PLANEJAMENTO_EXPERIMENTO_2014

PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS

1. SEMESTRE/2014

2

O presente material foi elaborado com o objetivo de facilitar as atividades em sala de

aula, seguindo muito de perto a bibliografia apresentada no final do texto. Esclarece-se que o

material, no substitui a bibliografia apresentada, portanto, necessrio consultar os livros

recomendados.

Profa. Sachiko Araki Lira

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SUMRIO

1 INTRODUO ........................................................................................................................ 4

2 PLANEJAMENTOS EXPERIMENTAIS.................................................................................... 5 2.1 Definies Importantes no Planejamento de Experimentos .................................................. 5 2.2 Planejamento com um nico Fator ....................................................................................... 6 2.3 Diagnstico do Modelo ....................................................................................................... 10

3 EXPERIMENTOS FATORIAIS .............................................................................................. 15 3.1 Experimentos Fatoriais com 2 Fatores - sem Repetio ..................................................... 15 3.2 Experimentos Fatoriais com 2 Fatores - com Repetio ..................................................... 22 3.3 Comparaes Mltiplas de Mdias ..................................................................................... 28 3.3.1 Modelos de classificao a dois critrios (dois fatores) sem repetio ............................... 28 3.3.2 Modelos de classificao a dois critrios (dois fatores) com repetio ............................... 29 3.4 Determinao do Tamanho da Amostra ............................................................................ 31

3.5 Experimento k2 Fatorial ................................................................................................... 34

3.5.1 Experimento Fatorial 22 .......................................................................................................... 35

3.5.2 Experimento Fatorial 32 ............................................................................................................ 40 3.5.3 Experimentos Fatoriais sem Rplicas .................................................................................... 43

3.5.4 Adio de Pontos Centrais a um Planejamento k2 ............................................................ 48 3.6 Experimentos Fatoriais Fracionados (Cada Fator com Dois Nveis) ................................... 51 3.6.1 Delineamento de um Experimento Fatorial Fracionrio ........................................................ 51

4 EXPERIMENTO EM QUADRADO LATINO ........................................................................... 68

5 MTODOS E PLANEJAMENTOS DE SUPERFCIE DE RESPOSTA ................................... 74 5.1 Mtodo de Ascendente de Maior Inclinao (Steepest Ascent) .......................................... 75 5.2 Anlise de uma Superfcie de Resposta de Segunda Ordem ............................................. 79 5.2.1 Planejamento Composto Central (central composite design) .............................................. 79

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 82

TABELA A1 - DISTRIBUIO DE t DE STUDENT ........................................................................ 84

TABELA A2 - DISTRIBUIO DE 2 ........................................................................................... 85

TABELA A3 - DISTRIBUIO DE F DE SNEDECOR (Nvel de Significncia de 1%) ........................ 86

TABELA A4 - DISTRIBUIO DE F DE SNEDECOR (Nvel de Significncia de 5%) ........................ 87

TABELA A5 - DISTRIBUIO DE F DE SNEDECOR (Nvel de Significncia de 10%) ....................... 88

TABELA A6 DISTRIBUIO DE Fmx ......................................................................................... 89

TABELA A7 VALORES CRTICOS PARA TESTE DE COCHRAN (OUTLIERS DA VARINCIA) ....... 90

TABELA A8 - VALORES MNIMOS DE PARA CERTOS VALORES MXIMOS DE E ........... 91

TABELA A9 - VALORES CRTICOS DA DISTRIBUIO DA ESTATSTICA D DE K-S, SEGUNDO

LILLIEFORS ............................................................................................................................... 92

TABELA A10 - COEFICIENTES 1ina PARA O TESTE DE NORMALIDADE w DE SHAPIRO-

WILK ......................................................................................................................................... 93

TABELA A11 - VALORES CRTICOS DA ESTATSTICA w DE SHAPIRO-WILK .............................. 94

TABELA A12 VALORES CRTICOS PARA O TESTE DE COCHRAN ............................................ 95

TABELA A13 - VALORES CRTICOS PARA q (TESTE DE TUKEY) ............................................... 96

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1 INTRODUO

O planejamento de experimentos, chamado tambm de delineamento de experimentos,

compreende um conjunto de ensaios estabelecido com critrios cientficos e estatsticos, e tem

como objetivo determinar a influncia de diversas variveis nos resultados de um dado sistema

ou processo.

A metodologia para elaborao de experimentos foi proposta por Ronald A. Fisher, em

seu livro Design of Experiments (1935). Ele descreveu como testar a hiptese da possibilidade

de uma certa senhora distinguir, s pelo sabor, se o leite ou o ch foi colocado primeiro na

xcara. Esta aplicao lhe permitiu ilustrar as ideias mais importantes do desenho experimental.

Nas diversas reas que envolvem pesquisa, h interesse em saber quais variveis so

importantes no estudo que se est realizando, assim como a variabilidade das variveis

envolvidas. O planejamento experimental atualmente amplamente utilizado para resolver

esse tipo de problema. De acordo com o objetivo dos ensaios possvel:

a) determinar quais variveis tm maior influncia nos resultados;

b) atribuir valores s variveis de maior influncia de modo a otimizar os resultados;

c) atribuir valores s variveis de maior influncia de modo a minimizar a variabilidade dos

resultados;

d) atribuir valores s variveis de maior influncia de modo a minimizar a influncia de variveis

no controlveis.

O planejamento experimental uma ferramenta essencial no desenvolvimento de novos

processos e no aprimoramento de processos em utilizao. Um planejamento adequado

possibilita, alm do aprimoramento de processos, a reduo da variabilidade de resultados, a

reduo de tempos de anlise e dos custos envolvidos.

No que se refere ao projeto de produtos, o planejamento experimental permite a

avaliao e comparao de configuraes (projetos) distintas, avaliao do uso de materiais

diversos, a escolha de parmetros de projeto adequados a uma ampla faixa de utilizao do

produto e a otimizao de seu desempenho.

Os mtodos bsicos usados para realizar um eficiente planejamento experimental tm

como objetivos:

a) a seleo do melhor modelo entre uma srie de modelos plausveis;

b) a estimao eficiente de parmetros do modelo selecionado.

Todo planejamento experimental comea com uma srie inicial de experimentos, com o

objetivo de definir as variveis e os nveis importantes. Podem-se ter variveis qualitativas (tipo

de catalisador, tipo de equipamento, operador, etc.) e quantitativas (temperatura, presso, ph

do meio, etc.).

Antes de comear a realizar os experimentos, os objetivos e os critrios devem estar

bem claros, de modo a dar subsdios para a escolha:

5

1) das variveis envolvidas nos experimentos;

2) da faixa de variao das variveis selecionadas;

3) dos nveis escolhidos para essas variveis. No caso de muitos fatores, melhor escolher

inicialmente dois nveis;

4) da varivel de resposta;

5) do planejamento experimental. Nessa etapa, h que se considerar o tamanho da amostra

(nmero de rplicas), a seleo de uma ordem de realizao dos experimentos e se h

vantagem em fazer a blocagem dos experimentos; dos mtodos de anlise dos resultados

dos experimentos. Os mtodos estatsticos so usados para guiar uma tomada objetiva de

deciso.

Anlise do planejamento de experimentos foi construda sobre o fundamento da anlise

de varincia, que um conjunto de modelos em que a variao observada dividida em

componentes, devido a diversos fatores, que so estimados e / ou testados.

2 PLANEJAMENTOS EXPERIMENTAIS

2.1 Definies Importantes no Planejamento de Experimentos

Experimento: definido como um ensaio ou uma srie de ensaios nos quais so feitas

mudanas propositais nas variveis de entrada de um processo ou sistema, de forma que se

possa observar e identificar as razes para mudanas na resposta de sada (CALEGARE,

2009).

Fator (varivel independente): Um fator uma varivel, podendo ser controlada ou no, que

exerce influncia sobre a resposta (varivel dependente) que est sendo estudada no

experimento. Um fator pode ser uma varivel quantitativa, por exemplo, a temperatura em

graus, o tempo em segundos, a presso em pascal (Pa). Pode, tambm, ser varivel

qualitativa, como por exemplo, diferentes mquinas, diferentes operadores, interruptor ligado

ou desligado.

Nvel: Os nveis de um fator so os valores assumidos pelo fator. Para os fatores quantitativos,

cada valor constituiu um nvel, isto , se o experimento conduzido em trs temperaturas

diferentes, ento o fator temperatura possuiu trs nveis. J, no caso dos fatores

qualitativos, o interruptor ligado ou desligado representa dois nveis para o fator interruptor;

caso estejam sendo utilizadas seis mquinas por trs operadores, ento o fator mquina tem

seis nveis, enquanto o fator operador tem trs nveis.

Tratamento: Tratamento um nvel atribudo a um nico fator durante um experimento, como

por exemplo, a temperatura a 800 graus.

6

Uma combinao de tratamento o conjunto de nveis para todos os fatores num dado

experimento. Por exemplo, um experimento utilizando temperatura de 800 graus, mquina 3,

operador A, e interruptor desligado constituir-se-ia numa combinao de tratamento.

Unidades Experimentais: As unidades experimentais so os objetos, materiais ou unidades

aos quais se aplicam os tratamentos. Podem ser materiais naturais, objetos, pessoas, etc.

Bloco: Um fator no experimento que exerce influncia como fonte de variabilidade chamado

bloco. Um Bloco uma poro do material experimental ou do meio experimental que

apresenta uma probabilidade maior de homogeneidade em si mesma do que entre pores

diferentes. Por exemplo, amostras de um nico lote de material tm mais probabilidade de

serem uniformes do que amostras de lotes diferentes. Um grupo de amostras de um nico lote

considerado um bloco. As observaes feitas num mesmo dia tm mais probabilidade de

homogeneidade (variao menor) do que observaes feitas por dias a fio. Dias torna-se,

ento, um fator de blocagem.

Delineamento de Experimento: O plano formal para a conduo do experimento chamado

delineamento de experimento ou modelo experimental. Ele inclui a escolha de respostas,

fatores, nveis, blocos e tratamentos.

Aleatorizao: A sequncia de experimentos e/ou a atribuio de amostras a diferentes

combinaes de tratamento de maneira puramente casual denominada Aleatorizao. Tal

atribuio aumenta a probabilidade de que o feito de variveis incontrolveis seja eliminado.

Tambm aprimora a validade das estimativas da varincia dos erros experimentais e torna

possvel a aplicao de testes estatsticos de significncia, alm de construo de intervalos de

confiana. Sempre que possvel, a aleatorizao deve fazer parte do experimento.

Replicao : A replicao a repetio de uma observao ou medio de modo a aumentar

a preciso ou fornecer os meios para medir a preciso. Uma replicao nica consiste de uma

nica observao ou realizao do experimento.

Proporciona uma oportunidade para que se eliminem os efeitos de fatores incontrolveis ou de

fatores desconhecidos pelo experimentador e assim, a aleatorizao, atua como ferramenta

diminuidora de tendncias. A replicao tambm ajuda a detectar erros graves nas medies.

Nas replicaes de grupos de experimentos, diferentes aleatorizaes devem ser aplicadas a

cada grupo.

2.2 Planejamento com um nico Fator

Experimentos com um nico fator so aqueles com apenas uma nica varivel de

interesse para o estudo. Os testes de hipteses para comparao de duas mdias (ou dois

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tratamentos), so casos particulares desse tipo de situao. No entanto, estes procedimentos

somente podem ser utilizados em situaes onde o nmero de tratamentos em estudos no

mximo igual a dois. Usualmente, os estudos experimentais tm por objetivo comparar trs ou

mais tratamentos, ou ainda, nessa situao, estudar um fator de interesse que apresenta trs

ou mais possveis valores (tratamentos). Por exemplo, h interesse em estudar o rendimento

de uma dada reao qumica considerando trs diferentes tipos de catalisadores. Nesse caso

existe um nico fator.

Modelo Estatstico

A anlise estatstica para verificar o problema em estudo (igualdade ou no dos

tratamentos) passa pelo ajuste de um modelo linear estatstico definido da seguinte forma:

jiijix

onde:

jix a varivel aleatria denotando o i-simo tratamento e j-sima unidade experimental;

o efeito comum a todos os tratamentos, chamado de mdia global;

i o efeito especfico do i-simo tratamento;

ji o erro aleatrio (parte da resposta no representada pelo modelo).

A suposio do modelo de que os erros ij sejam normal, independentes e

identicamente distribudos, ou seja, ji so iid ),0(N2 . Assim, cada tratamento pode ser

pensado como sendo uma populao normal com mdia zero e varincia 2 .

Notao utilizada:

N nmero total de elementos observados;

i nmero de tratamentos: 1,2,...,a

j nmero de observaes de cada tratamento: 1,2,..., n

in nmero de elementos no tratamento i;

n

x

X

n

1jji

i

a mdia dos tratamentos (i=1,2,...,a)

N

x

X

a

1i

n

1jji

a mdia total

onde: naN

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TRATA-MENTOS

OBSERVAES ( jix ) SOMAS MDIAS

1 11x 12x ... n1x 1x 1X

2 21x 22x ... n2x 2x 2X

... ... ... ... ... ... ...

a 1ax 2ax ... nax ax aX

x X

Clculo das Varincias

A ANOVA um teste de mdias, utilizando as varincias e ela analisa as variaes

dentro da amostra (variaes aleatrias) e as variaes entre amostras (variaes explicadas).

Varincia Total

A varincia total 2 estimada considerando-se todas as amostras reunidas em uma

nica amostra. Isso ser possvel devido hiptese inicial (suposio do modelo) de que as

varincias populacionais so todas iguais a 2 . A varincia ser estimada atravs de:

1N

Xx

S

2

1i

n

1jji

2T

a

A expresso acima denominada de Quadrado Mdio Total (QMT) e o numerador, de

Soma de Quadrados Total (SQT), dado por:

N

2

1i

n

1j

2ji

2

1i

n

1jji

xx)Xx(SQT

aa

Essa estimativa ter sentido somente se a hiptese 0H for verdadeira, o que implica em

se ter todas as populaes normalmente distribudas de mesma mdia e mesma varincia.

Varincia entre Amostras (Tratamentos)

Sendo verdadeira a hiptese 0H , pode-se estimar a varincia 2 , atravs das mdias

de a amostras, ou seja, como se fosse uma amostra de a valores.

1a

)XX(n

S

a

1i

2ii

2E

A expresso acima denominada de Quadrado Mdio entre Amostras (QME) e o

numerador, de Soma de Quadrados entre Amostras (SQE). Ento:

N

x

n

x)XX(nSQE

2

1i i

2i

1i

2ii

aa

9

Desta forma possvel comparar as duas estimativas da varincia atravs de um teste

F, pois se 0H for verdadeira, ambas sero estimativas no viesadas de 2 e o valor do

quociente entre elas ser prximo de 1. Por outro lado, se o valor de F for elevado, pode-se

concluir que a 2ES superestima 2 e pode-se rejeitar 0H em favor de 1H .

Varincia Residual ( ou Varincia Dentro da Amostra)

Consiste em estimar as varincias dentro de cada amostra e em seguida estimar um

nico valor 2 , atravs da combinao dessas k varincias. A estimativa obtida atravs de:

)1n(a

Xx

S

a

1i

n

1j

2

iji2R

A expresso acima denominada de Quadrado Mdio Residual (QMR) e o numerador,

de Soma de Quadrados Residuais (SQR).

21i

n

1j

iji )Xx(SQRa

Tem-se que:

SQESQTSQR

QUADRO DA ANLISE DE VARINCIA - ANOVA

FONTE DE

VARIAO SOMA DE QUADRADOS G.L QUADRADOS MDIOS F

Entre amostras

(Tratamentos) N

x

n

xSQE

2

1i i

2i

a

1a 1a

SQEQME

QMR

QMEF Dentro da amostra

(residual) SQESQTSQR )1n(a

)1n(a

SQRQMR

Total N

2

1i

n

1j

2ji

xxSQT

a

1na

Se tabcalc FF , para um nvel de significncia , rejeita-se 0H . O valor de tabF dado

com )1n(a);1a( 21 graus de liberdade.

No experimento com amostras de tamanhos diferentes (desbalanceado), pode-se

utilizar o mtodo apresentado fazendo uma adaptao para o ndice j ( j nmero de

observaes ). Este ndice variar de 1 a in , sendo in o tamanho da i-sima amostra.

10

2.3 Diagnstico do Modelo

Deve-se verificar se as suposies estabelecidas para obteno do ajuste e teste dos

parmetros, so satisfeitas.

A suposio do modelo de que os erros ij sejam normal, independentes e

identicamente distribudos, ou seja, i j so iid ),0(N2 . Assim, cada tratamento pode ser

pensado como sendo uma populao normal com mdia zero e varincia 2 .

Para atender a suposio acima, faz-se necessrio verificar as seguintes questes:

Presena de valores extremos (outliers)

Independncia (aleatoriedade)

Normalidade

Homocedasticidade (varincia constante)

a) Identificao de Valores Extremos (outliers)

A identificao de valores extremos (discrepantes) faz parte da anlise descritiva e

exploratria dos dados. No caso de planejamento de experimentos, alguns procedimentos

especficos podem ser destacados, na busca da verificao da existncia de valores extremos.

Procedimentos usuais que auxiliam na anlise descritiva e exploratria destes dados

o Box Plot. possvel utilizar esses procedimentos a partir de:

(i) dados originais: para se verificar a presena de valores extremos (ou dados discrepantes)

pode-se utilizar o Box Plot. Deve-se verificar, neste caso, valores que se destacam dos

demais na apresentao dos valores observados.

(ii) resduos: uma alternativa para identificao de valores extremos a utilizao dos

resduos do modelo estimado, ou seja:

jijijiji yye

Nota: Diversos autores propem o uso dos chamados resduos padronizados no lugar dos

resduos ordinrios acima definidos. Os resduos padronizados so definidos por:

QMR)(Var

ji

ji

ji

Como procedimento alternativo, considerando que os erros tm distribuio ),0(N 2 ,

pode-se esperar que a mdia contm aproximadamente 68% dos dados, a mdia

2 contm aproximadamente 95% dos dados e a mdia 3 contm aproximadamente

99% dos dados. Desta forma, podem ser considerados valores extremos aqueles que forem

superiores a 3 .

11

Identificado um valor extremo, normalmente ele excludo da anlise. No entanto, na

pratica, o pesquisador quem deve definir se um valor extremo pode realmente ser assim

considerado. Pois os valores extremos podem fornecer informaes importantes sobre o

experimento e estatisticamente demonstrar que uma outra distribuio deve melhor

representar o comportamento dos dados.

b) Verificando a Independncia ( erros no correlacionados):

A independncia dos resduos, usualmente avaliada atravs de um grfico dos

valores preditos (ou ajustados) versus resduos. Na hiptese de ser satisfeita a suposio de

independncia no dever existir nenhum padro neste grfico, ou seja, nenhum

comportamento no aleatrio dos valores observados.

FIGURA 1 INDEPENDNCIA

FIGURA 2 NO INDEPENDNCIA

Existindo o registro da ordem de obteno dos valores, recomenda-se o uso do

grfico dos resduos versus a ordem de coleta de forma a verificar algum padro na resposta

e, consequentemente uma dependncia entre as observaes.

12

c) Verificando a Normalidade

A suposio de normalidade dos resduos pode ser verificada graficamente ou atravs

de testes. Graficamente, usual a utilizao do grfico normal probabilstico e os testes mais

utilizados so: Teste de Shapiro-Wilk e Kolmogorov-Smirnov com correo de Lilliefors.

Teste de Shapiro-Wilk

O mtodo de Shapiro-Wilk fornece o valor da estatstica W, variando de 0 a 1. A

estatstica do teste dada por:

n

1i

2i

2

)Xx(

bW , onde

2/)1n(

1i

2/n

1i

mparnse)xx(a

parnse)xx(a

b

)i()1in(1in

)i()1in(1in

em que n21 x...xx so dados ordenados, em ordem crescente, e os sai so constantes

tabelados.

Este teste utilizado quando o conjunto de observaes pequeno )50n( .

A estatstica W comparada ao valor obtido em tabelas, caso tabWW , o teste rejeita

oH , indicando a no normalidade das observaes.

d) Verificando a Homocedasticidade:

A suposio de homocedasticidade significa que a variabilidade entre repeties de um

mesmo tratamento deve ser semelhante a dos demais tratamentos. A verificao desta

suposio pode ser feita atravs do uso de testes ou por meio de anlise grfica.

(i) Testes de Homocedasticidade (homogeneidade das varincias):

1. Passo: Hipteses

2k

22

21 ...:Ho (as varincias entre as populaes so homogneas)

:H1 i,i t.q. 22

ii (as varincias entre as populaes so heterogneas)

2. Passo: Escolha do nvel de significncia

3. Passo: Estatstica apropriada

4. Passo: Definio da regio crtica

5. Passo: Concluso

Diferentes testes so propostos na literatura para testar a hiptese acima. Os testes

mais conhecidos so:

a) Teste de Bartlett: Pode ser utilizado para qualquer nmero de repeties nos tratamentos;

b) Teste de Cochran: Pode ser utilizado para qualquer nmero de repeties nos tratamentos.

13

Teste de Bartlett

O teste de Bartlett dever ser aplicado quando as populaes cujas homogeneidades

sero testadas, apresentarem distribuio normal.

A estatstica para testar a hiptese 2k22

21:0 ...H contra :H1 pelo menos uma das

varincias diferente das demais, dada por:

k

1i

2ii

k

1i

2ii

2 Slogkn

S

log)kn(c

3026,2

em que:

k

1iinn

1nii

k

1i kn

11

)1k(3

11C

i

2iS a varincia da amostra i, i=1,2,...,k

in o tamanho da amostra i, i=1,2,...,k

A estatstica 2 calculada pela expresso acima tem 1k graus de liberdade. Portanto,

se 2 ;1k2

1k , rejeita-se 0H .

Duas precaues na utilizao do teste de Bartlett:

1) O teste de Bartlett fortemente sensvel Normalidade das observaes subjacentes.

2) A distribuio 2 apenas assinttica. Uma regra comum considerar que o teste apenas

deve ser usado caso 5ni , k...,,2,1i .

Teste de Cochran

um teste muito simples e de fcil execuo, que consiste em calcular todas as

varincias envolvidas no experimento e dividir a maior delas pela soma de todas. O valor

resultante da diviso ento comparado com os valores crticos de uma tabela estatstica

apropriada, que leva em conta o nmero de varincias envolvidas (k) e o nmero de graus de

liberdade utilizado nos clculos. O tamanho da amostra in deve ser igual para todos os grupos.

Estatstica do teste para testar as hipteses 2k22

21 ...:Ho contra :H1 i,i t.q.

22

ii dada por:

k

1i

2i

2max

S

SC

Rejeita-se a hiptese 0H se ,n,kCC .

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(ii) Anlise Grfica para Verificao da Homocedasticidade:

a) Box Plot dos Tratamentos versus Resduos:

Se existe homocedasticidade, espera-se que os Box Plots sejam semelhantes, ou

seja, apresentem um variabilidade muito prxima nas caixas dos diferentes tratamentos.

Se existe heterocedasticidade, a variabilidade diferente entre as caixas. s vezes, a

heterocedasticidade pode ser tambm um indicio da falta de normalidade. Problema: Pequenas

Amostras.

FIGURA 3 BOX PLOT DOS RESDUOS

b) Grfico de Disperso dos Valores Estimados versus Resduos:

O grfico dos valores estimados versus resduos , no caso de experimentos com

um fator (ONEWAY), semelhante ao grfico de tratamento versus resduos. Este no ser

o caso quando dois ou mais fatores estiverem envolvidos na anlise.

Se existe homocedasticidade, espera-se que os desvios se distribuam de forma homognea

dentre de um mesmo intervalo. Se os desvios apresentarem variao com diferentes

amplitudes, tem-se a situao de heterocedasticidade.

FIGURA 4 VARINCIA CONSTANTE

FIGURA 5A VARINCIA NO CONSTANTE

15

FIGURA 5B VARINCIA NO CONSTANTE

Violaes aos pressupostos do modelo no tm sempre igual gravidade. Alguns

comentrios gerais:

1) O teste F da ANOVA relativamente robusto a desvios hiptese de normalidade;

2) As violaes ao pressuposto de varincias homogneas so em geral pouco graves no caso

de delineamentos equilibrados, mas podem ser mais graves em delineamentos no

equilibrados;

3) A falta de independncia entre erros aleatrios a violao mais grave dos pressupostos e

deve ser evitada, o que em geral possvel com um delineamento experimental adequado.

3 EXPERIMENTOS FATORIAIS

Existem situaes experimentais onde as unidades experimentais so heterogneas,

devido presena de uma (ou mais) fonte(s) de variao(es) conhecida(s) e que pode(m)

ser controlada(s) quando da realizao do experimento.

O experimento fatorial utilizado quando dois ou mais fatores esto sendo estudados

em dois ou mais nveis e a interao entre os fatores pode ser importante.

De acordo com o nmero de fontes de variabilidade conhecidas que tornam as

unidades homogneas, tem-se diferentes tipos de planejamento:

a) experimentos fatoriais com 2 fatores;

b) experimentos fatoriais com 3 fatores;

c) experimentos k2 fatorial.

3.1 Experimentos Fatoriais com 2 Fatores - sem Repetio

Seja o experimento com um fator A com a tratamentos e um fator B com b

tratamentos. Deve-se realizar ensaios com todas as combinaes dos tratamentos de A e B,

totalizando )ba( ensaios.

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FATOR A (linhas)

FATOR B (colunas)

1C 2C ... bC

1L 11x 12x ...

b1x

2L 21x 22x ...

b2x

... ... ... ... ...

aL 1ax 2ax ...

abx

Modelo Estatstico

jijijiy , a...,,2,1i ; b...,,2,1j

onde:

o efeito comum que independe dos fatores;

i o efeito do fator A (linha);

j o efeito do fator B (coluna);

ji o erro aleatrio que apresenta mdia nula e varincia 2 .

Notao utilizada:

i nmero de linhas: a...,,2,1 ;

j nmero de colunas: b...,,2,1 ;

abN nmero total de elementos observados.

As mdias entre linhas (fator A), entre colunas (fator B) e total, so dadas por:

b

X

X

b

1jji

i

mdia entre linhas

a

x

X

a

1iji

j

mdia entre colunas

N

x

X

a

1i

b

1jji

mdia total

As hipteses a serem testadas so:

1) ... a21 ...:H01 (linhas)

b21 ... ...:H02 (colunas)

2) :H 11 pelo menos uma das mdias .i diferente das demais

:H 21 pelo menos uma das mdias j. diferente das demais

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Estudo das variaes

Variao total

N

x

xXxSQT

2a

1j

b

1iji

a

1j

b

1i

2ji

2a

1j

b

1iji

SQT tem distribuio 2 com (N-1) graus de liberdade.

Variao devido ao 1. Fator (entre linhas)

N

x

b

x

XXSQL

2b

1j

a

1iji

a

1i

2b

1jji

b

1j

a

1i

2

i

SQL tem distribuio 2 com (n-1) graus de liberdade.

Variao devido ao 2. Fator (entre colunas)

N

x

a

x

XXSQC

2b

1j

a

1iji

b

1j

2a

1iji

2

j

a

1i

b

1j

SQC tem distribuio 2 com (k-1) graus de liberdade.

Variao residual ou aleatria

SQCSQLSQTXXXxSQR2a

1i

b

1j

jiji

SQR tem distribuio 2 com (a-1)x(b-1) graus de liberdade.

Tem-se que: SQRSQCSQLSQT

possvel demonstrar que cada uma das variaes dividida pelos seus respectivos

graus de liberdade uma estimativa no viesada de 2 , quando se supe que no hajam

diferenas significativas nas mdias das linhas ou nas mdias das colunas ( 0H verdadeira).

1a

XX

S

b

1j

a

1i

2

i

2L

1b

XX

S

a

1i

b

1j

2

j

2C

)1b()1a(

XXXx

S

2a

1i

b

1j

jiji2R

18

O quadro da ANOVA para um experimento fatorial com 2 fatores - sem repetio

FONTE DE VARIAO (FV)

SOMA DE QUADRADOS

(SQ)

GRAUS DE LIBERDADE

(G.L.)

QUADRADO MDIO (QM)

ESTATSTICA F

Entre linhas SQL a-1 1a

SQLS2L

2R

2L

LS

SF

Entre colunas SQC b-1 1b

SQCS 2C

2R

2C

CS

SF

Residual SQR (a-1) (b-1) )1b()1a(

SQRS2R

Total SQT ab-1=N-1

Se ;)1b)(1a()1a(L ;FF , rejeita-se 0H e conclui-se que h diferena de mdia entre linhas. Se

;)1b)(1a()1b(C ;FF , rejeita-se 0H e conclui-se que h diferena de mdia entre colunas.

Exemplos de aplicao:

1) Um engenheiro resolveu testar a influncia do fator umidade, no tempo para incio de

oxidao de certo metal ferroso. Para isso, delineou um experimento com 4 nveis de umidade

relativa e temperatura em 3 nveis. Os resultados, em horas, so apresentados a seguir.

TEMPE-RATURA

UMIDADE RELATIVA (%)

90 80 70 60

85 oC 32 34 40 36

75 oC 35 36 40 42

65 oC 37 39 43 45

Testar a influncia dos dois fatores, com nvel de significncia de 5%.

Soluo:

1) ... a21 ...:H01 (linhas)

b21 ... ...:H02 (colunas)

2) :H 11 pelo menos uma das mdias .i diferente das demais

:H 21 pelo menos uma das mdias j. diferente das demais

TEMPE-RATURA

UMIDADE RELATIVA (%) SOMA DE

ix 90 80 70 60

85 oC 32 34 40 36 142

75 oC 35 36 40 42 153

65 oC 37 39 43 45 164

SOMA DE jx 104 109 123 123 459

19

VALORES AO QUADRADO

TEMPE-RATURA

UMIDADE RELATIVA (%) SOMA DE

2ix 90 80 70 60

85 oC 1.024 1.156 1.600 1.296 5.076

75 oC 1.225 1.296 1.600 1.764 5.885

65 oC 1.369 1.521 1.849 2.025 6.764

SOMA DE 2

jx 3.618 3.973 5.049 5.085 17.725

168,2512

459725.17

N

x

xSQT2

2b

1j

a

1iji

b

1j

a

1i

2ji

60,5012

459

4

164

4

153

4

142

N

x

b

x

SQL2222

2b

1j

a

1iji

a

1i

2b

1jji

94,9212

459

3

123

3

123

3

109

3

104

N

x

a

x

SQC22222

2b

1j

a

1iji

b

1j

2a

1iji

12,8392,9450,6025,168SQCSQLSQTSQR

Quadro da ANOVA a dois critrios de classificao - sem repetio


SOMA DE QUADRADOS

(SQ)

GRAUS DE LIBERDADE

(G.L.)

QUADRADO MDIO (QM)

ESTATSTICA F

Entre linhas 60,50 2 2

50,60S2L 14,143FL

Entre colunas 94,92 3 3

92,94S2C

14,792FC

Residual 12,83 6 6

83,12S2R

Total 168,25 11

Concluses:

Como 14,5FF 62;05,0L ; , rejeita-se 0H , portanto, existe diferena significativa entre os

tempos mdios segundo as temperaturas (linhas);

Como 76,4FF 63;05,0C ; , rejeita-se 0H , portanto, existe diferena significativa entre os

tempos mdios segundo as umidades relativas (colunas).

2) Um engenheiro de qualidade delineou um experimento para verificar se existe influncia dos

fatores temperatura e presso na quantidade percentual de impurezas resultantes na

20

fabricao de um produto qumico. Os resultados so apresentados na tabela abaixo. Verificar

se existem diferenas nos diversos tratamentos, usando nvel de significncia de 1%.

TEMPERATURA

PRESSO

30 35 40 45 50 55

100 oF 3,0 4,3 3,8 4,6 3,5 2,8

125 oF 2,9 4,1 3,6 4,4 3,6 2,2

Soluo:

.. 21:H01 (linhas)

621 ... ...:H02 (colunas)

:H 11 pelo menos uma das mdias .i diferente das demais :H 21 pelo menos uma das mdias j. diferente das demais

Nvel de significncia: 01,0

Clculo das Somas de Quadrados e Quadrados Mdios

TEMPERATURA

PRESSO (jix ) SOMA

DE ix 30 35 40 45 50 55

100 oF 3,0 4,3 3,8 4,6 3,5 2,8 22,0

125 oF 2,9 4,1 3,6 4,4 3,6 2,2 20,8

SOMA DE jx 5,90 8,40 7,40 9,00 7,10 5,00 42,8

TEMPERATURA

2jix

SOMA

DE 2ix 30 35 40 45 50 55

100 oF 9,0 18,5 14,4 21,2 12,3 7,8 83,2

125 oF 8,4 16,8 13,0 19,4 13,0 4,8 75,3

SOMA DE 2jx 17,4 35,3 27,4 40,5 25,2 12,7 158,5

Tem-se que:

67,3X1 mdia do percentual de impurezas - temperatura 1 (100 oF)

47,3X2 mdia do percentual de impurezas - temperatura 1 (125 oF)

95,2X 1 mdia do percentual de impurezas - presso 30






21

Soma de quadrados:

87,512

8,425,158

N

x

xSQT2

2b

1j

a

1iji

b

1j

a

1i

2ji

(Total)

12,012

8,42

6

3,75

6

2,83

N

x

b

x

SQL222

2b

1j

a

1iji

a

1i

2b

1jji

(Entre linhas)

N

x

a

x

SQC

2b

1j

a

1iji

b

1j

2a

1iji

(Entre colunas)

62,512

8,42

2

7,12

2

2,25

2

5,40

2

4,27

2

3,35

2

4,17SQC

2222222

13,062,512,087,5SQCSQLSQTSQR (Residual)

Quadrados Mdios:

12,012

12,0

1a

SQLS2L

(Entre linhas)

1233,116

6167,5

1b

SQCS2C

(Entre colunas)

0260,0)16()12(

1300,0

)1b()1a(

SQRS2R

(Residual)

Estatstica F

6154,40260,0

12,0

S

SF

2R

2L

L (Entre linhas)

2051,430260,0

6167,5

S

SF

2R

2C

C (Entre colunas)

Utilizando o Sistema R:

ANOVA

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

temp 1 0.1200 0.1200 4.6154 0.0844215 .

pressao 5 5.6167 1.1233 43.2051 0.0004080 ***

Residuals 5 0.1300 0.0260

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

Concluso: Sendo o valor-p menor que 0,01, conclui-se que existe diferena de resultados de

impurezas devido variao do fator presso. No entanto, no possvel afirmar que existe

influncia da temperatura.

22

3.2 Experimentos Fatoriais com 2 Fatores - com Repetio

Neste caso, para cada tratamento so feitas n observaes, sendo 1n . Ou seja, tem-

se n observaes, correspondente ao cruzamento da linha )a...,,2,1i(i com a coluna

)b...,,2,1j(j , totalizando nba observaes.

Pelo fato de haver repeties, possvel obter uma estimativa de 2 dentro dos ab

tratamentos. A soma de quadrados dentro dos tratamentos ser representada por rSQT e ser

obtida atravs de:

N

x

n

xSQT

2b

1j

a

1i

n

1kkji2

jia

1i

b

1jr

O efeito dos tratamentos pode ser decomposto em uma parcela devida s diferenas

entre linhas e outra devida diferenas entre colunas. Ainda, deve-se considerar a existncia

de uma parcela adicional, referente interao entre linhas e colunas. As somas de quadrados

entre linhas, colunas e devido interao so dadas por:

N

x

bn

)x(SQL

2b

1j

a

1i

n

1kkji

a

1i

2i

N

x

an

)x(SQC

2b

1j

a

1i

n

1kkji

b

1j

2j

SQCSQLSQTSQI r

Tem-se que a soma de quadrados residual a diferena entre a soma de quadrados

total e soma de quadrados entre tratamentos.

N

x

xSQT

2b

1j

a

1i

n

1kkji

b

1j

a

1i

n

1k

2kji

rSQTSQTSQR

As estimativas das varincias sero dadas atravs das expresses a seguir:

1a

SQLS2L

1b

SQCS 2C

1ab

SQTS r2Tr

)1b()1a(

SQIS2I

23

)1n(ab

SQRS2R

1abn

SQTS2T

Quadro da ANOVA para um experimento fatorial com 2 fatores - com repetio


SOMA DE QUADRADOS

(SQ)

GRAUS DE LIBERDADE

(G.L.)

QUADRADO MDIO (QM)

ESTATSTICA F

Entre linhas SQL a-1 1a

SQLS2L

2R

2L

LS

SF

Entre colunas SQC b-1 1b

SQCS 2C

2R

2C

CS

SF

Interao SQI )1b()1a( )1b()1a(

SQIS2I

2R

2I

IS

SF

Residual SQR ab(n-1) )1n(ab

SQRS2R

Total SQT abn-1=N-1

Exemplos de aplicao:

1) Foram observados os tempos, em segundos, gastos por quatro operrios para montar certa

pea, segundo trs mtodos diferentes. Cada operrio montou duas peas segundo cada

mtodo, sendo os resultados fornecidos no quadro abaixo. considerada admissvel a

existncia de interao entre operrios e mtodos. Verificar, utilizando a anlise da varincia,

se existe diferena significativa entre os mtodos e/ou entre os operrios. Usar 05,0 .

MTODOS

OPERRIOS

1 2 3 4

1 54 46 55 51

52 47 54 60

2 59 61 59 56

57 55 61 57

3 59 63 63 59

62 58 61 60

Soluo:

Hipteses Estatsticas

1) ... 321:H01 (linhas) 321 ...:H02 (colunas)

2) :H 11 pelo menos uma das mdias .i diferente das demais :H 21 pelo menos uma das mdias j. diferente das demais 3) 0)(:H ji03

:H13 pelo menos um 0)( ji

24

MTODOS

jix

ix 1 2 3 4

1 106 93 109 111 419

2 116 116 120 113 465

3 121 121 124 119 485

jx 343 330 353 343 1.369

MTODOS

2sjix

b

1j

a

1i

n

1k

2kjix

1 2 3 4

1 2.916 2.116 3.025 2.601

2.704 2.209 2.916 3.600

2 3.481 3.721 3.481 3.136

3.249 3.025 3.721 3.249

3 3.481 3.969 3.969 3.481

3.844 3.364 3.721 3.600

b

1j

a

1i

n

1k

2kjix 78.579

286,33 24

369.1

8

485

8

465

8

419

N

x

bn

)x(SQL

2222

2b

1j

a

1i

n

1kkji

a

1i

2i

44,46 24

369.1

6

343

6

353

6

330

6

343

N

x

an

)x(SQC

22222

2b

1j

a

1i

n

1kkji

b

1j

2j

403,4624

369.1

2

119

2

124...

2

109

2

93

2

106

N

x

n

xSQT

222222

2b

1j

a

1i

n

1kjki2

jia

1i

b

1jr

67,7246,4433,28646,403SQCSQLSQTSQI r

488,9624

369.1579.78

N

x

xSQT2

2b

1j

a

1i

n

1kkji

b

1j

a

1i

n

1k

2kji

85,5046,40396,488SQTSQTSQR r

Quadro da ANOVA a dois critrios de classificao com repetio


SOMA DE QUADRADOS

(SQ)

GRAUS DE LIBERDADE

(G.L.)

QUADRADO MDIO (QM)

ESTATSTICA F


33,286S2L 20,09 FL


46,44S2C

2,08 FC

Interao 67,72 6 6

67,72S2I

1,70 FI

Residual 50,85 12 12

50,85S2R

Total 96,488 23

b

1j

a

1i

n

1kkji

x

25

I) 3,89 FF 122;05,0L ; , rejeita-se 0H , portanto, existe diferena significativa entre linhas;

II) 3,49FF 123;05,0C ; , aceita-se 0H , portanto, no existe diferena significativa entre as

colunas. III) 00,3FF 126;05,0I ; , aceita-se 0H , a interao no significativa.

Como a interao no significativa, a SQI pode ser somada SQR e justifica-se testar

as hipteses:

1) ... a21 ...:H01 (linhas)

b21 ... ...:H02 (colunas)

2) :H 11 pelo menos uma das mdias .i diferente das demais :H 21 pelo menos uma das mdias j. diferente das demais

Refazendo a anlise da varincia, tem-se:

Quadro da ANOVA a dois critrios de classificao com repetio


SOMA DE QUADRADOS

(SQ)

GRAUS DE LIBERDADE

(G.L.)

QUADRADO MDIO (QM)

ESTATSTICA F


33,286S2L 16,29 FL


46,44S2C

1,69 FC

Residual 158,17 18 18

7,158S2R

Total 96,488 23

I) 3,55 FF 182;05,0L ; , rejeita-se 0H , portanto, existe diferena significativa entre linhas;

II) 16,3FF 183;05,0C ; , aceita-se 0H , portanto, no existe diferena significativa entre as

colunas.

Concluso: Conclui-se, portanto, que existe diferena significativa entre os mtodos.

2) Foram feitos ensaios com baterias para verificar a influncia dos fatores material e

temperatura ambiente, na sua vida til. Foram testados 3 tipos de baterias em 3 temperaturas

diferentes, com ensaios com 4 repeties. Os resultados so apresentados a seguir, em horas.

Verificar se existem vidas mdias diferentes, para os fatores considerados, com 05,0 .

Verificar tambm, se existe interao entre os fatores.

TEMPERATURA MATERIAL

Alfa (A) Beta (B) Gama (G)

+ 50oC (1)

69 58 39 60 60 38 64 65 47 58 59 42

+ 20oC (2)

67 61 53

58 60 59

66 67 63

70 62 58

- 10oC (3)

75 62 60

60 65 63

68 63 61

70 69 61

26

Soluo:

a) Hipteses Estatsticas

1) ... 321:H01 (linhas)

621 ... ...:H02 (colunas)

2) :H 11 pelo menos uma das mdias .i diferente das demais :H 21 pelo menos uma das mdias j. diferente das demais

3) 0)(:H ji03

:H13 pelo menos um 0)( ji

b) Nvel de significncia: 05,0

c) Clculo das Somas de Quadrados e Quadrados Mdios

Tem-se que:

92,54X1 vida til mdia para temperatura 50 oC

00,62X2 vida til mdia para temperatura 20 oC

75,64X3 vida til mdia para temperatura -10 oC

42,65X 1 vida til mdia para material alpha

58,62X 2 vida til mdia para material beta

67,53X 3 vida til mdia para material gama

TEMPERA-

TURA MATERIAL (

jix )

TOTAL


+ 50oC (1) 251 242 166 659

+ 20oC (2) 261 250 233 744

- 10oC (3) 273 259 245 777

TOTAL 785 751 644 2.180

TEMPERA-

TURA MATERIAL (

2kjix )


+ 50oC (1)

4.761 3.364 1.521 3.600 3.600 1.444 4.096 4.225 2.209 3.364 3.481 1.764

+ 20oC (2)

4.489 3.721 2.809

3.364 3.600 3.481

4.356 4.489 3.969

4.900 3.844 3.364

- 10oC (3)

5.625 3.844 3.600

3.600 4.225 3.969

4.624 3.969 3.721

4.900 4.761 3.721

2.180 xb

1j

a

1i

n

1kkji

134.374 xb

1j

a

1i

n

1k

2kji

27

Soma de quadrados:

2.362,89 36

180.2374.134

N

x

xSQT2

2b

1j

a

1i

n

1kkji

b

1j

a

1i

n

1k

2kji

(Total)

N

x

bn

)x(SQL

2b

1j

a

1i

n

1kkji

a

1i

2i

(Entre linhas)

617,72 36

180.2

43

777

43

744

43

659SQL

2222

N

x

an

)x(SQC

2b

1j

a

1i

n

1kkji

b

1j

2j

(Entre colunas)

902,39 36

180.2

43

644

43

751

43

785SQC

2222

N

x

n

xSQT

2b

1j

a

1i

n

1kkji2

jia

1i

b

1jr

(Entre tratamentos)

1.905,3936

180.2

4

245

4

242

4

261

4

251SQT

22222

r

385,28 39,90272,61739,905.1SQCSQLSQTSQI r (Entre interao)

457,50 39,905.189,362.2SQTSQTSQR r (Residual)

Quadrados Mdios:

308,8612

72,617

1a

SQLS2L

(Entre linhas)

451,19 12

39,902

1b

SQCS2C

(Entre colunas)

238,17 133

39,905.1

1ab

SQTS r2Tr

(Entre tratamentos)

96,32)13()13(

28,385

)1b()1a(

SQIS2I

(Interao)

16,94)14(33

50,457

)1n(ab

SQRS2R

(Residual)

67,51 1433

89,362.2

1abn

SQTS2T

(Total)

28

d) Estatstica F

18,2394,16

86,308

S

SF

2R

2L

L (Entre linhas)

26,63 94,16

19,451

S

SF

2R

2C

C (Entre colunas)

5,6894,16

32,96

S

SF

2R

2I

I (Interao)

Utilizando o R:


temp 2 617.72 308.86 18.2279 9.774e-06 ***

tipo 2 902.39 451.19 26.6279 4.102e-07 ***

temp:tipo 4 385.28 96.32 5.6844 0.001878 **

Residuals 27 457.50 16.94

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

Concluso: Como os nveis de significncia so < 0,05, conclui-se que:

a) existe diferena de mdias entre temperaturas;

b) existe diferena de mdias entre materiais ;

c) a interao entre os fatores material e temperatura significativa.

3.3 Comparaes Mltiplas de Mdias

3.3.1 Modelos de classificao a dois critrios (dois fatores) sem repetio

Teste HSD de Tukey

O modelo de Tukey recomenda considerar distintas as mdias:

b

QMRqXX )1b()1a(; ;a.. mi (para testar a diferena entre linhas)

a

QMRqXX )1b)(1a(;b;mj .. (para testar a diferena entre colunas)

Onde:

a nmero de linhas i= 1,2,...,a;

b nmero de colunas j= 1,2,..., b.

Teste de Scheff

A estatstica do teste de Scheff dada por:

29

)1a()1b(,1a;Fb

)1a(2QMRXX ml .. (para testar a diferena entre linhas)

)1a()1b(,1b;Fa

)1b(2QMRXX .. ml (para testar a diferena entre colunas)

3.3.2 Modelos de classificao a dois critrios (dois fatores) com repetio

Teste de Tukey

nb

QMRqXX )1n(ab;a;.. mi (para testar a diferena entre linhas)

na

QMRqXX )1n(ab;b;mj .. (para testar a diferena entre colunas)

n

QMRqXX ;)1n(ab;ab;mj .. (para testar a diferena entre interaes)

Teste de Scheff

A estatstica do teste de Scheff dada por:

)1n(ml ab,1a;Fbn

)1a(2QMRXX .... (para testar a diferena entre linhas)

)1n(ml ab,1b;Fan

)1b(2QMRXX .... (para testar a diferena entre colunas)

Onde:

a nmero de linhas i= 1,2,...,a;

b nmero de colunas j= 1,2,..., b;

n nmero de repeties

Exemplos de aplicao

1) Considere o exemplo da pg. 19, apresentado a seguir.

Um engenheiro resolveu testar a influncia do fator umidade, no tempo para incio de oxidao

de certo metal ferroso. Para isso, delineou um experimento com 4 nveis de umidade relativa e

temperatura em 3 nveis. Os resultados, em horas, so dados a seguir.

TEMPE-RATURA

UMIDADE RELATIVA (%)

90 80 70 60

85 oC 32 34 40 36

75 oC 35 36 40 42

65 oC 37 39 43 45

Testar a influncia dos dois fatores, com nvel de significncia de 5%.

30

Soluo:

Concluiu-se atravs da ANOVA que existe diferena significativa entre os tempos

mdios segundo as temperaturas (linhas) e entre os tempos mdios segundo as umidades

relativas (colunas).

Portanto, deve-se aplicar o teste de comparao entre mdias tanto para as linhas

quanto para as colunas. Aplica-se ento, o teste de Tukey, para modelo de classificao a dois

critrios (dois fatores) sem repetio, para linhas e colunas.

a) Comparao de tempos mdios segundo temperaturas (linhas)

05,0

3)linhas(a

4)colunas(b

3392,4q crit

1383,2SQMR 2R

(do quadro da ANOVA)

1730,3b

QMRcritqHSD

TEMPE-RATURA

MDIA DO TEMPO DE INCIO

DA OXIDAO

85 oC 35,50

75 oC 38,25

65 oC 41,00

TEMPERA-TURAS

DIFERENA DE MDIAS

SIGNIFI-CATIVA

85 E 75 2,75 no

85 E 65 5,50 sim

75 E 65 2,75 no

Conclui-se que existe diferena significativa entre o tempo mdio para o incio da

oxidao, entre as temperaturas 85 oC e 65 oC, para nvel de 5% de significncia.

b) Comparao de tempos mdios segundo umidades relativas (colunas)

05,0

3)linhas(a

4)colunas(b

8956,4q crit

1383,2SQMR 2R

(do quadro da ANOVA)

31

1337,4a

QMRcritqHSD

UMIDADE RELATIVA

MDIA DO TEMPO DE INCIO DA OXIDAO

90 34,67

80 36,33

70 41,00

60 41,00

UMIDADES DIFERENA DE MDIAS SIGNIFICATIVA

90 E 80 1,67 no

90 E 70 6,33 sim

90 E 60 6,33 sim

80 E 70 4,67 sim

80 E 60 4,67 sim

70 E 60 0,00 no

Conclui-se que existe diferena significativa entre o tempo mdio para o incio da

oxidao, entre as umidade relativas 90 e 80 com 70 e 60, para nvel de 5% de significncia.

3.4 Determinao do Tamanho da Amostra

Etapas para determinao do nmero mnimo de rplicas (CALEGARE, 2009):

1 Estabelecer os mximos erros permitidos:

Erro tipo I = ; e

Erro tipo II =

2 Estimar a varincia )( 2 do processo (na falta de dados mais precisos, usar 2RSQMR da

ANOVA).

3 Estabelecer a diferena mnima (D) que se deseja detectar entre duas mdias de

tratamentos.

4 Calcular 2 e para os fatores 1 e 2, atravs de:

Para o fator 1: 2

221

a2

nbD

;

Para o fator 2: 2

222

b2

naD

;

Tem-se que 1 e 2 , so respectivamente a raiz quadrada positiva de 21 e

22 .

5 Obter o min na tabela, usando os graus de liberdade apresentados a seguir:

Para o fator 1: 1,min

1a1 ; )1n(ab2

32

Para o fator 2: 2min,

1b1 ; )1n(ab2

6 Comparar 1,min com 1 . Se 1min,1 , o nmero de rplicas insuficiente e deve ser

aumentado; comparar 2min, com 2 . Se 2min,2 , o nmero de rplicas insuficiente e

deve ser aumentado.

Em havendo interesse na deteco de uma diferena mnima (D) entre dois efeitos

quaisquer da interao entre A e B, o procedimento a ser seguido dado por:

1)1b()1a(2

nDeraointda

2

22

BA2

Calcular 2BABA e comparar com o valor tabelado de )BA(min, , com

)1b()1a(1 e )1n(ab2 graus de liberdade.

Exemplo de aplicao:

Calcular o nmero mnimo de rplicas para um experimento com dois fatores, sendo o fator 1

com 4 nveis e fator 2 com 3 nveis, mm3 , considerando as diferena entre as duas

mdias de mm94,4D1 e mm17,4D2 . Utilizar %5 e %1 .

Soluo:

4a

3b

mm3

%5

%1

mm94,4D1

mm17,4D2

3141a1

Para o fator 1:

n1,0168342

94,43n

a2

nbD22

221

2

, logo: n1,00841 . Atribuindo diferentes valores para n,

tem-se:

n 21 1 ab(n-1) 1,min

4 4,0673 2,0167 36 53,2

5 5,0841 2,2548 48 50,2

6 6,1009 2,4700 60 47,2

33

Para o fator 2:

2131b1

n1,2881332

17,44n

b2

naD2

2

2

222

, logo: n1,13492 . Atribuindo diferentes valores para n,

tem-se:

n 22 2 ab(n-1) 2,min

4 5,1523 2,2699 36 87,2

5 6,4403 2,5378 48 82,2

6 7,7284 2,7800 60 78,2

O nmero mnimo de rplicas deve ser igual a 6.

LISTA DE EXERCCIOS No. 1

1) Trs pesquisadores utilizando quatro mtodos diferentes, determinam a velocidade do som

(em m/s) em certo meio, obtendo os resultados:

MTODOS PESQUISADORES

P1 P2 P3

A 341 342 340

B 345 344 346

C 338 339 340

D 343 341 342

Pode-se identificar se existe diferena significativa, no nvel de 5% de significncia, entre os

mtodos utilizados ou entre os pesquisadores? Caso existe diferena significativa, utilizar o

teste de Tukey para identificar quais mdias so diferentes, ao nvel de 5% de significncia.

2) Um engenheiro suspeita que o acabamento de uma superfcie de peas metlicas seja

influenciado pelo tipo de tinta usada e pelo tempo de secagem. Ele selecionou trs tempos de

secagem - 20, 25 e 30 minutos - e usou dois tipos de tinta. Trs peas so testadas com cada

combinao de tipo de tinta e tempo de secagem. Os dados so apresentados a seguir.

TINTA TEMPO DE SECAGEM (min)

20 25 30

1 74 73 78 64 61 85 50 44 92

2 92 98 66 86 73 45 68 88 85

a) Estabelea as hipteses de interesse nesse experimento;

b) testar as hipteses anteriores e tirar concluses, usando a anlise da varincia com

05,0 .

34

3) Pesquisadores descrevem um experimento conduzido para investigar a toro das placas de

cobre. Os dois fatores estudados foram temperatura e teor de cobre nas placas. A varivel

resposta a intensidade de toro. Os dados so apresentados a seguir.

TEMPERA-

TURA ( Co )

TEOR DE COBRE (%)

40 60 80 100

50 17,20 16,21 24,22 28,27 75 12,90 18,13 17,12 27,31 100 16,12 18,21 25,23 30,23 125 21,17 23,21 23,22 29,31

H qualquer indicao de que cada fator afeta a intensidade de toro? Em caso afirmativo,

utilizar o teste de Tukey. Usar 05,0 .

4) Realizou-se um experimento para investigar o efeito de dois fatores (tipo de vidro e tipo de

fsforo) no brilho de um tubo de televiso. A varivel de resposta medida a corrente (em

microampres) necessria para obter um nvel especificado de brilho. Os dados so

apresentados na tabela abaixo.

TIPO DE VIDRO

TIPO DE FSFORO

1 2 3

1 280 300 290 290 310 285 285 295 290

2 230 260 220 234 240 225 240 235 230

a) Estabelea as hipteses de interesse nesse experimento;

b) teste as hipteses anteriores e tire concluses, usando a anlise da varincia com 05,0 .

3.5 Experimento k2 Fatorial

Neste tipo de experimento fatorial o nmero de nveis de cada fator fixado em 2 e o

nmero de tratamentos funo do nmero de fatores k, ou seja, o nmero de tratamentos

k22...22 .

Os delineamentos fatoriais k2 possuem grande aplicao industrial. Esses

delineamentos permitem a avaliao em separado dos efeitos individuais e dos efeitos de

interao dos fatores num experimento.

O experimento consiste de k2 tentativas, uma tentativa em cada combinao dos dois

nveis dos fatores. Para identificar as tentativas individuais utilizada, dentre outras, as

notaes a seguir:

(i) os fatores so representados por letras;

(ii) os nveis pelos sinais + e - ( baixo nvel representado por - e alto nvel por +).

35

Em experimentos que envolvem desenhos k2 sempre importante examinar a

magnitude e direo dos efeitos dos fatores para determinar quais variveis so realmente

importantes. A Anlise da Varincia pode ser geralmente usada para confirmar esta

interpretao (o teste t tambm pode ser usado).

A ANOVA o meio formal para determinar quais efeitos so diferentes de zero. No

entanto, outros mtodos podem ser utilizados para avaliar a significncia dos efeitos.

3.5.1 Experimento Fatorial 22

Um experimento 22 fatorial tem dois fatores, A e B, cada um a dois nveis. Este

experimento tem 4222 2 combinaes (tratamentos/ensaios), que podem ser

representadas por )1( a b ab . Por conveno, (1) utilizado para denotar ambos os fatores

de baixo nvel.

A seguir, a tabela de sinais para o clculo dos efeitos em um experimento 22 .

TRATA-MENTOS

I EFEITO FATORIAL

A B AB

)1( + - - +

a + + - -

b + - + -

ab + + + +

Os sinais para a interao AB so obtidos a partir do produto dos sinais das colunas A e

B.

CLCULO DOS EFEITOS

O efeito de um fator a mudana que se verifica na resposta quando o nvel deste fator

alterado.

)n2())1(b()aab(A

)n2())1(a()bab(B

Efeito da interao:

)n2()ba())1(ab(AB

As letras minsculas (1), a, b e ab, representam o total de todas as n repeties,

obtido para o correspondente tratamento.

Nas frmulas acima, as expresses entre colchetes so chamadas de contrastes, isto

:

)1(baabCContraste AA

36

)1(ababCContraste BB

ba)1(abCContraste ABAB

Assim, os efeitos podem ser obtidos por:

n2

contraste

n2

contrasteefeito

1k

Tem-se que:

Os contrastes so ortogonais

A soma dos sinais dos coeficientes de ab, a, b e (1) igual a zero

A soma dos produtos dos sinais dos coeficientes igual a zero.

ANLISE DA VARINCIA

O modelo da anlise da varincia para um plano fatorial 22 executado no

delineamento experimental bsico inteiramente casualizado :

ljijijiljiy , com

2,1ji

n...,,2,1l

ljiy a resposta observada da l-sima repetio do i-simo nvel do fator A e j-simo nvel do

fator B;

o parmetro que fornece uma informao mdia da resposta no experimento;

i o efeito do i-simo nvel do fator A;

j o efeito do j-simo nvel do fator B;

ji o efeito da interao da ij-sima combinao dos fatores A e B;

lji o erro experimental associado a i, j, l-sima unidade experimental.

Os graus de liberdade segundo as causas de variao encontram-se abaixo:

FONTES DE VARIAO

G.L.

Fator A 1

Fator B 1

Interao AxB 1

Resduo 4(n-1)

TOTAL 4n-1

As somas de quadrados podem ser obtidas a partir dos contrastes:

n2

)contraste(SQ

k

2

)n2())1(b()aab(SQA k2

37

)n2())1(a()bab(SQB k2

)n2()ba()1(ab(SQAB k2

A soma de quadrados total ( SQT) obtida de forma usual:

N

TxSQT

2

kji

2kji

...

Tambm a soma de quadrados residual (SQR ):

SQABSQBSQASQTSQR

Exemplo 1:

Seja o experimento em que se deseja verificar o efeito de 2 fatores: fator A, que

representa o percentual de cimento, que assume os nveis: 15% e 20%; fator B, representando

a ausncia ou presena de aditivo. A varivel resposta o tempo de secagem (em dias).

TRATAMENTO REPETIES

TOTAL I II III

Baixo, Ausente 11 14 11 36 Alto, Ausente 20 16 18 54

Baixo, Presente 15 19 14 48 Alto, Presente 19 18 22 59

Um experimento 22 pode ser representado pela figura abaixo:

Clculo dos efeitos:

83,4)32/())3648()5459(()n2())1(b()aab(A

83,2)32/())3654()4859(()n2())1(a()bab(B

17,1)32/())4854()3659(()n2()ba())1(ab(AB

Contrastes:

2936485459)1(baabCContraste AA

FATOR B

ADITIVO

FATOR A

% DE CIMENTO

+

-

-

+

b=48

(1) 36

ab=59

a=54

38

1736544859)1(ababCContraste BB

748543658ba)1(abCContraste ABAB

Tem-se ento:

TRATAMEN-TOS

I A B AB

+ - - + a + + - - b + - + - ab + + + +

Efeitos 4,83 2,83 -1,17 Contrastes 29 17 -7

Clculo das somas de quadrados:

08,70)32(29)n2(C)n2())1(b()aab(SQA 222 kA

k2

08,24)32(17)n2(C)n2())1(a()bab(SQB 222 kB

k2

08,4)32()7()n2(C)n2()ba()1(ab(SQAB 222 kAB

k2

92,13412

197)22111411(

N

TxSQT

22222

2

kji

2kji

...

67,3608,408,2408,7092,134SQABSQBSQASQTSQR

Tabela da ANOVA:

FONTES DE VARIAO

SOMA DE QUADRADOS

G.L. QUADRADOS

MDIOS F

Fator A 70,08 1 70,08 15,29 Fator B 24,08 1 24,08 5,25 Interao AxB 4,08 1 4,08 0,89 Resduo 36,67 8 4,58 TOTAL 134,92 11

Para nvel de significncia de 5% tem-se que o 32,5F )8,1;05,0( . Logo, o fator A

significativo.

Exemplo 2:

(Montgomery, pg. 291). Considere o experimento para verificar o efeito da

concentrao de um reagente e a quantidade de um catalisador na produo de uma reao

qumica. Fator A: reagente nveis = 15% e 25%. Fator B: catalisador nveis 2 pounds e

1 pound (1 pound = 0,454 kg).

O menor e o maior nvel de um fator podem ser representados pelos sinais - e +,

respectivamente. O efeito AB representa a interao entre o fator A e o fator B.

39

FATOR TRATAMENTOS

REPETIES TOTAL

A B I II III

- - A15, B1 28 25 27 80

+ - A25, B1 36 32 32 100

- + A15, B2 18 19 23 60

+ + A25, B2 31 30 29 90

Os 4 tratamentos so representados por letras minsculas: (1), a, b, ab. Assim, (1), o

tratamento correspondente aos menores nveis de A (-) e B (-); a, corresponde ao nvel alto de

A (+) e baixo de B (-); b, corresponde ao nvel alto de B (+) e baixo de A (-); ab, corresponde a

combinao dos nveis altos de A (+) e B (+).

Graficamente, este delineamento usualmente representado por um quadrado.

Clculo dos efeitos principais de A e de B e da interao AB.

Pode-se calcular esses efeitos por meio da figura acima.

33,8)32/())8060()10090(()n2())1(b()aab(A

00,5)32/())80100()6090(()n2())1(a()bab(B

67,1)32/())60100()6090(()n2()ba())1(ab(AB

Interpretao: o efeito de A positivo sugerindo que o aumento da concentrao do reagente

de 15% para 25%, aumenta a produo. O efeito de B negativo o que sugere que,

aumentando-se a quantidade do catalisador, diminui a produo. O efeito da interao

pequeno em relao aos efeitos principais.

Contrastes:

00,50806010090)1(baabACAContraste

00,30801006090)1(ababBCBContraste

00,10601008090ba)1(abABCABContraste

Clculo das somas de quadrados:

208,33)32(50)nk2(A

C)nk2(2))1(b()aab(SQA 222

(1)=80 a=100

b=60 ab=90

- +

+

-

A

B

40

75,00)32()30()nk2(B

C)nk2(2))1(a()bab(SQB 222

8,33)32()10()nk2(AB

C)nk2(2)ba()1(ab(SQAB 222

00,323075.9398.912

300)29272528(

N

2T

kji

2kji

xSQT2

2222...

34,3133,800,7533,20800,323SQABSQBSQASQTSQR

Tabela da ANOVA:

FONTES DE VARIAO

SOMA DE QUADRADOS

G.L. QUADRA-

DOS MDIOS

F

Fator A 208,33 1 208,33 53,15 Fator B 75,00 1 75,00 19,13 Interao AxB 8,33 1 8,33 2,13 Resduo 31,24 8 3,92 TOTAL 323,00 11

Para nvel de significncia de 5% tem-se que o 32,5F )8,1;05,0( . Logo, os fatores A e B

so significativos. A interao no significativa.

3.5.2 Experimento Fatorial 32

Este plano tem 82222 3 tratamentos. Os tratamentos podem ser representados

por (1), a, b, ab, c, ac, bc e abc.

Modelo:

smjimjimjmimjijismjiy

smjiy a resposta observada da s-sima repetio do i-simo nvel do fator A, j-simo nvel do

fator B e m-simo nvel do fator C;

o parmetro que fornece uma informao mdia da resposta no experimento;

i o efeito do i-simo nvel do fator A;

j o efeito do j-simo nvel do fator B;

ji o efeito da interao da ij-sima combinao dos fatores A e B;

m o efeito do m-simo nvel do fator C;

mjimjmi ,, so os efeitos das interaes AxC, BxC e AxBxC, respectivamente;

smji o erro experimental associado a i, j, m, s-sima unidade experimental.

A seguir, a tabela de sinais para o clculo dos efeitos em um experimento 32 .

TRATA-

MENTO

EFEITO FATORIAL

I A B AB C AC BC ABC

(1) + - - + - + + - a + + - - - - + + b + - + - - + - +

ab + + + + - - - - c + - - + + - - +

ac + + - - + + - - bc + - + - + - + - abc + + + + + + + +

41

Efeitos principais:

n4bccb)1(abcacabaA

n4acca)1(abcbcabbB

n4abba)1(abcbcaccC

As interaes so obtidas a partir de:

n4cacbcabc)1(ababAB

n4bbcababc)1(caacAC

n4aacababc)1(cbbcBC

n4)1(ababcacbcabcn4))1(a()bab()cac()bcabc(ABC

Nas frmulas acima, as expresses entre colchetes so chamadas de contrastes, isto

:

bccb)1(abcacabaCContraste AA

acca)1(abcbcabbCContraste BB

abba)1(abcbcaccCContraste CC

cacbcabc)1(ababContraste AB

bbcababc)1(caacContraste AC

aacababc)1(cbbcContraste BC

)1(ababcacbcabcContraste ABC

Assim, os efeitos podem ser obtidos por:

n4

contraste

n2

contrasteefeito

1k

As somas de quadrados so obtidos a partir de:

n2

)contraste(SQ

k

2

Os graus de liberdade segundo as causas de variao encontram-se abaixo:

CAUSAS DE VARIAO G.L.

Fator A 1

Fator B 1

Interao AxB 1

Fator C 1

Interao AxC 1

Interao BxC 1

Interao AxBxC 1

Resduo 8(n-1) TOTAL 8n-1

42

As somas de quadrados tambm podem ser obtidas na forma tradicional:

n8

yySQT

22

1i

2

1j

2

1m

n

1s

2smji

....

n8

y

n4

y

SQA

2

2

1i

2i .......

n8

y

n4

y

SQB

2

2

1j

2

....... j

n8

y

n4

y

SQC

2

2

1j

2m .......

SQBSQAn8

y

n2

y

SQAxB

2

2

1i

2

1j

2

......ji

SQCSQAn8

y

n2

y

SQAxC

2

2

1i

2

1m

2m ......i

SQCSQBn8

y

n2

y

SQBxC

2

2

1j

2

1m

2m ...... j

SQBxCSQAxCSQAxBSQCSQBSQAn8

y

n2

y

SQAxBxC

2

2

1i

2

1j

2

1m

2mi .....j

SQAxBxCSQBxCSQAxCSQAxBSQCSQBSQASQTSQR

Exemplo: Um tcnico deseja melhorar a transparncia da gua (maior melhor). Os fatores

controlveis so:

Fator A: quantidade de sulfato de alumnio

Fator B: quantidade de cal

Fator C: temperatura ( Co )

Nota: mL/glitro/mg)milhoporpartes(ppm

Sulfato de alumnio

30 ppm (-) 40 ppm (+)

Cal 10 ppm (-) 15 ppm (+) 10 ppm (-) 15 ppm (+)

Temperatura 15 (-) 20 (+) 15 (-) 20 (+) 15 (-) 20 (+) 15 (-) 20 (+)

replicaes 6,1 6,6 5,1 6,4 8,3 10,4 9,5 8,7

7,6 6,0 4,6 5,5 9,2 9,8 10,7 10,7

6,8 6,2 5,7 6,0 10,3 8,7 8,5 9,4

Soluo:

A tabela dos sinais do experimento fatorial 32 dada por:

43

TRATA-MENTO

EFEITO FATORIAL

I A B AB C AC BC ABC

(1) + - - + - + + - a + + - - - - + + b + - + - - + - +

ab + + + + - - - - c + - - + + - - +

ac + + - - + + - - bc + - + - + - + - abc + + + + + + + +

Assim, os tratamentos sero identificados como segue:

Sulfato de alumnio

30 ppm (-) 40 ppm (+)

Cal 10 ppm (-) 15 ppm (+) 10 ppm (-) 15 ppm (+)

Temperatura 15 (-) 20 (+) 15 (-) 20 (+) 15 (-) 20 (+) 15 (-) 20 (+)

Replicaes 6,1 6,6 5,1 6,4 8,3 10,4 9,5 8,7

7,6 6,0 4,6 5,5 9,2 9,8 10,7 10,7

6,8 6,2 5,7 6,0 10,3 8,7 8,5 9,4

Tratamentos (1) c b bc a ac ab abc

Tem-se ento o clculo dos efeitos:

TRATAMENTOS A B C AB AC BC ABC

EFEITOS 3,47 0,43 0,17 0,57 0,03 0,27 0,43

SIGNIFICNCIA

( %)5 Sim No No No No No No

Anlise da varincia:


A 1 72.107 72.107 111.9379 1.246e-08 ***

B 1 1.127 1.127 1.7490 0.2046

C 1 0.167 0.167 0.2587 0.6179

A:B 1 1.927 1.927 2.9909 0.1030

A:C 1 0.007 0.007 0.0103 0.9202

B:C 1 0.427 0.427 0.6624 0.4277

A:B:C 1 1.127 1.127 1.7490 0.2046

Residuals 16 10.307 0.644

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

O fator A (quantidade de sulfato de alumnio) fortemente significativo. O seu controle

fundamental para assegurar a transparncia da gua.

3.5.3 Experimentos Fatoriais sem Rplicas

Em algumas situaes, o nmero de combinaes dos fatores do experimento

(tratamentos) grande. Nestes casos, os recursos disponveis podem ser para uma nica

execuo do projeto, ou seja, o experimento no possuir rplicas.

44

Um risco evidente quando se conduz um experimento sem rplicas que o modelo

ajustado pode levar a concluses erradas. Alm disto, neste caso no h estimativa interna de

erro (erro puro).

Uma aproximao para anlise assumir que interaes de ordem maior so

negligenciveis e combinar suas estimativas dos erros quadrticos mdio. O mtodo de anlise

devido a Daniel (1959), proporciona uma forma simples para superar este problema. Daniel

sugere analisar o grfico de probabilidade normal das estimativas dos efeitos. Os efeitos que

so negligenciveis so normalmente distribudos com mdia zero e varincia 2 e tende a

ficar prximo da reta. Ento, o modelo inicial ser especificado para conter aqueles efeitos

aparentemente diferentes de zero, com base no grfico de probabilidade normal. Os efeitos

aparentemente negligenciveis so combinados como estimativa do erro.

3.5.3.1 Grfico de Probabilidade Normal

Para a construo do grfico de probabilidade normal, deve-se seguir os seguintes

passos:

1) Considere os efeitos amostra x1, ..., xn;

2) Ordene os elementos da amostra, ou seja, x(1) x(2) ... x(n);

3) Calcule n valores n

)5,0j(100p j

, com n...,,2,1j .

4) Plote o grfico representando a varivel jx (efeito) no eixo das abcissas e jp no eixo das

ordenadas. Os valores da varivel jx prximos da linha reta, no so importantes. A linha a

reta traada subjetivamente. Uma boa regra traar a linha aproximadamente entre percentil

25 e percentil 75.

3.5.3.2 Mtodo de Lenth

Outro mtodo para analisar um experimento fatorial sem rplica o Metodo de Lenth.

um mtodo que possibilita decidir quais efeitos so ativos na anlise de experimentos sem

rplicas, em que no h graus de liberdade para estimar a varincia do erro. Assim, proposto

um mtodo para estimar uma quantidade semelhante ao erro padro, chamado de pseudo erro

padro ou PSE.

Seja um experimento fatorial com dois nveis e suponha que existam m contrastes ou

efeitos estimados. Sejam m21 c...,,c,c os contrastes ou efeitos estimados, com 12mk .

Inicialmente, calcula-se a quantidade

j0 cmediana5,1s

45

Assim, o clculo do pseudo erro padro (PSE) ser:

0jj s5,2ccmediana5,1PSE :

Em relao ao critrio de deciso de quais efeitos so ativos, define-se uma margem de

erro dos contrastes jc , representado por ME. O valor da margem de erro dado por:

PSEtME d;2

Onde: 3

md e, normalmente, utiliza-se 05,0 .

Assim, tem-se que ME uma margem de erro para jc com nvel de confiana

aproximada de %95 . Contrastes que excedem o valor de ME em valor absoluto so

considerados ativos com nvel de significncia de %95 .

Entretanto, quando h um grande nmero de contrastes m , espera-se que uma ou duas

estimativas de contrastes inativos excedam o valor de ME, conduzindo a uma falsa concluso.

Desta forma, a fim de tratar estes casos, definida uma margem de erro simultnea, que ser

denotada por SME. Esta medida calculada multiplicando o pseudo erro padro PSE por um

fator d;t . Assim,

PSEtSME d;

em que: 2/)95,01( m/1

usual construir um grfico para mostrar as medidas apresentadas. Para isto, constri-

se um grfico de barra mostrando os valores absolutos das estimativas dos contrastes ou

efeitos estimados e adiciona-se linhas de referncias com os valores de ME e SME. Os

contrastes cujas barras estendem a linha SME so considerados ativos. J aqueles cujas

barras no estendem a linha de referncia ME so considerados inativos. Os contrastes cujas

barras esto entre as linhas de referncias ME e SME requerem um cuidado maior na deciso.

A regio entre as linhas ME e SME dita regio de incerteza e necessrio um bom

argumento para decidir se o(s) contraste(s) (so) ativo(s) ou no.

Exemplo:

(Montgomery, D. C. , pg. 231). Um produto qumico produzido em um vaso de presso. Com

o objetivo de estudar quais fatores influenciam na taxa de filtrao do produto (Y), foi realizado

um experimento fatorial em que se considerou 4 fatores: A (temperatura), B (presso), C

(concentrao de formaldeido) e D (velocidade de agitao). Cada fator observado em dois

nveis.

A matriz de planejamento e a resposta dos dados, considerando um experimento sem

rplicas encontra-se apresentada abaixo.

46

TRATAMENTO A B C D Y

(1) -1 -1 -1 -1 45

a 1 -1 -1 -1 71

b -1 1 -1 -1 48

ab 1 1 -1 -1 65

c -1 -1 1 -1 68

ac 1 -1 1 -1 60

bc -1 1 1 -1 80

abc 1 1 1 -1 65

d -1 -1 -1 1 43

ad 1 -1 -1 1 100

bd -1 1 -1 1 45

abd 1 1 -1 1 104

cd -1 -1 1 1 75

acd 1 -1 1 1 86

bcd -1 1 1 1 70

abcd 1 1 1 1 96

Calcula-se as estimativas dos efeitos por clculos diretos.

TERMO ESTIMATIVA DOS EFEITOS

A 21,625

B 3,125

C 9,875

D 14,625

AB 0,125

AC -18,125

AD 16,625

BC 2,375

BD -0,375

CD -1,125

ABC 1,875

ABD 4,125

ACD -1,625

BCD -2,625

ABCD 1,375

a) Grfico de Probabilidade Normal

j TRAT EFEITO 100(j-0,5)/15

1 AC -18,125 3,33

2 BCD -2,625 10,00

3 ACD -1,625 16,67

4 CD -1,125 23,33

5 BD -0,375 30,00

6 AB 0,125 36,67

7 ABCD 1,375 43,33

8 ABC 1,875 50,00

9 BC 2,375 56,67

10 B 3,125 63,33

11 ABD 4,125 70,00

12 C 9,875 76,67

13 D 14,625 83,33

14 AD 16,625 90,00

15 A 21,625 96,67

47

b) Mtodo de Lenth

Clculo da mediana das estimativas dos efeitos:

625,2Me

938,3625,25,1cmediana5,1s j0

Desta forma, tem-se que:

844,9938,35,20s5,2

Logo,

844,9ccmediana5,1PSE jj : Assim, a mediana 75,1Me e tem-se que:

2,62575,15,1PSE

Tem-se que 15152m , logo 5d e adotando 05,0 , o valor de t tabelado

2,5715;025,0t . Assim,

6,749625,2571,2ME

A margem de erro simultnea SME dada por:

PSEd;tSME , sendo 998,02/)15/195,01( logo 22,55;998,0t

Logo, 13,703625,222,5SME

20100-10-20

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Effect

Pe

rc

en

t

A A

B B

C C

D D

Factor Name

Not Significant

Significant

Effect Type

AD

AC

DC

A

Normal Plot of the Effects(response is Y, Alpha = 0,05)

Lenth's PSE = 2,625

48

Portanto, pelos resultados obtidos, temos que os efeitos dos fatores A, C e D e das

interaes A:C e A:D so importantes.

3.5.4 Adio de Pontos Centrais a um Planejamento k2

Uma preocupao no uso de planejamentos fatoriais com dois nveis a suposio de

linearidade nos efeitos dos fatores. Naturalmente, a linearidade perfeita desnecessria e o

sistema k2 funcionar bem mesmo quando a suposio de linearidade for apenas aproximada.

H um mtodo que ir proteger contra curvatura, que replicar certos pontos do fatorial

k2 , e que permite uma estimativa independente do erro a ser obtido. Este mtodo consiste em

adicionar pontos centrais ao planejamento k2 . So Cn rplicas no ponto )k...,,2,1i(0xi . O

fato de adicionar os tratamentos replicados no centro do planejamento que pontos centrais

no afetam nas estimativas usuais dos efeitos em um planejamento k2 .

Consideremos que os k fatores so quantitativos. Como exemplo, consideremos um

experimento fatorial 22 com uma observao em cada um dos pontos fatoriais: (1), a, b, ab e

cn observaes nos pontos centrais (0,0). Seja FY a mdia dos quatro tratamentos nos quatro

pontos fatoriais e seja CY a mdia das Cn tratamentos no ponto central. Se a diferena

CF YY for pequena, os pontos centrais estaro no (ou muito prximo do) plano passando

atravs dos pontos fatoriais, no havendo assim curvatura. No entanto, se CF YY for grande,

ento a curvatura estar presente.

Ento, a soma dos quadrados da curvatura, com um grau de liberdade, para a curvatura,

dada por:

AB

BD

CD

ABCD

ACD

ABC

BC

BCD

B

ABD

C

D

AD

AC

A

20151050

Te

rm

Effect

6,75

A A

B B

C C

D D

Factor Name

Pareto Chart of the Effects(response is Y, Alpha = 0,05)

Lenth's PSE = 2,625

49

2

CF

CF

CF

2CFCF

curvatura

n

1

n

1

YY

nn

)YY(nnSQ

onde Fn o nmero de pontos do planejamento fatorial.

A grandeza acima pode ser comparada com a mdia quadrtica do erro (QMR) para

testar a curvatura.

Quando pontos centrais so adicionados ao centro do planejamento k2 , o modelo que se tem

:

k

1j

2

ji

k

1jjj jjijijj0

xxxxY

sendo os j j os efeitos quadrticos puro.

As hipteses do teste para curvatura so:

k

1j

0:H j j0

k

1j

0:H j j1

Se os pontos fatoriais do planejamento no forem replicados, possvel usar os Cn

pontos centrais para construir uma estimativa de erro com Cn -1 graus de liberdade.

Exemplo: (Montgomery, 2009, pg.353)

Um engenheiro qumico est estudando a converso percentual ou o rendimento de um

processo. H duas variveis de interesse: o tempo e a temperatura de reao. Pelo fato de no

ter certeza em relao linearidade da regio de explorao, o engenheiro decide conduzir um

planejamento 22 (com uma nica rplica de cada tratamento fatorial), aumentado com cinco

pontos centrais. O planejamento e os dados de rendimento esto apresentados na figura

abaixo.

(1)=80 a=100

b=60 ab=90

- +

+

-

A

B

b=40

,0 ab=41,50

(1)=39,3 a=40,9

40,3 40,5 40,7 40,2 40,6

160

155

150

30 35 40

50

Soluo:

TRAT A B AB Y Y2

(1) -1 -1 1 39,3 1544,5

a 1 -1 -1 40,9 1672,8

b -1 1 -1 40,0 1600,0

ab 1 1 1 41,5 1722,3

5 0 0 40,3 1624,1

6 0 0 40,5 1640,3

7 0 0 40,7 1656,5

8 0 0 40,2 1616,0

9 0 0 40,6 1648,4

364,0 14724,8

Clculo dos Contrastes:

3,1CA

1,3CB

-0,1CAB

Clculo das Somas de Quadrados:

2,4025SQA 0,4225SQB

0,0025SQAB 2

CF

CFcurv atura

n

1

n

1

YYSQ

40,425YF

40,460YC

4nF

5nC

0,0027SQcurvatura

3,00229

364,0-14.724,8SQT

2

Quadro da Anlise da Varincia

FV SQ GL QM F

A 2,4025 1 2,4025 55,87

B 0,4225 1 0,4225 9,83

AB 0,0025 1 0,0025 0,06

CURVATURA 0,0027 1 0,0027 0,06

RESDUO 0,1720 4 0,0430

TOTAL 3,0022 8

51

Para nvel de significncia de 5% tem-se que 71,7F 4;1;05,0 . Portanto, conclui-se que:

a) o fator A significativo;

b) o fator B significativo;

c) a interao no significativa;

d) a curvatura no significativa.

3.6 Experimentos Fatoriais Fracionados (Cada Fator com Dois Nveis)

Quando existem muitos fatores, um experimento fatorial completo, com todas as

combinaes possveis dos nveis dos fatores, envolve um grande nmero de teste, mesmo

quando somente dois nveis de cada fator esto sendo analisados. Nesses casos, torna-se til

um plano que exija menos testes do que o experimento fatorial completo. A anlise dos

fatoriais fracionrios relativamente direta, e a utilizao de um fatorial fracionrio no impede

a possibilidade de uma complementao posterior de todo o experimento fatorial. A frao

um subgrupo, cuidadosamente prescrito, de todas as combinaes possveis.

Com essa tcnica, possvel analisar os efeitos sobre uma resposta de interesse, de

2k

fatores em 2k-p

combinaes de teste. Ou seja, com essa tcnica, realiza-se apenas parte do

experimento, sem comprometer significativamente a preciso das concluses decorrentes da

anlise de resultados. Simultaneamente, os custos e o tempo de durao dos testes so

significativamente reduzidos.

Na anlise dos resultados dos experimentos, busca-se identificar o efeito produzido

na resposta quando da variao dos nveis dos fatores de controle do experimento. Os efeitos

so classificados como principal, que representa a variao mdia da resposta resultante da

mudana de nvel de um fator, mantendo-se os outros fatores fixos, ou de interao, quando a

variao da resposta decorrente da mudana combinada dos nveis de dois ou mais fatores.

Quando so utilizadas as tcnicas de experimentos fatoriais 2k-p

, assume-se que os

efeitos de interao de ordem superior so desprezveis. Para a anlise dos resultados,

grficos lineares podem ser usados para representar e analisar os efeitos principais e os das

interaes dos fatores.

3.6.1 Delineamento de um Experimento Fatorial Fracionrio

Com o aumento do nmero de fatores, o nmero de tr

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