Polinômios

MATEMÁTICA 3ª Série − Ensino Médio

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4º Bimestre

Tema 1

Tema 1/N1

Conexões com Habilidades e Competências

Sugestões de ati vidades

Material de apoio

O encerramento deste bimestre é reservado ao estudo dos Polinômios e Equações algébricas, bem como de uma parte de Geometria Analíti ca.

No estudo dos polinômios é feita apenas uma introdução, dando-se mais relevância à representação gráfi ca dos mesmos. Sugere--se a resolução de equações não muito sofi sti cadas, dando ênfase na uti lização das relações de Girard. Considera-se importante a análise do gráfi co das funções polinomiais, destacando-se os intervalos de crescimento, seus zeros e pontos de máximo ou de mínimo. Na Geometria Analíti ca são abordadas as posições relati vas de retas e também um breve estudo da circunferência.

Polinômios e equações algébricas

Neste tema, recomenda-se uma introdução sobre as operações com polinômios e consequentemente a resolução de equações, culminando com a representação gráfi ca. Sugere-se que sejam exploradas ati vidades em que o estudante deverá compor a função polinomial a parti r de um gráfi co apresentado.

A uti lização de ati vidades aplicadas em concursos, principalmente nesta fase fi nal do Ensino Médio é fortemente recomendada. Assim, nossa sugestão é a respeito da uti lização de questões de vesti bulares anteriores, sempre visando o fortalecimento na construção dos conceitos.

Definições; valor numérico; operações

Identi fi car e determinar o grau de um polinômio; calcular o valor numérico de um polinômio.

Efetuar operações com polinômios.

Uti lizar o teorema do resto para resolver problemas.

Uti lizar o dispositi vo práti co de Briot-Ruffi ni na divisão de polinômios.

Propor ati vidades de identi fi cação e determinação do grau de um polinômio;

Calcular o valor numérico de um polinômio que descreve uma situação contextualizada;

Resolver problemas que envolvam a uti lização do teorema do resto;

Propor ati vidades envolvendo o dispositi vo práti co de Briot-Ruffi ni na divisão de polinômios.

Vídeo “Arte e Matemáti ca”: Vídeo produzido pela Universidade de Campinas. Uma exposição artí sti ca de fractais e funções polinomiais. Pode ser baixado em htt p://m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX0TaowNQ_MDA_338da_

BARROSO, Juliane Matsubara. Conexões com a Matemáti ca, volume 2. São Paulo: Moderna, 2010.

DANTE, L. R. Matemáti ca: contexto e aplicações. São Paulo: Áti ca, 2010.

PAIVA, Manoel. Matemáti ca – Paiva. São Paulo: Moderna, 2012.

Conexão com livro PNLD

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3ª Série − Ensino Médio MATEMÁTICA

Interdisciplinaridade

SOUZA, Joamir, Matemáti ca – Coleção Novo Olhar, Volume 3, ed FTD, São Paulo, 2010, 336p.

O Capítulo 8, inti tulado “Os polinômios e as equações polinominais” tem início na página 252 e aborda os conteúdos: polinômios, operações com polinômios, equações polinominais, dentre outros. Nas páginas 258 e 259, a obra trata as operações com polinômios, onde são apresentadas ati vidades resolvidas e desafi os. O dispositi vo de Briot-Ruffi ni é tratado nas páginas 265 e 266, seguido de ati vidades resolvidas e complementares. No fi nal do capítulo são encontradas ques-tões do ENEM e de vesti bular.

SMOLE, Káti a Stocco, Maria Ignez Diniz, Matemáti ca Ensino Médio, volume 3, ed Saraiva, 6ed, São Paulo, 320p.

Os polinômios são trabalhados na unidade 9 que tem início na página 216. Na página 222 são apresentadas as operações com polinômios e na página 225, o autor aborda Briot-Ruffi ni para a divisão de polinômios. Na seção “Conexão”, nas páginas 234 e 235, a obra apresenta o texto: “Po-linômios: Chaves e segredos”, que aborda o tema criptografi a, presentes nas chaves de segurança e senhas relacionadas a diversas situações do dia a dia.

IEZZI, et ali, Matemáti ca: Ciência e Aplicações, volume 3, ed Saraiva, São Paulo, 6ed, São Paulo, 2010, 304p.

O livro faz uma abordagem aos polinômios no capítulo 6 que inicia na página 160. As opera-ções com polinômios são apresentadas nas páginas 166 a 170. Na página 171 são encontrados exercícios de fi xação da aprendizagem. Na página 172, encontramos o teorema do resto e na página 174 é trabalhado o dispositi vo práti co de Briot-Ruffi ni. No fi nal do capítulo, na página 177, são encontrados exercícios complementares e um desafi o.

RIBEIRO, Jackson, Matemáti ca: Ciência, Linguagem e Tecnologia, volume 3, ed Scipione, 1v. São Paulo, 2011, 303 p.

Os polinômios são apresentados no capítulo 9 que inicia na página 315 com a apresentação de algumas situações relacionadas a funções polinominais. Nas páginas 321 a 327 são abordadas as operações com polinômios, e, na página seguinte a obra apresenta o teorema do resto. O dispo-siti vo de Briot- Ruffi ni é trabalhado na página 330. A obra apresenta a seção “Conectando ideias”, página 354, com uma aplicação dos polinômios por meio de um assunto não muito comum aos alunos, a bolsa de valores. Ao fi nal do capítulo, nas páginas 355 a 358, são apresentadas questões do ENEM e de vesti bular. No decorrer do capítulo são encontrados exercícios resolvidos trabalhos em grupo e desafi os.

Física: Um dos objeti vos dessa disciplina neste bimestre é reconhecer, uti lizar, interpretar e pro-por modelos explicati vos para fenômenos naturais ou sistemas tecnológicos. O aluno do terceiro ano no últi mo bimestre já construiu habilidades que o capacita para algumas tarefas mais sofi sti -cadas. O domínio da linguagem algébrica permite que os alunos possam interpretar fenômenos usando essa linguagem. Dica: Sugerir que os alunos pesquisem e apresentem um modelo mate-máti co relacionado a alguma noção relacionada a Física.

(Banco de Questões do SARESP) Sabendo-se que o resto da divisão de um polinômio P(x) de grau maior ou igual a 1 por um polinômio Q(x) = x − a é igual a P(a), calcule o resto da divisão de x5 −3x4 + 6x2 − 5 por x − 2.

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

Comentário: É explícito no enunciado o teorema do resto. Desta forma é necessário calcular P(2) = (2)5 - 3 (2)4 + 6(2)2 = 3. Sendo assim o resto será 3 (B).

Sugestão de avaliação

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Material de apoio ao professor

Livro:

Fundamentos de Matemáti ca Elementar Vol. 6 – Gelson Iezzi – Editora Atual.

Descrição: O livro apresenta em seu capítulo II – páginas 54 a 98 – defi nições, igualdade, opera-ções, grau, divisão de polinômios. Nas páginas 99 e 100 há um texto sobre Tártaglia e seus mé-todos de resoluções de equações do 3º grau que poderá ser uti lizado para introdução do tema.

Vídeo:

Polinômios parte I – PAMPEM – Duração 1:22’20’’

Descrição: Nessa aula são apresentadas e discuti das defi nições, propriedades e graus de polinô-mios. Além de diversas operações e demonstrações e interpretações do comportamento de um polinômio, são apresentados alguns métodos para encontrar raízes de polinômios.

Endereço Eletrônico: htt p://video.impa.br/index.php?page=julho-de-2008

PÓLYA, G. Trad. Heitor Lisboa de Araújo. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do mé-todo matemáti co. 2. reimp. Rio de Janeiro: interciência, 1995. Na parte 4 desse livro (p. 164-169), são apresentados alguns problemas, algumas indicações e soluções, que podem ser úteis em aula, feitas as devidas adaptações.

Revista do Professor de Matemáti ca.n. 66, p. 60-61, 2008. Obs. Nestas páginas, é abordada uma questão envolvendo pássaros e galhos cuja resolução pode ser muito úti l em sala de aula.

Áudio:

Polinômio – duração 10’

Descrição: Nesse áudio discute-se sobre o signifi cado, uti lização e aplicação de polinômios.

Endereço eletrônico: htt p://www.mais.mat.br/wiki/Polin%C3%B4mio

Vídeo:

Embalagens – duração 10’

Descrição: Daniela, uma funcionária nova em uma cooperati va, precisa de ajuda para entender como as embalagens para os produtos feitos ali devem ser montadas. Com a ajuda de uma fun-cionária mais experiente, ela aprende como proceder e também como o volume das caixas cons-truídas nessa cooperati va pode ser modelado por uma função polinomial, o que pode auxiliar na escolha da melhores medidas para as caixas.

Endereço Eletrônico: htt p://www.mais.mat.br/wiki/Embalagens

Seção saber mais para nossos alunos

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Material de apoio


Tema 1 / N2

Equações polinomiais e representação gráfica de funções polinomiais

Resolver equações polinomiais uti lizando o teorema fundamental da álgebra e o Teorema da Decomposição.

Representar grafi camente uma função polinomial.

Uti lizar as Relações de Girard para resolver equações polinomiais.

Mostrar algumas situações-problema que levaram o homem a estudar as equações polinomiais, parti ndo de uma abordagem histórica;

Resolver situações-problema que envolvam equações polinomiais e que, na resolução, uti lize o teorema da decomposição;

Propor a construção gráfi ca de diferentes ti pos de funções polinomiais no winplot.

Propor ati vidades envolvendo a uti lização das relações de Girard na resolução de equações polinomiais

Soft ware “Jogo do Polinômio”: Este soft ware é em formato de jogo explora a relação entre o gráfico de funções polinomiais e sua expressão algébrica. É necessário possuir um navegador com a tecnologia fl ash. Este pode ser acessado em htt p://m3.ime.unicamp.br/media/soft ware/1235





As resoluções de equações polinominais através do teorema fundamental da álgebra e das rela-ções de Girard são trabalhadas no capítulo 8, nas páginas 267 a 273 . Na seção “Contexto”, página 260, o autor aborda uma pesquisa sobre o comportamento do mercado de combustí veis no Brasil, fazendo um paralelo com as funções polinominais e suas representações gráfi cas. No fi nal do ca-pítulo são encontradas questões do ENEM e de vesti bular.


A obra aborda representação gráfi ca da função polinominal na unidade 9, páginas 219 e 220. A resolução da equação polinomial através da decomposição em fatores é abordada na página 229, seguida de exercícios resolvidos, problemas e exercícios complementares.


As equações polinominais são trabalhadas no capítulo 7 que inicia na página 178 e é fi nalizado na página 199. O capítulo é introduzido com a seção “Um pouco de história” que relata os pri-meiros registros encontrados sobre a resolução de equações. O teorema fundamental da álgebra e o teorema da decomposição são abordados nas páginas 180 a 185 e as relações de Girard são abordadas na página 187 a 192. No fi nal do capítulo são encontrados exercícios complementares e desafi os.


O trabalho com as equações polinominais tem início na página 338. O teorema fundamental da álgebra e o teorema da decomposição são encontrados nas páginas 339 a 341, onde são apre-sentados exercícios resolvidos e exercícios propostos. Nas páginas 346 a 349 são abordadas as


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relações de Girard para equações do 2º, 3º e n graus. Na seção “Um pouco de história”, páginas 352 e 353, o autor relata contribuições importantes para a resolução de equações polinominais de grau maior que 2. No decorrer do capítulo são encontrados exercícios resolvidos trabalhos em grupo e desafi os.

Física: É sugerido que conti nue a proposta do item anterior. Dica: Propor a construção gráfi ca do fenômeno fí sico modelado matemati camente.

Livro:

Fundamentos de Matemáti ca Elementar Vol. 6 – Gelson Iezzi – Editora Atual.

Descrição: O livro apresenta em seu capítulo III – 101 a 146 defi nições e resoluções de equações, nú-mero de raízes de uma equação polinomial e relações entre coefi cientes e raízes (Relação de Girard).

Vídeo:

Polinômios II – PAMPEM – Duração 1:14’38’’

Descrição: Nesse vídeo é apresentado o método de Briot-Ruffi ni para calcular o valor numérica de uma expressões polinomiais, em seguida, apresenta-se e resolvem-se equações polinomiais.


PÓLYA, G. Trad. Heitor Lisboa de Araújo. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do mé-todo matemáti co. 2. reimp. Rio de Janeiro: interciência, 1995. Na parte 4 desse livro (p. 164-169), são apresentados alguns problemas, algumas indicações e soluções, que podem ser úteis em aula, feitas as devidas adaptações.

JAHN, A. P., BONGIOVANNI V. Revisitando os três problemas insolúveis da Anti guidade. Revista do Professor de Matemáti ca.n. 66, p. 34-35, 2008. Obs.: Os autores apresentam um exercício bastante interessante envolvendo 3√2.

Soft ware:

Jogo dos Polinômios

Descrição: Nesse Soft ware há um jogo em 3 fases onde o aluno deverá identi fi car expressões algé-bricas de polinômios por meio dos gráfi cos que o representam. Para esse desafi o o aluno poderá uti lizar o auxílio de guias que o mostrarão os caminhos e conceitos que deverão aprender e os caminhos e conceitos necessários para superar todas as fases.

Endereço eletrônico: htt p://m3.ime.unicamp.br/portal/Midias/Soft wares/Soft waresM3Matema-ti ca/jogo_dos_polinomios/polinomio/index.html

Pagina eletrônica:

Só Matemáti ca

Descrição: Nesse siti o o aluno conta com uma variedade de ati vidades relacionadas ao tema que poderá ser resolvida na própria página ou impressa.

Endereço Eletrônico: htt p://www.somatemati ca.com.br/emedio2.php




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Geometria Analítica

O Estudo da Geometria Analíti ca sempre é sugesti onável para uma introdução histórica. A uti lização da história da Matemáti ca pode ser boa ferramenta no incenti vo ao estudo deste tema. Recomenda-se a uti lização de material concreto, por exemplo, a uti lização de varetas na representação das retas e também a construção de um compasso a parti r de um fi o de barbante, podem ajudar bastante na construção dos conceitos.

Tema 2

Tema 2 / N1

Posições relativas entre retas

Identi fi car retas paralelas e retas perpendiculares a parti r de suas equações.

Contextualizar os conteúdos por meio de exemplos do dia a dia;

Mostrar algumas situações-problema que envolvam paralelismo e perpendicularismo entre retas, parti ndo de suas respecti vas equações.

Vídeos

Aula 46 – O coefi ciente angular

Descrição: Aplicações e propriedades. A fórmula do coefi ciente angular. Retas paralelas e perpen-diculares. Problemas.

Endereço Eletrônico: htt p://www.telecurso.org.br/matemati ca/

Soft ware “Equação reduzida da reta”: Um jogo onde o aluno é levado a deduzir a equação da reta. Para acessá-lo é necessário um navegador com a tecnologia Java. Este pode ser acessado no link htt p://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/Ati vidades/capitulos/reta3.htm





O capítulo 5, inti tulado “O ponto e a reta” aborda a equação da reta nas páginas 164 a 168, segui-da de ati vidades resolvidas e desafi os. A abordagem à retas paralelas a parti r de suas equações é feita na página 170. No fi nal do capítulo são apresentadas ati vidades complementares para fi xação da aprendizagem.


A Unidade 3 inicia na página 50 com uma apresentação da equação geral da reta seguida de exer-cícios resolvidos nas páginas 51e 52. A seção “Para saber mais”, página 53, permite aos alunos re-lacionarem diferentes conceitos e entenderem por que a determinação da equação da reta é feita como está descrito no texto do livro. A posição relati va entre duas retas a parti r de suas equações é abordada a parti r da página 63, dando conti nuidade na página 66 com perpendicularismo de retas. No decorrer do capítulo são apresentados exercícios resolvidos e problemas.



Material de apoio


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O livro faz uma abordagem a retas paralelas e perpendiculares no capítulo 2, páginas 43 a 49. O autor apresenta exemplos de exercícios onde o objeti vo é determinar a posição relati va entre duas retas a parti r de suas equações. São apresentadas ati vidades complementares para fi xação da aprendizagem.


A obra aborda o estudo sobre as posições relati vas entre duas retas na página 195 com a apresen-tação de retas paralelas, retas concorrentes e intersecção entre duas retas. O estudo é seguido por uma sequência de exercícios propostos nas páginas 198 e 199. As retas perpendiculares são trabalhadas na página 202. No decorrer do estudo, o autor apresenta exercícios resolvidos, com-plementares e desafi os.

Geografi a: Um dos objeti vos desse componente curricular é identi fi car cartografi camente o Esta-do do Rio de Janeiro. A cartografi a se desenvolveu grandemente uti lizando a geometria analíti ca. Dica: Uti lizar elementos da geometria analíti ca para compreender mensurações de mapas.

(Banco de Questões do SARESP) As duas retas a e b, representadas na fi gura abaixo, têm as se-guintes equações:

a: y = x + 5

b: y = −2x + 11

O ponto P (m,n) é intersecção das duas retas. O valor de m -n é igual a:

(A) 1

(B) −2

(C) −5

(D) −7

Comentário: Uma questão que, provavelmente, o terceiranista não terá difi culdade. Este deverá calcular x + 5 = −2x +11 para encontrar o m. Assim 3x = 6; x = 2. Para achar o n é só substi tuir o valor achado em qualquer uma das equações, e achará 7. Se m = 2 e n = 7, logo m-n será -5 (C).



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Vídeo:

Geometria Analíti ca Plana – PAMPEM – Duração 1:30’37’’

Descrição: Nesse vídeo é possível acompanhar as coordenadas na reta, a distância entre dois pontos conti dos no plano, parametrização de um ponto, ponto médio. A parti r do minuto 52’ são apresentados e discuti dos equações da reta e seu comportamento no plano (Paralelismo e Perpendicularismo).


Livro:

Fundamentos de Matemáti ca Elementar Vol. 7 –Gelson Iezzi – Editora Atual.

Descrição: O livro apresenta em seu capítulo II, páginas 28 a 57, defi nição e aplicação da equação geral de uma reta, interseção de duas retas, feixes de retas paralelas e retas concorrentes e as formas da equação da reta. Em cada tópico são apresentadas diversas propostas de ati vidades organizadas em grau crescente de difi culdades.

BEZERRA, R. Z. Matemáti ca no Ensino Médio. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, v. 2, 1998. Na p. 109 desse livro, são apresentadas questões de concursos cujas resoluções podem ser úteis em aula.

Vídeo:

1 - Telecurso aula 46 – Duração 13’44’’

Descrição: Nessa aula mostra-se como transformar uma equação geral em uma equação reduzi-da; como identi fi car e calcular o coefi ciente angular e mostram-se ainda os coefi cientes angulares de retas paralelas e retas perpendiculares. Também é possível acompanhar a resolução de um problema uti lizando os conceitos de retas perpendiculares.


2 – Equação de uma reta – duração 7’32’’

Esse vídeo apresenta, passo a passo, a maneira de obter a equação de uma reta a parti r de dois pontos dados.

Endereço Eletrônico: htt p://www.youtube.com/watch?v=NjVdxlVlYUs&list=PLFA2086C8C7D33A1B&index=14&feature=plpp_video


Tema 2 / N2

Equação da circunferência

Determinar a equação da circunferência na forma reduzida e na forma geral, conhecidos o centro e o raio.

É atraente apresentar a circunferência como L. G. (lugar geométrico) e uti lizar o conhecimento do cálculo da distância entre dois pontos para deduzir a equação reduzida da circunferência;

Propor ati vidades que envolvam determinar a equação da circunferência na forma reduzida e na forma geral, dados o centro e o raio;

Propor ati vidades que envolvam o reconhecimento de uma circunferência a parti r de uma dada equação do 2º grau com duas variáveis.




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Vídeos

Aula 47 – A equação da circunferência

Descrição: Aplicações e propriedades. Mediatrizes. Problemas.


Soft ware “Equação da Circunferência”: Apresenta uma simulação que permite alterar a posição do centro, o valor do raio e as coordenadas. Assim como visualizar o cálculo da equação da cir-cunferência e do raio da circunferência. Para usar esse programa é necessário ter habilitado a plataforma Java no sistema operacional. Este pode ser baixado em htt p://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10716/EquacaoDaCircunferencia.zip?sequence=3.





O capítulo 6 apresenta uma abordagem à circunferência com a apresentação das equações redu-zida e geral na página 188. Na página seguinte são apresentadas ati vidades resolvidas. Na página 191 o autor apresenta uma sequencia de ati vidades e um desafi o.


A Unidade 4 inicia o estudo sobre a equação da circunferência na página 86. Na página seguinte, a obra apresenta uma sequência de exercícios resolvidos onde a equação da circunferência é determinada a parti r de seu raio. A seção “No computador”, páginas 99 a 101, apresenta o uso do soft ware Winplot para o traçado da circunferência. No decorrer do capítulo são apresentados exercícios resolvidos e problemas.


As equações geral e reduzida da circunferência são tratadas no capítulo 3 que tem início na pági-na 70. A abordagem é feita através de exemplos e exercícios resolvidos. No fi nal do capítulo são encontrados exercícios complementares e desafi os.


O autor introduz o capítulo de circunferências na página 219 com um texto sobre um sistema de irrigação de lavouras onde a torre central gira sobre a área a ser irrigada, um bom exemplo do conteúdo a ser trabalhado. A equação da circunferência é apresentada na página 220 com 4 exercícios resolvidos sobre cálculo da área e da equação da circunferência. O capítulo é encerrado com uma série de ati vidades, testes e questões de vesti bular, nas páginas 242 e 243.

Geografi a: Conti nuando o objeti vo anterior. A compreensão de aspectos sócio-políti cos usando a interpretação cartográfi ca é a função principal da cartografi a escolar. Dica: Usar conhecimentos de geometria analíti ca para compreender aspectos geopolíti cos tais como conturbação (Grande Rio), a divisão dos limites dos municípios, a questão dos do Rio de Janeiro de áreas no litoral (questão petrolífera).



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(Banco de Questões do SARESP)

Uma circunferência está inscrita em quadrado conforme indica a fi gura abaixo. A equação desta circunferência é:

A) (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1

B) (x − 2)2 + (y − 1)2 = 2

C) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 1

Comentário: Questão de resposta rápida. Usando a formula (x − a)2 + (y − b)2 = r2; (x − 2)2 + (y − 1) 2 = 1 (A)

Livro:

Fundamentos de Matemáti ca Elementar Vol. 7 – Gelson Iezzi – Editora Atual

Descrição: O livro apresenta em seu capítulo V, páginas 118 a 126, defi nição e aplicação da equa-ção geral e da equação normal de uma circunferência. Também é mostrado como reconhecer uma equação dada como pode ou não representar uma circunferência. A uma gama de ati vidades propostas relacionadas ao tema que poderá ser uti lizada como apoio pelo professor.

Vídeo:

Geometria Analíti ca – PAMPEM – Duração 1:20’27’’

Descrição: Nesse vídeo é Aparece é possível acompanhar obtenção e a aplicação da e da equação da circunferência na resolução de problema de deslocamento no plano.


BEZERRA, R. Z. Matemáti ca no Ensino Médio. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, v. 2, 1998. Na p. 141 desse livro, são apresentadas questões de concursos cujas resoluções podem ser úteis em aula.

Vídeo:

Telecurso aula 47 – duração 13’03’’

Descrição: A aula mostra como determinar a equação de uma circunferência conhecendo o cen-tro e o valor do raio. Essa equação será aplicada para a construção de um galpão de grande di-mensão com forma circular.


Pagina eletrônica:

Só Matemáti ca

Descrição: Nesse siti o o aluno conta com uma variedade de ati vidades relacionadas ao tema que poderá ser resolvida na própria página ou impressa.

Endereço Eletrônico: htt p://www.somatemati ca.com.br/emedio4.php



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