Permutadores de Calor - Técnico Lisboa - Autenticação de Permutadores de Calor – Equipamentos...

Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo

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Permutadores de Calor

1 - Introdução Os permutadores de calor são equipamentos térmicos que têm como objectivo promover a transferência de calor entre duas ou mais correntes de fluidos. A classificação de permutadores de calor pode ser efectuada de diversas formas consoante o critério considerado. Como exemplos podemos apresentar as seguintes classificações consoante os critérios: 1) Processo de transferência de calor

- Contacto directo Neste sistema existe contacto entre os fluidos entre os quais se permuta calor. Em alguns casos trata-se da mesma substância sendo o processo uma mistura. Outro exemplo são torres de refrigeração nas quais ar e água se separam, existindo no entanto transferência de massa das gotas de água para o ar húmido.

- Contacto indirecto. Neste sistema podemos ainda ter a transferência directa ou através de um sistema intermédio de armazenamento/transporte. Na transferência directa os fluídos encontram-se em contacto com uma superfície sólida que os separa. Na transferência de calor com um meio intermédio é usado um fluído ou uma matriz sólida que transporta energia entrando em contacto alternativamente com os fluidos principais quente e frio. São exemplos deste tipo os permutadores utilizados em fornos e caldeiras para aquecer o ar para a combustão à custa dos produtos de combustão e os regeneradores nos ciclos de tubina de gás.

2) Tipo de construção Os permutadores de contacto directo não são classificados sob este aspecto, sendo a sua constituição a de uma câmara onde se misturam os fluidos que permutam calor. Nos permutadores de contacto indirecto a classificação faz-se em relação à forma da superfície sólida que separa os dois fluídos e através da qual se processa a transferência de calor. As superfícies de transferência são na maioria tubos ou placas sendo os permutadores classificados pela disposição destes elementos.

- Construção tubular: Nestes permutadores um dos fluidos circula no interior de tubos circulando o outro fluido no exterior em tubo concêntrico ou no exterior dos tubos, sendo favorecido o escoamento perpendicular ao tubo por permitir maiores coeficientes de convecção.

- Construção em placas: As placas podem separar os fluidos e serem montadas em paralelo ou em espiral.

- Superfícies alhetadas: Tanto os permutadores baseados em tubos como placas podem possuir superfícies alhetadas.

- Nos permutadores com uma matriz sólida intermédia de transporte de calor a construção pode ser de matriz fixa onde periodicamente se troca o fluido que passa nessa ou rotativa (tambor ou disco) sendo neste caso a matriz sólida transportada.


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3) Arranjo (tipo de escoamento) A classificação quanto ao tipo de escoamento relativo entre os fluidos que trocam calor é importante pois permite formular modelos que descrevem a distribuição de temperatura. Nesta classificação distinguem-se os arranjos com passagens simples e múltiplas: Passagens Simples: Neste tipo de permutadores cada fluido tem escoamento uniforme apenas numa direcção e sentido podendo serem classificados pela orientação relativa entre as correntes.

- Equicorrente, contra-corrente. Nestes casos ambos os fluidos deslocam-se na mesma direcção, respectivamente no mesmo sentido ou em sentidos opostos.

- Correntes cruzadas onde os fluidos têm direcção do escoamento perpendicular. Passagens Múltiplas: Nestes permutadores um dos fluidos tem mais de um sentido de escoamento em relação ao outro ou diversas correntes. São exemplos.

- Configuração 2x1 em que a corrente de um dos fluidos tem duas passagens em sentidos opostos, uma em equicorrente e outra em contracorrente, em relação ao outro fluído que tem apenas uma passagem.

- Em permutadores com correntes cruzadas é usual existirem diversas passagens em série para um dos fluídos (em sentidos alternados) enquanto o outro fluído mantém sempre um escoamento perpendicular.

4) Mecanismo de transferência de calor Em relação ao mecanismo de transferencia de ca1or os permutadores podem-se distinguir pela importância da convecção em relação à radiação. A convecção pode ainda dar-se com ou sem mudança de fase. O mecanismo de transferencia de ca1or para cada um dos fluidos no permutador pode ser diferente. 5) Grau de compactação Esta classificação permite distinguir os permutadores quanto a sua área especifica designando-se como compactos os permutadores com valores superiores a 700 m2/m3. Este valor não é rigido mas dá a indicação que se consideram como compactos permutadores em que a dimensão característica é da ordem de mm. 6) Aplicações As aplicações dos permutadores são muito numerosas podendo no entanto efectuar-se uma classificação tendo em conta o objectivo da sua utilização. São apresentados alguns exemplos: Grandes instalações: Caldeiras de aquecimento e de geração de vapor Com mudança de fase: Geradores de vapor, Evaporadores, Condensadores. Permuta de calor sem mudança de fase: Aquecedores, arrefecedores Recuperação de calor: Recuperadores quando o calor aproveitado é para outra aplicação e regeneradores quando o calor é aproveitado no próprio ciclo térmico. Dissipadores: Radiadores, torres de arrefecimento. Nestes pretende-se apenas efectuar um arrefecimento não sendo utilizada a energia transferida para o outro fluido.


3

2 - Equações gerais para permutadores de calor Neste capitulo vamos analisar a distribuição de temperatura nos permutadores de calor e apresentar os métodos principais para a sua análise. Para analisar um permutador de calor é necessário analisar os balanços de energia aos fluídos e as equações de transferência de calor, conforme indicado de seguida.

Equações de balanço de energia Para a análise de permutadores de calor de uma forma simplificada considera-se que os fluidos são caracterizados por um calor específico constante. Com esta hipótese simplificativa podem-se desenvolver equações para o balanço de energia, diferença média de temperatura e eficiência do permutador de uma forma simples. Neste caso o calor perdido pelo fluído quente e ganho pelo fluído frio podem ser escritos como:

( ) ( )qsqeqpq TTcmQ −= &&

( ) ( )fefsfpf TTcmQ −= &&

O fluido com mudança de fase pode ser considerado como um caso particular da análise apresentada anteriormente. Para este caso admitindo que a mudança de fase se dá a pressão constante (desprezando as perdas de carga) considera-se que a temperatura não varia e então cp=∞. Em muitas aplicações pretende-se que o calor seja integralmente transferido do fluído quente para o frio e assim considera-se que o permutador tem um funcionamento adiabático, isto é sem perdas de calor para o exterior. Neste caso verifica-se uma igualdade entre a taxa de transferência de calor e a potência trocada por cada fluído. No caso de se considerar uma forma mais complexa para a variação da entalpia com a temperatura, obviamente que se podem efectuar cálculos numéricos. No caso do permutador não ser adiabático o calor realmente permutado através da superfície de transferência pode ser calculado da potência trocada por um dos fluídos se este estiver confinado no interior do outro que então terá trocas com o ambiente. Num caso geral ambos podem ter trocas com o ambiente requerendo uma análise específica detalhada.

Coeficiente global de transferência de calor Nos permutadores de calor de contacto indirecto e transferência directa os fluidos que permutam energia encontram-se separados por uma superfície de transferência de calor. A troca de calor entre cada fluído e a superfície pode ser descrita por um coeficiente de convecção, podendo incluir um rendimento no caso de existirem superfícies alhetadas.

( ) ( )SupExpfluidoffinbase TThAAQ −+= η& A transferência de calor pode também ser reduzida devido à existência de resistências localizadas. No caso das superfícies alhetadas podem existir resistências térmicas de contacto e de uma forma geral existem resistências térmicas devido à formação de depósitos nas superfícies e que designaremos por resistências de sujamento. Estas resistências podem ter denominações específicas de acordo com o processo de formação dos depósitos (scaling, fouling, slagging, ...). No caso de se considerar resistências localizadas a taxa de transferência de calor pode ser relacionada com as diferenças de temperatura entre a superfície exposta e a superfície sólida do meio que separa os fluídos.

( ) SujSupSolSupExp RTTAQ −=&


4

Através da superfície sólida que separa os fluídos existe uma resistência térmica devido à condução de calor. No caso de um tubo circular pode-se escrever:

( ) ( )iSupSolIntSupSolExtp DDlnTTLkQ −= π2& A área sujeita à convecção para cada um fluidos em geral não é igual, especialmente no caso de se utilizarem superfícies alhetadas (ou pinos). A transferência de calor num permutador é caracterizada por um coeficiente global de permuta de calor U [W/m2K] que pode ser escrito de diversas formas dependendo da configuração do permutador. Para cada tipo de permutador selecciona-se uma determinada área de referência. No caso de superfícies compactas alhetadas considera-se a área total incluindo a das alhetas e calcula-se o valor de AU por exemplo na forma:

( ) ( )

1

22221

111

11−

+

+++++

=aab

,Sujb

,Sujaab AAh

RkA

tRAAh

AUηη

para o caso de superfícies alhetadas separadas por parede plana. Devido ao aparecimento de diversas áreas, para os permutadores compactos como se irá ver definem-se parâmetros característicos da superfície como a área das alhetas em relação à total, a área de permuta de um lado em relação ao outro e a área de permuta de referência por unidade de volume, facilitando os cálculos. No caso de permutadores de placas considera-se a área projectada e no caso de permutadores tubulares considera-se a área exterior dos tubos, conduzindo a:

( )1

11−

++++=

ii,Suj

iP

ie,Suj

e hR

DD

kDDlnDR

hU

A taxa de transferência de calor pode então ser definida pelo produto da capacidade de transferência de calor (AU) pela diferença média de temperatura entre os fluidos.

( ) TAUTTAUQ fq ∆=−=& A diferença média de temperatura entre os fluídos depende da configuração do permutador e é analisada de seguida para alguns casos.

Diferença média de temperatura num permutador Ao longo de um permutador a temperatura do fluído e da superfície variam surgindo assim a necessidade de analisar os perfís de temperatura em configurações típicas e definir a diferença média de temperatura entre os fluídos. A análise para o caso de equi-corrente ou contra-corrente é simples, enquanto para outras configurações o cálculo é mais complexo, sendo apresentados apenas os resultados finais desses casos. Para o caso de um permutador de correntes paralelas, podem-se considerar dois sentidos para as correntes conduzindo a quatro possibilidades ilustradas na tabela seguinte. Para cada um dos casos o balanço de energia aos fluidos em forma diferencial apresenta uma forma diferente como indicado.

1

Equicorrente

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.45 0.9Distância Axial

Tem

pera

tura

2

Equicorrente

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10.550.1 Distância Axial

Tem

pera

tura

3

Contra-corrente

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tem

pera

tura

4

Contra-corrente

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tem

pera

tura

( ) qqpq dTcmQd && −=

( ) ffpf dTcmQd && =

( ) qqpq dTcmQd && =

( ) ffpf dTcmQd && −=

( ) qqpq dTcmQd && −=

( ) ffpf dTcmQd && −=

( ) qqpq dTcmQd && =

( ) ffpf dTcmQd && =


5

Para determinar a distribuição de temperatura usam-se estas equações em conjunto com a equação de transferência de calor indicada a seguir:

( )dxTTPUQd fq −=& Definindo a variável θ =Tq-Tf pode-se formular uma equação diferencial para essa variável, atendendo à igualdade entre o calor trocado pelos dois fluídos. Para o caso equicorrente podem-se escrever os dois conjuntos de expressões que conduzem às equações indicadas a seguir.

( ) ( )

( ) ( )

−=

−−

=

fq

fp

f

fq

qp

q

TTcm

PUdx

dT

TTcmPU

dxdT

&

&

( ) ( )

( ) ( )

−−

=

−=

fq

fp

f

fq

qp

q

TTcmPU

dxdT

TTcm

PUdxdT

&

&

( ) ( ) θθθEC

fpqp

Bcmcm

PUdxd

−=

+−=

&&

11 ( ) ( ) θθθEC

fpqp

Bcmcm

PUdxd

=

+=

&&

11

Sendo a única diferença entre as duas expressões o sinal. Integrando as equações obtidas obtém-se uma evolução exponencial em ambos os casos sendo aplicado em ambos os casos como condição fronteira a diferença de temperatura na extremidade para x=0 do permutador. Substituindo em ambos os casos para x=L podemos verificar que as duas expressões são equivalentes, como seria de esperar.

xBECe−= 0θθ xBECe0θθ =

xB

fsqs

feqeL ECeTTTT −=

−

−=

0θθ xB

feqe

fsqsL ECeTTTT

=−

−=

0θθ

A partir daqui sem perda de generalidade utiliza-se a primeira expressão. O parâmetro BEC é um parâmetro característico das condições de funcionamento do permutador e pode também ser escrito em termos dos valores da temperatura nas extremidades:

( ) ( )( ) ( )

QQTTTT

QTT

QTT

cmcmB Lfsqsfeqe

f

fefs

q

qsqe

fpqpEC &&&&&&

θθ −=

−−−=

−+

−=+= 011

Podemos então escrever uma equação para as diferenças de temperatura nas extremidades substituindo o parâmetro BEC na expressão de θ(x) para x=L:

( )

−−== − PUL

Qe LLB

LEC

&θθθθθ 0

00 exp

A diferença média de temperatura entre os dois fluídos pode ser definida como o valor do calor permutado Q& a dividir pelo valor de AU. Para o permutador considerado a área de transferência A é igual ao produto do perímetro P pelo comprimento L. Assim:

( )L

L

AUQT

θθθθ

0

0

ln−

==∆&

Esta diferença média de temperatura é denominada de diferença média de temperatura logarítmica. No caso considerado (equicorrente) este valor pode ser escrito como:

( ) ( )( ) ( )[ ]fsqsfeqe

fsqsfeqeECLn TTTT

TTTTT

−−

−−−=∆

ln

Para o caso do escoamento em contra-corrente pode-se repetir a análise apresentada para o caso equi-corrente. Neste caso as equações para θ são as seguintes:


6

( ) ( ) θθθCC

fpqp

Bcmcm

PUdxd

−=

−−=

&&

11( ) ( ) θθθ

CCfpqp

Bcmcm

PUdxd

=

−=

&&

11

que se podem verificar ser equivalentes tal como anteriormente. Integrando obtêm-se: xBCCe−= 0θθ xBCCe0θθ =

xB

feqs

fsqeL CCeTTTT −=

−−

=0θ

θ xB

fsqe

feqsL CCeTTTT

=−−

=0θ

θ

No caso contra-corrente o parâmetro BCC toma o valor:

( ) ( )( ) ( )

QQTTTT

QTT

QTT

cmcmB Lfeqsfsqe

f

fefs

q

qsqe

fpqpCC &&&&&&

θθ −=

−−−=

−−

−=−= 011

Podemos então verificar que a diferença média de temperatura toma a mesma forma que no caso equi-corrente. As diferenças de temperatura nas extremidades do permutador no entanto não são as mesmas e em termos das temperaturas de entrada e saída dos fluídos pode-se escrever:

( ) ( )( ) ( )[ ] Ln

feqsfsqe

feqsfsqeCCLnCC T

TTTTTTTT

TT ∆=−−

−−−=∆=∆

ln

sendo utilizado o simbolo ∆TLn sem índice pois esta expressão é mais utilizada como se irá ver a seguir. Na aplicação desta equação é indiferente trocar as diferenças de temperatura entre as extremidades, mas deve-se notar que a diferença deve ser sempre entre o valor maior e o menor, caso contrário conduz a valores negativos. Convém também aqui chamar a atenção para o caso em que os valores das capacidades térmicas pcm& de ambos os fluídos são iguais, pois neste caso BCC=0 indicando que a diferença de temperatura entre os dois fluídos é constante. Para além dos casos de equicorrente e contracorrente existem outros casos de permutadores com correntes paralelas que permitem determinar a distribuição de temperatura a partir de modelos unidimensionais. Uma configuração aproximada que surge em muitas aplicações é o caso do permutador 2x1 que consiste em ter um fluído com uma única passagem trocando calor com o outro fluído que tem duas passagens, uma em equicorrente e outra em contracorrente como indicado na figura. Existem duas alternativas para este tipo de arranjo O sentido das correntes inicialmente tem influência na distribuição de temperatura mas não influi a potência térmica trocada. No caso da capacidade de transferência (AU) ser elevada quando o segundo fluído entra primeiro em contracorrente pode inclusivamente conduzir a um cruzamento de temperatura, isto é a temperatura do fluído frio pode ultrapassar a do quente à saída quando o escoamento é em equicorrente (situação ilustrada a tracejado na figura).

2x1 CC - EC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tem

pera

tura

0

0

0.2

0

0.2

2x1 EC - CC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tem

pera

tura

0

0

0.20

2x1 CC - EC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tem

pera

tura

0

0

0.2

0

0.2

2x1 CC - EC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tem

pera

tura

0

0

0.2

2x1 CC - EC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tem

pera

tura

0

0

0.2

0

0.2

0

0.2

0

0.2

2x1 EC - CC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tem

pera

tura

0

0

0.20

2x1 EC - CC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Tem

pera

tura

0

0

0.20

2x1 EC - CC

2x1 CC - EC


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A diferença de temperatura entre os fluídos pode ser calculada para o primeiro caso com base em balanços de energia aos fluídos e na equação de transferência de calor. A diferença de temperatura média entre os fluídos é dada por:

−+

=∆

1212

112

AuxAuxAuxAuxln

AuxT x onde ( ) ( )

−+−=

−+−=222

1

fefsqsqe

feqsfsqe

TTTTAux

TTTTAux

Distribuição de temperatura dos fluídos Para além da diferença média de temperatura entre os dois fluídos, pode-se determinar também o perfil de temperatura para cada uma das correntes. Este resultado é obtido considerando o calor trocado entre a posição x=0 e uma posição x qualquer:

( )Bxx Bxx e

BUPdxeUPQ −−

− −== ∫ 100 00

θθ&

válido para qualquer das configurações (EC ou CC) desde que se use os parâmetros θ0 B específico. Para cada caso, tendo em conta o sentido do escoamento pode-se efectuar o balanço de energia aos fluídos quente e frio conduzindo a:

( ) ( )( )( ) ( )( )

−=

−=

−

−

feffpx

qqeqpx

TxTcmQ

xTTcmQ

&&

&&

0

0

1 Equi- corrente

( ) ( )( )( ) ( )( )

−=

−=

−

−

xTTcmQ

xTTcmQ

ffsfpx

qqeqpx

&&

&&

0

0

3 Contra- corrente

A partir da igualdade entre cada uma destas expressões e o calor trocado, pode-se determinar as distribuições de temperatura conduzindo às expressões:

( ) ( )q

xB

feqe

qqe

Re

TTxTT EC

+−

=−− −

11

( ) ( )f

xB

feqe

fef

Re

TTTxT EC

+−

=−− −

11

Equicorrente

( )LB

q

xB

feqe

qqe

CC

CC

eRe

TTxTT

−

−

−−

=−−

11

( )LB

q

xBq

feqe

fqe

CC

CC

eReR

TTxTT

−

−

−

−=

−

−

11

Contracorrente

onde se introduziram as variáveis ( ) ( )fpqpq cmcmR &&= e ( ) ( )

qpfpf cmcmR &&= que representam

a relação entre as capacidades térmicas de ambos os fluídos. No caso das capacidades térmicas serem iguais, Rq=1 e para o caso contracorrente o perfil de temperatura é linear, sendo o perfil dado por:

( )( ) ( )[ ]

( ) UPLcm

UPxTxLUPcmTxT

qp

feqpqeq +

+−+=

&

&( )

( )[ ] ( )( ) UPLcm

xLUPTUPxcmTxT

fp

qefpfef +

−++=

&

&

A partir destas equações pode-se facilmente determinar expressões para a temperatura média de cada fluído no permutador mas normalmente para cálculos utiliza-se uma média aritmética para o fluído com maior capacidade térmica (maior pcm& ) e estima-se a temperatura do outro fluído com a diferença média de temperatura.

Método θ e F-∆TLn Como se viu anteriormente a diferença média de temperatura num permutador pode ser expressa em função das temperaturas de entrada e saída de ambos os fluídos. Adicionalmente a temperatura de saída de ambos os fluídos também pode ser expressa em função das temperaturas de entrada, pelo que a diferença média de temperatura também pode ser expressa em função da diferença entre os valores das temperaturas de entrada. As equações obtidas para a diferença média de temperatura podem ser complexas como se viu para o caso


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do permutador 2x1 sendo ainda mais no caso de outras configurações. Torna-se assim interessante definir coeficientes que permitam relacionar a diferença média de temperatura com diferenças fáceis de calcular. A diferença média de temperatura entre os fluídos é sempre inferior à diferença entre as temperaturas de entrada podendo essa razão ser expressa pelo factor θ.

( )feqe TTT−∆

=θ

Este factor pode ser calculado de forma fácil para os casos de duas correntes paralelas. Para o caso do permutador contra corrente este factor é definido por:

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]feqsfsqefeqe

feqsfsqe

TTTTlnTTTTTT

−−−−−−

=θ

No argumento do logaritmico pode-se isolar a diferença entre as temperaturas das entradas conduzindo a: ( )( )

( ) ( )( ) ( )feqeqsqe

feqefefs

feqs

fsqe

TT/TTTT/TT

TTTT

−−−−−−

=−−

11

onde surgem dois factores que representam a variação de temperatura de cada uma das correntes em relação ao máximo que poderiam variar na configuração de contra-corrente. Definindo os parâmetros P como estes valores para as duas correntes:

( )( )feqe

fefsf TT

TTP

−−

= e ( )( )feqe

qsqeq TT

TTP

−−

=

Estes dois factores encontram-se relacionados pela relação entre as capacidades caloríficas que também pode ser definida como já indicado de duas formas:

( )( )

( )( ) f

q

fefs

qsqe

qp

fpf P

PTTTT

cm

cmR =

−−

==&

& e

( )( )

( )( ) q

f

qsqe

fefs

fp

qpq P

PTTTT

cm

cmR =

−−

==&

&

O cociente entre as diferenças de temperatura pode-se também escrever como: ( ) ( )

( ) ( ) ( )11 −=−=−=−

−−−ffqqfq

feqe

feqsfsqe RPRPPPTT

TTTT

em função dos parâmetros definidos para um ou outro fluído. Assim o factor θ pode ser expresso em função dos parâmetros de qualquer dos fluídos e pode-se facilmente verificar que o resultado é equivalente, pelo que se pode omitir o índice do fluído.

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]PRP

RPRPP

RPPRP

RP

fff

ff

qqq

qqCC −−

−=

−−−

=−−

−=

11ln1

11ln1

11ln1

θ

A função θ pode também ser representada graficamente sendo no entanto necessário calcular (ou assumir) uma temperatura de saída para o cálculo do factor P. Para R=1 a expressão anterior conduz a uma indeterminação que levantada conduz a θCC=1-P. Para o caso do permutador equicorrente pode-se definir o factor θ a partir da diferença média de temperatura logarítmica para este caso conduzindo a:

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]fsqsfeqefeqe

fsqsfeqe

feqe

ECLnEC TTTTTT

TTTTTT

T−−−

−−−=

−∆

=ln

θ

Substituindo as diferenças de temeratura em função da diferença de temperatura entre as entradas pode-se definir de igual modo o parâmetro θ em função de P e de R:

( )( )[ ]11ln

1+−

+−=

RPRP

ECθ


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Tal como no caso anterior este parâmetro adimensional é inferior à unidade e pode ser representado gráficamente. Pode-se observar que os valores resultantes desta função são sempre inferiores aos produzidos para o caso contracorrente. A configuração contracorrente para parâmetros fixos P e R indicam uma maior diferença média de temperatura entre os fluídos. Assim o mesmo calor permutado (traduzido pelo valor de P igual) pode-se verificar que a configuração contra-corrente é aquela que apresenta a maior capacidade de transferência (AU). Por outro lado para o mesmo valor da capacidade de transferência a configuração contra-corrente é a que permite maximizar a transferência de calor. Por este facto desenvolveu-se o método F-∆TLn em que se exprime a diferença média de temperatura para um permutador qualquer como o produto do factor F pela diferença média de temperatura logarítmica (definida como no caso da configuração contracorrente). Para o permutador equicorrente pode-se definir o factor F a partir da razão entre os valores de definidos anteriormente:

( ) ( )[ ]( )[ ]RP

PRPRR

TTF

CC

EC

Ln

ECLn

EC +−−−

−+

==∆∆

=11ln11ln

11

θθ

Os parâmetros P e R como se tinha visto anteriormente podem ser definidos escolhendo um dos fluídos mas deve-se manter a coerência entre os valores. Para o caso R=1 a expressão anterior dá uma indeterminação que levantada conduz a:

[ ]PPFEC 21ln

)1/(2−−−

= (neste caso P<0,5)

Para o permutador 2x1 a partir da expressão para a diferença média de temperatura podem-se também definir os parâmetros θ e F, conduzindo a:

++−+

+−−+

+=

2

2

2

12

121121

1

RPRRPRln

RPxθ

( ) ( )( )( )( )

+++−

+−+−

⋅−−=

112112

11

2

2

RRPRRPln

RPPlnF que no caso R=1 resulta em: ( )( )( )

+−−−

−=

21112111

12

PPln

PPF

Estas funções encontram-se representadas graficamente com um esquema que indica os parâmetros P e R definidos para o fluído que efectua apenas uma passagem:

es

se

ee

es

TTTTR

TTTTP

22

11

21

22 ;−−

=−−

=

Como se referiu anteriormente podem-se considerar também os valores definidos para o outro fluído, tal como indicado junto da representação gráfica. A diferença média de temperatura e o factor F para este permutador pode ser utilizada sem grande erro para a situação de 4*1 e 8*1. Para outras configurações de escoamento a obtenção dos factores θ e F de forma explícita é complexa ou mesmo impossível, pelo que nestes casos se dispõe apenas de valores representados em forma gráfica ou em tabelas, existindo no entanto expressões que aproximam aqueles resultados. Para utilizar qualquer dos factores necessários apesar de no caso de θ se multiplicar este valor pela diferença entre as temperaturas de entrada dos dois fluídos é necessário pelo menos um valor da temperatura de saída para calcular o factor P. Para calcular a potência térmica trocada a partir das temperaturas de entrada e dos parâmetros de funcionamento do permutador é necessário considerar a equação de transferência de calor que é utilizada na formulação do método ε - NTU descrito a seguir.


10

Método ε-NTU Como acabado de referir este método permite determinar a potência transferida no permutador a partir do conhecimento das temperaturas de entrada e das características de operação do permutador e que são as capacidades térmicas de ambos os fluídos e a capacidade de transferência de calor: ( ) ( ) AUcmcm

qpfp ;; &&

A eficiência do permutador é definida como o valor do calor permutado em relação ao máximo que se pode permutar entre duas correntes de fluídos com temperatura de entrada conhecidas. Como a configuração de contra-corrente é a que permite a maior transferência de calor é com base nesta que se vai considerar a situação idealizada. A variação de temperatura de cada fluído no permutador é inversamente proporcional à sua capacidade térmica devido à igualdade entre as potências. Com base na distribuição de temperatura para o permutador de contra-corrente, pode-se observar que a temperatura de saída do fluído com menor capacidade térmica pode atingir a temperatura de entrada do outro fluído (No caso ilustrado anteriormente o fluído com menor capacidade térmica é o frio). Assim define-se a máxima quantidade de calor transferida como o produto da menor capacidade térmica do fluido pela diferença entre as temperaturas de entrada dos dois fluídos.

( ) ( )feqepMáx TTcmQ −=min

&&

Como a definição de eficiência depende do fluído que tem menor capacidade térmica pcm& utiliza-se como nomenclatura letras minúsculas para a temperatura deste fluído e maiúsculas para o outro fluído. Assim sem perda de generalidade pode-se escrever:

( ) ( )( ) ( )

( )( )ee

es

eep

esp

Máx tTtt

tTcmttcm

QQ

−−

=−

−==

min

min

&

&

&

&ε

Pode-se facilmente verificar que esta expressão conduz sempre a valores positivos, apesar de poderem ser ambas os factores negativos. O valor da potência no entanto deverá ser sempre tomada em valor absoluto. A definição da eficiência é sempre coincidente com a definição do factor P para o fluído de menor capacidade térmica. Como vimos anteriormente a razão entre as capacidades térmicas é outro parâmetro com interesse para a análise definindo-se aqui com um r minúsculo a razão entre a capacidade térmica menor e a maior, que pode também ser expressa a partir de diferenças de temperatura.

( )( )

( )( )se

es

Maiorp

menorp

ttTT

cmcm

r−−

==&

&

A partir das definições anteriores pode-se representar a variação da temperatura em cada uma das correntes em função da diferença das temperaturas de entrada dos dois fluidos por: ( ) ( )eees tTtt −=− ε ( ) ( )eese tTrTT −=− ε Estas equações são gerais e permitem calcular as temperaturas de saída para qualquer tipo de permutador desde que seja conhecida a sua eficiência. A eficiência permite calcular a potência térmica a partir de:

( ) eeminp tTcmQ −= ε&& A potência térmica pode também ser calculada a partir da diferença entre as temperaturas de entrada e do parâmetro θ.

ee tTAUQ −= θ&


11

permitindo observar que se pode definir um grupo adimensional como a razão entre a capacidade de transferência de calor e a capacidade térmica mínima dos fluídos a que se dá o nome de Número de Unidades de Transferência (Number of Transfer Units).

( ) θε

==minpcm

AUNTU&

Como o parâmetro θ pode ser expresso em termos dos factores P e R e como estes podem ser equivalentes respectivamente a ε e r pode-se então concluir que existe uma relação entre ε, NTU e r que constituí o método ε−NTU. O factor NTU relaciona-se também com a diferença média de temperatura logarítmica e com o factor F por:

( ) ( )( ) ( )[ ]

−−−−−

=

∆−

==εεεεεε

θε

11ln11

rr

FTFtT

NTULn

ee

Assim para todos os casos em que exista uma equação para θ ou F em função de P e R, pode-se obter equações entre NTU, ε e r. Os valores de ε e r coincidem com os de P e R no caso do fluído considerado na definição ser o de menor capacidade térmica, caso contrário verifica-se que ε=PR ou P=εr e r=1/R.

Relações ε-NTU para diversas configurações Para o caso contra-corrente em que F=1 obtem-se os resultados seguintes:

( )( )( )( )rNTUexp*r

rNTUexp−−−

−−−=

1111ε

( ) ( )( )r

r*lnNTU−

−−=

111 εε

Para r=1 a expressão para ε e NTU dá uma indeterminação que eliminada conduz a: ( )NTUNTU += 1ε ( )εε −= 1NTU

Para r=0 as expressões acima reduzem-se a: )NTUexp( −−= 1ε )(lnNTU ε−−= 1 Estas expressões são válidas para qualquer arranjo de escoamento com r=0 pois o fluido com capacidade térmica menor está sempre em contacto com o outro fluído a temperatura constante. Para o permutador de equicorrente, pode-se obter o valor de NTU a partir da definição da diferença média logarítmica deste caso ou de θ conduzindo a:

( )( )r

rNTUexp+

+−−=

111ε ( )( )

rrlnNTU

++−−

=1

11 ε

Para o permutador 2x1 obtém-se

( )( )

1

2

22

1111112

−

+−−

+−++++∗=

rNTUexprNTUexprrε 2

2

2

1121121 r

rrrrlnNTU +

++−+

+−−+=

εε

Para além destes casos para os quais se apresentou a diferença média de temperatura e o factor θ, existem outras configurações para as quais se estabeleceu a relação entre a eficiência e o número de unidades de transferência. Foram desenvolvidas expressões para o caso da configuração de correntes cruzadas. Para cada fluído considera-se que não existe mistura transversal (na direcção do escoamento do outro fluído) ou que essa mistura é perfeita. A hipótese de não se considerar mistura transversal é realista no caso do escoamento ocorrer de forma confinada em tubos ou em canais formados por exemplos em superfícies alhetadas. No caso de ambos os fluídos serem separados as distribuições de temperatura são bi-dimensionais e a eficiência é expressa por:


12

( ) ( ) ( )

NTUrm

NTUrNTUrm

NTUNTUn

n

m

mn

m

m

⋅

⋅⋅−−

−−

=∑ ∑∑∞

= ==0 00 !exp1

!exp1

ε

Como esta formula é muito complexa e pouco prática para cálculos pode-se utilizar uma expressão aproximada dada por:

[ ]( ){ }rNTUNTUrexpexp .. 220780 11 ⋅−⋅−−=ε No caso de existir mistura transversal do fluído a temperatura na direcção do escoamento do outro fluído tende a ser uniforme, sendo esta hipótese considerada para derivar a distribuição de temperatura que passa assim a ser unidimensional. Se ambos os fluídos se encontram misturados na direcção transversal de cada os resultados conduzem a:

( ) ( )

11

111

−

−−−

+−−

=NTU)r*NTUexp(

r)NTUexp(

ε

No caso de um dos escoamentos ter mistura transversal e o outro ser separado a solução depende de qual tem a menor capacidade térmica. No caso do fluido com menor capacidade térmica se encontrar misturado a solução é dada por:

( )( )[ ]rr*NTUexpexp −−−−= 11ε ( ){ }[ ] rlnrlnNTU ε−⋅+−= 11 Enquanto para o caso em que o fluido misturado é o que tem maior capacidade térmica a solução é:

( )( )[ ]( )[ ] rNTUexp*rexp −−−−= 11ε ( )[ ]{ }rrlnlnNTU ε−+−= 11 Um caso particular deste tipo de configuração ocorre quando um fluído circula em tubos em paralelo e outro fluído escoa-se perpendicularmente aos tubos com mistura transversal. No caso do número de tubos ser muito elevado podem-se usar as expressões anteriores enquanto se o número de tubos for muito pequeno devem-se usar valores representados graficamente calculados para esses casos. No caso do escoamento nos tubos não ocorrer em paralelo mas sim em série a distribuição de temperatura é diferente e existem também resultados representados graficamente. O tratamento dos arranjos com tubos podem ser tratados considerando as configurações como combinações de permutadores constituídos apenas por um tubo imersos numa corrente perpendicular em que o escoamento se verifica em paralelo ou em série enquanto o escoamento do fluído perpendicular aos tubos se verifica sempre em série. Este tipo de tratamento vai ser analisado no capítulo seguinte e é aplicável sempre que se considere que a temperatura do fluído entre permutadores em série se encontra a uma temperatura uniforme, ou seja aplica-se aos casos em que se assume mistura transversal. Em casos em que não existe mistura transversal do fluído e existem ligações em série ou em paralelo entre permutadores, não se pode aplicar a teoria desenvolvida no capítulo seguinte e devem-se usar resultados apresentados na literatura, por exemplo em forma gráfica para a variação da eficiência com NTU e r.


13

3 – ASSOCIAÇÕES DE PERMUTADORES

Relações entre temperaturas de entrada e saída No caso de se associarem permutadores pode-se calcular a eficiência do conjunto de permutadores tendo em conta que a temperatura de saída de cada permutador pode-se exprimir em função dos valores de entrada utilizando a eficiência (ε) e a razão de capacidades térmicas (r) como vimos antes. Com efeito podemos exprimir a partir de:

ee

es

tTtt

−−

=ε e es

se

ttTTr

−−

= as seguintes equações para a temperatura de saída:

( )( )

−+=+−=

ees

ees

tTtrtTrT

εεεε

11

ou sob forma matricial

×

−=

e

e

s

s

tT

-εεrr

tT

1 1

εε

De igual modo invertendo a matriz podemos exprimir também as temperaturas de entrada em função das de saída por:

( )

×

−+−

=

s

s

e

e

tT

rrtT

εεεε

ε -1 - r- 1

111

As equações acima podem também ser resolvidas de modo a exprimir a temperatura de entrada de um dos fluidos e a de saída do outro em função das outras temperaturas:

( )

×

+−−

=

s

e

e

s

tTr

tT

1 - r 11

11

εεε

ε ou ( )

×

+−

=

e

s

s

e

tT

rrtT

1-1 r- 1

11

εεε

ε

Para além destas equações podem ainda exprimir-se as temperaturas de um dos fluídos em função das temperaturas do outro fluído conduzindo às matrizes seguintes:

( )( ) ( )( )

×

+−

=

e

s

s

e

TT

r-rtt

11- -1 r1- 1 1

εεε

ε ou

( )( )( )

×

+−

−=

e

s

s

e

tt

rrTT

1-1- 11- 1 1εε

εε

A tabela seguinte apresenta um resumo de todas as equações indicando-se na linha qual a temperatura que é representada em função de outras duas quando não se conhece o valor da temperatura indicada na coluna.

Ts=? ts=? Te=? te=?

Ts= --------------- ( ) ee tTr r1 εε +− ( ) ( )( )ε

εε es trt +−−− 11r1 ( )( )εεε−

+−+1

11r es Trt

ts= ( ) ee t1T ε−+ε ----------------- ( )( )r

tT es

εεε−

+−+1

r11 ( ) ( )( )r

TT es

εεε r111 +−−−

Te= ( )εε−− es t1t

r1rtT es

ε−ε−

-------------------------- ( )

( )r11trT1 ss

+ε−ε−ε−

te= ε−ε−

1Tt es ( )

rTr1T es

εε−− ( )

( )r11Ttr1 ss

+ε−ε−ε−

---------------------------

Estas equações são gerais e podem-se aplicar para qualquer tipo de permutador utilizando a eficiência para a configuração a que dizem respeito e a razão de capacidades térmicas. Estas equações são utilizadas a seguir para o estudo de arranjos de permutadores.


14

Exemplo de eficiência de associação de permutadores Consideram-se associações quando existam diversos permutadores que utilizam os mesmos fluídos que podem circular em série ou paralelo. Como vimos acima existem relações entre as temperaturas de entrada e saída de cada unidade pelo que se pode definir também uma relação entre as temperaturas de entrada e saída de conjuntos de permutadores. Pode-se assim igualmente definir a eficiência de conjuntos de permutadores. Apresenta-se de seguida um exemplo ilustrativo com três permutadores que apresentam eficiências conhecidas. Como todas as ligações são em série a razão entre as capacidades térmicas r é igual para todos os permutadores e para o seu conjunto. Para o caso apresentado podem-se escrever as equações seguintes relacionando as temperaturas de saída de cada permutador com as respectivas temperaturas de entrada:

1)( )

( )

−+=+−=

01011

01011

11

tTtrtTrT

εεεε

; 2) ( )

( )

−+=+−=

12222

12223

11

tTtrtTrT

εεεε

; 3) ( )

( )

−+=+−=

23133

23132

11

tTtrtTrT

εεεε

Para agrupar os permutadores 2 e 3 que se encontram em contra-corrente temos de eliminar as temperaturas intermédias T2 e t2 que se podem exprimir como:

( ) ( )r

trTrT32

123132 1

11εε

εεε−

−+−= e ( ) ( )

rtTrt

32

121322 1

11εε

εεε−

−+−=

Substituindo estes valores podemos exprimir as temperaturas de saída T3 e t3 em função das temperaturas de entrada T1 e t1 como:

( )( ) ( )( )r

rtrTrrT32

132321323 1

111εε

εεεεεε−

+−++−−=

( )( ) ( )( )r

tTrt32

132132323 1

111εε

εεεεεε−

−−++−+=

Estas equações podem ser comparadas com as que se obtêm considerando a associação dos permutadores 2 e 3 (indicado a tracejado) que tomam a forma:

( )( )

−+=+−=

1231232

1231233

11

tTtrtTrT

εεεε

A partir de qualquer dos factores pode-se verificar que a eficiência da associação de dois permutadores em contra-corrente ε23 é expresso em função dos valores para cada ε2 e ε3 por:

( )r

r

32

323223 1

1εεεεεεε

−+−+

=

Depois de identificar o permutador equivalente 23 podemos considerar a associação deste em equicorrente com o permutador 1 e expressar as temperaturas intermédias T1 e t1 em função das de entrada T0 e t0 permitindo escrever as temperaturas de saída em função destas:

( )( )( ) ( )( ) 023123102312313 111 trrTrrT +−+++−+−= εεεεεεεε

( )( ) ( )( )( ) 023123102312313 111 trTrt +−+−++−+= εεεεεεεε

t0

ε1 ε2

t1 t2

T0 T2

t3 ε3

T1 T3


15

Comparando estas equações com as que se obtêm definindo o conjunto dos três permutadores como um único:

( )( )

−+=+−=

012301232

012301233

11

tTtrtTrT

εεεε

pode-se definir a eficiência da associação de dois permutadores em equicorrente ε123 em função dos valores para cada ε1 e ε23 por:

( )r+−+= 1231231123 εεεεε

O resultado final desta análise é a obtenção da eficiência da associação dos permutadores em função da eficiência de cada. Note-se que não se introduz nenhuma restrição ao tipo de permutador considerado que pode ser qualquer. Convém no entanto chamar a atenção que este procedimento só é válido quando se definem as temperaturas de saída de todos os permutadores com um único valor, ou seja que esse fluído se encontra misturado. No caso de se considerar um fluído num permutador sem mistura que conduza a um valor da temperatura de saída não uniforme, só se pode utilizar a aproximação acima se o fluído for então misturado. No caso das saídas separadas serem ligadas a entradas de outro permutador também separadas (e com valores diferentes) a análise apresentada não é válida. De seguida apresenta-se uma análise generalizada para as situações mais frequentes e que são associações de permutadores em série (equicorrente ou contracorrente) e em paralelo ou série/paralelo.

Arranjo de permutadores em série Para a associação de permutadores em série é conveniente exprimir a relação entre a diferença de temperatura nas extremidades dos permutadores. Para o caso de permutadores em equicorrente interessa relacionar a diferença entre as temperaturas de saída com a diferença entre as temperaturas de entrada. Subtraindo as expressões para as temperaturas de entrada apresentadas anteriormente obtemos então:

( )( ) ( )eess tT*rtT −+−=− 11 ε

No caso do permutador em contracorrente interessa relacionar a diferença entre uma temperatura de entrada de um fluido com a temperatura de saída do outro fluido. Podemos então considerar uma das equações seguintes:

( ) ( )( ) ( )sees tT*rtT −−−=− εε 11 ou ( ) ( )( ) ( )esse tT*rtT −−−=− εε 11

Convém relembrar que as equações apresentadas são válidas para qualquer tipo de permutador, sendo apresentadas nas duas formas para se caracterizar o caso de associações de permutadores completamente em equicorrente ou em contracorrente. Para o caso equicorrente esquematizado acima podemos relacionar sucessivamente a diferença de temperatura na saída de uma unidade com a correspondente diferença na entrada permitindo obter sucessivamente:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )ee tT*rtT*rtT −+−=−+−=− 1111 100111 εε ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )ee tT*r*rtT*rtT −+−+−=−+−=− 111111 1211222 εεε

te=t0

Te=T0 Tn=Ts T1 T2 T3 = Tn-1

tn=ts t1 t2 t3 = tn-1


16

…

( )( ) ( ) ( )( ) ( )ee

n

iinnnnnss tT*rtT*rtTtT −+−=−+−=−=− ∏

=−−

111 1111 εε

Comparando a última expressão com a expressão correspondente para um permutador equivalente ao conjunto dos permutadores pode-se concluir que a eficiência global é dada por:

( )( )

( )r1

r111n

1ii

G +

+ε−−=ε

∏=

sendo no caso de permutadores iguais( )( )

( )r1r111 n

1G +

+ε−−=ε onde ε1 é a eficiência de cada

permutador. Para a associação de permutadores globalmente em contra-corrente a eficiência global (εG) pode ser obtida seguindo um procedimento semelhante com base na figura.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )se tTrtTrtT −−−=−−−=− *11*11 11001111 εεεε ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )se tTrrtTrtT −−−−−=−−−=− *11*11*11 1122112222 εεεεεε

…

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )se

n

iiinnnnnnes tTrtTrtTtT −−−=−−−=−=− ∏

=−− *11*11

111 εεεε

Comparando esta expressão com a expressão equivalente considerando o conjunto de

permutadores como um único pode-se concluir que a eficiência da associação é dada por:

ε−ε−

−

ε−ε−

−=ε ∏∏==

n

1i i

in

1i i

iG 1

r1r

1r1

1

ou

ε−ε−

−

ε−ε−

−=εn

1

1n

1

1G 1

r1r1

r11

no caso de n permutadores com eficiência ε1

Para o caso de r=1 as expressões anteriores conduzem a uma indeterminação que após ser eliminada conduz respectivamente a:

−

+

−

= ∑∑==

n

i i

in

i i

iG

11 11

1 εε

εεε

( ) 1

1

11 εεε−+

=nn

G

No caso de se considerar um número elevado de unidades (n>5) em série as eficiências globais tendem para os valores de um permutador global em equicorrente ou contracorrente, independentemente do tipo de permutador individual.

ts=t0

Te=T0 Tn=Ts T1 T 2 T 3 = T n-1

tn=te t1 t2 t3 = tn -1


17

Associação de permutadores em paralelo Enquanto nos casos anteriores em série a razão de capacidades caloríficas r mantinha-se constante para as unidades individuais e para o conjunto, no caso de se considerar permutadores em paralelo é necessário contabilizar a divisão de caudais pelas diversas unidades e assim determinar a razão de capacidades caloríficas r para cada uma das unidades. A temperatura média de saída tem de ser calculada como a média ponderada com as capacidades caloríficas de cada unidade. No caso de ambos os escoamentos se dividirem em paralelo e uniformemente a razão de capacidades caloríficas em cada unidade ri mantém-se constante e igual ao valor global r. O mesmo se passa em relação ao número de unidades de transferência no caso de se tratar de permutadores iguais, pois tanto a área como os caudais se dividem igualmente. Neste caso a eficiência do conjunto de permutadores é igual à eficiência dos permutadores individuais. Uma situação semelhante à associação em paralelo ocorre nos permutadores de placas que são constituidos por Nt placas de transferência de calor passando os fluidos que transferem calor nos Nt+1 canais. Não se trata propriamente de uma associação de permutadores pois nos (Nt-1) canais interiores cada fluído troca calor com dois canais vizinhos enquanto na associação de permutadores se consideram os permutadores separados. Nos dois canais formados entre as últimas placas de transferência de calor e as placas exteriores consideradas adiabáticas a área de transferência é reduzida para metade. O efeito das diferenças nos canais junto às extremidades afecta a distribuição de temperatura o que se traduz numa diminuição da capacidade de transferência de calor como ilustrado na figura seguinte a partir do factor F. Nt=1 Nt =2 Nt =3 Nt =4 No caso de se considerar apenas uma placa térmica obtêm-se o caso de um permutador contra-corrente. No caso de existirem duas placas térmicas, o fluído exterior divide-se e pode-se idealizar que o fluído no canal interior também está dividido, pelo que este caso corresponde apenas a duplicar a área de permuta para o mesmo caudal total ou dividir as correntes de forma uniforme por dois permutadores com comportamento idêntico. Cada metade funciona com metade da capacidade térmica e metade da área de permuta mantendo no entanto os parâmetros NTU e r. As extremidades não introduzem alterações na distribuição de temperatura pois dividindo o fluído interior obtemos uma situação simétrica. No caso do número de placas térmicas aumentar (Nt>3), considerando o caudal dos fluídos dividido de forma uniforme, o fluido que passa nos canais exteriores troca calor apenas numa das faces pelo que sofre uma variação de temperatura menor que afecta a distribuição de temperatura em todos os canais. Como se pode verificar pela figura este efeito é maior para um número impar de placas térmicas onde a assimetria na distribuição de temperatura é maior afectando ambas as correntes. Os efeitos dos extremos só desaparecem para um número elevado de placas térmicas. Para além do factor F, existem valores da eficiência de permutadores de placas calculados para diversos valores de placas térmicas.


18

Associação de permutadores mistos (série-paralelo) No caso de se considerar um arranjo misto com o escoamento de um dos fluidos em série e o do outro fluido em paralelo pode-se relacionar a eficiência do conjunto de permutadores com a eficiência e a razão de capacidades caloríficas de cada unidade. A derivação das equações correspondentes é efectuada com base no esquema representado abaixo, no qual a temperatura dos dois fluidos é identificada com índices representando a corrente paralela e em série, sem identificar qual tem a menor capacidade térmica.

A temperatura do fluido que passa em paralelo é obtida como uma média ponderada da temperatura de saída de cada unidade. A temperatura de saída do fluido circulando em série (TS

s) pode ser determinada em função da eficiência de cada permutador individual (εi), da razão de capacidades caloríficas (ri) e das temperaturas de entrada dos dois fluidos (TS

e, TPe),

dependendo de qual o fluído que tem a menor capacidade térmica, como indicado a seguir: Caso A) Em cada permutador o fluido em série tem maior capacidade térmica.

( ) P011

S011

S1 TrTr1T ε+ε−=

( ) ( )( ) ( )[ ] P0221122

S01122

P022

S122

S2

Trrr1Tr1r1TrTr1T ε+εε−+ε−ε−=ε+ε−=

•••

( ) P1n

1i

1n

1ijjjiinn

S0

n

1iii

Sn

Ss

0T)r1(rrTr1TT

∑ ∏ ε−ε+ε+∏ ε−==−

=

−

+==

Caso B) Em cada permutador o fluido em série tem menor capacidade térmica.

( ) P01

S01

S1

TT1T ε+ε−= ( ) ( )( ) ( )[ ] P0212

S012

P02

S12

S2

T1T11TT1T ε+εε−+ε−ε−=ε+ε−=

( ) ( )( ) ( )[ ] P0212

S012

P02

S12

S2

T1T11TT1T ε+εε−+ε−ε−=ε+ε−=

•••

( ) P1n

1i

1n

1ijjin

S0

n

1ii

Sn

Ss

0T)1(T1TT

∑ ∏ ε−ε+ε+∏ ε−==−

=

−

+==

Para a associação de permutadores pode-se também definir a temperatura de saída do fluido em série dependendo deste ser o de menor ou maior capacidade térmica. Caso 1) Na associação de permutadores o fluido em série tem maior capacidade térmica ( ) P

GGS

GGSs

00TrTr1T ε+ε−=

Caso 2) Na associação de permutadores o fluido em série tem menor capacidade térmica ( ) P

GS

GSs

00TT1T ε+ε−=

No caso 1 em que o fluido em série tem a maior capacidade térmica garante-se que em cada permutador continua também a ser o fluído em série com a maior capacidade térmica,

TS1

∑=

=n

i

Pii

Ps TCCT

1*/ &&

TSe=TS

0

TP3 TP

n TP2

TS2

TP1

TS3= TS

n-1 TSn=TS

s

TPe=TP

0

ε1 ε2 ε3 εn


19

conduzindo ao caso 1A. No caso 1 o fluído em paralelo que tem a menor capacidade térmica, quando dividido não pode ter maior capacidade térmica que o fluído em série pelo que o caso 1B não é possível. Para o caso 1A comparando as expressões obtém-se:

( ) ( )∏=

−=−n

iiiGG rr

1

11 εε

No caso de permutadores idênticos com caudais iguais:

( )[ ] Gn

iiG rr /11 εε −−= com ( )nrr Gi =

No caso 2 em que o fluído em paralelo tem maior capacidade térmica quando dividido pode ter maior ou menor capacidade térmica que o fluído em série. Assim podem ocorrer os casos 2A e 2B. No caso de em todas as unidades ser o fluido em série o de menor capacidade térmica obtém-se a combinação 2-B, sendo para este caso:

( ) ( )∏=

−=−n

iiG

1

11 εε

No caso de permutadores idênticos com caudais iguais: ( )niG εε −−= 11 com Gi nrr = que implica que rG <1/n

Quando o caudal em série globalmente tem menor capacidade térmica, mas em todas as unidades tem maior capacidade térmica que o caudal em paralelo, obtém-se a combinação 2-A, sendo para este caso:

( ) ( )∏=

−=−n

iiiG r

1

11 εε

No caso de permutadores idênticos com caudais iguais: ( )niiG rεε −−= 11 com ( )Gi nrr /1= válido para ( )nrG 1>

As tabelas seguintes apresentam um resumo destes casos. Associação dos permutadores Permutadores individuais

( )pcm& Série mínimo B Impossível 1 ( )pcm& Série máximo

( )( )

Sériep

ParalelopG cm

cmr

&

&= ( )pcm& Série máximo A ri=rG/n

( )pcm& Série mínimo B ri=rG*n 2 ( )pcm& Série mínimo

( )( )

Paralelop

SériepG cm

cmr

&

&= ( )pcm& Série máximo A ri= 1/(rG*n)

1A

( ) ( )∏=

−=−n

iiiGG rr

1

11 εε ( )[ ] G

nGiG r/nrεε −−= 11 ( )nrr Gi =

2B ( ) ( )∏

=

−=−n

iiG

1

11 εε ( )niG εε −−= 11 nrr Gi =

rG <1/n 2A

( ) ( )∏=

−=−n

iiiG r

1

11 εε ( )nGiG nr/11 εε −−=

( )nrr Gi ⋅=1 rG >1/n


20

Permutador com fluído de transporte de calor intermédio O permutador com fluido intermédio é um caso particular da associação de permutadores para as quais se podem desenvolver expressões para a sua eficiência. Na realidade esta situação consiste num conjunto de pelo menos dois permutadores em que se pretende efectuar a transferência de calor entre dois fluídos frio (f) e quente (q) utilizando um fluído intermédio (i). Na figura seguinte ilustra-se esta situação em que existem dois permutadores onde se promove a transferência de calor entre o fluido intermédio e respectivamente o fluido quente e o frio. Para o caso dos fluidos frio e quente identificam-se as temperaturas de entrada e saída, enquanto para o caso do fluido intermédio identificam-se as temperaturas intermédias quente e fria. O objectivo de derivar uma eficiência equivalente do sistema é o de permitir caracterizar o sistema como um único permutador como representado na figura. A eficiência de cada um dos permutadores quente e frio dependem da capacidade térmica do fluido quente ou frio e do fluido intermédio, pelo que a eficiência global irá igualmente depender desses parâmetros. Tendo em consideração que a eficiência das associações de permutadores dependem da razão entre as capacidades caloríficas dos fluidos é fácil reconhecer que se podem distinguir seis casos dependendo do valor relativo das capacidades caloríficas. Designam-se aqui as capacidades caloríficas pelo símbolo ( )

kpk cmC &= .

De seguida apresenta-se a análise para o caso em que Ci<Cf<Cq sendo a derivação para os restantes casos semelhante. Para o caso considerado pode-se expressar as duas temperaturas extremas do fluido intermédio por:

( ) iqffefif TTT εε −+= 1

( ) ifqqeqiq TTT εε −+= 1

formando um sistema de duas equações que pode ser resolvido permitindo obter: ( )

qfqf

qeqffefif

TTT

εεεεεεε

−+−+

=1

( )qfqf

fefqqeqiq

TTT

εεεεεεε

−+−+

=1

Com base nestas temperaturas intermédias pode-se expressar a temperatura de saída de um dos fluidos (quente ou frio) em função das respectivas temperaturas de entrada. Neste caso para o fluido frio pode-se escrever:

qeqfqf

fiqffe

qfqf

fiqf

f

ifiq

f

iffe

f

iffs T

CCT

CCCCT

CCT

CCT

εεεεεε

εεεεεε

εεε−+

+

−+

−+−=+

−=

)1(11

2

Esta expressão quando comparada com a expressão para o permutador equivalente:

Tqs

Tfs Tqe Tiq

Tif Tfe εq

Cq CI AUq

εf Cf CI AUf

Tqs

Tqe Tfs

Tfe εG

Cq,Cf, CI

AUq, AUf


21

( ) qeGfeGfs TTT εε +−= 1

permite facilmente identificar a eficiência global dos dois permutadores como: 1

111−

−+=

fqf

iG C

Cεε

ε válida para o caso Ci< Cf< Cq

Para os restantes casos possíveis apresentam-se apenas os resultados finais da análise: 1

111−

−+=

fqq

iG C

Cεε

ε válida para o caso Ci< Cq< Cf

11

−

−+=

i

f

q

qf

fG C

CCCεε

ε válida para o caso Cf< Cq< Ci

11

−

−+=

i

q

f

fq

qG C

CCCεε

ε válida para o caso Cq< Cf< Ci

1

111−

−+=

fi

q

qG C

Cεε

ε válida para o caso Cq< Ci< Cf

1

111−

−+=

qi

f

fG C

Cεε

ε válida para o caso Cf< Ci< Cq

As expressões anteriores obviamente apresentam alguma semelhança em grupos de dois casos cada. Notar que todas as equações apresentadas são independentes do arranjo do escoamento para cada um dos permutadores, sendo de favorecer o caso em que se aproxima mais de contracorrente. A temperatura de funcionamento do fluido intermédio pode ser calculada das expressões indicadas anteriormente. No caso extremo em que a capacidade térmica do fluído intermédio é muito pequeno a temperatura deste atinge os valores de entrada dos fluídos quente e frio, se os permutadores forem de contracorrente, e a transferência de calor é limitada pela capacidade de transporte de calor do fluído intermédio. No caso oposto em que a capacidade térmica do fluído intermédio é muito elevada a temperatura deste é aproximadamente constante no circuito. No caso da capacidade térmica do fluido quente e frio serem iguais identificam-se apenas os dois casos seguintes:

1

111−

−+=

qffqG C

Ciεε

ε para Cfq>Ci e 1

i

fq

qfG C

C11−

−

ε+

ε=ε para Cfq<Ci

Neste caso particular, que se verifica em unidades associadas a turbinas a gás, recomenda-se que os parâmetros globais do permutador se encontrem dentro de alguns limites de modo a obter uma boa eficiência global:

( )( ) 275.0 <<

q

f

AUAU

e 2.195.0min

<<CCi


22

Permutador com matriz sólida intermédia Este tipo de permutador é utilizado para regeneradores, sendo o seu funcionamento caracterizado pelo facto de se transferir calor do fluído quente para uma matriz sólida que posteriormente transfere o calor para o fluído frio. O funcionamento pode ser contínuo, caso em que a matriz sólida se encontra em movimento, normalmente formando uma roda que entra em contacto com ambos os fluídos podendo ser de escoamento a) axial ou b) radial. Os regeneradores podem também ter um funcionamento períodico fazendo passar o fluído quente e frio alternadamente através da matriz sólida durante um certo período de tempo. As principais vantagens deste tipo de permutador em relação aos de escoamento permanente verificam-se por a matriz de transferência de calor poder ser muito mais compacta e ser normalmente muito mais barata por unidade de área de permuta. Como principal desvantagem pode-se indicar o facto de nos regeneradores rotativos ser díficil a vedação entre as passagens dos dois caudais existindo normalmente mistura de caudal de um dos lados para o outro. Esta fuga de caudal de um dos lados para o outro é maior no caso de existirem maiores diferenças de pressão entre os dois lados e aumenta com a velocidade de rotação da matriz. a) b) c) A rotação da matriz de transferência de calor ‘transporta’ a energia do fluido quente para o fluido frio sendo esta uma situação semelhante à dos permutadores com fluido intermédio. O permutador de escoamento períodico utilizado nos regeneradores pode assim ser interpretado como um caso de utilização de um ‘fluido’ intermédio de transporte em que a sua capacidade térmica é dada pelo produto da massa (M) pela frequência (f) e pelo calor específico do sólido da matriz (cm) conduzindo a:

mm fMcC =

Para o caso de regeneradores de funcionamento alternativo como indicado na figura c) a massa M representa a massa total dos dois lados e a velocidade angular é substituída pela frequência de operação de um ciclo completo. A distribuição da temperatura dos fluídos depende das capacidades caloríficas destes e da matriz mas podem-se analisar de uma forma simplificada casos limites que são ilustrados de seguida que permitem revelar a influência principal das condições de operação. Esta análise vai ser apresentada para o caso de um permutador funcionando com r=1 (Capacidades caloríficas das correntes quente e fria iguais). A figura seguinte ilustra a variação de temperatura da matriz sólida e dos fluídos quente e frio à saída da matriz para um caso geral. No caso r=1 a temperatura média da matriz sólida é igual à média entre as temperaturas de entrada de ambas as correntes quente e fria. A temperatura de saída dos fluídos varia ao longo do período de rotação, trocando mais calor quando entra em contacto com a matriz sólida, diminuindo depois quando a temperatura do sólido se aproxima da temperatura do fluído.

Fluído quente

Fluído frio


23

T

Aquecimento Arrefecimento

2feqe TT +

Tqs

TfsTfe

TqeT

Aquecimento Arrefecimento

2feqe TT +

Tqs

TfsTfe

Tqe

A transferência de calor entre o fluído e a matriz sólida pode ser caracterizada pelo produto da área de sólido em contacto com um fluído pelo coeficiente de convecção (Ah)f. A capacidade de transferência de calor dividida pela capacidade térmica do fluído pode ser definido como um número de unidades de transferência para um dos fluídos. Este parâmetro é denominado por comprimento reduzido e é definido como:

( )( )

fp

ff cm

Ah&

=Λ

Onde o índice f diz respeito a um dos fluídos (quente ou frio considerados aqui iguais). Outro parâmetro que se pode definir é o período reduzido como:

( )

−=Π

VLP

McAh

fm

ff

Este valor adimensional é equivalente a um número de unidades de transferência para a matriz sólida onde a capacidade térmica da matriz é expressa com o período de contacto da matriz com o fluído f, sendo descontado o tempo em que o fluído f empurra o outro fluído (razão entre o comprimento que o fluído tem de atravessar e a sua velocidade). A eficiência de permuta de calor para cada um dos fluídos pode ser definida como:

feqe

fefsf TT

TT−−

=ε e feqe

qsqeq TT

TT−−

=ε

Esta eficiência pode ser expressa em função do comprimento e período reduzidos a partir da figura seguinte:

Nos casos limite em que o período reduzido tende para zero ou infinito pode-se aproximar os resultados indicados neste gráfico, tendo em conta a distribuição de temperatura para estes casos que estão ilustrados na figura seguinte.


24

T

2feqe

m

TTT

+=

Tqs

TfsTfe

Tqe T

Tfe~Tfs

Tqe~Tqs

mT

Tm

Tm

T

2feqe

m

TTT

+=

Tqs

TfsTfe

TqeT

2feqe

m

TTT

+=

Tqs

TfsTfe

Tqe T

Tfe~Tfs

Tqe~Tqs

mT

Tm

Tm

T

Tfe~Tfs

Tqe~Tqs

mT

Tm

Tm

Para o primeiro caso em que o período é muito reduzido o que pode resultar de uma elevada velocidade de rotação ou de uma matriz sólida com elevada capacidade térmica a temperatura da matriz sólida permanece aproximadamente constante ao longo de todo o período. Neste caso a partir do balanço de energia do lado frio por exemplo pode-se obter:

( ) ( ) ( ) ( )fefsfpfmf TTcmTTAhQ −=−= &&

Considerando como aproximação a média aritmética entre o valor de entrada e saída para a temperatura média do fluído e como temperatura média da matriz a média entre as temperaturas de entrada do fluído quente e frio pode-se obter (exercício):

Λ+Λ

=→Π 20,fε

Esta é a eficiência máxima que se pode obter num regenerador e por isso é também denominada de eficiência ideal. Para o caso em que o período tende para o valor infinito que ocorre quando o período é muito longo ou porque a capacidade térmica da matriz sólida é muito pequena, a temperatura do sólido atinge facilmente as temperaturas de entrada de ambos os fluídos e quando entram em contacto com o outro fluído a temperatura do sólido evolui para o outro valor de entrada. Deste modo o fluído troca uma quantidade de calor que é limitada pela energia transportada pela matriz sólida. Podemos exprimir a taxa de transferência de calor como:

( ) ( )( ) ( ) ( )fefsfp

f

feqemp TTcmV/LP

TTMcQ −=

−

−= &&

A partir desta igualdade pode-se concluir que a eficiência no caso limite considerado é:

ΠΛ

=∞→Π,fε

e assim obtêm-se dois comportamentos assintóticos que servem para calcular a eficiência dos regeneradores para o caso em que r=1. Para valores do parâmetro (2+Λ)/∏ entre 0,75 e 2 deve-se utilizar a figura indicada. Os mesmos resultados são apresentados no anexo para r=1 e para outros valores deste parâmetro. No anexo em vez de se usar os parâmetros Λ e ∏, utiliza-se a razão entre capacidades caloríficas dos dois fluídos, um parâmetro adicional que é a razão entre a capacidade térmica da matriz e da capacidade do fluído mínima e do número de unidades de transferência definido com a capacidade de transferência de calor:

( ) 111 −+= ffqq hAhAAU

Os coeficientes de convecção indicados na expressão anterior referem-se à transferência de calor entre o fluido e a matriz sólida. Deve-se notar que no caso de ambos os fluídos terem áreas de transferência e coeficientes de convecção iguais AU=Ajhj/2. No caso de Cr/CMax>2 e Cmin/CMax>0.7 pode-se usar a seguinte aproximação: ( )( )[ ]2911 MaxrcorrenteContra CC−= −εε


25

Integração de processos Neste tópico pretende-se analisar uma metodologia para fazer a integração entre processos quando em algumas correntes existe a necessidade de retirar calor e noutras correntes a necessidade de fornecer calor. Claramente neste tipo de situação podem existir possibilidades de integração de modo a utilizar de uma forma útil calor que seria necessário dissipar de alguma corrente. A metodologia que se vai apresentar é a análise do ponto crítico (em Inglês pitch point) que permite identificar quais os permutadores a considerar para fazer o máximo aproveitamento de calor de uma corrente para outra e assim minimizar a necessidade de fornecer ou retirar calor por meios exteriores. A análise da distribuição da temperatura entre o fluído quente e frio pode também ser usado para dimensionar e analisar caldeiras em que os produtos de combustão fornecem calor a vários circuitos do ciclo térmico que funcionam a várias temperaturas e pressões. O método é apresentado considerando dois exemplos, sendo o primeiro muito simples para apresentar os parâmetros de análise. O segundo método apesar de um pouco mais complexo pode ainda ser analisado de uma forma manual, enquanto para casos mais complexos se devem utilizar programas computacionais. No primeiro exemplo considera-se então o problema da existência de duas correntes cujas capacidades caloríficas e temperaturas de entrada e saída são indicadas na tabela seguinte.

pcm& [W/K] Te [ºC] Ts [ºC] Q& [kW] 400 200 40 - 64 300 60 250 + 57

No caso de não existir nenhuma integração seria necessário remover 64 kW da primeira corrente e fornecer 57 kW à segunda. Como sabemos o fluído de menor capacidade calorífica tem uma maior variação de temperatura num permutador pelo que a segunda corrente se passar num permutador ideal poderia atingir a temperatura de entrada do primeiro fluído. Podemos identificar o permutador P graficamente entre as duas correntes (1 e 2), permitindo trocar calor de modo a atingir as temperaturas identificadas. Para cada uma das correntes no entanto iremos necessitar de mais uma fonte de calor ou caldeira C e uma fonte de frio F que pode ser um dissipador de calor para o ambiente. Com a implementação do permutador indicado a necessidade de fornecer calor reduz-se para 15 kW (=0,4x(250-200)) e de frio reduz-se para 22 kW (=0,3x(95-40)). a) Permutador ideal b) Permutador real Como na realidade não se pode construir um permutador ideal (contra-corrente com área infinita) considera-se que existe uma diferença mínima de temperatura entre a saída do fluído de menor capacidade térmica e a temperatura de entrada do fluído com maior capacidade térmica. Quanto menor for esse valor maiores terão de ser os permutadores conduzindo a um

1

F

2 CP

200ºC

200ºC 250ºC

95ºC

40ºC

60ºC

1

F

2 CP

200ºC

190ºC 250ºC

102,5ºC

40ºC

60ºC


26

maior custo inicial mas a um menor custo de operação (menores necessidades de calor e frio). O valor da diferença de temperatura deve no entanto ter em conta o tipo de permutador considerado pois para o caso de permutadores de placas é possível atingir valores de diferenças de temperatura da ordem de um grau centígrado enquanto para um permutador gás- líquido um valor da ordem das dezenas de graus é mais realista. A diferença de temperatura tem a ver com a ineficiência (1-ε) do permutador que como já vimos depende da sua configuração e das suas condições de operação. No exemplo anterior considerando uma diferença de 10ºC, podemos indicar as temperaturas esperadas à saída do permutador e concluir que nesse caso as necessidades de calor e frio são respectivamente de 18 kW e 25 kW. O exemplo apresentado com apenas duas correntes e um permutador pode ser analisada pelo esquema acima mas pode também ser analisado a partir de um gráfico em que se indique a temperatura em função do calor a trocar. Para elaborar esse gráfico vamos definir a entalpia do escoamento de um fluído como o produto da capacidade calorífica pela temperatura em relação a uma referência que podemos tomar como sendo 0ºC:

( )fp TTcmH Re−= & Assim podemos definir os valores para a entalpia das correntes fria e quente e representar a temperatura em função deste valor de forma gráfica como indicado. Para analisar a integração da troca de calor desloca-se a linha correspondente à corrente fria de modo a ficar por baixo da linha correspondente à corrente quente, com uma diferença de 10ºC no ponto crítico que neste caso é considerado entre a temperatura de entrada do fluído quente (200ºC) e a temperatura de saída do fluído frio (190ºC) do permutador. Estes pontos têm o valor de entalpia de 80 kW (entalpia do quente). Deve-se notar que a entalpia é referida com base numa referência arbitrária e por isso podem-se deslocar as linhas horizontalmente desde que se mantenha a sua inclinação. Na figura pode-se então identificar a zona onde o permutador de calor vai permitir a troca de calor entre as correntes e as zonas onde é necessário fornecer e remover calor por outros meios. A aplicação para duas correntes serve de exemplo que é expandido no caso seguinte considerando seis correntes, três quentes e três frias ou seja que precisam respectivamente de arrefecer e aquecer conforme indicado na tabela seguinte:

Corrente pcm& [W/K] Te [ºC] Ts [ºC] Q& [kW] Quente 1 300 250 20 - 69 Quente 2 2000 80 40 - 80 Quente 3 700 160 30 - 91

Fria 1 1250 100 200 +125 Fria 2 800 60 150 + 72 Fria 3 500 40 120 + 40

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120H (kW)

T (ºC

)

Corr. Quente

Corr. Fria

Corr. Fria DeslDiferença de 10ºC

Permutador CalorFrio

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120H (kW)

T (ºC

)

Corr. Quente

Corr. Fria

Corr. Fria DeslDiferença de 10ºC

Permutador CalorFrio


27

A análise da integração dos vários processos é efectuada pelo método gráfico indicado antes em que se representa a temperatura em função da entalpia das correntes. A figura seguinte representa as curvas referentes às correntes quentes e frias. Deve-se fazer notar que todas as linhas são rectas como resultado do calor específico constante mas podiam ser de diferentes formas. A partir da figura acima pode-se observar que existem vários intervalos de temperatura nos quais é necessário fornecer ou retirar calor de permutadores pelo que existem diversas possibilidades de aplicar permutadores entre as várias correntes. Para se comparar as necessidades de aquecimento e arrefecimento para as várias temperaturas cria-se a curva composta para o aquecimento e para o arrefecimento. Estas curvas são obtidas calculando para cada intervalo de temperatura o somatório das capacidades caloríficas das correntes que estão a ser aquecidas e arrefecidas e definindo a variação de entalpia total. Como a entalpia é uma grandeza relativa a uma referência arbitrária, considera-se esta apenas para fixar o primeiro valor e os seguintes são sempre calculados com base na variação de entalpia. Nas tabelas seguintes apresentam-se os intervalos de temperatura para o aquecimento e para o arrefecimento. As tabelas contêm para além do intervalo de temperatura quais as correntes, a soma das capacidades caloríficas e as entalpias iniciais e finais para esses intervalos.

Gama de temperatura (ºC)

Correntes presentes

∑ pcm& [W/K] Hi [kW] Hf [kW]

20-30 Q1 300 6 9 30-40 Q1+Q3 1000 9 19 40-80 Q1+Q2+Q3 3000 19 139 80-160 Q1+Q3 1000 139 219 160-250 Q1 300 219 246

Gama de temperatura (ºC)

Correntes presentes

∑ pcm& [W/K] Hi [kW] Hf [kW]

40-60 F3 500 20 30 60-100 F2+F3 1300 30 82 100-120 F1+F2+F3 2550 82 133 120-150 F1+F2 2050 133 194,5 150-200 F2 1250 194,5 257

Deve-se chamar a atenção novamente que apenas o primeiro valor de H é calculado com base na referência dos 0ºC, sendo todos os outros valores calculados da variação de entalpia das correntes no intervalo de temperatura. A partir das tabelas anteriores pode-se construir as curvas compostas do aquecimento e do arrefecimento, sendo cada uma neste caso constituída por cinco segmentos de recta. Estas curvas encontram-se representadas no gráfico seguinte onde se encontra também a curva fria deslocada. A partir da figura pode-se identificar a temperatura das correntes quentes a 80ºC como o ponto crítico e assim a corrente fria deverá passar pelos 70ºC para o mesmo valor de H que é de 139 kW (ver tabelas anteriores).

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250 300H (kW)

T (º

C)

Q1 Q2 Q3

F1 F2 F3


28

0

50

100

150

200

250

300

0 100 200 300 400

H(kW)

T(ºC

)

Corr. QuenteCorr. Fria

Corr. Fria Desl

Diferença de 10ºC

Permutadores CalorFrio0

50

100

150

200

250

300

0 100 200 300 400

H(kW)

T(ºC

)

Corr. QuenteCorr. Fria

Corr. Fria Desl

Diferença de 10ºC

Permutadores CalorFrio

O ponto crítico também poderia ter sido identificado na curva do fluído frio e nesse caso identificava-se o ponto na curva quente correspondente. Para o caso acima como o ponto crítico nas correntes frias fica entre os 60 e 100ºC pode-se calcular o valor de H para os 60ºC a partir de: (139-HF60ºC)52= (70-60)/(100-60) de onde se pode obter HF60ºC=126 kW e posso assim verificar que o deslocamento a dar na curva fria é de 96 kW. A zona de sobreposição das curvas permite identificar que para este caso o máximo calor que se pode trocar entre as duas correntes (com a imposição de ∆Tmin=10ºC) é de 130 kW (246-116). Na zona fria o calor que é preciso remover é de (116-6) 110 kW e na zona quente é necessário fornecer (353-246) 107 kW. O ponto crítico representa uma divisão entre duas zonas em que não deve ocorrer transferência de calor através dessa posição. Acima do ponto crítico, não se devem utilizar mecanismos exteriores de remoção de calor e abaixo do ponto crítico não se deve nunca fornecer calor, caso contrário qualquer contribuição numa das zonas teria de ser compensada na outra zona. Apesar da análise acima identificar quais as correntes em que se devem instalar permutadores, não permite identificar como os instalar. Considerando que não se deve efectuar transferência de calor através do ponto crítico, pode-se especificar os permutadores partindo do ponto crítico nos dois sentidos (zona quente e zona fria). Como as curvas se afastam uma da outra a partir do ponto crítico nos dois sentidos, pode-se concluir que para a zona fria a capacidade calorífica do fluído quente é superior à fria ( ) ( )

fpqp cmcm && ⟩ e que na zona quente se verifica o contrário ( ) ( )fpqp cmcm && ⟨ .

Como as condições anteriores podem não se verificar para nenhum par de correntes dos lados frio e quente, consideram-se então que os caudais têm de ser divididos ou juntos de forma a verificar aquelas condições. A junção de caudais só é desejável se se tratar do mesmo tipo de fluído enquanto a divisão é sempre possível. Para analisar a escolha dos permutadores a representação das correntes em linhas ortogonais como efectuado antes é complexa pois não permite analisar as temperaturas, pelo que se adopta uma outra representação gráfica em que as correntes quentes e frias se encontram agrupadas e deslocam-se em sentidos opostos. A figura seguinte apresenta o esquema para a situação considerada anteriormente onde se identifica também as temperaturas referentes às entradas do fluído quente e a temperatura de saída do frio e a linha correspondente ao ponto crítico.


29

Partindo do ponto crítico podemos observar que do lado frio as três correntes quentes podem fornecer calor (todos os fluídos têm temperatura igual ou superior a 80ºC) e duas correntes frias (2 e 3) podem receber calor. Analisando os valores relativos da capacidade calorífica pode-se concluir que neste caso apenas podemos considerar os pares Q2-F2 e Q3-F3. Se tal não fosse possível teria de se dividir eventualmente a corrente das correntes frias de modo a serem inferiores às das correntes quentes. No lado quente pode-se observar que pelo critério das capacidades caloríficas podem-se ligar os pares Q3-F2 e Q1-F3 ( ( ) ( )

fpqp cmcm && ⟨ ).

F1

F2

40ºC

F3

70ºC

250ºC

Q3

Q1

Q2

80ºC

100ºC

160ºC

80ºC

60ºC

30ºC

40ºC

20ºC

]/[ KWcm p&

300

200ºC

150ºC

120ºC

2000

700

1250

800

500

1

1

2

2

3

3

4

4

70

58,6

70

76

80

80

815 56 25

120

140

163,3F

F

F

5

5

8

6

6

18

CF1

F2

40ºC

F3

70ºC

250ºC

Q3

Q1

Q2

80ºC

100ºC

160ºC

80ºC

60ºC

30ºC

40ºC

20ºC

]/[ KWcm p&

300

200ºC

150ºC

120ºC

2000

700

1250

800

500

1

1

2

2

3

3

4

4

70

58,6

70

76

80

80

815 56 25

120

140

163,3F

F

F

5

5

8

6

6

18

C

Depois de se considerarem os permutadores perto do ponto crítico, podem-se calcular as temperaturas de entrada e saída dos fluídos de cada permutador por balanço energético e a potência destes. Por exemplo no permutador 2 entre Q3-F3 assumo que a corrente fria de menor capacidade atinge a temperatura crítica que é de 70ºC e assim o permutador transfere 0,5*(70-40)=15 kW e o fluído quente atinge 58,6ºC. Procedendo de forma idêntica posso calcular as potências e as temperaturas para os outros permutadores (valores indicados sem unidades). Na zona fria não disponho de mais capacidade de arrefecimento e por isso é necessário considerar meios de remover calor de todas as correntes quentes pois nenhuma destas atinge a temperatura mínima que se pretende em cada caso. Na zona quente a potência máxima disponível das correntes Q3 e Q1 são respectivamente 56 e 51 kW mas nas correntes frias F2 e F3 necessito de aquecer respectivamente 64 e 25 kW pelo que as potências dos permutadores correspondem aos valores mínimos ou seja 56 e 25 kW respectivamente. Assim enquanto o fluído quente Q3 arrefece desde a temperatura de entrada até 80ºC para o fluído quente Q1 basta-me que a temperatura de entrada no permutador 4 seja de 163,3ºC. Depois da especificação dos permutadores junto ao ponto crítico posso verificar que tenho possibilidade de extrair calor (26kW) da corrente Q1 que pode ser fornecido às correntes F1 (8kW) e F2 (125kW). Pode-se optar por instalar um permutador entre Q1 e F1 com 8 kW sobrando 18 kW para a corrente F2 e nesse caso instalo apenas uma instalação de aquecimento exterior para esta última corrente ou então pode-se instalar um permutador com 26 kW entre Q1 e F2 e nesse caso instalava aquecimento exterior para as correntes F1 e F2. Na figura ilustra-se a primeira hipótese, mas como se viu existem outras alternativas. Neste caso no entanto perto do ponto crítico não existiam alternativas mas num caso geral existem e a solução de integração de processos é realizada por programas computacionais.

Permutadores de Calor - Técnico Lisboa - Autenticação de Permutadores de Calor – Equipamentos...

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