POT~NCIAATIVA E REATIVA INSTANTNEAS EM SISTEMAS ELTRICOS

COM FONTES E CARGAS GENRICAS

Edson Watanabe e Richard Stephan

COPPE/UFRJCP 68504 - 21945 - Rio de Janeiro - RJ

Esta decomposio mostra que a potncia instantnea pode serseparada em duas parcelas:

2.1. Fonte Senoidal em Regime Estacionrio e CargasLineares

2. CONCEITOS TRADICIONAIS DE POTtNCIA ATIVAE ltEATIVA

tante ressaltar que neste trabalho a correo de fator de potnciatem um significado muito mais genrico, no se traduzindo apenasna correo da potncia reativa convencional, mas tambm da"potncia harmnica".

(1)

(2)

Seja:

va(t) = fi V sen rot,

ia(t) = Y2 I sen (rot -

a parcela "2" tem o valor mdio nulo, valor de pico igual a(VI sen tP) e tambm oscila com o dobro da freqncia darede.

Dentro da conceituao tradicional (e.g., Elgerd, 1970) definese:

l!P =VI costP,

potncia ativa mdia = valor mdio de p(t);

l!Q =VI sen tP,

(ii) as parcelas oscilantes das trs fases. (parcela depenclente deQ) esto defasadas de 1WO em cada fase e, portanto, somamzero. No entanto, define-se tradicionalmente potnciareativa trifsica como:

uma vez que existe este tipo de potncia em cada uma dasfases, em tempos diferentes. importante notar que estapotncia reativa s aparece por definio, j que a soma notempo nula.

ou seja, a potncia trifsica instantnea constante e, por-tanto, igual ao seu valor mdio;

(i) p(t) = Pa(t) + Pb(t) + pc(t)

l!= 3P = PjtP '

Estas decomposioes esto colocadas graficamente na Figura 1.

Notase que Q, por definio, igual ao valor de pico da parcelade potncia que flui da fonte para a carga e viceversa, resultandonum valor mdio nulo (parcela 2).

No caso trifsico equilibrado (Elgerd, 1976), chega-se s seguin-tes conclusOes:

A tenso, neste caso, a mesma apresentada na eq. (1). A corrente, porm, expressa por:

(5)

As seguintes relaOes so conhecidas:

potncia instantnea:

Pa(t) =2VI] senwtsen(wt '"-tf>1) +

+ 2VI2

senwt sen(2wt ,- tP2) + ...

=VIl COS tP1(1- cos 2wt) - VIl sen tPl sen 2wl

. + 2VI2 senwt.sen(2wt - ti>2) + ...;

ia(t) =V2 l 1sen(wt -tP1) '++ fi 12 sen(2wt - tP2) + ...

2.2. Extenso para Fonte Senoidal em Regime Estacionrioe Cargas com Hannnicos de Corrente Mltiplas de w

(4)p(t) =P(l - cos 2c.ot) - Q(sen 2wt).

potncia reativa.

Assim,

VIcos0

Potenciototol p,-,,

\\

Figura 1. Tenso (v), corrente (i) e potncia (p) num circuito monofsico linear Elgerd (1916).

2S4 SBA: Controle & Automao

Este resultado costuma ser apresentado graficamente atravs dotetraedro de potncias da Figura 2, Bystron (1979) e Caldeira eWatanabe (1988).

potncia ativa mdia:

P = valor mdio de Pa(t) = VIl cos t/J1;corrente eficaz:

I 2 2 2= 11 + 12 + 13 + ... ==1(1!f) +JO

Tia

2dt ,

.onde T o perodo de ia(t);

potncia aparente:

S = VI.

Daf, tem-se que:

Define-se:

O =VII sen t/J1

potncia reativa;

H~ V 112

2 + 13

2 + ... = VI II _(1/1)2,potncia harmnica.

A relao (7) pode agora ser reescri~ como:

S2 =p2 + 0 2 + H2.

As seguintes definies sao normalmente empregadas:

(7)

(8)

(9)

(10)

o fator de deslocamento aparece na literatura em ingls como"displacement factor" e corresponde ao fator de potncia conven-cional de sistemas onde nao existe harmnicos. Este fator de des-locamento pode ser chamado de fator de potncia fundamental, poiss depende da componente fundamental. Por outro lado, o fator depotncia, conforme definido acima, pode ser tambm chamado defator de potncia total, pois inclui, alm da componente fundamen-tal, todos os harmnicos.

Para o caso trifsico equilibrado todas as grandezas sao con-sideradas em triplo.

A partir da Figura 2, as seguintes observaOes podem ser feitas:2

Obs. 1: O transporte de P (= VIl cos t/J1(l - cos wt e de

O(= VII sen t/J1 sen 2wt) feito somente por parte das componentesde corrente na freqncia w.

Obs. 2: O transporte de H feito pelas componentes de corrente emfreqncias diferentes de w (harmnicos).

Obs. 3: A parcela VII sen t/J1 sen 2wt = Q sen 2wt tem valor mdiozero e pode ser eliminada utilizando-se um capacitar ou um indutorconveniente. Isto pode ser entendido pela observao da Figura 3. Acolocao de um componente L ou C em parelelo com a fonte dealimentao permite a gerao de uma corrente de freqUncia (J)capaz de fornecer a potncia O solicitada pela carga. Nota-se quecom este procedimento impossfvel gerar ou absorver a potncia Hsolicitada, uma vez qu H depende de correntes com freqQnciasdiferentes de Q) (harmnicos).

()bs. 4: As parcelas da Eq. (6) com freqncias diferentes de w, isto, aquelas que produzem H, tm valor mdio zero e nao podem sereliminadas com um nico capacitar ou indutor. Sua eliminaodepende de filtros, que funcionam como curto-circuitos para as correntes harmnicas geradas na carga.

P-t>

fator de potncia ou fator de potncia total

=P/S =cos t/J1 CDS r =cos qJ.

fator de'deslocamento ou fator de potncia fundamental =

=eostP1 '-7f+H

/p2 +02fator de distoro = ----

s1

1= -- = cosy,I

J2v senwt ---H+H I

II

_.L_-.,..-I:,rQ

CARGA

H

p

Figura 3. Compensao da potncia reativa.

2.3. Extenso para Fonte Senoidal em Regime Estacionriocom Carga com Harmnicos de Corrente em QualquerFreqncia

Este caso ocorre quando a carga chaveada em uma freqncianao sincronizada com a freqUncia da rede w. Assim sendo, a cor-rente passa a ser dada por.

Figura 2. Tetraedro de potncias.

00

+ L V2It sen(wltt -t/JIt)k=2

(11)

SBA: Controle & Automao 255

onde,

lo' componente contnua da corrente;

ff h sen(wt + 4>1): componente com a mesma freqUncia darede (w).

O somatrio de harmnicos em (11) pode conter componentesde freqUncia nao-mltiplas de w, maiores que w (super-harmnicos) e menores que w (sub-harmnicos), dependendoapenas do modo e freqUncia de chaveamento (Gyugyi e Pelly,1988) da carga.

Neste caso, da mesma forma que no caso anterior, pode-sedefinir todas as variveis para a construo do tetraedro da potnciada Figura 2. importante observar, no entanto, que em H estarcontida a potncia devido a lo, bem como os harmnicos menores emaiores que w.

2.4. Extenso para Fonte de Tenso Contendo Harmnicose Cargas com Correntes Mltiplas de w em RegimeEstacionrio

is(t) =V2 11 cos 4>1 senrot + -1"'212cos 4'~n 2cut + ... (14)

ic(t) =V211sen 4>1 cos wt + ~I2 sen 4'2 cos 2cut + "0 (15)As seguintes relaOes sao conhecidas:

potncia instantnea:

Pa(t) = va(t) il(t) + va(t) ic(t) ;

potncia ativa mdia:

P =V,lt cos4>t + Vi2 cos 4>2 + ... , (16)

corrente eficaz:

tensao eficaz:

V =/V,2 + V2

2+ .u,

Seja:

va(t) =fi vt senwt + fiv2 sen(2wt + 2 )++ ..r2 v) sen (3wt+ J + "0

1a(t) = fi I, sen (wt - 4>t) +

+ ff 12 sen (2wt + 2 - 4>2) +

+ ..(21) sen (3wt+ ) - 4>~ + 0'0

(12)

(13)

potncia aparente:

S =VI.

Para a definio da potncia reativa, Emanuel (1988) sugere:

IJ.0= VtI, sen4>t + V212sen4>2 + "0 (17)

ou

O l;etraedro de potncia, neste caso, fica tambm estabelecidopor:

S2 = p2 + 0 2 + H2 , (18)

2.4.1. Decomposio da Corrente em Parte Senoidal e ParteCossenoidal

Para estes casos, Emanuel (1988) sugere a decomposio da cor-rente em uma parte senoidal e outra cossenoidal, ou seja:

onde,

12V1 senwt

J2V2 sen(2wt+ 2)

fi V3 sen(3wt+).3 )i

I II I... ----1I I I I

2 2 2 2 .onde H =S - P - Q um termo comphcado em funo de sen ;,ecos 4>j sem significado fsico aparente.

A compensao da parcela O poderia ser conseguida, caso afonte de alimentao fosse composta de fontes harmnicas em srie,atravs da colocao de capacitores ou indutores em paralelo com asfontes, conforme sugere a Figura 4. Como esta nao um~ situaoreal, a metodologia sugerida fica apenas no nvel terico e serve parao entendimento do significado das parcelas 0i (i = 1,2, 3, ... ).

CARGA

Figura 4. Compensao da potncia reativa no caso de fonte de tenso com componentes harmnicos.

2S6 SBA: Controle & Automao

2.4.2. Decomposio da Corrente em Partes em Fase com aTenso e Parte Ortogonal Tenso (27)

Nota-se que com esta definio O ~ o.O tetraedro de potncia fica estabelecido pela introduo do

termo R:

Ii =S2 _ p2 _ 0 2. (24)

3. OS NOVOS CONCEITOS DE POmNCIA ATlVA EREATIVA

As anlises apresentadas na seo anterior levam c1aramebte aoentendimento da existncia de um tetraedro de potncias e que aspossfveis formas de se corrigir o fator de potncia so diferentesquando existem harmnicos ou nao. As anlises apresentadas sovlidas somente para o regime permanente, o que atualmente nllotem muito sentido, uma vez que na maioria das indl1striasas cargasfuncionam de forma muito dinmica, sendo o contedo harmnicovarivel no tempo. .

Por este motivo, Akagi et aI. (1983, 1984) apresentaram umateoria geral de potncia ativa e reativa, que todavia ainda .nllo ~tperfeitamente entendida e difundida entreos engenheiros de sis-temas de potncia.

No item seguinte ser apresentada esta teoria generalizada e, apartir da, pretende.se discutir e explicar melhor o significado decada termo defmido.

Sabe-se que a potncia instantnea de um sistema trifsico dadapor:

3.1. Potncia Ativa e Reativa Generalizada

Figura 5. Cone de potncia: P, S e o ngulo (tIJ) entreP e S tem sempre o mesmo valor.

Outras relaes seriam obtidas caso a carga fosse constituda porelementos em srie.

2.4.3. Cone de Potncias

As decomposies sugeridas nos tens 2.4.1. e 2.4.2. levam atetr