84

CAPÍTULO VIII

POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS

85

1. Potência instantânea

( ) ( ) ( )p t v t i t

2. Potência média

0

0

1( )

t T

t

P p t dtT

3. Valores eficazes de corrente e tensão

Método para comparar a potência média dissipada num resistor alimentada por forma de onda diferente.

0I

R( ) cos( )

pI t I t

R

2

1 0P RI P2 = P1 se ( ) cos( )

pi t I t

0

2pI I

Verificação:

Potência no resistor alimentado por CC

rede

linear

( )i t

( )v t

( )p t

T ( )t s0t

86

2

1 0P R I

Potência no resistor alimentado por CA

2 2 2 2

2

1( ) ( ) cos ( ) cos (1 cos 2 )

2

1 cos2( )2

p

p

p t Ri t R I t ora A A

R It

1 2P P

2

2

02

pR I

R I

0 0

22

p

p

II I I

Conclusão: Uma senoide com amplitude de pico igual a pI dissipa a mesma

potência que uma corrente constante de valor 2

pI sobre um resistor.

Método genérico para determinar o valor eficaz de uma grandeza

0

0

0

0

2

2 2

2

1( )

2

1( )

t Tp

rms t

t T

rms t

IP R R I R i t dt

T

I i t dtT

Obs.: para senoide 2

p

rms

II ,

2

p

rms

VV

87

4. Potência em elementos passivos

4.1. Caso geral (impedância qualquer)

v i

( ) cosp

v t V t

0p p

p

V VVI I

Z ZZ

( ) cos( )p

i t I t

( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )p p

p t v t i t V t I t

1 1( ) cos( ) cos(2 )

2 2p p

p t V I t t t ,ora

1cos cos cos( ) cos( )

2A B A B A B

1 1( ) cos( ) cos(2 )

2 2p p p p

p t V I V I t

( ) cos( ) cos(2 )rms rms rms rms

p t V I V I t ,ora

cos( ) cos cos sin sinA B A B A B

( ) cos( ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )rms rms rms rms

p t V I V I t t

( ) cos( ) 1 cos(2 ) sin( )sin(2 )rms rms rms rms

p t V I t V I t

potência instantânea na potência instantânea na

parte resistiva de Z parte reativa de Z

Potência média:

0

1( ) cos( )

T

rms rmsP p t dt V I

T, [ W ]

V

I

Z Z

88

Potência reativa: Valor de pico da potência instantânea da parte reativa.

sin( )rms rms

Q V I

4.2. Circuito resistivo

Tensão e corrente em fase.

0v i

.

( ) 1 cos(2 )rms rms

p t V I t

0

11 cos(2 )

T

R rms rmsP V I t dt

T2

2 rms

R rms rms rms

VP V I RI

R0

RQ

4.3. Circuito exclusivamente indutivo

0 90 90v i

( ) sin(2 )rms rms

p t V I t

0LP

2

2 rms

L rms rms L rms

L

VQ V I X I

X

4.4 Circuito exclusivamente capacitivo

0 90 90v i

( ) sin(2 )rms rms

p t V I t

0CP

2

2 rms

C rms rms C rms

C

VQ V I X I

X

89

5. Potência aparente e fator de potência

a) Potência aparente:

rms rmsS V I , [VA] potência desenvolvida pela fonte.

b) Fator de potência:

Fator de potência: coseno do ângulo da carga, ou coseno da defasagem entre a tensão e a corrente.

cos( ) cos( )p v iF [adimensional]

Como a função coseno é uma função par, cos( ) cos( )v i i v

.

Acrescenta-se “atrasado” ou “indutivo” se a corrente da carga é atrasada em relação à tensão nos seus terminais, e “adiantado” ou “capacitivo” se a corrente da carga é adiantada em relação à tensão.

Fluxo da potência num circuito:

F

o

n

t

e

R

L

C

Carga

Relações adicionais:

cos( )P S

sin( )Q S

2 2S P Q

tan( )Q

P

90

6. Potência complexa

v

i

cos( ) cos( )rms rms rms rms v i

P V I V I

cos( ) sin( )rms rms v i rms rms v i

P V I jV I( )v ij

rms rmsP V I e

v ij j

rms rmsP V e I e

*

P V I

P S

Definindo a potência complexa *

S V I S

Portanto P S

ImQ S S P jQ

S S

cos( )pF

rms iI I

rmsV V v Z Z

91

Conservação da potência complexa:

*

S V I* *

1 2S V I I

* *

1 2S V I V I

1 2S S S

Não importa como os elementos estão conectados entre eles, para determinar a potência complexa desenvolvida pela fonte, basta somar todas as potências complexas de cada elemento.

Triângulos de potência (interpretação geométrica da potência complexa):

0 carga indutiva

Relações adicionais:

V Z I2

* *2 rms

rms

IS V I Z I I S Z I

Y* 2

*2

* *

rms

rms

VVV S Y VZ Z

I

V

1I 2I

S

P

Q

92

7. Correção do fator de potência

Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem alterar a energia útil absorvida pela carga.

S

P

Q

'Q'

S'

Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potência igual a 0,6 atrasado, é alimentado sob uma tensão de 13,8 kVrms. f = 60 Hz a) Determinar a corrente da carga b) Deseja-se corrigir o fator de potência para 0,9 atrasado, através da

ligação de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor da capacitância requerida.

c) Calcular a nova corrente da carga.

Solução:

a)

3

3

500 1036,2

13,8 10rms

SI AV

b)3

1 500 10 53,13 cos( ) 0,6 53,13S VA

300 400k j k

300P kW ' cos(0,9) 25,84Q arc

400Q kVAR ' 333,33cos( ')

PS kVA

' 'sin( ') 145,3Q S kVAR

S

P

Q

'Q'

S'

93

Potência reativa do capacitor:

' 254,7CQ Q Q kVAR

Potência complexa no capacitor: *

CC CS V I P0

C CjQ

V

C

*

CCC

V I jQ* 2

* *

C CC

C C

CC

VVV jQ jQ

ZZ

*1 1C CZ Z

jc jc

2

2

C

C

QC

f V

3

3

254,7 103,55

2 60 13,8 10C F

c)

3

3

' 333,33 10' 24,15

13,8 10

SI A

V

94

8. Transferência máxima de potência

Objetivo: obter LZ de modo que a potência ativa na carga seja máxima.

SVL L LZ R jX

S S SZ R jX

A

B

8.1 Carga puramente resistivaL LZ R

SVLR

SZ

LI

S S

L

S S LS L

V VI

R jX RZ R

2 2( )

S

L

S L S

VI

R R X

Potência na carga:

2

2

2 2( )

L S

L L L

S L S

R VP R I

R R X max 0L

L

L

dPP se

dR

2 2

L S S SR R X Z

95

8.2 Carga com RL fixo e XL variável

SVLR

SZ

LI

A

B

LjX

( ) ( )

S

L

S L S L

VI

R R j X X

2 2( ) ( )

S

L

S L S L

V

IR R X X

Potência na carga:

2

2

2 2max

( ) ( )

L S

L L L L S L

S L S L

R VP R I P se X X

R R X X

2

max 2( )

L S

L

S L

R VP

R R

8.3 Carga com RL variável e XL fixo

SVLR

SZA

B

LjX

96

2 2

S

L

S L S L

VI

R R X X

2

2 2

L S

L

S L S L

R VP

R R X X ;

max0L

L

L

dPP se

dR

então 22

L S S LR R X X

8.4 Carga com RL variável e XL variável

2

2 2

L S

L

S L L S

R VP

R R X X

Fazendo LX variar:

maxLP para

L SX X .

Então:

2

2' L S

L

S L

R VP

R R.

Em seguida, fazendo LR variar:

max

'0L

L L S

L

dPP se R R

dR.

Então: *

L S S SZ R jX Z .

SVLR

SZ

LjX

97

CAPÍTULO IX

CIRCUITOS TRIFÁSICOS

98

1. Tensões trifásicas equilibradas

Um sistema de tensões trifásicas equilibradas é um conjunto de 3 tensões senoidais com mesma a mesma amplitude, a mesma freqüência mas defasadas entre si de 120º.

As tensões são chamadas tensões de fase a, b, c.

Seqüência de fases (defasagem entre as tensões de fase):

Seqüência abc, positiva ou direta

0an PV V 120bn PV V 120cn PV V

bnV

cnV

anV

Seqüência acb, negativa ou indireta

0an PV V 120bn PV V 120cn PV V

0an bn cnV V V

bnV

cnV

anV

99

Tipos de ligações possíveis de um gerador 3 ideal:

caV

bcV

abV

a

c

b

tipo Y tipo

2. Análise do circuito Y-Y (equilibrado)

anV

cnV bnV

a

c b

A

CB

n NNnI

aAI

bBI

cCI

Z

Z Z

Tensões nas fases:

Tensões entre o neutro e cada uma das linhas, ou tensões nos terminais de cada elemento.

Na fonte: anV , bnV , cnV

Na carga: ANV , BNV , CNV

anV

cnV bnV

a

c

b

100

Tensões de linhas:

Tensões entre as linhas

Na fonte = na carga : abV , bcV , caV .

Corrente no neutro:

Nn aA bB cCI I I I

10an bn cn

Nn an bn cn

V V VI V V V

Z Z Z Z

Portanto, não existe corrente circulando no neutro num sistema equilibrado. Então:

Quando existe impedância de linha no neutro, o mesmo pode ser considerado como um curto circuito.

Quando o neutro não está disponível, o mesmo pode ser colocado no circuito para efeito de cálculo.

Relação entre as tensões de fase e de linha:

Supondo seqüência então:

0an PV V

120bn PV V

120cn PV V

Sabendo que ab an nbV V V

0 120an bn P PV V V V

3 3

(cos( 120 ) sin( 120 ))2 2

P P PV V j V j

Logo

3 30ab PV V

3 90bc PV V da forma mais geral fase PV V

3 150ca PV V 3 30linha PV V

101

bnV

cnV

anV30

abV

Circuito monofásico equivalente (válido somente para sistema equilibrado):

anV

ZbnV

cnV

a,b,c A,B,C

n N

102

3. Análise do circuito Y- (equilibrado)

anV

cnV

bnV

a

c

b

A

CB

n

aAI

bBI

cCI

Z

ABI

BCI

CAI

Z

Z

Correntes de fase:

Na carga: , ,AB BC CAI I I

Na fonte: , ,aA bB cCI I I

Correntes de linhas:

Na carga = na fonte: , ,aA bB cCI I I

Determinação das correntes de linhas:

Ex.: anaA

Y

VI

Z

cncC

Y

VI

Z

bnbB

Y

VI

Z

Circuito monofásico equivalente

aAI

3Y

ZZ

a,b,c A,B,C

n N

cCI

bBI

103

Determinação das correntes de fases nas cargas pela relação entre correntes de linhas e correntes de fase:

aA AB CAI I I

Supondo seqüência : 0AB pI I

120BC pI I

120CA pI I

0 120aA p pI I I

(cos(120 ) sin(120 ))aA p pI I I j

3 3

2 2aA pI I j

3 30aA pI I

3 150bB pI I

3 90cC pI I

da forma mais geral,

0fase pI I

3 30linha pI I

Observação: se o gerador estiver ligado em , substitui-se o mesmo por um gerador equivalente ligado em Y tal que a tensão de linha senha a mesma.

a

c

b

22090

3

22030

3

220150

3

seqüência

3 30 303

linhalinha fase fase

VV V V

220120

a

c

b

220 0

220 120

104

4. Circuitos 3 desequilibrados

4.1. Carga desequilibrada em Y com neutro

A

C

B

N

NI

AI

BI

CI

AZ

BZ

CZ

3 circuitos independentes.

0N A B CI I I I

Neste caso ANA

A

VI

Z

BNB

B

VI

Z

CNC

C

VI

Z

4.2. Carga desequilibrada em Y sem neutro

anV

cnV

bnV

AI

BI

CI

BZ

AZ

CZ

1I

2I

Utiliza-se o método das malhas ou análise nodal.

105

4.3. Carga desequilibrada em

Caso não se conhece as tensões de linha na carga, substitui-se o

circuito por seu equivalente em Y, e utiliza-se o método das malhas.

Conhece-se as tensões de linha na carga:

anV

cnV

bnV

A

CB

aI

1Z

ABI

2Z

3Z

1

ABAB

VI

Z 2

CACA

VI

Z => a CA ABI I I

gZ

gZ

gZ

1Z 2Z

3Z

106

5. Potência em sistema 3

A A AZ Z

B B BZ Z

C C CZ Z

, , , ,, , A B C A B CA B C v i

Tensões de fase instantâneas: Correntes de fase instantâneas:

( ) cos( )AN Ap vAv t V t ( ) cos( )

AN Ap iAi t I t

( ) cos( )BN Bp vBv t V t ( ) cos( )

BN Bp iBi t I t

( ) cos( )CN Cp vCv t V t ( ) cos( )

CN Cp iCi t I t

Sabendo que 1

cos cos cos( ) cos( )2

A B A B A B

Potências instantâneas em cada fase:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos 2ABC

A AN A A rms A rms A A rms A rms v AB B B B B B B B BC C C C C C C C C

P t v t i t V t I t V t I t t

Potência instantânea total: ( ) ( ) ( ) ( )A B Cp t p t p t p t

Potência ativa total: cos cos cos

rms rms rms rms rms rmsA B C A A A B B B C C CP P P P V I V I V I

5.1. Para um sistema equilibrado

rms rms rmsA B C rmsV V V V

A B C A B CZ Z Z Z

rms rms rmsA B C rmsI I I I

Potência instantânea: ( ) 3 cosrms rmsp t V I

A

C

B

( )AI t

( )BI t

( )CI t

AZ

BZ

CZ

107

Potência média: 3 cosrms rmsP V I

Para carga ligada em Y

fase linhaI I

3 fase linhaV V

3 cos 3 cos3

linhaY linha Y linha linha

VP I P V I

Para carga ligada em

fase linhaV V

3 fase linhaI I

3 cos 3 cos3

linhalinha linha linha

IP V P I V

YP P

Resumo: V e I em valores eficazes.

Por fase Total

Potência ativa cosf f fP V I 3 cos 3 cosT f f L LP V I V I

Potência reativa sinf f fQ V I 3 sin 3 sinT f f L LQ V I V I

Potência aparente f f fS V I 3 3T f f L LS V I V I

Potência complexa *

ff fS V I

*

3T f fS V I

Fator de potência cospF cospF

5.2. Para um sistema desequilibrado

Potência ativa total: T A B CP P P P

Potência reativa total: T A B CQ Q Q Q

Potência aparente total: 2 2T T TS P Q

Fator de potência: cos TT

T

P

S

Potência complexa total: T A B CS S S S

108

6. Medida da potência média em um circuito 3

6.1. O Wattímetro

I

V

C

A

R

G

A

bobina da tensão

(resistência alta)

bobina da corrente

(resistência baixa)

Observação: Bobina da corrente em série com a carga Bobina da tensão em paralelo com a carga.

cos( )v iW V I

6.2. O método dos dois Wattímetros

1 cos( )ac aac a v IW V I

2 cos( )bc bbc b v IW V I

1 2P W W

ou

Y

a

c

b

1W

2W

109

Exemplo: Se a carga estiver ligada em Y, e o gerador ligado em Y:

Seqüência

0anV V

120bnV V

120cnV V

Z Z

3 30linha faseV V

3 30bc bnV V

3 120 30bcV V

3 90bcV V

ac caV V

3 30ca cnV V

3 30 120caV V

3 150caV V

3 150 3 330 3 30V V V V

0ana

V VI I

ZZ

120120bn

b

V VI I

ZZ

1 3 cos( 30 ( ))W V I 2 3 cos( 90 ( 120 ))W V I

1 cos( 30 )L LW V I 2 cos( 30 )L LW V I

Obs.: Para o sistema equilibrado é possível determinar o fator de potência da carga.

1 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I

2 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I

110

2 1( ) 2 cos( ) cos(30 )L LW W V I 2 1

2 1

cos(30 ) cos( )

sin( ) cos(30 )

W W

W W

2 1( ) 2 sin( ) sin(30 )L LW W V I

2 1

2 1

3cos( )

321 tan( )

sin( )2

W W

W W

1 2

1 2

tan( ) 3W W

W W

1 2 tan( ) 0 0 cos( ) 1W W carga resistiva

1 2W W com sinais apostos carga reativa pura

1 2 0W W carga indutiva

1 2 0W W carga capacitiva

111

CAPÍTULO X

INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS DE SELEÇÃO

DE FREQÜÊNCIAS

112

1. Introdução

Até agora, em nossas análises de circuitos com fontes senoidais, supomos que a freqüência da fonte era constante. Neste capitulo, vamos estudar o

efeito da variação da freqüência sobre as tensões e correntes do circuito resposta em freqüência do circuito.

jL

se

0se

1

jC

se

0se

Escolhendo adequadamente os valores das componentes e a forma de ligação entre eles, podemos montar circuitos que deixam passar apenas

sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa circuitos de seleção de freqüência ou Filtros.

Exemplos de aplicação: telefone, televisão, satélites, rádios, equalizadores, etc.

Principais tipos de filtro: filtro passa-baixas, filtro passa-altas, filtro de banda de passagem, filtro de banda de rejeição.

Estes filtros são chamados filtros passivos, pois são construídos a partir de componentes passivos.

113

2. Filtros passa-baixas

iV oV

R

C

Para identificar o tipo de filtro, examina-se o gráfico da resposta de freqüência no domínio da freqüência.

iV oVR

jL

( )i oo

i

RV V RV H j

R jL R jLV

22

( ) ( )

R R

L LH j H jR

RjL

L

( ) arctanL

jR

Gráfico de amplitude:

Para freqüências altas o circuito deixa passar

pouco sinal.

iV oVR

L

0

1

1

2

( )H j

c

Banda

rejeitada

Banda

passante

114

Gráfico de fase:

Tensão de saída atrasada de 90º em relação à tensão de entrada.

A freqüência limite entre a banda rejeitada e

a banda passante é chamada freqüência de corte c . Ela corresponde

à freqüência pela qual

max

1( )

2cH j H .

Amplitude da função de saída é igual a pelo menos 70,7% do valor máximo possível.

Razão da escolha de max

2

Hpara definir c :

Potência máxima na saída: 2

max1

2

R

R

VP

R

Potência na saída quando c :

max max

1 1( ) ( )

2 2c o R c RH j H V V j V

2

2 2maxmax

1

( )1 1 12

2 2 2 2c

R

RRR c

P

VVV j

PR R R

1

2c RP P

No limite entre a banda rejeitada e a banda passante a potência média fornecida à carga = 50% da potência média máxima.

c = freqüência de meia potência.

Dentro da banda passante, a potência fornecida a uma carga é pelo menos 50% da potência média máxima.

0( )j

90

115

3. Filtros de banda de passagem

Circuitos que deixam passar sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa e rejeitam sinais cujas freqüências estejam fora desta faixa.

Exemplo:

No domínio da freqüência:

iVR

1

jCjLi

1

VI

R j LC

22

1

1 1( ) tan

11

LI CH j arc

RV R j L

R LCC

22

1

1

H j

R LC

iV oVR

CLi

iV oV

R

C L

116

1

( ) arctan

LCjR

Freqüência de ressonância 0 :

Freqüência pela qual ( )H j é máxima. max

1 IH

R V.

Na freqüência de ressonância a impedância equivalente do circuito é um resistor puro. As impedâncias do capacitor e do indutor têm

módulos iguais e de sinais opostos. a tensão de entrada e a corrente estão em fase.

1eqZ R j L

C, como na ressonância 0( )eqZ R

117

0 00

1 10L

C LC

Freqüências de cortes 1 e 2

Potência máxima = Potência na freqüência de ressonância

20 max

1

2pP R I .

Freqüências de cortes = Freqüência para max

2

pII =freqüência ½

potência.

1 2

2 2max max

0

1 1 1

2 2 2 22

p pI IP P R R P

max

1 22 2 2

( ) ( )2 2 2

p p p pI V V VI I

R R R R

22 1

pVI

R LC

22 1 1R L R L

C C

a) 22 2 2

2

1 10R L L R

C C

2

2

4

2

LR R

C

L

2

2

4

2

LR R

C

L

b) 21 1 1

1

1 10R L L R

C C

2

1

4

2

LR R

C

L

2

1

4

2

LR R

C

L

Banda passante

Largura de banda da passagem:

118

2 1

R

L

0 1 2

Fator de qualidade Q

0 0LQ

R

Q maior, circuito mais seletivo.

119

Bibliografia

1) Electric Circuits, James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Ed. Prentice Hall, Sixth Edition, 1999. ISBN 0-201-43653-1.

2) Fundamentos de análise de Circuitos Elétricos, David E. Johnson, John L. Hilburn, Johnny R. Johnson. Ed. Prentice Hall do Brasil, Quarta Edição, 1994. ISBN 85-7054-047-7.

3) Linear Circuit analysis, Artice M. Davis. Ed. PWS Publisching Company, 1998. ISBN 0-534-95095-7.

4) Introdução à Analise de Circuitos, Robert L. Boylestad. Ed. Prentice Hall do Brasil, 8a Edição, 1998. ISBN 85-7054-078-7.

5) Análise de Circuitos em Engenharia, J. David Irwin. Ed. Pearson Education, 4a Edição, 2000. ISBN 85-346-0693-5.

6) Análise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt Jr., Jack E. Kemmerly. Ed. McGraw-Hill, 1973.

7) Circuitos Elétricos, Joseph A. Edminster. Ed. McGraw-Hill, 1980.