polinômios resolvidos
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�
Resolução das atividades complementares
MatemáticaM23 — Polinômios p. 68
2 Seja o polinômio P(a 1 2) 5 2a2 2 3a 1 1.a) Calcule P(21) e P(4). b) Determine P(a).
3 (UnB-DF) Considere um polinômio P(x) do 3o grau com coeficientes reais. Dado que 2 é raiz de P(x) e que o seu gráfico contém os pontos (0, 2), (1, 1) e (3, 5), calcule P(5).
1 Considere o polinômio P(x)3x
.52 2
1
x
x x
2 1
1 Determine os valores de P(1) e P(22).
P(21) 5 28 e P(4) 5 3 P(a) 5 2a2 2 11a 1 15
P(1) 5 0; P(22) 5 221
57
Resolução:P(x) 5 (x2 2 3x) ? x 1 (x 1 1) 5 x3 2 3x2 1 x 1 1P(1) 5 13 2 3 ? 12 1 1 1 1 5 0P(22) 5 (22)3 2 3 ? (22)2 1 (22) 1 1 5 28 2 12 2 2 1 1 5 221
Resolução:a) a 1 2 5 21 ⇒ a 5 23 Substituindo a 5 23 no polinômio dado, temos: P(23 1 2) 5 P(21) 5 2 ? (23)2 2 3(23) 1 1 5 2 ? 9 1 9 1 1 5 28 a 1 2 5 4 ⇒ a 5 2 Substituindo a 5 2 no polinômio dado, temos: P(2 1 2) 5 P(4) 5 2 ? 22 2 3 ? 2 1 1 5 3b) a 1 2 5 x ⇒ a 5 x 2 2 P(x) 5 2 ? (x 2 2)2 2 3(x 2 2) 1 1 5 2x2 2 11x 1 15 Fazendo x 5 a, temos: P(a) 5 2a2 2 11a 1 15.
Resolução:P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 dP(2) 5 8a 1 4b 1 2c 1 d 5 0 (I)P(0) 5 d 5 2P(1) 5 a 1 b 1 c 5 21 (II)P(3) 5 27a 1 9b 1 3c 5 3 (III)
De I, II e III, vem:8a 4b 2c
a b c
27a 9b 3c
1 1 5 2
1 1 5 2
1 1 5
2
1
3
Daí: a 5 1, b 5 23 e c 5 1.P(x) 5 x3 2 3x2 1 x 1 2P(5) 5 53 2 3 ? 52 1 5 1 2 5 57
�
4 (Uniube-MG) O grau do polinômio q(x) 5 (x 2 1)(x 2 2)2 (x 2 3)3 ... (x 2 100)100 é igual a:a) 100 b) 100! c) 5 050 d) 10 100
5 Qual é o polinômio que, subtraído de A(x) 5 2x3 2 x2 2 4x 1 5, resulta no polinômio B(x) 5 x2 1 3x 2 1?
6 (UERN) Se A(x) 5 x2 2 x 1 1, B(x) 5 (x 2 2)2 e C(x) 5 23x, então A(x) 1 B(x) ? C(x) vale:a) 23x3 1 13x2 2 13x 1 1 c) 23x3 1 15x2 2 15x e) 3x3 2 15x2 1 15xb) 23x3 1 13x2 1 13x 1 1 d) 23x3 2 15x2 2 15x
7 Sabendo que P(x) 5 x3 1 (a 2 2)x2 1 (b 2 4)x 2 3 admite as raízes 1 e 21, calcule os valores de a e b.
8 Dados A(x) 5 (a 1 1)x2 1 (b 2 1)x 1 c e B(x) 5 ax2 1 bx 2 3c, calcule a, b e c, para que A(x) 1 B(x) 0.
a 5 5 e b 5 3
2x3 2 x 1 4
a 5 2 5 512
; b 12
; c 0
Resolução:C(x) 2 A(x) 5 B(x) C(x) 5 2x3 2 x2 2 4x 1 5 1 x2 1 3x 2 1C(x) 5 A(x) 1 B(x) C(x) 5 2x3 2 x 1 4
Resolução:A(x) 1 B(x) ? C(x) 5 (x2 2 x 1 1) 1 (x 2 2)2 ? (23x) 5 x2 2 x 1 1 1 (x2 2 4x 1 4)(23x) 55 x2 2 x 1 1 2 3x3 1 12x2 2 12x 5 23x3 1 13x2 2 13x 1 1
Resolução:P(1) 5 13 1 (a 2 2)12 1 (b 2 4)1 2 3 5 0a 1 b 2 8 5 0 (I)P(21) 5 (21)3 1 (a 2 2)(21)2 1 (b 2 4)(21) 2 3 5 0a 2 b 2 2 5 0 (II)
a b
a ba
1 5
2 5
5 5 5
8
23
2a 10 5 e b⇒
Resolução:O grau do polinômio é dado pela sooma dos termos da PA (1, 2, 3, ..., 100).
Snn 100
)n2
S(1 )
2gr(q)5
15
1 ?5 5
(a an1 100 1005 050 5 0 550
Resolução:
a 1 a 2a
b 1 b 2b
1 1 5 1 5 5 2
2 1 5 5
0 1 0 12
0 1
⇒ ⇒
⇒ ⇒
a
bb
c
5
2 5 2 5 5
12
0 0c 3c 0 2c⇒ ⇒
�
12 (Fuvest-SP) Considere o polinômio não-nulo P(x) tal que [P(x)]3 5 x2[P(x)] 5 x[P(x2)], para todo x real.a) Qual é o grau de P(x)? b) Determine P(x).
9 Ache a, b e c de modo que o polinômio P(x) 5 (a 1 1)x2 1 (3a 2 2b)x 1 c seja identicamente nulo.
10 (UFPA) O polinômio P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d é idêntico a Q(x) 5 5x2 2 3x 1 4. Então, podemos dizer que a 1 b 1 c 1 d é igual a:a) 6 c) 4 e) 23b) 5 d) 0
11 (UFJF-MG) Determine as constantes reais A, B e C que satisfazem à igualdade
2x 25x5)(x )
Bxx
, para x2
2 22 2
2 15
21
1
1
291 5 1(x
Ax
C IR e x 5.
P(x) 5 x ou P(x) 5 2x
A 5 24; B 5 6 e C 5 5
1
Resolução:
a a c1 5 5 2 2 5 5 5 2 51 0 1 0 32
0⇒ ⇒ ⇒3a 2b 3a 2b b
Resolução:
P(x) Q(x) ax bx cx d 5x 3x 03 2 2 1 1 1 2 1 54 a ;; 5; 3 e dLogo, a b 6.
b cc d
5 5 2 5
1 1 1 5
4
Resolução:Reduzindo ao mesmo denominador, teemos:2x 25x(x 5)(x 1)
A(x 1) (Bx C)(2
2
22 2
2 15
1 1 129 xx )(x 5)(x 1)
2x 25x(x 5)(x 1)
Ax A
2
2
2
2
2
2 1
2 2
2 15
1
5
29 11 2 1 2
2 1
2 2
2
Bx 5Bx Cx 5C(x 5)(x 1)
2x 25x(x 5)(x
2
2
2 2922
2
21)(A B)x 5B C)x A 5C
(x 5)(x 1)15
1 1 2 1 1 2
2 1
(
Igualando os coeficientes, temos:A
5B
1 5
2 1
B
C
2
55 2
2 5 2
5 2
5
5
25
29
4
6
5A 5C
⇒A
B
C
Resolução:
a) grau [P(x)] [P(x)]grau
3 5 ? ?3 grauxx [P(x)] grau [P(x)]
grau x [P(x )] 2
2
2
? 5 1
? 5 1
21 ggrau [P(x)]
3 grau [P(x)] grau [P(x)]3 gr
5 12aau [P(x)] grau [P(x)] 2
Então, grau [P(x)]2 5
5 11.b) Como grau [P(x)] 1, então: P(x) b.
(5 5 1ax
aax (ax b)
x (ax x(ax b)(ax) 3
2 2
3
1 5 1
1 5 1
1
b x
b
)
)
3 2
((ax) 3axb ax
ax ax xb
2 3
3 3
2 3 2
2
? 1 1 5 1
1 5 1
b b bx
bx
a x 3a x 3axb ax bx (I)
bx bx 0
3 3 2 2 2 3 2
2
1 1 1 5 1
2 5 5
b b
b
3
0 ⇒Substituindo em (I), temos:a x axa x
3 3 3
3 3
5
22 5
2 5
2 5 5 5
5
axax (a 1)
ax 0 e a
Co
3
3 2
3
00
1 0 01
2a oua
mmo é grau 1, então: 1 e bP(x) x ou P
a 5 5
5
0.((x) 5 21x
a 5 2 5 2 51; b e c32
0
�
15 (UFG) Seja f uma função definida por f(x)x(x 1)
.511
a) Determine os números A e B de modo que f(x)x 1
.5 11
Ax
B
b) Considerando o resultado anterior, mostre que: f(1) f(2) f(100) 100101
1 1 1 5... .
13 (Faap-SP) Calcule a, b, c e d para que o polinômio P1(x) 5 a(x 1 c)3 1 b(x 1 d) seja idêntico aP2(x) 5 x3 1 6x2 1 15x 1 14.
14 (UFPE) Determine p e q reais tais que x(x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 1 1 5 (x2 1 px 1 q)2. Indique p2 1 q2.
p. 69
a 5 1; b 5 3; c 5 2 e d 5 2
10
A 5 1 e B 5 21
Resolução:P1(x) P2(x) ⇒ a(x 1 c)3 1 b(x 1 d) x3 1 6x2 1 15x 1 14ax3 1 3acx2 1 (3ac2 1 b)x 1 (bd 1 ac3) x3 1 6x2 1 15x 1 14
Igualando os coeficientes correspondentes, ttemos:
a
3ac
3ac
bd ac
2
3
5
5
1 5
1 5
1
6
15
14
b
Resolvendo o sistema, obtemos: a 5 1, b 5 3, c 5 2 e d 5 2.
Resolução:x(x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 1 1 5 (x2 1 px 1 q)2
x4 1 6x3 1 11x2 1 6x 1 1 5 x4 1 2px3 1 (p2 1 2q)x2 1 2pqx 1 q2
Igualando os coeficientes, temos:
2p
p 2q2
5
1
6
55
5
5
5
5
11
6
1
3
12pq
q2
⇒p
q
Portanto: p2 1 q2 5 9 1 1 5 10.
Resolução:
a) 1x(x 1)
Ax x 1
, ou seja, 1x(x1
5 11 1
B11)
(A B)xx(x 1)
(A B)x
Temos, então,
51 1
11 1
a A 1
oo sistema linear: 1 e B
b)
A B
AA
1 5
55 5 2
0
11
⇒
DDo resultado anterior, temos que:
f(1) 12
5 21 ;; f(2) 13
; f(3) 14
; ...; f(99) 15 2 5 2 5 212
13
199 1100
; f(100)
Logo:
f(1) f(2) f(
5 2
1 1 1
1100
1101
... 1100) 5 2 1 2 1 2 1 1 21 12
12
13
13
14
199
1100( ) ( ) ( ) ( )... 11 21
1001
101( )A segunda parcela de cada parênntese, exceto a do último, cancela com a prrimeira parcela do parêntese
subseqüente: f((1) f(2) f(100)1 1 1 5 2 5... .1 1101
100101
�
16 (UFU-MG) Dividindo-se o polinômio p(x) por x2 1 4x 1 7, obtêm-se x2 1 1 como quociente e x 2 8 como resto. É correto afirmar que o coeficiente do termo de grau 2 é:a) 21 c) 8 e) 1b) 4 d) 5
17 (UFPel-RS) Para que o polinômio x3 1 2x2 2 3x 1 m dê resto 3 quando dividido por (x 1 1), m deve valer:a) 1 c) 3 e) 7b) 21 d) 27
18 (UFSM-RS) Dividindo-se o polinômio p(x) 5 x3 1 x2 1 x 1 1 pelo polinômio q(x) obtém-se o quocien-te s(x) 5 1 1 x e o resto r(x) 5 x 1 1. Pode-se afirmar que:a) q(2) 5 0 c) q(0) 0 e) q(1) 1b) q(1) 0 d) q(3) 5 0
19 (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por x2 2 x resulta no quociente 6x2 1 5x 1 3 e resto 27x. Qual o resto da divisão de P(x) por 2x 1 1?
p. 76
5
Resolução:p(x) 5 (x2 1 4x 1 7)(x2 1 1) 1 x 2 8 ⇒ p(x) 5 x4 1 x2 1 4x3 1 4x 1 7x2 1 7 1 x 2 8p(x) 5 x4 1 4x3 1 8x2 1 5x 2 1O coeficiente de x2 é igual a 8.
Resolução:p(x) 5 x3 1 22 2 3x 1 mPelo teorema do resto, P(21) 5 3; então: (21)3 1 2(21)2 2 3(21) 1 m 5 3 ⇒ m 5 21.
Resolução:p(x) 5 x3 1 x2 1 x 1 1; s(x) 5 1 1 x; r(x) 5 x 1 1p(x) 5 q(x) ? s(x) 1 r(x) e q(x) 5 ax2 1 bx 1 cx3 1 x2 1 x 1 1 5 (ax2 1 bx 1 c)(1 1 x) 1 (x 1 1)x3 1 x2 1 x 1 1 5 ax2 1 ax3 1 bx 1 bx2 1 c 1 cx 1 x 1 1x3 1 x2 1 x 1 1 5 ax3 1 (a 1 b)x2 1 (b 1 c 1 1)x 1 c 1 1
a 5 1a 1 b 5 1 ⇒ b 5 0b 1 c 1 1 5 1 ⇒ c 5 0Logo, q(x) 5 x2 ⇒ q(1) 5 1.
Resolução:P(x) (6x 5x 3)(x x)P(x) 6x
2 2
4
5 1 1 2 2
5 2
7xxx 2x 10x
2x
3 22 2
1 5 5 2
5 2 5 2 2 2
1 0 12
12
6 12
4
⇒
⇒
x
r p r( ) ( ) 112
2 12
10 12
6 116
18
12
5 5
3 2( ) ( ) ( )2 2 2 2
5 ? 1 2 1 5r
�
20 (UFOP-MG) Sejam os polinômios P(x) 5 x 2 3 e Q(x) 5 4(A 1 B)x2 1 2(B 1 C 2 A)x 1 (A 1 C).
a) Determine A, B, C IR, de modo que P(x 3)2 5 Q x2( ).
b) Determine o quociente e o resto da divisão de Q(x) por P(x).
21 (UFPE) Considere o polinômio p(x) 5 3x3 2 mx2 1 nx 1 1, em que m e n são constantes reais. Sabe-se que p(x) é divisível por g(x) 5 x 2 2 e que deixa resto igual a (212) quando dividido por h(x) 5 x 1 2.Nessas condições, tem-se:
a) 9 e n c) e n e)
b) e n
m m m n
m
5 2 5 5 5 5 5
5 5 2
74
9 5 6
74
99 74
74
d) e nm 5 2 5
p. 77
A B C5 2 5 5 273
73
113
; e
2 e 0
Resolução:a) P(x 3)
4(A B) 2(B
2 5 2
5 1 1
x
Q x x6
2 2
2( ) ( ) 11 2 1 1
5 1 1 1 2 1 1
C ) (A C)
(A B)x (B C A)x2
A x
Q x A C
A
2
2
( )( )
11 5 5 2
1 2 5 1 5
1 5 2 2 5
B A B
B C A C
A C C
0
1 1
6 6
⇒⇒
⇒2B (I)
B (II)
De (I) e (II), vem: B e C 113
Ent
5 5 273
.
ãão: A 73
b) A 73
B 73
5 2
1 5 2 5 1 2 5 2 1 5 5
.
B C A73
0 113
73
33
11
73
113
183
6A C
A
1 5 2 2 5 2 5 2
5 1 1 1 2Q(x) 4(A B)x 2(B C )2 xx Q(x) 6)
Q(x) 2x 2(x 3)Q(
1 1 5 ? 1 2
5 2 5 2
( ) (A C x⇒ ⇒⇒
2 1
6xx)
P(x)2(x 3)
x
Q(x) é divisível por P(x
52
25
32
)); portanto, o resto é zero.
Resolução:p(2) 4m 2np( 2)
5 2 1 1 5
2 5 2 2 2
0 24 1 012 24
⇒⇒ 44m 2n
Daí:4m
4m
m
2 1 5 2
2 1 5 2
2 2 5
5
1 12
2 25
2 11
7n
n
⇒ 449n 5 2
�
22 (Unimep-SP) O resto da divisão do polinômio (x2 1 x 2 1)60 1 (x 2 2)30 por x 2 1 é:a) 21 c) 1 e) nenhuma das alternativasb) 0 d) 2 anteriores
23 (UFPI) Seja R(x) o resto da divisão do polinômio P(x) 5 x5 2 10x3 1 6x2 1 x 2 7 porD(x) 5 x(x 2 1)(x 1 1). Então, pode-se afirmar que: a) R(1) 5 29 c) R(21) 5 8 e) R(x) 5 x2 2 8x 1 7b) R(0) 5 7 d) R(2) 5 2
24 (Uneb-BA) Se o polinômio ax3 1 3x2 2 8x 1 b é divisível por x2 2 4, então ab é igual a:a) 224 c) 2 e) 24b) 26 d) 6
25 (UFPA) O polinômio P(x) 5 x4 2 ax2 1 bx é divisível por x 1 3 e o resto de sua divisão por x 2 1 é a abscissa do ponto médio do segmento MN, em que M(29, 3) e N(215, 24).Encontre os valores de a e b. a 5 10 e b 5 23
Resolução:x 5 1: (1 1 1 2 1)60 1 (1 2 2)30 5 1 1 1 5 2
Resolução:Se p(x) 5 ax3 1 3x2 2 8x 1 b é divisível por x2 2 4, então é divisível por (x 1 2)(x 2 2). Logo:p(22) 5 0 ⇒ 28a 1 12 1 16 1 b 5 0p(2) 5 0 ⇒ 8a 1 12 2 16 1 b 5 0
Daí:8a
8a
2 1 5 2
1 5
5
5 2
b
b
a
b
28
4
2
12
⇒
Logo: ab 5 2(212) 5 224.
Resolução:
D(x) x(x 1)(x 1)0x 10x3
5 2 1 5 2
1 2 1
x xx
3
5 4 66x
9x 6x9x 9x
R(
2
3 2
3
1 2 2
2 1 2
2 1 1 2
1 2
x x x
x x x
x
7
9
7
3
5 3 2
xx) 6x 8xR(1)
25 2 2
5 ? 2 ? 2 5 2
76 1 8 1 7 92
Resolução:
x
x x
m 52 2
5 2
2 5 5
5 2
2
9 152
12
1 0 112
14
⇒P(1)
aa ba b
x
? 1 ? 5 2
2 1 5 2
1 5 5 2
1 1 1213
3 0 3
2
(I)x ⇒
P a bb
( ( ( (2 5 2 2 ? 2 1 ? 2 5
2 2 5 2
3) 3) 3) 3)3a (II)
4 20 027
⇒
DDe (I) e (II), vem:
3a4a
2 1 5 2
2 2 5 2
2
a b
b
13
27
55 2 5 5 240 1 3⇒ a 0 e b
�
26 (Vunesp-SP) Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 mx2 1 m2x 2 m3, em que m IR.Sabendo-se que 2i é raiz de p(x), determine:a) os valores que m pode assumir;b) dentre os valores de m encontrados em a, o valor de m tal que o resto da divisão de p(x) por (x 2 1) seja 25.
27 (UnB-DF) O polinômio p(z) 5 z3 1 mz 1 n 1 p é divisível por z 1 i e deixa resto p na divisão porz 2 i, em que i é a unidade imaginária.Para m, n, p reais, determine o valor de m 1 n 1 p.
28 (Fuvest-SP) Determinar um polinômio P(x) de grau 4, divisível por (x 2 1)(x 1 1)(x 2 2), sabendo-se que P(0) 5 0 e que o resto da divisão de P(x) por x 1 2 é 48. P(x) 5 2x4 2 4x3 2 2x2 1 4x
2 ou 22
2
1
Resolução:a) Se 2i é raiz, temos: p(2i) 5 0 ⇒ (2i)3 2 m(2i)2 1 m2(2i) 2 m3 5 0 28i 1 4m 1 2m2i 2 m3 5 0 24(2i 2 m) 1 m2(2i 2 m) 5 0 ⇒ (2i 2 m) ? (m2 2 4) 5 0 Daí: 2i 2 m 5 0 ⇒ m 5 2i (não satisfaz, pois não é real) m2 2 4 5 0 ⇒ m2 5 4 ⇒ m 5 2 ou m 5 22b) m 5 2: p(x) 5 x3 2 2x2 1 4x 2 8 p(1) 5 1 2 2 1 4 2 8 ⇒ p(1) 5 25 m 5 22: p(x) 5 x3 1 2x2 1 4x 1 8 p(1) 5 1 1 2 1 4 1 8 ⇒ p(1) 5 15 Logo, o resto da divisão de p(x) por (x 2 1) é 25, se m 5 2.
Resolução:p(z) 5 z3 1 mz 1 n 1 p p(i) 5 i3 1 mi 1 n 1 p p(i) 5 pp(2i) 5 2i3 1 m(2i) 1 n 1 p p(2i) 5 0 2i 1 mi 1 n 1 p 2 p 5 0 i 2 mi 1 n 1 p 5 0 i(m 2 1) 1 n 5 0i 1 0 n 5 0 e p 5 0 i(1 2 m) 1 n 1 p 5 0i 1 0 m 1 n 1 p 5 1 1 0 1 0 5 1 i 2 m 5 0 ⇒ m 5 1 n 1 p 5 0 ⇒ n 5 2p
Resolução:P(x) 5 ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e De (I) e (II), vem: a 5 2c.P(0) 5 0 ⇒ e 5 0 De (III) e (IV), vem: 32a 1 8c 5 48.P(1) 5 0 ⇒ a 1 b 1 c 1 d 5 0 (I) Daí: a 5 2, c 5 22, b 5 24 e d 5 4.P(21) 5 0 ⇒ a 2 b 1 c 2 d 5 0 (II) Então: P(x) 5 2x4 2 4x3 2 2x2 1 4x.P(2) 5 0 ⇒ 16a 1 8b 1 4c 1 2d 5 0 (III)P(22) 5 0 ⇒ 16a 2 8b 1 4c 2 2d 5 48 (IV)
�
29 (FURRN) Um polinômio P, dividido por x 2 1 e x 1 3, dá restos 22 e 1, respectivamente. Então, o resto da divisão de P por (x 2 1)(x 1 3) é:
a) c) e)
b) d)
34
54
34
54
34
52
34
54
34
54
x x x
x x
1 2 2
2 1 2 2
30 (Furg-RS) Na divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x 2 a), ao usar o dispositivo prático Briot-Ruffini, encontrou-se:
Os valores de a, q, p e r são, respectivamente:a) 22, 1, 26 e 6 c) 2, 22, 22 e 26 e) 2, 1, 24 e 4b) 22, 1, 22 e 26 d) 2, 22, 1 e 6
31 (EEM-SP) O teorema da decomposição para polinômios afirma que:Todo polinômio p(x) 5 a0x
n 1 a1xn 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 a0 pode ser decomposto em n fatores de 1o grau
multiplicados pelo coeficiente a0, isto é, a0xn 1 a1x
n 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 a0 5 a0(x 2 x1)(x 2 x2) ... (x 2 xn), em que x1, x2, ..., xn são as raízes de p(x) 5 0.Com base nesse teorema, escreva:a) a expressão geral dos polinômios de grau 5 que admitem 1, 2, 3, 4 e 5 como raízes;b) a expressão, na forma fatorada, do polinômio cuja expressão geral foi obtida no item anterior e que
satisfaça p(0) 5 4!.
22 1 p 23 4 25
q 24 5 r 7
22 1 p 23 4 25
q 24 5 r 7
Resolução:Observando o dispositivo de Briot-Ruffini dado:
Resolução:
P(x) Q(x) (x 1)(x 3) axP(1) 2
5 ? 2 1 1 1
5 2
b⇒ aa b 2
P( 3) 1 3a b 1
Resolvendo o sistema:1 5 2
2 5 2 1 5⇒
a 34
; b 54
Portanto: R(x) ax 34
x 54
5 2 5 2
5 1 5 2 2b
Temos: a 5 22; q 5 1 q ? (22) 1 p 5 24 ⇒ p 5 22 5 ? (22) 1 4 5 r ⇒ r 5 26
Resolução:a) P(x) 5 a0(x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)(x 2 4)(x 2 5) P(x) 5 a0(x
5 2 15x4 1 85x3 2 225x2 1 274x 2 120)b) Se P(0) 5 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24, temos: P(0) 5 a0(0 2 1)(0 2 2)(0 2 3)(0 2 4)(0 2 5) 5 24
a a
x x
0 024 15
15
1
(
( )(
2 5 5 2
5 2 2
120)
Portanto: P(x)
⇒
22 2 2 22 3 4 5)( )( )( ).x x x
�0
32 (UERJ) A figura representa o gráfico de um polinômio e de uma reta r que lhe é secante nos pontos A(2, 23) e B(4, 15).a) Determine o resto da divisão de P(x) por x 2 4.b) Mostre que a reta r representa graficamente o resto da divisão de P(x) por (x 2 2)(x 2 4).
33 (UEL-PR) Considere os polinômios p(x) 5 2x 1 1 e q(x) 5 x3 2 x. É correto afirmar:a) Os polinômios p(x) e q(x) não possuem raiz em comum.b) O gráfico de p(x) intercepta o gráfico de q(x).c) O polinômio p(x) possui uma raiz dupla.d) O resto da divisão de q(x) por p(x) é diferente de zero.e) O polinômio q(x) possui uma raiz dupla.
2
4�3
15
A
B
ry
x
15
Resolução:Analisando o gráfico:a) P(4) 5 15; logo, o resto da divisão de P(x) por (x 2 4) é 15.b) P(x) 5 Q(x) ? D(x) 1 R(x); D(x) 5 (x 2 2)(x 2 4) gr(P) 5 3, pois o gráfico de P corta o eixo Ox em 3 pontos. gr(D) 5 2 e gr(R) < 1 ou R(x) 5 0 R(x) 5 ax 1 b
P(x) 5 (x 2 2)(x 2 4) ? Q(x) 1 ax 1 b
Pelo gráfico: P(2) 5 23 ⇒ (2 2 2)(2 2 4) ? Q(2) 1 2a 1 b 5 23 P(4) 5 15 ⇒ (4 2 2)(4 2 4) ? Q(4) 1 4a 1 b 5 15
2a 1)
4a2a 9 e b 21; log
1 5 2 2
1 5
5 5 5 2
b
ba
3
1518
(
⇒ oo, R(x) 9x (I)
Vamos encontrar a equação
5 2 21
dda reta que passa por (4, 15) e (2, ):23x y 11
4 15 1
2 3
0 9 21
2
5 5 2
1
(II)
Comparando (I) e (I
⇒ y x
II), verificamos que representa o resto dr aa divisão de P(x) por (x 2)(x 4).2 2
Resolução:p(x) 5 2x 1 1 q(x) 5 x3 2 xraiz: p(x) 5 0 raízes: x3 2 x 5 0 2x 1 1 5 0 x(x 1 1)(x 2 1) 5 0 x 5 1 x 5 0 ou x 5 21 ou x 5 1a) Não, pois p(x) e q(x) possuem a raiz 1 em comum.b) Sim, pois os gráficos de p(x) e q(x) se interceptam no ponto (1, 0).c) Não, pois p(x) possui uma única raiz.d) Não, pois q(x) 5 (2x2 2 x) ? p(x).e) Não, pois as três raízes de q(x) são simples.
��
34 (Vunesp-SP) Considere um polinômio da forma f(x) 5 x3 1 (cos u)x.Sendo i a unidade imaginária, demonstre que f(x) é divisível por x 2 i (sobre o corpo dos complexos) se, e somente se, u 5 2kp (k ⁄Z).
35 (Fuvest-SP) P(x) é um polinômio de grau > 2 e tal que P(1) 5 2 e P(2) 5 1.Sejam D(x) 5 (x 2 2)(x 2 1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x).a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x).b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8, determine o termo independente de Q(x).
36 (Unifor-CE) Sejam os polinômios f(x) 5 (3a 1 2)x 1 2 e g(x) 5 2ax 2 3a 1 1 nos quais a é uma constante. O polinômio f ? g terá grau 2 se, e somente se:
a) 0 e a c) 0 e) 0 e a
b) 13
e a
a a a
a
2
2
13
23
233
23
d) a 2
2x 1 352
Resolução:f(x) 5 x3 1 (cos u)xf(i) 5 i3 1 i cos u ⇒ f(i) 5 2i 1 i cos u ⇒ f(i) 5 2i(1 2 cos u) (I) Se f(x) é divisível por (x 2 i), temos: f(i) 5 0, ou 2i(1 2 cos u) 5 0; como 2i 0, então: 1 2 cos u 5 0. Logo, cos u 5 1, ou seja, u 5 2kp (k ⁄Z). (II) Se u 5 2kp (k ⁄Z), então: cos u 5 1, ou seja, cos u 2 1 5 0. Logo, f(i) 5 0, isto é, f(x) é
divisível por (x 2 i).
Resolução:a) Seja R(x) o resto da divisão de P(x) por D(x).
Como D(x) é um polinômio de grau 2, podemos concluir que R(x) é da forma ax 1 b, em que a e b são constantes.
Então, temos:
P(x) (x 2) (x 1)
D(x)
Q(x) ax b
R(x)
2 ? 2 ? 1 1� ��� ��� ����
P(1)P(2) 2a
Resolvendo o sis
5 1 5
5 1 5
2 21 1
⇒⇒
a bb
ttema2a
a, obtemos:
a 1 e bPo
1 5
1 5
5 2 5
b
b
1
23
.rrtanto, o resto da divisão de P(x) por D(x)) é
2 1x 3.
Resolução:O polinômio f ? g terá grau 2 se: (3a 1 2) ? 2a 0.6a 4a 2a(3a 2)
2a 3a
2 1 1
1
2
0 00 2 0
0 23
⇒
a a
b) O termo independente de P(x) é 8, isto é, P(0) 5 8. Do item a, temos que:
P(x) (x 2)(x 1) Q(x) 3;então, P(0) (0 2)(
2 2 ? 2 1
5 2
x22 1) Q(0) 0 3,
ou seja, P(0) Q(0)
Logo,
2 ? 2 1
5 ? 12 3.
2 Q(0) Q(0)
Portanto, o termo inde
? 1 5 53 8 52
.
ppendente de Q(x) é 52
.
p. 78
��
37 (Unicamp-SP) O polinômio P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 2 satisfaz as seguintes condições:P(
P(x) P( x
, qualquer que se3
2 5
2 2 5
1 0)
)
e
x
jja real. Então:x
a) P(1) 5 21 c) P(2) 5 0 e) P(2) 5 12b) P(1) 5 0 d) P(2) 5 28
38 (FGV-SP) Sendo P(x) 5 4x6 1 2x5 2 2x4 1 x3 1 ax2 1 bx 1 e G(x) 5 2x3 1 x2 2 2x 1 1, determine os valores de a, b e que tornam P(x) divisível por G(x) e também o polinômio Q(x), quociente da divisão de P(x) por G(x).
39 (MACK-SP) Se P(x) = 2x2 1 kx 1 2 é divisível por x 1 2, então 2k vale:a) 32 c) 8 e) 4b) 16 d) 64
Resolução:
P P a b c( ( ( ( (2 5 2 5 ? 2 1 ? 2 1 ?1) 1) 1) 1)3 20 ⇒ 22 1 5 2 1 2 5 2
2 2 5 1 1
1)P(x) x) (ax bx cx3 2
2 0 23
⇒⇒
a b cP x( 11 2 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 5
1
2) [a x) b x) c x) 2]
ax bx
3 2
3 2
( ( ( x3 ⇒⇒ 11 1 1 2 1 2 5
1 55 5
cx 2 ax bx cx x
2ax 2cx2a
3 2 3
3
2
13
⇒
⇒ ⇒⇒
xa 11
22c
Log
5 5
2 1 2 5 2 5 2 1 5 2
0 012
0 2 2 12
32
⇒
⇒
c
b b
( )oo, P(x) 2. Então:
P(1)
P
5 2 1
5 2 1 5
12
32
12
32
2 1
3 2x x
((2) P(2)5 ? 2 ? 1 5 2 1 5 512
8 32
4 2 4 6 2 0 0⇒
a 5 23; b 5 3; 5 21 e Q(x) 5 2x3 1 x 2 1
Resolução:Se P(x) é divisível por x 1 2, então P(22) 5 0:2 ? (22)2 1 k ? (22) 1 2 5 0 ⇒ 8 2 2k 1 2 5 0 ⇒ k 5 5, daí: 2k 5 25 5 32.
Resolução:
4x 2x 2x x x x 2x6 5 4 3 21 2 1 1 a 1 b 1 1 2 12 3 2x x 11
2 2 132 2 1 2 1 2 5
2 1 a 1 b
4x 2x 4x x Q(x)
2x x x x
6 5 4 3
4 3 2
x x
11
2 2 1 2
2 1 a 1 1 b 2 1
1
2x x x x
2x ( 2)x ( 1)x2x x
4 3 2
3 2
3 2
2
22 1
a 1 1 b 2 1 1
2
1
x 1
( 3)x ( 3)x
Se P(x) é divisível
2
por G(x), o resto é zero; logo:3 3a 1 5 b 2 50 0 1 5
a 5 2 b 5 5 2
13
03 1
��
40 (UFU-MG) Considere o polinômio P(x) 5 3x3 2 x2 1 ax 1 9, em que a é uma constante real. Se P(x) é divisível por x 1 3, então ele também é divisível por:a) x2 1 9 c) 3x2 1 10x 2 3 e) 3x2 2 9b) x2 2 9 d) 3x2 1 10x 1 3
41 (MACK-SP) Se o polinômio P(x) 5 x3 1 3x2 1 a 2 2b é divisível por (x 2 a)2 ? (x 2 b), então o produto dos números reais a e b é:a) 22 c) 23 e) 3b) 4 d) 2
Resolução:
Se P(x) é divisível por (x a) (x22 ? 22 b), suas raízes são , e . Aplicando aa a b ss relações de Girard, temos:a a b
a a a
1 1 5 2
? 1 ?
3
bb a b
a
b
a1 ? 5
5 2 1
1 5 2 5 2 2
10
3 32
a b 2b
2a b 2a
2a2
⇒⇒
bb
a b a 2b
Substituindo na segunda e
2
5
5 2 1
0
qquação, teremos:
a 2 2a) a 6a 4a2 2 21 2 2 5 2 2 5a( 3 0 0⇒ ⇒⇒⇒ ⇒ ⇒2 2 5 2 1 5 5 5 2
5 2
3a 6a 3a(a 2) 0 0 ou a
Com
2 0 22
aa
oo b 2a, teremos: b 2) 1.O prod
5 2 2 5 2 2 ? 2 53 3 2 ( ⇒ buuto a b será 2) 1, ou seja,? 2 ? 2( .2
Resolução:Se P(x) é divisível por x 3, P 31 2( )) 0:P 3) 3 3) 3) 3) 33 2
5
2 5 ? 2 2 2 1 ? 2 1 5 2 2 2( ( ( (a 9 0 81 9⇒ aaP(x) 3x x 27x
x 27x 9
3 2
1 5 5 2
5 2 2 1
2 2 1 1
9 0 279
3 3 2
⇒ a
x x 33
3 3
9
3 22 2 2 1
2 2 1
1
1
2
x 9x 3x 10x
10x 27x10x 30x
3x 9
2
2
2
33x 92
0
3 3 0100 3664
10 86
3
13
2x
x
x
x
2 1 5
D 5 2
D 5
5
5
5
5
10x
3 x2 22 1 5 2 2103
1x( ) ( )3(x 3) x 13
Portanto, P(x) é diviisível por 3(x 3)(x 3)
(x 9)
x2
1 2
2
2� ��� ���13( ).
PP(x) é divisível por x2 2 9.
��
42 (UA-AM) Se o polinômio P(x) 5 x3 1 2x2 1 mx 1 n é divisível por H(x) 5 x2 1 x 1 1, então o valor de m 1 m é:a) 1 c) 3 e) 8b) 2 d) 5
43 (FGV-SP) O gráfico representa a função polinomial P(x) 5 x3 2 2x2 2 49x 1 98.Sendo r, s, t e 2 as únicas intersecções do gráfico com os eixos,
o valor de rst
é:
a) 25 c) 23 e) 21b) 24 d) 22
r
s 2 t0
y
x
44 (Unifesp-SP) Dividindo-se os polinômios p1(x) e p2(x) por x 2 2, obtêm-se, respectivamente, r1 e r2 como restos.
Sabendo-se que r1 e r2 são os zeros da função quadrática y 5 ax2 1 bx 1 c, conforme o gráfico, o resto da divisão do polinômio produto p1(x) ? p2(x) por x 2 2 é:
a) 3 c) 8 e) 21 b) 5 d) 15
y
x0 3 5
y � ax2 � bx � c
Resolução:Se P(x) é divisível por H(x), o reesto da divisão é igual a zero, logo:
2xx3 1 22 mx
x
(m 1)x1
(
1 1 1 1
2 2 2 1
1 2 1
2 2 2
n x x
x x x
x nx x
2
3 2
2
2
1
1
mm 2)x
Então: m n
Portanto,
2 1 2
2 5 2 5
5 5
n
em n
1
2 0 1 02 1
m 1 5 1 5n 2 1 3.
Resolução:Do gráfico, s, 2 e t são raízes de P(x).P(0) 5 03 2 2 ? 02 2 49 ? 0 1 98 5 98 5 r
Por uma das relações de Girard: s ? ? 5 221
t r r⇒ss t?
5 22.
Resolução:Sendo r1 e r2 os zeros da função, e sabendo que a abscissa do vértice da parábola é 5, temos: r r
71 215 5
25 2⇒ r
Desse modo, podemos afirmar que r1 5 p1(2) 5 3 e r2 5 p2(2) 5 7, e também que o resto da divisão de p1(x) ? p2(x) por x 2 2 será p1(2) ? p2(2) 5 3 ? 7 5 21.
��
45 (MACK-SP) ax 5x ax 4 x 4Q(x)r(x)
4 2 21 2 1 2
Considerando o resto r(x) e o quociente Q(x) da divisão acima, se r(4) 5 0, Q(1) vale:a) 1 c) 25 e) 2b) 23 d) 24
46 (IBMEC) Um polinômio de 7o grau p(x), com coeficientes reais, é divisível pelos polinômiosq(x) 5 2x2 2 9 e r(x) 5 x2 1 3x 1 4. Se n é o número de raízes reais do polinômio p(x), então:a) n 5 3 ou n 5 5 c) 2 < n < 4 e) n > 5b) n 5 4 ou n 5 6 d) n < 3
Resolução:p(x) é divisível por q(x) (de grau 2), r(x) (de grau 2) e por s(x) de grau 3; q(x) tem duas raízes reais; r(x) não tem raízes reais (D , 0), apenas complexas e s(x) pode ter uma ou três raízes reais, pois o número de raízes complexas é sempre par (Teorema das Raízes Complexas).Assim, p(x) pode ter 3 raízes reais (se s(x) tiver apenas uma) ou 5 raízes reais (se s(x) tiver três raízes).
Resolução:Efetuando a divisão, encontraremoss:
5x
4ax ax (5 4a)
4a
2
2 2
ax ax x
ax
4 2
4
4 4
5
1 2 1 2
2 1 1 1
1( ))x ax4a)x 4(5 4a)
24 16aSe r(4)
2
2
2 1
2 1 1 1
2 1 1
45(
ax55 2 ? 1 1 5 5 2 5 20, temos: 16a 12a
Assima a4 24 0 24 2⇒ ⇒
:: Q(x) 2x 3, então Q(1) 325 2 2 5 2 ? 2 5 22 1 53 .
��
47 (MACK-SP) Se as três raízes reais, não necessariamente distintas, do polinômiop(x) 5 x3 2 a3x2 1 ax 2 1, a IR, formam uma progressão geométrica, então o valor de a 2 a3 é:a) 22 c) 0 e) 2b) 21 d) 1
48 (ITA-SP) Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 2 i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e 240. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são:
a) 1936
, 3, 32
c) 4, 2, 8 e) 1, 2, 5
b)
32
1936
2 1 2 2
22 4 3 4 32 1 2, 2, 2 d) 2, 3, 8
Resolução:Se p admite 1 2 i como raiz dupla, também admitirá (como raiz dupla) o número 1 1 i (Teorema das Raízes Complexas). Se as três raízes reais restantes formam uma PA, podem ser escritas na forma x 2 r, x, x 1 r, em que r é a razão da PA.Sabendo que a soma de todas as raízes é 10, temos:(1 1 i) 1 (1 1 i) 1 (1 2 i) 1 (1 2 i) 1 (x 2 r) 1 x 1 (x 1 r) 5 10 ⇒ 4 1 3x 5 10 ⇒ x 5 2Sabendo também que o produto de todas as raízes é 240, temos:(1 1 i)2 ? (1 2 i)2 ? (2 2 r) ? 2 ? (2 1 r) 5 240 ⇒ (2i) ? (22i) ? (4 2 r2) ? 2 5 240 ⇒ ⇒ 4 2 r2 5 25 ⇒ 2r2 5 29 ⇒ r 5 3As raízes do polinômio são: 21, 2 e 5.
Resolução:
Se as três raízes do polinômio esttão em PG, podem ser escritas na forma xq
, x, x q, onde é a
razão da PG.
Por uma das
? q
relações de Girard, temos xq
? ? ? 522x x q ( )1
1;; logo, x 1 ou x
Como 1 é uma das raíze
3 5 5 1.
ss do polinômio p(x), então p(1) , desse m5 0 oodo:1 a 1 a3 3 2 32 ? 1 ? 2 5 2 1 5 2 5a a a a1 1 0 0 03⇒ ⇒