PI7 | PI8 | PI9MATEMÁTICARecursos para a Prova Final de Ciclo

Apresentação

Esta compilação de materiais foi idealizada no sentido de fornecer aos professores adotantes do

projeto Pi 9, de um modo sistematizado, os recursos necessários para uma rápida revisão de

todos os conteúdos abordados ao longo do 3º ciclo, logo, uma mais eficaz ferramenta de

preparação para a Prova Final de Ciclo.

Assim, esta publicação contém:

• 19 rubricas “Resumir” (de todas as unidades do 3º ciclo);

• 19 rubricas “Testar” (de todas as unidades do 3º ciclo – Manual);

• 19 rubricas “Testar” (de todas as unidades do 3º ciclo – Caderno de Atividades);

• 9 “Provas globais” (Caderno de Atividades).

Deste modo, esperamos contribuir para a melhor preparação possível da sua atividade letiva.

Os Autores

Recursos para a Prova Final

de Ciclo 7

Resumir

Unidade 1 Números inteiros

Multiplicação de números inteiros

Exemplos:

1. +2 × (+3) = +6 2. –5 × (–7) = +35

Exemplos:

1. +4 × (–12) = –48 2. –6 × (+10) = –60

Propriedades da multiplicação:

O produto de dois números inteiros com sinais diferentes é um número negativo cujo valor absoluto é igualao produto dos valores absolutos dos factores.

O produto de dois números inteiros com o mesmo sinal é um número positivo cujo valor absoluto é igual aoproduto dos valores absolutos dos factores.

Propriedade distributiva

em relação à adição

Existência de

elemento absorvente

Existência de

elemento neutro

Propriedade

associativa

Propriedade

comutativa

Propriedades

da

multiplicação

Para quaisquer números

inteiros a, b e c:

a × (b + c) = a × b + a × c

Sendo a um qualquer

número inteiro:

a × 0 = 0

Sendo a um qualquer

número inteiro:

a × 1 = a

Para quaisquer números

inteiros a, b e c:

a × (b × c) = (a × b) × c

Para quaisquer

números inteiros a e b:

a × b = b × a

2 × ((–3) + 4) =

= 2 × (–3) + 2 × 4 =

= 6 + 8 = +2

Exemplo:

(–7) × 0 = 0

Exemplo:

(–2) × 1 = 2

Exemplo:

2 × ((–3) × 4) = 24

(2 × (–3)) × 4 = 24

Exemplo:

(–2) × (–3) = +6

(–3) × (–2) = +6

4

Divisão de números inteiros

Exemplos:

1. –10 : (–5) = +2 2. + 500 : (+100) = +5

Exemplos:

1. –100 : (+20) = –5 2. +60 : (–3) = –20

Exemplos:

1. 0 : (–12) = 0 2. 0 : (+10) = 0

Quadro-resumo:

O quociente entre dois números inteiros com sinais diferentes é um número negativo. O valor absoluto doquociente é o quociente dos valores absolutos do dividendo e do divisor.

O quociente entre zero e qualquer número inteiro, diferente de zero, é igual a zero.

O quociente entre dois números inteiros com o mesmo sinal é um número positivo. O valor absoluto doquociente é o quociente dos valores absolutos do dividendo e do divisor.

Potência de base inteira e expoente natural

Uma potência de base a e expoente n é um produto de n factores iguais a a:

Expoente

an = a × a × … × a

Base n factores

(+) × (+) = (+)

(+) × (–) = (–)

(–) × (+) = (–)

(–) × (–) = (+)

(+) : (+) = (+)

(+) : (–) = (–)

(–) : (+) = (–)

(–) : (–) = (+)

0 : (+) = 0

0 : (–) = 0

(–) : 0 é impossível

(+) : 0 é impossível

Multiplicação Divisão

���

���

�����

5

Resumir

Unidade 1 Números inteiros

Da definição de potência resulta que:

Exemplos:

1. 52 = 5 × 5 = +25 2. (+1)5 = (+1) × (+1) × (+1) × (+1) × (+1) = +1

Exemplos:

1. (–3)2 = (–3) × (–3) = +9 2. (–1)4 = (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = +1

Exemplos:

1. (–3)3 = (–3) × (–3) × (–3) = –27 2. (–1)5 = (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = –1

Quadro-resumo:

Uma potência de base negativa e expoente ímpar é um número negativo.

Uma potência de base negativa e expoente par é um número positivo.

Uma potência de base positiva é sempre um número positivo.

Da definição de potência também é evidente que:

Exemplos:

1. 03 = 0 × 0 × 0 = 0 2. 06 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0 3. 07 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0

Uma potência de base zero e expoente diferente de zero é sempre igual a zero.

par ímpar

+ +sinal da potência

positiva (+) base

Expoente par ímpar

+ –

negativa (–)

6

Raiz quadrada

Exemplos:

1. Como 52 = 25, então √∫2∫5 = 5.

2. Como 72 = 49, então √∫4∫9 = 7.

3. Como 272 = 729, então √∫7∫2∫9 = 27.

Exemplos:

1. 25 = 52, logo 25 é um quadrado perfeito.

2. 49 = 72, logo 49 é um quadrado perfeito.

3. 729 = 272, logo 729 é um quadrado perfeito.

Os 10 primeiros quadrados perfeitos são 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.

Raiz cúbica

Exemplos:

1. Como 23 = 8, então 3√∫8 = 2.

2. Como 53 = 125, então 3√∫1∫2∫5 = 5.

3. Como 123 = 1728, então 3√∫1∫7∫2∫8 = 12.

Exemplos:

1. 8 = 23, logo 8 é um cubo perfeito.

2. 125 = 53, logo 125 é um cubo perfeito.

3. 1728 = 123, logo 1728 é um cubo perfeito.

Os 10 primeiros cubos perfeitos são 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 e 1000.

Chama-se cubo perfeito a um número que é igual ao cubo de um número inteiro positivo.

A raiz cúbica de um número a é um número b tal que b3 = b × b × b = a. A raiz cúbica de a representa-se por 3√∫a.

Chama-se quadrado perfeito a um número que é igual ao quadrado de um número inteiro.

A raiz quadrada de um número a (não negativo) é um número b (não negativo) tal que b2 = b × b = a. A raiz quadrada de a representa-se por √∫a ou 2√∫a.

7

Resumir

Unidade 2 Sequências e regularidades

Sequências numéricas

Numa sequência numérica, cada número tem o nome de termo, pelo que dois números seguidos dizem-se termos

consecutivos. Cada termo obtém-se a partir da lei de formação da sequência.

11, 21, 31, 41, 51, …

Lei de formação: Com excepção do 1.o termo, cada termo obtém-se adicionando

10 unidades ao termo anterior.

Os termos de uma sequência relacionam-se segundo uma regra, que pode ser traduzida por uma expressão

algébrica. Essa expressão designa-se por termo geral.

O termo geral de uma sequência é muito útil, pois permite determinar qualquer termo da sequência, desde que

se conheça a sua ordem. O termo geral também permite verificar se um número é, ou não, termo da sequência.

11, 21, 31, 41, 51, … → Termo geral: 10n + 1

Modos distintos de analisar a sequência podem conduzir a expressões diferentes para a re pre sen ta ção do termo

geral. Essas expressões são equivalentes, ou seja, são expressões que, depois de simplificadas, são iguais.

11, 21, 31, 41, 51, …

11 + (n – 1) × 10 = 11 + 10n – 10 = 10n + 1 → 11 + (n – 1) × 10 é equivalente a 10n + 1.

1.o termo

ou

termo de

ordem 1

2.o termo

ou

termo de

ordem 2

3.o termo

ou

termo de

ordem 3

4.o termo

ou

termo de

ordem 4

5.o termo

ou

termo de

ordem 5

Termo geral:

10n + 1

Termo geral:

11 + (n – 1) × 10

…

8

Sequências pictóricas

Observa a seguinte sequência.

Sequências e Geometria

É possível relacionar padrões geométricos e numéricos.

A seguinte sequência é disso um bom exemplo:

Como podes observar, a cada figura corresponde um determinado número de pontos. A figura 1 é composta por

um ponto, a figura 2 por quatro pontos e a figura 3 por nove pontos. Desenhando a figura seguinte segundo o

mesmo padrão, obtém-se uma figura com dezasseis pontos:

A sequência pictórica anterior obedece a um padrão que não é difícil de identificar: duas maçãs vermelhas são

seguidas de duas maçãs verdes, as quais são seguidas de uma maçã amarela. Desta forma, a manter-se o padrão

apresentado, pode concluir-se que a próxima peça de fruta a aparecer nesta sequência será uma maçã vermelha.

Analisando cuidadosamente a sequência formada pelo número de pontos que constitui cada figura (1, 4, 9, 16, ...),

conclui-se que esta sequência representa os números quadrados.

…

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Figura 4

9

Cada ponto do gráfico fica definido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma

abcissa e por uma ordenada.

(x, y)

abcissa ordenada

Coordenadas cartesianas

Referencial cartesiano

Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles

com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitual-

mente igual em ambos.

Resumir

Unidade 3 Funções

Funções

Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos (o conjunto de partida e o conjunto de chegada), onde

a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-sepor D. Os elementos deste conjunto chamam-se objectos ou originais. A cada objecto, x, a função fará corres-ponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objecto. A imagem de x representa-sepor f(x). O conjunto das imagens chama-se contradomínio da função, e representa-se por C.D. ou D’.

2.o quadrante

Origem do referencial

Eixo das ordenadas

Eixo das abcissas

x

y

1.o quadrante

3.o quadrante 4.o quadrante

A origem do referencial tem

coordenadas (0, 0).

�������

10

Gráficos de proporcionalidade directa

Num gráfico de proporcionalidade directa todos os pontos pertencem a uma recta que passa pela origem do re-

ferencial.

Variáveis directamente proporcionais

Uma variável y diz-se directamente proporcional a uma variável x se existir uma relação do tipo.

(k ≠ 0)

↓k designa-se por constante de proporcionalidade directa

Por outras palavras, pode afirmar-se que:

y = k × x

Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráficos cartesianos ou ex-

pressões analíticas:

As variáveis x e y são directamente proporcionais se a razão entre os valores correspondentes das duas, tomadospela mesma ordem, for constante e não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporcionali-dade directa.

Veículo

Bicicleta

Número de rodas

2

Triciclo 3

Automóvel 4

f(x) = 2x

Tempo

Alt

ura

Número de pernas

Elefante

Gato

Aranha

Polvo

Homem

4

8

2

y1 = kx

1

y2 = kx

2

y3 = kx

3

y

x1

y3

y2

y1

x2

x3

x

11

Cada ponto do gráfico fica definido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma

abcissa e por uma ordenada.

(x, y)

abcissa ordenada

Coordenadas cartesianas

Referencial cartesiano

Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles

com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitual-

mente igual em ambos.

Resumir

Unidade 3 Funções

Funções

Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos (o conjunto de partida e o conjunto de chegada), onde

a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-sepor D. Os elementos deste conjunto chamam-se objectos ou originais. A cada objecto, x, a função fará corres-ponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objecto. A imagem de x representa-sepor f(x). O conjunto das imagens chama-se contradomínio da função, e representa-se por C.D. ou D’.

2.o quadrante

Origem do referencial

Eixo das ordenadas

Eixo das abcissas

x

y

1.o quadrante

3.o quadrante 4.o quadrante

A origem do referencial tem

coordenadas (0, 0).

�������

12

Gráficos de proporcionalidade directa

Num gráfico de proporcionalidade directa todos os pontos pertencem a uma recta que passa pela origem do re-

ferencial.

Variáveis directamente proporcionais

Uma variável y diz-se directamente proporcional a uma variável x se existir uma relação do tipo.

(k ≠ 0)

↓k designa-se por constante de proporcionalidade directa

Por outras palavras, pode afirmar-se que:

y = k × x

Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráficos cartesianos ou ex-

pressões analíticas:

As variáveis x e y são directamente proporcionais se a razão entre os valores correspondentes das duas, tomadospela mesma ordem, for constante e não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporcionali-dade directa.

Veículo

Bicicleta

Número de rodas

2

Triciclo 3

Automóvel 4

f(x) = 2x

Tempo

Alt

ura

Número de pernas

Elefante

Gato

Aranha

Polvo

Homem

4

8

2

y1 = kx

1

y2 = kx

2

y3 = kx

3

y

x1

y3

y2

y1

x2

x3

x

13

Resumir

Unidade 4 Triângulos e quadriláteros

Triângulo

A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer triângulo é

igual a 180o.

∠a + ∠b + ∠c = 180o

Num triângulo, a amplitude de qualquer um dos seus ân gulos externos

é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos que não lhe são

adjacentes.

∠d = ∠a + ∠b

A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer triângulo é igual a 360o.

∠d + ∠e + ∠f = 360o

Dois segmentos de recta são congruentes se têm o mesmo comprimento.

Dois ângulos são congruentes se têm a mesma amplitude.

C D

AB

AB CD

Duas figuras dizem-se congruentes, ou geometricamente iguais, se, quando sobrepostas, coincidem ponto porponto, ou seja, quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões. Os lados e os ângulos que coincidemdizem-se correspondentes ou homólogos.

a

b

c d

f

e

14

Dois polígonos são congruentes se têm lados correspondentes congruentes e ângulos corres pon den tes con -

gruentes.

Dois triângulos são congruentes se têm os lados correspondentes congruentes e os ângulos corres pon den tes

congruentes.

Critério Lado-Lado-Lado (critério LLL)

Dois triângulos são congruentes se têm os três lados congruentes, cada um a cada um.

Critério Lado-Ângulo-Lado (critério LAL)

Dois triângulos são congruentes se têm dois lados congruentes, cada um a cada um, e o ângulo por eles formado

congruente.

Critério Ângulo-Lado-Ângulo (critério ALA)

Dois triângulos são congruentes se têm um lado congruente e os dois ângulos adjacentes a esse lado

congruentes, cada um a cada um.

ABCDEF GHIJKL

A F

E

DC

B

2,24

2

2

2,24

3

3,61

116,57o153,43o

97,13o116,57o

146,31o90o

G L

K

JI

H

2,24

2

2

2,24

3

3,61

116,57o153,43o

97,13o116,57o

146,31o 90o

�����

�����

�����

AB � MN

AC � MP

BC � NP

AB � MN

∠CBA � ∠PNM

BC � NP

∠CBA � ∠PNM

BC � NP

∠ACB � ∠MPN

A

B C

M

N P

A

B C

M

N P

A

B C

M

N P

15

Resumir

Unidade 4 Triângulos e quadriláteros

Os papagaios são quadriláteros com dois pares de lados consecutivos congruentes.

Num paralelogramo:

• os ângulos opostos são congruentes;

• os ângulos consecutivos são su ple men ta res;

• os lados opostos são congruentes;

• as diagonais bissectam-se e dividem o para le lo gramo em quatro

triângulos congruentes dois a dois.

A

D

B

C

E

a b

cd

Quadriláteros

Quadriláteros

Não trapézios:Quadrilátero sem lados paralelos.

Trapézios:Quadrilátero com lados paralelos.

Rectângulo:

Paralelogramo com quatro ângulos rectos.

Quadrado:

Paralelogramo com quatro lados congruentese quatro ângulos rectos.

Losango:

Paralelogramo com quatro lados congruentes.

Paralelogramoobliquângulo:

Paralelogramo sem ângulos rectos.

Trapézioisósceles:

Trapézio em que os lados opostos não paralelos sãocongruentes.

Trapéziorectângulo:

Trapézio em que um dos lados opostos não paralelosé perpendicular às bases.

Trapézioescaleno:

Trapézio em que os lados opostos não paralelos nãosão congruentes.

Paralelogramos:Quadrilátero com doispares de lados paralelos.

Trapézio não paralelogramo:Quadrilátero com um únicopar de lados paralelos.

16

Num losango, as diagonais bissectam-se e são per pendi cul ar es.

Num rectângulo, as diagonais bissectam-se e são congruentes.

Num quadrado, as diagonais bissectam-se, são perpendiculares e são congruentes.

Num trapézio, ângulos adjacentes a um dos lados opostos não paralelos são suplementares.

Num trapézio isósceles, ângulos adjacentes à mesma base são congruentes e a suas diagonais são congruentes.

Área do paralelogramo = base × altura

A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360o.

altura

base

A

B

D

CE

A

B

D

C

B C

A D

A D

B c

17

Resumir

Unidade 5 Tratamento de dados

Estatística

A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar, analisar e interpretar dados.

Ao conjunto de todos os elementos que são alvo de um estudo estatístico dá-se o nome de população. Quando

se recolhem dados de todos os elementos da população, está-se perante um recenseamento (ou censo).

Por vezes, não é possível recolher dados de todos os elementos da população. Quando isso acontece, escolhe-

-se uma amostra, ou seja, uma parte da população. Quando se recolhem dados referentes a uma amostra da

população trata-se uma sondagem. Se a amostra for bem escolhida, do estudo estatístico podem resultar

conclusões válidas para toda a população.

Este tipo de gráfico deve apresentar as seguintes características:

• deve ter um título adequado;

• os dados devem estar agrupados em classes;

• a área de cada rectângulo deve ser proporcional à frequência da classe que representa;

• no eixo das abcissas representam-se as diferentes classes;

• no eixo das ordenadas representam-se as frequências de cada uma das classes;

• os rectângulos correspondentes às diferentes classes são adjacentes, isto é, não têm espaços entre si.

Medidas de localização

Média de um conjunto de dados

A média de um conjunto de dados, que se representa por –x, é o valor que se obtém dividindo a soma dos va-lores observados pelo número total de observações.

Um histograma é um gráfico constituído por rectângulos adjacentes, sendo a área de cada um desses rec-tângulos proporcional à frequência da classe que representa.

7

6

5

4

3

2

1

0[0, 20[ [20, 40[ [40, 60[ [60, 80[ [80, 100[ [100, 120[

Velocidade (km/h)

Velocidades máximas dos animais analisados

Número de animais

18

Exemplo:

Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.

–x = = 7,5

Mediana de um conjunto de dados

Depois de ordenado o conjunto de dados, podem verificar-se duas situações:

• se o número de dados do conjunto for ímpar, a mediana (Me) é o valor central desse conjunto de dados;

• se o número de dados do conjunto for par, a mediana (Me) é a média dos dois valores centrais do conjunto

de dados.

Exemplos:

1. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8. 2. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.

Mediana: Mediana:

4 5 6 8 8 12 4 5 6 8 10 12

Me = 7 Me = = 7,5

Quartis de um conjunto de dados

• a mediana dos dados que ficam à esquerda da Me, designa-se por 1.o quartil, Q1;

• a Me coincide com o 2.o quartil, Q2;

• a mediana dos dados que ficam à direita da Me, designa-se por 3.o quartil, Q3.

Exemplos:

1. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8. 2. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.

Quartis: Quartis:

1.o Quartil: 4 6 7 8 8 12 1.o Quartil: 4 7 8 8 10 12

Q1 = 5 Q1 = = 5,5

2.o Quartil = Mediana = 4 5 6 8 8 12 2.o Quartil = Mediana = 4 5 6 8 10 12

Q2 = 7 Q2 = = 7,5

3.o Quartil: 4 5 6 7 8 12 3.o Quartil: 4 5 6 7 8 12

Q3 = 8 Q3 = = 9

Medidas de dispersão

Amplitude = máximo – mínimo

Amplitude interquartis = 3.o quartil – 1.o quartil

5 + 6 + 4 + 8 + 12 + 7 + 8 + 10

8

8 + 10

2

7 + 8

2

5 + 6

2

8 10

7 8

5 6

7 + 8

2

7 8

8

7

5

7

19

Uma equação é uma igualdade onde figura pelo menos uma letra.

Uma equação tem sempre duas partes separadas pelo sinal de igualdade (=). Cada uma dessas partes diz-se um

membro da equação: a que fica à esquerda do sinal é o primeiro membro e a que fica à direita é o segundo

membro.

x – 3 = 5 – 2x

Cada um dos membros da equação pode ser constituído por um ou mais monómios, que se designam por termos

da equação. Os termos que contêm incógnita denominam-se termos com incógnita. Os termos sem incógnita

chamam-se termos independentes.

x – 3 = 5 – 2x

Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte literal.

Os valores da incógnita que transformam a equação numa igualdade verdadeira dizem-se as soluções ou raízes

dessa equação. Equações com o mesmo conjunto-solução dizem-se equivalentes (⇔).

Resumir

Unidade 6 Equações

1.o membro

Termoscom incógnita

(x, –2x)

Termosindependentes

(–3, 5)

�����

2.o membro

�����

Regra da adição: Se se adicionar (ou subtrair) a ambos os membros da equação um mesmo número, obtém-seuma equação equivalente à inicial.

Regra da multiplicação: Se se multiplicar ou dividir ambos os membros da equação por um número, diferentede zero, obtém-se uma equação equivalente à inicial.

ax = b ⇔ c . ax = c . b e ax = b ⇔ x = , em que c é um número diferente de zero.bc

ac

Regra prática da adição: numa equação, podemos mudar um termo de um membro para outro desde que se

lhe troque o sinal:

x + a = b ⇔ x = b – a

20

Classificação de equações

Uma equação que admite uma e uma só solução diz-se possível e determinada.

Quando uma equação tem mais do que uma solução diz-se possível e indeterminada.

Uma equação que não admite solução diz-se impossível.

De acordo com as regras anteriores, pode definir-se uma sequência de procedimentos que permitem chegar ra-

pidamente à solução de uma equação:

Exemplo:

2(x – 6) = –12 ⇔⇔ 2x – 12 = –12 ⇔

← Desembaraçar de parênteses.

⇔ 2x – 12 + 12 = – 12 + 12 ⇔← Adicionar em ambos os membros o termo +12.

⇔ 2x = 0 ⇔← Simplificar ambos os membros, adicionando os termos semelhantes.

⇔ x = ⇔← Dividir ambos os membros por 2.

⇔ x = 0← Simplificar, tornando a fracção irredutível.

C.S. = {0}

0

2

Principais passos na resolução de um problema

1.o ler atentamente o enunciado, distinguindo o que é dado do que é pedido;

2.o escolher uma letra (incógnita) que represente o número que é pedido;

3.o escrever uma equação que traduza o problema;

4.o resolver a equação;

5.o verificar se a solução da equação também é solução do problema;

6.o apresentar a resposta ao problema.

1.o desembaraçar de parênteses, aplicando a propriedade distributiva;

2.o agrupar os termos semelhantes (termos com incógnita no primeiro membro e termos independentes nosegundo membro);

3.o reduzir os termos semelhantes;

4.o aplicar a regra da multiplicação e simplificar para obter o conjunto-solução.

21

Figuras semelhantes

Duas figuras dizem-se semelhantes se tiverem a mesma forma.

Resumir

Unidade 7 Figuras semelhantes

se verifica

uma redução

são congruentes

se verifica

uma ampliação

Duas figuras dizem-se

semelhantes se:

Razão de semelhança

A razão constante entre os comprimentos dos lados correspondentes de figuras semelhantes chama-se razão

de semelhança (r > 0), sendo comum utilizar-se as letras r ou k para a simbolizar.

Construção de figuras semelhantes

Para construir figuras semelhantes podem utilizar-se diferentes métodos. Por exemplo:

Razão desemelhança

(r > 0)

r > 1 Ampliação

r < 1 Redução

r = 1 Congruentes

Método da quadrícula Método da homotetia Pantógrafo

A

B

C

D

O A’C’

D’B’

22

Polígonos semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se e só se os ângulos correspondentes são congruentes e os comprimentos dos

lados correspondentes são proporcionais.

Exemplo:

Triângulos semelhantes

Para verificar se dois triângulos são semelhantes não é necessário comparar os três lados e os três ângulos dos

dois triângulos. Basta utilizar um dos seguintes critérios.

Perímetros e áreas de figuras semelhantes

• Dados dois triângulos semelhantes, o quociente entre os respectivos perímetros é igual à razão de semelhança.

• Dados dois triângulos semelhantes, o quociente entre as respectivas áreas é igual ao quadrado da razão de se-

melhança.

45o

135o

45o

135o

4

8E

F

2,8 2,8

G

H

45o 45o

135o 135o

2

1,4 1,4

4A

B C

D

NotaçãoÂngulos

correspondentesLados

correspondentes

ABCD ~ EFGH↓

é semelhante a…

∠A � ∠E∠B � ∠F∠C � ∠G∠D � ∠H

ABEF

BCFG

= CDGH

= DAHE

=

Pelo critério AA, o triângulo ABC é

semelhante ao triângulo DEF.

∠ACB � ∠DFE

∠CBA � ∠FED

A B

C

D E

F

Pelo critério LLL, o triângulo ABC é

semelhante ao triângulo DEF.

= = 2

= = 2

= = 2

4

2

6

3

DEAB

FECB

6

3

DFAC

A

3 2

3 B

C 6 4

6D E

F

Pelo critério LAL, o triângulo ABC é

semelhante ao triângulo DEF.

= = 2

= = 2

∠CBA � ∠FED

6

3

DEAB

4

2

FECB

A

2

3 B

C 4

6D E

F

Critérios de semelhança

Critério lado-lado-lado

(LLL)

Critério ângulo-ângulo

(AA)

Critério lado-ângulo-lado

(LAL)

Dois triângulos são semelhantes

se têm dois lados proporcionais

e os ângulos por eles formados

congruentes.

Dois triângulos são semelhantes

se têm dois ângulos

congruentes.

Dois triângulos são semelhantes

se têm os três lados

proporcionais.

23

1. Associa um número inteiro a cada uma das seguintes situações.

1.1. A Mariana ganhou 8 € num sorteio.

1.2. A Carla perdeu uma nota de 5 € que levava no bolso.

1.3. O João depositou 500 € na sua conta bancária.

1.4. O Sr. Fernando passou um cheque de 2600 € para pagar o conserto do seu automóvel.

2. Escreve:

2.1. um número inteiro compreendido entre –5 e 7;

2.2. um número inteiro compreendido entre –12 e –10;

2.3. um número não inteiro compreendido entre –4 e –7.

3. Sem efetuares cálculos, indica o sinal de cada uma das seguintes potências.

3.1. (–1)4

3.2. (+7)8

3.3. (–7)3

3.4. (+1)8

4. Calcula.

4.1. –(–3) + (–2)

4.2. –(–6 + 4) + (–3 –1)

4.3. (–3) (–9)

4.4. (–12) : (–6)

4.5. (–3) (–12) + (–36)

4.6. (–3 + 4) (–2) + (–8) : (–8)

4.7. –7 (–10 + 3) – (–6)

4.8. (–6) : (–3) (–4) : (–1)

5. Calcula.

5.1. (–3)2

5.2. (–4)2 + (+3)3

5.3. (–5)2 + (–7)2

5.4. (–6)2 – (–1)250

5.5. (–3 + 2)4 : (–1)50 – (–3 + 7)2

TESTAR

[1]

[1]

[1]

[1]

[2]

[2]

[2]

[1]

[1]

[1]

[1]

[2]

[2]

[2]

[2]

[3]

[3]

[3]

[3]

[3]

[3]

[3]

[3]

[3]

24

6. Escreve sob a forma de uma só potência.

6.1. (–3)3 (–2)3 : (+6)2

6.2. (–2)3 : (–2)2 (–2)4

7. Apresentando todos os cálculos que tiveres de efetuar, responde às questões.

7.1. Qual é o valor absoluto do produto de –5 por 12?

7.2. Qual é o quociente entre o simétrico de –6 e o valor absoluto de –2?

7.3. Qual é o quadrado do valor absoluto de 12?

7.4. Qual é o quadrado da soma de +5 com o simétrico de –6?

8. Uma capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da es-

querda para a direita dá o mesmo número.

Por exemplo, 75 957 e 30 003 são capicuas.

8.1. Escreve três capicuas diferentes das referidas no exemplo.

8.2. Indica o menor quadrado perfeito que seja capicua.

8.3. Indica os quadrados perfeitos inferiores a 1000 que são capicuas.

9. Depois de copiares para o teu caderno, completa os enquadramentos colocando nos espaços

vazios dois números inteiros consecutivos.

Exemplo: 2 √∫7 3 (2 e 3 são números inteiros consecutivos)

9.1. ? √∫2∫4 ?

9.2. ? 3√∫5∫5 ?

9.3. ? √∫5∫7 ?

9.4. ? 3√∫5∫8∫3 ?

10. Sabendo que o quadrado de um número positivo é 49, calcula o cubo da soma desse número

com 1.

11. Calcula a área de um quadrado cujo lado tenha o dobro do comprimento do lado de um qua-

drado de 20 m2 de área.

(Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, mantém 3 casas decimais.)

12. Calcula a área lateral de um cubo cujas arestas tenham o triplo do comprimento das arestas

de um cubo com 30 m3 de volume.

(Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, mantém 3 casas decimais.)

[3]

[3]

[2]

[2]

[2]

[2]

[3]

[3]

[3]

[2]

[2]

[2]

[2]

[6]

[5]

[9]

25

1. Observa a seguinte sequência de figuras, onde estão empilhados azulejos brancos e cinzen-

tos, segundo uma determinada regra.

1.1. Indica o número de azulejos brancos e o número de azulejos cinzentos necessários para

construir a figura 5.

1.2. Na sequência acima representada, existirá alguma figura com um total de 66 azulejos?

Explica a tua resposta.

1.3. Tendo em conta o número de cada figura (1, 2, 3, …, n, … ), escreve uma fórmula que per-

mita calcular o número de azulejos cinzentos utilizados em cada uma das figuras.

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o

Ciclo, 2003

2. Considera a sequência de termo geral 10n – 8.

2.1. Determina os quatro primeiros termos da sequência.

2.2. Determina o termo de ordem dez da sequência.

2.3. Verifica se os números 72 e 100 são, ou não, termos desta sequência. Em caso afirma-

tivo, indica a ordem de cada um desses termos.

3. De seguida, apresentam-se diversas sequências numéricas:

Sequência 1: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

Sequência 2: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …

Sequência 3: –5, –2, 1, 4, 7, 10, …

Sequência 4: , , , , , …

3.1. Indica os três próximos termos de cada uma das sequências. Explica o teu raciocínio.

3.2. Indica um possível termo geral de cada uma das sequências.

4. Como sabes, uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que une dois vérti-

ces não consecutivos desse polígono. Observa a tabela, que relaciona diversos polígonos com

o número das suas diagonais.

Indica quantas diagonais tem um heptágono. E um octógono? Explica o teu raciocínio.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

5

7

2

3

3

5

1

2

1

3

TESTAR

Unidade 2 Sequências e regularidades

[4]

[6]

[8]

[2]

[3]

[4]

[7]

[9]

[5]

Polígono

Número de diagonais

Triângulo

0

Quadrilátero Pentágono Hexágono

2 5 9

26

5. A Maria utilizou fósforos para construir as seguintes figuras.

As figuras fazem parte de uma sequência.

5.1. Representa, no teu caderno, a próxima figura da sequência.

5.2. Completa a seguinte tabela indicando os valores de a e b.

A expressão algébrica que permite determinar o número de fósforos utilizados para cons-

truir a figura de ordem n é 6n – 2.

5.3. Determina o número de fósforos utilizados na figura 35.

5.4. Haverá alguma figura com 50 fósforos? Se sim, indica a sua ordem, justificando conve-

nientemente.

6. As figuras seguintes são constituídas por quadrados.

6.1. Desenha a figura seguinte.

6.2. Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados da figura de

ordem n.

6.3. Comenta a afirmação: “Uma das figuras desta sequência é constituída por 43 quadrados”.

6.4. Tomando a área do quadrado como unidade, determina a área de cada uma das 3 figuras.

6.5. Escreve uma expressão algébrica que permita determinar a área de cada uma das 3 fi-

guras.

6.6. Dois amigos, o Rui e o Nuno, responderam à alínea 6.2. O Rui diz que a expressão algébrica

é 3(n + 1) – 3, enquanto o Nuno diz que é –(3 – 3n) + 3. Será que algum deles tem razão?

Justifica.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Figura 1 Figura 2 Figura 3

[3]

[6]

[3]

[6]

[4]

[3]

[5]

[6]

[8]

[8]

Número da figura

Número de fósforos

1

4

2

10

3

16

7

a

10

b

27

1. No referencial cartesiano estão assinalados quatro pontos,

A, B, C e D.

1.1. Indica as coordenadas de cada um dos pontos assi-

nalados.

1.2. Indica quais dos pontos assinalados têm abcissa

maior do que a ordenada.

1.3. Qual dos quatro pontos assinalados está mais próximo

do ponto X( , 2)? Justifica.

2. Indica, justificando, quais das seguintes correspondências são funções.

.VIIII.II.I

.IV.V

3. Observa a tabela, que representa a função m:

3.1. Indica o domínio e o contradomínio da função m.

3.2. Constrói um gráfico cartesiano que represente a função m.

3.3. Depois de copiares as seguintes expressões para o teu caderno, completa-as:

a) m(4) = ?;

b) m(?) = 10;

3.4. Indica, justificando, qual das seguintes expressões algébricas pode representar a função m.

[A] y = 2x [B] y = 5x [C] y = x [D] y = x1

5

1

2

5

2

TESTAR

Unidade 3 Funções

[4]

[3]

[3]

[8]

[6]

[8]

[3]

[3]

[5]

x 10

y a

20

b

30

c

40

d

50

e

x 1 2 3 4 5

y 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x 1

y 5

2

10

3

15

4

20

28

4. Qual dos seguintes gráficos mostra a relação entre a altura de uma vela e o tempo que de-

corre desde o instante em que foi acesa? Num pequeno texto explica a tua opção, indicando

as razões que te levaram a rejeitar os restantes gráficos.

I. II. III. IV. V. VI.

Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Primavera de 2004)

5. Considera a tabela que relaciona o comprimento do lado de um quadrado e o seu perímetro.

5.1. Determina os valores de a, b, c e d.

5.2. O perímetro do quadrado é diretamente proporcional ao comprimento do seu lado? Em

caso afirmativo, indica o valor da constante de proporcionalidade e qual o seu significado

no contexto do problema.

5.3. Representa por l o comprimento do lado do quadrado e por P o perímetro do quadrado.

Escreve uma expressão que relacione l com P.

6. O André e o Filipe, ambos pratican-

tes de skate, vivem em Braga. Num

determinado dia, ambos tiveram de

se deslocar ao Porto para participar

numa prova de skate.

O gráfico mostra a viagem

Braga--Porto-Braga, de cada um dos

dois amigos.

6.1. Qual dos dois amigos saiu pri-

meiro de Braga?

6.2. A que horas saiu o André de Braga?

6.3. Qual dos dois amigos chegou primeiro ao Porto?

6.4. Às 13:30 h, a que distância do Porto se encontrava o Filipe?

6.5. No percurso Braga-Porto, o Filipe esteve parado. Quanto tempo?

6.6. Qual dos dois amigos permaneceu mais tempo no Porto?

6.7. Em que instantes se encontravam os dois amigos à mesma distância de Braga?

6.8. Qual foi a velocidade média a que se deslocou o Filipe no seu percurso Porto-Braga?

[8]

[6]

[4]

[8]

[3]

[3]

[3]

[4]

[4]

[4]

[4]

[6]

Comprimento do lado (m) a

Perímetro (m) 4

b c 8

6 20 d

29

1. Observa a figura, onde b//c.

1.1. Determina a amplitude do ângulo α. Explica o teu raciocínio.

1.2. Classifica o triângulo ABC quanto à amplitude dos ângulos e quanto ao comprimento dos

lados.

1.3. Passando por C, traçou-se uma reta t, paralela à reta AB. Seja P o ponto de interseção

da reta t com a reta c. Prova que os triângulos ABC e BPC são congruentes.

2. Observa os polígonos.

Indica, pela letra correspondente, todos os:

2.1. paralelogramos;

2.2. losangos;

2.3. quadrados;

2.4. quadriláteros com pelo menos dois ângulos retos, que não sejam quadrados;

2.5. polígonos com pelo menos um eixo de simetria.

3. O professor da Catarina e da Andreia pediu-lhes que descrevessem um quadrado.

De seguida, apresentam-se as descrições fornecidas por cada uma delas:

Catarina: “Um quadrado é um paralelogramo com quatro lados congruentes.”

Andreia: ”Um quadrado é um losango com quatro ângulos retos”.

Uma das amigas não definiu corretamente um quadrado. Qual delas foi? Explica o teu raciocínio.

4. Resolve o seguinte problema e explica o teu raciocínio.

Sou um quadrilátero com um único par de lados paralelos, não tenho ângulos retos e as mi-nhas diagonais não são congruentes. Quem sou eu?

TESTAR

Unidade 4 Triângulos e quadriláteros

[2]

[4]

[6]

[2]

[1]

[2]

[3]

[2]

[6]

[4]

30

5. Constrói, no teu caderno:

5.1. o triângulo ABC, em que AB = 5 cm, BC = 8 cm e ABC = 48o;

5.2. um paralelogramo em que dois lados consecutivos meçam 6 cm e 3 cm e o ângulo por

eles formado tenha 90o de amplitude;

5.3. um trapézio retângulo cuja base maior meça 6 cm e a base menor 3 cm.

6. Determina a amplitude do ângulo α e justifica que ABCD não é

um paralelogramo.

7. Considerando que cada quadrícula tem 1 cm de lado, deter-

mina quantas vezes é a área do paralelogramo ABCD maior

que a área do triângulo BED. Explica o teu raciocínio.

8. Na figura seguinte BCDE é um trapézio e ABE um triângulo

isósceles. Determina as amplitudes dos ângulos α, β e ε.

Explica o teu raciocínio.

9. O Fábio foi visitar um enorme desfiladeiro com uns amigos. Como é muito curioso, o Fábio quis

saber qual era a largura do desfiladeiro, mas nenhum dos seus amigos lhe soube dar essa in-

formação. Então, o Fábio lembrou-se de um processo que havia aprendido nas aulas de Ma-

temática e procedeu tal como o ilustrado na figura seguinte.

9.1. Explica, detalhadamente, qual é o processo utilizado pelo Fábio.

9.2. Se BD = 15 m, determina a largura do desfiladeiro.

10. Observa a figura, onde estão representadas duas circunferências de centros A e B, e o triân-

gulo ABC.

Prova, utilizando uma tabela de duas colunas, que o triângulo ABC é equilátero.

[3]

[4]

[5]

[6]

[10]

[12]

[10]

[6]

[12]

31

1. De entre os 500 funcionários de uma empresa foram selecionados 150 para se avaliar o grau

de satisfação dos funcionários com o serviço da cantina.

1.1. O estudo realizado foi um censo ou uma sondagem? Justifica.

1.2. Qual é a população em estudo?

1.3. Qual é a amostra escolhida?

2. Durante o passado mês de agosto, foram registados todos os atrasos existentes nos voos de

uma companhia de aviação. Os resultados obtidos, em minutos, encontram-se registados de

seguida:

2.1. Considerando as classes [0, 10[, [10, 20[, [20, 30[, [30, 40[, [40, 50[, [50, 60[, organiza

os dados numa tabela de frequências.

2.2. Representa os dados da tabela que construíste na alínea anterior, através de um histo-

grama.

2.3. Em quantos voos se registaram atrasos de pelo menos trinta minutos?

2.4. Calcula a percentagem de voos com um atraso igual ou superior a vinte minutos e infe-

rior a quarenta minutos.

2.5. Sabendo que a companhia de aviação realizou, no referido mês, um total de 50 voos, de-

termina a percentagem de voos que cumpriram o horário inicialmente previsto. Apre-

senta todos os cálculos que efetuares.

2.6. Qual das medidas de localização te parece ter maior valor nesta distribuição, a média ou

a mediana? Explica o teu raciocínio.

3. A pedido da Maria, todas as pessoas convidadas para a sua festa de aniversário vão levar,

pelo menos, um CD de música.

A Maria perguntou a cada um dos convidados quantos CD tencionava levar e fez uma lista

onde escreveu as respostas.

Depois de ordenadas todas as respostas, por ordem crescente, as primeiras 14 são as se-

guintes:

1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 5

Sabendo que a mediana de todas as respostas dadas é 4, quantas pessoas foram convidadas

para a festa de aniversário da Maria? Explica o teu raciocínio.

Teste Intermédio de Matemática, 3.o

Ciclo, 2008

3

16

41

25

9

10

24

7

27

13

7

38

48

8

17

30

11

53

22

14

2

55

46

6

29

21

15

39

43

19

TESTAR

Unidade 5 Tratamento de dados

[6]

[2]

[2]

[8]

[8]

[3]

[4]

[4]

[5]

[12]

32

4. Para angariar fundos para a construção de uma nova sede, o clube de futebol Os Medalhadosdecidiu vender rifas a todos os seus associados. O número de rifas vendidas a cada sócio do

clube variou de 1 a 4.

O gráfico seguinte mostra, de entre 50 sócios, a percentagem dos que compraram 1, 2, 3 ou

4 rifas.

4.1. Determina o número de sócios, de entre os 50, que compraram 2 rifas.

4.2. Fez-se uma lista onde se registou o número de rifas compradas por cada um dos 10 sócios.

A mediana dessa lista de números é 2,5. Destes 10 sócios, houve quatro que compraram

1 rifa, três que compraram 3 rifas e um que comprou 4 rifas.

Quantas rifas poderá ter comprado cada um dos outros dois sócios? Explica o teu racio-

cínio.

Adaptado de Teste Intermédio do Ensino Básico, 3.o

Ciclo, fevereiro – 2009

5. Os seguintes diagramas representam a precipitação diária (em mm) verificada em duas cidades

estrangeiras, durante o mês de janeiro de 2006.

5.1. Em qual das cidade se verificou o dia com maior precipitação?

5.2. Indica a percentagem de dias em que, na cidade A, se verificou uma precipitação maior

ou igual a 110 mm. Explica o teu raciocínio.

5.3. Durante aproximadamente quantos dias se verificou, na cidade B, uma precipitação igual

ou superior a 50 mm e igual ou inferior a 170 mm? Explica o teu raciocínio.

5.4. Num pequeno texto, compara a precipitação verificada nas duas cidades durante o mês

de janeiro de 2006. Nesta explicação deverás fazer, sempre que possível, referência às

medidas de localização e de dispersão que conheces.

5.5. Comenta a afirmação: “Nestas duas cidades choveu durante todo o mês de janeiro”.

[6]

[10]

[4]

[6]

[7]

[7]

[6]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320

Precipitação diária verificada no

mês de janeiro de 2006

A

B

33

1. Indica, justificando, qual das seguintes expressões é uma equação.

[A] –x = x + 6

[B] 2x ≤ –40

[C] +10 + 3 = +13

[D] 4 = 6 + 2

2. Considera a equação –2x + 4 + 3x = 2 – 5x.

2.1. Indica:

a) a incógnita;

b) o 1.o membro;

c) o 2.o membro;

d) os termos independentes.

2.2. Verifica se –1 é solução da equação.

3. Qual é a solução da seguinte equação?

3b – 5(b + 1) = 0

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Prova de Aferição de Matemática, 3.o

Ciclo, 2002

4. Verifica se algum dos números 0, 1 ou 2 é solução da equação x + 7 = 2x + 6.

5. Traduz por meio de uma equação.

5.1. O Pedro e o Filipe fazem coleção de berlindes. O Pedro tem o triplo dos berlindes do Filipe.

Os dois amigos, em conjunto, têm 40 berlindes.

5.2. Um retângulo tem 18 cm2 de área e o seu comprimento é o dobro da sua largura.

5.3. A Joana e a Maria são primas. A Joana é 3 anos mais velha que a Maria. A soma das ida-

des das duas primas é 7 anos.

6. Resolve e classifica cada uma das seguintes equações.

6.1. 2 + x = 12

6.2. 4 – x = –x – 8

6.3. 2(x – 10) = 2x – 20

6.4. –(–x + 4) = +(–x + 6) – 2

6.5. –5(x – 4) = +2(–x – 1)

TESTAR

Unidade 6 Equações

[5]

[1]

[2]

[2]

[2]

[4]

[4]

[6]

[5]

[5]

[5]

[3]

[3]

[4]

[6]

[6]

34

7. Considera as seguintes equações:

A. 4x – 12 = 6x + 2 B. –3x + 6x + 2 = –47 – 4x7.1. Resolve cada uma das equações anteriores.

7.2. As equações são equivalentes? Justifica.

8. Todos os dias um pastor alentejano leva os seus

150 animais a pastar num grande campo verde.

O número de ovelhas é metade do número de ca-

bras e a terça parte do número de carneiros. De-

termina quantos carneiros fazem parte do

rebanho deste pastor.

9. O Pedro, a Fátima e o Fernando colecionam selos. A Fátima tem mais 90 selos do que o Pedro

e o Fernando tem menos 30 do que a Fátima. Sabendo que, em conjunto, têm 1050 selos, de-

termina quantos selos tem cada um deles.

10. Escreve a equação que cada figura sugere e, de seguida, determina o valor de x.

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

[4]

[2]

[8]

[7]

[3]

[3]

[5]

[5]

35

1. As figuras A e B são semelhantes.

Figura A Figura B

Efetua as medições que entenderes necessárias e indica:

1.1. a razão de semelhança da figura B para a figura A;

1.2. a razão de semelhança da figura A para a figura B.

2. Observa a figura.

2.1. Indica a razão de semelhança que transforma o triângulo ABC no triângulo A’B’C’.

2.2. Admitindo que o perímetro do triângulo A’B’C’ é 36 cm, determina o perímetro do triân-

gulo ABC.

2.3. Admitindo que a área do triângulo ABC é 9 cm2, determina a área do triângulo A’B’C’.

3. Na figura, estão representados três retângulos, A, B e C, cujas dimensões estão indicadas

em centímetros.

3.1. Apenas dois dos retângulos representados na figura são semelhantes. Indica a razão

dessa semelhança, considerando-a uma redução.

3.2. Existe um quadrado que tem o mesmo perímetro do que o retângulo B. Determina, em cen-

tímetros quadrados, a área desse quadrado. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Exame Nacional de Matemática, 3.o

Ciclo, 2006, chamada

TESTAR

Unidade 7 Figuras semelhantes

[4]

[4]

[4]

[5]

[6]

[6]

[8]

36

4. Observa a figura e comenta as afirmações.

A. D é uma ampliação de A de razão 3.

B. A e B são polígonos semelhantes de razão 2.

C. B é uma redução de C de razão .

5. Indica, justificando, quais das seguintes afirmações são falsas.

A. Dois quadrados são sempre semelhantes.

B. Dois retângulos são sempre semelhantes.

C. Dois triângulos são sempre semelhantes.

D. Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes.

E. Dois círculos são sempre semelhantes.

6. Sabendo que AB//CD, determina x em cada uma das situações:

6.1. 6.2.

7. No auditório que vai acolher a peça do grupo de teatro

da escola da Liliana foi colocado, a 2 m do solo, um foco

de luz. Realizados os necessários testes, verificou-se

que este foco, à altura indicada, iluminava uma área cir-

cular com 1 m de diâmetro.

7.1. Determina a que distância do solo deve ser colocado

o foco para se iluminar uma área circular com 2 m

de diâmetro.

7.2. Depois de alguma discussão, decidiu colocar-se o foco a 3 m do solo. Determina o diâ-

metro da área circular iluminada.

8. Prova, por redução ao absurdo, que, na figura seguinte, o segmento de reta DE não é paralelo

ao segmento de reta AB.

1

2

[5]

[5]

[5]

[8]

[7]

[7]

[8]

[6]

[12]

37

1 “O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.”

Prova que a afirmação anterior é falsa, encontrando um contra-exemplo.

2 Sem efectuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências.

3 Determina o valor de cada uma das seguintes expressões.

3.1 ((–3)2 + (–7)) (–5 + 6)

3.2 (–5 (–2 +1))3 : (–5)

3.3 0456 + (–1)789 (–3√∫1∫∫∫2∫∫5) + (+1)178 (–32 + √∫3∫ ∫6)

3.4 √∫(∫∫∫– ∫∫∫3 ∫∫∫) ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫(∫∫∫–∫∫∫2∫∫∫)∫ ∫∫∫+∫ ∫∫∫3∫√∫∫∫∫∫2∫∫∫∫7 ∫∫∫–∫∫∫(∫∫∫3∫√∫∫∫∫∫∫∫3 ∫∫∫)∫3 ∫∫

4 Observa a figura.

Como podes observar, a figura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem

36 mm2 de área, determina o perímetro da figura.

Testar

Unidade 1 Números inteiros

Potência (–9)2 (+27)24 (–35)457 (+24)223

Sinal

38

5 Na figura A está representado um dado equilibrado, cuja planificação se apresenta esquematizada na

figura B. A Maria vai lançar este dado duas vezes e multiplicar os números saídos nos dois lança-

mentos.

5.1 Quais os produtos que a Maria pode obter?

5.2 A Maria acha que o produto dos dois números será negativo, enquanto a sua amiga Leonor

acha que o produto será positivo. Quem achas que tem mais hipótese de acertar? Explica o teu

raciocínio.

5.3 Sabendo que o cubo da figura A tem 27 cm3 de volume, determina a área das faces que con-

têm números não negativos. Explica como procedeste.

6 Observa o polígono RSTU.

O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos congruentes, RR’U e SS’T, e um qua-

drado, RR’S’S, tal como mostra a figura seguinte.

Sabendo que UR’ = 4 cm e que a área do quadrado RR’S’S é igual a 16 cm2, determina UT.

R S

U

R

R’

R

R’U

S

S’

S

S’ T

T

–110

Figura BFigura A

–1

1 0 1 0

–1

39

1 “O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.”

Prova que a afirmação anterior é falsa, encontrando um contra-exemplo.

2 Sem efectuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências.

3 Determina o valor de cada uma das seguintes expressões.

3.1 ((–3)2 + (–7)) (–5 + 6)

3.2 (–5 (–2 +1))3 : (–5)

3.3 0456 + (–1)789 (–3√∫1∫∫∫2∫∫5) + (+1)178 (–32 + √∫3∫ ∫6)

3.4 √∫(∫∫∫– ∫∫∫3 ∫∫∫) ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫(∫∫∫–∫∫∫2∫∫∫)∫ ∫∫∫+∫ ∫∫∫3∫√∫∫∫∫∫2∫∫∫∫7 ∫∫∫–∫∫∫(∫∫∫3∫√∫∫∫∫∫∫∫3 ∫∫∫)∫3 ∫∫

4 Observa a figura.

Como podes observar, a figura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem

36 mm2 de área, determina o perímetro da figura.

Testar

Unidade 1 Números inteiros

Potência (–9)2 (+27)24 (–35)457 (+24)223

Sinal

40

5 Na figura A está representado um dado equilibrado, cuja planificação se apresenta esquematizada na

figura B. A Maria vai lançar este dado duas vezes e multiplicar os números saídos nos dois lança-

mentos.

5.1 Quais os produtos que a Maria pode obter?

5.2 A Maria acha que o produto dos dois números será negativo, enquanto a sua amiga Leonor

acha que o produto será positivo. Quem achas que tem mais hipótese de acertar? Explica o teu

raciocínio.

5.3 Sabendo que o cubo da figura A tem 27 cm3 de volume, determina a área das faces que con-

têm números não negativos. Explica como procedeste.

6 Observa o polígono RSTU.

O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos congruentes, RR’U e SS’T, e um qua-

drado, RR’S’S, tal como mostra a figura seguinte.

Sabendo que UR’ = 4 cm e que a área do quadrado RR’S’S é igual a 16 cm2, determina UT.

R S

U

R

R’

R

R’U

S

S’

S

S’ T

T

–110

Figura BFigura A

–1

1 0 1 0

–1

41

1 Qual das seguintes correspondências não define uma função?

[A] [B] [C] [D]

2 Observa a representação gráfica da função g.

2.1 Indica o domínio e o contradomínio da função g.

2.2 Qual a imagem, por g, do objecto –1?

2.3 Qual é o objecto que, por g, tem imagem 2?

2.4 Completa as seguintes expressões:

a) g(3) = _______

b) g(_______) = 1

3 Na papelaria do Sr. António tiram-se fotocópias. A tabela seguinte relaciona o preço a pagar pelo

cliente, em euros, com o número de fotocópias tiradas.

3.1 Prova que o preço a pagar é directamente proporcional ao número de fotocópias tiradas.

3.2 Determina a constante de proporcionalidade e indica qual o seu significado.

3.3 Escreve uma expressão algébrica que represente a função que ao número de fotocópias, n,

tiradas associa o preço, P, a pagar pelo cliente.

Testar

Unidade 3 Funções

Número de fotocópias 1

Preço (€) 0,02

2

0,04

3

0,06

4

0,08

5

0,1

y

x

y

x

y

x

y

x

0

1

2

–1

0 1 2 32– 1–

y

x

42

4 A Sofia é veterinária e vai estagiar, durante sete dias, na clínica Miau-Miau. No gráfico seguinte pode

observar-se a correspondência entre o tempo de trabalho, em horas, e a quantia a receber pela Sofia,

em euros.

4.1 Que valor recebe a Sofia por cada hora de trabalho?

4.2 Se a Sofia, num determinado dia, trabalhar cinco horas, quanto receberá nesse dia?

4.3 A Sofia, depois de combinar com o gerente da clínica o seu horário de trabalho, fez uns cál-

culos e verificou que, pelos sete dias em que vai estagiar na referida clínica, receberá um total

de 315 €. Em média, quantas horas por dia trabalhará a Sofia?

4.4 Comenta a afirmação: “A quantia a receber pela Sofia é directamente proporcional ao número

de horas que trabalhará”.

5 O Álvaro tem o seu ioiô na mão e lança-o. Quando o lança pela terceira vez, o fio quebra-se e o ioiô cai

no chão.

5.1 Assinala com um X o gráfico que pode representar a variação da altura do ioiô, em relação ao

chão, desde o momento em que o Álvaro o lança pela primeira vez, até cair ao chão.

5.2 Explica, numa breve composição, a razão pela qual consideras errado cada um dos outros três

gráficos.

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – B

40

Qu

an

tia

a r

ec

eb

er

(€)

Tempo de trabalho (h)

30

20

10

0 2 4 6 8

y

x

Tempo

Altura

Tempo

Altura

Tempo

Altura

Tempo

Altura

[A] [B]

[C] [D]

43

1 Observa os quadriláteros.

Indica, pelo número correspondente:

1.1 os trapézios não paralelogramos;

1.2 os paralelogramos;

1.3 os rectângulos;

1.4 os quadrados;

1.5 os losangos não quadrados.

2 Na figura seguinte estão representados os triângulos ABC e BED. Sabe-se que A, B e E estão alinha-

dos, que AC BD e que CB DE.

2.1 Prova que os triângulos ABC e BED são congruentes.

2.2 Determina a amplitude do ângulo . Explica o teu raciocínio.

1

23 4 5

67

12111098

45o45o

108o

27o

EBA

DC

Testar

Unidade 4 Triângulos e quadriláteros

44

3 Observa a figura.

Determina a amplitude dos ângulos e . Explica o teu raciocínio

4 Determina a área da parte sombreada da figura. Apresenta todos os cálculos que efectuares.

5 Qual das seguintes afirmações é falsa? (Assinala a opção correcta.)

[A] Num paralelogramo, os lados opostos são congruentes.

[B] Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.

[C] Num paralelogramo, as diagonais bissectam-se.

[D] Num paralelogramo, as diagonais são sempre congruentes.

6 Pretende calcular-se a distância entre duas árvores situadas à beira

de um lago nos pontos A e B. Para tal, colocou-se uma estaca num

ponto C e outra num ponto D de modo que os pontos B, C e D estão

sobre a mesma recta e CD BC. Colocou-se uma outra estaca em E

tal que A, C e E também estão sobre uma mesma recta e AC CE.

Com esta construção, é possível concluir que a distância entre as

árvores é igual ao comprimento do segmento de recta DE? Justifica

a tua resposta.

Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulos e quadriláteros

5 cm 8 cm

14 cm

110o

51o28o

A

B

D

C

F

C

A

B

E

D

45

1 O Jaime realizou um inquérito para averiguar o número de horas que os seus 23 colegas de turma uti-

lizam semanalmente para estudo individual. Os resultados que obteve encontram-se no seguinte his-

tograma.

1.1 Indica o número de classes do histograma e a amplitude das mesmas.

1.2 Qual foi a classe que registou uma maior frequência? Como se designa essa classe?

1.3 Quantos alunos dedicam menos de 6 horas semanais ao seu estudo individual?

1.4 Qual é a percentagem de alunos que estuda, pelo menos, 8 horas semanais?

1.5 Qual das medidas de localização te parece ter maior valor nesta distribuição, a média ou a

mediana? Explica o teu raciocínio.

2 O seguinte conjunto de dados representa a duração, em horas, da carga da bateria de 10 modelos di-

ferentes de telemóveis.

400, 360, 270, 440, 220, 180, 190, 270, 300, 240

2.1 Determina as medidas de localização do conjunto de dados.

8

7

6

5

4

3

2

1

0

2

Número de horas

Tempo semanal dedicado aoestudo individual

Número dealunos

4 6 8 10 12

Testar

Unidade 5 Tratamento de dados

46

2.2 Constrói um diagrama de extremos e quartis representativo da situação.

3 O seguinte diagrama de extremos e quartis ilustra a esperança de vida, no ano de 2000, em países cuja

população ascende aos 10 milhões de pessoas.

Fonte: The New York Times Almanac 2004

3.1 Indica, aproximadamente, a esperança máxima de vida registada neste estudo.

3.2 Determina a amplitude interquartis da distribuição apresentada e refere o significado desse

valor no contexto do problema.

3.3 Determina a percentagem de países cuja esperança de vida seja de, pelo menos, 54 anos.

3.4 Sabendo que este estudo incide sobre um total de 124 países, indica o número de países onde

a esperança de vida é inferior a 54 anos. Apresenta todos os cálculos que efectuares.

3.5 Atendendo à representação do diagrama de extremos e quartis, qual das medidas de locali-

zação te parece ter um maior valor: a média ou a mediana? Explica o teu raciocínio.

Esperança de Vida

03 53 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

47

1 Resolve e classifica as seguintes equações.

1.1 2(x – 6) = 2x + 4 1.2 –(–x + 12) = 2(x – 6) – x

1.3 3x – 17 = –(–2x + 10) 1.4 –(–x – 6) –2x = –x

2 Considera a equação 2x – 12 = –(x + 6).

2.1 Indica o primeiro membro da equação.

2.2 Verifica, sem a resolveres, se 3 é solução da equação.

2.3 Inventa um problema que possa ser traduzido pela equação anterior.

2.4 Prova que a equação considerada é equivalente à equação 2x – 12 = –4x.

3 A Anabela pensou num número, somou-lhe 10, multiplicou a soma por 2 e obteve o quádruplo do nú-

mero em que pensou. Em que número pensou o Anabela?

Testar

Unidade 6 Equações

48

4 O Manuel, a pedido da sua mãe, foi ao supermercado comprar cebolas.

Na figura seguinte está a representada a pesagem das cebolas que o Manuel pretende comprar.

Sabendo que cada quilograma de cebolas custa 1,3 €, determina quanto pagará o Manuel.

5 O André disse ao Afonso: “Tu tens o dobro dos meus cromos, contudo, para ficarmos com o mesmo

número, basta que me dês 12 dos teus”.

Quantos cromos tem o André?

6 Observa os dois polígonos seguintes, que têm a mesma área.

Comenta a afirmação: “Os dois polígonos não têm o mesmo perímetro”.

7 Considera a equação 3x + k = kx – 8, na incógnita x. Prova que, independentemente do valor de k, a

equação nunca será possível indeterminada.

2 kg1 kg

200 g

4 cm

Polígono A

(x + 6) cm

2 cmPolígono B

49

1 Indica qual dos pares de figuras que se seguem representa figuras semelhantes.

[A] [B] [C]

2 Completa os espaços em branco, de modo a obteres afirmações verdadeiras.

2.1 Duas figuras dizem-se semelhantes quando têm a mesma __________________.

2.2 Se B é uma ampliação de A em que se triplicaram todos os comprimentos, então a razão de

semelhança de A para B é __________________.

2.3 Quando a razão de semelhança entre duas figuras é __________________, as figuras dizem-se

congruentes.

3 Considera a figura.

Utilizando o quadriculado seguinte, constrói uma ampliação da figura anterior de razão 2.

4 O André estava a construir uma ampliação do polígono JLKI, de razão 2, sendo o ponto O o centro da

homotetia, mas não a conseguiu terminar.

Termina a construção do André.

O

LJ

I

K

J’

Testar

Unidade 7 Figuras semelhantes

50

5 Considera um segmento de recta AB com 4 cm de comprimento.

5.1 Efectuou-se uma redução do segmento de recta AB. O segmento de recta obtido tem 0,8 cm

de comprimento. Qual dos seguintes valores é igual à razão de semelhança desta redução?

[A] 0,2 [B] 0,3 [C] 0,4 [D] 0,5

5.2 Na figura abaixo, está desenhado o segmento de recta AB, numa malha quadriculada em que

a unidade de comprimento é um centímetro.

Existem vários triângulos com 6 cm2 de área.

Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói, a lápis, nesta malha, um desses triângu-

los, em que um dos lados é o segmento de recta AB. Apresenta todos os cálculos que efectuares.

5.3 O triângulo que construíste na alínea anterior obteve-se de um triângulo XYZ, numa amplia-

ção de razão 3. Determina a área do triângulo XYZ.

Adaptado de Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo do Ensino Básico, 2007

6 Para determinar a distância entre dois pontos A e B, utilizou-se o seguinte esquema.

6.1 Prova que os triângulos ACE e BCD são semelhantes.

6.2 Sabendo que BC = 10 m, CD = 4 m e DE = 6 m, determina a distânia entre os pontos A e B.

A B C

D

E

BD//AE

Rio

A B

1 cm

51

Provas globais

De seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais, com o objectivo de te prepararempara o exame que irás realizar no final do 9.o ano de escolaridade.

As provas de exame são precedidas de 3 tabelas com a identificação do conteúdo trabalhadoem cada exercício, para uma mais fácil identificação da matéria em avaliação.

52

Grelhas de conteúdosProva global 1

Unidade 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3. 4. 5.1a) 5.1b) 5.2 6.1 6.2 6.3 6.4Números inteiros

Sequências e regularidades

Funções

Triângulos e quadriláteros

Tratamento de dados

Equações

Figuras semelhantes

X

X X

X X X

X X X

X X X

X X

X

Unidade 1.1 1.2a) 1.2b) 1.2c) 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3Números inteiros

Sequências e regularidades

Funções

Triângulos e quadriláteros

Tratamento de dados

Equações

Semelhança

X

X X X X

X X X

X X

X

X

X

Prova global 2

Unidade 1.1 1.2 1.3a) 1.3b) 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6a) 3.6b)

Números inteiros

Sequências e regularidades

Funções

Triângulos e quadriláteros

Tratamento de dados

Equações

Semelhança

X

X X

X X X X X

X

X X

X

X

Prova global 3

53

Prova global 1

1 Numa pequena Vila do interior do país, abriu uma sala de cinema que apresenta, exclusivamente, ci-

nema português. Esta sala é composta por várias filas, todas com 23 lugares. Numa determinada

sessão, para a primeira fila foram vendidos apenas 2 bilhetes, para a segunda 5 e para a terceira 8.

1.1 Se a regularidade se tivesse mantido, quantos bilhetes teriam sido vendidos para a sexta fila?

1.2 Nessa sessão foram vendidos bilhetes para todas as filas, sendo que a última ficou completa.

Supondo que a regularidade anterior se manteve, determina quantas filas tem o cinema.

Explica o teu raciocínio.

2 Na passada quinta-feira, o aparelho de ar condicionado da sala teve uma avaria durante a exibição de

um filme. A temperatura, C, da sala, t horas após a avaria e até ao final do filme, pode ser dada, apro-

ximadamente, pela expressão C = 21 + 2t, com C expresso em graus Celsius e t expresso em horas.

2.1 Qual era a temperatura na sala, em graus Celsius, uma hora após a avaria?

2.2 Qual foi, na sala, o aumento da temperatura por hora, em graus Celsius? Explica como che-

gaste à tua resposta.

2.3 No final do filme, a temperatura na sala era de 24 graus Celsius. Há quanto tempo tinha ocor-

rido a avaria? Apresenta o resultado em minutos.

Exame Nacional do Ensino Básico, 9.o ano, 2008 – 1.a chamada

3 A figura ao lado representa a sala de cinema. A Anabela sentou-se no

lugar assinalado com a letra A, a uma distância de 10 m do ecrã.

Numas filas à sua frente, sentaram-se o Ivanildo (I) e o Janício (J),

que se encontravam a 5 m um do outro. Determina a largura do ecrã,

sabendo que o Ivanildo se encontra distanciado dele 6 m. Explica o

teu raciocínio.

Ecrã

A

I J

54

4 Tal como a figura da questão anterior sugere, a sala tem a forma de um quadrado. Sabe-se que a sala

tem 225 m2 de área e um pé-direito (distância do pavimento ao tecto) constante e igual a 15 m. Pre-

tende-se forrar o tecto, e todas as paredes, com um material que melhora o isolamento acústico da

sala e que custa 125 €/m2. Quanto se vai gastar nesta operação? Explica o teu raciocínio.

5 A direcção da empresa responsável pela sala de cinema abriu um concurso para escolha do melhor

logótipo para a empresa. O logótipo vencedor foi o seguinte.

Sabe-se que:

ABCD é um paralelogramo

DCE é um triângulo rectângulo escaleno

ECD = 72o

BC = 7 dm; ED = 3 dm; AB = 3,16 dm; CE = 1 dm

5.1 Determina a amplitude dos ângulos:

a) DCB;

b) ADC.

5.2 Determina a área do logótipo.

6 O diagrama ao lado representa as idades das

oitenta pessoas que participaram no concurso

para escolha do melhor logótipo.

6.1 Qual é a idade da pessoa mais velha a concorrer?

6.2 Indica a percentagem de concorrentes com 32 anos, ou mais.

6.3 Determina quantos dos concorrentes tinham 22 anos, ou menos. Explica o teu raciocínio.

6.4 Sabe-se que entre os oitenta concorrentes, havia mais vinte homens do que mulheres. Quan-

tas foram as mulheres que participaram?

0 10 20 30 40 50 60

Português

Cinema

DA

ECB

55

1 O Ezequiel comprou recentemente um terreno agrícola onde cultiva vários produtos: cebola, batata,

diversas frutas, etc. O Ezequiel destinou uma grande parte do terreno à plantação de macieiras. Para

as plantar, utiliza um padrão quadrangular e, para as proteger do vento, planta coníferas à volta do

pomar. Esta situação está ilustrada no diagrama seguinte, no qual se pode ver a disposição das ma-

cieiras e das coníferas para um número qualquer (n) de filas de macieiras.

1.1 Completa a tabela.

1.2 Seja n o número de filas de macieiras.

a) Indica uma expressão algébrica que permita determinar o número de macieiras de uma

qualquer figura desta sequência.

b) Indica uma expressão algébrica que permita determinar o número de coníferas de uma

qualquer figura desta sequência.

c) Haverá alguma figura com 98 macieiras? Porquê?

Adaptado de Pisa 2000

2 Para combater o bicho da fruta, o Ezequiel utiliza um pesticida que não tem efeitos nocivos para o

meio ambiente. Este pesticida é vendido em sacos de 10 kg.

2.1 Na semana passada o Ezequiel comprou 12

sacos e pagou 180 €. Com base nesta infor-

mação, completa a tabela ao lado:

2.2 Seja h a função que ao número de sacos comprados, n, associa o valor a pagar pelo Ezequiel.

Escreve uma expressão algébrica de h.

2.3 Este mês, o Ezequiel gastou 150 € na compra de pesticida. Quantos quilogramas comprou?

Explica o teu raciocínio.

Prova global 2

n Números de macieiras Números de coníferas

1 1 8

2 4

3

4

5

X X XX XX X X

X X X X XX XX XX XX X X X X

X X X X XXXXXXX X X X X

X

X

XXXXXXX

X X X X XXXXXXX

X X X XXXXXXX

X XX X X X X X X X X

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

X = conífera

= macieira

Número de sacos 0

Preço (€)

12

180 45

7

56

3 Na figura apresenta-se um esquema do terreno comprado do Ezequiel.

3.1 Determina a amplitude dos ângulos , e . Explica o teu raciocínio.

3.2 Determina a área destinada às macieiras.

3.3 Prova que os triângulos GOE e HCF são semelhantes.

4 O Ezequiel tem um minimercado onde coloca à venda cabazes de legumes variados. Cada um desses

cabazes, independentemente do peso e da constituição, é vendido a 7 €. O número de cabazes de le-

gumes vendidos em cada um dos 15 primeiros dias deste mês foi:

10; 12; 8; 8; 6; 7; 9; 15; 10; 14; 17; 18; 7; 14; 7

4.1 Indica, justificando, qual dos seguintes diagramas corresponde à informação dada.

4.2 Uma cliente comprou dois cabazes de legumes, três latas de ananás em calda e dois pacotes

de arroz. Sabendo que a cliente pagou 18,7 € e que o pacote de arroz custa mais dez cêntimos

do que a lata de ananás, determina o preço de cada pacote de arroz. Explica o teu raciocínio.

4.3 Os cabazes que não são vendidos são colocados numa enorme arca frigorífica com a forma de

um cubo. O Ezequiel pretende forrar o chão dessa arca com um material antiderrapante que

custa 15 €/m2. Sabendo que a arca tem 27 000 dm3 de volume, determina quanto terá de

gastar o Ezequiel. Explica o teu raciocínio.

A60 cm

B

G

H

O

E

140 cm

Pessegueiros

Pereiras

Limoeiros Macieiras

Legumes

C

F

D

40 cm

80 cm

27o

0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20

57

1 Uma grande empresa nacional decidiu construir uma fábrica de enchidos perto de Montalegre. A Câ-

mara Municipal desta vila achou que a construção desta fábrica seria importante porque criaria cen-

tenas de novos postos de trabalho, acção importante no combate à desertificação do interior do País.

Assim, decidiram oferecer à referida empresa um campo, nos arredores da vila, com 22 500 m2 de

área e com a forma de um quadrado, onde a fábrica pudesse ser edificada.

1.1 Antes de começar a construção, foi necessário vedar o terreno. A vedação foi feita com pai-

néis metálicos rectangulares com 2 m de altura e 3 m de comprimento. Determina o número

mínimo de painéis que foram necessários. Explica o teu raciocínio.

1.2 Depois de construída a fábrica, foi preciso contratar pessoas. A fábrica contratou mais trinta

mulheres do que homens, num total de 68 pessoas. Determina quantos homens contratou a

fábrica, explicando o teu raciocínio.

1.3 Das 68 pessoas contratadas, apenas 25 não moram em Montalegre. A fábrica fez um estudo

acerca do tempo, em minutos, que cada uma dessas pessoas demora a fazer o percurso casa-

-fábrica. Os resultados obtidos encontram-se na tabela seguinte:

a) Indica a classe modal.

b) Elabora um histograma com a informação da tabela.

2 O Diogo foi contratado para gerir a fábrica de enchidos e, de imediato, lançou

uma campanha publicitária que relacionava os produtos com Geometria.

Assim, em todas as encomendas que enviava era colocado um rótulo igual ao

da figura, acompanhado do seguinte texto: “Sabendo que BCE é um triângulo

equilátero e que ABCD é um quadrado, descubra a amplitude do FBE, en-

quanto se delicia com o nosso maravilhoso fumeiro”.

2.1 Determina a amplitude do FBE, explicando o teu raciocínio.

Prova global 3

Tempo (minutos) [0, 5[

Número de funcionários 5

[5, 10[

7

[10, 15[

8

[15, 20[

3

[20, 25[

2

A D

B C

E

F

FumeiroMontalegrense

58

2.2 O Filipe, quando viu o rótulo pela primeira vez, afirmou: “Os triângulos CFD e BEF são seme-

lhantes”. Concordas com o Filipe? Porquê?

3 Em Abril do ano passado, a fábrica decidiu apostar num

novo produto: o famoso “Folar de Montalegre”. Assim,

associou-se com uma pastelaria que produz o folar uti-

lizando os enchidos fornecidos pela fábrica.

Admite que a função T, cujo gráfico se apresenta ao

lado, permite determinar a temperatura do folar, em

graus Celsius, t minutos após ter sido retirado do forno.

3.1 Indica a temperatura do folar no instante em

que é retirado do forno.

3.2 Qual é a temperatura do folar dois minutos após ter sido retirado do forno?

3.3 Determina T(12) e interpreta o resultado obtido no contexto do problema.

3.4 Quanto tempo é necessário para que o folar atinja os 30 oC?

3.5 Com o decorrer do tempo, a temperatura do folar tende a igualar a temperatura ambiente. In-

dica, justificando, a temperatura ambiente.

3.6 As vendas do folar decorreram a bom ritmo. Na primeira semana, venderam-se 113 folares

e, em cada uma das semanas seguintes, mais oito do que na semana anterior.

a) Completa a seguinte tabela.

b) Por divergências orçamentais, a fábrica e a pastelaria decidiram parar a produção conjunta

numa altura em que vendiam 153 folares por semana. Quantas semanas durou a parceria

entre a fábrica e a pastelaria? Explica o teu raciocínio.

Número de semanas 1

Número de folares vendidos 113

2 3 4 …

…

n

Tem

pe

ratu

ra(o

C)

Tempo (minutos)

90

80

70

60

50

40

30

20

10

02 4 6 8 10 12 14 16 18 20

59

Recursos para a Prova Final

de Ciclo 8

UNIDADE 1 IsometriasR

ES

UM

IR

Segmentos de reta equipolentes são segmentos de reta orientados com a

mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Um vetor é definido por um comprimento, uma direção e um sentido. Segmentos de reta orien-

tados equipolentes são diferentes representações do mesmo vetor.

A ≥B: vetor definido por todos os segmentos de reta orientados

equipolentes ao segmento de reta [A, B]. Também se pode utilizar

uma letra, normalmente minúscula, para representar um vetor.

Vetores simétricos têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos.

O vetor simétrico de→a é –

→a.

Movimento de translação: a figura efetua um deslocamento

ao longo de uma reta.

A figura não roda e mantém as suas dimensões.

Translação como transformação geométrica

O quadrilátero A’B’C’D’ pode obter-se do quadrilátero

ABCD por uma translação. Diz-se que A’B’C’D’ é a imagem

de ABCD por uma translação.

Para descrever uma translação basta referir a direção, o sentido e o comprimento do des-

locamento. As translações são transformações geométricas que não alteram a forma nem o ta-

manho da figura.

Segmento de reta cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto B:

segmento de reta [A, B].

Segmento de reta cuja origem é o ponto B e cuja extremidade é o ponto A:

segmento de reta [B, A].

TRANSLAÇÕES

VETORES

A D

B

C

A’ D’

C’B’

a

–a

62

ISOMETRIAS

Adição de vetores

O vetor soma, →a +

→b, tem a origem do primeiro vetor e a ex-

tremidade do segundo.

A soma de dois vetores simétricos tem como resultado o

vetor nulo, que se representa por→0: –

→v + →v =

→0.

Vetores e translações

O pentágono P2 é a imagem do pentágono P1 na translação

associada ao vetor →u (T→u).

Propriedades de uma translação

• Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo ao primeiro e com o

mesmo comprimento.

• Um ângulo é transformado num ângulo com a mesma amplitude do primeiro.

• Numa translação, qualquer figura é transformada numa figura congruente com a primeira.

Uma isometria é uma transformação geométrica do plano que conserva os comprimentos dos

segmentos de reta e as amplitudes dos ângulos.

Existem quatro tipos de isometrias no plano: reflexão, rotação, translação e reflexão deslizante.

P1 P2

Isometrias no plano

Reflexão

A reflexão de eixo r transforma qualquer ponto Pdo plano num ponto P’ de tal modo que o eixo de

reflexão r é a mediatriz do segmento de reta PP’.

Rotação

Uma rotação de centro em C e ângulo de rotação αtransforma um ponto P do plano num ponto P’ de

tal modo que o segmento de reta CP é igual ao

segmento de reta CP’ e ∠PCP’ = α.

Translação

A translação do plano associada a um vetor →v

transforma qualquer ponto P do plano num ponto P’

tal que o segmento de reta [P, P’] tem a mesma

direção, comprimento e sentido que o vetor →v. →

Reflexão

deslizante

A reflexão deslizante do plano associada ao eixo re ao vetor

→v, paralelo a r, é o resultado da com -

posição da reflexão do plano associada ao eixo rcom a translação do plano associada ao vetor

→v.

→

→

→

→ →

63

UNIDADE 2 Números racionaisR

ES

UM

IR

Qualquer número, inteiro ou não inteiro, que possa ser representado por uma fração diz-se um

número racional.

Q = { : m, n ∈ Z, n ≠ 0}mn

• Todos os números inteiros são números racionais.

• Todas as dízimas finitas são números racionais.

• Todos as dízimas infinitas periódicas são números racionais.

Os números racionais, tal como os números inteiros, podem ser representados como pontos de

uma reta numérica.

Para determinar qual é o maior de dois números decimais, deve começar-se por comparar a

parte inteira do número, seguindo depois para a comparação das diversas casas decimais.

• Para somar dois números racionais representados por frações com o mesmo denomi-

nador, somam-se os numeradores e mantém-se o denominador.

• Para subtrair dois números racionais representados por frações com o mesmo denomi-

nador, subtraem-se os numeradores e mantém-se o denominador.

• Para somar ou subtrair números racionais representados por frações com denomina-

dores diferentes, deve-se, em primeiro lugar, escrever frações equivalentes às dadas, mas

com o mesmo denominador. Depois, basta usar as duas regras anteriores.

• Para multiplicar números racionais representados por frações, multiplicam-se os nume-

radores e multiplicam-se os denominadores das frações.

• Para dividir números racionais representados por frações, multiplica-se o dividendo pelo

inverso do divisor.

NÚMEROS RACIONAIS

Números racionais (Q)

Números inteiros (Z)

Númerosnaturais (N)

20195

–77–3

–45–100

5,75

12,(2)

–3,72 –9,(37)

38

–

45

–

23

6

43

0

124

–

123

Potências de expoente inteiro

Multiplicação

de potências

com

Exemplo

Divisão de

potências

com

a mesma base an × am = an + m 2–3 × 2+5 = 2–3 + 5 = 2+2 = 4

an × bn = (a × b)n

an : am = = an – m, a ≠ 0an

am

an : bn = = ( )n, b ≠ 0

ab

an

bn

( )5× ( )5

= ( × )5= ( )510

9

5

3

2

3

5

3

2

3

6–3 : 6–8 = 6–3 – (–8) = 6–3 + 8 = 6+5

( )3: ( )3

= ( : )3= ( × )3

= ( )37

2

1

5

7

10

2

7

1

5

2

7

1

5

o mesmo expoente

a mesma base

o mesmo expoente

64

Exemplo

Adição e subtração de números escritos em notação científica

Para somar e subtrair números escritos em notação científica:

• escreve-se cada termo com a mesma potência de base dez;

• fatoriza-se a expressão, pondo-se em evidência a potência comum, de base dez;

• efetuam-se os cálculos dentro dos parênteses.

Qualquer número A pode ser representado em notação científica como produto de um nú-

mero, superior ou igual a 1 e inferior a 10, em valor absoluto, por uma potência de base 10.

A = k × 10n, com n ∈ Z e 1 ≤ |k| < 10

Entre dois números escritos em notação científica, se os expoentes das potências de base 10

forem:

• iguais, será maior aquele em que o número que antecede a potência é maior.

Exemplo: 2,1 × 103 > 1,7 × 103

• diferentes, será maior aquele cuja potência tiver maior expoente.

Exemplo: 1,5 × 107 > 3,4 × 105

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Multiplicação e divisão de números escritos em notação científica

A = a × 10n e B = b × 10m

• A × B = (a × 10n) × (b × 10m) = (a × b) × 10n + m

• = = ( ) × 10n – mab

a × 10n

b × 10mAB

Para a soma e para a subtração de potências não existem quaisquer regras operatórias: deter-

mina-se o valor das potências e, de seguida, calcula-se o valor da soma ou da subtração.

Potência de uma potência

Potência de expoente zero

Potência de expoente negativo

(ab)c = ab × c

a0 = 1, a ≠ 0

a-n = = ( )n, a ≠ 0

1

a1

an

(512)2 = 524

( )0= 1

2

3

(– )–2= (– )+2

= + = + 32

229

4

3

2

2

3

65

UNIDADE 3 Funções e equaçõesR

ES

UM

IR

Passos para resolver equações do 1.o grau com denominadores

1. Desembaraçar de parênteses.

2. Desembaraçar de denominadores.

3. Agrupar os termos com incógnita num dos membros e os termos independentes no outro

membro.

4. Reduzir os termos semelhantes.

5. Determinar o valor da incógnita.

A função afim é uma função com uma expressão algé-

brica do tipo y = kx + b ou, de forma equivalente,

f(x) = kx + b.

A representação gráfica de uma função afim é uma reta.

A função linear é um caso particular da função afim,

quando b = 0.

A inclinação das retas que representam funções afim

depende do valor de k. As funções afim, cujas expressões

algébricas tenham o mesmo parâmetro k, são represen-

tadas graficamente por retas paralelas.

Nas expressões algébricas das funções representadas, o parâmetro b não varia.

As retas que representam funções afim intersetam o eixo das ordenadas no ponto (0, b).

• Se k > 0, a função é crescente. • Se k < 0, a função é decrescente.

EQUAÇÕES

FUNÇÕES

Qualquer função com uma expressão algébrica do tipo y = kx ou, de forma equivalente, f(x) = kx,

diz-se uma função linear. Se k ≠ 0, a função linear é uma função de proporcionalidade direta.

x é um objeto; y = f(x) é a sua imagem; k é a constante de proporcionalidade.

No gráfico de uma função linear, todos os pontos estão sobre uma reta que contém a origem

do referencial.

A representação gráfica de uma função linear (y = kx) é uma reta. A reta passa sempre pelos

pontos (0, 0) e (1, k).

66

Uma equação do primeiro grau com duas incógnitas é uma equação do tipo ax + by = c, em

que a e b são diferentes de zero.

A solução é um par ordenado de números, (x, y), que, substituídos na equação, a transformam

numa igualdade verdadeira. Estas equações têm um número infinito de soluções.

Um sistema de duas equações a duas incógnitas é uma conjunção de duas equações.

, a, b, d e e diferentes de zero.

O par ordenado (x, y) é solução de um sistema de duas equações a duas incógnitas x e y se for

simultaneamente solução das duas equações.

Passos para resolver um sistema pelo método gráfico

1. Resolver as duas equações em ordem a y;

2. Representar, num mesmo referencial, as retas que representam cada uma das equações;

3. Se as retas se intersetam num ponto, a solução do sistema é o par ordenado que corresponde

às coordenadas do ponto de interseção das duas retas.

Passos para resolver um sistema pelo método de substituição

1. Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas.

2. Substituir o valor obtido na outra equação.

3. Resolver a nova equação.

4. Substituir o valor da incógnita na outra equação.

Classificação de sistemas

• possíveis:

– determinados (têm uma solução);

– indeterminados (têm uma infinidade de soluções);

• impossíveis (não têm solução).

���

ax + by = cdx + ey = d

67

UNIDADE 4 Planeamento estatísticoR

ES

UM

IR

A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar, analisar e inter-

pretar dados.

Ao conjunto de todos os elementos que são alvo de um estudo estatístico dá-se o nome de

população.

Quando se recolhem dados de todos os elementos da população, está-se perante um recen-

seamento (ou censo).

Por vezes, não é possível recolher dados de todos os elementos da população. Quando isso acon-

tece, escolhe-se uma amostra, ou seja, uma parte da população. Quando se recolhem dados

referentes a uma amostra da população trata-se de uma sondagem. Se a amostra for bem es-

colhida, do estudo estatístico podem resultar conclusões válidas para toda a população.

Para organizar os dados pode recorrer-se a uma tabela de frequências. A frequência absoluta

é o número de vezes que se observa um determinado acontecimento. A frequência relativa

é o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta pelo número total de observações.

Natureza dos dados

ESTATÍSTICA

Profissões

Médico

Astronauta

Professor

Comerciante

Futebolista

Contagem

IIII II

IIII

IIII

IIII I

III

Total

Frequência absoluta

7

4

5

6

3

25

Frequência Relativa

100%

Dados de natureza

qualitativa

quantitativa

discretos

contínuos

Exemplos:

Cor dos olhos, o clube preferido, o género de uma pessoa.

Exemplos:

O número de irmãos ou o número de divisões de uma casa.

Exemplos:

O peso ou a altura de uma pessoa

7

2528% = 0,28( )

4

2516% = 0,16( )

5

2520% = 0,20( )

6

2524% = 0,24( )

3

2512% = 0,21( )

68

Os dados recolhidos, depois de organizados, podem ser representados por um gráfico.

Exemplos:

Medidas de localização

• Média de um conjunto de dados: A média de um conjunto de dados, que se representa por–x, é o valor que se obtém dividindo a soma dos valores observados pelo número total de ob-

servações.

• Mediana de um conjunto de dados: Depois de ordenado o conjunto de dados, podem ve-

rificar-se duas situações:

– se o número de dados do conjunto for ímpar, a mediana (Me ou ~x ) é o valor central desse

conjunto de dados;

– se o número de dados do conjunto for par, a mediana (Me) é a média dos dois valores cen-

trais do conjunto de dados.

• Quartis de um conjunto de dados:

– a mediana dos dados que ficam à esquerda da Me, designa-se por 1.o quartil, Q1;

– a Me coincide com o 2.o quartil, Q2;

– a mediana dos dados que ficam à direita da Me, designa-se por 3.o quartil, Q3.

Extremos

Os extremos são o valor máximo e o valor mínimo de um conjunto de dados.

Exemplo: No conjunto de dados 2 4 5 5 6 7 9, os extremos são 2 (valor mínimo) e 9 (valor máximo).

Medidas de dispersão

Amplitude = máximo – mínimo

Amplitude interquartis = 3.o quartil – 1.o quartil

Atividade preferida pelos alunos da turma da Maria10

9876543210

Atividades

Ler Vertelevisão

Jogarcomputador

Fazerdesporto

Núm

ero

de a

luno

s

Núm

ero

de a

nim

ais 7

6543210

[0, 20[ [20, 40[ [40, 60[ [60, 80[ [80, 100[ [100, 120[Velocidade (km/h)

Velocidades máximas dos animais analisados

Gráfico de barras

1950

Anos

Pop

ula

ção

(mil

milh

ões

)

1960 1970 1980 1990 2000 2010

76543210

Crescimento demográfico mundial

Gráfico de linhas

Diagrama de caule-e-folhas Histograma Gráfico circular

56789

1 8 3 96 4 8 7 6 1 36 3 9 3 6 42 6 1 6 70 3

caule folhas

PictogramaGarrafas recolhidas para reciclagem

Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Modalidade desportiva

Golf Judo

FutebolGinástica

Natação

15% 12,5%

45%

20%

7,5%

69

UNIDADE 5 Sequências e regularidades. EquaçõesR

ES

UM

IR

Numa sequência numérica, cada número designa-se por termo. Dois números seguidos dizem-se

termos consecutivos.

Lei de formação: Neste exemplo, cada termo, com exceção do

primeiro, obtém-se adicionando duas unidades ao termo anterior.

Os termos de uma sequência numérica relacionam-se segundo

uma regra que pode ser traduzida por uma expressão algébrica,

à qual chamamos termo geral. Neste exemplo, o termo geral é

4n.

O termo geral de uma sequência permite determinar qualquer

termo da sequência, desde que se conheça a sua ordem. O termo

geral também permite verificar se um número é, ou não, termo

da sequência.

Monómios semelhantes podem ser adicionados (ou subtraídos), obtendo-se um novo monó-

mio. Para isso, adicionam-se (ou subtraem-se) os coeficientes e dá-se a mesma parte literal.

Exemplo:

3x3y2 – 2x3y2 = x3y2

Resolver uma equação literal em ordem a uma das variáveis corresponde a isolar essa variável

num dos membros.

Uma equação literal é uma equação com mais do que uma variável.

Exemplos:

1. A = × h 2. x + y = 2b + B2

SEQUÊNCIAS

EQUAÇÕES LITERAIS

Um monómio é um número ou o produto de um número por variáveis.

Dois monómios dizem-se semelhantes quando têm a mesma parte literal.

MONÓMIOS E POLINÓMIOS

1.o termo

ou termo de ordem 1

3.o termo

2.o termo 4.o termo

4, 8, 12, 16, …

–5 x 2 y 3��� ���

Coeficiente Parte literal

Dois ou mais monómios podem sempre ser multiplicados. O seu produto é um monómio.

Exemplo:

5x5y × 2xy2 = 5 × 2 × x5 × x × y × y2 = 10x6y3

Um polinómio é um monómio ou uma soma de dois ou mais monómios.

Os monómios que formam o polinómio são os seus termos.

Exemplo:

6x3 + 8x é um polinómio e os seus termos são 6x3 e 8x.

70

Para subtrair dois polinómios, adiciona-se ao primeiro (aditivo) o polinómio simétrico do se-

gundo (subtrativo).

Para multiplicar um monómio por um polinómio basta utilizar a propriedade distributiva da

multiplicação.

Na multiplicação de dois polinómios também se utiliza a propriedade distributiva da multi-

plicação.

Um polinómio com dois termos diz-se um binómio e um polinómio com três termos diz-se um

trinómio.

O grau de um polinómio é o maior dos graus dos monómios que o constituem.

Para somar polinómios basta adicionar os termos semelhantes.

O simétrico de um polinómio é um polinómio cujos termos são os simétricos do polinómio dado.

Exemplo:

O polinómio simétrico de 6x3 – 3x2 + 5x – 5 é –6x3 +3x2 – 5x + 5.

Quadrado de um binómio

(a + b)(a + b) = (a + b)2

Diferença de quadrados

(a – b)(a + b) = a2 – b2

CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO

EQUAÇÕES DO 2.o GRAU

Exemplos:

1. (x + 3y)2 = x2 + 6xy + 9y2

2. (x – 4)2 = x2 – 8x + 16

Exemplo:

(x – 3)(x + 3) = x2 – 9

Fatorizar um polinómio é escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores.

Uma equação do 2.o grau na forma canónica é uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.

Lei do anulamento do produto

O produto de fatores é nulo quando pelo menos um dos fatores é zero:

A × B = 0 ⇔ A = 0 � B = 0

Para determinar as soluções de uma equação do 2.o grau, escrita na forma canónica, basta fato-

rizar o primeiro membro da equação e utilizar, de seguida, a lei do anulamento do produto.

Nota:

O símbolo �

lê-se “ou”.

71

UNIDADE 6 Teorema de Pitágoras e sólidos geométricosR

ES

UM

IR

DECOMPOSIÇÃO DE UM POLÍGONO

Qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos e quadriláteros.

As medianas de um triângulo são os segmentos de reta que unem cada

vértice com o ponto médio do lado oposto. Ao ponto de interseção das

medianas dá-se o nome de baricentro.

Num triângulo, a distância do baricentro a um vértice é dupla da dis-

tância do baricentro ao ponto médio do lado oposto a esse vértice.

A mediana decompõe o triângulo em dois triângulos equivalentes, ou seja, com a mesma área.

As três medianas de um triângulo decompõem-no em seis triângulos equivalentes, ou seja, em

seis triângulos com a mesma área.

As alturas de um triângulo são os segmentos de reta da perpendicu-

lar traçada de um vértice para o lado oposto. Ao ponto de interseção

das alturas dá-se o nome de ortocentro.

B

Área do triângulo GDA == Área do triângulo AGE == Área do triângulo EGB == Área do triângulo BFG == Área do triângulo CFG == Área do triângulo CDG

Losango

Trapézio

Polígono Área

Alosango = d × = D2

d × D2

Atrapézio = × hb + B2

A

BC

Ortocentro

72

Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo, o quadrado da hi-

potenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

(a, b, c) diz-se um terno pitagórico se e só se c2 = a2 + b2.

Diagonal facial e diagonal espacial de um paralelepípedo

Aplicando o Teorema de Pitágoras à diagonal da base do prisma,

d = √∫a ∫2∫ ∫+∫ ∫b∫2.

Dado um paralelepípedo de dimensões a, b e c, o comprimento

da sua diagonal espacial, D, pode ser obtido através da fórmula

D = √∫a∫2 ∫ ∫+∫ ∫b∫2 ∫ ∫+∫ ∫c∫2.

A área de um sólido é a soma das áreas de todas as superfícies que limitam esse sólido.

Prisma

Área total = 2 × área da base + área das faces laterais

Pirâmide

Área total = área da base + área das faces laterais

Cilindro

Área total = 2 × área da base + área da superfície lateral

Cone

Área total = área da base + área da superfície lateral

Esfera

Área da superfície esférica = 4 × π × r2

TEOREMA DE PITÁGORAS

ÁREAS DE SÓLIDOS

A altura referente à hipotenusa decompõe um triângulo retângulo em dois triângulos seme-

lhantes entre si e semelhantes ao triângulo dado.

73

UNIDADE 6 Teorema de Pitágoras e sólidos geométricosR

ES

UM

IR

Posição relativa de dois planos

Posição relativa de duas retas

Posição relativa

de dois planos

Concorrentes

Paralelos

Perpendiculares

Oblíquos

���

Estritamente paralelos

Coincidentes

���

Perpendiculares

Oblíquas

���

Estritamente paralelas

Coincidentes

���

�����

Posição relativa

de duas retas

Não complanares

Complanares

�����

Concorrentes

Paralelas

�����

Prismas

Pirâmide

Cilindro

Cone

Esfera

Sólido Volume

aa

a

altura

área da base

altura

área da base

raio (r)

altura (h)

área da base

raio (r)área da base

altura (h)

r

Vcubo = área da base × altura = (a × a) × a = a3

Vprisma = área da base × altura

Vpirâmide = × área da base × altura1

3

Vciclindro = área da base × altura = π × r2 × h

Vcone = × área da base × altura = × π × r2 × h1

3

1

3

Vesfera = × π × r34

3

VOLUMES

PONTO, RETA E PLANO

74

Posição relativa de uma reta relativamente a um plano

Critérios de paralelismo e perpendicularidade

Posição relativa de uma reta

relativamente a um plano

Concorrente

Paralela

Perpendicular

Oblíqua

���

Estritamente paralela

Contida

���

�����

Se uma reta é paralela a outra reta contida num plano, então é paralela

a esse plano.

Se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro plano,

então os dois planos são paralelos.

Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano,

então é perpendicular a esse plano.

Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano, então os dois

planos são perpendiculares.

75

Como já sabes, alguns frisos obtêm-se pela repetição de um determinado motivo, respei-

tando um movimento de translação. Nos frisos seguintes, tenta identificar um motivo que

lhes dê origem.

Qual das seguintes figuras representa uma translação?

[A] [B] [C] [D]

Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Grade 5/Abril 2009)

Observa a seguinte figura.

Representa, no teu caderno, a imagem do triângulo ABC através:

2.1. da translação associada ao vetor v;

2.2. da reflexão de eixo d.

Testar1

2

3

6%

6%

6%

4%

4%

IsometriasUNIDADE 1

.2.3.1.3

76

Observa a seguinte figura.

4.1. Utilizando as letras da figura, indica dois vetores:

a) com o mesmo comprimento;

b) com a mesma direção, mas com sentidos opostos.

4.2. Calcula:

a) A≥E + E≥D b) B≥D + H≥M c) A≥D + C≥B

4.3. Indica a imagem do ponto A por meio da translação associada ao vetor:

a) A ≥D b) –J≥A c) D ≥C d) 0

4.4. Comenta a afirmação: “A imagem do ponto A pela translação associada ao vetor F≥G é o

ponto D ”.

4.5. Qual é a imagem do segmento de reta AB por meio da translação associada ao vetor B≥C?

4.6. O ponto C é a imagem do ponto J na translação associada a que vetor?

4.7. Constrói, no teu caderno, a imagem da figura pela TE ≥Co TB≥M.

Constrói, no teu caderno, a imagem do polígono 1 na reflexão deslizante associada ao eixo r

e ao vetor v.

4

5

6%

12%

12%

4%

3%

3%

9%

10%

6%

4%

5%

6.1. Constrói, no teu caderno, um triângulo ABC, equilátero, sabendo que o segmento de reta

AB mede 4 cm.

6.2. Identifica as simetrias de rotação do triângulo ABC, que construíste na alínea anterior.

6.3. Desenha o triângulo A’B’C’, imagem do triângulo ABC numa rotação de centro em A e am-

plitude –90o.

6

77

O Filipe é nutricionista. Na tabela seguinte apresen-

tam-se os pesos atuais e a respetiva variação em re-

lação à última pesagem de alguns dos seus pacientes.

Numa ficha de trabalho de Matemática, era pedido aos alunos que calculassem o valor de 3–4.

O João calculou-o do seguinte modo:

3–4 = (–3) (–3) (–3) (–3) = +81

Terá o João calculado corretamente o valor pedido? Se não, como o devia ter feito?

Determina o valor de a, em cada uma das seguintes expressões.

4.1. 270 = (2a)5 4.2. 24 = 4.3. 2a (–2)4 = 281

2a

Considera os números ; ; – ; ; ; – ;

2.1. Usa a calculadora para representar cada um dos números na forma de dízima.

2.2. Identifica o tipo de dízima de cada um dos números.

2.3. Entre os números apresentados encontram-se duas frações com denominador 11. Utiliza a

calculadora para investigar outras frações com denominador 11 e tenta encontrar uma

forma geral de escrever uma fração com denominador 11 e numerador menor do que 11

na forma de dízima.

4

11

33

55

3

11

7

9

3

4

5

2

1

3

Testar1

2

3

4

Calcula, utilizando, sempre que possível, as regras de operações com potências.

5.1. (– )–2– (– )–2 5.2. (–1)703 + (+1)2 + (–1)38

5.3. ( )–2+ (–3)0 – (–4)2 – (22)3 5.4. 9–4 : 3–4 332

3

2

5

2

5

5

1%

1%

3%

4%

3,5%

3,5%

4%

5%

2%

2%

2%

3%

3%

3%

3%

Números racionaisUNIDADE 2

1.1. Em qual dos pacientes a variação do peso é representada por um número inteiro?

1.2. Qual dos pacientes teve uma maior variação de peso?

1.3. Qual dos pacientes perdeu mais peso?

1.4. Representa numa reta numérica a variação dos pesos dos pacientes.

Paciente

João

Francisco

Anabela

Catarina

Idade

45

29

16

31

Peso atual(em kg)

80

102

45

86

Variação do peso em relaçãoà última pesagem

–1,0 kg

–2,2 kg

+3,4 kg

+4 kg2

5

78

Escreve sob a forma de uma potência de expoente diferente de 1.

4 –27 10 000 0,001 –125 0,34

9

1

7

No teu caderno, preenche os quadrados com os símbolos , ou =.

10.1. 3,5 10–13 3,51 10–12 10.2. 2 3 10–1 6 10–1

10.3. –1 104 4 104 10.4. 1,27 102 12 10–1

6

10

Efetua as seguintes operações, apresentando o resultado em notação científica.

11.1. 34,5 10–3 21 10–6 11.2. 0,05 104 : 2 10–3

11.3. 8,7 1012 + 476 109 11.4. 3,14 10–3 – 4,76 10–4

11

Na tabela seguinte apresenta-se o consumo de água, em litros, necessário à produção de 1 to-

nelada de determinados produtos.

12.1. Apenas um dos produtos apresenta o consumo de água expresso em notação cientí-

fica. Qual?

12.2. Qual dos produtos necessita de mais água para a sua produção? Explica o teu raciocínio.

12.3. No passado mês de Setembro, a fábrica produziu 3 104 toneladas de papel.

a) Determina o número de litros de água

consumidos pela fábrica, só para a

produção do papel.

b) Na tabela ao lado, apresenta-se o tari-

fário da empresa que fornece água à

fábrica. Determina o valor que a fá-

brica terá de pagar pela água de que

necessitou para produzir as já referidas

3 104 toneladas de papel.

12

Escreve, sob a forma de potência de expoente negativo, as seguintes potências.

(–5)2 ( )6 (– )7(–1)1821

11

2

3

1

25

7

Qual dos seguintes números está escrito em notação científica?

[A] 734 [B] 4,75 105 [C] 0,5 10–6 [D] 15 10–12

8

Escreve em notação científica cada um dos seguintes números.

9.1. 637

9.2. 0,000257

9.3. 356 1014

9

4%

5%

4%

2%

2%

3%

2%

2%

2%

2%

4%

4%

6%

6%

1%

2%

3%

3%

Produto (1 tonelada = 1000 kg)

Papel

Aço

Borracha

Consumo de água (em litros)

1000 000

25 104

2,75 106

m/RUEomusnoC 3Água valores mensais

Domésticos1.o escalão (até 5 m3/30 dias) 0,1820

2.o escalão (de 6 a 20 m3/30 dias) 0,5993

3.o escalão (mais de 20 m3/30 dias) 1,4141

Não domésticosConsumo comercial, industrial, agrícola, 1,4141

Estado e outras pessoas coletivas de

direito público e profissões liberais

79

Resolve as seguintes equações.

1.1. 12 – (3x – 7) = 4 – x

1.2. – (x – 2) = 0

1.3. + + = 5x – 1

1.4. 3 – = 2( )–x – 9

3

2x – 5

4

3

2

x4

x3

3x5

Considera as funções f, g, h e i definidas por:

f(x) = 3x g(x) = 3x + 4 h(x) = –2x i(x) = –x + 3

3.1. Calcula f(3) + g(–5) + h(0).

3.2. De entre as quatro funções consideradas apenas duas são funções lineares. Quais?

3.3. No referencial seguinte apresentam-se as representações gráficas das quatro funções.

a) Faz a correspondência entre cada função e a respetiva representação gráfica.

b) Determina as coordenadas dos pontos A, B e C e calcula a área do triângulo ABC. Explica o

teu raciocínio.

No plantel de uma equipa de futebol, dos jogadores são brasileiros

são africanos e os restantes 14 são portugueses. O treinador da

equipa está com dificuldades em fazer a convocatória para o pró-

ximo jogo porque metade do plantel está com gripe. Quantos jo-

gadores tem o treinador disponíveis para o próximo jogo?

1

6

1

4

Testar1

2

3

5%

5%

5%

8%

8%

6%

4%

4%

6%

Funções e equaçõesUNIDADE 3

80

A representação gráfica da função f é uma reta que passa pela origem do referencial e pelo

ponto de coordenadas (1, 10). Calcula f(1) – 3 f(3).4

Considera a equação y = –x + 3. Dá exemplo de outra equação de modo que o sistema for-

mado pelas duas equações seja:

8.1. impossível;

8.2. indeterminado.

7.2. Escreve a expressão algébrica da função representada no gráfico [D].

7.3. Ontem, o Paulo só efetuou chamadas do seu telemóvel para as redes A e B. A soma dos

tempos de duração dessas chamadas foi de 60 segundos e, no total, o Paulo gastou 35

cêntimos. Qual foi o tempo total de duração das chamadas efetuadas pelo Paulo, para a

rede A? Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade.

Adaptado de Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo, 2007 – 2.a chamada

8

Resolve graficamente o sistema .2x – y = 3

–x – y = 05

Resolve, pelo método de substituição, o sistema .

= 3

x – 4y = –12

x – 4y3

6

Para efetuar chamadas do seu telemóvel, para duas redes (A e B), o

preço, em cêntimos, que o Paulo tem a pagar por cada segundo de

duração de uma chamada encontra-se na tabela ao lado.

7.1. O Paulo tem 80 cêntimos disponíveis para efetuar chamadas do

seu telemóvel. Após ter iniciado uma chamada para a rede A, o dinheiro disponível foi

diminuindo, até ser gasto na sua totalidade. Qual dos quatro gráficos que se seguem re-

presenta esta situação? Justifica a tua escolha.

]B[]A[

]D[]C[

7

8%

8%

8%

5%

4%

6%

5%

5%

Rede

A

B

Preço por segundo(em cêntimos)

0,5

0,6

Din

hei

ro d

isp

on

ível

(cên

tim

os)

Tempo decorrido desde o inícioda chamada (segundos)

80

60

40

20

020 40 60 80 100 120 140 160 D

inh

eiro

dis

po

nív

el(c

ênti

mo

s)

Tempo decorrido desde o inícioda chamada (segundos)

80

60

40

20

020 40 60 80 100 120 140 160

Din

hei

ro d

isp

on

ível

(cên

tim

os)

Tempo decorrido desde o inícioda chamada (segundos)

80

60

40

20

020 40 60 80 100 120 140 160 D

inh

eiro

dis

po

nív

el(c

ênti

mo

s)

Tempo decorrido desde o inícioda chamada (segundos)

80

60

40

20

020 40 60 80 100 120 140 160

81

Uma escola decidiu realizar um estudo estatístico acerca das áreas disciplinares preferidas dos

seus alunos. Para isso, inquiriu os alunos de uma turma de artes.

5.1. Como se designa este tipo de estudo?

5.2. Qual é a população em estudo?

5.3. Achas que dos resultados obtidos podem resultar conclusões válidas para toda a popu-

lação? Explica o teu raciocínio.

5.4. Sugere uma outra forma de fazer a recolha de dados.

5.5. Que tipo de representações gráficas utilizarias para apresentar os resultados obtidos com

este inquérito? Justifica a tua opção.

5

Foi realizado um inquérito a 60 dos 432 funcionários de uma empresa de distribuição de mer-

cadorias. Uma das questões era relativa ao estado civil do inquirido. As respostas obtidas en-

contram-se parcialmente organizadas na seguinte tabela.

1.1. No conjunto de dados anterior, indica:

a) a amostra; b) a população.

1.2. No teu caderno, completa a tabela anterior.

1.3. Constrói um gráfico circular representativo da situação.

Para estudar a característica “hábitos alimentares” de uma determinada população, realizou-se

um inquérito à entrada de uma pizaria. Faz um comentário acerca da representatividade da

amostra.

Uma empresa de televisão por cabo pretende elaborar um estudo sobre o grau de satisfação

dos seus clientes relativamente aos serviços prestados. Assim, selecionou aleatoriamente 200

dos seus clientes e colocou-lhes a seguinte questão: Qual é a classificação que atribui aos ser-

viços prestados pela nossa empresa: não satisfaz, satisfaz ou satisfaz bastante?

2.1. Neste estudo estatístico, indica:

a) a população; b) a amostra.

2.2. O estudo efetuado é um censo ou uma sondagem? Justifica.

2.3. Supõe que o estudo foi realizado telefonicamente e que os clientes contactados perten-

cem todos à mesma zona residencial. Achas que dos resultados obtidos podem resultar

conclusões válidas para toda a população? Explica o teu raciocínio.

Testar1

2

4

O que terias a dizer sobre a representatividade de uma amostra constituída apenas por joga-

dores de futebol de uma equipa profissional para se estudar a condição física de uma deter-

minada população?

3

3%

3%

8%

8%

3%

3%

5%

6%

3%

3%

5%

4%

5%

6%

6%

Planeamento estatísticoUNIDADE 4

Estado civil

Solteiro

Casado

Divorciado

Viúvo

Frequência absoluta

21

9

Frequência relativa

0,4

82

Durante um certo mês, foram registadas as temperaturas máximas diárias, em graus Celsius,

em Viana do Castelo.

6.1. Qual é a população em estudo?

6.2. Organiza os dados num diagrama de caule-e-folhas.

6.3. Calcula a maior amplitude térmica verificada durante esse mês.

6.4. Calcula a média das temperaturas máximas registadas.

6.5. Calcula a mediana das temperaturas máximas registadas.

6.6. Indica qual dos seguintes diagramas de extremos e quartis pode representar as tempe-

raturas máximas registadas na cidade ao longo do mês. Explica os motivos que te leva-

ram a essa escolha, apresentando todos os cálculos ou esquemas que utilizaste.

[A]

[B]

[C]

[D]

6

23,3 24,3 24,0 25,1 25,2 24,6

24,4 24,5 24,8 23,7 24,6 24,6

23,7 23,7 24,3 23,9 25,1 24,2

23,7

23,2

24,4

24,6

24,5

23,8

23,5

24,3

24,3

25,0

25,1

24,0

3%

6%

4%

5%

5%

6%

524223 268,423,32

524223 262,523,427,322,32

524223 262,523,428,322,32 24,6

52010 3503515 20 4024,3

23,8 24,6

formular questões e planear adequadamente arecolha de dados.

pág. 14 Aplicar: 2, 3, 5. pág. 15

identificar e minimizar possíveis fontes de en-viesamento na recolha de dados.

pág. 14 Aplicar: 3, 5. pág. 15

distinguir entre população e amostra e conside-rar os elementos que podem afetar a represen-tatividade da amostra em relação à população.

pág. 14 Aplicar: 1, 2, 4, 5. pág. 15

Sou capaz de … Sugestão de alguns exercícios

83

A empresa de aluguer de automóveis “FantastiCar” anunciou

uma nova fórmula para o cálculo do preço do aluguer dos seus

carros. O custo (C) de cada aluguer, em €, será dado por:

C = 30d +

em que d representa o número de dias de aluguer e K repre-

senta o número de quilómetros que o automóvel percorreu no

decurso do aluguer.

1.1. Supondo que um carro esteve alugado durante três dias,

tendo percorrido 300 km, determina o custo do aluguer.

1.2. Sabendo que um cliente pagou 270 €, tendo percorrido,

durante o aluguer, 270 km, determina quantos dias esteve

o automóvel alugado.

1.3. Resolve a equação dada em ordem a K.

1.4. A Eduarda alugou um automóvel durante todo o mês de

Janeiro e gastou 1137 euros. Quantos quilómetros fez a

Eduarda com o veículo alugado?

10(k – 30d)

100

Considera os seguintes polinómios.

A = x3 + 2x2 – x – 3 B = x2 + x – 0,1 C = x – 10 D = – + 2

3.1. Indica o grau de cada um dos polinómios.

3.2. Indica o polinómio simétrico de B.

3.3. Calcula e simplifica.

a) A + B b) C2

c) C D d) 2A – 5D

x5

3

2

1

2

Escreve:

2.1. um monómio de grau 3;

2.2. um monómio que não tenha parte literal;

2.3. um par de monómios semelhantes;

2.4. um polinómio de grau 5;

2.5. dois polinómios de grau 3, cuja soma seja um polinómio de grau 1.

Testar1

2

3

4%

6%

4%

6%

2%

2%

2%

2%

2%

2%

2%

10%

3%

3%

Sequências e regularidades. EquaçõesUNIDADE 5

Escreve uma expressão que represente a medida da área de cada uma das figuras.

.2.4.1.4

4

84

Copia as seguintes igualdades para o teu caderno e completa-as.

5.1. (2x – ?)2 = ? – 4x + ? 5.2. (3x – ?)(3x + ?) = ? – 100

5.3. (? + ?)(? – ?) = x4 – 5.4. (? – )2= 4x2 – ? + ?3

2

49

4

Resolve cada uma das seguintes equações.

6.1. 3(x + 2)(2x – 10) = 0 6.2. (2x – ) (x + ) (x2 – 25) = 0

6.3. 4x2 – 16 = 0 6.4. 21x2 + 1 = 1 – 7x

6.5. –25 + 4x2 = 0 6.6. 4x2 – 32x = –64

3

4

1

3

5

6

O Pedro, na aula de Matemática, construiu a sequência de quadrados da figura. Os quadrados

são formados por triângulos geometricamente iguais ao triângulo . A 1.a construção é for-

mada por 2 triângulos, a 2.a construção é formada por 8 triângulos, a 3.a construção é formada

por 18 triângulos e assim sucessivamente.

7.1. Quantos triângulos do tipo tem a 20.a construção da sequência?

7.2. Escreve uma expressão que permita determinar o número de triângulos do tipo utili-

zados numa qualquer figura desta sequência.

7.3. Quantos triângulos do tipo são necessários para a 34ª construção? Explica o teu raciocínio.

7.4. Qual é a construção formada por 200 triângulos do tipo ? Explica o teu raciocínio.

7.5. Existe alguma construção formada com 280 triângulos do tipo ? Explica o teu raciocínio

Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 9.o ano – Fevereiro 2010

7

A Mafalda e a Francisca são irmãs gé-

meas.

Se ao quadrado da idade da Mafalda

subtrairmos o triplo da idade da Fran-

cisca, obtemos o quádruplo da idade da

Mafalda. Qual é a idade da Francisca?

8

2%

2%

2%

2%

4%

4%

4%

4%

4%

4%

2%

3%

2%

2%

6%

3%

1.a .2oãçurtsnoc a .3oãçurtsnoc a construção

(…)

85

Determina a área de cada uma das seguintes figuras.

.2.1.1.1

Observa a seguinte figura, na qual todos os ângulos são retos.

3.1. Mostra que a área da figura é 13,5 cm2.

3.2. A figura é a base de um prisma com 2,8 cm de altura. Determina o volume do prisma.

3.3. Uma enorme peça metálica foi fundida para que prismas, como o referido na alínea an-

terior, possam ser construídos. A referida peça tem a forma de um prisma retangular e as

seguintes dimensões: 2 m 1,2 m 0,8 m.

Determina o volume, em cm3, da peça que foi fundida.

3.4. Quantos prismas, como os referidos na alínea 3.2., podem ser construídos utilizando ape-

nas o metal proveniente da fusão da peça?

Adaptado de University of Cambridge International Examinations, Maio/Junho 2003

Observa o seguinte trapézio.

Sabendo que o trapézio tem 35 cm2 de área, determina uma relação entre o comprimento da

base menor, b, e o comprimento da base maior, B.

Testar1

2

3

Considerando que o círculo da figura tem 2 cm2 de área, determina a

área do quadrado nele inscrito.

4

6%

6%

8%

4%

4%

4%

6%

6%

Teorema de Pitágoras e sólidos geométricosUNIDADE 6

86

Observa a figura.

Sabe-se que:

ABC é um triângulo retângulo—AD = 6 cm—DC = 2 cm

Determina —BC, apresentando todos os cálculos que efetuares.

5

Quanto mede a diagonal espacial de um cubo com 216 m2 de área total?8

Observa a figura.

Sabe-se que:

D pertence à circunferência de centro em A e que passa em B—AD = 8,5 cm—CD = 8 cm

6.1. Comenta a afirmação: “Os triângulos ABC e ACD são equi-

valentes”.

6.2. Os triângulos GDC e GBC são semelhantes? Justifica.

6.3. Determina a área do triângulo ABC. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

6

A grande pirâmide de Quéops (Gizé, Egipto) é uma das

sete maravilhas do mundo antigo. A sua base é um qua-

drado com 230 m de lado e tem 148 m de altura. De se-

guida, apresenta-se uma fotografia da referida pirâmide

e um esquema que a representa.

7.1. Determina o volume da pirâmide.

7.2. Determina a área total da pirâmide.

7.3. Utilizando as letras da figura, indica:

a) dois planos concorrentes;

b) duas retas não complanares.

7.4. Indica, justificando, a posição relativa da reta AO e do plano BCD.

7

10%

7%

7%

6%

4%

4%

8%

6%

4%

87

UNIDADE 1 Isometrias

1 Observa a figura.

Indica a figura que pode ser a imagem por uma translação da figura anterior.

[A] [B] [C] [D]

2 Na figura está representado o trapézio ABCD, o vetor →u e a reta r.

3 Comenta a afirmação: “Dois triângulos equiláteros são sempre translação um do outro”.

Constrói a imagem do trapézio ABCD através:

2.1. da rotação de centro em A e amplitude –90o;

2.2. da reflexão de eixo r;

2.3. da reflexão deslizante associada ao eixo r e ao vetor →u.

Testar

→u

r

AB

C D

88

Na figura está representado um hexágono regular ABCDEF, ins-

crito numa circunferência de centro em G.

4.1. Após uma rotação de centro em G e amplitude –120o, o

ponto D desloca-se para uma posição que, antes da rota-

ção, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata?

4.2. Indica a imagem do ponto E numa rotação de centro em Ge amplitude –180o.

4.3. Indica a imagem do triângulo CGD numa rotação de centro em G e amplitude +240o.

4.4. O ponto C é a imagem do ponto E numa rotação de centro em G. Indica a amplitude do ângulo

de rotação.

4.5. O hexágono da figura tem simetria rotacional? Justifica.

4.6. O hexágono da figura tem simetria axial? Justifica.

4.7. Define uma translação que transforme o segmento de reta DE no segmento de reta AB.

4.8. Completa:

a) A≥F + E≥D = ______

b) ______ + F≥A = →0 (

→0 é o vetor nulo)

c) ______ + G≥E = B≥D

4.9. Utilizando as letras da figura, indica dois vetores com a mesma direção, sentidos opostos e com-

primentos diferentes.

4.10. Qual das seguintes afirmações é falsa?

[A] Os vetores A≥F e C≥D têm a mesma direção.

[B] Os vetores B≥C e C ≥D têm o mesmo comprimento.

[C] Os vetores B≥E e B≥G têm o mesmo sentido.

[D] O triângulo BCG pode ser obtido do triângulo GEF através de uma translação.

4 A F

C D

EBG

89

UNIDADE 2 Números racionais

1 O Francisco ganhou 1225 € na lotaria. Gastou do

prémio na compra de uma nova televisão e depositou

o restante no banco.

1.1. Indica o significado da expressão 1 – no con-

texto do problema.

1.2. Calcula (1 – )× 1225. Qual é o significado do re-

sultado obtido no contexto do problema?

1.3. Quanto custou a televisão que o Francisco comprou?

3

5

3

5

3

5

2 Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas.

2.1. –2 × (–0,5 × ) – (– : 2) 2.2. × (–1 + ) – : (– )–2

2.3. (– )2+ (–1)1001 –2–1 × ( – 0,1)0

2.4. × 33 : ( )–7×

4

5

1

3

1

2

3

4

1

2

1

3

2

3

1

2

3

4

(–9)11 × (–9)–7

(–3)4

1

5

3 Escreve, em notação científica, cada um dos seguintes números.

3.1. 2000 3.2. 0,00078

3.3. 1,5 milhões 3.4. 0,002 × 105

Testar

90

Considera os números racionais –3; +4,5; + ; 0,3333; – ; ; 0 e –1,(35).

4.1. Algum dos números é um número inteiro positivo? Se sim, qual?

4.2. Escreve-os por ordem decrescente.

1

3

9

4

10

54

Na tabela seguinte apresenta-se a capacidade de cada um dos es-

tádios de três grandes clubes portugueses de futebol: F. C. Porto,

S. L. Benfica e Sporting C. P.

5.1. Coloca os estádios por ordem decrescente de capacidade.

5.2. Se, num determinado fim de semana, os três estádios encherem, quantas pessoas terão assistido

aos jogos?

5.3. Determina a diferença entre as capacidades do Estádio da Luz e do Alvalade XXI.

5

A massa do Sol é cerca de 1,9891 × 1030 kg. A massa do átomo de hidrogénio, principal constituinte

do Sol, é 1,67 × 10–27 kg.

6.1. Quantos átomos de hidrogénio há, aproximadamente, no Sol?

6.2. A 165 mil anos-luz da Terra, na Nebulosa Tarântula, esconde-se a R136, um grupo de estrelas degrande dimensão que tem suscitado a curiosidade dos cientistas.No centro deste agrupamento foi descoberta a R136a1, a maior estrela do conjunto, cujo tamanhoequivale a 265 vezes a massa do Sol, segundo anunciou o astrónomo Paul Crowther, da Universi-dade de Sheffield, no Reino Unido.

in Ciência Hoje, 22/7/2010

Determina um valor aproximado para a massa da estrela R136a1, apresentando-o em notação

científica.

6

Clube

F. C. Porto

S. L. Benfica

Sporting C. P.

Estádio

Estádio do Dragão

Estádio da Luz

Alvalade XXI

Capacidade(valor aproximado)

5 × 104

6,5 × 104

5,2 × 104

91

UNIDADE 3 Funções e equações

1 Resolve cada uma das seguintes equações.

1.1. – = 1 1.2. – + = xx2

x – 2

5

2(x – 2)

4

2x + 1

3

2 O Sr. Domingos é agricultor. Da venda de um terreno, o Sr. Domingos

recebeu algum dinheiro que decidiu investir na modernização da sua

quinta. Utilizou dois terços do dinheiro recebido para comprar um tra-

tor e um quarto do dinheiro para remodelar o celeiro. Com os restantes

7200 €, comprou cinco vacas e dez porcos. Quanto dinheiro recebeu o

Sr. Domingos da venda do terreno?

3 Na figura estão representadas as funções f, g e h.

3.1. Completa as seguintes afirmações com as palavras afim, linear

e constante.

A. f é uma função ______________________________.

B. g é uma função ______________________________.

C. h é uma função ______________________________.

3.2. Para cada uma das funções representadas, escreve uma expressão

analítica que a defina.

3.3. Indica o valor lógico de cada uma das seguintes afirmações.

3.4. Determina:

a) f(9) b) g(7) c) x, sabendo que g(x) = 500.

Testar

Verdadeiro Falso

A. O ponto (0,0) pertence ao gráfico da função f.

B. x = 2 é solução da equação f(x) = g(x).

C. A imagem do objeto 2, por g, é 1.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

1

–1–2–3–4

–5

2

34

5g

h

f

92

Os pontos (0, 4) e (–2, 0) pertencem ao gráfico da função f. Sabendo que f é uma função afim, deter-

mina a expressão analítica que a define.

4

Verifica se o par ordenado (–1, 3) é solução da equação 2x – 4y = –14.5

Resolve e classifica os seguintes sistemas.

6.1.

6.2.

2(x – 6) = y

x – 1 =

��� y – 10

2

2y = x + 3

3(x – 1) = – + 6

��� y – 3

2

6

No início de cada ano letivo, o Gustavo compra todo o seu

material escolar numa papelaria que se situa perto da sua

casa. Este ano, verificou que, se comprasse seis cadernos

pautados e três quadriculados, teria de pagar 8,4 €. Se

com prasse quatro pautados e cinco quadriculados, teria

de pagar 9,2 €. Quanto custa cada caderno quadriculado?

7

93

UNIDADE 4 Planeamento estatístico

1 Mais de metade dos alemães (51%) estão desconten-tes com o euro, segundo uma sondagem do jornalpopular Bild. Realizada online, pelo instituto alemãoYouGov, a sondagem consultou 1068 pessoas, tendoconcluído que 44 por cento dos alemães estão satis-feitos com a moeda única. Segundo a mesma sonda-gem, 49 por cento dos alemães querem regressar aomarco, contra 41 por cento que recusam essa ideia,escreve o Bild, um jornal de grande tiragem, crítico doeuro.

In Jornal Público 27/12/2010

1.1. Relativamente ao estudo realizado, indica:

a) a população;

b) a amostra.

1.2. Se a Alemanha tiver uma população de 82 143 000 pessoas, quantas pessoas é de esperar que

queiram regressar ao marco? Explica o teu raciocínio.

2 Numa escola secundária com 550 alunos efetuou-se

uma sondagem acerca do número de irmãos de

cada aluno. Concluiu-se que 80% dos alunos tem

um ou mais irmãos.

2.1. Quantos alunos não têm irmãos?

2.2. Na turma da Francisca, apenas três alunos não

têm irmãos. Se a turma da Francisca fosse uma

amostra representativa da população, quan-

tos alunos teria a turma da Francisca?

2.3. Na turma do Bernardo há 20 alunos.

a) Quantos alunos é de esperar que não tenham qualquer irmão?

b) Depois de perguntar, verificou-se que 10 alunos desta turma não têm irmãos. Será este re-

sultado surpreendente? Explica a tua opinião.

Testar

94

Os alunos da turma da Mariana decidiram analisar os hábitos de estudo dos alunos da sua escola.

Assim, perguntaram a alguns alunos quantas horas semanais dedicavam ao estudo. A partir dos

dados obtidos construiu-se o seguinte gráfico de barras.

3.1. Indica a população e a amostra a que respeita o estudo estatístico.

3.2. Completa a seguinte tabela.

3.3. Quantas pessoas foram inquiridas?

3.4. Quantas das pessoas inquiridas estudam mais de 5 horas semanais?

3.5. Determina a percentagem de alunos que assumiu estudar cinco horas semanais.

3.6. Se a escola da Mariana tiver 780 alunos, quantos é de esperar que estudem duas horas por se-

mana? Explica o teu raciocínio.

3.7. Comenta a afirmação: “Da análise ao gráfico podemos concluir que 10 pessoas não tiveram qual-

quer negativa na pauta”.

3.8. Comenta a afirmação: “Se apenas se inquirissem alunos com mais de três negativas, a amostra

não seria representativa”.

109876543210

Frequência absoluta

Número de horas deestudo semanal

1 h 2 h 3 h 4 h 5 h Mais de 5 h

3

Número de horasde estudo semanal

Frequênciaabsoluta

Frequênciarelativa

1 h

2 h

3 h

4 h

5 h

Mais de 5 h

95

UNIDADE 5 Sequências e regularidades. Equações

1 A distância percorrida por um automóvel entre o momento em

que o seu condutor inicia a travagem e o momento em que o

automóvel para denomina-se distância de travagem (Dt). Esta

pode ser calculada, em metros, utilizando a fórmula:

Dt = ( )2× , em que v é a velocidade do veículo (km/h).

A determinada altura, um veículo circulava a 92 km/h. Se o con-

dutor do veículo travasse o automóvel, qual era a distância ne-

cessária para imobilizar o veículo? Explica o teu raciocínio.

Adaptado de Projeto 1001 Itens, GAVE

1

2

v10

2 Considera o monómio –20x2 e indica:

2.1. o seu coeficiente e a sua parte literal;

2.2. o seu grau;

2.3. um monómio que lhe seja semelhante.

3 Simplifica.

3.1. (x2 – 5x + 6) – (–x3 + 4x)(x – 2) 3.2. 2(4x – 3)2 + (x – 6)(x + 6)

4 Qual dos seguintes é o simétrico do polinómio –3a2 + 4a – 12?

[A] +3a2 + 4a – 12 [B] +3a2 – 4a + 12 [C] + a2 – a + [D] – a2 + a – 1

12

1

4

1

3

1

12

1

4

1

3

5 Resolve cada uma das seguintes equações.

5.1. 4x2 – 9 = 0 5.2. 12x2 – 8x = 0

5.3. 3x2 + 18x + 27 = 0 5.4. (x – 12)(25x2 – 100) = 0

Testar

96

Fatoriza cada uma das seguintes expressões algébricas.

6.1. 16a4 – 100a2 6.2. x2(3x – 7) – 4(3x – 7)

6

Considera o polinómio P = (m – 3)x2 – 8x + 16.

7.1. Indica o valor de m que transforma o polinómio P num polinómio de grau um. Que polinómio

é esse? Explica o teu raciocínio.

7.2. Seja m = 4.

a) Fatoriza o polinómio P.

b) Calcula o valor do polinómio P quando x = 2.

7

Na figura está representado o retângulo ABCD, com

12 cm2 de área. Determina o valor exato de x.

8

De seguida apresentam-se os quatro primeiros termos de uma sequência de figuras. Cada figura é

formada por círculos iguais ao círculo .

9.1. Quantos círculos tem a figura 5?

9.2. Quantos círculos são necessários para construir a figura número 10? Explica o teu raciocínio.

9.3. Qual das seguintes expressões pode ser o termo geral da sequência?

[A] 2n2 + 2n [B] n2 + [C] n2 + n + 1 [D] 4n2 + n

9.4. Utilizando o termo geral da sequência, determina o número de círculos necessários para cons-

truir a figura número 33.

9.5. Existirá alguma figura composta por 1799 círculos? Justifica.

5

2

3

2

n2

3

2

9

A

(x – 3) cm

(2x – 4) cmD

B C

97

UNIDADE 6 Teorema de Pitágoras e sólidos geométricos

1 Determina a área da figura seguinte.

2 Observa a figura.

Sabe-se que P é o baricentro do triângulo QRS e que —RT = 18 cm.

2.1. Determina —PR e

—PT, explicando o teu raciocínio.

2.2. Considera os triângulos QRT e RTS. Qual dos dois tem maior área? Justifica.

3 Em cada uma das seguintes situações, determina os valores de x, y e z.

3.1. 3.2.

4 Na figura está representado um círculo de centro em A e raio AH. Sabe-se que:

• GH é uma corda com 10,4 cm de comprimento;

• —AI = 16 mm;

• —GI =

—IH.

Determina a área do círculo. Explica o teu raciocínio.

Testar

A

G HI

98

Observa a figura ao lado na qual estão representados um triângulo retângulo

e três quadrados construídos sobre os seus lados.

5.1. Determina a área do quadrado maior.

5.2. Determina o comprimento do lado do quadrado maior.

5

Prova que (n, n + 1, n + 3) não é um terno pitagórico, independentemente do valor de n.6

O cubo da figura tem 4 cm de aresta. Determina o valor exato de —AB, apresentando

todos os cálculos necessários.

7

A figura A é uma fotografia de uma caixa de choco-

lates que o Manuel fez para oferecer à Mariana no dia

de S. Valentim. A figura B representa um modelo geo-

métrico dessa caixa.

Relativamente à figura B, sabe-se que:

• ABCDEFGH é um prisma quadrangular regular;

• EFGHI é uma pirâmide quadrangular regular, de al-

tura —IJ.

8.1. Indica a posição relativa:

a) da reta HG relativamente ao plano ABF;

b) das retas IF e EH.

8.2. Prova que o plano HEF é paralelo ao plano DCB.

8.3. Sabendo que —AB = 13 cm,

—BF = 19 cm e

—IJ = 6 cm, determina:

a) o volume, em cm3, do sólido representado na figura;

b) a área lateral da pirâmide EFGHI, em cm2.

Adaptado de Exame Nacional do Ensino Básico, 2010 – 1.a chamada

8

5 cm

12 cm

BA

D C

E F

GH

I

J

Figura A Figura B

99

Provas globaisDe seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais, com o objetivo de te prepararem

para o exame que irás realizar no final do 9.o ano de escolaridade.

As provas são precedidas de três tabelas com a identificação do conteúdo trabalhado em cada

atividade, para uma mais fácil identificação da matéria em avaliação.

100

Grelhas de conteúdos

1. 2.1 2.2 2.3 2.4 3. 4.1 4.2 4.3 5.1 5.2 5.3 5.4

X X

X

X X

X X X

X X X X

X

Unidade

Isometrias

Números racionais

Funções e equações

Planeamento estatístico

Sequências e regularidades.

Equações

Teorema de Pitágoras e

sólidos geométricos

Prova global 2

Prova global 1

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 3.1 3.2 4. 5. 6. 7.

X X

X X

X X X

X X

X

X

Unidade

Isometrias

Números racionais

Funções e equações

Planeamento estatístico

Sequências e regularidades.

Equações

Teorema de Pitágoras e

sólidos geométricos

Prova global 3

1.1 1.2 1.3 1.4 2. 3. 4.1 4.2 a) 4.2 b) 4.2 c)

X X

X

X X X X

X

X X

Unidade

Isometrias

Números racionais

Funções e equações

Planeamento estatístico

Sequências e regularidades.

Equações

Teorema de Pitágoras e

sólidos geométricos.

101

O João decidiu certificar a qualidade da pastelaria de que é proprietário. Num processo de certifi-

cação de qualidade, é necessário proceder a um rigoroso controlo dos bolos produzidos. Assim,

foram selecionados aleatoriamente 400 bolos, de entre os 4000 produzidos num dia, que foram

avaliados em quatro parâmetros distintos. No gráfico seguinte apresentam-se os resultados obtidos.

1.1 O estudo realizado é um censo ou uma sondagem? Justifica.

1.2 Qual é a população e a amostra a que respeita o estudo?

1.3 Quantos bolos, de entre os 400 avaliados, foram aprovados em todos os parâmetros?

1.4 Qual é a percentagem de bolos aprovados em dois parâmetros? Apresenta todos os cálculos

que efetuares.

120 bolos

5%

60%

Aprovado em todos os parâmetros

Aprovado em 3 parâmetros

Aprovado em 2 parâmetros

Aprovado em 1 parâmetro

1

Resolve a equação seguinte, apresentando os cálculos que efetuares.

x(x – 7) – 3(x – 7) = 0

2

A pastelaria do João fornece bolos às duas escolas básicas das redondezas. No ano passado, ven-

deu a uma delas 7,2 103 bolos e à outra 1,54 104. Sabendo que a pastelaria vende, às escolas,

cada bolo a 27 cêntimos, determina o valor recebido, no ano passado, proveniente deste negócio.

Mostra como chegaste à resposta.

3

Prova global 1

102

Na pastelaria do João estão à venda caixas com bolos tradicionais.

4.1 Existem caixas com três bolos e existem caixas com quatro bolos. Sabe-se ainda que:

têm todas a mesma massa (peso);

têm, também, todos a mesma massa;

com quatro bolos pesa 310 gramas;

s, cada uma com três bolos, têm uma massa total de 470 gramas.

Qual é a massa, em gramas Mostra como chegaste à tua resposta.

4.2 Observa as seguintes figuras.

B arugiFA arugiF

A figura A é uma fotografia de uma das caixas e a figura B representa um modelo geométrico

dessa caixa. Sabe-se que EFGHI é uma pirâmide quadrangular regular, de altura IJ.

a) Prova que a reta IJ é perpendicular ao plano EFG.

b) Determina, em cm3 e com aproximação às centésimas, o volume do sólido representado na

figura B, sabendo que —EF = 20 cm e

—FI = 18 cm. Mostra como chegaste à tua resposta.

Adaptado de Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico, 2010

c) Como podes observar, na figura A, o logótipo

da pastelaria está representado em cada uma

das faces da caixa de bolos. Na figura ao lado,

apresenta-se um esquema desse mesmo lo-

gótipo e o vetor v.

i. Constrói a imagem do polígono ABCDEFG

pela translação associada ao vetor u.

ii. Completa: CB + EF = _________.

H G

I

E F

J

4

A

B C

G

E

F

D

u

103

O Tiago trabalha numa agência de viagens e o seu vencimento é cal-

culado em função do tempo de trabalho por mês. Na figura está re-

presentada graficamente a função que relaciona o tempo de

trabalho do Tiago, em horas, com a quantia que vai receber, em

euros. Escreve uma expressão analítica da função representada.

1

Uma agência de viagens perguntou a cada um dos

alunos do 12.o ano de uma escola secundária sobre o

seu destino preferido para a viagem de finalistas. Os

resultados apresentam-se no gráfico ao lado.

2.1 A agência de viagens realizou um censo ou

uma sondagem? Justifica.

2.2 Relativamente ao estudo realizado, indica a

população.

2.3 Sabendo que, nesta escola, são 300 os alunos que frequentam o 12.o ano, determina quantos

alunos responderam preferir o Brasil. Mostra como chegaste à tua resposta.

2.4 Decidido o destino e os participantes, a Associação de Estudantes pediu à Agência de Viagens

que calendarizasse o pagamento de forma faseada. A proposta da agência definia que o valor

total da viagem, 660 €, fosse pago em duas tranches: uma primeira tranche, três meses antes

da partida, e uma segunda tranche, com o dobro do valor da primeira, apenas quinze dias

antes. Qual é o valor de cada tranche?

2

Qual das opções seguintes apresenta dois números inteiros?

[A] 2 e 3–1 [B] e [C] 20 e ( )–1

[D] e ( )–21

3

1

2

1

3

3

4

12

3

3

15

10

5

0

0 1 2 3 4Tempo de trabalho (h)

Qu

anti

a a

rece

ber

(€)

Vencimento do Tiago

Ibiza

Brasil

México

Algarve

Outro destino

20%

18%

23%

15%

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Percentagem de alunos

Destino preferido para a viagem de finalistasDestino

Prova global 2

104

Relativamente à figura, apresentada ao lado, sabe-se que:

ABCD é um quadrado de lado 4 e centro K;

Os vértices C e A do quadrado são os centros das circunferências

representadas na figura, ambas de raio 2.

4.1 Completa:

a) HK + KD = _____

b) GK + BK = _____

c) HJ + CI = _____

4.2 Qual é a imagem do triângulo ABD pela rotação de centro em K e amplitude –90o?

4.3 Determina —GJ. Apresenta todos os cálculos que efetuares e o resultado aproximado às décimas.

4

De seguida apresentam-se os três primeiros termos de uma sequência de figuras. Cada figura é for-

mada por quadrados iguais ao quadrado , uns pintados de verde e outros de vermelho.

3 arugiF2 arugiF1 arugiF

5.1 Quantos quadrados vermelhos terá a figura 5?

5.2 Quantos quadrados verdes terá a figura 20?

5.3 Escreve uma fórmula que relacione o número da figura (n) com o número de quadrados ver-

melhos (V).

5.4 Escreve uma fórmula que relacione o número da figura (n) com o número total de quadrados (T).

5

A D

H

KI

C

J

B

G

105

O Clube Multimédia da escola da Maria decidiu criar uma televisão escolar,

a “Estação i”, que se dedicará exclusivamente à informação, transmitindo

notícias da Escola, do País e do Mundo.

O símbolo escolhido para a “Estação i” apresenta-se na figura ao lado. Sabe-se

que:

o hexágono ABCDEF é regular e está inscrito numa circunferência de

centro em O;

—CD = 10 cm e

—CH = 25 cm.

1.1 Após uma rotação de centro em O e amplitude –120o, o ponto A des-

loca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por

outro ponto. De que ponto se trata?

1.2 Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

[A]Os vetores AF e DC têm o mesmo sentido.

[B]Os vetores FE e CD têm comprimentos diferentes.

[C]Os vetores BE e OB têm o mesmo comprimento.

[D]O segmento de reta AF é a imagem do segmento de reta CD por uma rotação de centro em

O e amplitude +180o.

1.3 Determina a área sombreada da figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Escreve o

resultado arredondado às centésimas.

Nota: Sempre que procederes a arredondamentos utiliza duas casas decimais.

1

A Direção da escola, dada a enorme qualidade do projeto, pediu aos responsáveis pela “Estação i”

que, para além da transmissão nas televisões internas da escola, utilizassem também a Internet como

meio de comunicação. Deste modo, toda a comunidade educativa passava a ter acesso à emissão.

O professor responsável pelo Clube Multimédia, antes de tomar qualquer decisão, questionou cada

um dos 20 alunos inscritos no clube sobre o pedido da Direção. 85% concordaram que se passasse

a utilizar a Internet.

2.1 O professor responsável realizou um censo ou uma sondagem? Justifica.

2.2 Quantos alunos não concordaram com a medida?

2

A F

EBO

C D

H G

Prova global 3

106

Na figura ao lado está representada graficamente a função f que

relaciona o tempo decorrido desde que a “Estação i” passou a

transmitir através da Internet, em dias, com o número de pes-

soas, em dezenas, que assistem à emissão.

3.1 Quantas pessoas assistem à emissão quatro dias depois da

“Estação i” ter passado a emitir através da Internet?

3.2 Qual das seguintes expressões pode definir a função f?

[A] f (x) = +1 [B] f (x) = x +1 [C] f(x) = [D] f(x) = xx2

x2

3

Resolve a seguinte equação, apresentando os cálculos que efetuares.

4x2 – 17 = 0

4

Resolve graficamente o sistema .

2x – y = 0

2y + 2x = 65

Calcula o valor numérico da expressão – + (– )0

– (–2)–2.23 33

64

7

36

Calcula (7,1 10–2) + (9,3 10–3).

Nota: Não utilizes a calculadora e apresenta o resultado em notação científica.

7

x

y

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

1

–1

–2

–3

–4

–5

2

3

4

5

Nú

mer

o d

e p

esso

as (e

m d

ezen

as)

Tempo de emissão (em dias)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

5

4

3

2

1

0

107

Recursos para a Prova Final

de Ciclo 9

UNIDADE 1 ProbabilidadesR

ES

UM

IR

EXPERIÊNCIAS

� Uma experiência diz-se determinista se, repetida nas mesmas condições, produz sempre o mesmo

resultado.

Exemplo: Colocar um prego de aço num copo de água e verificar o que acontece.

� Uma experiência diz-se aleatória se é impossível prever o resultado que se obtém, mesmo quando

repetida exatamente nas mesmas condições.

Exemplo: Lançar uma vez um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6 e verificar que face

fica voltada para cima.

Numa experiência aleatória, o conjunto de resultados, o espaço de resultados ou o espaço amos-

tral é o conjunto de todos os resultados possíveis. Representa-se por S ou Ω.

No exemplo do dado equilibrado, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

ACONTECIMENTOS

Cada um dos subconjuntos do conjunto de resultados de uma experiência aleatória diz-se um:

• acontecimento elementar – se é constituído por um só elemento do conjunto de resultados;

• acontecimento composto – se é constituído por mais do que um elemento do conjunto de resultados;

• acontecimento impossível – se se não tem qualquer elemento do conjunto de resultados, ou seja, se

não se verifica;

• acontecimento certo – se contém todos os elementos do conjunto de resultados, ou seja, se se veri-

fica sempre.

PROBABILIDADE

A probabilidade de um acontecimento A é um número maior ou igual a 0 (ou 0%) e menor ou igual a

1 (ou 100%), ou seja, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

0% 25% 50%

ou 0,25

75% 100%

1

4ou 0,50

1

2ou 0,75 10

3

4

����������������������������Muito pouco

provável

Pouco

provável

Provável Muito

provável

É impossível ocorrer

o acontecimento

É tão provável que o

acontecimento ocorra

como que não ocorra

É certo que o

acontecimento ocorre

110

A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 e a probabilidade de um acontecimento certo

é 1.

A probabilidade pode ser expressa na forma de dízima, de fração irredutível ou de percentagem.

Quando dois acontecimentos têm a mesma probabilidade de ocorrer dizem-se equiprováveis.

Conceito frequencista de probabilidade

Lei dos Grandes Números: Quando o número de repetições da experiência aleatória é elevado, a fre-

quência relativa de um acontecimento tende a estabilizar num valor que se adota como probabilidade

desse acontecimento.

Conceito clássico de probabilidade

Lei de Laplace: Numa experiência aleatória em que os acontecimentos elementares são equiprováveis,

a probabilidade de um determinado acontecimento A é dada pelo quociente entre o número de casos

favoráveis à sua realização e o número de casos possíveis.

P(A) =

Por vezes, para contar o número de casos favoráveis a um determinado acontecimento, ou o número de

casos possíveis, podemos recorrer a:

Tabela de dupla entrada

número de casos favoráveis à realização de Anúmero de casos possíveis

Diagrama de árvore Diagrama de Venn

C

N

C

C

N

N

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Dado 2

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Dad

o 1

Moeda 2Moeda 1

111

UNIDADE 2 FunçõesR

ES

UM

IR

PROPORCIONALIDADE INVERSA

� Duas variáveis são inversamente proporcionais se o produto dos seus valores correspondentes é

constante e não nulo, ou seja, x e y são inversamente proporcionais quando:

x × y = k (k ≠ 0)

k diz-se a constante de proporcionalidade inversa.

FUNÇÃO DE PROPORCIONALIDADE INVERSA

� Qualquer função com uma expressão do tipo y = (com k constante, k ≠ 0 e x ≠ 0) ou, de forma

equivalente, f(x) = (com k constante, k≠ 0 e x≠ 0) diz-se uma função de proporcionalidade inversa.

k é a constante de proporcionalidade inversa.

Exemplos:

1. y = é uma função de proporcionalidade inversa.

2. y = não é uma função de proporcionalidade inversa.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA(de funções de proporcionalidade inversa)� Num gráfico de proporcionalidade inversa, todos os pontos estão sobre uma linha curva composta

por dois ramos – uma hipérbole.

Nos pontos que pertencem ao gráfico de uma função de proporcionalidade inversa, o produto das

coordenadas de cada ponto do gráfico é constante. Esta é a constante de proporcionalidade inversa.

Exemplo:

f (x) =

O produto das coordenadas de cada ponto do

gráfico de f é constante. A constante de propor-

cionalidade inversa é 2.

kx

kx

x4

2

x

4

x

x f (x)

4

x × f (x)

20,5

2 21

–1 2–2

–4 2–0,5

–4 ¥ (–0, 5) = 2

O 1 2 3 4

1

2

3

4

5

–1

–2

–3

–4

–5

–4 –3 –2 –1

(0,5; 4)

(1, 2)

(2, 1)

(–4; –0,5) (–2, –1)

(–0,5; –4)

–2 ¥ (–1) = 2

–0,5 ¥ (–4) = 2

0,5 ¥ 4 = 2

1 ¥ 2 = 2

2 ¥ 1 = 2

x

y

112

� No gráfico de uma função do tipo y = ax2, com a diferente de zero, todos os pontos estão sobre uma

linha curva. Essa linha, chamada parábola, pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo.

• O ponto (0, 0) pertence ao gráfico de todas as funções do tipo y = ax2, com a diferente de zero. Este

ponto diz-se o vértice da parábola.

• O sinal do coeficiente a determina o sentido da concavidade da parábola.

a > 0 a < 0

Concavidade voltada para cima Concavidade voltada para baixo

• O valor absoluto de a influencia a abertura da parábola: quanto maior for o valor absoluto de a,

menor será a sua abertura.

Exemplos:

• f (x) = –2x2

• Como a = –2, a parábola que representa o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo.

• g (x) = 4x2

• Como a = 4, a parábola que representa o gráfico de g tem a concavidade voltada para cima.

|4| > |–2|

Logo, a abertura da parábola associda a g é menor do que a abertura da parábola associada a f.

1 2

1

2

3 4

3

4

–1

–2

O–2–3–4 –1

y

x

1 2

1

2

3 4–1

–2

O–2–3–4 –1

–3–4

y

x

113

UNIDADE 3 Equações

EQUAÇÕES DO 2.° GRAU

� Toda a equação que seja equivalente a uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, diz-se uma

equação do 2.° grau.

Exemplos:

1. x2 – 5x – 2 = 0 é uma equação do 2.° grau.

2. π2x – 4x = 0 não é uma equação do 2.° grau.

� Diz-se que uma equação do 2.° grau escrita na forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, está na sua forma

canónica.

� Quando numa equação do 2.° grau b = 0 e/ou c = 0, a equação diz-se incompleta. Se a ≠ 0, b ≠ 0 e

c ≠ 0, a equação diz-se completa.

Exemplos:

1. 7x2 – 2x – 59 = 0 é uma equação do 2.° grau completa.

2. x2 – 4x = 0 é uma equação do 2.° grau incompleta.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2.° GRAU� Para resolver equações do 2.° grau podemos recorrer aos casos notáveis da multiplicação e à lei

do anulamento do produto ou utilizar a fórmula resolvente da equação do 2.° grau.

� A fórmula resolvente da equação do 2.° grau permite determinar, de forma direta, as soluções de

qualquer equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0:

Exemplo:

Na equação x2 + 3x – 4 = 0, a = 1, b = 3 e c = –4. Assim:

C.S. = {–4, 1}

x = ±b b aca

2 4

2

x x

x

x

2

2

3 4 0

3 3 4 1 4

2 1

3

+ =

=+ ± + × + ×

× +

=±

( ) ( ) ( ) ( )

( )

99 16

2

3 25

2

3 5

2

3 5

2

8

2

+

=±

= =+

=

x

x x

x x

     

      ==

= =

2

2

4 1x x     

RE

SU

MIR

114

BINÓMIO DISCRIMINANTE

� O número de raízes de uma equação do tipo ax2 + bx+ c = 0, a ≠ 0, depende do valor do binómio dis-

criminante.

x = ← binómio discriminante

(costuma representar-se por △)

• Se △ = b2 – 4ac < 0, a equação é impossível, isto é, não tem solução.

• Se △ = b2 – 4ac = 0, a equação é possível e tem apenas uma solução.

• Se △ = b2 – 4ac > 0, a equação é possível e tem duas soluções distintas.

Exemplo:

Considera a equação x2 – 3x – 5 = 0.

Temos que:

△ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4 × 1 × (–5) = 9 + 20 = 29

Como △ > 0, podemos concluir que a equação tem duas soluções distintas.

SOMA E PRODUTO DAS SOLUÇÕES

� Qualquer equação do 2.° grau pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, ou, de forma

equivalente, na forma x2 + x + = 0 , com a ≠ 0.

Se α e β representarem as suas soluções, podemos dizer que:

α + β = – e α × β =

Deste modo, a equação também pode ser escrita na forma:

x2 – (α + β)x + (α × β) = 0

Exemplo:

Considera a equação x2 – 3x + 2 = 0.

Sabemos que a soma das suas soluções é 3 e que o seu produto é 2.

Podemos, então, concluir que 1 e 2 são as soluções desta equação.

–b ± √∫b ∫2∫ ∫–∫ ∫4∫a∫c2a

ba

ca

ba

ca

115

UNIDADE 4 Circunferência

� Bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes das semirretas que formam

esse ângulo.

LUGARES GEOMÉTRICOS

� Lugar geométrico é um conjunto de pontos do plano, ou do espaço, caracterizado por uma certa

propriedade.

Lugares geométricos do plano Lugares geométricos do espaço

Lugar geométrico dos pontos

do plano...

equidistantes de um dado

ponto (centro).

que distam de um ponto

dado (centro) uma distância

inferior ou igual a um

determinado valor.

equidistantes dos extremos

de um segmento de reta.

equidistantes de um dado

ponto (centro).

que distam de um ponto

dado (centro) uma distância

inferior ou igual a um

determinado valor.

equidistantes dos extremos

de um segmento de reta.

Lugar geométrico dos pontos

do espaço...

Circunferência

Círculo

Mediatriz

Superfície esférica

Esfera

Plano mediador

RE

SU

MIR

Bissetriz

116

CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA A UM TRIÂNGULO

� Circuncentro de um triângulo é o ponto que se encontra equidistante dos seus vértices, ou seja, é

o centro da circunferência que passa pelos seus três vértices.

Para determinar o circuncentro (Ponto C) basta determinar o ponto de interseção das mediatrizes

dos lados do triângulo.

CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA NUM TRIÂNGULO

� Incentro de um triângulo é o centro da circunferência inscrita no triângulo (circunferência tangente

aos lados do triângulo).

Para determinar o incentro (Ponto P) basta determinar o ponto de interseção das bissetrizes dos ân-

gulos internos do triângulo.

ALGUMAS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS EM CIRCUNFERÊNCIAS

• Toda a reta que passa pelo centro de uma circunferência é um eixo de simetria dessa circunferência,

pelo que uma circunferência tem uma infinidade de eixos de simetria.

• Qualquer reta perpendicular ao ponto médio de uma corda divide ao meio a corda e cada um dos

arcos que ela determina.

C

Y

Z

X

B

C

A

P

117

UNIDADE 5 Números reais. Inequações

NÚMEROS RACIONAIS E NÚMEROS IRRACIONAIS

� Qualquer número que possa ser representado por uma fração entre dois números inteiros diz-se um

número racional. Para representar o conjunto dos números racionais utiliza-se o símbolo Q.

São números racionais:

– todos os números inteiros;

Exemplos:

1. 0 é racional, pois pode ser escrito na forma .

2. –7 é racional, pois pode ser escrito na forma – .

3. 6 é racional, pois pode ser escrito na forma .

– todas as dízimas finitas;

Exemplos:

1. 0,7 é racional, pois pode ser escrito na forma .

2. 0,373 é racional, pois pode ser escrito na forma .

– todas as dízimas infinitas periódicas.

Exemplo:

0,121212… = 0,(12) é racional, pois pode ser escrito na forma .

� Um número diz-se irracional se puder ser representado por uma dízima infinita não periódica.

π, , – , … são exemplos de números irracionais.

NÚMEROS REAIS

� Ao conjunto que engloba os números racionais e os números irracionais dá-se o nome de conjunto

dos números reais e representa-se por R.

R = {números racionais} ∂ {números irracionais} = Q ∂ {números irracionais}

As operações definidas para os números racionais (Q), estudadas nos anos anteriores, estendem-se

ao conjunto dos números reais (R), conservando as suas propriedades.

Números reais (R)

N ƒ Z ƒ Q ƒ R

Números racionais (Q)

(Z)

Númerosnaturais (N)

1 30

75

–7,(37)–3,72

5,(2)

4,25

–77 –3

–100 –15

5 23

13

– 37

– 35 12

3

– 84

0

–p 3

p + 2

Números irracionais

Números inteiros

–3√∫1∫1

–√∫2

√∫2∫6

√∫1∫6 3√∫7

√∫9

01

122

71

3731000

710

1299

3 2

RE

SU

MIR

118

RETA REAL

� Uma reta numérica utilizada para representar números reais (racionais e irracionais) diz-se uma reta real.

Numa reta real, a cada ponto corresponde um número real e a cada número real corresponde um

ponto da reta.

Para representar números irracionais na reta real, procedemos como na representação de números

racionais.

Exemplo:

RELAÇÃO DE ORDEM EM R

� Dizer que a < b é equivalente a dizer que b > a.

Exemplos:

1. 5 < 8 é equivalente a dizer que 8 > 5. 2. –2 < – é equivalente a dizer que – > –2.

� Se x < y e y < z, então x < z.

Exemplos:

1. 4 < 6 e 6 < 9, então 4 < 9. 2. –5 < – e – < 1, então –5 < 1.

� Sejam a, b e c três números reais. Se a < b, então a + c < b + c.

Exemplos:

1. Se 4 < 6, então 4 + 3 < 6 + 3. 2. Se –6 < –3, então –6 – 2 < –3 – 2.

� Sejam a, b e k três números reais diferentes de zero. Se k > 0 e a < b, então k × a < k × b.

Exemplos:

1. 3 < 5 ⇔ 3 × 2 < 5 × 2 2. –4 < – ⇔ –4 × 3 < – × 3

� Sejam a, b e k três números reais diferentes de zero. Se k < 0 e a < b, então k × a > k × b.

Exemplos:

1. 3 < 5 ⇔ 3 × (–2) > 5 × (–2) 2. –4 < – ⇔ –4 × (–3) > – × (–3)

2

30

13

13

1

3

1

3

3

2

3

2

2

5

2

5

2

5

2

5

119

UNIDADE 6 Trigonometria no triângulo retânguloR

ES

UM

IR

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS

Considera o seguinte triângulo retângulo.

Para qualquer ângulo agudo α, verificam-se as seguintes razões:

• – esta razão chama-se seno de α e escreve-se, de forma abreviada, sen α:

sen α = =

• – esta razão chama-se cosseno de α e escreve-se, de forma abreviada, cos α:

cos α = =

• – esta razão chama-se tangente de α e escreve-se, de forma abreviada, tg α:

tg α = =

O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo designam-se por razões trigonométricas desse ângulo.

Estas razões não dependem do comprimento dos lados do triângulo, mas apenas da amplitude dos

seus ângulos.

RELAÇÕES ENTRE AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Para todo o ângulo agudo α, verificam-se as seguintes propriedades:

• tg α =

• sen2 α + cos2 α = 1

α

ac

medida do cateto oposto a αmedida da hipotenusa

ac

bc

medida do cateto adjacente a αmedida da hipotenusa

bc

ab

medida do cateto oposto a αmedida do cateto adjacente a α

ab

sen αcos α

120

Observa a figura e calcula o seno de θ, o cosseno de θ, e a tangente de ε. Apresenta o resultado apro-

ximado a duas casas decimais. A figura não está desenhada à escala.

Determina o valor da amplitude do ângulo α, aproximado às décimas do grau, em cada um dos

seguintes triângulos. As figuras não estão desenhadas à escala.

Considera o triângulo retângulo representado na figura. Determina o comprimento de q. Apresenta

o resultado aproximado às décimas, por defeito.

Na figura está representado o triângulo ABC, retângulo em C.

Determina, com aproximação às unidades:

4.1. o comprimento do segmento de reta BC;

4.2. o comprimento do segmento de reta AC.

1

2

3

4

2.1. 2.2.

0,9

3,6

α

2.3. 2.4.8

α

4

PRATICAR

121

Testar

ProbabilidadesUNIDADE 1

Num saco existem discos verdes, azuis e vermelhos indistinguíveis ao tato. Extrai-se ao acasoum disco do saco.

A probabilidade de sair um disco verde é e a probabilidade de sair um disco azul é .

6.1. Determina a probabilidade de sair um disco vermelho.

6.2. Determina o número total de discos que estão no saco, sabendo que há 16 discos verdes.

25

14

Considera a experiência que consiste em rodar o pião da figurasobre uma mesa e registar o número da face cuja aresta fica emcontacto com a mesa.

1.1. A experiência é aleatória ou determinista? Justifica a tua opção.

1.2. Indica o conjunto de resultados da experiência.

1.3. Indica, nesta experiência, um acontecimento:

a) elementar; b) composto;

c) certo; d) impossível.

Se em doze lançamentos de um dado cúbico perfeito ocorrer seis vezes a face 3, podes con-cluir que o dado é viciado? Justifica a tua resposta.

1

2

A roleta da figura está viciada. Experimentalmente, verificou-se quea probabilidade de sair um setor vermelho é 0,4 e que os aconteci-mentos “sair setor azul” e “sair setor verde” são equiprováveis. Deter-mina a probabilidade de sair um setor:

3.1. não vermelho;

3.2. verde.

3

O concorrente selecionado para a final de um concurso televisivo tem uma probabilidade de0,85 de o vencer. Qual é a probabilidade de o concorrente não vencer o concurso?

4

Uma caixa contém vinte bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 20. Extrai-se, ao acaso,uma bola da caixa e verifica-se o número nela inscrito. Determina a probabilidade de o número ser:

5.1. o 7;

5.2. múltiplo de 2 e 3, simultaneamente;

5.3. múltiplo de 2 ou múltiplo de 3.

5

6

Num saco estão seis bolas verdes e sete bolas amarelas. Extraem-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco. Se a primeira bola retirada é verde, qual é a probabilidade dea segunda ser amarela?

7

3%

3%

1,5%

1,5%

1,5%

1,5%

7%

3%

3%

4%

3%

4%

4%

5%

6%

8%

12345

6 7 8

122

Num quadrado com 10 cm de lado, marcou-se um setor circularcom centro num dos vértices do quadrado, tal como mostra a figura. Escolhendo um ponto do quadrado ao acaso, determinaa probabilidade de esse ponto não pertencer ao setor circular.Explica o teu raciocínio.

Um estudo feito a uma marca de iogurtes revelou que:

se um iogurte está dentro do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,05; se um iogurte está fora do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,65.

Considera que, num certo dia, uma mercearia tem dez iogurtes dessa marca, dois dos quaisestão fora de prazo.

Considera, ainda, os seguintes acontecimentos:

V: “o iogurte está dentro do prazo de validade”—V: “o iogurte está fora do prazo de validade”E: “o iogurte está estragado”—E: “o iogurte não está estragado”

10.1. Completa o esquema, tendo em conta as informações do enunciado.

8

A figura representa a planificação de um dado de jogar, cujasfaces têm uma numeração especial.

9.1. Qual é o número que se encontra na face oposta à do zero?

9.2. Se lançares o dado duas vezes e adicionares os números saí-dos, qual é a menor soma que podes obter?

9.3. A Rita e o Vítor decidiram inventar um jogo com o dado dafigura.O Vítor propôs: Lançamos o dado ao ar e, se sair um número

negativo, ganho eu; se sair um número positivo, ganhas tu.

A Rita protestou, porque assim o jogo não era justo. Concordascom a Rita? Explica a tua resposta.

9

10

2%

4%

6%

12%

7%

4%

6% 10.2. Escolhendo ao acaso um desses dez iogurtes, qual é a probabilidade de ele estar den-tro do prazo de validade e estragado?

Adaptado de Exame Nacional do Ensino Secundário, 2000, 1.a fase – 2.a chamada

10 cm

E

V

—V

—E

0,05

210

________

____

____

E

—E

–3–3

–2 0 2

3

–1

9.4. Se lançares o dado duas vezes e multiplicares os números saídos, é mais provável obteresum número positivo ou um número negativo? Justifica.

Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2004

123

Testar

FunçõesUNIDADE 2

Uma tabela que relaciona duas variáveis, x e y, traduz uma situação de proporcionalidade inversa se:

[A] à medida que x diminui, y aumenta.[B] à medida que x diminui, y também diminui.[C] o quociente entre os valores correspondentes das duas variáveis é constante.[D] o produto dos valores correspondentes das duas variáveis é constante.

Indica, de entre as seguintes expressões algébricas, aquela que representa uma função deproporcionalidade inversa.

[A] x ¥ y = 100 [B] y = [C] y = 10x [D] y = 4x3

2x + 3

1

2

Considera as funções f, g e h, definidas por f(x) = kx, g(x) = kx2 e h(x) = . De seguida, apre-sentam-se as representações gráficas de cada uma dessas funções.

Para k > 0, faz corresponder a cada uma das funções a respetiva representação gráfica.

k

x

1 2 3 4–4 –3 –2 –1 O

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

I IIIII

y

x

3

Considera a função f definida por f: xÆ y = , com x ≠ 0.

4.1. Completa a seguinte tabela.

4.2. Representa graficamente a função f.

8

x

x

f(x)

–16 –8 –4 –2 –1 1 2 4 8 16

4

Considera a função que está representada graficamenteno referencial. Qual das seguintes expressões é a sua re-presentação analítica?

[A] y = 2x [B] y = x2

[C] y = – x2 [D] y = 12

x2

2

5

6%

6%

12%

12%

5%

5%

2O–1–3–1

–2

1

2

4

y

x1 3–2

3

124

O Mário e os seus três irmãos têm de dividir entre si 10 000 € de uma herança. Se o Mário ti-vesse quatro irmãos, quanto receberia a menos? Explica o teu raciocínio.

Para planear a vindima na quinta de Alzubar, construiu-se a tabela seguinte.

Na tabela, as variáveis t e d referem-se a grandezas inversamente proporcionais.

8.1. Assinala no gráfico o tempo correspondente à vindima feita por 5, por 10 e por 20 traba-lhadores.

Número de trabalhadores (t)

Número de dias de vindima (d)

100

1

50

2

25

4

6

Num laboratório farmacêutico são levadas a cabo rea-ções químicas com o objetivo de descobrir um novofármaco. A equipa responsável pelo estudo descobriuque a quantidade de reagente (q), em miligramas, éinversamente proporcional ao tempo (t), em segun-dos, da reação química. Num primeiro ensaio, 15 mgde reagente desencadearam uma reação de 4 segun-dos. Prepara-se entretanto uma nova experiência emque serão utilizados 30 mg de reagente. Qual é a du-ração previsível da reação? Explica o teu raciocínio.

7

8

14%

12%

10%

12%

6% 8.2. Qual das seguintes fórmulas relaciona o número de trabalhadores (t) com o número dedias (d) necessários para a vindima na quinta de Alzubar?

[A] 100t = d [B] t + d = 100 [C] = 100 [D] t ¥ d = 100

8.3. Na quinta de Alzubar, a vindima demorou quatro dias e foram recolhidos, no total, 80 000 kgde uva. Em média, quantos quilogramas de uva vindimou cada trabalhador, por dia? Explicaa tua resposta e apresenta todos os cálculos que efetuares.

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2002

t

d

Número de trabalhadores (t)

Nú

mer

o d

e d

ias

(d)

0 20 40 60 80 100

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

125

Testar

EquaçõesUNIDADE 3

Escreve uma equação do 2.o grau:

1.1. completa;

1.2. incompleta, mas que admita termo em x;

1.3. que admita duas soluções distintas;

1.4. que admita uma única solução;

1.5. que seja impossível;

1.6. que admita –3 e 6 como soluções.

1

Para resolver uma equação do 2.o grau incompleta, o Gilberto utilizou os seguintes passos. Observa-os:

Equação: x2 – 16x = 0

1.o passo: x(x – 16) = 02.o passo: x = 0 › x – 16 = 03.o passo: x = 0 › x = 16

2.1. Como se denomina a propriedade utilizada pelo Gilberto no 2.o passo?

2.2. Resolve a equação, utilizando um processo diferente do do Gilberto.

2

Considera as equações:

I. 25x2 – 16 = 0 II. 3x2 +4x = 0 III. x2 – 2x – 3 = 0

Resolve cada uma das equações, utilizando:

3.1. a fórmula resolvente;

3.2. outro processo que não a fórmula resolvente.

3

Qual das seguintes afirmações é falsa? Justifica a tua opção.

[A] Qualquer equação do 2.o grau pode ser resolvida recorrendo à fórmula resolvente.

[B] Existem equações do 2.o grau impossíveis.

[C] As equações do 2.o grau do tipo ax2 = 0, a ≠ 0, não podem ser resolvidas com recurso à fór-mula resolvente.

[D] (x – 3)(x + 3) = 2x é uma equação do 2.o grau completa.

4

Prova que a equação x2 – 4x + 6 = 0 é impossível, sem a resolveres.5

2%

2%

2%

2%

2%

2%

4%

6%

6%

6%

7%

8%

126

O triângulo da figura tem 60 m2 de área. Determina o valor de x.

Na figura está representado um retângulo ABCD.

6

No referencial da figura estão representadas as funções f e g definidas, respetivamente, por

y = – x2 e y = x – 4. Determina a área do triângulo AOB.12

7

8

12%

12%

9%

9%

9%

Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa com 14 cm de comprimento por 10 cm delargura. Esta placa será construída em 2 materiais distintos: uma parte em metal (representadaa rosa) e uma parte em madeira (representada a branco). A área a construir em metal é for-mada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais.Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo ABCD.

Seja x o lado de cada quadrado, medido em centímetros (0 < x < 5).

8.1. Mostra que a área, em cm2, da parte da placa decorativa a construir em metal é dada, emfunção de x, por A(x) = 6x2 – 24x + 70.

8.2. Determina o valor de x para o qual:

a) a área da parte em metal é 70 cm2;

b) a área da parte em metal é igual à área da parte em madeira.Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 10.o ano – 06/05/2009

(2x + 3) m

(x + 2) m

O

B

A

y

x

y = x – 4

y = – x212

A B

CD

14

x

10

127

Observa a figura, da qual se sabe que:

r fer tem r to A;D, E, C e F t r fer

os ar os res CF e DE têm, r te, 100o e 91o de

EFC tem 29o e.

Det as dos a, b, q e e. a tuar

t o, r r refer rt

1.1. t

1.2. t to A

1.3. a do seg to de reta AB, A a do refer e B o to de or-

1.4. ABC A(2, 0), B(6, 0) e C(6, 4).

No te estão o s, A, B, C, D e E, e uma estação de R. as até 500 km de da t as suass.

Testar1

2

2.1. B t R

2.2. Uma resa em testar a f testar a R m que vesse te à mesma das B, C e D. A o l

exato o teste f r o.

2.3. Está rojetada a de uma ova estação de o, só serte t até uma de 500 km. A teu esquema, um dos

v deverá ser a ova estação de o, de forma a que todast s.

t o.

A Prova de Aferição de Matemática – Prova C

3

4%

4%

4%

4%

4%

5%

5%

12%

CircunferênciaUNIDADE 4

100 quilómetros

A

R

B

C

D

E

A

F

C

E

D

a

bq

e

29o

100o

91o

128

Determina a área de cada um dos polígonos regulares.

.2.4.1.4

4

5 Observa a figura ao lado. Sabe-se que:

rcunferência tem centro no ponto A;E e D são pontos da circunferência;

as retas r e s são tangentes à circunferênciaem E e em D;E e G são pontos da reta s;D e F são pontos da reta r.

5.1. Calcula a soma das amplitudes dos ân-gulos internos do pentágono.

5.2. Determina a amplitude, em graus, doarco menor ED. Justifica a tua resposta.

6

9%

9%

8%

8%

3%

3%

3%

3%

4%

4%

4%

Da figura ao lado, sabe-se que:

rcunferência tem centro no ponto A; I, H, E, C, D e G são pontos da circunferência;

reta r é tangente à circunferência em E;retas t e s são paralelas.

6.1. Justifica que:

a) a reta s é um eixo de reflexão da circunferência;

b) os arcos EC e DG são congruentes;

c) o trapézio ECDG é isósceles;

d) o triângulo GEF é retângulo.

6.2. Determina, em graus, a amplitude do ângulo HAE.

6.3. Determina, em graus, a amplitude do arco IH.

6.4. Sabendo que A–H = 10 cm, determina, em cm, o comprimento do arco GI.

D

A

E

G

Fs

r

83o

149o

r

st

G

D

CE

F

I

H

A

41o

19o

10 m

7,5 cm

5,1 cm

129

Testar

Números reais. InequaçõesUNIDADE 5

Indica um valor aproximado:

7.1. de 2p + √∫3, por defeito, com erro inferior a 0,1;

7.2. de √∫7 – 2, por excesso, com erro inferior a 0,01.

7

As duas primeiras colunas da tabela seguinte já se encontram preenchidas. Completa as res-tantes colunas.

Indica um número irracional menor do que 3 e maior do que .52

1

2

Considera o conjunto A = {–3,5; ; √∫1∫0∫9; 2,(45)}. Qual dos números do conjunto A corres-

ponde a uma dízima infinita não periódica?

Teste Intermédio de Matemática, 9.o Ano, 11/05/2009

17

3

Considera o conjunto S = { , , 3√∫2∫7, √∫2∫7}. Qual dos números do conjunto S é um nú-

mero irracional?

Teste Intermédio de Matemática, 9.o Ano, 11/05/2009

14√∫ 1

64√∫34

Sem recorrer à calculadora, mostra que:

5.1. (3 – √∫7)(3 + √∫7) – p = 2 – p5.2. (5 + √∫2)2 – (3√∫2 + 4) = 23 + 7√∫2

5.3. 3√∫5 – (2√∫5 + √∫1∫6) – √∫5 = –4

5

Na figura estão representados um triângulo equilátero, assinalado a azul; um quadrado, assi-nalado a vermelho; e um triângulo retângulo, assinalado a verde.

6

6%

2%

3%

3%

4%

4%

4%

15%

3%

3%

p 0,(23) –√∫7 √∫9 – –12 –0,13

N

Z

Q X

R X X

52

82

Indica as abcissas dos pontos W, Z, U e S.

130

Indica dois números irracionais, m e n, de tal modo que m < –p < n < √∫2.

Completa os espaços utilizando os símbolos < , > ou =, de modo a obteres afirmações verda-deiras.

8.1. √∫1∫1 ___ 3,316 8.2. √∫1∫1 ___ 3,317 8.3. √∫1∫1 ___ 3,31662479

8

9

Indica:

10.1. todos os números inteiros que pertencem ao intervalo ]–√∫6∫5, –3];

10.2. o maior número inteiro pertencente ao intervalo ]–∞, –10[;

10.3. um número irracional pertencente ao intervalo ]√∫1∫1, √∫1∫2[.

10

Considera a inequação 1 – ≤ – .

11.1. Resolve a inequação, apresentando o conjunto-solução na forma de um intervalo denúmeros reais.

11.2. Indica o menor número inteiro que não é solução da inequação.

x2

2(x – 1)3

11

Na figura estão representados o retângulo ABCD e o triângulo EFG, retângulo em G.

Determina os valores de x de modo que a área do triângulo EFG não seja inferior à área do re-tângulo ABCD.

12

Na última assembleia-geral, o presidente do clubede futebol do Bairro da Alegria apresentou as con-dições para a aquisição de bilhetes para os jogosem casa:

te;

cada paga 2 por bilhete. A inscriçãoc

O Filipe assiste a todos os jogos em casa. Qual é o número mínimo de jogos que o clube defutebol do Bairro da Alegria tem de realizar em casa, para que compense ao Filipe tornar-se

13

1%

1%

1%

4%

3%

3%

3%

8%

8%

4%

7%

10% Representa em extensão o seguinte conjunto.

A = {x å Z: 2( – 1) > ‹ 2x + 4 ≥ –12}3x – 12

x3

14

BILHETEDE FUTEBOL

131

Testar

Trigonometria no triângulo retânguloUNIDADE 6

Determina a área e o perímetro do triângulo da figura, indicando osresultados arredondados às décimas.Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, con-

serva duas casas decimais.

1

A determinada hora do dia, os raios de sol incidem sobre um local plano com uma inclinaçãode 30o em relação à horizontal. Nessa altura, um pinheiro apresenta uma sombra de compri-mento 18 metros. Determina a altura do pinheiro, com aproximação às décimas, apresentandotodos os cálculos que efetuares.

2

Acerca do triângulo retângulo ABC, sabe-se que:

a = A–C = 21 cm.

Determina o perímetro e a área do triângulo ABC, com aproxima-ção às décimas.Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, con-

serva três casas decimais.

47

3

Na figura está representado o triângulo retângulo ABC. Qual dasseguintes equações pode ser utilizada para determinar o compri-mento do segmento de reta AB?

[A] cos34o = [B] cos34o =

[C] tg34o = [D] tg34o =

4A–B

A–B4

4A–B

A–B4

4

Sabendo que cos a = e que a é um ângulo agudo, determina o valor de:

5.1. 1 + tg2a 5.2. 2sena – tga

√∫22

5

Mostra que:

6.1. cosa ¥ tga – sena = 0 6.2. cos2a(1 + tg2a) = 1

6

Verifica se existe um ângulo b, tal que senb = e cosb = √∫3 . Explica o teu raciocínio.√∫22

7

Indica o valor de b em cada uma das seguintes expressões.

8.1. sen15o = cos b 8.2. sen b = cos45o

8

6%

6%

6%

4%

4%

4%

4%

4%

6%

4%

4%

8 m

40o

B

C

A

B

C

Aa

A

7

34o

4

B

C

132

Na figura está representada uma circunferência de centro A ediâmetro EB. Sabe-se que:

DCB = 39º; D–B = 10 cm.

10.1. Determina a amplitude do ângulo DEB.

10.2. Prova que o triângulo EBD é retângulo.

10.3. Determina o comprimento do raio da circunferência,com aproximação às décimas.

10.4. Determina o comprimento do arco DB, com aproxima-ção às décimas.Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredon-

damentos, conserva três casas decimais.

10

Determina a área do triângulo, indicando o resultado arre-dondado às centésimas. Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamen-

tos, conserva quatro casas decimais.

11

Em relação à figura, sabe-se que:

C, B, H, E, D e G são pontos da circunferência de centro A ediâmetro GH.DE//GH e GH//CB; D–E = C–B;G–H = 7,2 cm; CAB = 68o.

12.1. Determina a área da zona limitada pela linha vermelha.

12.2. Determina o comprimento da linha vermelha.Nota: Sempre que procederes a arredondamentos, conserva três

casas decimais.

12

4%

4%

4%

4%

4%

4%

4%

6%

8%

6%

35o

19 cm

20o

C

39o

BEA

D

10 cm

7,2 cm

A

68o

D E

C B

HG

Na figura pode observar-se o triângulo ABC, retângulo em B.

Sabendo que BD é a altura do triângulo referente à hipotenusa, determina, com aproximaçãoàs centésimas:

9.1. o cosseno do ângulo DAB; 9.2. a amplitude do ângulo DAB;

9.3. a medida de B–C.

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.

9

279

B

D CA

133

UNIDADE 1 Probabilidades

TestarNum saco existem vinte bolas, numeradas de 1 a 20. O André vai retirar uma bola ao acaso.

1.1. Determina a probabilidade de o número inscrito na bola ser:

a) o número 7; b) um número par;

c) um divisor de 10; d) um múltiplo de 3;

e) um número não inferior a 13; f) um quadrado perfeito;

g) um cubo perfeito.

1.2. A probabilidade de o número inscrito na bola ser primo ou divisor de 20 é:

[A] 10% [B] 20% [C] 50% [D] 60%

O Duarte faz coleção de moedas antigas e guarda-as numa caixa de madeira. As 48 moedas que pos-

sui encontram-se numeradas de 1 a 48.

2.1. Considera o acontecimento: A: “Tirar uma moeda

da caixa, ao acaso, e esta estar identificada com

um número não superior a 5”.

O acontecimento A é:

[A] certo.

[B] impossível.

[C] composto.

[D] elementar.

2.2. O Duarte retirou, ao acaso, uma moeda da caixa. Qual é a probabilidade de não estar identifi-

cada com o número 3? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.

Uma arca frigorífica contém gelados de quatro sa-

bores diferentes: morango, limão, framboesa e la-

ranja. Retirando da arca um gelado, ao acaso, a

probabilidade de ser de morango é de 0,3; a pro-

babilidade de ser de limão é de 10% e a probabi-

lidade de ser de framboesa é de .

Sabendo que existem dois gelados de laranja, in-

dica, justificando, a quantidade de gelados exis-

tentes na arca.

1

2

3

1

2

134

Dentro de um saco opaco foram colocadas bolas brancas e bolas vermelhas. Existem cinco bolas

brancas e a probabilidade de se tirar uma bola vermelha, quando se tira, ao acaso, uma bola do saco

é de . Quantas bolas foram colocadas dentro do saco?

A direção de uma academia de música analisou as ma-

trículas dos seus 300 alunos e verificou que, relativa-

mente à disciplina de instrumento:

• 120 alunos estavam inscritos em piano;

• 200 alunos estavam inscritos em violino;

• 40 alunos não estavam inscritos nem em piano nem

em violino.

5.1. Constrói um diagrama que te permita organizar a informação. Apresenta todos os cálculos que

efetuares.

5.2. Ao escolher um aluno ao acaso, determina a probabilidade de esse aluno estar inscrito:

a) nas aulas de violino;

b) apenas nas aulas de piano;

c) nas aulas de violino e de piano.

Na figura está representada uma circunferência de centro E, inscrita no quadrado ABCD.

Escolheu-se, ao acaso, um ponto da figura. Sabendo que B–D = √�8 cm, determina, com um erro infe-

rior a uma centésima, a probabilidade de o ponto escolhido pertencer à zona sombreada da figura.

O Filipe efetuou vinte lançamentos de um dado, com as faces numeradas de 1 a 6. Em dez desses lan-

çamentos ocorreu a face 3. Perante tal situação, o Filipe afirmou: “Este dado está completamente vi-

ciado. Neste dado, a probabilidade de ocorrer um 3 é de ”. Comenta esta afirmação.

6

7

10

20

4

1

2

5

135

UNIDADE 2 Funções

TestarDe duas variáveis x e y sabe-se que se x é 2, então y é 6. Escreve y em função de x e indica a constante

de proporcionalidade, sabendo que:

1.1. x e y são diretamente proporcionais;

1.2. x e y são inversamente proporcionais.

Qual das seguintes expressões representa uma função de proporcionalidade inversa?

[A] y = [B] y = [C] y × x = 12 [D] y = 7x

Na figura, pode observar-se a representação gráfica da função f.

Qual das seguintes expressões corresponde à função f?

[A] y = 2x2 [B] y = –2x2 [C] y = x2 [D] y = –x2

Representa graficamente a função g definida por g(x) = .

1

2

x3

3

x + 2

3

f

4

3

2

1

1 2 3 4-1-2-3-4-1

-2

-3

-4

-5

0

y

x

4 2

x

4

3

2

1

1 2 3 4-1-2-3-4-1

-2

-3

-4

0

y

x

136

Todas as noites, antes de se deitar, o Filipe toma um copo de leite quente. Sabe-se que o tempo que o leite

demora a aquecer, no micro -ondas, é inversamente proporcional à potência utilizada. Com uma potên-

cia de 300 watts, o aquecimento do leite demora 1 minuto. Hoje, o Filipe quer aquecê-lo em 45 segundos.

Para que potência deve estar regulado o micro-ondas? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O Cristiano é funcionário de uma estação de serviço onde o Daniel, a Beatriz e o Carlos abastecem,

normalmente, o seu automóvel.

6.1. Numa determinada semana, o preço do litro de gasolina variou diariamente. Nessa semana, o

Cristiano ficou responsável por efetuar um estudo acerca da relação entre o preço do litro de ga-

solina e o número de clientes da estação de serviço.

O Cristiano concluiu que o número de litros de gasolina vendidos era inversamente proporcio-

nal ao preço do litro de gasolina. Concordas com o Cristiano? Porquê?

6.2. O Daniel vai abastecer o depósito do seu automóvel. Admite que o número � de litros de gaso-

lina que o Daniel introduz no depósito em t minutos é dado por � = 33t.

a)O depósito do automóvel do Daniel tem 71 litros de capacidade. Quando ele vai abastecer o de-

pósito, o computador de bordo indica-lhe que o depósito ainda tem 5 litros de gasolina. Quan-

tos minutos vai demorar o Daniel a encher o depósito, se nunca interromper o abastecimento?

b) A relação entre � e t é uma relação de proporcionalidade direta, sendo 33 a constante de pro-

porcionalidade. Explica o significado desta constante, no contexto do problema.

6.3. Na mesma estação, a Beatriz e o Carlos abas-

teceram os seus carros. A determinada altura,

o Carlos interrompeu o abastecimento para

verificar quanto dinheiro trazia na carteira.

Em seguida, retomou o abastecimento. Na fi-

gura estão representadas graficamente duas

funções, que representam o número de litros

de gasolina introduzida por cada um no de-

pósito do seu carro, t segundos depois de

terem iniciado o respetivo abastecimento.

a) Uma das funções representadas graficamente na figura é uma função de proporcionalidade

direta. Indica a constante de proporcionalidade dessa função.

b) Determina quanto pagou o Carlos no final do abastecimento, sabendo que o preço de cada

litro de gasolina é de 1,480 € e que beneficiou de um desconto de 5%. Apresenta o resultado

em euros, com duas casas decimais. Mostra como chegaste à tua resposta.

Adaptado de Exame Nacional do Ensino Básico, 2011 – 1.ª chamada e 2.ª chamada

5

6

Dia da semana

Preço do litro de gasolina (€)

N.° de litros vendidos

Segunda-

-feira

1,529

532

Terça-

-feira

1,492

545

Quarta-

-feira

1,4

610

Quinta-

-feira

1,5

569

Sexta-

-feira

1,521

540

Sábado

1,438

589

Domingo

1,445

579

137

UNIDADE 3 Equações

TestarEscreve uma equação do 2.° grau:

1.1. completa;

1.2. incompleta, mas que admita termo em x;

1.3. que admita duas soluções distintas;

1.4. que admita uma única solução;

1.5. que seja impossível;

1.6. que admita –5 e 0 como soluções.

Considera a equação –2x2 – 4x = –6.

2.1. Identifica os coeficientes de cada um dos termos da equação.

2.2. Através do cálculo do binómio discriminante, o que podes concluir acerca do número de solu-

ções da equação anterior?

2.3. Confirma a resposta dada na alínea anterior resolvendo a equação.

Resolve as seguintes equações.

3.1. 3(x2 + x) = 1 – x – x2

3.2. 3x2 + 10x = (x + 4)2 – 4

3.3. = 7 + x

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O produto da idade atual da Mafalda pela idade que terá daqui a 7 anos é 228. Quantos anos tem a

Mafalda?

Na figura encontra-se representado um retângulo ABCD com 48 dm2 de área e um retângulo DEFG.

Determina a área do retângulo DEFG. Explica o teu raciocínio.

1

2

3

4

5

x2 + 3x5

A E

F G

B C

D

x - 1 dm

x dm

3 dm

6 dm

138

Determina o(s) valor(es) de k que transforma(m) cada uma das seguintes equações em equações

com uma única solução.

6.1. x2 – 3x + k = 0

6.2. –kx2 – 5x = 2k, k ≠ 0

Na figura encontram-se representados um retângulo ABCD e um quadrado EFGH.

Sabe-se que:

• o retângulo ABCD tem 24 cm2 de área;

• o comprimento do retângulo ABCD é do comprimento da sua largura;

• os polígonos representados têm a mesma área.

7.1. Determina o comprimento e a largura do retângulo ABCD.

7.2. Determina o perímetro do quadrado. Explica como pensaste.

A Arcada de Braga remonta ao século XVIII. Este ex-líbris da cidade minhota foi edificado junto à velha mu-ralha medieval, mas foi apenas no final do século XIX que ficou com o aspeto que atualmente conhece-mos. Hoje é um local central, apelativo, animado por múltiplos cafés e uma praça fechada ao trânsito,repleta de fontes e jardins.

Na figura ao lado encontra-se um modelo de um dos arcos do referido mo-

numento. Como podes observar, o arco encontra-se assente em dois pilares

com a mesma altura. A altura do arco, a xmetros de distância do pilar da

esquerda, é dada, também em metros, pela expressão:

h(x) = –x2 + 8x + 40

8.1. Determina a altura dos pilares da arcada.

8.2. Determina a largura do arco. Explica o teu raciocínio.

8

7

6

3

4

x

h (x)

139

UNIDADE 4 Circunferência

TestarNa figura está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um hexágono

regular ABCDEF.

Relativamente à figura, sabe-se ainda que:

• a circunferência tem 4 cm de raio;

• o triângulo DOC tem cm2 de área.

1.1. Utilizando material de desenho, constrói a circunferência inscrita no triângulo DOC. Num pe-

queno relatório, explica como procedeste.

1.2. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo:

a) DOC? b) CDO? c) FAB?

1.3. Seja r a reta tangente à circunferência em A. Seja P um ponto dessa reta, diferente de A. Indica,

justificando, a amplitude do ângulo OAP.

1.4. O arco menor DF é congruente com o arco menor AC? Explica o teu raciocínio.

1.5. Descreve o lugar geométrico dos pontos pertencentes à região sombreada.

1.6. Calcula a área da região sombreada. Apresenta todos os cálculos que efetuares e escreve o re-

sultado arredondado às unidades. Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arre-

dondamentos, conserva no mínimo duas casas decimais.

1.7. Determina, em centímetros, o comprimento do arco ABD.

1.8. Seja P o ponto de interseção dos segmentos AC e BF. Explicando o teu raciocínio, determina a

amplitude do ângulo APF.

1.9. Determina a amplitude de cada um dos ângulos externos do hexágono ABCDEF.

1.10. Considera a rotação de centro O e amplitude 240° (sentido contrário ao dos ponteiros do re-

lógio). Tendo em conta esse rotação:

a) qual é a imagem do ponto D?

b) qual é a imagem do triângulo ODC?

Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 2010

1

4 3

140

O Rui vai visitar com os seus pais alguns concelhos do distrito do Porto. O mapa da figura representa

esse distrito.

Os pais do Rui vão visitar o Porto e Paredes. Pretendem ficar alojados num local que se situe a menos

de 20 km de Paredes e que seja mais próximo do Porto do que de Paredes.

Sombreia a porção do mapa relativa à zona onde os pais do Rui deverão ficar alojados.

Utiliza material de desenho e de medição.

Nota: Se traçares linhas auxiliares, não as apagues.

Adaptado de Exame Nacional do Ensino Básico, 2009 – 1.ª chamada

Na figura está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um triângulo regular

ABC.

Determina:

3.1. a amplitude, em graus, do arco menor BC;

3.2. as amplitudes, em graus, dos ângulos α e β.

2

Felgueiras

Amarante

Marco de CanavesesPenafiel

Paredes

Paços deFerreira

Santo TirsoTrofa

Vila do Conde

Póvoa deVarzim

Maia

Porto

Matosinhos

GondomarVila Novade Gaia

Valongo

0 10 km 20 km 30 km

N

3

A

F

DC

B

O

30°E

151°β

α

141

UNIDADE 5 Números reais. Inequações

TestarQual das afirmações seguintes é verdadeira?

[A] –2 ∈ N [B] π ∈ Q [C] ∈ Z [D] –π ∈ Q+

Indica um número pertencente a Q mas que não pertença a R–.

Qual das opções seguintes corresponde a um número racional?

[A] π [B] π + 4 [C] [D]

Sabe-se que um cilindro com 300 cm3 de volume tem 4 cm de altura. Determina um valor aproximado

às décimas, por excesso, do comprimento do raio da base. Apresenta todos os cálculos que efetua-

res.

Seja z um número real de tal modo que -3 < z < 4. Então:

[A] –18 < –5z + 3 < 17 [B] –3 < –5z + 3 < 4

[C] –17 < –5z + 3 < 18 [D] –18 ≤ –5z + 3 ≤ 17

Escreve uma inequação cujo conjunto-solução seja ]–∞, 12].

Qual é o menor número inteiro que satisfaz a inequação Apresenta todos os cál-

culos que efetuares.

Indica:

8.1. o maior número inteiro compreendido entre –4π e

8.2. o menor número inteiro pertencente ao intervalo ]–π, 12[;

8.3. o menor número inteiro pertencente ao conjunto B = {x∈ N: –3 ≤ x < 11}.

Considera o conjunto B = ]–∞, 6]. Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

[A] B = ]–∞, 4] ∪ [5, 6] [B] B = ]–∞, 4[ ∪ [5, 6]

[C] B = ]–∞, 4[ ∪ ]4, 6[ [D] B = ]–∞, 4[ ∪ [4, 6]

1

2

3

4

5

6

7

9

8

3 144

9

+x x2

5

4?

2 ;

142

Considera os conjuntos A = [–5, 4], B = ]–3, +∞[ e C = ]–∞, π].

10.1. Indica um número que pertença:

a) ao conjunto A, mas que não pertença ao conjunto B;

b) simultaneamente aos conjuntos A e C.

10.2. Existe algum número que não pertença a nenhum dos conjuntos? Explica o teu raciocínio.

10.3. Determina:

a) A ∩ B b) B ∪ C c) (A ∪ B) ∩ C

Sem recorrer à calculadora, mostra que

Resolve, em R, a conjunção de condições seguinte.

Determina os valores de x de modo que a área do retângulo

ABCD, representado na figura, seja superior a 18 cm2, mas

não seja inferior a 33 m2.

Num determinado dia, às 17 horas, a temperatura registada era de 26 °C. No dia anterior, à mesma

hora, a temperatura era de 24 °C. Que temperatura deverá fazer no dia seguinte à mesma hora, para

que a média das temperaturas destes três dias, às 17 horas, não seja inferior a 27 °C?

O Duarte é cinco anos mais velho do que a sua irmã. Sabendo que a soma das idades dos dois é, no

máximo, 25 anos, determina a idade máxima da irmã do Duarte.

O Pedro é gerente de uma fábrica de queijos. Mensalmente, esta

fábrica apresenta custos fixos no valor de 25 000 €, aos quais acres-

cem 1,2 € por cada queijo produzido. Toda a produção mensal

desta fábrica é vendida, a 4 € por unidade, a uma cadeia de hiper-

mercados que os comercializa em exclusividade. Determina o

número de queijos que a fábrica deve produzir de modo que,

mensalmente, não tenha prejuízo. Explica o teu raciocínio, apre-

sentando todos os cálculos que efetuares.

11

12

13

14

10

11 3 2 3 32 6 112 2

−( ) + −( ) = − .

− − + < − ∧ − < −2 5

33 2 3 1 2

x x x x    ( )

15

16

A

B C

D

x cm

3 cm

143

UNIDADE 6 Trigonometria no triângulo retângulo

Observa o triângulo ABC, retângulo em C. Determina a amplitude do ângulo θ, apresentando o resul-

tado arredondado às décimas do grau.

Considera o triângulo retângulo DEF e parte de uma tabela trigonométrica. Utilizando a informação

fornecida pela tabela, determina, com aproximação às centésimas, o perímetro do triângulo.

A expressão cos2 x – 2 sen2 x é equivalente a:

[A] 3 cos2 x – 2 [B] 3 cos2 x + 2 [C] 3 sen2 x – 2 [D] 3 sen2 x + 2

Seja α a amplitude de um ângulo agudo. Mostra que = 1 – cos α.

Sabendo que α é um ângulo agudo e que cos α = , podemos afirmar que:

[A] sen α = e tg α = [B] sen α = e tg α =

[C] sen α = e tg α = [D] sen α = e tg α =

Na figura está representado um cone com 18 cm de altura. θ é

o ângulo que uma das geratrizes do cone faz com o prolonga-

mento de um dos raios da base. Determina o volume do cone,

indicando o resultado arredondado às décimas.

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredon-

damentos, conserva três casas decimais.

1

2

3

4

5

6

sen α

cos α

tg α

40° 50°

0,6428 0,7660

0,7660 0,6428

0,8391 1,1918

sen2 α1 + cos α

1

3

12

3

8

3

3

12

8

8

38

12

3

18 cm

θ = 140°

Testar

144

Os valores de w que verificam, simultaneamente, as condições sen α = e cos α = – são:

[A] 0, [B] –4,

[C] 0, – [D] –4, –

Na figura está representada uma circunferência de centro A, com 3 cm de raio. Sabe-se que a reta CDé tangente à circunferência e que ADC é um triângulo isósceles.

8.1. Determina o valor exato do comprimento do segmento de reta AD. Explica o teu raciocínio.

8.2. Determina a distância do ponto E à reta CD. Explica o teu raciocínio.

O Monumento dos Descobrimentos, vul-

garmente conhecido por Padrão dos Des-

cobrimentos, localiza-se na freguesia de

Belém, em Lisboa. Este monumento apre-

senta o formato de uma caravela, ladeada

inferiormente por duas rampas que se reú-

nem na proa e onde se destaca a figura do

infante D. Henrique. Ao longo das rampas

encontram -se 16 figuras de cada lado, que

representam uma síntese histórica de vul-

tos ligados direta ou indiretamente aos

Descobrimentos. www.padraodosdescobrimentos.egeac.pt – Acesso em 03/02/12

Na figura pode observar-se um pormenor deste monumento. Determina a altura da estátua do

infante D. Henrique, que encabeça a comitiva representada pelas personagens. Apresenta o resultado

arredondado às unidades.

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva três casas decimais.

9

8

7 w + 2

2

w3

36

13

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⎧⎨⎩

36

13

⎫⎬⎭

⎧⎨⎩

36

13

⎫⎬⎭

⎧⎨⎩

36

13

⎫⎬⎭

114°

E

C D

A

3 cm

90°

31°

51°

7,7 cm

145

146

Provas globaisDe seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais relativas

suet so ratset sassop euq arap ,ona °.9 on sodadutse sodúetnoc soa

conhecimentos antes dos testes e da prova final de ciclo que irás rea-

*.edadiralocse ed ona °.9 od lanif on razil

As provas são precedidas de 3 tabelas com a identificação do con-

teúdo abordado em cada questão, para te ajudar a identificar os con-

teúdos a que cada item se refere.

* Convém relembrar que para preparares a prova final de ciclo terás tam-

.sona °.8 e °.7 son sodadutse sodúetnoc rever ed méb

147

Grelhas de conteúdos

Prova global 2

Prova global 1

Prova global 3

1.1 1.2 1.3 2.1. 2.2 2.3 3. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5. 6.1 6.2 7.

X X X

X X X

X

X X X X

X X X

X X

Unidade

Probabilidades

Funções

Equações

Circunferência

Números reais.

Inequações

Trigonometria no

triângulo retângulo

1.1 1.2 1.31.4a)

1.4b)

2.1 2.2 2.3 3. 4.1 4.2 5. 6. 7. 8. 9.

X X X X X

X X X

X X

X X X

X X

X

Unidade

Probabilidades

Funções

Equações

Circunferência

Números reais.

Inequações

Trigonometria no

triângulo retângulo

1.1 1.2 1.3 1.4 2.12.2a)i)

2.2a)ii)

2.2a)iii)

2.2b)

3. 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3 6.1 6.2 7.1 7.2

X X X X X

X X X X

X

X X X

X X X X X X X

X

Unidade

Probabilidades

Funções

Equações

Circunferência

Números reais.

Inequações

Trigonometria no

triângulo retângulo

148

A turma da Aurora, constituída por 12 rapazes e 14 raparigas, decidiu criar uma comissão de três alu-

nos para organizar uma viagem de finalistas. Para tal, colocaram-se 26 papéis dentro de um saco

opaco, cada um contendo o nome de um dos alunos da turma. O Diretor de Turma seleciona, ao acaso,

um papel do saco, lê o nome do aluno escolhido e rasga o papel em causa.

Já foram selecionados ao acaso dois papéis, e o Henrique e o Manuel foram os eleitos.

1.1. Determina a probabilidade de a comissão, depois de formada, ser mista.

1.2. Determina a probabilidade de a Aurora também fazer parte dessa comissão.

1.3. Supõe que a Aurora também foi selecionada e os três eleitos vão tirar uma fotografia sentados

num muro. Determina a probabilidade de a Aurora ficar sentada no meio dos dois rapazes.

A comissão responsável por organizar a viagem e a

gerência do hotel onde vão ficar alojados decidiram que

a melhor opção passava por isolar o piso ocupado pelos

alunos que participassem na viagem, de modo a não

incomodar o normal funcionamento do hotel. Assim, a

comissão comprometeu-se a assumir a despesa de

todos os quartos de um piso do hotel, independente-

mente de os ocupar, ou não. Esse custo será dividido

igualmente por todos os participantes na viagem.

Inicialmente, apenas 12 alunos estavam inscritos na viagem. Nessa altura, cada um deles teria de

pagar 281,25 € pelo alojamento.

2.1. Se se tivessem inscrito mais dez alunos, quanto passaria a pagar cada um deles pelo alojamento?

Explica o teu raciocínio.

2.2. Fechadas as inscrições, concluiu-se que cada aluno teria de pagar 135 € pelo alojamento. Quan-

tos alunos se inscreveram na viagem? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

2.3. O piso reservado para a turma tinha 15 quartos. Sabendo que a turma ficou alojada cinco noi-

tes, determina o preço do quarto, por noite, neste hotel.

Durante os dois primeiros dias da viagem de finalistas, as temperaturas máximas foram baixas e o Sol

esteve encoberto. O Francisco tinha apostado com um amigo que a média das temperaturas máxi-

mas dos três primeiros dias seria superior a 12 °C.

Determina os valores possíveis para a temperatura máxima do terceiro dia, sabendo que o Francisco

ganhou a aposta e que nos dois primeiros dias as temperaturas máximas foram de 8 °C e de 10 °C, res-

petivamente. Explica como pensaste, apresentando todos os cálculos que efetuares.

1

2

3

Prova global 1

149

No preço da viagem de finalistas está incluída uma visita a um parque de diversões. A roda gigante

desse parque de diversões tem dez cadeiras, identificadas com as letras de A a J, com um lugar cada

uma. O esquema da figura representa a referida roda.

Sabe-se que:

ABCDEFGHIJ é um decágono regular

inscrito numa circunferência de cen-

tro K;

AB e FG são segmentos de reta para-

lelos;

K–I = 8 m.

4.1. Determina o comprimento, em decímetros, do arco IJ. Apresenta o resultado arredondado às

unidades.

4.2. Comenta a seguinte afirmação: “A amplitude do ângulo FEK é igual à amplitude do ângulo KFE.”

4.3. Indica, justificando, a amplitude, em graus, do ângulo FED.

4.4. Considera o segmento de reta FC. Seja P o ponto de interseção desse segmento com o segmento

de reta ID. Indica, justificando, a amplitude do ângulo CPD.

4.5. Determina a área do decágono regular ABCDEFGHIJ. Apresenta os cálculos que efetuaste e

escreve o resultado arredondado às décimas.

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

Considera a equação 2(x – 2)2 = (x – 1)(x + 1) + 9.

Qual das seguintes equações é equivalente à equação anterior?

2x (x – 8) = 0 (x – 3)(x – 8) = 0 x2 – 8x = 0 x2 = 0

Considera a inequação

6.1. Resolve-a, apresentando o conjunto-solução sob a forma de um intervalo de números reais.

6.2. Indica o maior número inteiro que é solução da inequação.

Sendo a amplitude de um ângulo agudo, mostra que (sen – cos )2 = 1 – 2 sen cos .

4

5

6 3 4

20

( ).

x x

7

150

O Ricardo tem um restaurante. Na sua cozinha há alguns pacotes de natas cujo

prazo de validade termina hoje e outros cujo prazo termina daqui a uma

semana. Selecionando um pacote ao acaso, a probabilidade de o seu prazo de

validade terminar hoje é de .

1.1. Qual é a probabilidade de o Ricardo selecionar um pacote

cujo prazo de validade termina daqui a uma semana?

1.2. Se o Ricardo tiver à sua disposição 15 pacotes de natas, quantos

estarão dentro do prazo de validade durante mais uma semana?

1.3. Se o Ricardo tiver à sua disposição 10 pacotes cujo prazo de

validade termina daqui a uma semana, quantos terminam

hoje o seu prazo de validade?

1.4. O Tiago, a Francisca, a Mariana e o Jorge foram almoçar ao res-

taurante do Ricardo e sentaram-se ao balcão. De quantas

maneiras diferentes se podem sentar se:

a) as raparigas ficarem de um lado e os rapazes de outro?

b) as raparigas ficarem juntas?

Quando o restaurante do Ricardo está cheio, o tempo de espera por uma refeição, em minutos, é

inversamente proporcional ao número de empregados de mesa que estão ao serviço. A tabela

seguinte relaciona as duas variáveis:

2.1. Determina o valor de a.

2.2. Num determinado dia, um cliente esperou 10 minutos pela sua refeição. Quantos eram os empre-

gados de mesa que estavam ao serviço?

2.3. Qual das seguintes fórmulas relaciona o tempo de espera pela refeição (t), em minutos, com o

número de empregados de mesa (n) ao serviço?

t = 40n n = 40t t n = 40 t =

O Ricardo pretende efetuar obras no seu restaurante, dividindo-o em dois espaços distintos: um

espaço para fumadores e outro espaço para não fumadores, tal como a figura seguinte sugere.

Qual das duas áreas ficará maior? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva no mínimo duas casas

decimais.

1

2

2

3

Número de empregados de mesa

Tempo de espera (em minutos)

1

40

2

a

n

40

3

Área fumadores

Área não fumadores

22°

31°

10 m

Prova global 2

151

À porta do restaurante o Ricardo vai colocar uma placa lumi-

nosa circular, como se representa na figura.

4.1. Sabendo que A–C = 50 dm e que CAD = 122°, determina a

área da placa colorida a azul. Apresenta todos os cálculos

que efetuares.

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arre-

dondamentos, conserva no mínimo duas casas decimais.

4.2. Utilizando material de desenho, constrói a circunferência

que passa por A, C e D.

Escreve todos os números do conjunto Z pertencentes ao intervalo ]–3, ].

Resolve a seguinte inequação:

Apresenta o conjunto-solução sob a forma de um intervalo de números reais.

Qual das seguintes equações é equivalente a x2 – 5x + 6 = 0?

4(3x – 2)x = 0 (x – 2)(3 – x) = 0 x2 – 4x + 4 = 0 3x2 – 6x = 0

Seja m um número real. Determina m de modo que a equação x2 – 2x + m = 0 tenha apenas uma solu-

ção. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura está representado um pentágono regular, ABCDE, e a reta CD. Sem usar material de desenho

e de medição, determina a amplitude do ângulo , explicando o teu raciocínio.

9

8

5

6

2 5

32 1

xx( )

7

4

Restaurantedo

Ricardo

C

A

D

152

Uma companhia de teatro profissional vai apresentar, na escola da Teresa, a peça “Auto da barca do

Inferno”. A companhia cobra 500 € pelo espetáculo, valor que será dividido de forma igual pelo

número de alunos interessados em assistir à peça. Seja p o valor a pagar por cada aluno e n o número

de alunos interessados.

1.1. No contexto da situação, qual é o significado da expressão n p?

1.2. Justifica que as variáveis n e p são inversamente proporcionais.

1.3. De seguida, apresenta-se uma representação gráfica da função que relaciona o número de alu-

nos interessados em assistir à peça (n) com o preço a pagar por cada um (p). Determina a e b.

1.4. Auscultados todos os alunos, verificou-se que 125 estão interessados em assistir à peça. Destes,

42 são alunos de quadro de mérito, a quem a direção da escola, como prémio, decidiu pagar

30% do preço do bilhete. Determina o valor que a direção da escola vai despender. Explica o teu

raciocínio e apresenta todos os cálculos que efetuares.

A Associação de Estudantes aproveitou o dia da apresentação da peça para vender algumas das 400

rifas que fez para um sorteio. Apenas uma delas é premiada.

2.1. No dia da apresentação só seis alunos compraram rifas, e apenas uma cada um. Qual é a proba-

bilidade de o prémio sair a um desses alunos? Apresenta o resultado na forma de percentagem,

arredondado às unidades.

2.2. Depois de vendidas todas as rifas, a Associação de Estudantes resumiu as vendas no quadro

seguinte.

a) Qual é a probabilidade de o prémio sair a:

i) um encarregado de educação que comprou a rifa em janeiro?

ii) um professor?

iii) alguém que comprou a rifa em fevereiro?

b) Sabe-se que a rifa premiada foi adquirida em janeiro. Qual é a probabilidade de o prémio sair

a um funcionário?

1

(a, 40)

(20, b)

50

50 60

40

40

30

30

20

20

10

100

p

n

2

52

24

JaneiroData davenda Fevereiro

10

2

151

60

15

14

27

Encarregados de educação

A quem?

Alunos Professores Funcionários Extraescola

45

15

17

29

255

14

255

1

17

Prova global 3

153

Na escola da Teresa, para comemorar o Dia Mundial da Floresta,

a Associação de Estudantes decidiu plantar a árvore que se

encontra representada na figura. Verificou-se que, quando os

raios de sol incidem no chão, segundo um ângulo de 40°, a

árvore projeta uma sombra de 160 cm.

Determina a altura da árvore. Indica o resultado em metros,

arredondado às centésimas.

Considera os seguintes números:

De entre os números anteriores, indica os que:

4.1. são inteiros; 4.2. pertencem a Q, mas não a N;

4.3. pertencem a R+; 4.4. são solução da inequação

Sendo A = [–2, +∞[, B = ]–5, 5[ e C = {–10, 7}, determina:

5.1. A B; 5.2. A B; 5.3. A C.

Na figura está representado o triângulo retângulo ABC. Determina:

6.1. o valor exato da área do triângulo. Explica o teu raciocínio e apresenta

todos os cálculos que efetuares.

6.2. a amplitude, em graus, do ângulo ACB. Apresenta o resultado arredon-

dado às décimas.

Na figura seguinte está representada uma circunferência, de centro A.

Sabe-se que:

7.1. Comenta a seguinte afirmação: “Como a reta BG é tan-

gente à circunferência, então é perpendicular ao seg-

mento de reta FB.”

7.2. Determina a amplitude, em graus, do arco DB. Explica o

teu raciocínio, apresentando todos os cálculos que efe-

tuares.

6

7

ˆ ˆCD FGB BFE63 49 57˚.

4

5

7 7 16 3 181

3

3 12

53 10

xx .

3

40°

154