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ANLISE DE CONFIABILIDADE NA CRAVAO DE ESTACAS DE

CONCRETO PR-MOLDADO

EDIO SOARES PEREIRA JUNIOR

Dissertao apresentada ao Centro de Cinciase Tecnologia, da Universidade Estadual do

Norte Fluminense Darcy Ribeiro, como parte

das exigncias para obteno do ttulo de

Mestre em Cincias de Engenharia no curso de

Geotecnia.

Orientador: Prof. Fernando Saboya Albuquerque Junior

Campos dos Goytacazes

Setembro de 2003

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A Deus e a minha famlia.

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Meus agradecimentos,

Ao Prof. Fernando Saboya Albuquerque Jnior, orientador da dissertao,

pelo apoio e a confiana depositada.

FAPERJ, pelo apoio financeiro prestado.

Aos meus pais pelo incentivo e apoio pesquisa realizada.

Deus, por conceder sade e fora necessrias para o desenvolvimento

deste trabalho.

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SUMRIO

LISTA DE ILUSTRAES...............................................................................................IIILISTA DE TABELAS........................................................................................................V

LISTA DE SMBOLOS....................................................................................................VI

Captulo 1. INTRODUO................................................................................................1

Captulo2. REVISO BIBLIOGRFICA........................... ................................................3

2.1. Introduo .................................................................................................................3

2.2. Anlises determinsticas........ ...................................................................................4

2.2.1. Descrio dos mtodos determinsticos de capacidade de

carga de fundaes profundas..........................................................................................4

2.2.2. Mtodos tericos.....................................................................................................6

2.2.2.1. Resistncia lateral (RL).........................................................................................7

2.2.2.2. Mtodo em termos de tenses efetivas...............................................................8

2.2.2.3. Mtodo em termos de tenses totais.................................................................11

2.2.2.4. Resistncia de ponta (RP)..................................................................................15

2.2.3. Mtodos semi-empricos.......................................................................................17

2.2.4. Mtodo de controle de capacidade de carga in situ....................................... .......22

2.3. Conceitos bsicos de probabilidade, estatstica e confiabilidade............................25

2.3.1. Anlise probabilstica............................................................................................25

2.3.1.1. Funo de probabilidade....................................................................................26

2.3.1.2. Caracterizao da densidade pelo mtodo dos

momentos.......................................................................................................................26

2.3.1.3. Densidade normal..............................................................................................27

2.3.2. Anlise estatstica.................................................................................................28

2.3.2.1. Anlise grfica da amostra.................................................................................29

2.3.2.2. Anlise aritmtica da amostra............................................................................30

2.3.3. Aspectos conceituais de anlise de confiabilidade...............................................31

I

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2.3.3.1. Aspectos conceituais da confiabilidade inerentes ao

fator de segurana..........................................................................................................31

2.3.4. Mtodo do Segundo Momento de Primeira Ordem..............................................35

2.3.5. Estimativa de Probabilidade de Fracasso.............................................................37

2.4. Risco admissvel......................................................................................................39

2.5. Aplicaes de estatstica, probabilidade e confiabilidade em

geotecnia.........................................................................................................................40

3. MONITORAO DAS ESTACAS E O ENSAIO SPT.................................................45

3.1. Introduo................................................................................................................45

3.2. Localizao..............................................................................................................45

3.3. Sondagens executadas............................................................................................45

3.4. Determinao do repique elstico e nega................................................................54

4. ANLISE DE CONFIABILIDADE EM FUNDAES PROFUNDAS...........................58

4.1. Introduo................................................................................................................58

4.2. Procedimentos da anlise de confiabilidade............................................................55

4.2.1. Anlise estatstica dos parmetros geotcnicos...................................................58

4.2.2. Anlises determinsticas.......................................................................................64

4.2.3. Anlises das varincias dos fatores de segurana...............................................65

4.2.3.1. Estudo da aproximao por difernas divididas...............................................65

4.2.4. Estimativa da confiabilidade associada probabilidade de ruptura.....................67

4.3. Interpretao dos resultados....................................................................................76

4.4. Avaliao dos fatores de segurana referentes confiabilidade

admissivel........................................................................................................................78

5. CONCLUSES E CONSIDERAES.......................................................................80

5.1. Concluses..............................................................................................................80

5.2. Consideraes.........................................................................................................81

5.3. Sugestes................................................................................................................81

Referncias Bibliogrficas...............................................................................................82

Anexo 1 Valores da funo distribuio acumulada normal........................................86

Anexo 2 Tabelas referentes simulao do parmetro C3e Nspt................................87

II

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LISTA DE ILUSTRAES

Figura 2.1 - Estaca carregada axialmente....................................................................6

Figura 2.2 Estado de tenses do solo adjacente estaca,(a) antesda instalao e (b) aps a instalao...........................................................................8

Figura 2.3 Fator de adeso (Tomlinson, 1957)....................................................12

Figura 2.4 Fator de Adeso (Kulhawy e Phoon 1993).........................................14

Figura 2.5 Superfcies de ruptura (vsic, 1967)......................................................16

Figura 2.6 Fatores de capacidade de carga, Nq (Vsic, 1975)................................16

Figura 2.7 Fator de correo de k para estacas metlicas tubulares cravadas

em areia......................................................................................................................21Figura 2.8 Fator de correo de k para estacas quadradas de concreto

cravadas em areia......................................................................................................22

Figura 2.9 - Repique elstico e Nega para um golpe.................................................24

Figura 2.10. Grfico de uma distribuio normal........................................................28

Figura 2.11 - Exemplo de um histograma de uma varivel aleatria.........................29

Figura 2.12. Relao x FSem funo do desvio padro ( DellAvanzi, 1995)........35

Figura 2.13. Comparao entre duas situaes com mdias e distribuiesde FS diferentes (Christian, 1992)..............................................................................38

Figura 2.14. Relao entre e para distribuio normal de FSPf

(Christian, 1992).........................................................................................................39

Figura 2.15. Valores usuais de probabilidade e conseqncias de ruptura

(Whitman, 1984).........................................................................................................40

Figura 2.16. Seo tpica do talude ( Sandroni e Sayo, 1992).................................41

Figura 3.1 Localizao geogrfica de Campos dos goytacazes.............................46Figura 3.2 Disposio das sondagens na rea da obra..........................................47

Figura 3.3 Perfil de sondagem................................................................................53

Figura 3.4 Perfil composto da sondagem................................................................54

Figura 3.5 - Medio do repique elstico e nega.......................................................55

Figura 3.6 - Representao da medida do repique elstico e nega...........................56

Figura 3.7 - Repique elstico e nega obtidos em um golpe do martelo.....................56

Figura 4.1 Aparelho medidor de repique.................................................................59Figura 4.2 - Fator de segurana x ndice de confiabilidade........................................69

III

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Figura 4.3 - Fator de segurana x ndice de confiabilidade para intervalos

de variao de C3.......................................................................................................74

Figura 4.4 - Fator de segurana x ndice de confiabilidade para

Nsptem torno da regio da obra.................................................................................77

Figura 4.5 - Porcentagem de influncia de cada parmetro na confiabilidade..........78

IV

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LISTA DE TABELAS

Tabela2.1 Valores tpicos de coeficientes de variao em solos (Lee et al., 1983)..5

Tabela2.2- Valores para o fator para estacas escavadas.......................................10

Tabela 2.3 Valores para o fator para estacas cravadas.......................................10

Tabela 2.4 Relao entre os ngulos / (Potyondy, 1961)...................................11

Tabela 2.5 Fator de adeso .................................................................................13

Tabela 2.6 Fator caracterstico do do solo C (Decourt e Quaresma, 1978)............18

Tabela 2.7 Coeficientes k e (Aoki e Velloso, 1975).............................................20

Tabela 2.8 Coeficientes de transformao F1e F2 (Aoki e Velloso, 1975)..............20

Tabela 3.1 Valores do repique elstico e nega obtidos na cravao......................57

Tabela 3.2 Valor do Nsptmdio por camada............................................................57

Tabela 4.1 - Valores sugeridos para C3.....................................................................59

Tabela 4.2 Dados do repique elstico e nega da obra............................................60

Tabela 4.3 Anlise estatstica dos parmetros da obra..........................................61

Tabela 4.4 Anlise estatstica das sondagens em torno da obra............................62

Tabela 4 5 Intervalo de variao de C3 ..................................................................63

Tabela 4.6 Anlise estatstica na variao do parmetro C3...................................64Tabelas 4.7 a 4.13 Clculo de com parmetros da obra......................................69

Tabela 4.14 Fator de segurana e probabilidade de ruptura associada

ao ndice de confiabilidade.........................................................................................73

Tabela 4.15 Fator de segurana x ndice de confiabilidade....................................74

Tabela 4.16 Relao entre a varincia e o ndice de confiabilidade.......................76

V

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LISTA DE SIMBOLOS

AL rea do fuste da estaca........................................................................... 6

AP rea da ponta da estaca.................................................................6

B largura ou dimetro da seo transversal do fuste da estaca..15

C fator caracterstico do solo....................................................18

c coeso efetiva do solo.............................................................8

C1 constante emprica para determinao de .............................13

C2 Compresso elstica da estaca....................................................20

C3 Compresso elstica do solo................................................................. 20

Cov (X) coeficiente de variao............................................................................34

CPT ensaio de penetrao de cone (cone penetration test)

eo Fator de correo................................................................................... 20

ef Fator de correo....................................................................................20

E Mdulo de Yong da estaca......................................................................23

E[x] valor esperado.........................................................................................26

f(x) funo densidade de probabilidade........................................................25

F(t) funo de distribuio..............................................................................25

FS fator de segurana..................................................................................33

F1 coeficiente de transformao para a resistncia de ponta da estaca......19

F2 coeficiente de transformao para a resistncia lateral da estaca..........19

fs atrito lateral medido no cone....................................................................18

G(X) funo de desempenho...........................................................................31

k fator de correlao entre o tipo de solo e qc ...........................................19

K Repique Elstico......................................................................................20Ka coeficiente de empuxo ativo.......................................................................9

K0 coeficiente de empuxo no repouso.............................................................9

Kp coeficiente de empuxo passivo..................................................................9

L comprimento total da estaca....................................................................23

N Valor mdio do SPT ao longo da estaca.................................................20

NSPT ndice de resistncia a penetrao

Nc, Nq, Ng fatores de capacidade de carga...................................................15pa presso atmosfrica................................................................................14

VI

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Pf probabilidade de ruptura........................................................................32

qL resistncia lateral unitria de uma estaca.................................................6

qP resistncia de ponta unitria de uma estaca............................................6

R capacidade de resistncia.......................................................................68

_

R capacidade de resistncia mdia............................................................19

RL resistncia lateral de uma estaca............................................................15

RP resistncia de ponta de uma estaca........................................................15

Ru Resistncia ltima da Estaca..................................................................22

S Nega........................................................................................................22

S demanda de solicitao..........................................................................68

SPT ensaio padronizado de penetrao (standard penetration test)

s desvio padro da amostragem...............................................................30

S demanda de solicitao.........................................................................17

Su resistncia ao cisalhamento no-drenada..............................................12

_

S demanda de solicitao mdia...............................................................19

t(x) funo de freqncia..............................................................................28

T(x) funo de freqncia acumulada...........................................................29V[x] varincia da distribuio.........................................................................26

V[fs] varincia do fator de segurana.............................................................37

x varivel aleatria....................................................................................25

mdia da amostragem............................................................................29

Z varivel aleatria padronizada...............................................................27

fator de adeso lateral em termos de tenses totais.............................12

(%) fator de correlao entre o tipo de solo e a resistncia lateral...............19 fator de capacidade de carga lateral em termos de tenses efetivas..... 9

ndice de confiabilidade..........................................................................18

ngulo de atrito entre o solo e a estaca....................................................8

() funo densidade acumulada aferida em ...........................................37

ngulo de resistncia ao cisalhamento efetivo do solo..........................11

peso especfico aparente do solo...........................................................15

mdia da distribuio.............................................................................26G valor mdio da funo de desempenho.................................................31

VII

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h tenso efetiva horizontal..........................................................................8

v tenso efetiva vertical...............................................................................8

desvio padro..........................................................................................26

[x] desvio padro da distribuio..................................................................26G desvio padro da funo de desempenho..............................................31

R desvio padro da capacidade de resistncia..........................................33

S desvio padro da demanda de solicitao..............................................33

FS desvio padro do coeficiente de segurana............................................34

s tenso cisalhante.......................................................................................8

VIII

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RESUMO

As obras geotcnicas no geral tm sido estudadas tradicionalmente de forma

determinstica. Contudo a engenharia geotcnica lida com uma gama de materiais

com propriedades e parmetros altamente variveis e influenciados por diversos

fatores. Visando quantificar a variabilidade inerente s previses determinsticas,

conceitos de probabilidade e estatstica so utilizados como forma de racionalizar as

incertezas ocasionadas.

Neste mbito, torna-se possvel inferir sobre a confiabilidade dos resultados

apresentados pelos procedimentos convencionais e estimar o risco de insucesso

intrnseco ao projeto.

Desta maneira, este trabalho prope um estudo do controle de cravao de

estacas via repique elstico, enfocando aspectos probabilsticos das variveis

envolvidas no clculo da capacidade de carga de estacas pr-moldadas. Apresenta

um resumo com os conceitos bsicos de probabilidade e estatstica necessrios

para a compreenso do assunto. Desenvolve-se o Mtodo do Segundo Momento de

Primeira Ordem para quantificao da confiabilidade inerente ao desempenho de

fundaes.

Os clculos so apresentados com base no controle de cravao de estacas

de concreto pr-moldado, numa obra localizada na regio central de Campos dos

Goytacazes-RJ.

IX

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ABSTRACT

In general geotechnical analysis traditionally have been carried out in

deterministic way. However geotechnical engineering deals with materials whose

properties and parameters are strongly variables and influenced by several factors.

Aiming to quantify the variability inherent to the deterministic approach, probability

concepts are used as a tool to rationalize the associated uncertainties.

In this way, it is possible to infer over reliability of results obtained by using

conventional methods and estimate the intrinsic risk of failure.

Thus, this work proposes a study regarding the control of pile driving by the

elastic rebound method, focusing specifically probabilistic aspects of the variables

involved in the bearing capacity prediction of driven piles. This work also presents a

brief discussion regarding basic concepts of statistics and probability, which are

considered important to the understanding of the subject. It is also shown the

formulation of First Order Second Moment for the assessment of reliability of the

deep foundation.

Results are presented based on controlling of pre-cast pile driving in a building

construction work in Campos dos Goytacazes, RJ, Brazil.

X

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Captulo 1

INTRODUO

As obras geotcnicas no geral tm sido estudadas tradicionalmente de forma

determinstica. Contudo, atravs de estudos, constatou-se que a engenharia

geotcnica lida com uma gama de materiais com propriedades e parmetros

altamente variveis e influenciados por diversos fatores. Estas variaes podem ser

observadas atravs da grande disperso nos resultados de ensaios ou pelas

diferenas apresentadas entre o desempenho prtico das obras com valores

previstos por ensaios de laboratrio e de campo. Visando quantificar a variabilidade

inerente s previses determinsticas, introduziram-se no meio geotcnico, conceitos

de probabilidade e estatstica. Neste mbito, tornou-se possvel inferir sobre a

confiabilidade dos resultados apresentados pelos procedimentos convencionais e

estimar o risco de insucesso intrnseco ao projeto.

Como maneira de racionalizar as incertezas e deixar subjetividade pessoal

em plano secundrio, conceitos de probabilidade e estatstica foram sendo

introduzidos gradativamente no meio geotcnico a partir da dcada de 80. No

entanto, as anlises probabilsticas devem ser aplicadas em conjunto com as

anlises determinsticas, inferindo sobre a confiabilidade desta ltima, como forma

de contribuio e no como forma de substituio. O estudo da confiabilidade

fornece meios de se avaliarem os efeitos combinados das incertezas dos parmetros

envolvidos no clculo, oferecendo um suplemento til nas anlises convencionais.

O principal propsito deste presente estudo portanto, fornecer um estudo

do controle de cravao das estacas baseado no repique elstico, enfocando

aspectos probabilsticos das variveis envolvidas no clculo da capacidade de carga

de estacas pr-moldadas e uma avaliao da compatibilidade atravs do mtodo

FOSM.

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Captulo 1 Introduo 2

Desta maneira, visando uma compreenso mais simplificada, o trabalho se

subdividiu da seguinte forma:

Captulo 1 - Introduo

Captulo 2 - Apresenta uma reviso bibliogrfica dos mtodos determinsticos

usualmente utilizados na obteno da capacidade de carga de estacas, e

tambm do mtodo de controle de capacidade de carga via repique elstico.

E, por fim, faz uma descrio sucinta dos aspectos conceituais de

probabilidade, estatstica e confiabilidade e o desenvolvimento do mtodo

segundo momento de primeira ordem.

Captulo 3 - Para aplicar os conceitos de confiabilidade e probabilidade em

uma configurao bem documentada, so apresentados neste captulo

informaes gerais sobre a campanha experimental realizada, em torno dos

resultados do ensaio SPT, nega e repique elstico.

Captulo 4 - Apresentam-se anlises de confiabilidade associadas ao controle

da capacidade de carga in situ das fundaes pelo mtodo baseado no

repique elstico descrito no captulo 2. Neste ensejo, so contemplados

alguns fatores que influenciam a quantificao da confiabilidade e, finalmente,

so feitas consideraes sobre a adoo de fatores de segurana.

Captulo 5 Concluses e consideraes pertinentes ao trabalho.

Referncias Bibliogrficas.

Anexos

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Captulo 2

REVISO BIBLIOGRFICA

2.1 - Introduo

Este captulo se subdividiu em quatro partes bsicas. Na primeira, apresenta-

se uma breve reviso sobre os procedimentos determinsticos usualmente utilizados

na prtica de fundaes e, ainda, do controle de cravao via repique elstico

necessrios para a verificao dos critrios de capacidade de carga e pertinentes ao

projeto geotcnico de fundaes profundas.

Na segunda parte, so demonstrados conceitos bsicos de probabilidade e

estatstica fundamentais para compreenso das metodologias de anlise de

confiabilidade comumente utilizadas no meio geotcnico. Na seqncia apresenta-

se os aspectos conceituais de confiabilidade e o mtodo do Segundo Momento de

Primeira Ordem, amplamente utilizado em anlises probabilsticas.

Na terceira parte, apresenta-se o complemento da anlise de confiabilidade,

que se constitui na estimativa da probabilidade de fracasso inerente ao projeto.

Neste mbito, so feitas algumas consideraes sobre o risco admissvel.

Finalmente, na quarta parte, contemplam-se alguns trabalhos que utilizaram

conceitos de estatstica, probabilidade e confiabilidade que, adaptados, vieram

constituir a metodologia adotada no presente trabalho.

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Captulo 2 Reviso Bibliogrfica 4

2.2 - Anlises Determinsticas

Na engenharia em geral, as anlises determinsticas so realizadas

considerando todos parmetros e propriedades com valores fixos. Em geotecnia de

fundaes, as anlises determinsticas procuram viabilizar, economicamente, a

aplicao de cargas estruturais ao terreno, sem que ocorram deformaes

excessivas. No projeto, existem critrios que devem ser considerados e satisfeitos

separadamente; um deles margem de segurana quanto ruptura por perda de

capacidade de suporte.

Neste mbito, apresentam-se alguns mtodos determinsticos tradicionais,

utilizados nas estimativas de capacidade de suporte de fundaes profundas.

2.2.1 - Descrio dos mtodos determinsticos de capacidade de carga de

fundaes profundas

Apesar de muito difundido no meio geotcnico, o dimensionamento de

fundaes em estaca ainda preserva diversos princpios empricos. Uma das

grandes dificuldades na previso do comportamento de estacas est relacionada

com a avaliao dos parmetros do solo que podem ser estimados em ensaios de

laboratrio ou de campo. Existem inmeras correlaes que procuram determinar de

forma emprica os parmetros geotcnicos a partir de ensaios de campo. Essas

formulaes no possuem nenhum fundamento terico e so totalmente empricas,

mas so ferramentas de grande valor quando no h possibilidade de realizar-se

ensaios de laboratrio, o que comum na prtica de fundaes em estacas.

Portanto, com relao aos parmetros geotcnicos, eles tambm apresentam errose incertezas, necessitando tambm de um tratamento estatstico.

Atravs de anlises estatsticas realizadas por vrios pesquisadores, em

diferentes tipos de solos, Lee et al., (1983) reuniram valores tpicos de coeficientes

de variao de diversos parmetros do solo, como mostrado na Tabela 2.1.

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Parmetro do Solo (x) Faixa usual cov (x)% * Valor recomendado cov

(x)%

Peso Espe. Aparente 1 a 10 3

Teor de Umidade 6 a 63 15ndice de Vazios e 13 a 42 25

Limite de Liquidez LL 2 a 48 10

Limite de Plasticidade LP 9 a 29 15

Coefi. de Compressibilidade Cc 18 a 73 30

Mdulo de Yong E 2 a 42 30

Coefi. de permeabilidade K 200 a 300 300

Coeficiente de Adensamento Cv 25 a 100 50Resistncia no Drenada Su 20 a 50 30

ngulo de Atrito (areias) 5 a 15 10

ngulo de Atrito (argilas) 12 a 56 30

* Cov(x) = s/x

Tabela2.1 Valores tpicos de coeficientes de variao em solos (Lee et al., 1983)

Na fundao por estacas, parte da carga transmitida ao solo por meio doatrito da superfcie do fuste e o terreno e, parte, pela reao de ponta, que a

resistncia que o solo oferece penetrao dessa ponta em sua massa. Portanto, a

metodologia convencional de anlise da capacidade de suporte de fundaes

profundas consiste na soma de duas parcelas de resistncia, a resistncia de ponta

(RP) e a resistncia lateral (RL), como ilustrado na Figura 2.1. Pode ainda ocorrer,

quando no h resistncia de ponta, que toda a carga seja transmitida por atrito

lateral ao solo, diz-se ento que a fundao por estacas flutuantes; em casocontrrio, trata-se de uma fundao por estacas de reao de ponta. Essas duas

parcelas no so completamente independentes. A interao entre elas depende de

um grande nmero de fatores, como o estado de tenses atuantes, o tipo de solo e a

forma da estaca. Porm, no se conhece uma anlise que defina a extenso dessa

interao satisfatoriamente.

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Q

P

RL RLh h

Rp

p

Figura 2.1 - Estaca carregada axialmente

A resistncia lateral e de ponta de uma estaca so expressas como:

RL= ALqL (2.1)

RP= APqP (2.2)

onde;AL a rea lateral;

qL a resistncia lateral por unidade de rea;

AP a rea da base;

qP a resistncia de ponta por unidade de rea.

Para determinao da resistncia unitria lateral e de ponta existem mtodos

tericos e empricos. Alguns desses mtodos so apresentados superficialmenteneste captulo.

2.2.2 - Mtodos tericos

A base dos mtodos tericos considerar o problema como um caso de

cisalhamento simples entre a estaca e o solo ao seu redor. Nesses mtodos preciso analisar os parmetros de resistncia ao cisalhamento dos materiais

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envolvidos e o estado de tenses ao qual esto submetidos. Consideraes a

respeito do efeito de instalao da estaca so feitas, em geral, atravs de fatores de

corre

ado de

tense

anlise usada depender principalmente

do tipo

. As vantagens e desvantagens de cada uma delas sero

discutidas mais adiante.

.2.2.1 Resistncia lateral (RL)

so de estacas

escavadas, a perturbao pequena em relao a estacas cravadas.

o empricos.

Durante a instalao da estaca, o solo ao seu redor sofre uma considervel

perturbao provocando deformaes cisalhantes tanto na ponta da estaca quanto

ao longo do seu fuste. Ocorre tambm uma compresso do solo abaixo da ponta da

estaca e seu deslocamento para os lados. Esse processo ocasiona uma

remoldagem do material em torno da estaca, levando a uma mudana no est

s e dependendo do tipo de solo, pode haver gerao de poro-presso.

No caso de materiais coesivos, no incio do carregamento o solo ao redor da

estaca encontra-se numa condio no-drenada devido a poro-presso gerada pela

instalao da estaca. Neste momento o problema considerado de carregamento

no-drenado. Com o passar do tempo ocorre a dissipao da poro-presso. Neste

momento o problema passa a ser considerado de carregamento drenado. Assim,

torna-se possvel analisar o problema em termos de tenses totais ou em termos de

tenses efetivas. A escolha de qual ser a

de material envolvido no problema.

Para problemas que envolvem materiais granulares utilizada a anlise em

termos de tenses efetivas. No caso de materiais coesivos possvel a utilizao

dos dois tipos de anlises

2

Os processos de instalao das estacas causam alterao no estado detenses na regio prxima interface solo e estaca (FIGURA 2.2). A variao da

tenso efetiva vertical muito pequena, e por isso acaba sendo negligenciada.

Porm a variao da tenso efetiva horizontal deve ser avaliada a partir de

consideraes a respeito do mtodo de instalao da estaca. No ca

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21/115


adjacente estaca,(a) antes

da instalao e (b) aps a instalao.

.2.2.2 - Mtodo em termos de tenses efetivas

ra de Mohr-

Coulomb, a resistncia lateral unitria (qL) pode ser considerada como:

qL= f (c+ htan) (2.3)

;

o

es devem ser feitas para o uso do mtodo

em termo de tenses efetivas, tais como:

1. nte a instalao totalmente

Estaca

v

ho ho h h

vo sv

(a) (b)

svo

Elementode solo

Elementode solo

Figura 2.2 Estado de tenses do solo

2

Em geral, o mtodo terico em termos de tenses efetivas utilizado para a

avaliao do atrito lateral de estacas em materiais granulares. Mas, tambm

possvel o uso dessa metodologia no caso de materiais coesivos. Porm,

complexa a determinao do estado de tenses efetivas para esses tipos de

materiais. Numa condio drenada, considerando o critrio de ruptu

onde;

c a coeso efetiva;

ha tenso efetiva horizontal atuante no fuste

ngulo de atrito entre a estaca e o solo.

A partir disso, algumas considera

O excesso de poro-presso gerado dura

dissipado antes do carregamento da estaca;

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2. O carregamento ocorre em condio drenada, uma vez que a zona que sofre

3. instalao, costuma-se assumir que

o solo passa a no possuir coeso efetiva. Assim sendo, o atrito lateral ao

4. Assume-se que a tenso efetiva horizontal (h) proporcional tenso efetiva

vertica

Essa ltima considerao possivelmente a mais questionvel, mas serve

como p

qL= K vtan = v (2.5)

K o coeficiente de empuxo lateral;

o f

a. Tanto pode ser estimado

teorica

xo passivo (KP). J a escavao de um fuste causa um alvio de

tense

maior distoro em torno do fuste relativamente fina;

Devido ao amalgamento ocasionado pela

longo do fuste pode ser expresso como

qL= f (htan ) (2.4)

l (v), (sobrecarga das camadas sobrejacentes);

onto de partida. Dessa maneira a Equao (2.4) torna-se;

onde;

ator de capacidade de carga.

Essa formulao tambm conhecida como mtodo . Sendo que o fator

adimensional e depende da avaliao do estado de tenses, da compressibilidade

do solo, das dimenses da estaca e de sua form

mente atravs dos princpios da mecnica dos solos como tambm pode ser

determinado a partir de dados de provas de cargas.

Para a determinao terica assume-se que funo do coeficiente de

empuxo que representa o estado de tenses de campo. Partindo-se da idia que

antes da instalao da estaca existia uma condio geosttica, pode-se dizer que a

cravao de uma estaca levaria a uma condio intermediria entre a condio K0e

a condio de empu

s que pode levar ao estabelecimento de uma condio prxima condio de

empuxo ativo (Ka).

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23/115


Vrias propostas para o valor de so encontradas na literatura, tanto para

estacas escavadas quanto para cravadas em diversos materiais, como mostrado nas

Tabelas (2.2) e (2.3).

Referncia MaterialFatorMcClelland (1974) 0,15 a 0,35 (compresso)

0,10 a 0,24 (trao)Areias com predominncia

de slica

Meyerhof (1976)Areias com predominncia

de slica0,44 para = 280,75 para = 351,2 para = 37

Stas e Kulhawy (1984)

(K/K0 /)/depende dos materiais

na interface (entre 0,5 a 1,0)k/k0 depende do mtodo de

instalao (entre 0,5 a 2,0)

Areias com predominncia) . k0. tan (.de slica

Poulos (1978) 0,10 Areias calcrias nocimentadas

0,05 a

Burland (1973) (1-sen).tan.(OCR)0,5 Argilas

LuOCR .4,0

onde uL=2,215+L

tan'

1

'1

+

sen

sen

Flaate e Selnes (1977)

2,2152 +L

Argilas

Parry e Swain (1977) Argilas NA

Tabela 2.2- Valores para o fator p vada

Referncia

ara estacas esca s

Fator Material,10 para = 33,20 para = 35

para = 3F.tan (- 5)

(compresso)de slica

Poulos (1988) 0,5 a 0,8pa a

Areias calcrias nocimentadasra qL= 60 a 100 K

K.tanmenor que K0ou

(1+K0)(k/k0).K0.tan(./)

Meyerhof (1976) 000,35 7

Areias com predominnciade slica

Kraft e Lyons (1974)Onde F = 0,7

F = 0,5 (trao)

Areias com Predominncia

Fleming et al. (1985)K 0,5

Argilas

Stas e Kulhawy (1984)/depende dos

materiais na interface

0

1,0)

Argilas

(entre 0,5 a 1,0)K/K depende do mtodode instalao (entre 2/3 a

Tabela 2.3 Valores para o fator para estacas cravadas.

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Quanto ao ngulo de atrito entre o solo/estaca (), ele pode ser considerado

como aproximadamente igual ao valor de (Tomlinson, 1957; Burland, 1973; entre

outros). Ou ainda, pode-se assumir que proporcional a , como a proposio de

Meyer izou uma sriede ensaios de cisalhamento direto com diversos materiais e solo (TABELA 2.4).

=2/3 (+ 5) (2.6)

Material da estaca Areia seca Areia saturada

hof (1959) expressa pela Equao (2.6). Potyondy (1961) real

Acabamento daSuperfcie

Ao Lisa (polida)

spera (oxidadas)

0,54

0,76

0,64

0,80Madeira Paralela s fibrasNormal s fibras

0,760,88

0,850,89

Concreto Lisa (forma metlica) 0,76spera (forma de madeira)

Rugosa (sem forma)0,880,98

0,800,880,90

do material da estaca podendo ser

onsiderado como igual ao ngulo de resistncia ao cisalhamento efetivo residual

res). Segundo Coyle e Castello (1981), a diferena entre as proposies de

.

onsiderado que durante o carregamento existir gerao de poro-

presso. Desta forma, a resistncia lateral considerada uma funo da resistncia

ao cisa ca representada

quao;

Tabela 2.4 Relao entre os ngulos / (Potyondy, 1961)

Vesic (1977) apresentou uma aproximao diferente para considerando queo solo localizado na interface entre a massa de solo e a estaca estaria num estado

de ruptura. Como conseqncia o ngulo de atrito entre a estaca e o solo, , seria

independente das propriedades iniciais do solo e

c

(

Potyondy e Vsic no aparenta ser significante

2.2.2.3 - Mtodo em termos de tenses totais

A capacidade de carga da estaca deve ser estimada com base em tenses

totais se for c

lhamento no-drenado do (s) material (is) em torno da esta

pela e

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qL= Su (2.7)

L: resistncia lateral mdia ao longo do fuste da estaca;

o f

e o fator de adeso varia entre 0,3 e 0,6 para estacas

instala

at cerca de 0,33

para a e

mero de ensaios, tem sido possvel determinar faixas de valores de para tipos

particulares de estacas em diversas condies de carregamento.

Tomlinson (1957) sugeriu algumas propostas de , mostrada na Figura 2.3.

onde

q

ator de adeso entre o solo e a estaca;Su a resistncia ao cisalhamento no-drenada dos solos.

O fator de adeso introduzido para a correo da influncia dos fatores

como a resistncia ao cisalhamento da argila, o mtodo de instalao da estaca, a

tenso de sobreadensamento e o tipo de estaca. Os primeiros estudos de Skempton

(1959) mostram qu

das na argila de Londres. Sua determinao feita pela correlao entre

provas de carga e dados de resistncia no-drenada, determinada em laboratrio ou

ensaios de campo.

Dependendo do solo e do tipo de estaca, o valor de pode variar de 1 a

pouco mais que 1 para argilas normalmente adensadas moles

rgilas rijas a duras fortemente sobreadensadas. Com base em um grand

n

755025

1,25

100 125 150

1,00

0,75

0

0,50

0,25

Curva mdiapara todas as

estacas

curva mdiapara estacasde concreto

Su (Kpa)

Fator

deAdeso

Figura 2.3 Fator de adeso (Tomlinson, 1957)

Para estacas cravadas em argila, McClelland (1974) apresentou uma coleo

de vrios grficos de fator de adeso em funo da resistncia no drenada, obtida

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por vrios autores. Estas curvas mostram que o fator de adeso decresce com o

aumento da resistncia da argila, tanto para estacas escavadas como cravadas. Em

todos os casos, h uma larga disperso na variao observada do fator de adeso

com a res -drenada. N esto in de

encontrados por outros autores.

ia Su= 50 (Kpa) Su= 150 (kpa)

istncia no a Tabela 2.5 dicados valores

ReferncPeck (1958) 0,90 0,45Woodward & Boitano (1961) 0,86 0,32Kerisel (1961) 0,72 0,35Tomlinson (1970) 0,72 0,25

Randolph e Murphy (1985) estimaram valores de a partir de provas de

carga em estacas cravadas baseados na relao mdia de resistncia in situ.

Baseando-se numa anlise de regresso linear desses dados foi estabelecido que

=

Tabela 2.5 Fator de adeso

( ) 25,0'/

5,0

vuS

1

'

v

uS

quando (2.8)

e

( )'/

5,0

S v

S

5,0vu

= quando 1'

>u

(2.9)

Estas observaes parecem concordar bem com Sladen (1992) que sugere a

seguinte relao para a avaliao de :

45,0

1 '

= vC

uS

(2.10)

onde

viamente definido.

C1 uma constante emprica,

ve Suso como pre

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Para estacas escavadas, C1situa-se em torno de 0,4 a 0,5. As informaes

tornam-se mais escassas para o valor de para estacas escavadas em comparao

a estacas cravadas.

Kulhawy e Phoon (1993) propem a seguinte correlao (Equao 2.11) para

baseada em 127 casos estudados de estacas escavadas com provas de carga

levadas ruptura em a

rgila (FIGURA 2.4).

5,0

5,0

=

u

a

S

P (2.11)

onde, Pa a presso atmosfrica (aproximadamente 100 kPa para simplificao em

lugar de 101,4 kPa) e Su a resistncia ao cisalhamento no-drenada, obtida

travs do ensaio triaxial consolidado hidrostaticamente no-drenado. Baseados nos

dados das provas de carga, esta relao foi julgada como sendo prxima a outras

relaes para estacas cravadas.

a

Adeso (Kulhawy e Phoon 1993)Figura 2.4 Fator de

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2.2.2.4

formulao mais geral para a determinao de resistncia de ponta unitria

(qP)

qP= BN+ cNc+ vNq (2.12)

da estaca;

a) na cota da ponta da estaca;

o peso especfico aparente do solo;

N, Nc

confinante do solo. Nenhuma teoria considera a

resist

o caso de materiais granulares o primeiro e segundo termo da Equao

(2.8) s

Vsic (1967) mostra uma srie de proposies para o valor de Nqem funo

da superfcie de ruptura (FIGURA 2.5) e do ngulo de atrito do material (FIGURA

2.6).

- Resistncia de ponta (RP)

A

a expresso:

onde

qPresistncia de ponta da estaca;

B a menor dimenso

v a tenso efetiva vertical (sobrecarg

c a coeso do solo;

e Nqso os fatores de carga.

Na maioria das teorias encontradas, os parmetros bsicos, alm da

geometria da estaca, o , o qual usado para determinar o fator de capacidade de

carga, Nq, e a tenso efetiva

ncia lateral do solo ao longo do fuste, ou uma possvel interdependncia entre

a resistncia lateral e de ponta.

N

o negligenciados e a equao torna-se ento

qP= vNq (2.13)

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Prandtl Debeer Berezantsev and Bishop, Hil andRessner Jky Yaroshenko MottCaquot Meyerhof Vsic SkemptonBuisman Yassim

Terzaghi GibsonFigura 2.5 Superfcies de ruptura (Vsic, 1967)

Figura 2.6 Fatores de capacidade de carga, Nq (Vsic, 1967)

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Como mostram as figuras (2.5) e (2.6), evidente que existem grandes

variaes entre uma teoria e outra, o que leva concluso de que o mecanismo de

ruptura ainda no bem compreendido.

Para solos coesivos a Equao 2.12 reduzida para

qP= NcSu (2.14)

O valor do fator Nc, em geral, considerado 9,0 e Su a resistncia no

drenada da argila abaixo da base da estaca.

2.2.3 - Mtodos semi-empricos

Os mtodos semi-empricos esto baseados em relaes diretas entre os

resultados de ensaios de campo com as parcelas de resistncia e dependem de

ajustes com dados de provas de carga. Os mtodos semi-empricos brasileiros mais

conhecidos certamente so os mtodos apresentados por Aoki e Velloso (1975) e o

de Dcourt e Quaresma (1978, 1982).

Mtodos que relacionam diretamente o nmero de golpes do SPT com o atrito

lateral so muito difundidos por sua simplicidade. Porm, o uso dessas metodologias

deve ser realizado com cautela, uma vez que est baseada em experincias

regionais. So apresentadas da forma

qL= A + B . NSPT (2.15)

onde A e B so constantes que dependem dos dados do solo e do tipo de estaca

que deram origem formulao.

O mtodo de Dcourt e Quaresma foi desenvolvido com base na experincia

dos autores e resultados de provas de carga. Essas provas de carga foram

realizadas em estacas pr-moldadas de concreto, porm no foram levadas

ruptura e utilizou-se a carga de ruptura convencional correspondente a um recalque

de 10% do dimetro da estaca.

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A resistncia lateral unitria apresentada como uma funo apenas do

nmero de golpes do SPT mdio ao longo do fuste (Equao 2.16). No h

nenhuma considerao a respeito do tipo solo ou do tipo de estaca.

qL

+ 13

10 2N

= (2.16)

onde

qL expresso em kPa,

N2 o valor mdio do N ao longo do fuste.

Sendo que os valores N devem estar no intervalo 3 N 50, valores maiores

que 50 devem ser igualados a 50 e valores menores que 3 devem ser igualados a 3.

Para a resistncia unitria de ponta j houve uma considerao do tipo de

solo onde a estaca se apia atravs do fator caracterstico do solo C (TABELA 2.6).

qP= C . N1(kpa) (2.17)

onde N1 a mdia de 3 valores correspondentes ao N na ponta da estaca (Nn),

imediatamente superior (Nn+1) e imediatamente inferior (Nn-1).

3

111

+ ++= nnnNNN

N (2.18)

Tipo de Solo C (Kpa)Argilas 120Siltes Argilosos 200Siltes Arenosos 250Areias 400

Tabela 2.6 Fator caracterstico do do solo C (Decourt e Quaresma, 1978)

Devido ao desenvolvimento contnuo da mecnica dos solos e engenharia de

fundaes, uma necessidade na melhoria da diversidade e qualidade de ensaios de

campo para a caracterizao do subsolo tornou-se imprescindvel. Cientes dessa

necessidade, os estudiosos concentraram-se no desenvolvimento de ensaios que

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representassem de maneira mais coerente as caractersticas do substrato. Dentre os

ensaios desenvolvidos, destaca-se o ensaio de penetrao de cone (Dutch

Sounding Test), idealizado na Holanda na dcada de 1930 por Barentsen e Boonstra

(1936). O princpio do ensaio de cone consiste na cravao no terreno de uma

ponteira cnica a uma velocidade constante. Apesar dos procedimentos de ensaio

serem padronizados, h diferenas entre os equipamentos, que podem ser

classificados em cone mecnico, cone eltrico e piezocone. Os principais atrativos

do ensaio so o registro contnuo da resistncia penetrao, fornecendo uma

descrio detalhada da estratigrafia do subsolo, informao essencial composio

de custos de um projeto de fundaes, e a eliminao de qualquer influncia do

operador nas medidas do ensaio, atrito lateral fs e resistncia de ponta qc. Desde

ento, inmeros mtodos vem sendo desenvolvidos para a determinao do atrito

lateral unitrio (qL) e da resistncia de ponta unitria (qP) a partir dos resultados de

resistncia de ponta (qc) e/ou do atrito lateral (fs). A maioria desses mtodos procura

determinar fatores redutores para a resistncia de ponta (qc) e assim determinar as

duas parcelas de resistncia. Essa aplicao de fatores de reduo deve-se a uma

combinao de influncias como o efeito de escala, o efeito da velocidade de

carregamento, as diferenas nas tcnicas de instalao, as variaes no valor dos

deslocamentos de solo, entre outras, Briaud (1988). So poucos os mtodos que

utilizam os valores de atrito lateral medidos no ensaio de cone (fs), como Nottingham

(1975).

A metodologia desenvolvida por Aoki e Velloso (1975) est baseada em

resultados de ensaios de penetrao de cone em diversos solos brasileiros. Os

autores tambm sugerem a adaptao do mtodo para o uso de valores de NSPT. As

Equaes 2.19 e 2.20 foram estabelecidas para as resistncias unitria de ponta e

lateral, respectivamente. Para considerar a influncia do tipo de estaca os autoresanalisaram provas de carga em alguns tipos de estacas e estabeleceram os

coeficientes de transformao F1e F2(TABELA 2.8).

qp1

1

1

.

F

NK

F

qc == (2.19)

onde;

N1 o nmero de golpes na ponta da estaca;

K o fator de correlao entre o tipo de solo e qc(Tabela 2.7);F1 o coeficiente de transformao para a resistncia de ponta da estaca (tabela2.8)

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Para a resistncia unitria lateral (qL), a correlao estabelecida a partir da

resistncia de ponta medida no cone expressa por

qL2

2..F

NK= (2.20)

onde

N2 o nmero de golpes mdio ao longo do fuste da estaca;

F2 o coeficiente de transformao para a resistncia lateral (Tabela 2.8);

(%) o fator de correlao entre o tipo de solo e a resistncia lateral (Tabela 2.7).

Tipo de solo K (Mpa) (%)Areias 1,00 1,4Areia Siltosa 0,80 2,0Areia Silto argilosa 0,70 2,4Areia argilosa 0,60 3,0Areia argilo siltosa 0,50 2,8Silte 0,40 3,0Silte arenoso 0,55 2,2Silte arenoso argiloso 0,45 2,8Silte argiloso 0,23 3,4Silte argilo siltoso 0,25 3,0

Argila 0,20 6,0Argila arenosa 0,35 2,4Argila areno siltosa 0,30 2,8Argila siltosa 0,22 4,0Argila silto arenosa 0,33 3,0

Tabela 2.7 Coeficientes k e (Aoki e Velloso, 1975)

Tipo de estaca F1 F2Franki 2,50 5,0

Metlica 1,75 3,5Pr-moldada 1,75 3,5Escavada 3,50 7,0

Tabela 2.8 Coeficientes de transformao F1e F2 (Aoki e Velloso, 1975)

O mtodo de Nottingham (1975), apresentado pela equao 2.21, baseado

em detalhados estudos de provas de carga instrumentadas. Utiliza um fator de

correo K para considerao de diversos efeitos como a forma da seo

transversal, relao D/B, o material da estaca e o tipo de cone utilizado no ensaio

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experimental de campo. O mtodo ainda pouco difundido por utilizar a medida de

atrito lateral no fuste do cone para determinao da resistncia lateral da estaca.

==

+=L

Bd

B

d

SSSSs AKfAKfBdF

8

8

08

(2.21)

onde

k o fator de correo (figura 2.7 e 2.8);

fs o atrito lateral medido no cone;

B a dimenso da seo transversal da estaca;

L o comprimento da estaca;As rea lateral da estaca.

1,00

10

3,02,0

20

5

30

25

15

K

D/B

Os pontos que somostrados so apenaspara correlao comcone eltrico

cone mecnico

cone eltrico

estacas cravadas

Figura 2.7 - Fator de correo dek para estacas metlicastubulares cravadas em areia.

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2,01,0

10

0

30

0

20

K

D/B

cone eltrico

cone mecnico

(a) estaca com fuste liso.

2,01,0

10

0

30

0

20

K

D/B

cone eltrico

conemecnico

3,0

(b) estaca com fuste rugoso

Figura 2.8 Fator de correo de k para estacas quadradas de concretocravadas em areia.

2.2 4 Mtodo de controle de capacidade de carga in situ

Tradicionalmente o controle da capacidade de carga de estacas durante a

cravao, feito adotando-se o valor da nega (deslocamento permanente, quegeralmente corresponde mdia dos 10 ltimos golpes do sistema de cravao), que

interpretada luz das chamadas frmulas dinmicas de cravao.

Vrias crticas vm sendo feitas aplicao destas frmulas, e dentre elas

pode-se destacar a incompatibilidade da teoria do choque de Newton de dois corpos

para simular o fenmeno de cravao das estacas e tambm no fato da variao da

resistncia do solo durante a cravao (cicatrizao e relaxao).

No incio da dcada de 80, a tcnica de monitorao da cravao de estacas

comeou a se expandir em termos de pesquisa, desenvolvimento de equipamentos e

interpretao de dados de cravao pela teoria da equao da onda. Assim a

observao sistemtica dos resultados obtidos com a instrumentao da cravao

aliada ao relato dos japoneses Yokoyama e Kusakabe (1985), vem demonstrando

uma tendncia de mudana na determinao da resistncia ltima de uma estaca

cravada de concreto. Portanto, uma substituio do controle de cravao in situ

baseado na nega, pelo controle de cravao baseado no repique elstico.

Da mesma forma que os mtodos empricos tradicionais de estimativa de

capacidade de carga, os mtodos de capacidade de carga in situesto baseados em

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relaes direta com resultados de prova de carga e de ensaios de campo, como o

ensaio de cone e o ensaio SPT. Portanto, o uso dessas metodologias deve ser

realizado com cautela, uma vez que ainda esto baseadas em experincias ainda

restritas.

Uto et al., (1985), propuseram uma frmula dinmica de clculo de

capacidade de carga in situ para estacas cravadas, que recomendada pela

Specification for Bridge Substurcture Design (1980) representada pela Equao

(2.22).

Ru =( )

fe

NlU

Le

CCsEA ..

..2

.2..

0

23 +++

(2.22)

onde;

Ru = Resistncia ltima da Estaca (tf)

A = rea da seco transversal da estaca (m2)

E = Mdulo de Yong da estaca (tf/m2)

l = Comprimento cravado da Estaca (m)

U = Permetro da Estaca

L= Comprimento total da estaca(m)

S= Nega para um golpe do pilo(m)

N= Valor mdio do SPT ao longo da estaca

K = (C2+C3) = Repique Elstico (m)

C2= Compresso elstica (repique) da estaca (m)

C3= Compresso elstica (repique) do solo (m)

O valor de K = C2+ C3 determinado atravs de medidas do repique elstico

durante a cravao da estaca, de acordo com a Figura (2.9)

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Figura 2.9 - Repique elstico e Nega para um golpe

eo = 2 x 3 , WH = Peso do martelo (tf) e WP = Peso da Estaca (tf)2WP

WH

ef = eficincia do martelo (fator de correo) = 2,5

De acordo com Chellis (1951), a parcela C2devido s deformaes elsticas

da estaca valeria:

C2=EA

lRu

7,0 (2.23)

Portanto;

Rul

EAC

7,02 (2.24)

Desta maneira, a capacidade de carga ltima Ru diretamente proporcional

ao valor de C2, e C3quake dado em funo do tipo de solo.

Diante da experincia de controle em algumas centenas de estacas pr-

moldadas de concreto, concluiu-se que a frmula de Chellis, em muitos casos,

conduz a cargas mobilizadas superiores s reais para estacas com comprimentos

cravados menores ou iguais a 20m, que vo diminuindo medida que os

comprimentos das estacas se aproximam da fronteira dos 20m; a partir de 20m h

uma tendncia de Chellis subestimar as cargas mobilizadas.

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Na aplicao de Uto observou-se o oposto: h uma tendncia de Uto

subestimar as cargas mobilizadas para estacas com comprimentos menores ou

iguais a 20m e superestimar a partir deste valor.

Assim, de acordo com Filho e Abreu (1989), visando obter um equilbrio entre

esses dois mtodos a determinao da resistncia ltima in situ de uma estaca

cravada tomada como a mdia aritmtica das formulaes feitas por Uto et al., e

Chellis.

2.3 - Conceitos bsicos de probabilidade, estatstica e confiabilidade

Apresentam-se a seguir, de forma sucinta, os conceitos bsicos de

probabilidade e estatstica necessrios para a compreenso dos aspectos

conceituais de anlise de confiabilidade.

2.3.1 - Anlise probabilstica

A anlise probabilstica pode ser entendida como o estudo sobre a previso

comportamental de uma determinada experincia. A caracterstica de interesse de

uma experincia que assume valores diferentes e no previsveis como resposta

denominada de varivel aleatria. A varivel aleatria pode ser considerada discreta,

quando assume apenas certos valores especficos, ou contnua, quando pode

assumir qualquer valor dentro de um intervalo. Em uma experincia, o conjunto de

todas as respostas denominado de espao amostral. Em geral, o espao amostral

dito discreto se possui um nmero contvel de elementos. Se os elementos de umespao amostral constituem um contnuo (por exemplo, todos os pontos de uma reta

ou plano) o espao amostral dito contnuo. A caracterizao de um espao

amostral em discreto ou contnuo determinada atravs do tipo de varivel aleatria

em questo. Qualquer subconjunto de um espao amostral definido como evento,

enquanto que o conjunto de todas as observaes realizadas denominado de

populao.

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2.3.1.1 - Funo de probabilidade

Sendo x uma varivel aleatria contnua qualquer, o comportamento

probabilstico do fenmeno aleatrio pode ser descrito por uma funo matemtica

conhecida por funo densidade de probabilidade f(x). Objetivamente, a funo

densidade de probabilidade descreve a forma da curva de distribuio da

probabilidade de ocorrncia de cada valor da varivel aleatria. Dentre as formas

mais usuais, podem-se citar as distribuies normal ou gaussiana, lognormal, gama

e beta, entre outras.

Para a estimativa da probabilidade de ocorrncia da varivel aleatria (x)ser

menor ou igual a um certo valort, utiliza-se a funo de distribuio F(t)definida por:

( ) ( )dxxftFtxP t == ][ (2.25)

A estimativa da probabilidade de ocorrncia da varivel x em um certo

intervalo [a, b], dada por:

( ) ( ) ( )==

^

Figura 2.10. Grfico de uma distribuio normal

Devido ao fato da Equao (2.30) no poder ser integrada de uma forma

fechada entre um intervalo qualquer, as probabilidades relacionadas distribuio

normal so obtidas a partir de integrao numrica, sendo os resultados dispostos

em forma de tabelas especiais padronizadas para uma densidade normal com mdia

= 0 e desvio padro = 1 (ANEXO 1).

Substituindo na Equao (2.30) os valores de e utilizados para

padronizao (Equaes (2.27) e (2.29), respectivamente), a probabilidade de umavarivel aleatria (x)ser menor ou igual a Z dada por:

( ) dteZF zt

=2

2

1

2

1

(2.31)

onde Z uma varivel aleatria padronizada definida por:

[ ]xx

Z

= (2.32)

2.3.2. Anlise estatstica

O tratamento estatstico est relacionado anlise de uma coleo de

observaes, denominada amostra ou conjunto amostral, que visa caracterizar um

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fenmeno aleatrio de interesse e no prever o comportamento do fenmeno em si

(anlise probabilstica). O tratamento do conjunto amostral pode ser realizado a

partir de anlise grfica ou aritmtica. A anlise grfica da amostra compreende a

classificao da varivel aleatria segundo a sua freqncia de valores assumidos e

a montagem de um grfico freqncia x valor, denominado histograma (FIGURA

2.11). A anlise aritmtica da amostra realizada atravs da determinao de

parmetros estatsticos que visam caracterizar a distribuio.

2.3.2.1. Anlise grfica da amostra

Dado um histograma, o comportamento de uma varivel aleatria xem uma

amostra pode ser caracterizado pela sua funo de freqncia t(x). A funo de

freqncia entendida como a funo matemtica que descreve a freqncia de

valores assumidos pela varivel aleatria no mbito amostral, ou seja, a funo

que melhor caracteriza a forma do histograma da varivel aleatria. A funo de

freqncia anloga funo de densidade de probabilidade f(x) da populao

correspondente, embora estas funes sejam conceitualmente diferentes. A

populao da varivel aleatria possui uma funo densidade de probabilidade

definida, mas caso sejam realizadas diversas amostragens desta mesma populao,

pode-se encontrar diversas funes de freqncia diferentes entre si.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Valor da Varivel Aleatria

Frequn

cia

Figura 2.11 - Exemplo de um histograma de uma varivel aleatria

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Um complemento da anlise grfica a definio da funo de freqncia

acumulada T(x), anloga funo de distribuio da populao F(x). Em termos

matemticos, escreve-se:

( ) ( )

=xy

ytxT (2.33)

onde x e y so variveis discretas. A funo de freqncia acumulada pode ser

interpretada como a soma das freqncias relativas de todos os valores menores ou

iguais a x.

2.3.2.2. Anlise aritmtica da amostra

Os parmetros mais comumente utilizados so a mdia amostral (mdia

aritmtica) e a varincia amostral. A mdia amostral de uma varivel aleatria x

definida por:

=

=n

i

ixn

x1

1 (2.34)

Deve-se atentar para a diferena entre a mdia amostral e a mdia da

distribuio de probabilidade (). Enquanto a primeira relaciona os valores de um

determinado conjunto de observaes, a segunda indica a mdia de toda a

populao do fenmeno aleatrio.A varincia amostral relaciona-se com os quadrados dos desvios da varivel x

em relao mdia x , sendo definida por:

=

=

n

t

i

n

xxs

1

22

1

)( (2.35)

O desvio padro amostral definido como a raiz quadrada da varincia. Em

termos matemticos temos:

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( )=

=

n

t

i

n

xxS

1

2

1 (2.36)

2.3.3 Aspectos conceituais de anlise de confiabilidade

A quantificao da confiabilidade obtida atravs da utilizao de uma

relao entre os estados que limitam o insucesso e o sucesso associados previso

comportamental de uma determinada varivel aleatria. Apresentam-se a seguir, os

aspectos conceituais de confiabilidade, correspondente a varivel aleatria fator de

segurana.

2.3.3.1. Aspectos conceituais da confiabilidade inerente ao fator de segurana

A relao entre os estados que limitam o sucesso e o insucesso definida

como a diferena entre as densidades de probabilidade da capacidade de

resistncia (R)e da demanda de solicitao (S).Matematicamente tem-se:

G(X) = R S (2.37)

onde G(X) uma funo que descreve o desempenho da diferena R - S, e X o

vetor de parmetros necessrios para clculo de G(X). A funo de desempenho

pode ser subdividida em uma regio segura (G(X) > 0)e uma regio instvel (G(X)

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