Parte I

Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm 1

Regras

Funcionamento da disciplinaAulas Teóricas em 2 blocos de 1,5 h cada (com resolução de problemas)Aulas Laboratoriais (Práticas) em blocos de 3h, sala 101 – edificio I

Bibliografia (também para Física II e III):Halliday, Resnick & Walker, Fundamentals of Physics (6th ed)Halliday, Resnick & Walker, Fundamentos de Física, vol.1, 2 (6ª ed)Guiões, Manual e Problemas (enunciados) disponíveis no arquivo de www.df.fct.unl.ptResoluções de alguns problemas e enunciados e resoluções de exames de anos anteriores em www.df.fct.unl.ptSite:

Física I

DFFísica6,51,503Física I(Informática)

SectorÁrea Cient.ECTSP (H)TP (H)T (H)Disciplina


Física, Avaliação

Meios de avaliação

• Relatórios de 5 trabalhos práticos, realizados nas aulas práticas, a que corresponderá uma nota, NL , dada pela média das notas de todos os relatórios (os relatórios não efectuados ficarão com nota igual a zero);

• Dois testes de avaliação a que corresponderá as notas NT1 e NT2 e a sua média aritmética NT.

1. T1 a 20Abr05

2. T2 a 1Jun05

• Exame de Recurso, a que corresponderá uma nota, NE.

• A Nota Final é NF


Regras de Avaliação

Critério de Frequência: NL ≥10 Nota: É reconhecida a frequência (i.e. NL - nota dos laboratórios positiva) obtida

em anos anteriores.

Critério de Aprovação:

Para os alunos que obtêm frequência em 2004/2005NL ≥10 e NT ≥8 (desde que NT1 e NT2 ≥6) e NF ≥10 com NF =0,5 NL+0,5 NT , ouNL ≥10 e NE ≥8 e NF ≥10 com NF =0,5 NL+0,5 NE ,

Para os alunos que obtiveram frequência de anos anterioresNL ≥10 e NT ≥10 (desde que NT1 e NT2 ≥6) e NF ≥10 com NF =NT ,ou NL ≥10 e NE ≥10 com NF =NE

Cálculo das Notas; a nota NL será dada em unidades da escala (1 a 20); as outras notas poderão ser dadas com aproximação às décimas ou centésimas; o arredondamento será feito apenas na nota final.


Programa

Conceitos Gerais: Grandezas, medidas, incertezas, dimensões e unidades. O espaço e o tempo. Referenciais. Os modelos da mecânica.Cinemática: Os conceitos de velocidade e aceleração. Determinação da velocidade e do vector posicional a partir da aceleração. Movimento relativo de translação uniforme, transformação de Galileu. Dinâmica da Partícula: Referenciais de inércia. Conservação do momento linear, do momento angular e da energia de uma partícula. Referenciais não inerciais. Interacção Gravitacional: Forças centrais. Leis de Kepler. Lei da gravitação universal. Campo gravítico. Energia potencial gravítica. A terra como referencial não inercial: efeito centrífugo e de Coriolis.Dinâmica de Sistemas de Partículas: Centro de massa e referencial do centro de massa. Conservação do momento linear, do momento angular e da energia. Colisões.Sistemas de massa variável. Introdução à Mecânica Estatística: Lei de distribuição de Maxwell Boltzman. Noções estatísticas de temperatura e de entropia.Dinâmica de Fluidos: Fluidos em repouso; leis de Pascal e Arquimedes. Fluidos em movimento; equações de continuidade e de Bernoulli.Movimentos Oscilatórios: Movimento oscilatório harmónico, amortecido e forçado (ressonância).


Física I

Coordenadora de Física I: Profª. Adelaide Pedro de Jesus, [email protected]

Teóricas: Prof. Carlos J. Dias, Gab 104-I, [email protected]

Secretaria do Departamento de Física I, sala 202, edificio I

Inscrições nos testes e exames obrigatória.

Site Física IA

www.df.fct.unl.pt

Informática: http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm

Inscrições manual nos turnos práticos: para todos aqueles que por algum motivo não se tenham inscrito. Quarta-feira, 2Mar05 á tarde 14H-16H, sala 101, edificio I.

Aulas práticas começam a 07Mar05

Na 1ª aula prática preencher a ficha de aluno. É necessário uma fotografia. Não é facultativo.


O que é uma Lei Física?Relação quantitativa entre grandezas físicas.

Por exemplo a relação entre a força e a aceleração.

Natureza da lei físicaA lei física é a melhor aproximação possível aos dados experimentais.Quando existem dados os quais não são correctamente descritos por uma lei física esta deve ser modificada de forma a incluir também os novos dados.Este método, chamado científico, depende da medição de grandezas físicas.

Em que consiste uma medição?Consiste na comparação de uma grandeza com uma unidade padrão.

Leis da Física

maF =


Compreende sete grandezas fundamentais:

Comprimento (metro [m])

Tempo (segundo [s])

Massa (quilo [kg])

Temperatura (kelvin [K])

Intensidade de corrente eléctrica (ampere [A])

Quantidade de matéria (mole [mol])

Intensidade luminosa (candela [cd])

(entre parênteses estão as unidades e respectivas abreviaturas utilizadas no sistema SI)

Todas as outras grandezas físicas são derivadas destas grandezas fundamentais

As grandezas a itálico são aquelas que serão abordadas nesta cadeira.

Sistema Internacional de Unidades

Termómetro de gás

Padrão da massa


Unidades e Padrões

Porque é que precisamos de unidades de medida?

Inicialmente, para fins sociais, pois facilitava a troca de bens. Hoje em dia, a forma de interagirmos com o mundo depende em larga medida da exactidão com que determinadas teorias explicam o mundo e predizem o seu comportamento futuro.

Definições das unidades fundamentais

O metro é o comprimento da trajectória percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792,458 de um segundo

Um segundo é o tempo gasto para que ocorram 9 192 631, 770 oscilações da luz (de um comprimento de onda específico) emitidas por um átomo de Césio-133

O padrão SI de massa é um cilindro de Platina/Iridio mantido na Agência Internacional de Pesos e Medidas.


Prefixos

Para expressar grandezas físicas muito grandes ou muito pequenas, empregam-se prefixos ás unidades. Estes prefixos encontram-se tabelados

Por exemplo um (milí)metro é 10-3m

TTera-1012

ffemto-10-15

ppico-10-12

nnano-10-9

µmicro-10-6

mMili-10-3

ccenti-10-2

kQuilo-103

MMega-106

GGiga-109

SimboloPrefixoFactor


Dimensões

As dimensões das grandezas derivadas podem ser expressas em função das dimensões das grandezas fundamentais.Por exemplo,

[ML2T-2]JEnergia

[ML-1T-2]N/m2Pressão

[MLT-2]NForça

[LT-1]m/sVelocidade

[T-1]HzFrequência

[M]kgMassa

[T]sTempo

[L]mComprimento

DimensõesUnidades SIGrandeza

ExemploA força de atracção gravitacional entre duas massas separadas da distância d é dada por,

Quais as dimensões da constante universal de gravitação G? E as suas unidades no sistema SI?

221

dMMGF =


Algarismos significativos

3 km é muito diferente de 3,00 km. Porquê?O número de algarismos significativos informa-nos sobre a incerteza que

existe relativamente ao resultado experimental.

Regras

Contagem. Começa-se pela esquerda e ignorando os zeros. Contam-se os números até áquele em relação ao qual temos dúvidas (mas incluindo-o). Se o primeiro algarismo do número for 5, ou maior, conta por dois.

Numa soma ou subtracção retém-se o valor até à casa decimal sobre a qual existem dúvidas

Num produto ou divisão o resultado deve ter um número de algarismos significativos igual ao menos preciso dos factores


Unidades e Medidas. Problemas

8P. Nos Estados Unidos uma casa de bonecas está na escala de 1:12 em relação a uma casa real (ou seja cada comprimento é 1/12 do correspondente numa casa real) enquanto que uma casa-miniatura é construída numa escala 1:144. Suponha que uma casa real (ver figura) possui uma largura de fachada de 20 m, uma profundidade de 12 m, uma altura de 6,0 m e um telhado tradicional de duas águas (faces triangulares verticais nas extremidades) com 3,0 m de altura. Em metros cúbicos, quais os volumes (a) da casa de boneca e (b) da casa-miniatura? (R: 1,042 m3; 6,03x10-4 m3)



13P. Cinco relógios estão sendo testados num laboratório. Exactamente ao meio-dia, determinado pelo sinal WWV, as leituras dos relógios em dias seguidos de uma semana são tabelados com se mostra a seguir. Classifique os relógios de acordo com o seu valor relativo como bons cronómetros, do melhor para o pior. Justifique a sua escolha. (R: C, D, A, B, E)



15P. Uma unidade astronómica (UA) é a distância média do Sol á Terra, aproximadamente 1,5x108 km. A velocidade da luz é aproximadamente 3,0x108 m/s. Expresse a velocidade da luz em termos das unidades astronómicas por minuto. (R: 0,12 UA/min)

19E. A Terra possui uma massa de 5,98x1024kg. A massa média dos átomos que compõem a Terra é de 40 uma (1 uma = 1/12 da massa de um átomo de carbono = 1,6605402x10-27 kg). Quantos átomos existem na Terra? (R: 9,0x1049 átomos)

21P. (a) Supondo que cada centímetro cúbico de água possui uma massa de exactamente 1g, determine a massa de um metro cúbico de água em quilogramas. (b) Suponha que demora 10,0h para esvaziar um recipiente com 5700 m3 de água. Qual a taxa de escoamento mássico da água em quilogramas por segundo? (R: 103kg; 158 kg/s)

Qual a velocidade em m/s de um carro cujo velocímetro indica 90 km/h? E em mph (i.e. milhas por hora; 1 mi=1,609 km)? (R: 25 m/s; 55,9 mph)


Cinemática a uma dimensão. Velocidade média

tx

ttxx

tempodeintervalotodeslocamenvmed ∆

∆=

−−

==12

12

Q: Quando é que a velocidade é negativa?

R: Quando, no intervalo de tempo ∆t considerado, o valor algébrico do deslocamento ∆x, fôr negativo.

NOTA: A velocidade NÃO DEPENDE da posição.

A velocidade média é,

x∆

t∆

x

t

Gráfico da posição de um corpo no eixo x em função do tempo

1t 2t

2x

1x

3t

Atenção que, físicamente, o corpo está sempresobre o eixo do x.


Velocidade Instantânea

dtdx

tx

ttxxv

tt=

∆∆

=−−

=→∆→∆ 01

10

limlim

A velocidade é pois a derivada da posição x(t) em ordem ao tempo.

É o declive da tangente da curva x(t) no ponto t=t1

A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende para zero.

x

t

Gráfico da posição de um corpo no eixo x em função do tempo

1t

1x


Aceleração a uma dimensão

tvamed ∆

∆=Aceleração média

Aceleração (instantânea)

Q: Quando é que a aceleração é negativa?

R: Quando há uma variação algébrica negativa (∆v) da velocidade, no intervalo de tempo considerado.

Q: O que é que se entende por desaceleração na linguagem corrente?

A aceleração representa a taxa de variação da velocidade no tempo.

A aceleração é pois a derivada da velocidade em ordem ao tempo.

dtdva =

v

t

t∆ v∆

Atenção que, físicamente, o corpo continua sempre sobre o eixo do x.

y

gtv

−=∆∆

Queda dos graves1t

medaa


Determinação da Aceleração e da Velocidade

Se tivermos

dtdxv =A velocidade é dada por,

( )txx =

2

2

dtxd

dtdva ==E a aceleração é dada por, A aceleração é a segunda

derivada da posição

Suponha que a posição de um carro obedece á seguinte equação:

Esquematize a posição num gráfico x(t).

Qual a velocidade e aceleração desse carro em função do tempo?

243 2 ++= ttx

A velocidade é a primeiraderivada da posição


Velocidade e Posição a partir da Aceleração

∫∫∫ =−⇒=

=⇒=

t

to

t

t

v

v ooo

dtavvdtadv

dtadvdtdva integrandoe

E o inverso? Sabemos a aceleração e queremos saber a velocidade?

∫+=t

to

o

dtavv

∫+=⇒=t

to

o

dtvxxdtdxv

Por analogia a posição do corpo pode ser determinada a partir da sua velocidade,

vo e xo são respectivamente a velocidade e a posição do corpo no instante t=t0. Chamam-se as condições iniciais do problema porque é frequente que t0=0.


Caso particular: quando a aceleração é constante

Se a=constante. Obtém-se para a velocidade,

( )( )oo

oo

t

to

ttavvttavv

dtavvo

−+=−=−

=− ∫

Sabendo-se a velocidade, a posição é dada por,

( )[ ]

( ) ( )2

2o

ooo

t

tooo

t

to

ttattvxx

dtttavxx

dtvxx

o

o

−+−+=

−++=

+=

∫

∫

Se t0=0,(i.e. Se t0 coincidir com o inicio da

contagem dos tempos)parábola;

2

recta;constante

2attvxx

atvva

oo

o

++=

+==

Aplicação à Queda dos gravesÉ costume, mas não obrigatório,orientarmos o eixo para cima. Assim,

2

2gttvyy

gtvvga

oo

o

−+=

−=−= y

gtv

−=∆∆


Áreas

O deslocamento x-xo é, por definição: ∫=−t

to

o

dtvxx

x-x0 é numéricamente igual á área delimitada pela curva da velocidade entre os instantes to e t.

v

0t t

∫=−t

to

o

dtvxx

Casos particulares:

a) Velocidade constante.

b) Velocidade aumentando ou diminuindo linearmente no tempo.


Movimento rectilíneo. Problemas

2.1 Você dirige uma pick-up mal-conservada numa estrada recta de 8,4 km a 70 km/h, quando a pick-up pára por falta de gasolina. Nos 30 min seguintes você caminha outros 2,0 km pela estrada até chegar a um posto de gasolina.(a) Qual o deslocamento total desde a saída com a pick-up até chegar ao posto? (b) Qual o intervalo de tempo desde o inicio da viagem até à chegada ao posto? (c) Qual a sua velocidade média entre o inicio e o fim da viagem? (d) Determine numericamente e graficamente. (e) Suponha que para colocar gasolina, pagar e voltar à pick-up leva 45 min. Qual a velocidade escalar média do inicio até ao instante em que chega de volta àpick-up?



20P. Um electrão que move-se ao longo dos eixo dos xx tem a sua posição dada por x=16 t e-t m, onde t está em segundos. A que distância da origem está o electrão quando ele pára momentaneamente? (R: 5,89 m/s)

24P. A cabeça de uma cascavel pode acelerar até 50 m/s2 ao golpear uma vítima. Se um carro pudesse ter essa aceleração, quanto tempo levaria para ele atingir uma velocidade de 100 km/h partindo do repouso? (0,56 s)

33P. Um carro circulando a 56,0 km/h está a 24,0 m de uma barreira quando o motorista pisa com força no travão. O carro bate na barreira 2,00 s depois. (a) Qual a desaceleração constante do carro antes do impacto? (b) Com que velocidade se desloca o carro quando se dá o impacto? (-3,56 m/s2; 8,44 m/s)

36P. No instante em que o sinal de trânsito fica verde, um automóvel parte com uma aceleração a de 2,2 m/s2. No mesmo instante um camião, circulando com velocidade constante de 9,5 m/s alcança e ultrapassa o carro. (a) A que distância do sinal é que o carro ultrapassará o camião? (b) Qual será a velocidade do carro nesse instante? (82 m; 19 m/s)



11E. (a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4 – 12t + 3t2 (onde t está em segundos e x em metros), qual a velocidade no instante t=1 s? (b) Nesse momento exacto ela desloca-se no sentido positivo ou no sentido negativo do eixo dos xx? (c) Qual o módulo da velocidade nesse instante? (d) O módulo é maior ou menor em instantes posteriores? (Tente responder as próximas perguntas sem efectuar cálculos) (e) Existe algum instante em que a velocidade se chegue a anular? (f) Existe um tempo após t=3 s no qual a partícula se desloque no sentido negativo do eixo dos xx? (R: -6 m/s; no sentido negativo; 6 m/s; primeiro é menor e depois é maior; sim (t=2); não)

16E. Uma avestruz assustada move-se em linha recta com uma velocidade descrita pelo gráfico velocidade-tempo da figura. Faça um esboço da aceleração versus tempo.


Movimento rectilíneo. Problemas.

42P. Um rapaz atira uma pedra para cima na direcção vertical com uma velocidade inicial de 12,0 m/s do telhado de um prédio, 30,0 m acima do chão. (a) Quanto tempo leva a pedra a chegar ao chão? (b) Qual a velocidade da pedra no instante do impacto? (3,99 s; 27,1 m/s)

51P. Uma bola de argila húmida cai 15,0 m até ao chão. Ela fica em contacto com o chão durante 20,0 ms antes de parar. Qual a aceleração média da bola até parar? (857 m/s2 para cima)

53P. Para testar a qualidade de uma bola de ténis você deixa-a cair de uma altura de 4,00 m. Ela pula de volta até uma altura de 2,00 m. Se a bola estiver em contacto com o piso durante cerca de 12,0 ms qual a aceleração média durante o contacto. (1,26x103m/s2 para cima)

55P. Está a pingar água de um dos furos de um chuveiro situado a 2,00 m de altura. Caem gotas a intervalos regulares com a primeira gota batendo no piso no instante em que a quarta gota começa a cair. Ache as posições em que se encontravam a segunda e a terceira gotas quando a primeira bateu no piso. (22cm e 89 cm)


Vectores. Problemas.

6E. Um vector de deslocamento rr no plano xy tem um comprimento igual a 15m e tem a orientação mostrada na Figura. Determine (a) a componente x e (b) a componente y do vector (R: 12.99; 7.5)

10E. (p.44) Um carro dirige-se para leste numa distância de 50 km, em seguida para norte ao longo de 30 km e depois numa direcção de 30º para o nordeste a partir do norte durante 25 km. Construa o diagrama vectorial e determine (a) módulo e (b) o ângulo de deslocamento total do carro desde o seu ponto de partida. (63.8 km; 54º) 18P (p.45) São dados dois vectores,

muua yx ˆ0,3ˆ0,4 −=r e muub yx ˆ0,8ˆ0,6 −=r

Quais são os módulos e os ângulos (relativos a xu ) (a,b) do vector ar? (c,d) do vector b

r (e,f) de ab rr

+ ? (g,h) de ab rr− ? (i,j) de ba

rr − ? (k) Qual o ângulo entre os vectores ba

rr − e ab rr− ?

(R: 5; 36,9º; 10; 53,1º; 14,9; 47,7º; 5,38; -68,2º; 5,38; 111,8º; 180º)

°= 30θ

rr


Vectores. Problemas.

31P. Use a definição de produto escalar barr ⋅ e o facto de que,

zzyyxx babababa ++=⋅rr

para calcular o ângulo entre os dois vectores dados por, muuua zyx ˆ0,3ˆ0,3ˆ0,3 ++=r e muuub zyx ˆ0,3ˆ0,1ˆ0,2 ++=

r

(R: 22,2 º) 33P. Mostre que a área do triângulo delimitado por ar e b

r e pelo segmento que

une as pontas destes vectores na Fig. 3.30 é igual a barr×2

1

φbr

ar


Equações do movimento uniformemente acelerado

constante=a recta;atvv o += parábola;2

2attvxx oo ++=

Integração

Derivação


Equações do Movimento Uniformemente Acelerado

constante=a recta;atvv o += parábola;2

2attvxx oo ++=

Integração

Derivação


Cinemática, Movimento a 2D e 3D.

O vector aceleração é a derivada do vector velocidade,

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) zzyyxx

zz

yy

xx

utautautata

udtdvu

dtdv

udtdvta

dttvdta

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

++=

=

r

r

rr

Se o movimento da partícula for a três dimensões,O vector posição em coordenadas cartesianas é,

( ) ( ) ( ) ( ) zyx utzutyutxtr ˆˆˆ ++=r

Verificamos que a relação entre a posição, a velocidade e a aceleração em cadaeixo é independente do que se passa nos outros dois eixos. i.e.,

dtdvae

dtdxv x

xx ==dtdv

aedtdyv y

yy ==dtdvae

dtdzv z

zz ==

O vector velocidade é a derivada do vector posição,

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) zzyyxx

zyx

utvutvutvtv

udtdzu

dtdyu

dtdxtv

dttrdtv

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

++=

=

r

r

rr


Aplicação ao Movimento de Projécteis.

A aceleração da gravidade é 9,8 m/s2 no sentido de cima para baixo.Se orientarmos o eixo dos y para cima será negativa.

1. Os movimentos em x e em y são independentes.

2. No eixo x o projéctil percorre distâncias iguais em tempos iguais, i.e. a velocidade éconstante

3. No eixo y o movimento é acelerado e portanto a velocidade varia,

y

x

govr

orr

yoxoo uyuxr ˆˆ +=r

CONDIÇÕES INICIAISO corpo no instante t=0 tem a velocidade inicial

e está na posição inicial

yoyxoxo uvuvv ˆˆ +=r

Integrando o movimento nas duas direcções do espaço x e y, entre os instantes 0 e t,

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) yoyoxoxo

yoyxox

yx

ugttvyutvxtr

ugtvuvtv

uguta

ˆ2

ˆ

ˆˆ

ˆˆ0

2

−+++=

−+=

−=

r

r

r


Um caso particular do lançamento de projécteis

( )0,R

ovr

θ

y

x

O objecto é projectado com uma velocidade vo com um ângulo de lançamento α e parteda origem dos espaços.

0=orr

O corpo no instante t=0 tem a velocidade inicial,

e está na posição inicial

yoxoo uvuvv ˆsinˆcos θθ +=r

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) yoxo

yoxo

yx

ugttvutvtr

ugtvuvtv

uguta

ˆ2

sinˆcos

ˆsinˆcos

ˆˆ0

2

−+=

−+=

−=

θθ

θθ

r

r

r

Questões:Mostre que o valor do alcance é

Posição finalg

( )g

vR o θ2sin2=

Integrando obtemos,


Trajectória do movimento

y

x

( )xyy =atrajectóriA trajectória é a curva descrita por ummóvel no espaço.Se o movimento se efectuar a duas dimensões, elimina-se o tempo das eqsx=x(t) e y=y(t) para obter uma função do tipo y=y(x),

O vector velocidade é tangente à trajectória. i.e.

( ) ( ) tutvtv ˆ=r

Onde ut é o vector unitário tangente á trajectória e v(t) o módulo da velocidade.

Mostre que a trajectória descrita por um projéctil é uma parábola.

rr∆

rryuy ˆ∆

xux ˆ∆

rr rr ∆+

( )trtv

t ∆∆

=→∆

rr

0lim

Quer dizer que o vector velocidade é colinear com que, por construção é tangente á trajectória (ver figura).

rr∆

Por definição


Movimento a duas e três dimensões

17E. Uma carabina é apontada na horizontal para um alvo distante 30 m. A bala acerta o alvo a 1,9 cm abaixo do ponto visado. Quais são (a) o tempo de voo da bala? (b) o módulo da sua velocidade ao sair da carabina? (R: 62 ms; 480 m/s)

18E. Uma bola rola horizontalmente para fora do tampo de uma mesa de altura 1,2 m. Ela toca o chão a uma distância de 1,52 m da extremidade da mesa medida na horizontal. (a) Quanto tempo fica a bola no ar? (b) Qual a velocidade escalar no instante em que ela sai da mesa? (0,495 s; 3,07 m/s)

22E. Nos Campeonatos Mundiais de Atletismo de Pista e de Campo de 1991 em Tóquio, Mike Powell saltou 8,95 m, batendo o recorde 23 anos do salto em distância estabelecido por Bob Beamon por 5 cm. Suponha que a velocidade de Powell ao sair do chão foi de 9,5 m/s (quase igual à de um velocista) e que g=9,80 m/s2 em Tóquio. De quanto é que o alcance horizontal de Powell era menor que o máximo possível para uma partícula com a mesma velocidade escalar de 9,5 m/s. (0,26 m)


Movimento a duas e três dimensões

28E. Você arremessa uma bola em direcção a uma parede com uma velocidade de 25,0 m/s fazendo um ângulo de 40,0 º acima da horizontal. A parede está a 22,0 m do ponto de lançamento da bola. (a) A que distância acima do ponto de lançamento a bola bate na parede? (b) Quais as componentes horizontal e vertical da sua velocidade quando ela bate na parede? (c) Quando ela bate, ela já passou do ponto mais alto da sua trajectória? (12; 19,2ux+4,8 uy; não)

40P. Durante uma partida de ténis um jogador serve a bola a 23,6 m/s, com o centro da bola deixando a raquete horizontalmente a 2,37 m acima da superfície da quadra. A rede está afastada 12 m e tem 0,90 m de altura. Quando a bola alcança a rede (a) ela consegue passar sem tocá-la? (b) Qual a distância entre o centro da bola e o alto da rede? (c e d) Suponha agora que a bola sai da raquete fazendo um ângulo de 5,00 º abaixo da horizontal. Responda ás questões (a) e (b) nestas circunstâncias. (+20 cm; -85.4 cm)


Equações do movimento uniformemente acelerado, 3D

zz

yy

xx

ua

uaua

ˆ

ˆˆ

+=

+=+=

tavv

tavvtavv

zozz

yoyy

xoxx

++=

++=

++=

2

2

2

2

2

2

tatvzz

tatvyy

tatvxx

zozo

yoyo

xoxo

Integração

Derivação

Aceleração Velocidade Posição

ar ∫= dtav rr∫= dtvr rr

− yug ˆ0

−==

gtvvvv

oyy

oxx

−+=

+=

2

2gttvyy

tvxx

oyo

oxo

Integração

Derivação

y

x

govr

orr

Aplicação ao Lançamento de Projécteis, 2D

ar vr rr


O corpo descreve uma trajectória circular.

R – raio [m] do circulo descrito pelo corpo.

T – período [s]. Tempo necessário para completar um ciclo

Movimento Circular

Tf 1

=

θ

vr

R

No movimento circular uniforme, um corpo descreve uma trajectória circular levando sempre o mesmo tempo a completar uma volta ou ciclo.

f - frequência [Hz]. É o número de ciclos por unidade de tempo


Velocidade angular

A velocidade angular instantânea ω [rad/s] é o ângulo descrito por unidade de tempo.

dtdθω =

Se a velocidade angular fôr constante no tempo obtemos depois de integrar,

fTtt o

o ππθθω 22==

−−

=

Relação entre a velocidade angular e a frequência angular

( )oo

t

t

tt

dtdoo

−=−

= ∫∫

ωθθ

ωθθ

θ

θ

vr

R


Aceleração angular

Se a velocidade angular ω variar no tempo então existe aceleração angular (α rad/s2)

dtdωα =

Se a aceleração angular fôr constante obtemos depois de integrar,

2

0

21 tt

t

dtd

oo

o

t

o

αωθθ

αωω

αωω

ω

++=

+=

= ∫∫

Repare na correspondência com as expressões parao movimento uniformemente acelerado 1D. Quais as grandezas equivalentes ou análogas?

Nota: Nestas eqs. fixámos to=0

xva

a análogo éa análogo éaanálogoé

θωα

2

2attvxx

atvv

oo

o

++=

+=


O módulo da velocidade no Movimento Circular

O módulo da velocidade ao longo do circulo, v (m/s), algumas vezes imprópriamente chamada velocidade linear, está relacionada com a velocidade angular e com o raio do circulo,

RTR

tlv ωπ

==∆∆

=2 vr

O vector velocidade no movimento circular uniforme é:1. Tangente á trajectória (como sempre)2. Constante em módulo3. Varia continuamente de direcção


Aceleração centrípeta

No movimento circular uniforme existe um tipo especial de aceleração chamada centrípeta, responsável pela mudança na direcção da velocidade

R

θ∆

tt uu ˆˆ ∆+

tu

1ˆˆˆ ==∆+ ttt uuuru

{ {ca

tt

t

dtudvu

dtdv

dtvduvv

r

r

r

ˆˆ

ˆ

0

+=

=A derivada da velocidade

Qual a derivada de um vector unitário?

( )( ) ( )

dtudu

dtuduuu

dtdu

dtd

udtd

tt

ttttt

t

ˆˆ0ˆˆ2ˆˆˆ

0ˆ

2

2

⊥⇒=⋅=⋅=

=

( )rtt udtudv

dtudv

dtvd ˆˆˆ

−==r

A direcção do vector aceleração centrípeta é perpendicular á tangente da trajectória. É paralelo ao vector radial.

Tem o sentido negativo do vector radial


Aceleração centrípeta (cont.)

Rv

tttu

dtud

ttt

tt ==

∆∆

=∆

∆

=∆

∆=

→∆→∆→∆ωθ

θ

22lim2

sin2lim

ˆlimˆ

000

R

θ∆

tt uu ˆˆ ∆+

tu

1ˆˆˆ ==∆+ ttt uuuru

2θ∆

tu∆

∆

=∆2

sin2ˆ θtu

tutt uu ˆˆ ∆+

2a

A aceleração centrípeta éperpendicular á direcção da velocidade e aponta sempre para dentro do circulo,

rc uRva ˆ

2−=r

( )rtt udtudv

dtudv

dtvd ˆˆˆ

−==r


Aceleração tangencial e total

tt udtdva ˆ=r

Se o módulo da velocidade linear variar então existe aceleração tangencial,

O vector aceleração tangencial é colinear com a velocidade e portanto tangente à trajectória.

Aceleração totalO vector aceleração (total) é a soma vectorial das acelerações centrípeta e tangencial.O seu módulo é dado por,

22tc aaa +=r

{ {ct a

t

a

t

t

dtudvu

dtdv

dtvduvv

rr

r

r

ˆˆ

ˆ

+=

=

No caso geral:

tar

car

ar

Movimento circular


Movimento circular

34E. Um satélite terrestre move-se numa órbita circular a 640 km acima da superfície da Terra com um período de 98,0 min. Quais são os módulos (a) da velocidade (b) e da aceleração centrípeta do satélite? (7.49x103 m/s; 8,00 m/s2)

51P. Um garoto rodopia uma pedra num circulo horizontal com um raio de 1,5 m e a uma altura de 2,0 m acima do nível do chão. O fio parte-se e a pedra desprende-se horizontalmente e bate no chão após percorrer uma distância horizontal de 10 m. Qual o módulo da aceleração centrípeta da pedra enquanto estava em movimento circular? (163 m/s2)


Movimento Relativo

Um passageiro (S2), viajando de comboio, atira uma bola para outro passageiro com uma velocidade v2.

Qual a velocidade v1 da bola, relativa a um observador (S1) que esteja parado na estação?

2vr

1vr

2S

1Sestação

comboio


Transformação de Galileu

Temos para os vectores posição,

2211 rrr rrr +=

Derivando em ordem ao tempo,

dtrd

dtrd

dtrd 2211

rrr+=

Simplificando, 2211 vvv rrr +=

Esta é a Transformação de Galileu:A velocidade num referencial 1 é igual á velocidade no referencial 2 mais a velocidade relativa do referencial 2 relativamente a 1.

21rr

2rr

1rr

2S

1S

comboioestação

Onde r21 é a posição do comboio relativamente á estação.

21vr

2vr

1vr

2S

1S

comboioestação


Se um objecto tiver uma aceleração a2 no referencial S2 qual será a aceleração a1, no referencial S1, sabendo-se que a velocidade relativa entre os referenciais é constante (em módulo, direcção e sentido).

Aceleração no movimento relativo

dtvd

dtvd

dtvd 2211

rrr+=

021 =dtvdr

se a velocidade relativa entre os referenciais é constante. Assim,

21 aa rr =

Este resultado é muito importante no contexto da leis de Newton.

Dois referenciais cuja velocidade relativa é constante medem a mesma aceleração.(Não é necessário que estejam em repouso entre si)

2211 vvv rrr +=

Derivando a equação das velocidades,

21vr

2vr

1vr

2S

1S

comboioestação


Movimento Relativo

56E. Pelas regras do rugby um jogador pode passar a bola legalmente para um companheiro de equipe desde que o passe não seja para a frente. Suponha que o jogador corre paralelamente ao comprimento do campo e no sentido do golo da equipe adversária com uma velocidade de 4,0 m/s, enquanto passa a bola á velocidade de 6 m/s em relação a ele mesmo. Qual é o menor ângulo contado a partir da direcção do avanço que mantém o passe legal. (48,2º)

61P. Dois navios A e B, saem do porto ao mesmo tempo. O navio A navega para o noroeste a 24 nós e o navio B navega a 28 nós numa direcção sudoeste fazendo 40º com o sul. (1 nó é igual a 1 milha marítima por hora) (a) Quais são o módulo, a direcção e o sentido da velocidade do navio A em relação a B? (b) Após quanto tempo os navios estarão afastados de 160 milhas marítimas? (c) Qual será o rumo de B (a direcção da posição de B) em relação a A nesse tempo? (38 nós 1,5º na direcção nordeste medido a partir do norte; 4,2 h; 1,5º na direcção sudoeste, medido a partir do sul)


Movimento Relativo

Um elevador eleva-se com uma aceleração de 4 ft/s2. No instante em que a velocidade é 8 ft/s um parafuso cai do tecto do elevador situado a 9 ft do solo (1 m = 3.28 ft). Quanto tempo demora o parafuso a atingir o solo? Que distância viajou o parafuso relativamente ao prédio até esse instante?

Uma pessoa sobe uma escada rolante parada, com 15 m de comprimento, em 90 s. Se a escada rolante estiver em movimento a pessoa leva 60 s. Quanto tempo leva a mesma pessoa a ser transportada até ao cimo da escada rolante se subir a escada ao mesmo tempo que a escada rolante está em movimento? A sua resposta depende do tamanho da escada? (36 s)

Está a cair neve verticalmente com uma velocidade de 7.8 m/s. (a) Qual o ângulo com a vertical e (b) a velocidade dos flocos de neve relativamente a um carro cuja velocidade é 55 km/h?


Leis de Newton

1ª Lei de Newton ou Lei da Inércia

Na ausência de uma força resultante não nula todos os corpos tendem a manter o seu movimento.

Quer dizer que:

Estando o corpo em repouso, permanecerá em repouso.

Se estiver em movimento, continuará em movimento rectilíneo e uniforme.

No entanto,

Sob a acção de uma FORÇA RESULTANTE não nula, o vector velocidade do corpo terá necessáriamente que variar.


Segunda Lei de Newton

A resultante das forças que actuam sobre um corpo isolado é igual ao produto da massa pela aceleração do corpo, i.e.,

amF rr=∑

Esta é uma equação vectorial e por isso compreende um sistema de três equações escalares:

zz

yy

xx

maF

maF

maF

=

=

=

∑∑∑

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr

5Fr

m

ar

A massa m de um corpo é uma quantidade escalar e relaciona a força aplicada com a aceleração de um corpo.


Terceira Lei de Newton

Se F21 é a força aplicada no corpo 2 pelo corpo 1, então existe uma força F12 aplicada no corpo 1 pelo corpo 2, igual à primeira em módulo e direcção, mas de sentido contrário. Estas forças tomam o nome de par acção-reacção.

12Fr

21Fr

Corpo 2Corpo 1

Chama-se sistema a um conjunto de dois ou mais corpos. As forças de interacção entre corpos de um mesmo sistema chamam-se forças internas.

Forças aplicadas por corpos externos ao sistema denominam-se forças externas

Para cada força de acção existe uma força de reacção igual e oposta.

MUITA ATENÇÃO: as forças F21 e F12 têm pontos de aplicação diferentes.

Sistema


Diagrama do corpo livre

Consiste em isolar no espaço o corpo que nos interessa, substituindo por forças asinteracções e ligações com os outros corpos, pela sucessiva aplicação da Terceira Lei de Newton.

Qual a resultante das forças aplicadas ao livro?

Pr

Pr

− Força gravítica aplicadapelo livro sobre a Terra

Força gravítica aplicada pela Terra sobre o livro

NFlmrr

=

mlFr

Diagrama do corpo livre do livro

Força aplicada pela mesa sobre o livro

Força aplicada pelo livro sobre a mesa

Terra

mesa

livro

Terra

Situação inicial

Vamos isolar o livro assente sobre a mesa…

PNrr

+


Força Gravitacional

Um corpo abandonado de uma altura h, acima da superfície terrestre cai em direcção à Terra com a aceleração da gravidade. Porquê?

R: Porque de acordo com a Segunda Lei de Newton existe uma força que puxa o corpo para baixo. Qual o valor desta força?

yumgP

amF

ˆ−=

=∑r

rr

y

Pr

yug ˆ−

A Força Gravitacional aplicada pela Terra sobre o corpo está, aplicada no centro de massa do corpo, orientada no sentido do centro da Terra e vale mg.


Peso aparente de um corpo

1. Qual o peso de uma pessoa dentro de um elevador que tem uma aceleração para cima de 2 m/s2?

2. E se aceleração do elevador fôr para baixo e com o mesmo valor?

3. Em que condições é que existirá imponderabilidade?

gFr

apPr


Quantidade de movimento linear

Definição:A quantidade de movimento linear é uma grandeza vectorial dada por,

vmp rr =

Qual a direcção e sentido da quantidade de movimento?

E as suas unidades?

( )dtmvd

dtdvmmaF ===∑

r

A segunda Lei de Newton é na verdade escrita da seguinte forma:

dtpdFrr

=∑


Conservação da quantidade de movimento

Se a resultante das forças aplicadas no corpo fôr nula então a quantidade de movimento conserva-se.

ctepp o == rr

( )

( )43421

r

321rr

rr

rr

r

r

impulsão

t

o

p

p

t

dtFpp

dtpdtF

dtpdF

o

∫ ∑

∫∫ ∑

∑

=−

=

=

0

movimento de quantidade

da variação

0

Resolvendo em ordem à quantidade de movimento obtemos,


Força e Movimento I

19E. Um trenó foguete experimental pode ser acelerado a uma taxa constante partindo do repouso até atingir 1600 km/h em 1,8 s. Qual é o módulo da força resultante necessária se o trenó possuir uma massa de 500 kg.

29P. Uma esfera de massa 3,0 x10-4 kg está suspensa por um fio. Uma brisa sopra ininterruptamente na direcção horizontal empurrando a esfera de tal forma que o fio faz um ângulo constante de 37º com a vertical. Determine (a) o módulo daquele empurrão e, (b) a tracção no fio.

31P. Dois blocos estão em contacto sobre uma mesa sem atrito. Uma força horizontal é aplicada ao bloco maior, como se mostra na figura. (a) Se m1= 2,3 kg, m2= 1,2 kg e F=3,2 N, determine o módulo da força entre os dois blocos. (b) Mostre que se a força for aplicada no sentido contrario mas no bloco menor a força entre os dois blocos é 2,1 N e portanto diferente do calculado na alínea anterior. (c) Explique a diferença

Fr

2m1m


35P. Uma pessoa de 80 kg salta de pára-quedas e sentindo uma aceleração de 2,5 m/s2. A massa do pára-quedas é de 5,0 kg. (a) Qual é a força para cima que o ar exerce sobre o pára-quedas aberto? (b) Qual a força para baixo que a pessoa exerce sobre o pára-quedas?

36P. Na figura, três blocos estão ligados e são puxados para a direita sobre uma mesa horizontal sem atrito por uma força com um módulo de T3=65,0 N. Se m1= 12,0 kg, m2= 24,0 kg, m3= 31,0 kg, calcule (a) a aceleração do sistema e as tracções (b) T1 e (c) T2 nos fios de ligação entre os blocos.

43P. Um bloco de massa m1= 3,70 kg, sobre um plano inclinado de 30,0º está ligado por um fio que passa por uma roldana sem massa e sem atrito a um segundo bloco de massa m1= 2,30 kg, suspenso verticalmente (ver figura). Quais são (a) o módulo da aceleração de cada bloco e (b) a direcção e sentido da aceleração do bloco suspenso? (c) Qual é a tracção no fio?


1m 3m 3m1T 2T 3T



47P. Um macaco de 10 kg sobe por uma corda sem massa pendurada num galho de árvore. A corda tem presa do outro lado num caixote de 15 kg no chão. Qual o módulo da menor aceleração que o macaco deve ter para que consiga levantar o caixote do chão? (b) Se depois do caixote ter sido levantado, o macaco parar de subir quais serão a aceleração e (c) a tracção na corda?

56P. Uma lâmpada está suspensa na vertical por um fio num elevador que desce e desacelera a 2,4 m/s2. (a) Se a tracção no fio é de 89 N, qual é a massa da lâmpada? (b) Qual será a tracção no fio quando o elevador subir com uma aceleração para cima de 2,4 m/s2?


Fio que puxa

Atrito sólido-sólido

fs é a força de atrito e é semprecontrária ao movimento

2ª Lei de Newton amF rr=∑

mgNPNyem =⇒=− 0:

Em y: não existe aceleração e como o corpo em y estáinicialmente em repouso vai continuar em repouso.

Em x: Para que o corpo se movimente é necessário que a tensão do fio T seja maior que a força de atrito.

Atrito depende da natureza dassuperfícies e da força de ligação que comprime uma superficie contra a outra.

Porque é que a força de atrito é, em módulo, sempre menor que T?


xuTT ˆ=r

yuNN ˆ=r

xss uff ˆ−=r

yuPP ˆ−=r

x

y

mafTxem s =−:


Enquanto o corpo estiver em repouso é porque a força de atrito equilibra a força T aplicada no corpo pelo fio, i.e.

Propriedades do Atrito Estático

Tfs =

sf

T

Força de atrito em função da Tensão aplicada pelo fio

Nf ss µ=max,

Nf kk µ=

A força de atrito estático pode ter qualquer valor até a um máximo que depende das superficíes e da força normal dado por:

Então a partir do instante em que T>µsN o corpo iniciará o seu movimento.

Nf ss µ=max,

mafTxemmgNPNyem

s =−=⇒=−

:0:

T

sf

0,040,04Teflon sobre Teflon

0,81,0Borracha sobre betão

0,050,09Aço sobre aço, lubrificadas

0,60,6Aço sobre aço, sup. limpas

0,40,9-1,0Vidro sobre Vidro

0,20,25-0,5Madeira sobre MadeiraµkµsSuperficies

As equações do movimento são:

Tabela de coeficientes de atrito estático e cinético


Atrito cinético

Depois do corpo iniciar o seu movimento a força de atrito diminui para um valor menor denominado o atrito cinético,

As equações do movimento do bloco deslizando nestas condições são,

mmgT

mNTamafTxem

mgNPNyem

kkk

µµ −=

−=⇒=−

=⇒=−

:

0:

A força de atrito cinético mantém-se presente enquanto o corpo se estiver em movimento.

sf

T

Força de atrito em função da Tensão aplicada pelo fio

Nf ss µ=max,

Nf kk µ=


xuTT ˆ=r

yuNN ˆ=r

xks uNf ˆµ−=r

yuPP ˆ−=r

x

y


Atrito sólido-fluido

Um sólido que se desloque, no interior de um fluido, com uma velocidade vsuficientemente rápida, sente uma força de resistência FD oposta ao movimento.

tdD uAvCF ˆ221 ρ−= vr

DFr

FD é a força de resistência do arCd é o coeficiente de arrasto (drag coefficient).ρ é a massa específica do fluido (exemplo: ar)A é a área da secção transversal efectivav é a velocidade relativa entre o sólido e o fluido

Quais as unidades de Cd?

http://www.engineeringtoolbox.com/21_627.htm

Pr


Coeficiente de arrasto e a forma dos objectos

1.8Motorciclista

0.8 - 1.0Camião

0.9Ciclista

0.7-1.3Cilindro

0.6Station Wagon

0.5Carro (típico)

0.47Esfera

0.2 - 0.3Carro desportivo

0.1Corpo aerodinâmico

CDOBJECTO


Coeficiente de arrasto e a Lei de Stokes.

No trabalho prático o escoamento do liquido em torno do sólido (esfera) é laminar (i.e. sem remoinhos) dando lugar a uma dependência linear da força de atrito com a velocidade do corpo,

( ) vRFDrr

ηπ6−=

vrDFr

Pr

A força de resistência do ar quando o escoamento é laminar é do tipo viscoso. Quando a velocidade aumenta acima de um certo limite a força de resistência é essencialmente aplicada na massa de ar para que este saia do caminho.

Sendo η a viscosidade do meio.

Qual a unidade da viscosidade?

A viscosidade da glicerina depende da temperatura sendo 1.49 Pa⋅sec a 20ºC, e 0.95 Pa⋅sec a 25ºC.


Um corpo que cai no ar, tem aplicadas três forças (ver figura):

1. Força da gravidade, P

2. Força de resistência do ar, D

3. Força de impulsão hidrostática, I (vamos considerá-la desprezável)

Velocidade terminal na queda livre dos graves

Dr

0≈Ir

Pr

Pela Segunda Lei de Newton, ∑ = amF rr

mAvCga

maAvCmgyeixono

amDP

d

d

2

21

221:

ρ

ρ

−=∴

=−

=+ rrr

y

A aceleração no inicio da queda é 9,8 m/s2, e vai diminuindo á medida que aumenta a velocidade. A aceleração será nula quando,

ACmgvd

term ρ2

= Velocidade terminal

Faça o cálculo da velocidade terminal de um pingo de chuva de raio 1,5 mm. Suponha que Cd=0.6 e que a massa específica do ar é 1,2 kg/m3


Força centrípeta

Um corpo em movimento circular uniforme tem uma aceleração centrípeta:

camF rr∑ =

ru

rc urmvF ˆ

2−=

r

rc urva ˆ

2−=r

Pela Segunda Lei de Newton, a Resultante das Forças aplicadas nesse corpo terá necessariamente que ser uma força centrípeta com a mesma direcção da aceleração, (i.e. orientada para dentro do círculo) e que verifica:

rc urmvF ˆ

2−=

r


Forças de Inércia

A Segunda Lei de Newton pode escrever-se da seguinte forma:

Transformamos uma equação do movimento numa equação de equilíbrio de forças. Chama-se a Fi força de inércia. Esta força tem a mesma direcão da aceleração mas sentido contrário sendo o seu módulo igual a ma.

0=−∑ amF rr

Se fizermos uma substituição de variáveis, 0=+⇒−= ∑ ii FFamFrrrr

Aplicação ao movimento circular,

rcci

ci

urmvamFsendo

FF

ˆ

02

=−=

=+∑rr

rrA resultante das forças aplicadas e a força centrifuga de inércia estão em equilíbrio


Referências inerciais

Uma pessoa, sobre a Terra, lança uma bola na direcção Norte-Sul.

Essa pessoa vê um desvio da bola para oeste mas não sabe a razão da variação do vector-velocidade.

Neste caso não é válida a Primeira Lei de Newton

Um referencial inercial é um referencial onde é válida a primeira lei de Newton.

Em contraste nos referenciais não-inerciais a primeira Lei de Newton não é válida pois possuem uma aceleração não nula.

A Terra, em rigor, não é um referencial inercial embora, para pequenos movimentos, possamos assumir que é um referencial inercial.

Qual a aceleração de um corpo em repouso sobre a Terra a 45º de latitude?



1E. Uma cómoda com uma massa de 45 kg, incluindo aí gavetas e roupas, estáapoiada sobre o chão. (a) Se o coeficiente de atrito estático entre a cómoda e o chão for de 0,45 qual será a intensidade da força horizontal mínima que uma pessoa deve aplicar para fazer com que a cómoda se comece a mover. (b) Se as gavetas e roupas, que juntas possuem uma massa de 17 kg, forem removidas antes de a cómoda ser empurrada, qual será a nova intensidade mínima? (200 N; 120 N)

2E. O coeficiente de atrito estático entre o Teflon e os ovos mexidos é de aproximadamente 0,04. Qual o menor ângulo, medido em relação à horizontal, que fará os ovos deslizarem no fundo de uma frigideira revestida com Teflon.

6E. Uma casa é construída no alto de um morro que apresenta um talude próximo de 45 º. Um estudo de engenharia indica que o ângulo do talude deveria ser reduzido, pois as camadas superiores do solo do talude poderiam escorregar sobre as camadas inferiores. Se o coeficiente de atrito estático entre as duas camadas é de 0,50, qual o menor ângulo φ que o talude deveria ser reduzido, para evitar o deslizamento?


Força e Movimento I. Problemas.

8E. Na figura uma alpinista de 49 kg está a escalar uma chaminé entre duas paredes de rocha. O coeficiente de atrito estático entre os seus sapatos e a pedra é 1,2 e entre as suas costas e a pedra é de 0,80. Ela reduziu a força com que empurrava a pedra até que suas costas e seus sapatos estivessem na eminência de deslizar. (a) Desenhe um diagrama de corpo livre para a alpinista. (b) Qual a força com que ela empurra a pedra? (c) Que fracção do seu peso é suportada pela força de atrito nos seus sapatos?

20P. Uma força P paralela à superfície inclinada de 15ºpara cima da horizontal, actua sobre um bloco de 45 N, como mostrado na figura. Os coeficientes de atrito entre o bloco e a superfície são µs=0,50 e µk=0,34. Se o bloco está inicialmente em repouso, determine o módulo, a direcção e o sentido da força de atrito que actua sobre o bloco para as seguintes intensidades da força P: (a) 5,0 N, (b) 8,0 N e (c) 15 N.


Forças e Movimento. Problemas.

22P. Na figura dois blocos estão ligados por um fio que passa por uma polia. A massa do bloco A é de 10 kg e o coeficiente de atrito cinético entre A e a rampa é de 0,20. O ângulo de inclinação da rampa é de 30º. O bloco A desliza para baixo com velocidade constante. Qual a massa do bloco B?

25P. Os dois blocos (com m=16 kg e M=88 kg) mostrados na figura não estão presos um ao outro. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é de ms=0,38, mas a superfície em baixo do bloco maior é lisa e sem atrito. Qual a menor intensidade da força horizontal F necessária para evitar que os blocos escorreguem entre si? (490N)



37E. Suponha que o coeficiente de atrito estático entre os pneus de um carro de corrida de Fórmula 1 seja de 0,6 durante um Grande Prémio de Automobilismo. Que velocidade deixará o carro na eminência de derrapar ao efectuar uma curva horizontal de raio 30,5 m de raio? (cerca de 48 km/h)

42P. Um ciclista desloca-se num circulo de raio 25,0 m a uma velocidade constante de 9,00 m/s. O conjunto bicicleta-ciclista possui uma massa total de 85,0 kg. Calcule a intensidade (a) da força de atrito que a pista exerce sobre a bicicleta, (b) da força resultante que a pista exerce sobre a bicicleta.

43P. Um estudante pesando 667 N passeia numa roda-gigante que gira a uma velocidade constante ( o estudante está sentado com as costas erectas). No ponto mais elevado, a intensidade da força normal N que o assento exerce sobre o estudante é de 556 N. (a) O estudante sente-se mais leve ou mais pesado nessa posição? (b) Qual a intensidade de N no ponto mais baixo? (c) Qual a intensidade N se a velocidade com que a roda gira for duplicada? (leve; 778 N)



41P. Um disco de hóquei no gelo de massa m desliza sobre uma mesa sem atrito, enquanto permanece ligado a um cilindro em repouso de massa M, pendurado por um fio que passa por um buraco feito na mesa. Que velocidade do disco mantém o cilindro em repouso?

47P. Como é mostrado na figura, uma bola de 1,34 kg está ligada, por dois fios de massa desprezável, a uma haste que gira em torno de um eixo vertical. Os fios estão ligados à haste e estão esticados. A tracção no fio de cima é de 35 N. (a) Desenhe o diagrama de corpo livre para a bola. (b) Qual a tracção no fio de baixo? (c) Qual a força resultante sobre a bola e (d) Qual a velocidade. (8,74 N; 37,9 N; na direcção radial para dentro; 6.45 m/s)

Fig. 41P

Fig. 47P

mMgr


Trabalho e Energia. Trabalho efectuado por uma Força.

( )θcos11 sFW rr=Definição: O trabalho W1 realizado pela força F1 é,

NOTA: Embora a força seja invariante para todos os referenciais de inércia, o percurso snão é invariante. Por isso, o trabalho pode variar de observador para observador inercial.

∑= it WW

θ1 é o ângulo entre a força F1 e o vector-deslocamento s

2Fr 1F

r

3Fr

4Fr

sr

1θ1Fr

2Fr

4Fr

3Fr

O Trabalho Total é a soma dos trabalhos individuais efectuados por cada uma das forças

Unidades: As unidades de trabalho são N.m =Joule. O trabalho é um escalar ou um vector?


Exemplos de trabalhos efectuados por Forças constantes

( ) 090cos == sNWN

1. Trabalho realizado pela Força Normal ao plano

2. Trabalho realizado pela Força de Atrito Cinético

( ) sFsFW aaFa −== 180cos

3. Trabalho realizado pela Força Gravítica

( ) ( ) mghmgllPWP === αθ sincosr

O trabalho realizado pelo peso não depende do ângulo do plano inclinado mas apenas do desnível entre as posições inicial e final.

Nr

Nr

s

O trabalho realizado pela força de atrito é negativa.

O trabalho realizado pelas forças perpendiculares ao deslocamento é nulo.

lα

Pr

( ) ( )θα cossin llh ==

a

b

saFr

aFr

θ


Definição de trabalho infinitésimal

Se o percurso em causa fôr infinitesimal,

( ) rdFdsFdW rrr⋅== θcos

Fr

Fr

θrdr dsrd =r

Quando a força varia no percurso considerado a definição de trabalho continua válida mas agora apenas para um percurso infinitésimal.


Forças em Molas

A mola aplica no objecto uma força Fm no sentido contrário da sua extensão x, de forma a repor o seu comprimento inicial.

Quanto mais se desloca do equilíbrio maior é a força aplicada pela mola, i.e.

kxFm −=

Onde x é o deslocamento da extremidade da mola relativamente ao seu ponto de equilibrio ek é a constante da mola cujas unidades são N/m e mede a sua rigidez.

1mF 2mF

1x 2x0 00

x

mF


Trabalho efectuado pela força de uma mola

Qual o trabalho realizado pela força da mola sobre o objecto, quando este se desloca de xi para xf?

( )

( )

22

1

180cos

22if

f

i

kxkxW

dxkxdW

dxFdWx

x

m

+−=

−=

=

∫ ∫

r

Se a posição inicial for xi=0 (i.e. sem extensão inicial), o trabalho realizado pela mola para elongar até x será,

2

2kxW −=

mF

ix0 fxdx


Energia cinética

∑ =dtvdmFrr

De acordo com a segunda Lei de Newton,

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

2

22

2

mvddxF

dtdtvdmdxF

dtdtdvmvdxF

dtdtdx

dtdvmdxF

dxdtdvmdxF

dtdvmF

Se o problema tiver uma dimensão:

Chamamos energia cinética a:

2

2mvEc =

Integrando entre dois instantes t2 e t1,

( )

12321

21

22

321

2

321

...22

...

2...

2

1

2

1

cc

v

v

x

x

EEWWW

mvmvWWW

mvddxFFF

−=+++

−=+++

=+++ ∫∫

NOTA: Pode-se provar que esta equação é válida também para o movimento a três dimensões.


Teorema do Trabalho-Energia: consequências

cR

c

EWEWWW

∆=∆=++ 321

1. O trabalho da força resultante é igual ao somatório dos trabalhos efectuados por cada uma das forças aplicadas.

2. A soma do trabalhos efectuados pelas forças aplicadas, é igual á variação da energia cinética da partícula.Este é o teorema do trabalho-energia e também é válido a três dimensões.


Potência

UnidadesA unidade SI de potência é o Watt = 1 J/sExistem outras unidades de potência regularmente utilizadas como o cavalo-vapor,1 Cv (hp) = 746 WÉ costume definir uma unidade de trabalho/energia denominada kW.h que corresponde á energia produzida/consumida durante uma hora á taxa de 1 kW. A quantos Joules correspondem 1 kW.h?

A potência é o trabalho realizado por unidade de tempo:tWP

∆∆

=

( )θcosvFP

vFdtrdF

dtrdF

dtdWP

rr

rrrrrr

=

⋅=⋅=⋅

==A potência de uma força F cujo ponto de aplicação se movimenta com velocidade v é dada por:

A potência instantânea é dada por:dtdWP =


Trabalho e Energia. Problemas.

11P. A Figura mostra três forças aplicadas a um baú que se move 3,0 m para a esquerda sobre um piso sem atrito. Os módulos das forças são F1=5,00 N, F2=9,00 N e F3=3,00 N. Durante o deslocamento, (a) Qual é o trabalho resultante que as três forças realizam sobre o baú? (b) A energia cinética aumenta ou diminui?

17P. Um helicóptero eleva uma astronauta de 72 kg verticalmente, 15m a partir do oceano, por meio de um cabo. A aceleração da astronauta é g/10. Qual o trabalho realizado sobre a astronauta? (a) Pela força do helicóptero e (b) pela força gravitacional que age sobre ela? Quais são: (c) a energia cinética e (d) a velocidade da astronauta imediatamente antes de ela alcançar o helicóptero?

22P. Um bloco de 250 g é solto sobre uma mola vertical sem deformação que possui uma constante da mola k = 2,5 N/cm. O bloco passa a ficar preso à mola comprimindo-a 12 cm antes de parar por um instante. Enquanto a mola estiver a ser comprimida,qual o trabalho realizado sobre o bloco (a) pela força gravitacional que age sobre ele e (b) pela força da mola? (c) Qual velocidade da bloco imediatamente antes de acertar a mola? (Suponha que o atrito seja desprezável) (d) Se a velocidade no impacto for duplicada qual será a compressão máxima da mola?

3Fr

1Fr 2F

r

°60


Trabalho e Energia. Problemas.

30E. A cabine carregada de um elevador possui uma massa de 3,0 x 103 kg e sobe 210 m em 23 s com velocidade constante. Qual será a taxa média de trabalho realizado pela força do cabo do elevador sobre a cabine?

33P. Uma força de 5,0 N actua sobre um corpo de 15 kg inicialmente em repouso. Calcule o trabalho realizado pela força (a,b e c) no primeiro, no segundo e no terceiro segundos, e (d) a potência instantânea devida à força actuante no final do terceiro segundo.


Forças conservativas e Energia Potencial

Trabalho realizado pela força da gravidade

O trabalho realizado pelo peso é mgh como já vimos. É independente dainclinação do plano inclinado e só depende do desnível entre as posições inicial efinal.

( )fi yymgW −=

y

iy

fy

O trabalho só depende das posições inicial e final.

Se o corpo voltar à posição inicial qual será o trabalho total?


Trabalho realizado por uma mola

22

22fi kxkxW −=

O trabalho efectuado por uma mola sobre um corpo, quando esta se elonga de xipara xf, é dado por,

fxix

O trabalho só depende das posições inicial e final.

Se o corpo voltar à posição inicial qual será o trabalho total?


Trabalho realizado pela força de atrito cinético

É sempre negativo.

Mesmo que o corpo volte á posição inicial, o trabalho total não será nulo.A que será igual o trabalho total realizado pela força de atrito cinético?

sFW ac−=

sr

acFr

acFr


Forças Conservativas

Exemplos de forças conservativasA força da gravidade e a força da mola são forças conservativas A força de atrito é uma força não-conservativa.

Propriedades das forças conservativas

1. Num ciclo o trabalho de uma força conservativa é nulo.

2. O trabalho realizado por uma força conservativa depende apenas das posições inicial e final e é independente do caminho utilizado.

3. O trabalho de uma força conservativa pode, ser expresso pela variação no valor de uma função U(r), que depende apenas da posição da partícula. A esta função chama-se a energia potencial.

( ) ( )2222 ,, zyxUrU ≡r

( ) ( )1111 ,, zyxUrU ≡r


Energia Potencial

Por conveniência é costume definir-se essa função da seguinte forma:

( ) UUUUUW ∆−=−−=−= 1221

i.e. o trabalho realizado por uma força conservativa é o simétrico da variação da energia potencial.

É portanto uma função pontual que depende apenas dos pontos inicial e final e não do que se passa entre esses dois pontos.

2U

1U

Se a energia potencial diminui o trabalho realizado pela força é positivo


Energias Potenciais

Energia potencial gravíticaEnergia potencial da mola

221 kxUm =

Verifique também que a derivada da energia potencial numa determinada direcção dá a componente da força nessa direcção. i.e.

rrr uFurUrdFdU ˆˆ =

∂∂

−⇒⋅−= rr

fig mghmghW −=

21 UUUW −=∆−=

h

ih

fh

2221

21

fim kxkxW −=

mghUg =

ix fx

TAREFA: Tendo uma equação para o trabalho de uma força, deduzir a energia potencial que faz com que a respectiva variação seja igual ao trabalho realizado?


Usando a definição de energia potencial obtemos,

Conservação de energia

Teorema do trabalho-energia, 543 WWWWWE mgc ++++=∆

Considerou-se por hipótese, que um dos trabalhos é realizado pela força da gravidade e o outro pela força de uma mola.

( ) ( ) ncmgcmm

gg WUUEUW

UW+∆−+∆−=∆⇒

∆−=

∆−=

Expandindo e agrupando, ( ) ( ) ncmgcmgc WUUEUUE =++−++ 111222

Á soma das energias cinética e potenciais denominamos energia mecânica, mgcmec UUEE ++=

Se o trabalho Wnc, das forças não-conservativas fôr nulo então a energia mecânica conserva-se, 0=∆ mecE

Concluimos então que a variação da energia mecânica é igual ao trabalho das forças não conservativas, i.e., ncmec WE =∆

O trabalho Wnc é o somatório dos trabalhos excluindo os trabalhos das forças gravítica e da mola.


Energia potencial. Conservação de energia. Problemas.

11. (a) Que velocidade inicial mínima deve ser dada á bola para que ela alcance a máxima posição vertical? (b,c) Qual então as velocidades: no ponto mais baixo e no ponto do lado direito à mesma altura do ponto inicial? (d) Se a massa da bola duplicasse as suas respostas às alíneas anteriores aumentavam, diminuíam ou permaneceriam constantes?

13. Um camião desgovernado, cujo freio não funciona, move-se ladeira abaixo a 130 km/h, imediatamente antes de o motorista desviá-lo em direcção a uma rampa de emergência sem atrito e com inclinação para cima de 15º. A massa do camião é de 5000 kg. (a) Qual o comprimento mínimo L que deve possuir a rampa para que o camião pare ao longo dela? (b) Esse comprimento varia com a massa do camião? (c) E com a sua velocidade? (d) Esta rampa, em particular, serviria o propósito para que foi construída?

16. A figura mostra uma pedra de 8,00 kg em repouso em cima de uma mola. A mola está comprimida de 10,0 cm pela pedra. (a) Qual a constante da mola? (b) A pedra é empurrada para baixo mais 30,0 cm e é então solta. Qual a energia potencial elástica da mola comprimida imediatamente antes de a pedra ser solta? (c) Qual a variação da energia potencial gravitacional do sistema pedra-Terra quando a pedra se move do ponto em que foi solta até à altura máxima? (d) Qual será essa altura máxima, medida a partir do ponto em que a mola é solta?



20. Na figura, quais são (a) a componente horizontal e (b) a componente vertical da força resultante que age sobre o bloco no ponto Q? (c) De que altura h, o bloco deve ser solto do repouso, de modo que ele esteja na iminência de perder contacto com a pista no ponto mais alto do loop? Faça um gráfico da intensidade da força normal sobre o bloco no ponto mais alto do loop em função da altura inicial na faixa de h=0 até h=6R.

21. Na Figura D, solta-se um bloco de 12 kg a partir do repouso numa rampa de 30º sem atrito. Abaixo do bloco está uma mola que pode ser comprimida 2,0 cm por uma força de 270 N. O bloco pára por um instante, ao comprimir a mola de 5,5 cm. (a) Que distância percorre o bloco ao longo da rampa até parar? (b) Qual a velocidade do bloco no exacto momento em que toca a mola?

63P. Uma partícula pode deslizar ao longo de uma pista com as extremidades elevadas e uma parte central plana de comprimento Lcomo se mostra na figura. Não há atrito nas partes curvas mas, na parte plana, o coeficiente de atrito cinético é 0,2. A partícula é solta do ponto A, a uma altura ho=L/2. Aonde a partícula irá parar?

L

Aoh



37P. A energia potencial de uma molécula diatómica (um sistema de dois átomos como o H2 ou o O2) é dada por,

612 rB

rAU −=

onde r é a separação entre os dois átomos da molécula e A e B são constantes positivas. Esta energia potencial está associada à força que mantém os dois átomos juntos. (a) Encontre a separação de equilíbrio Ro, isto é a distância para a qual a força de interacção não é nem repulsiva nem atractiva; (b) Se a distância entre os dois átomos for maior que Ro a força de interacção é repulsiva ou atractiva?

61P. Uma pedra com peso igual w é lançada no ar para cima, na direcção vertical, a partir do nível do solo com velocidade inicial vo. Se uma força constante f, devida áforça de arrasto do ar, actuar sobre a pedra do inicio ao fim do seu voo(a) Mostre que a altura máxima alcançada pela pedra será,

(b) Mostre que a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto contra o solo será,

( )wfgvh o+

=12

2

21

+−

=fwfwvv o


1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

distância

Ene

rgia

pot

enci

al

Energia potencial entre dois átomos

612 rB

rAU −=



10. A mola A é mais rígida do que a mola B; isto é kA>kB. Qual das molas realizarámais trabalho se as molas forem comprimidas (a) da mesma distância? (b) pela mesma força aplicada?

54. Um fardo de 4,0 kg começa a subir um plano inclinado de 30º com uma energia cinética de 128 J. Até que distância ele conseguirá deslizar para cima do plano inclinado se o coeficiente de atrito cinético entre o fardo e o plano inclinado for de 0,30?

26. Tarzan, que pesa 688 N, salta de um penhasco balançando-se na extremidade de uma liana de 18 m de comprimento. Ele desce 3,2 m do alto do penhasco até ao ponto mais baixo em que larga a liana. A liana rompe-se quando a força que actua sobre ela excede 950 N. (a) Será que a liana se rompe? (b) Caso não se rompa, qual a maior força que actua sobre a liana durante o balanço? (c) Caso se rompa, qual será o ângulo com a vertical no instante da ruptura?

27. Duas crianças jogam tentando atingir uma caixa no chão com um berlinde lançado por uma mola assente sobre uma mesa. A caixa está a uma distância de 2,20 m da extremidade da mesa medida na horizontal. Sabendo que, quando Bobby comprimiu a mola de 1,10 cm o berlinde ficou a 0,27 cm da caixa, de quanto deverá Rhoda comprimir a mola para que o seu tiro seja certeiro?


Quantidade de Movimento Angular

Uma partícula que se move relativamente a um sistema de eixos tem,

Quantidade de Movimento Linear

Tem também relativamente á origem do sistema de eixos uma

Quantidade de Movimento Angular

vmp rr =

vmrprl rrrrr×=×=

O vector Quantidade de Movimento Angular é perpendicular ao plano formado pelos vectores posição e velocidade e o seu módulo é dado por:

( ) prmvsenrl ⊥== φ

vr

rr

z

x

y

vr

rrφ

⊥r

Vista de topo em relação ao plano formado pelos vectores posição e velocidade


A Segunda Lei de Newton na forma Angular

Para uma partícula sabemos que,

{ dtld

res

i

rr

r=∑

τ

τ

i.e. A resultante das forças aplicadas é igual á taxa de variação da quantidade de movimento linear. Se a resultante das forças for nula a variação também é nula.

Podemos mostrar que em relação á quantidade de movimento angular,

{ dtpdF

resF

i

rr

r=∑

i.e. Para uma partícula a resultante dos torques é igual á taxa de variação da quantidade de movimento angular.

Corolário: Se o torque resultante for nulo a variação também é nula.

ii Frrrr ×=τ

2Fr

3Fr

4Frrr

1Fr

yx

z

Torque da força i

Fr

φ

⊥r

( ) FrFsenr ⊥== φτ

Fisica ID, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm 100

Posição

Velocidade

AceleraçãoMovimento aceleração constante

cte=α

22attvxx oo ++= 22ttoo αωθθ ++=

ctea =

to αωω +=atvv o +=

Posição

VelocidadeMovimento velocidade constante

ctev = cte=ω

vtxx o += to ωθθ +=

Movimentos Linear (1D) e de Rotação (analogias)

aAceleração

vVelocidade

xPosição

AngularLinear

θ

ω

α


Rotação

2E. Qual a velocidade angular (a) do ponteiro dos segundos, (b) do ponteiro dos minutos, e (c) do ponteiro das horas de um relógio analógico. Responda em radianos por segundo.

6P. A roda da figura tem oito raios igualmente espaçados e um diâmetro de 60 cm. Ela está montada num eixo mecânico fixo e estágirando a 2,5 ciclos/s. Você quer atirar uma flecha de 20 cm paralela a este eixo que atravesse a roda sem acertar nenhum dos raios. Suponha que a flecha e os raios sejam bem finos. (a) Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter? (b) Será importante saber o lugar para onde você mira, entre o eixo e a borda da roda? Se for qual o melhor lugar?

9E. O prato de um gira-discos girando a 33 1/3 rpm desacelera e pára 30 s depois de o motor ser desligado. (a) Determine a sua aceleração angular (constante) em rotações por minuto quadrado. (b) Quantas voltas ele completa neste tempo?


Rotação

29P Na figura o volante de raio rA=10 cm está acoplado por uma correia B a um volante C de raio rC=25 cm. Aumenta-se a velocidade angular do volante A a partir do repouso a uma taxa constante de 1,6 rad/s2. Determine o tempo para que o volante C alcance uma rotação de 100 rpm supondo que a correia não deslize.

32P. Um prato de um gira-discos gira a uma velocidade de 33 1/3 rpm. Uma semente de melancia está sobre o prato a 6,0 cm do eixo de rotação. (a) Calcule a aceleração da semente supondo que ela não desliza. (b) Qual o valor mínimo do coeficiente de atrito estático entre a semente e o prato a fim de que a semente não deslize? (c) Suponha que o prato atinge a sua velocidade angular partindo do repouso e sofrendo uma aceleração angular constante durante 0,25 s. Calcule o coeficiente de atrito estático mínimo necessário para que a semente não deslize durante o período de aceleração.

18P. Uma roda girando em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro possui uma aceleração constante de 4,0 rad/s2. Num certo intervalo de 4,0 s a roda descreve um ângulo de 80 rad. (a) Qual a velocidade angular da roda no inicio do intervalo de 4,0 s? (b) Supondo que a roda parte do repouso há quanto tempo ela estava em movimento no inicio do intervalo de 4,0s?


Gravitação

rg urMmGF ˆ2−=

r

Força gravitacional de interacçãoG é a constante de gravitação. Determine as suas unidades.

Qual a relação entre o peso e a força de atracção gravitacional?Qual o valor da aceleração da gravidade g, em função da massa e do raio da Terra?Qual o período de revolução de um satélite geostacionário? A que distância da Terra se situa a órbita geostacionária?

ru

Terra

Lua

MT= 5,98x1024 kgRT= 6,37x106 mDistância Terra-Lua: 3,82x108 m

ML= 7,36x1022 kgRL= 1,74x106 m

G= 6,67 x 10-11 N.m2/kg2


Energia potencial gravitacional

rU

F gg ∂

∂−=

A energia potencial de gravitação é,

Mostre que, á superfície terrestre, a variaçãoda energia potencial quando nos elevamos de h é, aproximadamente, mgh.

Qual a energia cinética necessária a um projéctil para sair do campo gravitacional terrestre?

rMmGUg −=

rMmGUg −=

gU

r

Mostre que, (ver definição de força conservativa)

cE

mecE

Parte I

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