Primitivas e cálculo integralpedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_6.pdf · Primitivas e cálculo...

6 Primitivas e cálculo integral

Atividade de diagnóstico

Pág. 70

1.1. ( ) ( ) ( ) ( )0 0

2 2 ln 2 ln 22 lim lim

→ →

+ − + −′ = = =

h h

f h f hf

h h

0

0

0

2ln

2limh

h

h

→

+ = =

0

ln 112

lim2

2

h

h

h→

+ = × =

0

0

1 1 1lim

e 12 e 1 2lim

1 1 1

2 1 2

yyy

y

y

y

→

→

= × = × =−−

= × =

1.2.

0

0

0 0

sin sincos 12 2

lim lim2 h h

hh

fh h

→ →

π π + − π − ′ = = =

( )( )

( ) ( )

2

0 0

1 cos 1 cos 1 coslim lim

1 cos 1 cosh h

h h h

h h h h→ →

− + −= − = − =

+ +

( )

2

0 0 0

sin sin sinlim lim lim

1 cos 1 cosh h h

h h h

h h h h→ → →= − = − × =

+ +

0

1 01 1

= − × =+

1.3. ( ) ( ) ( )0 0

3 3 3 2 43 lim lim

→ →

+ − + + −′ = = =

h h

f h f hf

h h

( )( )

( )0 04 2 4 24 2

lim lim4 2→ →

+ − + ++ −= = =

+ +h h

h hh

h h h

( ) ( )0 0

4 4lim lim

4 2 4 2h h

h h

h h h h→ →

+ −= = =

+ + + +

0

1lim

4 2

1 1

40 4 2

h h→= =

+ +

= =+ +

2.1. ( )1

33

0 0

1 1e e , , e

3 3

× = = → =

g x y

( ) ( ) ( )3 3 3e 3 e 3e′ ′′ = = =x x xg x x

1

33

13e 3e

3

× ′= = =

m g

( )0 0− = −y y m x x

1

e 3e 3e e e 3e3

− = − ⇔ = − + ⇔ =

y x y x y x

A equação da reta tangente pedida é 3ey x= .

2.2. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 0 01 1 2 1 3 1 1 , 1, 1= × − × = − → = −g x y

( ) ( ) ( )3 2 5 4 4 32 3 2 3 10 12′ ′ ′ = − = − = − g x x x x x x x x ( ) 41 10 1 12 1 2′= = × − × = −m g ( )0 0− = −y y m x x ( )1 2 1 2 2 1 2 1+ = − − ⇔ = − + − ⇔ = − +y x y x y x A equação da reta tangente pedida é 2 1y x= − + .

2.3. ( )0 0

12 5

1 4 122 , , 2

12 2 24

2

× − + − = = = − → = − − − × −

g x y

( ) ( ) ( ) ( )( )2

2 5 4 2 5 42 5

4 4

′ ′′ + × − + ×+ ′ = = =

x x x xxg x

x x

2 2

8 8 20 5

16 4

− −= = −

x x

x x

1 5

4 52 4

m g ′= = − × = −

y – y0 = m(x – x0)

1 5 9

2 5 5 2 52 2 2

+ = − + ⇔ = − − − ⇔ = − −

y x y x y x

A equação da reta tangente pedida é 9

52

y x= − −

2.4. ( ) ( ) ( ) ( )2 0 00 ln 0 1 ln1 0 , 0, 0= + = = → =g x y

( ) ( ) ( )2

2

2 2

1 2ln 1

1 1

′+′ ′ = + = = + +

x xg x x

x x

( )2

2 00 0

0 1

×′= = =+

m g

y – y0 = m(x – x0)

( )0 0 0 0− = × − ⇔ =y x y A equação da reta tangente pedida é y = 0.

3.1. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 122

′ ′′′ = + = + = +f x x x x x xx

3.2. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3cos cos cos′ ′ ′′ = = + =f x x x x x x x ( )2 33 cos sin= + − =x x x x ( )2 3cos sinx x x x−

3.3. ( ) 2 2 2ln5 5 5

′ ′ = =

x x

f x

3.4. ( ) ( ) ( )3 1 3 1 3 1e 3 1 e 3e− − −′ ′′ = = − =x x xf x x

3.5. ( )2

1 1 1 1 1sin cos cosf x

x x x x x

′ ′ ′ = = = −

3.6. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2 2cos 1 3cos 1 cos 1′ ′ ′ = − = − − = f x x x x

( ) ( ) ( )2 2 2 23cos 1 1 sin 1 ′= − − − − =

x x x

( ) ( )2 2 23 2 cos 1 sin 1= − × − − =x x x ( ) ( )2 2 26 sin 1 cos 1= − − −x x x

3.7. ( ) ( ) ( )( )( )2

1 sin 1 sin1

sin sin

′ ′′ + − ++ ′ = = =

x x x x x xxf x

x x x x

( ) ( )2 2

sin 1 sin sin

sin

x x x x x x x

x x

′′− + + = =

( )( )

2 2

sin 1 sin cos

sin

− + += =

x x x x x x

x x

2

2 2

sin sin sin cos cos

sin

x x x x x x x x x

x x

− − − −= =

2

2 2

sin cos cos

sin

− − −=

x x x x x

x x

Mudança de variável

ln 12

e 12

e 12

Se 0, 0

y

y

hy

h

h

h y

= + ⇔

⇔ = + ⇔

⇔ = −

→ →

6. Primitivas e cálculo integral

3.8. ( ) ( ) ( )2

2

1tan coscosln tan

sintan sin cos

cos

′′′ = = = = =

x xxf x xxx x x

x

1

sin cos=

x x

3.9. ( ) ( ) ( ) ( )sin sin2 2log 3 e log 3 e′ ′′′ = + = + = x xf x x x

( ) ( ) sin sin3 1

sin e cos e3 ln 2 ln 2

′′= + = +x x

xx x

x x

3.10. ( ) ( ) ( )2 2 2 2tan 2 tan tanf x x x x′ ′′ = = × =

( )22 2

2 2 2 2

22 tan 2 tan

cos cos

x xx x

x x

′= × = × =

2

2 22

2 2 2 2 3 2

sin4

4 tan 4 sincos

cos cos cos

xx

x x x xx

x x x

×= = =

Pág. 71

4. trapézio2

+= ×

B bA a

( )2 2 2 4= = + =B f , ( )0 0 2 2= = + =b f , 2=a

4 2

2 62

+= × =A . A área pedida é 6 u.a.

5. Em 0

+ℝ , o gráfico de f é simétrico ao gráfico de

( )1 2− =f x x relativamente à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta de equação y = x).

O gráfico de g é parte de uma parábola de vértice na

origem do referencial.

( ) ( )0

2 4 4 0≥

= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔x

f x g x x x x x x x

( )3 31 0 0 1⇔ − = ⇔ = ∨ = ⇔x x x x 0 1x x⇔ = ∨ = Os gráficos de f e g intersetam-se no

ponto de coordenadas (0, 0) e (1, 1).

6. Da representação das retas num mesmo

referencial, conclui-se que as coordenadas dos vértices do

quadrilátero são (1, – 1), (– 2, 2), (– 2, – 2) e (0, – 2).

7. ( )( )( )

2 3 se 22 3

2 3 se 2

x xf x x

x x

− − + + ≤= − − + =

− − + >

( )1 se 2

5 se 2

x xf x

x x

+ ≤=

− + >

f (0) = – |0 – 2| + 3 = – 2 + 3 = 1 A(0, 1)

f (x) = 0 ∧ x > 2 ⇔ – x + 5 = 0 ⇔ x = 5 B(5, 0)

f (2) = 2 + 1 = 3; C(2, 3)

Como as retas AC e BC são perpendiculares, a área do

triângulo [ABC] é dada por:

[ ]

2 2 2 22 2 3 3 2 2 3 26

2 2 2ABC

AC BCA

× + × + ×= = = =

A área pedida é 6 u.a..

Pág. 72

Atividade inicial

1. Por exemplo:

1.1. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3, 1 e 1F x x F x x F x x= = + = − , pois

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2′ ′ ′= = = =F x F x F x x f x .

1.2. ( ) ( ) ( )3 3 3

1 2 3, 2 e 43 3 3

x x xF x F x F x= = + = − , pois

( ) ( ) ( ) ( )21 2 3′ ′ ′= = = =F x F x F x x f x . 1.3. ( ) ( ) ( )1 2 3ln , ln 2 e ln 5F x x F x x F x x= = − = + , pois

( ) ( ) ( ) ( )1 2 31′ ′ ′= = = =F x F x F x f xx

.

1.4. ( ) ( ) ( )1 2 3e , e 1 e e 1x x xF x F x F x= = − = + , pois

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 e′ ′ ′= = = =xF x F x F x f x . 1.5. ( ) ( ) ( )1 2 3cos , 3 cos e cosF x x F x x F x x= − = − = π − , pois

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 sin′ ′ ′= = = =F x F x F x x f x .

1.6. ( ) ( ) ( )1 2 31

sin , sin e sin 32

F x x F x x F x x= = + = − , pois

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 cos′ ′ ′= = = =F x F x F x x f x .

1.7. ( ) ( ) ( )1 2 31, 0 e 2F x F x F x= = = , pois

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 0′ ′ ′= = = =F x F x F x f x . 1.8. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3, 1 e 1F x x x F x x x F x x x= + = + + = + − ,

pois ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 1′ ′ ′= = = + =F x F x F x x f x .

2. ( ) ( )e e e e e′ ′′= + = +x x x x xx x x x

( ) ( ) ( ) ( )e 1 e 1 e 1′ ′ ′ − = − + − = x x xx x x ( )e 1 e ex x xx x− + =

( ) ( ) ( )( )2 e 2 2 e 2 e 2x x xx x x x′ ′′ − + = − + − + = e e 2e 2= + − + =x x xx e e 2x xx − +

( ) ( ) ( )( )2 e 2 e 2 ex x xx x x′ ′′ − = − + − = ( )e 2 e e e= + − = −x x x xx x

A opção correta é (C).

Pág. 73

1.1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin 4 4 cos 4 4cos 4′ ′′ = = = = F x x x x x f x Logo, F é uma primitiva de f.

1.2. ( ) ( ) ( )2

2

2

3 9ln 3 9

3 9

′+ +′ ′ = + + = = + +

t tF t t t

t t( )

2

2 3

3 9

tf t

t t

+=

+ +

Logo, F é uma primitiva de f.

1.3. ( )( ) ( ) ( )

( )21 1

1 1

′ ′′ + − × + ′ = = = + +

x x x xxF x

x x

( )

( ) ( )2 2

1 1 21 1

2 2

1 1

+ −× + − ×

= = =+ +

x xx x

x x

x x ( )( )2

1

2 1

xf x

x x

−=

+



2. Por exemplo:

2.1. F1(x) = – cos x, F2(x) = 1 – cos x, F3(x) = 3 – cos x

2.2. G1(x) = ex, G2(x) = ex – 2, G3(x) = ex + 1

2.3. H1(x) = 3x, H2(x) = 3x + 1, H3(x) = 3x – 1

Pág. 75

3.1. 3 1 4

3 d , 3 1 4

+

= + = + ∈+∫ ℝ

x xx x c c c

3.2. 5 1 4

5

4

1d ,

5 1 4 4

− + −− = + = + = − + ∈

− + −∫ ℝx x

x x c c c cx

3.3.

1 3 31

1 32 2 22

2 2d ,

1 3 3 31

2 2

+

= + = + = + = + ∈+

∫ ℝx x x x

x x c c c c c

3.4.

1 21

1 3 33

3

1d d

1 21

3 3

− +−

= = + = + =− +

∫ ∫x x

x x x c cx

3 23,

2

xc c+ ∈ℝ

3.5.

1 7 51

72 2 22

4 4d d d

7 51

2 2

− + −−

= = = + = + =− + −

∫ ∫ ∫x x x x

x x x x c cx x

5

2,

5= − + ∈ℝc c

x

3.6.

1 31

32 22

2 2

1d d d

31

2

− +−

= = = + =− +

∫ ∫ ∫x x

x x x x x cx x

31

2

31

2

xc

− +

+− +

2

, c cx

= − + ∈ℝ

3.7.

51

2 5 33 2 3 3d d d

51

3

+

= × = = + =+

∫ ∫ ∫x

x x x x x x x x c

8

3

8

3

xc+ =

3 83

, 8

xc c= + ∈ℝ

3.8.

51

52 2 33

23

3

d d d5

13

+

= = = + =+

∫ ∫ ∫x x x

x x x x cx

x

8

3

8

3

xc+ =

3 83

, 8

xc c= + ∈ℝ

3.9.

1 71

72 2 2 44

34 34

d d d7

14

+×

= = = + =+

∫ ∫ ∫x x x x x

x x x x cx x

11

4

11

4

xc+ =

1144

, 11

xc c= + ∈ℝ

3.10.

1 11

13 1 3 66

1

2

d d d1

16

− +− ×= = = + =

+∫ ∫ ∫

x x x x xx x x x c

xx

7

6

7

6

xc+ =

6 76

, 7

xc c= + ∈ℝ

Pág. 76

4.1.

31 2

322

d d3 3

2

= = + = +∫ ∫x

x x x x c x c

( ) 32 21 1 1 1 13 3

= ⇔ + = ⇔ + = ⇔F c c2 1

13 3

c c= − ⇔ =

Logo, ( ) 32 13 3

F x x= + .

4.2. 1

d ln= +∫ x x cx ; ( ) 1 ln 1 2F c c c c= − ⇔ + = − ⇔ = −

Logo, ( ) ln 2= −F x x .

4.3. cos d sin= +∫ x x x c

1 3

2 sin 2 26 6 2 2

π π = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

F c c c

Logo, ( ) 3sin2

= +F x x .

4.4. e d ex xx c= +∫ ( ) 00 0 e 0 1 0 1F c c c= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − Logo, ( ) e 1xF x = − .

Pág. 77

5.1. ( )3 2

2 d , 2 2

+ = + + ∈∫ ℝx x

x x x c c

5.2. 4 3

3 21 14 5 d 4 53 3 4 3

− − = × − × − + = ∫

x xx x x x c

4 345 ,

12 3

x xx c c= − − + ∈ℝ

5.3. 8 7

7 6 1 17 d 72 8 7 2

x xx x x x c

− − = − × − + = ∫

87 ,

8 2

x xx c c= − − + ∈ℝ

5.4. 5 9 6 5

8 4 19 1 d 96 9 6 6 5

x x x xx x x x c

− − + + = − × − × + + + =

∫

6 59 ,

36 5

x xx x c c= − − + + + ∈ℝ

Pág. 78

6.1.

2311 3232

3

2d 2 d 2

3 2

2 3

x xx x x x x c

x

− − = − = − × + =

∫ ∫

33 22 3 ,

3

xx c c= − + ∈ℝ

6.2. ( ) ( ) ( )2 2 3 21 d 2 1 d 2 dx x x x x x x x x x x− = − + = − + =∫ ∫ ∫ 4 3 2 4 3 22

2 , 4 3 2 4 3 2

x x x x x xc c c= − × + + = − + + ∈ℝ

6.3. 1 11

1 13 323 d 3 dx x x x x x x x− −

− = − =

∫ ∫5 1

6 23 dx x x−

−

∫ = 11 1

6 2

311 1

6 2

x xc= − × + = 6 11

66 ,

11x x c c− + ∈ℝ

6.4. ( )2sin 7cos d 2cos 7sin , x x x x x c c+ = − + + ∈∫ ℝ

6.5. 3 1

d 3 d 3ln , = = + ∈∫ ∫ ℝx x x c cx x

6.6. 1

e d e ln , x xx x c cx

+ = + + ∈ ∫

ℝ

6.7. 3 6 3 6

6 6 6 6

5 4 2 5 4 2d d

x x x xx x

x x x x

− += − + =

∫ ∫

( )6 35 4 2 dx x x− −= − + =∫5 25 4

25 2

x xx c

− −

− + + =− −

5 2

1 22 , x c c

x x= − + + + ∈ℝ


6.8.

2 21

4 45 521 1d d

x x x x x xx x

x x x x x

− − + = − − + =

∫ ∫

31

3 521

dx x x xx

−− = − − + =

∫

21

4 52

ln1 24

2 5

x x xx c− − + +

54 252 ln ,

4 2

x xx x c c= − − + + ∈ℝ

6.9.

11516 6262

6 6d d 6 d

x x x xx x x x x

x x x

−−

− = − = − =

∫ ∫ ∫

11

626

1 1

2 6

x xc= − + = 612 6 , x x c c− + ∈ℝ

7. ( ) ( )1f x x x′ = −

( ) ( ) ( )3 2

21 d d3 2

x xf x x x x x x x c= − = − = − +∫ ∫

( )3 21 1 1 1

1 0 0 03 2 3 2

f c c= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

1 1 1

3 2 6c c⇔ = − + ⇔ =

Logo, ( )3 2 1

3 2 6

x xf x = − +

Pág. 80

8.1. 1 1 2

d d2 3 2 2 3

x xx x

= =+ +∫ ∫

1

ln 2 3 , 2

x c c= + + ∈ℝ

8.2. ( )22 21 2 1

d d ln 3 , 3 2 3 2

x xx x x c c

x x= = + + ∈

+ +∫ ∫ ℝ

8.3. 2 3 2 31

e d 2e d2

x xx x+ += =∫ ∫ 2 31

e , 2

x c x+ + ∈ℝ

8.4. sin sine cos d e , x xx x c c= + ∈∫ ℝ

8.5. 2 2

3 3

2 3d d

31 2 1

x xx x

x x= =

+ +∫ ∫

32 1 ,

3x c c= + + ∈ℝ

8.6. ( )1

23 ln 1

d 3 ln dx

x x xx x

+= + =∫ ∫

( ) ( )3

2 2 3 ln3 ln,

3 3

2

xxc c c

++= + = + ∈ℝ

8.7. ( ) ( )6 62 211 d 2 1 d2

x x x x x x+ = + =∫ ∫

( ) ( )7 72 21 11,

2 7 14

x xc c c

+ += × + = + ∈ℝ

8.8. e d e de

x x

x

dxx x− −= = − − =∫ ∫ ∫

1e ,

e

x

xc c c−− + = − + ∈ℝ

8.9. ( ) ( ) ( ) ( )2 21cos 3 sin 3 d 3cos 3 sin 3 d3

= =∫ ∫x x x x x x

( ) ( )3 3sin 3 sin 31

, 3 3 9

x xc c c= × + = + ∈ℝ

Pág. 81

9.1. ( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1

x x

x x x x x x

− +− = =

− − −

( )

1 1 1 1 1d d d d

1 1 1

− = + = − + = − − − ∫ ∫ ∫ ∫x x x x

x x x x x x

1

ln ln 1 ln , x

x x c c cx

−= − + − + = + ∈ℝ

9.2. ( )( )2

3 3

1 1 1

+ +=

− − +x x

x x x

( )( )

3

1 1 1 1

+= + ⇔

− + − +x A B

x x x x

( ) ( )1 1 3⇔ + + − = + ⇔A x B x x

1 3 1

3 3

+ = + + = ⇔ ⇔ ⇔

− = = +

A B B B

A B A B

2 2 1

2

B B

A

= − = − ⇔

= www

2

3 2 1 1 1d d 2 d d

1 1 1 1 1

+ = − = − − − + − + ∫ ∫ ∫ ∫x

x x x xx x x x x

=

2 ln 1 ln 1x x c= − − + + = ( )2ln 1 ln 1x x c− − + + =

( )21

ln , 1

xc c

x

−= + ∈

+ℝ

Pág. 82

10. cos d sin sin d= − =∫ ∫x x x x x x x ( )sin cos sin cos , = − − + = + + ∈ℝx x x c x x x c c

Pág. 83

11. ( ) ( )2

2

1

30d 30 d 15

2= = = + = +∫ ∫

tv t a t t t t c t c

( ) ( ) ( )3

2

1 1 2

15d 15 d

3= = + = + + =∫ ∫

tp t v t t t c t c t c

31 2

5= + +t c t c

( )( )

3

1 2 1 2

31 21 2

1 25 5 1 1 25 20

2 402 80 5 2 2 80

= × + × + = + = ⇔ ⇔

+ == × + × + =

p c c c c

c cp c c

2 1 2

1 1 1

20 0

2 20 40 20

= − = ⇔ ⇔

+ − = =

c c c

c c c

Logo, ( ) 35 20= +p t t t . 12.1. a(t) = v’(t) = (2 – 0,8t)’ = – 0,8

A aceleração é constante. Logo, no instante inicial, a

aceleração foi de – 0,8 m/s2.

12.2. ( ) ( ) ( )20,8

d 2 0,8 d 22

= = − = − + =∫ ∫t

P t v t t t t t c

22 0,4= − +t t c P(0) = 2 × 0 – 0,4 × 02 + c = c

P(10) = 2 × 10 – 0,4 × 102 + c = 20 – 40 + c = – 20 + c

( ) ( )10 0 20 20 20− = − + − = − =P P c c O skate percorreu uma distância de 20 m.

Pág. 86

13.1. 22 1 4 3 5− ≤ − ∧ ≤ ≤ ⇔x x x

2 2 3 0 3 5⇔ − + + ≤ ∧ ≤ ≤ ⇔x x x 3 5⇔ ≤ ≤x

Logo, [ ] 23, 5 , 2 1 4x x x∀ ∈ − ≤ − e, portanto,

( ) ( )5 5 23 3

2 1 d 4 d− ≤ −∫ ∫x x x x .

d lnu

x u cu

′= +∫

e d eu uu x c′ = +∫


d2

ux u c

u

′= +∫

31 22d

3

2

uu u x c′ = +∫

76d

7

uu u x c′ = +∫


2 2 3 0

2 4 12

21 3

x x

x

x x

− + + = ⇔

− ± +⇔ =

−⇔ = − ∨ =


13.2. ( )e e 0 1 e 0n x n n x n n xx x x x x≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ 1 e 0 e 1 0x x x− ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥

No intervalo [0, 1], tem-se que 0 e 0n xx ≥ ∧ − ≤ pelo que,

neste intervalo, en n nx x≤ e, portanto,

1 1

0 0d e d≤∫ ∫n n xx x x x .

Pág. 89

14.1.

24

2 23 4

111

1d

4 4

xx x x

= = =

∫ ( ) ( )4 4

1 1 152 1 16 1

4 4 4− = − =

Significa que a medida da área delimitada pelo gráfico da

função definida por f (x) = x3 pelo eixo Ox e pelas retas de

equações x = 1 e x = 2 é igual a 15

4 u.a..

14.2. ( )1

3 21 1 1

2 3 2

2 222

2 12 d

3 2 3

−− − −

− −−−

− = − = − =

∫

x xx x x x x

( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3 2 21 1 2 1 23

= − − − − − − − =

( ) ( )1 7 161 8 1 4 33 3 3

= − + − − = + =


função definida por f (x) = x2 – 2x, pelo eixo Ox e pelas

retas de equações x = – 2 e x = – 1 é igual a 16

3 u.a.

14.3. ( ) [ ]ln 2 ln 2 ln 2 ln 200 00

e 1 d e e + = + = + = ∫ x x xx x x ln 2 0e e ln 2 0 2 1 ln 2 1 ln 2= − + − = − + = +


função definida por f (x) = ex + 1, pelo eixo Ox e pelas

retas de equações x = 0 e x = ln 2 é igual a 1 + ln 2 u.a..

15.1. ( ) ( )1

31 1

2

0 00

d 4 d 43

= = − + = − + =

∫ ∫

xA f x x x x x

[ ] [ ]1 10 0

14

3x x= − + = ( ) ( )1 1 111 0 4 1 0 4

3 3 3− − + − = − + =

A área da parte colorida da figura é igual a 11

3 u.a..

15.2. ( )2

2 2 2e

2e e e

e e e

e

lnln 1d d ln d

2

= = = = =

∫ ∫ ∫

xxA f x x x x x

x x

( )2 2 2 2 2ln e ln e 2 1 1 3

22 2 2 2 2 2

= − = − = − =

A área da parte colorida da figura é igual a 3 u.a..

16. ( )4 4 40 0 0

sind tan d d

cos

π π π

= = = =∫ ∫ ∫x

A f x x x x xx

( )4 400

sind ln cos

cos

xx x

x

π π−= − = − = ∫

( )ln cos ln cos04

2 2ln ln1 ln

2 2

π = − − =

= − − = − =

( )1

22 ln 2

ln ln 2 ln 222

= = = =

A área da parte colorida da figura é igual a ln 2

2 u.a..

Pág. 90

17. ( )1 2

2 21 2

0 10 1

d 2 d 22 2

= + − + = + − + =

∫ ∫

x xA x x x x x

[ ]1 2 22 2

10 1

1 12

2 2 = − + = x x x

( ) ( ) ( )1 11 0 4 1 2 2 12 2

1 32 1 2 1

2 2

= − − − + − =

= − + = − + =

A área da parte colorida da figura é igual a 1 u.a..

Pág. 91

18.1. ( ) ( )4

24 4

3 33

2d 2 4 d 4

2

= − + = − + =

∫ ∫

xf x x x x x

[ ] ( ) ( )4 42

334 16 9 4 4 3 7 4 3 = − + = − − + − = − + = − x x

18.2. O resultado obtido é o simétrico da medida da área

delimitada pelo gráfico de f, o eixo Ox e as retas verticais

de equações x = 3 e x = 4.

Pág. 93

19.1. ( ) ( )1

41 1 1

3 4

11 11

1 1d d 1 1 0

4 4 4−− −−

= = = = − =

∫ ∫

xf x x x x x

19.2.

0 14 4

0 13 3

1 01 0

d d4 4−

−

= − + = − + =

∫ ∫

x xA x x x x

( )1 04 40 114 x x − = − = ( ) ( ) ( )1 1 1

1 0 0 1 1 14 4 2

− − − = + =

A medida da área da parte colorida da figura é igual

a1

2u.a..

Pág. 94

20.1. ( )0

3 20 0 0

2 3 2

1 111

2 12 d

3 2 3 − −−−

− = − = − =

∫

x xx x x x x

( ) ( )1 1 40 1 0 1 13 3 3

= + − − = + =

20.2. [ ]e e

11

1d ln ln e ln1 1 0 1x x

x= = − = − =∫

20.3.

81

2 3 88 833

31 12 1

1

2d 2 d 2 6

1

3

−

= = × = =

∫ ∫x

x x x xx

( )6 2 1 6− =

20.4. ( )14 42

0 0

12 1 d 2 1 d

2x x x x+ = + =∫ ∫

( ) ( )

4

342

3

0

0

2 11 12 1

32 3

2

xx

+ = × = + =

( )3 31 1 269 1 93 3 3

= − = − =

31

22

3

2

uu u′ →

d lnu

x u cu

′= +∫


20.5. ( )

( )1 1 3

32 2

1 1d 5 11 5 d

511 5t t t

t

− − −

− −= + =

+∫ ∫( )

12

2

11 51

5 2

t−−

−

+×

−

( )

1

2

2

1 1

10 11 5t

−

−

= − × =

+

1 1 1 35 1 7 71

10 36 10 36 2 36 72

− − = − × − = × =

20.6. ( )2 22 20 0

14 d 2 4 d

2x x x x x x− = − − − =∫ ∫

( ) ( )

23

2 223

2

0

0

41 14

32 3

2

− = − = − − =

xx ( )31 80 2

3 3− − =

20.7. 3 1 3

4 4 42 2 2

1 1 1

3 15 d 3 2 d 5 d d

2

− − − − = × − −

∫ ∫ ∫ ∫x x x x x x x x

x x

4 43 1

2 24

1

1 1

6 53 1

2 2

−

= − × − = −

x xx

444

3

1 11

10 16 2

3x x

x

− +

( ) ( )10 16 2 1 8 1 2 13 2

= − − − + − =

70 70 15 706 1 5

3 3 3

−− − = − =

55

3= −

20.8. ( ) ( )

e e

1 1

sin ln 1d sin ln d

xx x x

x x= =∫ ∫

( ) ( ) ( )( )e1

cos ln cos ln e cos ln1x= − = − − =

( )cos1 cos0 1 cos1= − − = −

20.9. 2

12 2

t t++ =

( ) 2 22 2cos 2 cos sin2 2

t tt

+ + + = − ⇔

( ) 2 2cos 2 1 sin 1 sin 12 2

⇔ + = − + − + ⇔

t tt

( ) 2cos 2 1 2sin 12

⇔ + = − + ⇔

tt

( )2 1 cos 2sin 1

2 2

− + ⇔ + =

tt

Assim, tem-se:

( )2

0 0

1 cos 2sin 1 d d

2 2

π π − + + = = ∫ ∫

ttt t

( )0 0

1 1d cos 2 d

2 2

π π= − + =∫ ∫t t t [ ] ( )0 0

1 1sin 2

2 2t t

ππ− +

( ) ( )( )1 10 sin 2 sin 22 2

= π − − + π − =

( )1 sin 2cos sin cos 2 sin 22 2

π= − π + π − =

( ) ( )1 1sin 2 sin 2 2sin 22 2 2 2

π π= − − − = − × − = sin 2

2

π+

20.10. 2

12 3 dx x− =∫

( ) ( )3

22

31

2

2 3 d 2 3 dx x x x= − + + − =∫ ∫ 3

22 22

31

2

2 3 2 32 2

= − × + + × − =

x xx x

9 3 9 31 3 1 4 3 2

4 2 4 2

= − − + − + − − − =

5 3 7 3 2 1

4 2 4 2 4 2= − + + − = =

20.11. 22

6

cosd

sin

xx x

x

π

π + = ∫

( ) 22 26 6

d cos sin dx x x x xπ π

−

π π= + =∫ ∫

2

2 2

66

1 1

2 sinx

x

ππ

ππ

= − =

2 21 1 1

2 4 36 sin sin2 6

π π − − − π π

=

2 2 24 1 9

1 1136 9 9

2

π π π + = − − = + =

20.12. ( )0 0 0

44 4

sintan d d ln cos

cosππ π −− −

−= = − = ∫ ∫

xx x x x

x

2 2ln1 ln ln

2 2

= − − =

Pág. 95

21. ( ) 2=a t

( ) ( ) d 2 d 2= = = +∫ ∫v t a t t t t c ( )2 5 2 2 5 1= ⇔ × + = ⇔ =v c c Logo, ( ) 2 1= +v t t .

( ) ( ) ( ) 2d 2 1 d= = + = + +∫ ∫p t v t t t t t t c ( )0 1 1= ⇔ =p c Logo, ( ) 2 1= + +p t t t . 22.1. ( ) 6=a t t ; ( )0 0=s ; ( )2 4= −v

( ) ( ) ( )2 2 200

0 6 d 3 3 0 3 − = = = − = ∫t t

v t v x x x t t

Logo, ( ) 2 03= +v t t v . ( ) 2 0 02 4 3 2 4 16= − ⇔ × + = − ⇔ = −v v v Assim, v(t) = 3t2 – 16.

v(4) = 3 × 42 – 16 = 32

A velocidade instantânea no instante t = 4 foi de 32 m/s.

22.2. ( ) ( ) ( ) [ ]2 3 3000

0 3 16 d 16 16 − = − = − = − ∫t t t

s t s x x x x t t

Logo, s(t) = t3 – 16t + s(0).

Como s(0) = 0, s(t) = t3 – 16t.

[ ]( ) ( )

1, 3

3 1 21 15v.m. 3

3 1 2

s s− − += = = −

−

A velocidade média entre os instantes t = 1 e t = 3 foi de

– 3 m/s.

22.3. ( ) 2 2 160 3 16 03

= ⇔ − = ⇔ = ⇔v t t t4 4 3

33t t= ± ⇔ = ±

Como 4 3

0, 3

≥ =t t .

O ponto imobilizou-se no instante 4 3

3=t segundos.

22.4. ( ) ( )3 20 16 0 16 0= ⇔ − = ⇔ − = ⇔s t t t t t 20 16 0t t= ∨ − = 20 16t t⇔ = ∨ = ⇔ 0 4 4t t t= ∨ = − ∨ =

Como { }0, 0, 4t t≥ ∈ . No instante inicial o ponto encontrava-se na origem, logo o ponto volta a passar na

origem passados 4 segundos.

31 22d

3

2

uu u x c′ = +∫

sin d cosu u x u c′ = − +∫

2 3

32 3 se

2

32 3 se

2

x

x x

x x

− =

− ≥=

− + <

12d

1

uu u x c

−−′ = +

−∫

[ ] [ ]3 3 2 22 22 2 3311

22

3 3x x x x = − + + − =


Pág. 96

23. ( ) ( ) [ ] ( ) ( )00

0 8 d 8 8 8 0− = = = → = +∫t t

A A A As t s x x t s t t s

Como num determinado instante o automóvel A se

encontra 9 metros à frente do automóvel B, vamos

considerar que sA (0) = 9 e sB (0) = 0. Assim, sA (t) = 8t + 9.

( ) ( ) [ ]00

0 2 d 2 2− = = =∫t t

B Bv t v x x t

Como o automóvel B inicia o seu movimento no instante

t = 0, vB (0) = 0. Assim, vB (t) = 2t.

( ) ( ) 2 200

0 2 d − = = = ∫t t

B Bs t s x x x t

Como sB (0) = 0, sB (t) = t2.

Agora, vamos averiguar ao fim de quanto tempo o

automóvel B alcança o automóvel A.

( ) ( ) 2 28 9 8 9 0= ⇔ = + ⇔ − − = ⇔B As t s t t t t t

8 64 36 8 10 8 10

2 2 2

± + − +⇔ = ⇔ = ∨ = ⇔t t t

1 9⇔ = − ∨ =t t . Como 0, 9t t≥ = .

O automóvel B alcança o automóvel A, 9 s após arrancar.

24.1. ( ) 21 6 1 6 0= × − =a No instante t = 1 , a aceleração da partícula foi de 0 m/s2.

24.2. ( ) ( ) ( )2 3 300

0 6 6 d 2 6 2 6 − = − = − = − ∫t t

v t v x x x x t t

Como no instante t = 0 a partícula se encontra imobilizada,

v(0) = 0. Assim, v(t) = 2t3 – 6t.

( ) 31 2 1 6 1 4= × − × = −v No instante t = 1 , a velocidade da partícula foi de – 4 m/s.

24.3. ( ) ( ) ( )3 4 2 4 20

0

1 10 2 6 d 3 3

2 2

− = − = − = − ∫t

t

s t s x x x x x t t

Como ( ) ( ) 4 210 0, 32

= = −s s t t t .

( ) 4 21 11 1 3 1 3 2,52 2

= × − × = − = −s .

No instante t = 1, a partícula encontrava-se na parte

negativa do eixo onde se desloca, a 2,5 m da origem.

Pág. 97

25.1. ( ) ( ) ( )212 6 12 12′′= = − = −a t v t t t t A função pedida é a(t) = 12 – 12t.

25.2. Nos instantes em que o móvel parou a velocidade era nula.

( ) ( )20 12 6 0 6 2 0= ⇔ − = ⇔ − = ⇔v t t t t t 0 2 0 0 2⇔ = ∨ − = ⇔ = ∨ =t t t t Dado que no instante inicial (t = 0) o móvel estava parado,

vamos considerar que o móvel parou no instante t = 2.

( ) ( ) ( )2 2 3d 12 6 d 6 2= = − = − +∫ ∫s t v t t t t t t t c Como s(0) = – 8: 2 36 0 2 0 8 8× − × + = − ⇔ = −c c A função que define a posição do móvel relativamente à

origem é dado por ( ) 2 36 2 8= − −s t t t ( ) 2 32 6 2 2 2 8 24 16 8 0= × − × − = − − =s O móvel parou 2 segundos após iniciar o movimento,

encontrando-se na origem.

25.3. s(0) = – 8; ( ) 2 34 6 4 2 4 8 96 128 8 40s = × − × − = − − = −

( ) ( ) ( )4 0 40 8 32 32d s s= − = − − − = − = A distância entre os dois pontos é de 32 m.

26.1. ( )2 21

d1 1

x t xF x t

t x

′ ′ = = + + ∫

26.2. ( )2

2

1 1 1d d

′ ′ ′ = = − = − ∫ ∫

x

xG x t t

t t x

Pág. 99

27. ( ) ( )( ) ( )( )1 1 20 0

d 1 d= − = − − =∫ ∫A f x g x x x x x

1

1 1 122

0 0 0d d 1 dx x x x x= − + =∫ ∫ ∫

[ ]1

31 132

00

0

2 1

3 3x x x

= − + =

2 1 41

3 3 3− + =

A medida da área pedida é4

3 u.a.

28. ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 1

1 0d d

−= − + − =∫ ∫A f x g x x g x f x x

( ) ( )2 20 11 0

e e d e e d−

= − + − =∫ ∫x x xx x x x x

20 0 1 1 2

1 1 0 0

1 12 e d e d e d 2 e d

2 2− −= − + − =∫ ∫ ∫ ∫xx x x x x x x x x

2 10 0 12 2 2

1 1 0 0

1 e e 1e e

2 2 2 2− − = − + − =

xx x x

( ) ( ) ( ) ( )0 01 e e 1e e 0 1 1 0 e e2 2 2 2

= − − − + − − − =

( ) ( )1 e1 e e 1 1 1 1 e e 12 2

= − − + + + = − + =

A medida da área pedida é 1 u.a..

Pág. 100 29.1. Pontos de interseção dos gráficos de f e g:

( )2 22 5 3 0 3 0= − ⇔ − = ⇔ − = ⇔x x x x x x x 0 3x x= ∨ =

( ) ( )( ) ( )( )3 3 20 0

d 5 2 d= − = − − =∫ ∫A f x g x x x x x x

( )3 3 32 2 30 00

3 13 d

2 3 = − = − = ∫ x x x x x

( ) ( )3 19 0 27 02 3

= − − − =27 27 27 9

92 3 2 2

− = − =

A medida da área pedida é 9

2 u.a..

29.2. ( ) ( )( ) ( )2 2 30 0

d e e d= − = − =∫ ∫ xA g x f x x x

[ ]223

0 0e exx = − = ( )3 2 0 3 22e e e 2e e 1− − = − +

A medida da área pedida é 3 22e e 1− + u.a..

Pág. 101 30. Ponto de interseção dos gráficos de f e g :

( ) ( ) 22 2 3 23

= ⇔ = − + ⇔ = ⇔ =f x g x x x x x

Ponto de interseção dos gráficos de f e h :

( ) ( ) 4 10 5 10 2= ⇔ = − + ⇔ = ⇔ =f x h x x x x x Ponto de interseção dos gráficos de g e h:

( ) ( ) 2 2 4 10 2 8 4= ⇔ − + = − + ⇔ = ⇔ =g x h x x x x x

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 4

22

3

d d= − + − =∫ ∫A f x g x x h x g x x

( )( ) ( )( )2 4

22

3

2 2 d 4 10 2 2 dx x x x x x= − − + + − + − − + =∫ ∫

( ) ( )2 4

32

2

22

42

22

3

3 2 d 2 8 d

32 8

2

x x x x

xx x x

= − + − + =

= − + − + =

∫ ∫

( ) ( )3 4 2 4 204 16 32 4 162 2 3 3

× = − − − + − + − − + =


3 u.a..


Pág. 102

31.1.

23

22

00

8d

3 3

= = =

∫

xA x x . A medida da área é

8

3 u.a.

31.2.

( ) ( )1 12 21 1

4 1 d 3 d− −

= − + − = − + =∫ ∫A x x x x

13

1

1 1 2 163 3 3 6

3 3 3 3 3−

= − + = − + − − = − =

xx

A medida da área é 16

3 u.a..

31.3.

( ) ( )4 52 20 4

3 4 d 3 4 d= − − − + − − =∫ ∫A x x x x x x

4 53 2 3 2

0 4

3 34 4

3 2 3 2

− − − + − − =

x x x xx x

3 2 3 24 3 4 5 3 5

4 4 4 53 2 3 2

× ×= − − − × + − − × −

3 24 3 4

4 43 2

×− − − × =

56 95 56 43

3 6 3 2= − + =

A medida da área é 43

2 u.a. .

31.4. ( )25 0 5 0 0 5− = ⇔ − = ⇔ = ∨ =x x x x x x

25 25 24 3

2 5 3 0 14 2

x x x x x± −

− + = ⇔ = ⇔ = ∨ =

2 2 22 5 3 5 3 10 3 0− + = − ⇔ − + = ⇔x x x x x x

10 100 36 1

36 3

x x x± −

⇔ = ⇔ = ∨ =

( )( )3 2 213

5 2 5 3 d= − − − + =∫A x x x x x

( )3 32 3 2 1133

3 10 3 d 5 3 = − + − = − + − = ∫ x x x x x x

1 5 256

27 45 9 127 9 27

= − + − + − + =

Pág.103

32. ( ) 20 5 0f x x x= ⇔ − = ⇔ ( )5 0 0 5x x x x− = ⇔ = ∨ =

( ) ( )2 5 2 5′′ = − = −f x x x x ( )

10 5′ = − = tf m

( )2

5 5′ = = tf m

( )1 2: 5 ; : 0 5 5 5 25t y x t y x y x= − − = − ⇔ = − Interseção das retas t1 e t2 :

5

5 25 5 10 252

− = − ⇔ = ⇔ =x x x x

( )( ) ( )( )5

52 22

50

2

5 5 d 5 5 25 d= − − − + − − − =∫ ∫A x x x x x x x x

( )5

52 22

50

2

d 10 25 d= + − + =∫ ∫x x x x x5

53 32

2

50

2

5 253 3

x xx x

+ − +

125 125

12524 3

= + − 125+125 125 125 125

24 4 2 12− + − =

Atividades complementares

Pág. 106

33.1. ( ) 22 4

1 2 12

xF x x x

x x

′ − × ′ = + = + =

4

3 3

2 2 22

xx

x x

−= − = =

( )

( )4

3

2 1−= =

xf x

x


2 3 4 0

3 9 16

21 4

x x

x

x x

− − = ⇔

± +⇔ = ⇔

⇔ = − ∨ =


33.2. ( ) ( )( ) ( )1 e e

ln 1 e 1 11 e 1 e

′+′′ = − + = − = − =+ +

x xx

x xF x x

( )1 e e 11 e 1 e

+ −= = =

+ +

x x

x xf x


33.3. ( ) ( )( ) ( ) ( )1

ln 1ln ln

ln ln ln

′′′ = = = = =

x xF x x f xx x x x


33.4. ( ) ( ) ( )cos 1 cos sin′′ = = × + × − =F x x x x x x ( )cos sin= − =x x x f x Logo, F é uma primitiva de f.

34. ( )( )( ) ( )

( )

22

2

2 3 1 1 3 13 1

1 1

′ + − − × + − + −′ = = =

− −

x x x xx xF x

x x

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 3 3 1 2 2

1 1

+ − − − + − −= =

− −

x x x x x x

x x

( )( )( ) ( )

( )

22

2

2 7 1 1 7 57 5

1 1

+ − − × + −+ −′ = = =

− −

x x x xx xG x

x x

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 5 7 7 5 2 2

1 1

+ − − − + − −= =

− −

x x x x x x

x x

Como F’(x) = G’(x) , F e G são primitivas de uma mesma

função.

35.1. 10 1 11

10 d , 10 1 11

+

= + = + ∈+∫ ℝ

x xx x c c c

35.2.

1 21

1 3 33

3d ,

1 21

3

− +−

= + = + ∈− +

∫ ℝx x

x x c c c

35.3. 3 1

3

3 2

1 1d d ,

3 1 2

− +−= = + = − + ∈

− +∫ ∫ ℝx

x x x c c cx x

35.4.

2 51

2 3 33 2 3

3d d ,

2 51

3

+

= = + = + ∈+

∫ ∫ ℝx x

x x x x c c c

35.5.

5 71

53 2 22

2d d ,

5 71

2

+

= = + = + ∈+

∫ ∫ ℝx x x

x x x c c cx

35.6.

11 131

113 2 22

2

2d d ,

11 131

2

+

−= = + = + ∈

+∫ ∫ ℝ

x x x xx x x c c c

x

36.1. ( ) ( )4 3 2d 4 4 3 df x x x x x x x= − + − + =∫ ∫ 4 3 2d 4 d d 4 d 3 d= − + − + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫x x x x x x x x x

5 3

4 22 3 , 5 3

= − + − + + ∈ℝx x

x x x c c

36.2. ( ) ( )2

22 1 1d d 2 1 d2 2

x xf x x x x x x

− += = − + =∫ ∫ ∫

( )21 d 2 d 1d2

= − + =∫ ∫ ∫x x x x x3

21

2 3

xx x c

− + +

3 2

, 6 2 2

= − + + ∈ℝx x x

c c

36.3. ( )2

3

3

1d 1 d 1 d d

2

−− = − = − = − + = − ∫ ∫ ∫ ∫

xf x x x x x x x c

x

36.4. ( ) ( )d 2sin 3cos d= − =∫ ∫f x x x x x ( )2 sin d 3 cos d 2 cos 3sin= − = × − − + =∫ ∫x x x x x x c 3sin 2cos , = − − + ∈ℝx x c c

36.5. ( ) 4 4d 2e d d 2e dx xf x x x x xx x

= + = + = ∫ ∫ ∫ ∫

1

4 d 2 e d 4ln 2e , x xx x x c cx

= + = + + ∈∫ ∫ ℝ

36.6. ( ) 33 2d 4 d = − + =

∫ ∫f x x x xx x

1

3 21

3 d 4 d 2 d−

= − + =∫ ∫ ∫x x x x xx

1

4 2

3ln 4 214

2

x xx c= − × + + =

43ln 4 , x x x c c= − + + ∈ℝ

36.7. ( ) ( )5 1

2 2 2d 1 d df x x x x x x x x

= − = − =

∫ ∫ ∫

7 35 1 2 22 2d d

7 3

2 2

= − = − + =∫ ∫x x

x x x x c

7 32 2

, 7 3

x xc c= − + ∈ℝ

36.8. ( )3 3

2 2 2d d d d

x x x xf x x x x x

x x x

−= = − =∫ ∫ ∫ ∫

51

5 33

1d d ln

51

3

xx x x x c

x

− +−

= − = − + =− +

∫ ∫

2 3 23

3 3ln ln ,

22

x c x c cx

x

= − − + = − − + ∈ℝ

37. ( ) ( ) ( ) ( )sin 2cos d sin d 2cos d− = − =∫ ∫ ∫x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( )sin d 2 cos d cos 2sin= − = − − +∫ ∫x x x x x x c ( ) ( ) ( )cos 2sin= − − +F x x x c 37.1. ( ) ( ) ( )0 1 1 cos 0 2sin 0F c= ⇔ = − − + ⇔ 1 1 0 2c c⇔ = − − + ⇔ =

( ) cos 2sin 2= − − +F x x x

37.2. 0 0 cos 2sin2 2 2

F cπ π π − = ⇔ = − − − − + ⇔

( )0 0 2 1⇔ = − × − + ⇔c 2c = − ( ) cos 2sin 2= − − −F x x x

38.1. ( ) ( )

( ) 3 13 3

32 1d 2 d 2

3 13 3

− ++

= = + =− ++ +

∫ ∫x

x x cx x

( )2

1,

3= − + ∈

+ℝc c

x

38.2.

( )421

d2 1

xx

x x

−=

− −∫

( )( ) 421 2 1 2 12

x x x dx−

= − − − =∫

34d

3

uu u x c

−−′ = +∫

−

2

1,

2x c c

x= + + ∈ℝ

( )( )

32

32

2 11 1,

2 3 6 2 1

x xc c c

x x

−− −

= × + = − + ∈− − −

ℝ


38.3. ( )

( ) 221 1

d 2 2 1 d22 1

x x xx

−−= − + =

+∫ ∫

( )

( )

12 11 1

2 1 2 2 1

−+

= − × + = + =− +

xc c

x

1,

4 2c c

x+ ∈

+ℝ

38.4. ( )

1 ln1

d dln ln ln

xxx x dxx x x x

′= = =∫ ∫ ∫

( )ln ln , x c c= + ∈ℝ

38.5. ln 1

d ln dx

x x xx x

= =∫ ∫

( )2ln

ln ln d , 2

xx x x c c′= = + ∈∫ ℝ

38.6. ( )2 2cos sin d sin sin dx x x x x x′ =∫ ∫

3sin

, 3

xc c= + ∈ℝ

38.7. ( )1

2 2

2

1d 2 1 d

21

−= − =

−∫ ∫

xx x x x

x

( ) ( )1

2 2 21

1 1 d2

x x x−′= − − =∫

( )

12 2

211

1 , 12

2

−= × + = − + ∈ℝ

xc x c c

38.8. 2 2

3 3

1 3d d

1 3 1

x xx x

x x= =

− −∫ ∫

( )3 3

3

1 ln 11d ,

3 1 3

x xx c c

x

′− −= = + ∈

−∫ ℝ

38.9. ( )sincos

d dsin sin

xxx x

x x

′= =∫ ∫ ln sin , x c c+ ∈ℝ

38.10. 2 2

2 2

1 1 2e d e d

2x xx x

x x

− −= =∫ ∫

21

e , 2

x c c−

= + ∈ℝ

38.11. ( ) cossin e dxx x =∫ ( ) cossin e dxx x− −∫

( ) coscos e dxx x′= =∫ cose , x c c− + ∈ℝ

38.12. ( )

( )( ) ( )( )

1

2exp

d exp 1 exp d1 exp

−= − − × − =

−∫ ∫

xx x x x

x

( )( ) ( )( )1

21 exp 1 exp dx x x−′= − − − =∫

( )( )

( )

1

21 exp2 1 exp ,

1

2

−= − + = − − + ∈ℝ

xc x c c

39.1. ( ) 4 5 322 1 2 1

+= = +

+ +x

f xx x

( ) 4 5 3d d 2 d2 1 2 1

xf x x x x

x x

+ = = + = + + ∫ ∫ ∫

3 2

2 d d2 2 1

x xx

= + =+∫ ∫

3ln 2 1

2 , 2

xx c c

+= + + ∈ℝ

39.2. ( )( )( )2

2 2

9 3 3f x

x x x= =

− − +

( )( )

2

3 3 3 3

A B

x x x x= + ⇔

− + − +

⇔ A(x + 3) + B(x – 3) = 2 ⇔

⇔ (A + B)x + (3A – 3B) = 0x + 2 ⇔

0

3 3 2

A B

A B

+ =⇔

− =

1

3

6 2 1

3

== − ⇔ ⇔

− = = −

AA B

bB

( )1 1

1 1 13 3d d d3 3 3 3 3

f x x x xx x x x

− = + = − = − + − +

∫ ∫ ∫

( )1 ln 3 ln 33

x x c= − − + + =1 3

ln3 3

xc

x

−+ =

+

33

ln , 3

xc c

x

−= + ∈

+ℝ 3

3ln ,

3

xc c

x

−= + ∈

+ℝ

Pág. 107

40. ( ) ( ) ( )e e d e e e e 1 d+ = + − + =∫ ∫x x x x x xx x x x ( )( )2e e e e 1 e e d= + − + − =∫x x x x x xx x 2 2 2

1e e e e 2e d

2

x x x x xx x= + − − + =∫

21

e e e2

= − + + =x x xx c ( )1 e 2 e 2 , 2

x xx c c+ − + ∈ℝ

41.1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 32 2 2e e et t ta t v t t t t− − −′ ′′′= = × = + = ( )3 3 3 32 2 42 e 3 e 2 e 3 et t t tt t t t t− − − −= + × − × = − = ( )3 3e 2 3−= −tt t

( ) ( )1 11 1e 2 3e

−= − = −a

A aceleração da partícula no instante t = 1 foi de 1

e− 2m/s .

41.2. v(t) > 0, ∀t∈]0, 2[

3 3 3 22 22 2

0 0 0

1 1e d 3 e d e

3 3

− − − = = − − = − = ∫ ∫t t t

s t t t t

( )8 01 e e3

−= − − =8

1 11

3 e

− −

8

8

e 1

3e

−=

42.1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 d 5 4 d− = ⇔ − = + ⇔∫ ∫t t

v t v a x x v t x x

( ) ( )2 2

0

4 5 4 52 2

⇔ = + + ⇔ = + +

t

x tv t x v t t

A velocidade no instante t é ( )2

4 52

= + +t

v t t

A função posição do ponto é dada por ( ) ( )s t v t dt= ∫ O deslocamento do ponto entre os instantes t1 = 0 e t2 = 10 é

dado por s(10) – s(0).

( ) ( ) ( )10

010 0 dts s v t− = =∫

102

0

14 5 d

2t t t

+ + ∫

=

103

2

0

2 56

tt t

= + +

1 12501000 2 100 5 10 0

6 3

= × + × + × − =

4 5 2 1

4 2 2

3

x x

x

+ +− −

d lnu

x u cu

′= +∫

2

d2

uu u x c′ = +∫

32 d

3

uu u x c′ = +∫

12d

1

uu u x c

−−′ = +∫

−

11 22d

1

2

uu u x

−′ =∫

d lnu

x u cu

′= +∫

2

d2

uu u x c′ = +∫

d lnu

x u cu

′= +∫


11 22d

1

2

uu u x

−′ =∫

d lnu

x u cu

′= +∫

O deslocamento do ponto entre os instantes t1 = 0 e t2 = 10

é de 1250

3 m.


42.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 d 4 2 3 d− = ⇔ + = + ⇔∫ ∫t t

v t v a x x v t x x

( ) ( )2 20

3 4 3 4 ⇔ = + − ⇔ = + − t

v t x x v t t t

A velocidade no instante t é v(t) = t2 + 3t – 4

A função posição do ponto é dada por ( ) ( )ds t v t t= ∫ O deslocamento do ponto entre os instantes t1 = 0 e t2 = 3 é

dado por s (3) – s (0).

( ) ( ) ( )3

03 0 ds s v t t− = =∫ ( )

32

03 4 dt t t+ − =∫

33 2

0

34

3 2

t tt

= + − =

1 327 9 4 3 0 10,5

3 2

× + × − × − =

O deslocamento do ponto entre os instantes t1 = 0 e t2 = 3 é

igual a 10,5 m.

43.1. ( ) 29,8 m/s= −a t

( ) ( ) d 9,8 d 9,8= = − = − +∫ ∫v t a t t t t c v(0) = 64 ⇔ c = 64

v(t) = – 9,8t + 64

( ) ( ) ( ) 2d 9,8 64 d 4,9 64= = − + = − + +∫ ∫h t v t t t t t t c h(0) = 80 ⇔ c = 0

A função posição da bola é h(t) = – 4,9t2 + 64t + 80, t ≥ 0.

43.2. ( ) 20 4,9 64 80 0= ⇔ − + + = ⇔h t t t

( )

( )

264 64 4 4,9 80 64 5664

2 4,9 9,8t t

− ± − × − × − ±⇔ = ⇔ =

× − −

14,2 1,15t t⇒ ≈ ∨ ≈ − A bola atingiu o solo cerca de 14,2 segundos após ter sido

lançada.

44.1. ( )0 cos d cosx

t t x′=∫

44.2. ( ) ( )0 2 2 201 d 1 d 1′ ′

+ = − + = − +∫ ∫x

xt t t t x

44.3. 1

21d 0

4

tt

t−

′ = + ∫

45.1. Como t∈[0, 1] , tem-se 3

1 11

2 1≤ ≤

+ t.

Pela monotonia da primitivação:

1 1 1

30 0 0

1 1d d 1 d

2 1≤ ≤ ⇔

+∫ ∫ ∫t t tt [ ] [ ]11 1

30 00

1 1d

2 1t t t

t≤ ≤

+∫

Logo, 1

30

1 1d 1

2 1t

t≤ ≤

+∫ .

45.2. Como x ∈ [0, 2] , tem-se 22 0

1 1 1 1e 1

e e e e

−≤ ≤ ⇔ ≤ ≤x x

Pela monotonia da primitivação:

2 2 2

2

0 0 0

1e d d 1 d

e

− ≤ ≤ ⇔∫ ∫ ∫xx x x

[ ] [ ]22 22

0 00

1e d

exx x x

−⇔ ≤ ≤∫

Logo, 2

2

0

12e d 2

e

− ≤ ≤∫ x x .

45.3. Como [ ]2, 4∈x , tem-se ( )2ln 3 ln 1 ln15≤ − ≤x . Pela monotonia da primitivação:

( )4 4 422 2 2

ln 3 d ln 1 d ln15 d≤ − ≤ ⇔∫ ∫ ∫x x x x

[ ] ( ) [ ]44 422 22

ln 3 ln 1 d ln15x x x x⇔ × ≤ − ≤ ×∫

Logo, ( )4 22

2ln 3 ln 1 d 2ln15≤ − ≤∫ x x .

46.1. ( ) [ ]2 2 2 22 3 200 00

6 4 5 d 2 2 5x x x x x x − + = − + = ∫ ( ) ( ) ( )3 2 2 22 2 0 2 2 0 5 2 0= − − − + − = 2 8 2 4 5 2 16 8 10 18= × − × + × = − + =

46.2. ( ) ( ) ( )1 1 12 2 2 31 1 1

1 d 1 2 d 2 d− − −

− = − + = − + =∫ ∫ ∫t t t t t t t t t t t

1 1 1

2 3 4

1 1 1

1 2 1

2 3 4− − − = − + = t t t

( )( ) ( )( ) ( )( )2 3 42 3 41 2 11 1 1 1 1 12 3 4

= − − − − − + − − =

( ) ( ) ( )1 2 1 41 1 1 1 1 12 3 4 3

= − − + + − = −

46.3. 2 2 2

2 3

2 31 1 1

1 4d d 4 d− −

− = − = ∫ ∫ ∫

x x x x xx x

2 2 2 21 2

2

1 11 1

1 14 2

1 2

− − = − = − + = − −

x x

x x

2 2

1 1 1 1 1 12 2 1

2 1 2 1 2 4

= − − + − = − − + − =

1 3 1 3 2

2 12 4 2 2 2

= + × − = − = − = −

46.4. ( )3 3

2 2

0 0sin d sin d sin d

π ππ

π= + − =∫ ∫ ∫x x x x x x

[ ] [ ]3

20

cos cosπ

π

π= − + =x x

( ) 3cos cos0 cos cos2

π = − π − + − π =

( ) ( )( )1 1 0 1 2 1 3= − − − + − − = + =

46.5. [ ]2 22 2

sin d cos cos cos2 2

θ θ θπ π

π π− −

π π = − = − − − =

∫

( )0 0 0= − − =

46.6. ( ) ( ) ( )1

51 14 4

0 0

0

2 11 12 1 d 2 2 1 d

2 2 5

−− = − = × =

∫ ∫

xx x x x

( ) ( )( ) ( )15 550

1 1 1 12 1 1 1 1 1

10 10 10 5 = − = − − = + = x

46.7. ( )2 20 0

3cos sin d 3 sin cos dπ π

= − − =∫ ∫x x x x x x

( ) ( )3 3 30

3cos cos cos 0 1 1 2

3

π− = = − π − = − − − =

46.8. 33 3

2

0 02 2 0

4 2d 4 d 4 1

1 2 1

= = + = + +

∫ ∫x x

x x xx x

( )4 2 1 4= − =

46.9. ( )1

8 82 2 2

0 0

11 d 2 1 d

2+ = + =∫ ∫x x x x x x

( )8

32 2

0

11

32

2

x

+ ×

( )8

32

0

11

3x

= + = ( )1 2627 1

3 3− =

46.10. ( )( ) ( )ln ln2 2ln ln

6 6

2e cos e d 2 e cos e dπ π

π π= =∫ ∫x x x xx x

( ) ( ) ( )( )ln lnln2 62ln

6

2 sin e 2 sin e sin e

π ππ

π = = − =

x

1

2 sin sin 2 1 12 6 2

π π = − = − =

[ ] ( )

[ ]

1

0

1

0

1 1 11 0

2 2 2

1 0 1

t

t

= − =

= − =

[ ]20

2 0 2x = − =

[ ]42

4 2 2x = − =


46.11. ( )4 43 34 4

sin cos d sin sin dx x x x x xπ π

π π− −

′= =∫ ∫

3

2 2 243

4

1 1 3sin sin sin

2 2 4 4

π

π−

π π = = − − = x

2 23

2 43

4

1 1 2 2sin

2 2 2 2

π

π−

= = − − =

x

1 2 2

02 4 4

= − =

46.12. ( ) ( )

ln 2ln 2 ln 2

0 0 0

e 1ed d ln e 1

e 1 e 1

′+ = = + = + +∫ ∫

xxx

x xx x

( ) ( ) ( ) ( )ln 2 0ln e 1 ln e 1 ln 2 1 ln 2= + − + = + − =

( ) ( ) 3ln 3 ln 2 ln2

= − =

47.1. ( )3 3

2

0 0

1 1d e d

3 0 3

−= = =− ∫ ∫

xm f x x x

3 3

2 2

00

1 1 12e d e

3 2 6

x xx− − = × − × − = − = ∫ ( )

6 01e e

6

−− −

6

1 11

6 e

= − − =

6 6

6 6 6

1 1 1 e 1 e 11

6 e 6 e 6e

− − − = =

47.2. ( ) ( )1 1 20 0

1d 3 1 d

1 0= = + − =

− ∫ ∫m f x x x x x

13 2

0

3 1 3 51

3 2 3 2 6

= + − = + − =

x xx

47.3. ( )e 1 e 1

21 1

1d d

1e 1 1

− −= = =

+− − ∫ ∫x

m f x x xx

e 1

21

1 1 2d

2 1e 1 1

−= × =

+− − ∫x

xx

( ) ( )

e 12

1

ln 1 ln e ln 2

2 e 1 2 2 e 1 2

− + − = = =

− − − −

x

( )( )

( )( )1 ln 2 2 e 1 21 ln 2

2 e 1 2 2 e 1 2 2 e 1 2

− − +−= = =

− − − − − +

( )( ) ( )( )2 1 ln 2 e 1 1 1 ln 2 e 1 1

4e 4 4 2e 4

− − + − − += =

− − −

Pág. 108 48. Interseção do gráfico de f com a reta de equação y = x + 1.

3 23 4 1x x x− + = + ⇔

3 23 3 0x x x⇔ − − + = ⇔

( )( )( )1 1 3 0x x x⇔ + − − = ⇔ 1 1 3x x x⇔ = − ∨ = ∨ =

A área pedida é dada por:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 33 2 3 21 1

3 4 1 d 1 3 4 dA x x x x x x x x−

= − + − + + + − − +∫ ∫

( ) ( )1 33 2 3 21 1

3 3 d 3 3 d−

= − − + + − + + − =∫ ∫x x x x x x x x

1 34 2 4 2

3 3

1 1

3 34 2 4 2

−

= − − + + − + + − =

x x x xx x x x

1 1 1 1 81 9 1 1

1 3 1 3 27 9 1 34 2 4 2 4 2 4 2

= − − + − + − − − + + − − − + + −

8=

49. Interseção do gráfico de f com o eixo Ox:

( ) 2 1 1 80 2 02

± += ⇔ − − = ⇔ = ⇔f x x x x 2 1x x= ∨ = −

A área pedida é dada por:

( ) ( ) ( )1 2 3

2 1 2d d d

−

− −= − + =∫ ∫ ∫A f x x f x x f x x

( ) ( ) ( )1 2 32 2 22 1 2

2 d 2 d 2 dx x x x x x x x x−

− −= − − − − − + − −∫ ∫ ∫

1 2 33 2 3 2 3 2

2 1 2

2 2 23 2 3 2 3 2

x x x x x xx x x

−

− −

= − − − − − + − −

1 1 8 4 8 4

2 4 43 2 3 2 3 2

= − − + − − − + − − − +

1 1 9 8 49

2 9 6 2 43 2 2 3 6

+ − + + + − − − − − =

50.1. ( )4 4 4 44 4 4 4

sin sintan d d ln cos

cos cos

x xx x x x

x x

π π π π

π π π π− − − −

−= = − = − ∫ ∫ ∫

ln cos ln cos4 4

π π = − + − =

2 2ln ln 0

2 2

− + =

50.2. A área pedida é dada por:

( ) ( )4 400

2 tan d 2 ln cos 2ln cos 2ln cos04

A x x xπ π π = = − = − +

∫

22 2

2ln 2ln1 ln 0 ln 22 2

= − + = + =

A área pedida é igual a ln 2 u.a..

51.1. ( ) ( )2 2ln ln ln ln

0−

= ⇔ = ⇔ = ⇔x x x x

f x g xx x x

2ln ln 0 0x x x⇔ − = ∧ > ⇔ ( )ln 1 ln 0 0x x x− = ∧ > ( )ln 0 ln 1 0x x x⇔ = ∨ = ∧ > ⇔ 1 ex x= ∨ =

( ) ( ) ln11 1 01

= = =f g e ( ) ( ) ln e 1e ee e

= = =f g

Os gráficos de f e g intersetam-se nos pontos de

coordenadas ( ) 11, 0 e e, e

.

51.2. += = ℝf gD D

( ) ( ) ( )2ln ln ln 1 ln− = − = −f x g x x x x x x 0 1 e

ln x – 0 + + +

1 – ln x + + + 0 –

f – g – 0 + 0 –

O gráfico de f está “acima” do gráfico de g em ]1, e[ e o gráfico

de g está “acima” do gráfico de f em ]0, 1[ e em ]e, +∞[.

51.3. A medida da área pedida é dada por:

( ) ( )( )2

e e

1 1

ln lnd d

= − = − =

∫ ∫

x xA f x g x x x

x x

e e2 3

e e2

1 11 1

1 1 ln lnln d ln d

2 3

x xx x x x

x x

= − = − =

∫ ∫

2 2 3 3ln e ln 1 ln e ln 1

2 2 3 3

= − − − =

1 1 1

2 3 6− =


6 u.a..

52.1. ( ) 2 2= −f x x ; ( ) 20 2 0 2= ⇔ − = ⇔ = ±f x x x O gráfico de f é uma parábola com a concavidade voltada

para cima que interseta o eixo Ox em 2= −x e 2=x .

( ) 2 22 2 2 4 2= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±f x x x x

1 – 3 – 1 3

– 1 – 1 4 – 3

1 – 4 3 0

1 1 – 3

1 – 3 0

( )( )

3 23 3

( 1) 1 0

P x x x x

P P

= − − +

− = =


O gráfico de f e a reta de equação y = 2 intersetam-se nos

pontos de abcissa – 2 e 2.

( )2 22

2 2 dA x x−

= − − ∫ ( )2

2

24 dx x

−= − =∫

[ ]2

32

2

2

8 8 16 324 8 8 16

3 3 3 3 3

xx

−−

= − = + − + = − =

u.a.

52.2. Gráfico de f : é uma parábola com vértice na origem e

concavidade voltada para cima.

Gráfico de g: é uma parábola com a concavidade voltada

para baixo

Interseção dos gráficos de f e g :

( ) ( ) 2 2 24 2 4 0= ⇔ = − + ⇔ − = ⇔f x g x x x x x x ( )2 2 0 0 2⇔ − = ⇔ = ∨ =x x x x Os gráficos de f e g intersetam-se nos pontos de abcissas 0

e 2.

( ) ( )( )2

0dA g x f x x= −∫ ( )

22 2

04 dx x x x= − + −∫ =

( )2 20

4 2 dx x= −∫2

3

0

24

3

xx

= − =

( )16 88 0 03 3

= − − − =

u.a.

52.3. Interseção dos gráficos de f e g :

( ) ( ) ( )2sin sin 2= ⇔ = ⇔f x g x x x ( )2sin sin 2 0x x− = ( )2sin 2sin cos 2sin 1 cos⇔ − ⇔ − ⇔x x x x x sin 0 cos 1⇔ = ∨ =x x

Como [ ]0, , 0∈ π = ∨ = πx x x

( ) ( )( ) ( )( )0 0

d 2sin sin 2 dπ π

= − = − =∫ ∫A f x g x x x x x x

( )0

12cos cos 2

2

π = − + =

x x

( )1 12cos cos 2 2cos0 cos02 2

= − π + π − − + =

1 1

2 2 42 2

= + − − + =

u.a.

52.4. Interseção dos gráficos de f e g :

( ) ( ) 22 1 2= ⇔ + + = ⇔f x g x x x

2

2

2 1 2 1

2 1 2 1

x x x

x x x

+ + = ∧ ≥ −⇔ ⇔

− − = ∧


55.1. Para 0x > : g(x) = 0,08x2 + k ; g’(x) = 0,16x

f (x) = x ; f ’(x) = 1

O gráfico de f é tangente ao gráfico de f no ponto (x0, x0),

pois f (x0) = x0. Assim:

( )( ) ( )

0 0

2

0 00 0

1 0,16 1

0,08

g x x

x k xg x f x

′ = = ⇔ ⇔

+ ==

0 0

2

25 25

4 4

2525 250,08

84 4

x x

kk

= = ⇔ ⇔

== − ×

Portanto, 25

8k = .

55.2. f e g são funções pares. Logo, se para x > 0 os seus

gráficos se intersetam no ponto 25 25

,4 4

então, para

0x < , intersetam-se no ponto 25 25

,4 4

−

.

( )25

02 24

250

4

25 250,08 d 0,08 d

8 8− = + − − + + − = ∫ ∫

A x x x x x x

2503 2 3 2 4

250

4

0,08 25 0,08 25

3 8 2 3 8 2

x x x xx x

−

= + + + + − =

3 2 325 25 25

0,08 0,084 4 4

03 2 3

− × − × = − + + +

225

25 25 62540

8 4 2 48

+ × − − =

56.1. ( )2 2

3 3

1 3d d d

1 3 1= = =

− −∫ ∫ ∫x x

f x x x xx x

31

ln 1 , 3

x c c= − + ∈ℝ

56.2. ( ) ( )cosd d ln sin , sin

= = + ∈∫ ∫ ℝx

f x x x x c cx

56.3. ( )2

2

ed d

x

f x x xx

−

= =∫ ∫

22

2

1 2 ee d ,

2 2

xx x c c

x

−−

= = + ∈∫ ℝ

56.4. ( ) e ed de e

x x

x xf x x x

−

−

+= =

−∫ ∫ = ln |ex – e–x| + c =

21 e 1

ln e lne e

−= − + = + =

xx

x xc c 2ln e 1 ln ex x c− − +

= ln |22x – 1| – x + c, c ∈ℝ

57. ( )5

4 2 3 23 4 1 d 2 , 5

+ − + = + − + + ∈∫ ℝx

x x x x x x x c c

( )5

3 22 452 0 2 2 2 2 05 2

= ⇔ + − × + + = ⇔ = −F c c

Logo, ( )5

3 2 4225 5

xF x x x x= + − + − .

58.1. ( )( )

( ) 221 1

d d 2 2 1 d22 1

−= = + =

+∫ ∫ ∫f x x x x x

x

( ) 11 12 1 , 2 4 2

−= + + = − + ∈

+ℝx c c c

x

58.2. 1 1

d d3 3

− = =− −∫ ∫x xx x ln 3 , x c c− + ∈ℝ

58.3. ( )( )

( ) 2222

1d d 2 1 d

21

−= = − =

−∫ ∫ ∫

xf x x x x x x

x

( ) 12 21 1

1 , 2 2 2

−= − + = + ∈

−ℝx c c c

x

58.4. ( ) 3 1 3 11d e d 3e d3

+ += = =∫ ∫ ∫x xf x x x x 3 11

e , 3

x c c+ + ∈ℝ

58.5. ( )2 21

d e d 2 e d2

− −= = − − =∫ ∫ ∫x xf x x x x x x2

e,

2

x

c c−

− + ∈ℝ

58.6. ( ) 1 1d d1 1

= + = − + ∫ ∫f x x x

x xln 1 ln 1x x c− + + +

( )( )ln 1 1x x c= − + + = 2ln 1 , x c c− + ∈ℝ

58.7. ( ) 1d sin 2 d 2sin 2 d4 2 4

π π = − = − = ∫ ∫ ∫

f x x x x x x

1cos 2 ,

2 4

π = − − + ∈

ℝx c c

58.8. ( )3

2 sind cos sin d , 3

= = + ∈∫ ∫ ℝx

f x x x x x c c

58.9. ( ) d 2cos 3sin d2 2

x xf x x x

= − = ∫ ∫

1 14 cos d 6 sin d

2 2 2 2

x xx x= − =∫ ∫

4sin 6cos , 2 2

x xc c= + + ∈ℝ

59.1. ( )2 2 21 1 11 1d e d 2 e d e

2 2

− − −= = − − = − +∫ ∫ ∫x x xf x x x x x x c

Uma primitiva de f é, por exemplo, 211 e ,

2

x c c−− + ∈ℝ .

59.2. 2

1, 0 e 0xx x+ −∀ ∈ > ∧ >ℝ . Logo, 2

1, e 0xx x+ −∀ ∈ >ℝ

pelo que, ∀x∈ℝ+, f (x) > 0

59.3. ( )2 2 211 1

1 1 1 0 1

0 0 0

1 1 1e d 2 e e e e

2 2 2

− − − = − − = − = − − = ∫ ∫x x xx x x

( )1 e 12

= −

Como 21, e 0+ −∀ ∈ >ℝ xx x , significa que a medida da

área da região do plano delimitada pelo gráfico de f , pelo

eixo das abcissas e pelas retas verticais de equações x = 0

e x = 1 é igual a ( )1 e 12

− u.a. .

60.1. ( ) ( )1 e−′ = − − =xH x x ( ) ( )( )1 e 1 ex xx x− − ′′− − + − − = ( ) ( ) ( ) ( )e 1 e e 1 1 ex x x xx x x h x− − − −= − + − − × − = − + + = =

Logo, H é uma primitiva em ℝ de h.

60.2. No intervalo [1, 2], h(x) > 0, pois, neste intervalo, x > 0 e 21e 0x− > .

Assim, a medida da área pedida é dada por:

( ) ( ) ( )2 22

1 11d 1 e− = = = − − = ∫ xA h x x H x x

( )2 1 1 23e 2e 2e 3e− − − −= − − − = − = 2 22 3 2e 3

e e e

−− = u.a.

61.1. ( ) ( ) ( ) ( )( )e e e′ ′′′ = + = + + + = x x xF x ax b ax b ax b ( ) ( )e e e= + + = + +x x xa ax b a ax b

( ) ( ) ( )e e′ = ⇔ + + = ⇔x xF x f x ax a b x 1 0 1 1a a b a b⇔ = ∧ + = ⇔ = ∧ = −

1 25

0,16 4=

2 2

2 2 2 2x x

x x x

′ ′ ′− − = =

( )( )

e e

=e e

e e

x x

x x

x x

−

−

−

′− =

− − =

= +

2

2 e 3

e

−


61.2. ( ) ( )1 11

0 00e d 1 e = = − = ∫ x xx x F x x ( )1 00 e e 1× − − =

Avaliação

Pág. 110

1. ( ) ( ) ( )1d sin 3 2 d 2sin 3 2 d2

= − = − − − =∫ ∫ ∫f x x x x x x

( )( ) ( )1 1cos 3 2 cos 3 2 , 2 2

= − × − − + = − + ∈ℝx c x c c

Resposta: (B)

2. 11 1

2

0 02 2 0

2d d 4

4 2 4

− = − = − − = − −

∫ ∫x x

x x xx x

3 4 2 3= − + = − Resposta: (D)

3. • ( )2 0 1 0 0 1+ = ⇔ + = ⇔ = ∨ = −x x x x x x • 3 31 0 1 1+ = ⇔ = − ⇔ = −x x x Interseção dos gráficos de f e g

3 2 3 21 1 0x x x x x x+ = + ⇔ − − + = ⇔

( )( )21 1 0x x⇔ − − = ⇔ 1 1x x= − ∨ =

( ) ( )( ) ( )( )1 1 3 21 1

d 1 d− −

= − = + − + =∫ ∫A f x g x x x x x x

( )1

4 3 21

3 2

11

1 d4 3 2−

−

= − − + = − − + =

∫

x x xx x x x x

1 1 1 1 1 1

1 14 3 2 4 3 2

= − − + − + − − =

2 42

3 3− + =

Resposta: (A)

4. ( ) ( ) ( )d 0,5 0,02 d= = + =∫ ∫v t a t t t t 2 10,5 0,01t t c+ + v(0) = 0 ⇔ c1 = 0

Logo, ( ) 20,5 0,01= +v t t t . ( ) 220 0,5 20 0,01 20 10 4 14= × + × = + =v

( ) ( ) ( )2d 0,5 0,01 d= = + =∫ ∫s t v t t t t t2 30,5 0,01

2 3

t tc+ +

s(0) = 0 ⇔ c = 0

Logo, ( ) 2 31 14 300

= +s t t t .

( ) 2 31 1 38020 20 204 300 3

= × + × =s

Resposta: (A)

5. •

( )( )2 2 2220 02

1d 2 1 d

21

−= + =

+∫ ∫

xx x x x

x

( )

( )

2 212

2

00

11 1 1 1 2

2 1 10 2 52 1

− + = = − = − + = − +

x

x

Verdadeira

• 3 3

1 12 2

2 2d 2 d

2 2 2= =

+ +∫ ∫

x xx x

x x

( )3

2

1

2 2 2 11 3 = + = −

x Verdadeira

• 2 22 20 0

sin cos d sin cosπ π

= − − =∫ ∫x x x x x

( )

333 2

0

cos cos 0cos 12

3 3 3 3

xπ π

= − = − =

Verdadeira

• 2 20 0

1sin 2 d 2sin 2 d

4 2 4

π ππ π + = + = ∫ ∫

x x x x

2

0

1 1 5cos 2 cos cos

2 4 2 4 4x

π

π π π = − + = − − =

1 2 2 2

2 2 2 2

= − − − =

Falsa

Resposta: (D)

6. ( )2

1 2 32

d−

= − + =∫ f x x A A A5 1

1 11 1 2 21

2 2 2

+ ××− × + =

1 7 1 1 3

12 4 4 2 2

= − + = − = −

Resposta: (D)

7. • ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2

10 1 0

d d d∆ = − ≠∫ ∫ ∫A f x x f x x f x x Falsa

• Sendo F uma primitiva de f :

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2

1 0 1 0A F x F x F x∆ = − ≠

Falsa

• ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 121 1

d e d− +∆ = − − = − + + =∫ ∫ xA f x x x x x x

( )2 21 11 1

e d e d− + − += ≠ −∫ ∫x xx x Falsa

• ( ) ( ) ( )( )2 2

1

21 1

d e d− +∆ = − − = =∫ ∫ xA f x x x x

( )2 1 1 01

1e d e e 1

e

x x− + −= − − = − + = −∫ Resposta: (D)

Pág. 111

8.1. 22 2

cos cos 1d d cos sin d ,

1 cos sin sin

x xx x x x x c c

x x x

−= = = − + ∈−∫ ∫ ∫ ℝ

8.2. 22

1tan d 1 d tan ,

cos

= − = − + ∈ ∫ ∫

ℝx x x x x c cx

8.3. ( ) ( )5 5 30 0

2 5 d 5 2 5 d+ = + =∫ ∫x x x x x x

5 55 3

3 1 2 25 52 2

0 0

0 0

5 d 2 5 d 5 2 55 3

2 2

x xx x x x

= + = +

∫ ∫

5 5

5 3

0 0

2 5 4 5

5 3x x = + =

=

5 3 3 22 5 4 5 2 45 5 5 52 3 5 3

100 25050

3 3

= + = × + × =

= + =

1 – 1 – 1 1

1 1 0 – 1

1 0 – 1 0


8.4. ln 2 ln 2 ln 2

3 3 3

00 0

5 55e d 3e d e

3 3 = = = ∫ ∫x x xx x

( ) ( )3

ln3ln 0 2

5 5 5e e e 1 8 1

3 3 3

= − = − = − =

x 35

3

9.1. ( )2

4 4

1 1

1 1

′ ′ = = − + + ∫xf x

t x, ( ) 1 11

1 1 2′ = − = −

+f

9.2. Equação da reta tangente:

( ) ( )2

41

1 11 ; 1 d 0,2

2 1′= = − = =

+∫m f f tt

( )1 1 1 10,2 12 2 2 5

− = − − ⇔ = − + + ⇔y x y x1 7

2 10y x= − +

7 7

495 10

2 100A

×= =

A medida da área pedida é igual a 49

100 u.a..

10.1. a) ( ) 24 m/s= −a t , ( )0 1=s , ( )0 1v =

( ) ( ) d 4 d 4= = − = − +∫ ∫v t a t t t t c ( )0 1 1v c= ⇔ = Logo, ( ) 4 1v t t= − +

b) ( ) ( ) ( ) 2d 4 1 d 2= = − + = − + +∫ ∫s t v t t t t t t c ( )0 1 1= ⇔ =s c Logo, ( ) 22 1s t t t= − + +

10.2. a) ( ) 2 1 1 80 2 1 04

s t t t t− ± +

= ⇔ − + + = ⇔ = ⇔−

1

12

t t⇔ = ∨ = −

( )1 4 1 3 3= − × + = −v O ponto material passa na origem do referencial no

instante t = 1 s com uma velocidade de – 3 m/s.

b) ( ) ( )22 1 4 1′′ = − + + = − +s t t t t

( ) 10 4 1 0 0,254

′ = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ =s t t t t

O ponto muda o sentido do deslocamento no instante

t = 0,25 s.

c) ( ) 20,25 2 0,25 0,25 1 1,125= − × + + =s t 0 0,25 +∞s' + 0 –

s ր ց Máx.

A distância máxima à origem foi de 1,125 m e foi

atingida no instante t = 0,25 s.

11.1. ( )ln 5

1085 100 75e 85−

> ⇔ − > ⇔t

T tln 5

1015

e75

t−<

ln5 1

ln10 5

t ⇔ − < ⇔

ln 5ln 5

10t− < − ⇔ 10t >

O processo de esterilização inicia-se 10 minutos após a

embalagem ser colocada no forno.

11.2. a) ( )ln 5

10

10 1085 d 100 75 e 85 d

tx x

A T t x t−

= − = − × − =

∫ ∫

ln5

e10

10 1015 d 75 e d

−= − =∫ ∫

tx

x t [ ]ln5

10

10 1015 75 e d

txxt t

−− ∫

ln 5

10

1015 150 75 e

tx

x−

= − − =∫ ( )ln 5

10

1015 10 75 e

tx

x−

− − ∫ f é crescente em [ [0, + ∞ .

b) ( ) ( )ln 5

2010

1020 15 20 10 75 e d

−= − − =∫A t

20ln 5

2 ln 5 ln 510

10

e e e150 75 150 75

ln 5 ln 5

10 10

t−− −

−

= − = − × ≈ − −

75,4≈ Como A(20) < 85, o processo de esterilização não fica

concluído passados 20 minutos.

12. ( )( )

( )( )

( )

2 2

2 22 2

3 1 e 3 2 e0

1 e 1 e

x x

x xf x

− −

− −

′− + − × −′ = − = − =

+ +

( )

2

2

6e0,

1 e

x

xx

−

−= − < ∀ ∈

+ℝ

Como ( ) 0,f x x′ < ∀ ∈ℝ , f é estritamente decrescente.

( )4

32 3 0,05

1 ef

−= − ≈

+

( )ln 2 0,35≈ f é estritamente decrescente e ( ) ( )2 ln 2f < . Logo:

( ) [ ]ln 2 , 2,4f x x≤ ∀ ∈

( )( )42

ln 2 d= − =∫A f x x ( )4 4

2 2ln 2 d dx f x x− =∫ ∫

[ ] ( ) 442 2

ln 2= − = x F x ( ) ( )( )2ln 2 4 2F F− − =

( ) ( )8 43 32ln 2 ln 1 e ln 1 e2 2

− − = − − + + + =

( ) ( )8 43 32ln 2 ln 1 e ln 1 e 0,72 2

− −= + + − + ≈

A medida da área pedida é aproximadamente igual a 0,7 u.a..

Avaliação global

Pág. 112

1. • ( )e

2e e e

1 1 11

ln 1 lnd ln d ln d

2

′= = = =

∫ ∫ ∫x x

x x x x xx x

e2 2 2

1

ln ln e ln 1 1

2 2 2 2

= = − =

xFalsa

• ( )2 2 2e e e

ee e

1

1d d ln ln

ln ln= = = ∫ ∫ xx x xx x x

( ) ( )2ln ln e ln ln e= − = ln 2 ln1 ln 2− = Verdadeira

• [ ]3 324 4

1d tan tan tan 3 1

cos 3 4

π π

π π

π π = = − = − ∫

x xx

Falsa

• ( ) ( ) ( )ln ln lnF x x x x x x x′ ′′ ′= = + =

1

ln ln 1x x xx

= + × = + Falsa

Resposta: (B)


2. • ( ) ( )2 1 2

0 0 11 d 1 d 1 d− = − + + − =∫ ∫ ∫x x x x x x

1 22 2

0 12 2

= − + + − =

x xx x

( )1 11 0 2 2 1 12 2

= − + − + − − − =

Falsa

• No intervalo [– 4, – 1], tem-se que x3 < 0 e ex > 0.

Logo, [ ] 34, 1 , e 0∀ ∈ − −

= − + − − + ∈ℝ

Resposta: (C)

8. • ( )2

0d 0>∫ f x x , pois ( ) 0f x ≥ em [ ]0, 2 .

Ficam excluídas as hipóteses (A) e (D)

• Como se pode observar no gráfico seguinte. a medida

da área delimitada pelo gráfico de f , pelo eixo das

abcissas e pelas vertas verticais x = 0 e x = 1 é inferior

a 2 u.a. .

Logo, fica excluída a resposta (C).

Resposta: (B)

9. Resposta: (B)

10. ( ) 1: 1 lnA xx

′− = −

( )2 2 2 1: ln 2 2 ln ′− = − + × =

B x x x x x x xx

2 2 ln 2 ln= − − = −x x x x x x x

2 2 25 1 5 1 1

: ln 2 2 ln4 2 4 2

′ − = × − + × =

C x x x x x x xx

5

ln 2 ln2 2

= − − = −x

x x x x x x

( )2 1: ln 2 1ln 2 1 ln ′− = − + × = − −

D x x x x x x x xx

Resposta: (C)

11. ( )1

0d∫ f x x é igual à medida da área da região do plano

delimitada pelo gráfico de f , pelo eixo das abcissas e pelas

retas verticais de equação x = 0 e x = 1.

A medida dessa área é maior do que 0,25 e menor que 2.

Como:

• e – 2 ≈ 0,72

• 1

0,254

=

• 1

ln 0,692

≈ −

De entre os valores

apresentados, a medida da área

pedida apenas pode ser –2.

Resposta: (A)

Pág. 114

12.1. 2 2e 3e e e

d d 3 de e e

−= − =∫ ∫ ∫

x x x x

x x xx x x

e d 3 1d e 3 , = − = − + ∈∫ ∫ ℝx xx x x c c

12.2. ( )22 4 2

1

2

3 6 9d d

− − += =∫ ∫

x x xx x

xx

4 2

1 1 1

2 2 2

6 9d

x xx

x x x

− +

∫

9 5 17 3 1 2 2 22 2 2

6 96 9 d

9 5 1

2 2 2

x x xx x x x c

− = − + = − + + =

∫

9 52 1218 ,

9 5

x xx c c= − + + ∈ℝ


12.3. 0 0

1cos sin d 2cos sin d

2 2 2 2 2

x x x xx x

π π = = ∫ ∫

[ ]π00

1 1sin d cos

2 2x x x

π= = − =∫ ( )

1cos π cos0

2− −

( )1 1 1 12

= − − − =

12.4. ( )2 2 2

33 3

e e e

ee e

1

1d d ln ln

ln ln= = = ∫ ∫ xx x xx x x

( ) ( )2 3 2ln ln e ln ln e ln 2 ln 3 ln3

= − = − =

13.1. ( ) ( )26 6 2′′ = − = −f x x x x ( )4 6 2 4 6 8 2f ′ = − × = − = − ( )4 6 4 16 8f = × − = ( )8 2 4 2 8 8 2 16− = − − ⇔ = − + + ⇔ = − +y x y x y x Logo, a reta r é tangente ao gráfico de f no ponto P(4, 8).

13.2. Interseção da reta com o eixo das abcissas

2 16 0 2 16 8− + = ⇔ − = − ⇔ =x x x

Interseção do gráfico de f com o eixo das abcissas

( )26 0 6 0 0 6− = ⇔ − = ⇔ = ∨ =x x x x x x

( )( ) ( )6 820 6

2 16 6 d 2 16 d= − + − − + − + =∫ ∫A x x x x x x

( ) ( )6 820 6

8 16 d 2 8 d= − + + − + =∫ ∫x x x x x

6 83 2

2

0 6

4 16 2 83 2

= − + + − + =

x xx x x

( )216 144 96 2 32 64 18 48 283

= − + + − + + − =

A medida da área pedida é igual a 28 u.a. .

14. [ ]2sin 1 0 , 2πx x= − ∧ ∈ ⇔

[ ]1sin 0 , 2π2

x x⇔ = − ∧ ∈ ⇔

π π

π 2π6 6

x x⇔ = + ∨ = − ⇔7π 11π

6 6x x= ∨ =

( ) ( )7π

2π6

11π0

6

2sin ( 1) d 2sin ( 1) dA x x x x= − − + − − =∫ ∫

( ) ( )7π

2π6

11π0

6

1 2sin d 1 2sin dx x x x= + + +∫ ∫

[ ] [ ]7π

2π6 11π

06

2cos 2cosx x x x= − + − =

7π 11π3 0 2 2π 2 3

6 6

= + − + − − − + =

4π 4π 6 32 3

3 3

+= + =

A medida da área pedida é igual a 4 6 3

3

π + u.a.

15.1. 1 1

0 10 0

1 ed d

1 e 1 e

−

− −+ = + =

+ +∫ ∫x

x xu u x x

1

0

1 ed

1 e 1 e

x

x xx

−

− −

= + =

+ + ∫

1 1

0 0

1 ed 1d

1 e

x

xx x

−

−

+= =

+∫ ∫

[ ]10

1 0 1= = − =x

15.2. ( )1 1

10 0

1 eed d

1 e 1 e

xx

x xu x x

−−

− −

′+ = = − − = + +

∫ ∫ ( )1

0ln 1 e x− − +

( ) ( )1 0ln 1 e ln 1 e−= − + + + = 1ln 2 ln 1e

− +

e 1

ln 2 lne

+ = − =

( )( )ln 2 ln e 1 ln e− + −

( ) 2ln 2 1 ln e 1 1 lne 1

= + − + = + +

Como u0 + u1 = 1 , tem-se:

0 12 2 e 1

1 1 1 ln ln lne 1 e 1 2

u u + = − = − + = − = + +

15.3. a) Seja n∈ℕ . Para todo o real [ ] e0, 1 , 01 e

−

−∈ ≥

+

nx

xx

Logo, 1

0

ed 0

1 e

−

−≥

+∫nx

xx .

b) ( )1

1 1

10 0

e ed d

1 e 1 e

− + −

+ − −+ = + =

+ +∫ ∫n x nx

n n x xu u x x

( )11

0

e ed

1 e 1 e

− + −

− −

= + = + + ∫

n x nx

x xx

( )10

e e 1d

1 e

nx x

xx

− −

−

+=

+∫

1 1

0 0

1e d e d− −= = − − =∫ ∫nx nxx n xn

1

0

1 e 1e

nnx

n n n

−− − = − +

=

1 e−−=

n

n

c) Seja n∈ℕ .

Vimos em b) que 11 e−

+

−+ =

n

n nu un

e, por outro lado

que, 1 0nu + ≥ .

Logo, 11 e 1 en n

n n n n nu u u u un n

− −

+

− −+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤

15.4. Para n∈ℕ , tem-se 1 e

0−−

≤ ≤n

nun

.

Então, 1 e 1 0

lim0 0 ; lim 0−− −

= = =+∞

n

n

Pelo teorema das sucessões enquadradas, lim un = 0.

16.1. ( )( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1

+ −= − = =

+ + +x x

f xx x x x x x

16.2. ( ) 1 1d d ln ln 11

= − = − + + = + ∫ ∫f x x x x x c

x x

ln , 1

= + ∈+

ℝx

c cx

Pág. 115

17.

2e

2 2e e

1 11

e ee

1ln

ln 1 ln ln e ed d

2 2 2

x

x x

x x

x

x xt tt t

t t

= = = −

∫ ∫ =

( ) ( ) ( )

2 2 22 2 2ln e ln e0

2 2 2

x xx x x x

−− − − −= = = =


18.1. • ( ) 100 100100 100 100e 100 e 1+ += ⇔ = ⇔ = ⇔a b a bf 100 ln1 100 0⇔ + = ⇔ + =a b a b

• ( )1

50 50 250 50

50 50e e ee e

−+ += ⇔ = ⇔ = ⇔a b a bf

150

2⇔ + = −a b

A solução do sistema é:

100 0 100

1 150 50 100

2 2

+ = = −

⇔ ⇔ + = − − = −

a b b a

a b a a

11

110,0150

1002

= − = − ⇔ ⇔ ⇔

==− = −

bb

aaa

wwww

Logo, ( ) 0,01 1, e −∀ ∈ =ℝ xx f x x

18.2. Para 100 0x− ≤ < :

• e0,01x – 1 > 0

• x < 0

Logo, [ [100, 0x∀ ∈ − , xe0,01x – 1 < 0 , pelo que

( )0

1000

− ⇔ > ⇔ >xf x x x x Logo, f (x) > x se x > 0 . Portanto, a medida da área

pedida é dada por:

( )( ) ( )200 200 200

100 100 100d d d= − = − =∫ ∫ ∫A f x x x f x x x x

( )200

2200

0,01 1

100100

100 10 000 e 12 1832

− = − − ≈

x xx

A medida da área pedida é aproximadamente igual a

12 183 u.a..

19.1. 2 2 21 1 11 1e d 2 e d e

2 2

− − −= − − = − + =∫ ∫x x xx x x x c21e

, 2

x

c c−

− + ∈ℝ

19.2. ( )21e −= xf x x .

Para x∈]0, 1] , tem-se:

( )2

2

11 1 1

1

ee e e

e

−− − −

−≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔

xx x x

xf x x x

21 1e x xx − − +≤

2

ex xx −⇔ ≤ ⇔ 2 2ln ln 0x x x x x x≤ − ⇔ − + ≤ Seja g(x) = ln x – x2 + x.

( )21 2 1

2 1− + +

′ = − + =x x

g x xx x

21 1 8

2 1 02

x x x− ± +

− + + = ⇔ = ⇔

2 1x x⇔ =− ∨ = No intervalo ]0, 1[, g’(x) > 0 e, portanto, g é estritamente

crescente em ]0, 1].

( ) 21 ln1 1 1 0g = − + =

Se g é estritamente crescente em ]0, 1] e g(1) = 0 , então

( ) ] ]0, 0, 1g x x≤ ∀ ∈ .

Logo, ] ] ( ) 10, 1 , e −∀ ∈ ≤ xx f x

19.3. ( )21 1 10

e e d− −= − =∫ x xI x x ( ) ( )21 1

1 1

0 0

12 e d e d

2

x xx x x− −− − + −∫ ∫ =

1 1

1 1

0 0

1e e

2

− − = − + = x x ( ) ( )0 1 0 11 e e e e

2− − + − =

( )1 1 e 1 e2

= − − + − = ( )1 2 1 2e e2

− − + =1 e

2

−

Significa que o simétrico da medida da área delimitada pelo

gráfico de f, pelo gráfico da função definida por g(x) = e1 – x

e pelas retas de equações x = 0 e x = 1 é igual a 1 e

2

−.

Primitivas e cálculo integralpedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_6.pdf · Primitivas e cálculo...

Documents

Transcript of Primitivas e cálculo integralpedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_6.pdf · Primitivas e cálculo...