faces voltadas para cima”..para cima”..

S = {(cara, 1); (cara, 2); (cara, 3); (cara, 4); S = {(cara, 1); (cara, 2); (cara, 3); (cara, 4); (cara, 5); (cara, 6); (coroa, 1); (coroa, 2); (cara, 5); (cara, 6); (coroa, 1); (coroa, 2);

(coroa, 3); (coroa, 4); (coroa, 5); (coroa, 6)}(coroa, 3); (coroa, 4); (coroa, 5); (coroa, 6)}

Exemplo:Exemplo:

Determine o espaço amostral do seguinte Determine o espaço amostral do seguinte experimento: “Um dado é lançado e é experimento: “Um dado é lançado e é observada a face voltada para cima”..observada a face voltada para cima”..

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6n(S) = 6

Evento:Evento:

É qualquer subconjunto de um É qualquer subconjunto de um Espaço Espaço AmostralAmostral..

SSEE

Exemplo:Exemplo:

““Quais são os resultados pares do Quais são os resultados pares do lançamento de um dado?”lançamento de um dado?”

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(E) = 3n(E) = 3

E = {2, 4, 6}E = {2, 4, 6}

Exemplo:Exemplo:

Considere o seguinte experimento:Considere o seguinte experimento:

““Retirar duas cartas de um baralho comum, Retirar duas cartas de um baralho comum, uma após a outra, sem reposição da primeira, uma após a outra, sem reposição da primeira,

e observar as cartas retiradas”.e observar as cartas retiradas”.

Calcule o número de elementos do seguinte Calcule o número de elementos do seguinte evento: “as duas cartas retiradas são figuras”. evento: “as duas cartas retiradas são figuras”.

Solução:Solução:

““... as duas cartas retiradas são figuras.”... as duas cartas retiradas são figuras.”

12 figuras12 figuras

6666!!1010!!22

!!1212CC12, 212, 2 ==⋅⋅

==

Probabilidade:Probabilidade:

Consideremos um experimento aleatório cujo Consideremos um experimento aleatório cujo espaço amostral é espaço amostral é S = {eS = {e11, e, e22, e, e33, ..., e, ..., enn}}. A . A

cada evento elementar cada evento elementar eeii, vamos associar um , vamos associar um número real número real ppii, chamado probabilidade do , chamado probabilidade do

evento evento eeii, que satisfaz as seguintes condições, que satisfaz as seguintes condições

{{ }}kk...,...,,,,,33,,22,,11ii11pp00 ii ∈∈∀∀≤≤≤≤I.I.

11pp......pppppppp kk332211

kk

11iiii ==++++++++==∑∑

==II.II.

Exemplo:Exemplo:

““Uma moeda é viciada de tal modo que sair Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é três vezes mais provável que sair cara é três vezes mais provável que sair

coroa. Calcule a probabilidade de sair cara no coroa. Calcule a probabilidade de sair cara no lançamento dessa moeda.”lançamento dessa moeda.”

p(coroa) = xp(coroa) = x

x + 3x = 1x + 3x = 1

p(cara) = 3xp(cara) = 3x

4x = 14x = 1x = 0,25x = 0,25

p(cara) = 3 p(cara) = 3 . . x = 3 x = 3 . . 0,25 = 0,750,25 = 0,75

Espaço Amostral Equiprovável:Espaço Amostral Equiprovável:

S é equiprovável se todos os seus elementos S é equiprovável se todos os seus elementos tem a mesma probabilidade de ocorrer.tem a mesma probabilidade de ocorrer.

SSEE

))SS((nn

))EE((nn))EE((PP ==

Exemplo:Exemplo:

Um baralho tem 52 cartas distribuídas entre 4 Um baralho tem 52 cartas distribuídas entre 4 naipes diferentes, cada um com 13 cartas. naipes diferentes, cada um com 13 cartas.

Qual a probabilidade de retirar uma carta do Qual a probabilidade de retirar uma carta do naipe de espada? naipe de espada?

))SS((nn

))EE((nn))EE((PP ==

5252

1313==

44

11==

Exemplo:Exemplo:

De um baralho com 52 cartas, três são De um baralho com 52 cartas, três são retiradas ao acaso, sem reposição. Qual a retiradas ao acaso, sem reposição. Qual a

probabilidade de ambas as cartas serem de probabilidade de ambas as cartas serem de ouros? ouros?

Probabilidade Condicional:Probabilidade Condicional:

Seja S um espaço amostral e sejam A e B Seja S um espaço amostral e sejam A e B dois eventos associados a S. Chama-se dois eventos associados a S. Chama-se probabilidade de A condicionada a B a probabilidade de A condicionada a B a

probabilidade de ocorrência do evento A, probabilidade de ocorrência do evento A, sabendo que o evento B vai ocorrer ou já sabendo que o evento B vai ocorrer ou já

ocorreu. Utilizaremos a seguinte notação para ocorreu. Utilizaremos a seguinte notação para probabilidade de A condicionada a B: probabilidade de A condicionada a B: P(A|B)P(A|B), ,

onde se lê probabilidade de A dado B. onde se lê probabilidade de A dado B.

Probabilidade Condicional:Probabilidade Condicional:

Probabilidade de A condicionada a B: Probabilidade de A condicionada a B: P(A|B)P(A|B), , onde se lê probabilidade de A dado B. onde se lê probabilidade de A dado B.

SSBB

AA))BB((PP

))BBAA((PP))BB||AA((PP∩∩==

Exemplo:Exemplo:

Jogando-se um dado e sabendo-se que Jogando-se um dado e sabendo-se que ocorreu um número maior ou igual a 3, qual a ocorreu um número maior ou igual a 3, qual a

probabilidade desse número ser ímpar? probabilidade desse número ser ímpar?

))SS((nn

))EE((nn))EE((PP ==

44

22==

22

11==

Da probabilidade condicional:Da probabilidade condicional:Sabe-se que a probabilidade de ocorrer um Sabe-se que a probabilidade de ocorrer um

evento A sabendo-se que já ocorreu o evento A sabendo-se que já ocorreu o evento B é dada porevento B é dada por

))BB((pp))BBAA((pp))BB||AA((pp

∩∩==

Portanto,Portanto,

))BB((pp))BBAA((pp ))BB||AA((pp∩∩ == xx

))BB((pp))BBAA((pp ))BB||AA((pp∩∩ == xx

Isso significa que, para se avaliar a probabilidade Isso significa que, para se avaliar a probabilidade de ocorrerem dois eventos simultâneos, que é de ocorrerem dois eventos simultâneos, que é

p(Ap(A∩∩B)B), é preciso multiplicar a probabilidade de , é preciso multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles, ocorrer um deles, p(B)p(B), pela probabilidade de , pela probabilidade de

ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu p(A|B)p(A|B)..

Exemplo:Exemplo:

Em um cesto de roupa, há dez meias, das quais Em um cesto de roupa, há dez meias, das quais três estão estragadas. Extraindo-se duas meias três estão estragadas. Extraindo-se duas meias

sucessivamente e sem reposição, qual é a sucessivamente e sem reposição, qual é a probabilidade de que as duas meias estejam probabilidade de que as duas meias estejam

estragadas?estragadas?


11aa meia meia

331010

22aa meia meia

2299

xx ==669090 ==

111515

Exemplo:Exemplo:

Doze livros de Matemática, sete de Física e cinco Doze livros de Matemática, sete de Física e cinco de Química estão guardados em um baú. Um de Química estão guardados em um baú. Um

estudante escolhe, sucessivamente e com estudante escolhe, sucessivamente e com reposição, dois desses livros. Qual a probabilidade reposição, dois desses livros. Qual a probabilidade

de que os livros sorteados sejam de Física?de que os livros sorteados sejam de Física?


1º livro1º livro

772424

2º livro2º livro

772424

xx ==4949

576576

Exemplo:Exemplo:

Em uma bandeja há dez pasteis, sendo três de Em uma bandeja há dez pasteis, sendo três de palmito, quatro de carne e três de queijo, todos com palmito, quatro de carne e três de queijo, todos com

o mesmo formato, dos quais três são retirados o mesmo formato, dos quais três são retirados sucessivamente e sem reposição.Qual a sucessivamente e sem reposição.Qual a

probabilidade de que ambos sejam de palmito?probabilidade de que ambos sejam de palmito?


1º pastel1º pastel

331010


2299

xx ==66

720720


1188

xx ==11

120120

Exemplo:Exemplo:

Três cartas, de um baralho, são extraídas Três cartas, de um baralho, são extraídas sucessivamente e sem reposição. Qual é a sucessivamente e sem reposição. Qual é a

probabilidade de que sejam retiradas três cartas do probabilidade de que sejam retiradas três cartas do naipe de copas?naipe de copas?


11aa carta carta

13135252

22aa carta carta

12125151

xx ==1111

850850

33aa carta carta

11115050

xx

Exemplo:Exemplo:

Três cartas, de um baralho, são extraídas Três cartas, de um baralho, são extraídas sucessivamente e sem reposição. Qual é a sucessivamente e sem reposição. Qual é a

probabilidade de que sejam retiradas três cartas do probabilidade de que sejam retiradas três cartas do mesmo naipe?mesmo naipe?


11aa carta carta

13135252

22aa carta carta

12125151

xx == 1111850850

33aa carta carta

11115050

xx xx 44 == 4444850850

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