Pesquisa Operacional Aplicada à Produção - UNESP / Campus de Guaratinguetá Modelo de Transporte...
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Pesquisa Operacional Aplicada à Produção - UNESP / Campus de Guaratinguetá
Modelo deTransporte com Baldeação
Prof. Fernando Augusto Silva Marins
Departamento de Produção
Faculdade de Engenharia – Campus de Guaratinguetá
UNESP
www.feg.unesp.br/~fmarins
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Pesquisa Operacional Aplicada à Produção - UNESP / Campus de Guaratinguetá
Introdução
1. Neste modelo de transporte mais geral há a possibilidade de um nó da rede não ser nem origem nem destino, ou seja, a demanda (ou produção) nele é nula (bi = 0). Esse tipo de nó recebe o nome de nó de transbordo.
2. Apresenta-se a seguir um algoritmo proposto por Alex Orden que estende a abordagem feita para o modelo de transporte simples (“Stepping Stone Method”) de forma que seja permitida a ocorrência de baldeação do produto por qualquer nó da rede.
3. A idéia do método consiste em admitir que em cada nó haja um “estoque fictício” do produto que seja capaz de viabilizar qualquer plano de entregas do produto na rede.
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Introdução
• Assim todo nó será subdividido em dois: um nó tipo origem e outro nó tipo destino, com um fluxo interno de produto entre eles.
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Modelo de Transporte com Baldeação
• Modelagem: transportar um produto a partir de m origens (com produções ai) para n destinos (com demandas bj).
• Todo nó será considerado tanto como origem como por destino.
• Numerar de 1 até m as origens reais e de m + 1 até m + n os destinos reais.
• Nas origens reais têm-se:
(produto enviado) – (produto recebido) = produção local.
• Nos destinos reais têm-se:
(produto recebido) – (produto enviado) = demanda local.
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Modelo de Transporte com Baldeação
• Admite-se que:
Variáveis de decisão:
Xij = Quantidade do produto enviada da origem i para o destino j.
Função objetivo:Min Z=
Sujeito a:
Esse modelo não pode ser resolvido pelo “Stepping Stone Method”, pois há coeficientes negativos nas restrições.
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j
ji
i b a
i j
ijXijC
j. i todo para 0 X
(2) . nm até 1 m j e n m até 1 i para b X - X
(1) n.m até 1 j e m até 1 i para a X - X
ij
ji jijjiij
ij ijijiij
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• Desenvolvimento do algoritmo:
• Seja ti a quantidade do produto baldeada no nó i. Assim:
• Nas origens reais
Nos destinos reais:
Tem-se portanto, as seguintes equivalências:(1) (1’):
(2) (2’):
Seja Ci o custo da baldeação do produto no nó i.
Função objetivo: Min Z=6
ij
jii X t
ij
jij X t
iij
iij t a X
jij
jij t b X
i j i
ii ijij tC XC
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Modelo de Transporte com Baldeação
Para cada nó: T = ti + Xii, onde Xii é o valor da baldeação interna nos nós.
Substituindo T = ti + Xii em (1’) e (2’): para i = 1 até m+n e j = 1 até m+n. (1’’):
(2’’):
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T a X Xij
iiiij
T b X Xji
jjjij
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Ou ainda, se Ci=Cii=0 tem-se: Min Z=
Sujeito a:
Observe que ai=bj= 0 para i=m+1 até m+n e j até m.Este modelo pode ser resolvido pelo “Stepping Stone Method”.Seja T = Limitante superior sobre todas as quantidades baldeadas nos nós = estoque fictício em cada nó suficientemente grande para assegurar a realização de qualquer plano de entregas do produto. Normalmente utiliza-se o valor de T = .
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i j
ijXijC
j. e i todo para 0 X
. nm até 1 j e n m até 1 i para T b X
n.m até 1 j e n m até 1 i para T a X
ij
ijij
jiij
j
ji
i b a
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Modelo de Transporte com Baldeação
Comentário: número de variáveis básicas = m’ + n’ – 1, onde m’ = nº total de origens = m + n, n’ = nº total de destinos = m + n.
Tabela típica para a aplicação do “Stepping Stone Method” ao problema de transporte com baldeação com m origens e n destinos.
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Exemplo: admitindo a possibilidade de baldeação, determinar o programa de entregas de custo mínimo para os dados a seguir.
•Considere os seguintes custos de baldeação: O1O2= 1, O2O1 = 2, D1D2 = 2, D1D3 = 1 = D3D1, D2D3 = 2, D2D1 = 4, D1O1 = 3, D1O2 = 1, D3D2 = 5, D2O1 = 2, D2O2 = 3, D3O1 = 3, D3O2 = 2.
Observação: se não fosse admitida a possibilidade de baldeação a solução ótima Z* = 56, com X*11 = X*13=X*21=0, X*12=5, X*21=2 e X*23=4.
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D1 D2 D3 Produção
O1 6 4 6 5
O2 6 6 5 6
Demanda 2 5 4 11
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Tabela inicial.
Custo da solução inicial= 119.
Número de variáveis básicas= M’+N’-1=5+5-1=9.11
O1 O2 D1 D2 D3 Produção
O1 11 0 5 1 6 4 6 16
O2 2 6 0 11 8 6 5 17
D1 3 1 2 0 9 2 1 11
D2 2 3 4 7 0 4 2 11
D3 3 2 1 5 11 0 11
Demanda 11 11 13 16 15
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• Tabela ótima obtida após a aplicação do “Stepping Stone Method”:
Custo da solução ótima= 52
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O1 O2 D1 D2 D3Produção
O111 0 1 6 5 4 6 16
O2 2 11 0 8 0 6 6 5 17
D1 3 1 11 0 2 1 11
D2 2 3 4 11 0 2 11
D3 3 2 2 1 5 9 0 11
Demanda 11 11 13 16 15
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Modelo de transporte com baldeação
• Quantidade de produto na rota O1D2 = 5 levar 5 unidades do produto da origem 1 ao destino 2;
• Quantidade de produto na rota O2D3 = 6 levar 6 unidades do produto da origem 2 ao destino 3, havendo uma baldeação de 2 unidades que irão ao destino 1;
• Quantidade de produto na rota D3D1 = 2 levar 2 unidades do produto do destino 3 (que vieram da origem 2) ao destino 1;
• Observe-se as quantidades de produto nas rotas fictícias O1O1, O2O2, D1D1, D2D2, D3D3, geradas pelo artifício de dividir cada nó em dois – uma origem e um destino, devem ser desconsideradas da solução ótima.
Custo da solução ótima= 52.
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