Captulo 1 1

Captulo 1 - Investigar em Matemtica

Investigar procurar conhecer o que no se sabe. Com um significado muito

semelhante, seno equivalente, temos em portugus os termos pesquisar e inquirir.

Em ingls, existem igualmente diversos termos com significados relativamente

prximos para referir esta actividade: research, investigate, inquiry, enquiry. O termo

investigao pode ser usado numa variedade de contextos, falando-se, por exemplo,

de investigao cientfica, investigao jornalstica, investigao criminal e investigao

sobre as causas de um acidente, caso em que se usa tambm o termo inqurito. Por

vezes, fala-se em investigao a propsito de actividades que envolvem uma procura de

informao, por exemplo, fazer uma investigao ou pesquisa na Internet.

A investigao vista pelos matemticos

Para os matemticos profissionais, investigar descobrir relaes entre objectos

matemticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as respectivas

propriedades. Henri Poincar1 um dos grandes matemticos do incio do sculo XX,

deixou-nos uma interessante descrio deste processo. Comeou por tentar demonstrar a

impossibilidade de existncia de funes com um certo tipo de caractersticas. Acabou

por provar precisamente o contrrio! Concluiu que essas funes, afinal, existem e

baptizou-as de funes fuchsianas.

Segundo o seu relato, essa investigao desenrolou-se em trs fases bem distintas: uma

primeira fase de compilao de informao e experimentao, sem produzir resultados

palpveis, seguida de uma fase de iluminao sbita e, finalmente, uma terceira fase de

sistematizao e verificao dos resultados:

Havia j quinze dias que me esforava por demonstrar que no podia existir nenhuma funo anloga s que depois vim a chamar funes fuchsianas. Estava, ento, na mais completa ignorncia; sentava-me todos os dias minha mesa de trabalho e ali permanecia uma ou duas horas ensaiando um grande nmero de combinaes e no chegava a nenhum resultado. Uma tarde, contra meu costume, tomei um caf preto e no consegui adormecer; as ideias surgiam em tropel, sentia que me escapavam, at que duas delas, por assim dizer, se encaixaram formando uma combinao estvel. De madrugada tinha estabelecido a existncia de uma classe de funes

Captulo 1 2

fuchsianas, as que derivam da srie hipergeomtrica. No tive mais que redigir os resultados, o que apenas me levou algumas horas.

Quis, em continuao, representar estas funes pelo quociente de duas sries: esta ideia foi completamente consciente e deliberada, era guiado pela analogia com as funes elpticas. Perguntava a mim mesmo quais seriam as propriedades destas sries, se que existiam, e logrei sem dificuldade formar as sries que chamei tetafuchsianas2.

O que torna particularmente interessante o relato de Poincar que o momento-chave

desta descoberta ocorreu numa altura completamente inesperada quando procurava

adormecer sugerindo que o inconsciente desempenha um papel de grande relevo no

trabalho criativo dos matemticos. No entanto, nem todas as descobertas ocorrem por

esta via. O estabelecimento da existncia das sries que Poincar chamou de

tetafuchsianas resultou de um trabalho consciente e intencional, guiado pela analogia

com outras sries matemticas j bem conhecidas.

Este autor interroga-se sobre o mecanismo que preside actividade criativa

inconsciente, acabando por concluir que tem de ser um sentido de apreciao esttica da

beleza das relaes matemticas:

Quais so os entes matemticos a que atribumos (...) Caractersticas de beleza e de elegncia e que so susceptveis de desencadear em ns um sentimento de emoo esttica? So aqueles cujos elementos esto dispostos harmoniosamente, de forma a que a mente possa sem esforo abraar todo o conjunto penetrando em todos os seus detalhes. Esta harmonia simultaneamente uma satisfao para as nossas necessidades estticas e um auxlio para a mente que a sustenta e guia. E, ao mesmo tempo, ao colocar perante os nossos olhos um conjunto bem ordenado, faz-nos pressentir uma lei matemtica... Assim, esta sensibilidade esttica especial que desempenha o papel do crivo3.

O processo de criao matemtica surge aqui frtil em acontecimentos inesperados, de

movimentos para a frente e para trs. Esta perspectiva contrasta fortemente com a

imagem usual desta cincia, como um corpo de conhecimento organizado de forma

lgica e dedutiva, qual edifcio slido, paradigma do rigor e da certeza absolutas. Outro

matemtico famoso, George Plya4, chama-nos a ateno para o contraste entre estas

duas imagens da Matemtica: a Matemtica tem duas faces; a cincia rigorosa de

Euclides, mas tambm algo mais... A Matemtica em construo aparece como uma

Captulo 1 3

cincia experimental, indutiva. Ambos os aspectos so to antigos quanto a prpria

Matemtica5. A mesma ideia sublinhada pelo matemtico portugus Bento de Jesus

Caraa6:

A Cincia pode ser encarada sob dois aspectos diferentes. Ou se olha para ela tal como vem exposta nos livros de ensino, como coisa criada, e o aspecto o de um todo harmonioso, onde os captulos se encadeiam em ordem, sem contradies. Ou se procura acompanh-la no seu desenvolvimento progressivo, assistir maneira como foi sendo elaborada, e o aspecto totalmente diferente descobrem-se hesitaes, dvidas, contradies, que s um longo trabalho de reflexo e apuramento consegue eliminar, para que logo surjam outras hesitaes, outras dvidas, outras contradies (...) Encarada assim, aparece-nos como um organismo vivo, impregnado de condio humana, com as suas foras e as suas fraquezas e subordinado s grandes necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pela libertao; aparece-nos, enfim, como um grande captulo da vida humana social7.

Uma investigao matemtica desenvolve-se usualmente em torno de um ou mais

problemas. Pode mesmo dizer-se que o primeiro grande passo de qualquer investigao

identificar claramente o problema a resolver. Por isso, no de admirar que, em

Matemtica, exista uma relao estreita entre problemas e investigaes. O matemtico

ingls Ian Stewart indica quais so, no seu entender, as caractersticas dos bons

problemas:

Um bom problema aquele cuja soluo, em vez de simplesmente conduzir a um beco sem sada, abre horizontes inteiramente novos (...) Um interessante e autocontido pedao de Matemtica, concentrando-se num exemplo judiciosamente escolhido, contm normalmente em si o germe de uma teoria geral, na qual o exemplo surge como um mero detalhe, a ser embelezado vontade8.

Quando trabalhamos num problema, o nosso objectivo , naturalmente, resolv-lo. No

entanto, para alm de resolver o problema proposto, podemos fazer outras descobertas

que, nalguns casos, se revelam to ou mais importantes que a soluo do problema

original. Outras vezes, no se conseguindo resolver o problema, o trabalho no deixa de

valer a pena pelas descobertas imprevistas que proporciona. Como diz o matemtico

ingls Andrew Wiles, bom trabalhar em qualquer problema contando que ele d

Captulo 1 4

origem a Matemtica interessante durante o caminho, mesmo se no o resolvermos no

final9.

Wiles tornou-se famoso por ter conseguido resolver um problema dificlimo

demonstrar uma clebre afirmao de Pierre de Fermat10, um matemtico francs do

sculo XVII. Fermat deixou escrito um enunciado nas margens de um livro de Diofanto

que tinha estado a ler. Era seu costume escrever este tipo de notas, e neste caso

acrescentou descobri uma demonstrao verdadeiramente admirvel deste teorema que

esta margem muito pequena para conter. O enunciado, que veio a ser conhecido

como o ltimo Teorema de Fermat, dizia o seguinte:

Se n um nmero natural maior que 2, no existe nenhum terno de nmeros naturais x, y e z, que satisfaa a equao:

xn + yn = zn

Esta equao muito semelhante que surge no teorema de Pitgoras: x2 + y2 = z2. A

diferena que, em vez de x2, y2 e z2, temos agora xn, yn, zn. Sabemos, desde Pitgoras

e mesmo antes, segundo alguns estudos em Histria da Matemtica que existem

infinitas famlias de ternos (x,y,z) que satisfazem o teorema de Pitgoras. Dois deles so,

por exemplo, (3,4,5) e (5,12,13). Fermat diz-nos que o que se verifica de infinitas

maneiras para n = 2 no se verifica nunca para n > 2.

Durante mais de trezentos anos, esta afirmao desafiou a sagacidade dos melhores

matemticos. Pelo caminho, muitas demonstraes foram propostas e todas elas

rejeitadas, por se verificar que continham passos incorrectos. A certa altura, muitos

matemticos comearam a pensar que Fermat se deveria ter enganado, no chegando a

produzir uma demonstrao correcta do seu teorema.

Foi o matemtico ingls Andrew Wiles, que tinha dedicado toda a sua vida at ento a

trabalhar nesta questo, quem conseguiu finalmente, em 1994, encontrar uma

demonstrao convincente11.

Desde que pela primeira vez encontrei o ltimo Teorema de Fermat, em criana, ele tem sido a minha maior paixo... Tive um professor que realizara investigaes em Matemtica e que me emprestou um livro sobre Teoria dos Nmeros, que me deu algumas pistas sobre como comear a atac-lo. Para comear, parti da hiptese de que Fermat no conhecia muito mais Matemtica do que a que eu aprendera12.

Captulo 1 5

Nesta passagem, Wiles sublinha o valor de interessar os jovens pelas investigaes

matemticas. A afirmao que os alunos podem envolver-se na realizao de

investigaes matemticas e que isso um poderoso processo de construo do

conhecimento corroborada por outros matemticos:

[Os alunos podem ter] um sabor da Matemtica em construo e do trabalho criativo e independente [Eles podem] generalizar a partir da observao de casos, [usar] argumentos indutivos, argumentos por analogia, reconhecer ou extrair um conceito matemtico de uma situao concreta. (Plya)13

Entre o trabalho do aluno que tenta resolver um problema de geometria ou de lgebra e o trabalho de criao, pode dizer-se que existe apenas uma diferena de grau, uma diferena de nvel, tendo ambos os trabalhos uma natureza semelhante. (Hadamard)14

Aprender Matemtica no simplesmente compreender a Matemtica j feita, mas ser capaz de fazer investigao de natureza matemtica (ao nvel adequado a cada grau de ensino). S assim se pode verdadeiramente perceber o que a Matemtica e a sua utilidade na compreenso do mundo e na interveno sobre o mundo. S assim se pode realmente dominar os conhecimentos adquiridos. S assim se pode ser inundado pela paixo detectivesca indispensvel verdadeira fruio da Matemtica. Aprender Matemtica sem forte interveno da sua faceta investigativa como tentar aprender a andar de bicicleta vendo os outros andar e recebendo informao sobre como o conseguem. Isso no chega. Para verdadeiramente aprender preciso montar a bicicleta e andar, fazendo erros e aprendendo com eles. (Braumann)15

Processos usados numa investigao matemtica

O matemtico portugus Carlos Braumann16 relata uma experincia de investigao que

realizou enquanto aluno do ensino secundrio, a propsito dos nmeros complexos. Um

nmero complexo z, da forma a+bi, em que a e b so nmeros reais e i a unidade

imaginria 1 , tem n razes dadas por uma certa expresso. Ao calcular razes de diversos nmeros complexos, observou que, para qualquer nmero, a soma de todas as

razes era sempre nula. Procurou ento encontrar uma justificao para esse facto. Para

isso, recorreu interpretao geomtrica de um nmero complexo como um vector, e

por analogia com os sistemas de foras e as respectivas resultantes, mais se reforou a

sua convico que tal facto deveria ser verdadeiro. No se dando por satisfeito,

Captulo 1 6

procurou uma demonstrao mais formal, o que conseguiu ao fim de bastante trabalho,

mostrando que, no fundo, o problema geral era equivalente ao problema mais simples

de considerar as n razes de ndice n da unidade. O problema ficou resolvido mas

Braumann no ficou completamente satisfeito... Tempos depois, tendo tomado

conhecimento de uma notao mais potente para os nmeros complexos, e usando a

noo j sua conhecida de progresso geomtrica, descobriu uma outra demonstrao

muito mais simples e esteticamente mais apelativa para este facto matemtico (em

apndice, o leitor pode ver uma descrio mais pormenorizada do percurso realizado,

baseada no prprio testemunho deste matemtico).

Podemos dizer que a realizao de uma investigao matemtica envolve quatro

momentos principais17. O primeiro envolve o reconhecimento da situao, a sua

explorao preliminar e a formulao de questes. O segundo momento refere-se ao

processo de formulao de conjecturas. O terceiro inclui a realizao de testes e o

eventual refinamento das conjecturas. E, finalmente, o ltimo diz respeito

argumentao, demonstrao e avaliao do trabalho realizado. Estes momentos

surgem, muitas vezes, em simultneo: a formulao das questes e a conjectura inicial,

ou a conjectura e o seu teste, etc. Cada um destes momentos pode incluir diversas

actividades como se indica na figura 1.

Explorao e formulao de questes

Reconhecer uma situao problemtica Explorar a situao problemtica Formular questes

Conjecturas

Organizar dados Formular conjecturas (e fazer afirmaes sobre uma conjectura)

Testes e reformulao

Realizar testes Refinar uma conjectura

Justificao e avaliao

Justificar uma conjectura Avaliar o raciocnio ou o resultado do raciocnio

Figura 1. Momentos na realizao de uma investigao

Em todos estes momentos pode haver interaco entre vrios matemticos interessados

nas mesmas questes. Essa interaco torna-se obrigatria na parte final, tendo em vista

a divulgao e confirmao dos resultados. S quando a comunidade matemtica aceita

Captulo 1 7

como vlida uma demonstrao para um dado resultado este passa a ser considerado

como um teorema. Antes disso, o que temos so conjecturas ou hipteses.

Poincar conjecturou inicialmente que no existiam funes com as caractersticas que

ele procurava. Mais tarde, negou esta conjectura, formulando a conjectura contrria,

segundo a qual tais funes deviam existir. O modo de verificar essa conjectura surgiu-

lhe inesperadamente, mas s realizou a demonstrao completa numa fase posterior.

A afirmao de Fermat, rigorosamente falando, no foi mais do que uma conjectura que

permaneceu como tal durante vrios sculos. S a demonstrao finalmente oferecida

por Wiles deu comunidade matemtica a certeza que no existem ternos (x,y,z)

satisfazendo as condies indicadas, encerrando assim a questo. Entre Fermat e Wiles,

muitas ideias matemticas foram desenvolvidas a partir das tentativas falhadas de

demonstrar o enunciado deixado por aquele matemtico francs.

A pequena investigao relatada por Braumann nasceu de um trabalho exploratrio, de

observao de regularidades nas razes dos nmeros complexos. Implcita est a

questo: que relaes tm entre si estas razes? Uma observao de diversos casos

sugeriu que a sua soma era sempre nula. Uma analogia fsica com os sistemas de foras

deu grande credibilidade intuitiva a esta conjectura. No entanto, Braumann continuou a

trabalhar na questo, procurando uma demonstrao para a relao matemtica em

causa, o que viria a conseguir, mas de modo bastante laborioso. A questo no ficou

completamente encerrada, pois o autor, tirando partido de uma notao mais potente,

descobriu mais tarde uma nova demonstrao, que, pela sua simplicidade e elegncia,

lhe agradou muito mais. Neste caso, o que sobressai no a variedade de conjecturas,

mas os diversos processos de justificao e prova sucessivamente postos em aco.

Este trabalho de formulao de questes, elaborao de conjecturas, teste, refinamento

das questes e conjecturas anteriores, demonstrao, refinamento da demonstrao e

comunicao dos resultados aos seus pares, est ao alcance dos alunos na sala de aula de

Matemtica. o que nos dizem diversos matemticos e o que mostraremos, com

exemplos concretos, ao longo de diversos captulos deste livro.

As investigaes como tarefas matemticas

Captulo 1 8

As investigaes matemticas constituem uma das actividades que os alunos podem

realizar e que se relaciona, de muito perto, com a resoluo de problemas. Tambm

vimos, a propsito do relato de Braumann, como uma investigao se pode desencadear

a partir da resoluo de simples exerccios. O que distingue ento as investigaes dos

problemas e exerccios?

A distino entre exerccio e problema foi formulada por Plya e tem-se mostrado

muito til para analisar os diferentes tipos de tarefas matemticas. Um problema uma

questo para a qual o aluno no dispe de um mtodo que permita a sua resoluo

imediata, enquanto que um exerccio uma questo que pode ser resolvida usando um

mtodo j conhecido. claro que podem haver exerccios mais difceis, requerendo a

aplicao mais ou menos engenhosa de vrios mtodos e tambm existem problemas

mais simples ao lado de outros mais complicados. Em vez de uma dicotomia, temos um

continuum entre exerccio e problema e o seu interesse educativo depende de muitos

factores para alm do seu grau de dificuldade.

Os exerccios e os problemas tm uma coisa em comum. Em ambos os casos, o seu

enunciado indica claramente o que dado e o que pedido. No h margem para

ambiguidades. A soluo sabida de antemo, pelo professor, e a resposta do aluno ou

est certa ou est errada. Numa investigao, as coisas so um pouco diferentes. Trata-

se de situaes mais abertas a questo no est bem definida partida, cabendo a

quem investiga um papel fundamental na sua definio. E uma vez que os pontos de

partida podem no ser exactamente os mesmos, os pontos de chegada podem ser

tambm diferentes.

Na disciplina de Matemtica, como em qualquer outra disciplina escolar, o

envolvimento activo do aluno uma condio fundamental da aprendizagem. O aluno

aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afectivos com vista a atingir um

objectivo. Este , precisamente, um dos aspectos fortes das investigaes. Ao requerer a

participao do aluno na formulao das questes a estudar, esta actividade tende a

favorecer o seu envolvimento na aprendizagem.

O conceito de investigao matemtica, como actividade de ensino-aprendizagem, ajuda

a trazer para a sala de aula o esprito da actividade matemtica genuna, constituindo,

por isso, uma poderosa metfora educativa. O aluno chamado a agir como um

matemtico, no s na formulao de questes e conjecturas e na realizao de provas e

Captulo 1 9

refutaes, mas tambm na apresentao de resultados e na discusso e argumentao

com os seus colegas e o professor.

No advogamos neste livro que o professor se limite a propor aos seus alunos a

realizao de investigaes. H, sem dvida, lugar para os exerccios, os problemas, os

projectos e as investigaes. O grande desafio articular estes diferentes tipos de tarefas

de modo a constituir um currculo interessante e equilibrado, capaz de promover o

desenvolvimento matemtico dos alunos com diferentes nveis de desempenho.

1 Henri Poincar (1854-1912) destacou-se pelos seus trabalhos em Anlise Infinitesimal, sendo tambm considerado o fundador da Topologia. A anlise do trabalho de investigao matemtica aqui referida foi realizada numa conferncia apresentada na Sociedade de Psicologia de Paris, no incio do sculo, publicada originalmente em 1908 no Bulletin de lInstitut Gneral de Psycologie, n. 3, e republicada em Abrantes, Leal e Ponte (1996). 2 Poincar (1996, p. 9). 3 Poincar (1996, pp. 11-12). 4 George Plya (1887-1985) deixou importantes trabalhos em numerosas reas da Matemtica. o autor de vrios livros dedicados resoluo de problemas, entre os quais o famoso How to solve it, traduzido como A arte de resolver problemas. 5 Plya (1975, p. vii). 6 Bento de Jesus Caraa (1901-1948) foi um matemtico portugus, conhecido pelas suas capacidades de divulgador e como exemplo de interveno cvica. A passagem aqui reproduzida retirada de um dos seus livros mais conhecidos, os Conceitos Fundamentais da Matemtica. 7 Caraa (1958, p. xiii). 8 Stewart (1995, p. 17). 9 Singh (1998, p. 184). 10 Pierre de Fermat (1601-1665), um dos grandes matemticos do sculo XVII. Os elementos aqui indicados foram retirados de J. Sebastio e Silva (1967, pp. 14-15). 11 Wiles apresentou uma primeira demonstrao em 1993, que se viria a revelar incompleta. No ano seguinte, no entanto, apresentou uma nova demonstrao, realizada em colaborao com um ex-aluno, que viria a ser aceite pela comunidade matemtica. 12 Singh (1998, p. 93). 13 Plya (1981, pp. 157 e 101). 14 Hadamard (1945, p. 104). 15 Braumann (2002, p. 5). 16 Carlos Braumann tem-se dedicado ao estudo de modelos matemticos em Biologia. As referncias ao seu trabalho so retiradas de uma conferncia realizada em Coimbra, em Maio de 2002, no XI Encontro de Investigao em Educao Matemtica (Braumann, 2002). 17 A presente discusso tem por base o trabalho realizado por Ponte, Ferreira, Varandas, Brunheira e Oliveira (1999).