Preparar o Exame 2014 2016 Matemática A · estritamente paralelos a que podem ser definidos com...
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Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 1
Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A
P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E – T I P O 6
GRUPO I – ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA
1. Tem-se, ( )
((
) )
( ) (
)
Assim, (
) (
) ( ) .
Resposta: B
2. Considere-se a variável aleatória : «peso dos alunos do .º ano» ( ( )) e os acontecimentos : «o aluno
escolhido pesa entre kg e kg» e : «o aluno escolhido pesa pelo menos kg». Assim:
( ) ( ) e ( ) ( )
Observa a figura seguinte:
Pretende-se determinar ( | ) ( )
( ) . Tem-se que ( )
( ) ( ) e
( ) ( ) . Logo, ( | )
.
Resposta: C
3. A superfície esférica de equação ( ) ( ) tem centro no ponto de coordenadas
( ). O plano é tangente à superfície esférica no ponto de coordenadas ( ), assim, vamos utilizar o
produto escalar para determinar uma condição que defina . Seja ( ) um ponto do espaço pertencente ao plano
. A condição define o plano . Assim:
( ) ( )
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Cálculos auxiliares: ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( )
Portanto, ( ) é um vetor normal de . Para se concluir que uma reta está contida no plano , basta
verificar que o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor e que um dos pontos de pertence ao plano , ou
seja, tem de satisfazer a equação que define o plano (se um dos pontos de não pertencer a , então a reta não
está contida no plano ). Assim:
▪ A reta definida por ( ) ( ) ( ), não está contida em pois o seu vetor diretor pode ser
( ) e ( ) ( ) . Portanto, e portanto não é
perpendicular a .
▪ A reta definida por
não está contida em pois o ponto de coordenadas ( ) pertence a esta reta
mas pertence ao plano , visto que é uma proposição falsa. Portanto, o ponto de
coordenadas ( ) não satisfaz a equação de .
▪ A reta definida por ( ) ( ) ( ), não está contida em pois o ponto de coordenadas
( ) pertence a esta reta mas não pertence ao plano , visto que é uma
proposição falsa. Portanto, o ponto de coordenadas ( ) não satisfaz a equação de (Além disso um vetor diretor
desta reta pode ser ( ) e ( ) ( ) . Portanto, e
portanto não é perpendicular a ).
▪ Um vetor diretor da reta definida por pode ser ( ) e o ponto de coordenadas ( )
pertence a esta reta. O vetor é perpendicular ao vetor pois ( ) ( ) .
O ponto de coordenadas ( ) pertence ao plano porque é uma proposição
verdadeira. Portanto, o ponto de coordenadas ( ) satisfaz a equação de . Logo a condição
pode definir a reta .
Resposta: D
4. Tem-se ( )
. Portanto, pela definição de limite segundo Heine:
( )
( )
( )
( )
Resposta: A
Se então (limite notável)
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5.
▪ A afirmação é verdadeira pois:
( ) , se é ímpar e ( ) , se é par
Logo, como a função é contínua em , pelo teorema de Bolzano pode-se concluir que e portanto para todo
o , existe pelo menos um tal que ( ) , ou seja a equação ( ) é possível em , .
▪ A afirmação também é verdadeira. De facto, sendo um número natural, tem-se que é contínua em [ ],
pois é contínua em . Como, para todo o , ( ) e ( ) têm sinais contrários, então pelo corolário do
teorema de Bolzano, existe pelo menos um ] [ tal que ( ) , ou seja, a função tem pelo menos um
zero em cada intervalo da forma ] [ e portanto tem infinitos zeros.
Cálculos auxiliares:
▪ Se é par então é ímpar, então:
( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
▪ Se é ímpar então é par, então:
( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Portanto, para todo o , ( ) e ( ) têm sinais contrários.
▪ A afirmação é falsa. Considerando a função ( ) ( ) ( ) tem-se que é contínua em , logo é
contínua em [ ] . ( ) e ( ) têm o mesmo sinal e portanto o teorema de Bolzano não permite concluir sobre
a existência de zeros da função em [ ] e consequentemente não é possível concluir se a equação ( ) ( )
é possível ou impossível em [ ]. Assim, a afirmação não é necessariamente verdadeira.
Cálculos auxiliares:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Resposta: D
6. A reta é tangente ao gráfico de no ponto de abcissa , onde ( ) , logo ( ). Assim, vem:
▪ ( ) ( ) ( ) ( )
▪ ( )
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Logo, ( )
. Assim, e portanto ( ) rad.
Resposta: B
7. As raízes de índice 8 de são dadas por √
(
), { }. Como os pontos e são as
imagens geométricas de duas raízes de índice 8 de vem que √
√ √ e que
. Logo,
(√ )
.
Resposta: B
8. Fazendo e ( ), vem:
( )
( )
( ( )) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ( )) ( )
{
( ) {
√
Para vem √ (
)
Para , vem √ (
) √ (
)
Para , vem √ (
) √ (
)
Para , vem √ (
) √ (
)
Para , vem √ (
( )
) √ (
( )
)
Para , vem √ (
( )
) √ (
) √ (
)
Logo as soluções da equação
( ) são da forma √ (
), com
{ }, portanto a equação tem soluções (a partir de as soluções
repetem-se).
Resposta: D
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GRUPO II – ITENS DE RESPOSTA ABERTA
1.
1.1. Tem-se:
( √ )
(
)
√
( ) )
( (
))
√
( )
(
) √
( ) ( )
( (
) (
)) √
( )
(
√
) √
( )
( √ ) √
( )
√ √
( )
√ √
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
i) Cálculo auxiliar: Para escrever √ na forma trigonométrica vem, | √ | √ ( √ ) √ √ . Sendo um
argumento de √ , tem-se √
√ e quadrante, pelo que
. Assim, √ (
) .
Tem-se
, assim:
(
)
√
.
Como ]
[, vem
√
. Logo:
( ) ( ( ) ( )) ( )
(
(
√
)) (
√
) √
1.2. Para
tem-se (
)
. Assim vem:
( | | ( ) ) ( )
( |
| ( ) ) ( )
( | | ( ) ) ( )
( | | ( ) ) ( )
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▪ A condição | | representa o conjunto de pontos do plano complexo situados entre as circunferências
centradas no ponto ( ), afixo do número complexo , e raios e , fronteiras incluídas (a região
representada pela condição é uma coroa circular).
Fazendo , com , vem:
▪ ( ) ( ( )) ( )
( ( ))
▪ ( ) ( ) .
A região do plano definida pela condição é:
2. Sejam um número complexo não nulo e ( ), a sucessão das raízes índice de , com . Assim,
tem-se que:
√ (
), { }.
( ) é uma progressão geométrica de razão
, pois:
√ ( ( )
)
√ (
)
(
)
(
)
(
) (
)
Portanto, a soma das raízes índice de é dada por:
(
)
(
)
𝑂 (𝑧)
(𝑧)
𝑦 𝑥
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3.
3.1. Para para ou para ímpar, o número de casos possíveis é
(é o número de maneiras de escolher três entre
os vértices do prisma). O plano é o plano de equação , pelo que, se é par existem
planos
estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem
planos
estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma. Como cada um desses planos contém
quatro vértices do prisma, então para par o número de casos favoráveis
e para ímpar é
.
Pela regra de Laplace a probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de casos favoráveis e o
número de casos possíveis, desde que estes sejam equiprováveis. Como qualquer um dos vértices do prisma tem igual
probabilidade de ser escolhido, a regra de Laplace pode ser aplicada a este problema. Assim, probabilidade pedida é
( )
se é par e
( )
se é ímpar.
3.2. Considere-se a variável aleatória : «número de vezes que sai face pintada de azul em seis repetições da
experiência». A variável aleatória segue uma distribuição binomial de parâmetros e
, isto é, (
)
(como se pode ou não escolher a mesma face, em cada uma das seis repetições da experiência a probabilidade de se
escolher uma face pintada de azul é sempre
). Pretende-se determinar a probabilidade do acontecimento «escolher
face pintada de azul» ocorrer no mínimo duas vezes e no máximo quatro vezes, isto é, ( ).
Assim:
( ) ( ) ( ) ( )
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
( (
)
(
) (
) (
)
)
( )
( ( )
)
( )
( ( )
)
( )
( )
( )
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4. Tem-se:
( ) ( ( | )) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( )
( ( )) ( | ) ( ) ( )
( ( ) ) ( | ) ( ) ( )
( ) ( | ) ( | ) ( ) ( )
)
( ) ( | ) ( ) ( )
( | ) ( ) ( | ) ( ) independentes
i) ( | ) ( )
( ) ( ) ( ) ( | )
5.
5.1. Tem-se que { } { }
▪ Assíntotas verticais
( )
(
)
( )
(
)
A reta de equação é assíntota vertical do gráfico da função . Como a função é contínua em { }, o seu
gráfico não tem mais assíntotas verticais.
▪ Assíntotas não verticais
Quando :
( )
(
)
(
)
(
)
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( ( ) )
(
)
A reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de , quando .
Quando :
( )
(
)
(
)
(
)
( ( ) )
(
)
A reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de , quando .
5.2. Tem-se
( )
(
)
Fazendo
vem:
⏟
)
i) Mudança de base:
, com { } e
5.3. Tem-se:
▪ ( ) (
)
( ) (
)
(
) (
)
(
)
( )
▪ ( )
( )
⏟ { }
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Fazendo um quadro de variação do sinal da função , vem:
i)
n.d.
( ) n.d.
( ) p.i. n.d.
i) Observa que
, { }, porque
e , { }.
O gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em ]
], tem a concavidade voltada para cima em [
[
e em ] [ e tem ponto de inflexão em
.
6.
6.1.
▪ Seja o ponto de interseção do eixo com a reta que contém o ponto e é paralela ao eixo , como
representado na figura.
Tem-se:
( ) [ ]
Tem-se ( ) e como
e
, vem que as coordenadas do ponto
são ( ).
Assim:
√( ) ( ) √
√ ( )⏟
√
√ √ ( ) √ √ √
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Portanto, ( ) [ ] √ .
▪ Tem-se
( ) ( √ ) ( ( )
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
√
Assim:
( )
( )
( )
√ ( )
√ ( ) )
√
√
(√ )
)
√
√
√
Cálculos auxiliares:
i)
( )
( )
( )
ii) Tem-se que √ , assim:
( √ )
√
Como ]
[ vem
Tem-se que
, pelo que . Assim:
√
√
6.2. A amplitude, em radianos, do arco é , portanto o seu comprimento é igual a ( ). Pretende-se
determinar o valor de ]
[ de modo que ( ) ( ). Utilizando o editor de funções da calculadora,
definem-se as funções ( ) e ( ) na janela de visualização [
] [ ].
Logo, ( ) ( ) , com .
( )
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7. A função é contínua em se e só se
( )
( ) ( ). Assim:
( )
( )
(
)
( ( ) )( ( ) )
( )( ( ) )
( )
( )( ( ) )
( )
( )( ( ) )
( ( )
( )
( ) )
)
( )
( )
i) Mudança de variável: Se então . Seja , .
Como ( ) , tem-se (obviamente que se fica a saber que ( ) ).
( )
(
)
(
)
)
( )
)
ii) Mudança de variável: Se então . Seja , .
iii) Se
(limite notável), então
.
Portanto, como ( ) , tem-se
.
8.
▪ As coordenadas do ponto são do tipo ( ). Como , substituindo as coordenadas de na equação vetorial
de vem:
( ) ( ) ( ), {
{
{
( )
{
Portanto, ( ).
limite notável
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▪ A reta é tangente á circunferência de centro em ( ) no ponto , logo:
( ) ( )
Além disso os pontos e pertencem à circunferência, assim:
( ) ( ) ( ) ( )
Formando um sistema com estas duas equações, determina-se as coordenadas do ponto , centro da circunferência.
Assim:
{
{
( ) {
{
{
{
Logo as coordenadas do ponto são ( ).
▪ O triângulo [ ] é retângulo em se e só se . Assim:
[ ]
( ) ( )
Portanto, o triângulo [ ] é retângulo em . Como √ e
, então:
[ ]
(√ )
√ √
Cálculos auxiliares:
( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); ‖ ‖ √( ) √ .