PA & PG - Exercícios Resolvidos

8/20/2019 PA & PG - Exercícios Resolvidos

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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo III

LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br ,quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitaçãoou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para quesejam resolvidos tais problemas.

1

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II

Módulo III

Neste Módulo apresentaremos um dos principais assuntos

tratados em concursos públicos e um dos mais temíveis por partedos alunos: “Progressão Aritmética e Progressão Geométrica”.

Pesquisei sobre a História das Progressões e encontrei um

link que você deve ler antes de começar nossa aula:

http://www.unopec.com.br/revistaintellectus/_Arquivos/Jan_Jul_04/PDF/Artigo_Valeria.pdf


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2

Progressões Aritméticas (P.A.)

É uma sucessão de termos em que a diferença de cada termo e seu

precedente, a partir do segundo, é sempre constante. Essa diferença é

chamada razão da progressão aritmética.

Na seqüência genérica (a1,a

2,a

3...a

1n−,a

n), temos:

a2-a

1 = a

3-a

2 = ... = a n -a 1n− = r = razão da P. A.

Exemplo:

(3, 8, 13, 18) é uma P.A., onde a1 = 3 e r = 5

A P.A. é finita ou limitada, se tiver número finito de termos.A P.A. é infinita ou ilimitada, se tiver número infinito de termos.

Classificação:

Quanto ao valor da razão, uma P.A., pode ser:

- Crescente, se 0r 〉

Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9) = r = 2

-Decrescente, se 0r 〈

Exemplo: (6, 4, 2, 0) = r = -2

- Estacionária ou constante, se 0r =

Exemplo: (5, 5, 5, 5) = 0r =


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3

Fórmula do termo geral

an = a

1 + ( 1n − ) ⋅ r

Exemplos:

1) Calcular o 10 0 termo da P.A. (1, 3, 5, ...)

Solução:

a1 = 1

r = 2

n = 10

a10

= ?

Esclarecimentos:

a1 = primeiro termo que aparece na P.A. neste caso é o número 1.

r = razão. Numa P.A. descobre-se a razão subtraindo o segundo termo

do primeiro ou o terceiro termo do segundo e assim em diante. Neste caso

3 – 1 = 2 ou 5 – 3 = 2, então r = 2.

n = seria o “lugar” onde está o termo. Neste caso pede-se o 10 0 termo,

quer dizer que o termo procurado está no 10 0 lugar.

a10

= é o termo procurado. Ainda não sei????


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4

a n = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r

a10

= 1 + (10-1) ⋅ 2

a10

= 1 + 9 ⋅ 2

a10

= 19

Resposta: O 10 0 termo é o número 19.

2) Numa P.A., o 1 0 termo vale 2 e o 6 0 termo vale 17. Calcular a razão.

Solução:

a1 = 2

a6 = 17

r = ?

n = 6

a n = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r

a6 = a

1 + ( 1n − ) ⋅ r

17 = 2 + (6 - 1) ⋅ r

17 = 2 + 4 ⋅ r

-5 r = 2 - 17

r =15

5

r = 3

Resposta: A razão é 3.

Esclarecimentos: Mas de onde eu tirei n = 6?

O problema está me dizendo que o 1 0 termo vale 2, isto é, a1 = 2 e o 6 0

termo vale 17, isto é, a6

= 17 → 6 0 lugar está o número 17, então, n = 6.


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5

Poderíamos, também completar a P.A.:

- Sabemos que o 1 0 termo é 2 e que o 6 0 termo (último termo) é 17,

então:

P.A. = (2, ..., 17)

Achamos a razão que é 3 → r = 3, então:

P.A. = (2, 5, 8, 11, 14, 17)

2 + 3 = 5

5 + 3 = 8

8 + 3 = 11

11 + 3 = 14

14 + 3 = 17

Propriedades (P.A.)

1 0 ) Em toda a P.A., um termo qualquer, excetuando-se os extremos, é

média aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente.

(1, 3, 5, 7, 9) =5 9

72

+= 3 5

42

a aa

+=

(a1, a

2, a

3, a

4, a

5)

3 75

2

+= 2 4

32

a aa

+=

1 53

2

+= 1 3

22

a aa

+=


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6

2 0 ) Em toda a P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos

extremos é igual à soma dos extremos:

3 0 ) Em toda P.A. de um número ímpar, o termo central ou termo médio é

a média aritmética dos extremos.

Exercícios

1) Calcular x , sabendo-se que (2, x , 8) são 3 termos consecutivos de

P.A.

Solução:

Aplicando 1 a propriedade:

2 85

2

+=

Resposta

Podemos provar:

(2, 5, 8)

5 - 2 = 3

8 - 5 = 3 r = 3


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7

2) Qual é o valor de x , dados os números ( x + 1, 10, x + 15) em P.A.?

Solução:

P.A.: ( x + 1, 10, x + 15)

Aplicando a 3 a propriedade

1 15 10

2 1

x x+ + +=

2 16 20

2 20 16

2 4

4

2

x

x

x

x

+ =

= −

=

=

3) Encontre o valor de a−

, sabendo-se que 2 a, a + 10, a + 18 formam

progressão aritmética nesta ordem.

Solução:

PA = (2 a, a + 10, a + 18)

2 1810

2

2 18 2( 10)

3 18 2 20

3 2 20 18

a aa

a a a

a a

a a

+ += +

+ + = +

+ = +

− = −

Resposta


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9

Soma dos termos

1( )

2

na aS n+

= ⋅

Exercícios

1) Determine o valor da soma dos vinte primeiros termos da sucessão

(10, 13, 16, 19,...)

Solução:

a1 = 10

r = 3

a n = ?

nS = ?

n = 20

a n = a 1 + ( 1n − ) ⋅ r

a20

= 10 + (20 - 1) ⋅ 3

a20

= 10 + 19 ⋅ 3

a20

= 67

1( )

2

nn

a a nS

+ ⋅=

S20

=10 67

202

+⋅

S20

= 770


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10

Resposta: O valor de S20

= 770.

2) Um produtor colheu em 10 dias sua produção de maçãs. No primeiro

dia colheu 11 dúzias; no segundo dia 12 dúzias e assim por diante.

Qual foi o total da produção colhida?

Solução:

Progressão aritmética

10

10

1

10

?

?

r

n

a

S

=

=

=

=

1

10

10

10

1

10

10

10

( 1).

11 (10 1).1

11 920

, (11,12,...,20)

( ).

2

11 20.10

2

155

Re .

n

n

a a n r

a

aa

Entao

a aS n

S

S dúzias

sposta

= + −

= + −

= +

=

+=

+ =

=

Prova real:

Temos uma PA = r = 1 e10

a =20

PA = (11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20)


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12

Fórmula usada para dois termos quaisquer

( )n k a a n k r = + − ⋅

Exemplo: Numa PA de razão 3, cujo 8

0

termo vale 10, o valor do 15

0

termo é:

an= a

k + ( n k − ) ⋅ r

a15

= a8 + (15 - 8) ⋅ 3

a15

= 10 + (15 - 8) ⋅ 3

a15

= 10 + 7 ⋅ 3 a15

=210 Resposta


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13

Progressão Geométrica (PG)

É uma sucessão de termos não-nulos em que o quociente de cada termo

e seu precedente, a partir do segundo, é sempre constante. Esse

quociente é chamado razão da progressão geométrica.

Na seqüência (a1, a

2, a

3, .... a

1n−, a n ), temos

32

1 2 1

n

n

a aa

q a a a−

= = = ⋅ ⋅⋅ =

q = razão da P.G.

Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16) é uma P.G. onde a1

= 1 e q = 2

A P.G. é finita ou limitada, se tiver um número finito de termos.

A P.G. é infinita ou ilimitada, se tiver um número infinito de termos.

Classificação da P.G.

Quanto ao valor da razão:

- Crescente

a) se10a 〉 e 1q〉

Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16)


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14

b) se10a 〈 e 0 1q〈 〈

Exemplo: (-8, -4, -2, -1)

- Decrescente:

a) se10a 〉 e 1a q〈 〈

Exemplo: (20, 10, 5)

b) se1

0a 〈 e 1q〉

Exemplo: (-1, -2, -4, -8)

- Oscilante, quando 0q〈

Exemplo: (-2, -6, -18, -54)

- Estacionária, quando 1q =

Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2)

Fórmula do termo geral

11

na a qn −

= ⋅

Exemplo: Calcular o 1 0 termo da P.G. cujo 6 0 termo vale 1 e a razão 2.

Solução:

a1= ? a

6= a

1⋅

1nq −

a6= 1 1 = a

1⋅ 2 6 1−

q = 2 1 = 2 5 ⋅ a1


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15

n = 6 2 5 a1= 1

32a1

=1

a1=

1

32 Resposta

Fórmula para dois termos quaisquer

n k

n k a a q

−= ⋅

Exemplo: Numa P.G. de razão 3, cujo 5 0 termo vale 8, o valor do 9 0 termo

é:

Solução:

q = 3 a 9 = a k ⋅ n k

q −

a k = a 5 = 8 a 9 = 8 ⋅ 3

9 5−

k = 5 a9= 8 ⋅ 3 4

a9= ? a

9= 648 Resposta

n = 9

Propriedades

1) Em toda PG, qualquer termo em módulo excetuando-se os extremos, é

média geométrica entre o seu antecedente e o seu conseqüente.

(3, 6, 12, 24, ...) = 6 = 3 12⋅


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16

(a1, a

2, a

3, a

4, ...) = a

2=

1 3a a⋅

2) Em toda PG limitada, o produto de dois termos eqüidistantes dos

extremos é igual ao produto dos extremos.

(1, 2, 4, 8, 16, 32) = 2 ⋅ 16=1.32

(a1, a

2, a

3, a

4, a

5, a

6) =

2 5a a⋅ =

1 6a a⋅

3) Em uma PG de número ímpar de termos, o termo central em módulo émédia geométrica entre os extremos.

(1, 2, 4, 8, 16) = 4 = 1 16⋅

(a1, a

2, a

3, a

4, a

5) = a

3=

1 5a a⋅

Interpolação

Interpolar ou inserir k meios geométricos entre os termos a1 e a n

significa determinar k termos que devem formar uma PG onde a1 e a n

sejam extremos. Podemos observar que a quantidade de termos é

2n k = + e que nos falta apenas a razão da PG. Essa razão é dada por:

anq = k+1a1


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17

Exercícios

1) O 3 0 e o 5 0 termo de uma progressão geométrica crescente valem 1 e

9, respectivamente. Calcule o 4 0 termo:

PG = (a1, a

2, a

3, a

4, a

5)

( , ,1, ,9)1 2 4

PG a a a=

1 9 9 3⋅ = =

a4= 3 1 a propriedade

2) Calcule x , se x , 2 x + e 6 x + estão em progressão geométrica, nesta

ordem:

Solução:

PG = ( x , 2 x + , 6 x + )

( 6) 2 x x x⋅ + = +

( Ι )2

6 x x+ = 2 22 2 2 x x+ ⋅ ⋅ + ( ΙΙ )

2 4 x =

4

2 x =

Resposta


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18

A PG ficaria, 2 x =

PG = (2, 2+2, 2+6)

PG = (2, 4, 8)

Observação:

Ι ) Para excluir a raiz quadrada do lado esquerdo da igualdade, elevou-se

ao quadrado os dois lados da igualdade.

ΙΙ ) No lado direito da igualdade foi aplicado produtos notáveis (“o

quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo

mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo, mais o segundo termo ao

quadrado”).

3) Interpole 3 meios geométricos entre 3 e 243, sendo a P.G. oscilante:

Solução:

PG oscilante quando 0q〈

Podemos aplicar diretamente a fórmula para acharmos a razão ( q ).

k = meios geométricos

2n k = +

1

1

nk

aq

a+=


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19

3k = 4243

3q =

2n k = + 4 81q =

n = 3 + 2

5n =

a1= 3

a5= 243

= 43

Sabemos que a razão é 3, então:

PG = (3, 9, 27, 81, 243)

3 ⋅ 3 = 99 ⋅ 3 = 27

27 ⋅ 3 = 81

81 ⋅ 3 = 243


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20

Soma dos termos da PG finita

A soma dos termos de uma PG finita é dada por:

1

1

n

n

a q aS

q

−=

− ou 1

( 1)

1

n

n

a qS

q

−=

−

Exemplo:

Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, ...)

Solução:

10S = ? 1

( 1)

1

n

n

a qS

q

−=

−

a10

= ?10

S =( )101 2 12 1

⋅ −

−

n = 1010

S = 1023 Resposta

a1= 1

q = 2

Soma de PG decrescente e ilimitada

Uma PG é decrescente e ilimitada se / / 1q 〈 e n →∝ .

Numa PG decrescente e ilimitada, quando n →∝ , o último termo tende a

zero.


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21

1

1

aS

q∝

=−

Exemplo:

1) A soma dos infinitos termos da PG1 1

1, , ,...2 4

é:

1

1

aS

q∝

=

−

1 1

1 2 112 2

S ∝

= =

−−

1

1

2

S ∝

=

a1= 1

21

1S

∝ = ⋅

1

1

21 2q = = 2S ∝ = Resposta

Produtos dos termos da PG

O produto dos termos da PG (a1, a

2, ..., a

n) é:

( 1)

21

n n

nP n a q

−

= ⋅

Ou

1( )

n

nP n a a= ⋅


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22

Caso a P.G. tenha termos negativos, o sinal do produto é dado pelo

número de termos negativos:

a) se houver um número par de termos negativos, o produto é positivo.

b) Se houver um número ímpar de termos negativos, o produto é

negativo.

Exemplo:

Calcular o produto dos 8 primeiros termos da PG (1, 2, 4, ...).

a1= 1

nq = 2

n = 8

( 1)

21

n n

n

P n a q

−

= ⋅ 8 (8 1)

8 21 2P n−

= ⋅

8(7)

28 1 2P = ⋅

56

28 1 2P = ⋅

288 1 2P = ⋅

288 2P =


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Profissão

Três sujeitos discutiam quem tinha a profissão mais antiga.

- Não que eu queira contar vantagem- disse o marceneiro -, mas os meus

antepassados construíram a Arca de Noé.

- Isso não é nada!- respondeu o jardineiro.- Foram os meus antepassados

que plantaram o Jardim do Éden.

- Tudo bem- disse o eletricista -, mas quando Deus disse “ Haja luz” ,

quem vocês acham que tinha puxado toda a fiação ????

Fonte: http://piadas.piadas.com.br

Exercícios

1) Determine a razão da PG conhecendo dois de seus termos:

a) a1= 6 a

6= 192

n k

n k a a q −= ⋅

a n = a 6 = 192

n = 6


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24

a k = a 1= 66 1

192 6 q −= ⋅

k = 1

5

192 6q=

q = ? 56 192q =

5 192

6q =

2q = Resposta

= 52

2) Determine o número de termos da PG (1, 2, ..., 256).

Solução:

a1= 1 a n = 256

q = 2 n = ?

1

1

n

na a q −= ⋅

1256 1 2

n−= ⋅

12 256

n−=

1 8n − =

9n =

Resposta: a PG tem nove termos.


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25

3) Interpole 6 meios geométricos entre 1 e 128.

Solução:

a1= 1 1

1

n

na a q −

= ⋅

q = ? 18 1

na a q −= ⋅

a8= 128 8 1128 1 q −= ⋅

n = 8 7 128q =

7 72

2

q

q

=

=

Então 2q = , é só multiplicarmos:

1 ⋅ 2 = 2 16 ⋅ 2 = 32

2 ⋅ 2 = 4 32 ⋅ 2 = 64

4 ⋅ 2 = 8 64 ⋅ 2 = 128 que é o último termo o a8.

8 ⋅ 2 = 16

4) Obtenha a soma dos 6 primeiros termos da PG (7, 14, ...)

Solução:


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26

6 1

6

6

6

1

1

2 17

2 1

64 17

2 1

nq

S aq

S

S

−= ⋅

−

−= ⋅

−

− = ⋅

−

6

6

7 63

441

S

S

= ⋅

=

Resposta: A soma dos 6 primeiros termos da PG é 441.

5) Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes de

modo que a 1 a prestação é de 1000 unidades monetárias e cada uma

das seguintes é o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?

Solução:

PG = (1000, 2000, 4000, 8000, 16000, 32000, 64000)

a1, a

2, a

3, a

4, a

5, a

6, a

7

a1= 1 000

a7= 64000

q = 2

n = 7

7

7

2 11000

2 1S

−= ⋅

−

7

7

1000 127

127000

S

S

= ⋅

=


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27

Resposta: O automóvel custou R$127000

Observação: bastaria somar:

1000 + 2000 + 4000 + 8000 + 16000 + 32000 + 64000 = 127000.

6) (FUV - 83 – Modificado) Calculando um dos ângulos de um triângulo

retângulo, sabendo que os mesmos estão em P.G. obtemos:

a) ( ) 02 1 90− ⋅

b) ( ) 03 1 45− ⋅

( ) 0) 5 1 45c−

− ⋅

d) ( ) 07 90− ⋅

e) ( )02 2 45+ ⋅

Observação: usar PG de 3 termos ( )2, , x xq xq .

No triângulo retângulo o maior ângulo mede 90 0 ( x = 90 0 1q〈 ).

Fazer a soma dos termos acima igual a 180 0 (soma dos ângulos internos

num triângulo).

Solução: usando a PG de 3 termos ( )2, , x xq xq faremos x = 90 0 , então as

medidas serão (90 0 , 90 0 q , 90 0 2q ), onde 0 1q〈 〈 , pois o maior Ângulo no

triângulo retângulo mede 90 0 .

Então: 90 0 + 90 0 q + 90 0 2q = 180 0


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28

Aplicar Bháskara

290 90 90 180q q+ + =

21 0q q+ − =

24

2

b b acq

a

− ± −=

( )1 1 4 1 1

2q

− ± − ⋅ ⋅ −=

1 5

2q

− ±=

1 5

2q

Ι − +=

1 52

qΙΙ − −

= (não convém)

Logo, substituindo (90 0 , 90 0 q , 90 0 2q )

( ) ( )( )0 0 090 ,45 1 5 , 45 3 5− + − os ângulos do triângulo medirão estes

valores.

Alternativa c é a correta


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29

7) (FUV - 83 – Modificado) Três números distintos formam uma P.A.

crescente, cuja soma é três. Seus quadrados, mantendo a respectiva

ordem, formam uma PG. Qual é a razão da P.A.?

a) 1 b) 2 c−

) 2 d) 3 e)2

2

Usar a PA de três termos

x-r,x,x+ra ,a ,a1 2 3

Pelo enunciado (a 21

; a 22; a 2

3) é PG, então:

2 2

3 2

2 2

2 1

a a

a a=

Se a PA é crescente, então 0r 〉

A razão se calcula, por exemplos,2 1

r a a= −

Solução:

Usando a PA de três termos ( ), , x r x x r − + teremos:

3 x r x x r − + + + =

(enunciado)Onde 1 x =

Logo, PA fica ( )1 ,1,1r r − + mas ( ) ( )( )2 21 ,1, 1r r − + é PG conforme

enunciado então,( )

( )( ) ( )

2

2 2

2

111 1 1

11

r r r

r

+= → + ⋅ − =

−


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30

( )2

1 1r − =

( )2

2 2 21 2 1 1− ⋅ ⋅ + =r r

2 41 2 1r r − + =

2 42 0r r − + =

( )2 2r -2+r = 0

coloca em evidência 2r

2

I

r = 0

r = 0

22 0r − + =

22r =

2r ΙΙ

= ±

Alternativa c é a correta

8) (Colégio Bandeirantes; Z., A.A .) Em uma progressão aritmética de termos

positivos, os três primeiros termos são 1 a− , a− , 11 a− . O quarto

termo desta P.A. é:

a) 2 b−

) 3 c) 4 d) 5 e) 6


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31

Dados três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é igual à

média aritmética dos outros dois, ou seja, se ( ), ,a b c é PA, então

2

a cb

+= .

Solução:

Como ( )1 , , 11a a a− − − é uma PA, temos:

( )1 11

2

a aa

− + −− =

2 1 11a a a− = − + −

( ) ( )2 2

2 1 1 11a a a− − ⋅ − ⋅ + = −

22 1 11a a a+ + = −

22 1 11 0a a a+ + + − =

23 10 0a a+ − =

24

2

b b ac

a

− ± −

( )3 9 4 1 100

2

− ± − ⋅ ⋅ −=

3 7 02

− ± =

2aΙ

= 5aΙΙ = −


32/34



32

Substituindo:

2aΙ

=

( ) ( )1 , , 11 1 2, 2, 11 2a a a− − − = − − −

( )1, 2,3= − −

2

b d c

+=

23

2

d − +=

2 6d − + =

6 2d = +

8d = falso

5aΙΙ

= −

( ) ( )1 5, 5, 11 5 6,5,4+ + + = a b c d?

2

b d c

+=

54

2

d +=

5 8d + =

8 5d

= −

3d = verdadeira

Alternativa b é a correta.


33/34



33

9) (Colégio Bandeirantes; Z., A . A .) Para todo n−

natural não nulo, sejam as

seqüências.

(3, 5, 7, 9, ..., a n , ...)

(3, 6, 9, 12, ..., bn, ...)

1 2 3( , , ,..., ,...)nC C C C

Com n n nC a b= + . Nessas condições, 20C é igual a:

a) 25 b) 37 c−

) 101 d) 119 e) 149

Observação: a primeira seqüência dada é uma PA de razão 2 e a

segunda seqüência dada é uma P.A. de razão 3. O termo geral de uma

PA é1

( 1)na a n r = + − ⋅

Solução:

A seqüência (3, 5, 7, 9, ... a n , ..) é uma PA de razão 2, então:

1( 1)na a n r = + − ⋅

3 ( 1) 2na n= + − ⋅

A seqüência (3, 6, 9, 12, ... b n , ...) é uma PA de razão 3, então:

1( 1)nb b n r = + − ⋅


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LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www somaticaeducar com br

34

3 ( 1) 3nb n= + − ⋅

Comon n nC a b= +

20 20 20C a b= +

( ) ( )20 3 20 1 2 3 20 1 3C = + − ⋅ + + − ⋅

20101C =

Letra c é a correta.

PA & PG - Exercícios Resolvidos

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