Painel 15 - Números Primos

Painel-15 M SM – M anual S istem atizado de M atem ática Núm eros Prim os São números naturais que admitem apenas dois divisores: 1 e ele m esm o. Eles form am todos os outros naturais (exceto 0 e 1 ) Primus é uma palavra latina que significa “prim eiro e único” C rivo de Eratóstenes Atribui-se ao matemático e astrônom o grego Eratóstenes, que viveu de 276 a.C .a 194 a.C .,um m odo prático de se obter núm eros primos, conhecido como crivo de Eratóstenes. Para achar os primos até 1000, elimine o 1. A seguir, elimine os m últiplos de 2 exceto o 2, depois os de 3 exceto o 3, e assim por diante até 31.Q uando tiverriscado os múltiplos de 31, pode parar, você achou todos. Com o reconhecerse um núm ero é Primo D ividindo o núm ero dado,sucessivam ente, pelos núm eros prim os 2,3,5,7,11,... Se nenhum a divisão for exata e tiverm os um quociente m enor ou igual ao divisor, então podemos dizer que o número é prim o. Exem plo: 67 :2 = 33 resto 1 67 :3 = 22 resto 1 67 :5 = 13 resto 2 67 :7 = 9 resto 4 67 :11 = 6 resto 1 67 é prim o pois nenhum a divisão foiexata e chegam os a um quociente ( 6 ) m enor que o divisor(11 ). Notas O s núm eros naturais que têm m ais de dois divisores distintos são cham ados de núm eros compostos.Ex.:4,6,8,9,10,12,... O núm ero 1 não é prim o pois só tem um divisore não é com posto porque não tem m ais de dois dividores distintos. Dois ou mais números são primos entre si quando o mdc desses números é 1. Exem plo:15 e 7 D ecom posição em fatores prim os – Fatoração (processo usado para decom porum núm ero em um produto de fatores prim os) Todo núm ero natural não prim o, m aior que 1, pode ser escrito na form a de m ultiplicação indicada,cham ada forma fatorada completa,em que todos os fatores são núm eros prim os. Para chegar à forma fatorada completa de um número natural,fazem os um a operação denom inada decom posição em fatores prim os,que consiste em : dividir inicialmente o número dado pelo seu menor divisorprimo; dividiro quociente obtido pelo seu m enordivisorprim o; R epetiresse procedim ento até obtero quociente 1. Exem plo: 495 3 495 :3 = 165,pois 3 é o m enordivisorprim o de 495. 165 3 165 :3 = 55,pois 3 é o m enordivisoprprim o de 165. 55 5 55 :5 = 11,pois 5 é o m enordevisorprim o de 55. 11 11 11 :11 = 1 ,pois 11 é o m enordivisorprim o de 11. 1 fatorada forma primos fatores .. 11 5 3 .. 11 5 3 3 495 2 Veja outros exem plos núm ero Form a fatorada 10 2 x 5 15 3 x 5 30 2 x 3 x 5 A decom posição de um núm ero é única. O bs.Se na decom posição de um núm ero iniciarm os porum prim o que não seja o m enor,o resultado será o m esm o.

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Painel - 15 MSM – Manual Sistematizado de Matemática

Números Primos São números naturais que admitem apenas dois divisores: 1 e ele mesmo. Eles formam todos os outros naturais (exceto 0 e 1 ) Primus é uma palavra latina que significa “primeiro e único”

Crivo de Eratóstenes Atribui-se ao matemático e astrônomo grego Eratóstenes, que viveu de 276 a.C. a 194 a.C. , um modo prático de se obter números primos, conhecido como crivo de Eratóstenes. Para achar os primos até 1000, elimine o 1. A seguir, elimine os múltiplos de 2 exceto o 2, depois os de 3 exceto o 3, e assim por diante até 31. Quando tiver riscado os múltiplos de 31, pode parar, você achou todos.

Como reconhecer se um número é Primo

Dividindo o número dado,sucessivamente, pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, ...

Se nenhuma divisão for exata e tivermos um quociente menor ou igual ao divisor, então podemos dizer que o número é primo. Exemplo: 67 : 2 = 33 resto 1 67 : 3 = 22 resto 1 67 : 5 = 13 resto 2 67 : 7 = 9 resto 4 67 : 11 = 6 resto 1 67 é primo pois nenhuma divisão foi exata e chegamos a um quociente ( 6 ) menor que o divisor ( 11 ) .

Notas Os números naturais que têm mais de dois divisores distintos são chamados de números compostos. Ex.: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ... O número 1 não é primo pois só tem um divisor e não é composto porque não tem mais de dois dividores distintos. Dois ou mais números são primos entre si quando o mdc desses números é 1. Exemplo: 15 e 7

Decomposição em fatores primos – Fatoração ( processo usado para decompor um número em um produto

de fatores primos) Todo número natural não primo, maior que 1, pode ser escrito na forma de multiplicação indicada, chamada forma fatorada completa, em que todos os fatores são números primos.

Para chegar à forma fatorada completa de um número natural, fazemos uma operação denominada decomposição em fatores primos, que consiste em:

dividir inicialmente o número dado pelo seu menor divisor primo; dividir o quociente obtido pelo seu menor divisor primo; Repetir esse procedimento até obter o quociente 1. Exemplo: 495 3 495 : 3 = 165, pois 3 é o menor divisor primo de 495.

165 3 165 : 3 = 55, pois 3 é o menor divisopr primo de 165.

55 5 55 : 5 = 11, pois 5 é o menor devisor primo de 55.

11 11 11 : 11 = 1 , pois 11 é o menor divisor primo de 11.

fatoradaformaprimosfatores ..

1153

11533495

Veja outros exemplos número Forma fatorada

10 2 x 5 15 3 x 5 30 2 x 3 x 5

A decomposição de um número é única. Obs. Se na decomposição de um número iniciarmos por um primo que não seja o menor, o resultado será o mesmo.