LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO

LISTA FINAL ESTUDO DE DERIVADAS E INTEGRAIS

GPI Prof. Marcelo FATEC ITAPETININGA profmarcelo@uol.com.br

Obs. Esta lista de exercícios tem o papel de ESTUDO

DIRIGIDO para que você se organize nos seus estudos

visando um melhor aprendizado e conseqüentemente um

resultado satisfatório na próxima avaliação.

Não decore resoluções, aprenda a fazer.

(01) Encontre as seguintes integrais indefinidas:

a) dxxxx578

b) dxxxx 25746

c) dxxxx456 15614

(02) Dê a derivada das seguintes funções:

a) y = x8 + 4x7 – 5x6 + 12x5 + 9x4 + 6x + 11

b) y = ln x

c) f(x) = x4 – 8x3 + 1,5x2 + 3x + 9

d) f(x) = 9x

e) f(x) = ex

f) f(x) = sen x

(03) Dada a função real

49

14728)(

2

2

x

xxxf

Calcule o limite usando fatoração

)(lim7

xfx

(04) Considere o gráfico

a) f(2)

b) f(3)

c) Qual o ponto de mínimo do gráfico?

e) Calcule os limites laterais:

)(lim2

xfx

e )(lim2

xfx

f) Calcule )(lim2

xfx

e )(lim4

xfx

(05) Dê o valor das seguintes integrais definidas:

a) ∫ 5𝑥4 𝑑𝑥2

0

b) ∫ 1

𝑥 𝑑𝑥

900

35

c) ∫ 6 𝑑𝑥10

4

d) ∫ 10𝑥9 𝑑𝑥2

1

y

x

1

2

3

4

2 4 6 -1

mailto:profmarcelo@uol.com.br

(06) Um técnico coloca-se à disposição de seus

clientes para manutenção de computadores,

instalação de redes e tirar poeirinha do cooler. Ele

estabelece um preço inicial fixo de R$ 60,00 mais

um valor variável de mão de obra que depende do

número de horas trabalhadas. Sabemos que, com 10

horas de trabalho, ele cobra R$240,00. A reta

representada no gráfico a seguir nos dá o preço do

serviço em função do número de horas (exceto preço

do transporte).

0) Quais os tipos de trabalho que ele oferece?

a) Qual a fórmula matemática (função da reta) que

se ajusta a esse gráfico?

b) Sem contar com o valor fixo inicial de 60 reais,

quantos reais o técnico cobra por hora ?

(07) Newton e Leibniz foram grandes pensadores e matemáticos. Além de escreverem inúmeros artigos e

atuar em várias áreas da Matemática, eles também

criaram muitos símbolos como f’(x) ou 𝑑𝑦

𝑑𝑥 . A simbologia

matemática é necessária para facilitar as demonstrações

e operações. Assim + significa “mais”, sifnifica

“infinito” e sifnifica “qualquer que seja”. Qual o

símbolo que significa “o melhor de todos”?

(08) Faça o esboço do gráfico da função do segundo

grau y = –2t2 + 8t + 42 e aponte seus valores de

mínimo OU de máximo.

(09) Calcule a integral definida:

∫ 𝑥2 𝑑𝑥6

3

(10) Faça um esboço do gráfico da função:

y = x3 – 5x2 – 25x + 125

e encontre os valores de x que nos dão máximo e

mínimo locais (raiz da derivada).

(12) Dê a derivada de:

a) y = 15x + x15

b) f(x) = x2 + 6x + 8

c) f(x) = x–5 + x0,7

d) f(x) = lnx + cosx

e) y = log8 x

(13) Encontre as integrais indefinidas:

a) dxx1

b) dxxx711

c) dxxx 21004

d) dxex

e) dx9

Obs.: Essa é uma lista curta, com bem menos de 50 questões para estudar. Faça ela TODA, pois só assim

você irá tirar boa nota na P3. profmarcelo@uol.com.br

profmarcelo@uol.com.br

(14) Dê o valor das seguintes integrais definidas.

a) 90

7

1dx

x

b) 10

8

3 dxx

c) 4

2

2 103 dxxx

d) 2

028 dxx

(15) A área sob a curva da função f(x), limitada pelo

eixo x e por x = a e x = b pode ser calculada,

segundo Riemann, pela integral:

A = b

adxxf )(

Nestas condições, calcule a área sob a curva

f(x) = x2 + 2 e o eixo x limitada pelos pontos x = 1

e x = 3

(16) Assim como no exercício 15, calcule a área sob

a função f(x) = x

1 limitada por x = 2, x = 20 e o eixo

x.

(17) No projeto de fabricação de um mini HD plus-

compact, certa empresa propõe que uma das suas faces

seja arredondada, aproveitando o formato do disco

rígido, liberando assim espaço dentro da CPU quando ele

for instalado. A melhor proposta obtida é que o formato

desejado respeite a região sob a curva da parábola

f(x) = 0,5x2 + 7x 12, hachurada no gráfico abaixo, em

cm.

Responda:

0) O que significa a sigla HD, conhecida como disco

rígido no Brasil?

a) Considerando a ocupação de espaço dentro do gabinete

em cada nível, qual será a área destinada a este HD?

A = 10

4

2 )1275,0( dxxx

b) Qual o maior comprimento desse HD, isto é, o

valor máximo da parábola em cm?

Prof. Marcelo Silvério

(18) Uma grande indústria vinha tenho prejuízos

preocupantes em 2000. Seu faturamento começou a

aumentar significativamente após adotarem políticas de

melhoria de qualidade. Apesar dos sobressaltos da crise

provocada pela greve dos portuários e dificuldades em

exportação ocorrida em 2004, o faturamento foi bom e

voltou a aumentar no ano seguinte.

O gráfico que se obteve, considerando 2000 como 0,

2001 como 1 e assim por diante foi:

E a função matemática que melhor se ajusta a este

modelo é:

f(x) = 4x3 – 48x2 + 180x – 192

Com Y dado em milhões de reais e x em ano.

Responda:

0) Segundo o texto, porque em 2004 o faturamento teve

uma pequena queda?

a) Encontre os pontos de máximo e mínimo local

(valores de x). Para isso, faça a derivada igual a zero

e calcule as raízes por delta. Veja a solução no

gráfico.

b) Pela fórmula ou pelo gráfico, encontre o

faturamento da empresa em 2006.

f(6) =

(19) Considere a função T(x) = x3 – 2x2 – 64x + 128 que

modela a variação de temperatura, a cada minuto, de uma

substância química colocada sob choque térmico

(aquecida e resfriada) em algumas horas. Horários

negativos (x

(24) Considere s(t) a função horária do movimento

retilíneo uniformemente variado de uma partícula,

observada no caso particular: 2.4,0120640 tts

com unidades de medida no sistema internacional.

Sabemos que a velocidade média de um corpo é dada por

t

sVm

, que considera uma taxa de variação

S = Sfinal – Sinicial.

A velocidade instantânea, dada em cada tempo, pode ser

obtida pela diferencial dt

dsV , em que se substitui no

gráfico a reta secante dada pela taxa de variação por uma

reta tangente ao ponto, dada pela derivada neste ponto.

0) Qual era o nome do seu professor de Física do 1º

Colegial?

a) Determine a função velocidade instantânea, dada pela

derivada dt

dsV

b) determine a velocidade instantânea dessa partícula

após 4 minutos de movimento (use t = 240 s).

240

)240(dt

dsV

(25) A derivada nos dá a taxa de variação instantânea. Imagine que a taxa de transferência de dados pela

internet, durante um dia foi modelada pela função

f(x) = ln(x) + sen(x)., com unidades em 100*kb/s.

Seu gráfico mostra que, apesar do ciclo de taxa de

transferência, no geral foi aumentando durante as 24

horas do dia. O gráfico abaixo mostra isso:

Responda:

0) A transferência de dados pela internet também pode

ocorrer por upload ou download. Qual a diferença entre

eles?

a) Olhando o gráfico, qual é o valor aproximado da taxa

de transferência às 8 horas?

b) Qual a taxa de variação instantânea dos dados às 14

horas?

(26) Esboce o gráfico da função

f(x) = x2 – 12x + 36 e calcule qual a inclinação da

reta tangente a esta parábola no ponto x = 5.

(27) Você foi contratado por uma empresa para

resolver o problema de

um braço mecânico

que arrasta um

container no pátio. É

necessário

desenvolver um

software que calcule o

trabalho realizado

pelo braço sabendo que um movimento de subir e

descer exige uma força variável que é modelada pela

função f(x) = –0,4x3 + 10 em que x é dado em metros

e a força f(x) em Newton.

Para encontrar a força realizada pelo equipamento

entre as posições x = 0 m e x = 2,9 m (dois metros

e noventa centímetros), pode-se calcular a área sob

o gráfico da função limitada pelo eixo x, como

mostra a figura.

Responda:

profmarcelo@uol.com.br

0) Como você resolveria um problema de tendinite

em braço mecânico?

a) Todas as unidades, segundo o texto, estão no

sistema internacional. Qual a unidade de medida da

Força? Qual a unidade de medida da distância? Qual

a unidade de medida do Trabalho?

b) Calcule o trabalho realizado pela força exercida

pelo braço mecânico entre x = 0 m e x = 2,9 m.

b

a

N

dxxfÁrea )(

(28) A construção de um galpão para depósito

abrangera uma área em forma de quadrado no plano

cartesiano com coordenadas (em metros):

P = (6;4) Q = (6;10) R(12;10) e S = (12;4)

Responda:

0) O que poderia ser guardado neste galpão?

a) Desenhe a figura que representa a região.

b) Qual a área ocupada pelo barracão?

(29) Em determinado país, a cotação do feijão sofreu uma alta e uma queda acentuada. O preço do saco

comportou-se segundo a parábola, sendo x em dias e P

em dólares.

Responda:

0) O gráfico refere-se aos preços de qual produto?

a) Encontre a função matemática do segundo grau, P(x),

que se ajusta a esse gráfico.

(não esqueça que o a será negativo na fórmula)

y = a.(x2 – soma.x + produto)

(30) Uma antena de wireless é instalada

numa praça pública, em espaço livre, e seu

sinal alcança até 65 metros de raio.

Sabendo que a área de abrangência do sinal

ao nível do solo é um círculo, calcule a área

total de cobertura em m2.

(31) Os preços de cada peça que temos em estoque estão

subindo dia a dia conforme o gráfico a seguir:

Assim, quando começamos a calcular os preços, no dia

30 do mês anterior (associado ao ponto x = 0 no gráfico)

o preço era 5 reais. Já no dia 10 o preço subira para 35

reais. Qual a fórmula matemática y = ax + b que ajusta

ao gráfico acima? Qual a previsão de preços para o dia

11?

profmarcelo@uol.com.br – Lista de Cálculo – Prof. Marcelo Silvério

(32) Encontre a integral indefinida:

∫ 5𝑥 𝑑𝑥

(33) Você já resolveu a questão 27?

(34) Aplicando as propriedades de derivadas, calcule a

derivada de:

a) f(x) = (x3 + 2x).senx

b) y = (x4+5)

lnx

(35) Calcule o valor do seguinte limite:

xx

xxx

x 82

8147lim 2

23

4

(36) Certo vidro de perfume é um recipiente com

bases paralelas e iguais, porém irregulares. A lateral

reveste a periferia das bases formando com elas

ângulos retos.

Sabemos que a base pode ser descrita como uma

região do plano limitada pela curva

f(x) = –x3 + 4x , o eixo x e as retas x = 1 e

x = 2. A altura do vidro é de 16 cm.

Para calcularmos seu volume, basta multiplicar a

área obtida sob a curva pelo comprimento (altura) do

vidro que é 16 cm. Calcule-o.

f

x -2 0 1 2

(37) Considere um recipiente de vidro com bases

paralelas e idênticas. Cada base é uma região que

pode ser descrita como a área sob o gráfico da

função f(x) = 4x3 , limitada pelo eixo x e pelas retas

x = 1 e x = 4. O recipiente tem uma altura de 15 cm

e as outras unidades também são dadas em cm.

Veja o desenho do recipiente de vidro.

y

x

Volume = Área x comprimento

Para calcular seu volume encontre a área sob o

gráfico da função f(x) utilizando integral definida.

Esse valor deve ser multiplicado pela distância entre

as faces (15 cm). Calcule o seu volume total.

(38) Estamos empilhando as novas caixas de copiadoras xerox com o formato de cubos de resta 1 m cada uma. A

pilha de caixas que montamos abaixo representa a

forma como foram guardadas no depósito de uma

empresa. Qual é o volume total ocupado pela pilha

de caixas?

1 m

(39) A porta USB (Universal Serial Bus) foi criada

em 1994. Porém, em meados dos anos 2000 foram

criadas as portas USB 2, com taxa de transferência

de 480 Mbps e agora, em 2012-2013 o lançamento

das portas USB 3, com taxa de transferência de 4,8

Gbps. Essa escala de crescimento é logarítmica.

Calcule a taxa de evolução de um para outro

transformando os 4,8 Gbps em Mbps e fazendo o

cálculo da taxa de aumento-evolução A.

A = log (4,8 Gbps) – log (480 Mbps)

16

1 4 15

(40) Calcule o limite

lim𝑥→∞

(23

𝑥+ 4)

(41) Calcule

log17 17

(42) A velocidade instantânea é dada pela derivada

da função. Determinada partícula move-se de acordo

com uma função exponencial. Considere que a

integral de uma função exponencial cuja base é o

número de Euler, isto é, ex é também a função ex

mais uma constante. E o logaritmo natural de e é

igual a 1.

(43) Sendo f(2) =0, dê o conjunto solução da

equação:

x3 – 11x2 + 38x – 40 = 0

GABARITO. Caso encontre divergência nos gabaritos, escreva

para profmarcelo@uol.com.br

(01) a) kxxx

689

689

com k R

b) x7 – x5 + x2 + k com k R

c) 2x7 + x6 – 3x5 + k com k R

(02) a) dx

dy = 8x7 + 28x6 – 30x5 + 60x4 + 36x3 + 6

b) y’ = x

1

c) f’(x) = 4x3 – 24x2 + 3x + 3

d) f’(x) = 9x.2,197

e) f’(x) = ex (pois o valor de ln(e) é 1)

f) f’(x) = cosx

(03)

177

217lim

7

xx

xx

x

(04) a) f(2) = 2 b) f(3) = 2 c) (x,y) = (0,1)

d) )(lim2

xfx

= 3 )(lim2

xfx

= 2

e) )(lim2

xfx

não existe

4)(lim4

xfx

(05) a) 32 b) 3,2 c) 36 d) 1023

(06) 0) manutenção e espanador de cooler.

b) y = 18x + 60

c) R$18,00 por hora.

(07)

(08)

tM = 2

yM = 50

(09) = 𝑥3

3|3

6 = 72 – 9 = 63

(10)

Note que x = 5 é uma raiz dupla (multiplicidade 2)

Mínimo local em xmin = 5 e

máximo local em xmáx = -1,6 [Somente para as classes que viram máx. e mín. de cúbicas]

(11) Não sei fazer.

-3 7

42

t

-5

y

125

5 x

profmarcelo@uol.com.br

(12) a) y = 15x.2,708 + 15x14

b) f’(x) = 2x + 6

c) f’(x) = –5x–6 + 0,7x–0,3

d) f’(x) = x

1 – senx

e) y’ = 08,2.

1

x

(13) Encontre as integrais indefinidas:

a) ln x + k com k R

b) 812

812 xx + k com k R

c) xx

x 22

202

5 + k com k R

d) xe + k com k R

e) 9x + k com k R (14)

a) 90

7

1dx

x= 2,55 (valor definido e aproximado)

b) 10

8

3 dxx = 1476

c) 4

2

2 103 dxxx = 116

d) 2

028 dxx = 20

(15) 12,667 u2 (unidades quadradas)

(16) 2,3

(17) 0) Hard Disk é aquela pecinha que quando queima, f* tudo.

a) 66 cm2, o menor HD do mundo.

b) 12,5 cm de comprimento

(18) 0) greve dos portuários e dificuldades em exportação

b) máximo para xmáx = 3 e mínimo para xmín = 5

c) 24 milhões.

(20) 3,5

(21) a) 6,5 b) 1,477

(22) Solução (vazia!)

(19)

b) xmáx = –4 (com 288ºC) e xmín = 5,33 (com –118,5ºC)

(23) Calcule as funções derivadas:

a) y’ = –senx

b) y’ = 6x5 + 20x3 – 24x + 6

c) f’(x) = 0

d) f’(x) = x

1

e) f’(x) = 70x.4,248

f) g’(x) = –70.x–71

g) h’(x) = 3

i) h(x) = 3,2.

1

x

l) y’ = −3

𝑥4

m) f’(x) = −8

𝑥9

(24) 0) Sei lá quem foi o seu professor.

a) dt

dsV = –120 + 0,8.t

b) 240

)240(dt

dsV = 72 m/s

(25) 0) Veja na internet a diferença entre upload e

download para poder responder na prova.

a) Pelo gráfico, o ponto mostra mais ou menos f(8) = 3.

Então a resposta correta é 3*100 kb/s, isto é, 300 kb/s.

b) f´(x) = 1/x + cos x f’(14) = 0,2. Tx de 0,2/tempo. profmarcelo@uol.com.br

profmarcelo@uol.com.br

(26)

O ponto de mínimo é xmin = 6 e ymín = 0 A derivada desta função é

f’(x) = 2x – 12

No ponto x = 5, a reta tangente tem inclinação igual à derivada da

parábola no ponto 5. f’(5) = 2.5 – 12

f’(5) = -2 (significa inclinação de 2 decrescente)

(27) 0) Você foi contratado por uma empresa para resolver o problema de consumo de combustível exagerado de uma

colheitadeira.

É necessário desenvolver um projeto que calcule o trabalho

realizado pela máquina sabendo que um movimento de subir e descer pequenos aclives exige uma força variável que é modelada pela

função f(x) = –0,4x3 + 10 em que x é dado em metros e a força f(x)

em Newton a) Força em newton (N). Distância em metro (m).

Trabalho em jaules (J).

b) 21,9 J

c) Você tem professores que são Engenheiros

Agrônomos. Mostre a figura a eles e pergunte, assim

você acertará na prova.

(28) 0) Ele é pequeno. Cabe talvez umas 100 mesas

para computadores.

a)

b) A = 36 m2

(29) 0) feijão

b) P(x) = -x^2 + 22x - 40

(30) 13.266,5 m2

(31) y = 3x + 5 f(11) = 38 reais

(32) 4𝑥

1,6+ 𝑘 , 𝑘𝜖𝑅

(33) Já fiz sim, professor. Essa questão está cheirando

prova.

(34) a) f’(x) = (3x2+2).senx + (x3 + 2x).cosx

b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

(4𝑥3).𝑙𝑛𝑥 − (𝑥4+5)∙1

𝑥

(𝑙𝑛𝑥)2

(35) 0,75

(36) Área de 2,25 que multiplicado pela altura 16 resulta em 36 u3

(37) primitiva F(x) = x4 + k variando de 1 a 4

Área da base = 255 com comprimento 15 cm.

Volume V = 3825 cm3 , recipiente com

capacidade para cerca de 3,8 litros.

(38) 17

(39) A = 1

(40) 4

(41) 1

(42) Essa questão não tem pergunta. Por que você

veio olhar resposta aqui, se não tem nada

perguntando?

(43) S = 2; 4; 5}

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Lista final de exercícios de Cálculo GPI –

Prof. Marcelo Silvério

Caso discorde do gabarito, escreva para:

profmarcelo@uol.com.br

Prof. Marcelo Silvério

.

Marcelo.silverio@fatec.sp.gov.br

mailto:profmarcelo@uol.com.br