OTIMIZAÇÃO DO PRÉ-PROJETO DE VIGAS DE CONCRETO …

OTIMIZAÇÃO DO PRÉ-PROJETO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS

Leonardo de Jesus Alexandre

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos necessários

à obtenção do título de Mestre em Engenharia

Civil.

Orientador: Ibrahim Abd El Malik Shehata

Rio de Janeiro

Junho de 2014

1




DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Ibrahim Abd El Malik Shehata, Ph.D.

________________________________________________ Profª. Eliane Maria Lopes Carvalho, D.Sc.

________________________________________________ Profª. Beatriz de Souza Leite Pires de Lima, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

JUNHO DE 2014

iii

Alexandre, Leonardo de Jesus

Otimização do pré-projeto de vigas de concreto

armado utilizando Algoritmos Genéticos / Leonardo de

Jesus Alexandre – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2014.

XX, 132 p.: il.; 29,7 cm.


Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Civil, 2014.

Referências Bibliográficas: p. 130-132.

1. Otimização de Vigas. 2. Algoritmos Genéticos. 3.

Concreto Armado. 4. Detalhamento de vigas. I. Shehata,

Ibrahim Abd El Malik. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III.

Título.

iv

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, Iuldeci e Orlando, pelo apoio incondicional e carinho

durante todos os momentos.

v

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Ibrahim Abd El Malik Shehata, pela orientação, conselhos e

paciência durante todos os momentos desta jornada.

Aos demais professores do Programa de Engenharia Civil que contribuíram para

minha qualificação profissional.

Aos amigos e colegas de trabalho, por terem me apoiado durante todo período

do mestrado.

Aos meus pais, Iuldeci e Orlando, e a minha irmã Aline, que sempre me

ajudaram, incentivaram e apoiaram incondicionalmente em todas as fases da minha

vida.

A minha namorada, Caroline, pelo companheirismo, compreensão, palavras de

estímulo e carinho, mesmo nos momentos mais difíceis.

A todos que direta ou indiretamente colaboraram para a realização deste

trabalho.

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)




Junho/2014


Programa: Engenharia Civil

Este trabalho trata da utilização do Método dos Algoritmos Genéticos no

dimensionamento ótimo de vigas retangulares de concreto armado submetidas a

esforços de flexão e cisalhamento. Optou-se por este método de otimização devido a sua

flexibilidade no tratamento de restrições e a facilidade em lidar com variáveis discretas.

A minimização do custo dos insumos (concreto, forma e aço) e da mão de obra foi

utilizada como função objetivo, que foi restringida para atender as recomendações da

NBR 6118:2007 (Projeto de Estruturas de Concreto - procedimento) quanto ao Estado

Limite Último e ao Estado Limite de Serviço. A partir de uma geometria conhecida, tais

como características dos apoios, vão, largura e cobrimento da armadura, e da

disponibilidade dos materiais, o processo de otimização visa encontrar os valores

ótimos para a altura da viga, resistência à compressão do concreto, ângulo de inclinação

da biela e detalhamento da armadura, que engloba a definição das bitolas, quantidades,

posições e tamanhos das barras de aço necessárias. Foi estudado o desempenho da

otimização para diferentes configurações dos parâmetros do Algoritmo Genético e a

sensibilidade aos custos unitários dos materiais. A utilização do programa desenvolvido

na otimização de problemas teóricos e de um caso prático é analisada junto com

sugestões para trabalhos futuros.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

DESIGN AND DETAILING OPTIMIZATION OF REINFORCED CONCRETE

BEAMS USING GENETIC ALGORITHMS


June/2014

Advisor: Ibrahim Abd El Malik Shehata

Department: Civil Engineering

This work presents a study on the use of Genetic Algorithms method to obtain

the optimal design of reinforced concrete beams with rectangular cross-section

subjected to bending moments and shear. This optimization method was chosen due the

advantages of flexibility in handling constraints and ease in dealing with discrete

variables. The cost minimization of the materials (concrete, steel and formwork) and

labor was used as an objective function, subjected to the limits (ultimate and

serviceability limit states) of the Brazilian Standards NBR 6118:2007 (Procedure for the

Design of Concrete Structures). From the known geometry, such as supports properties,

beam span, beam width, concrete cover and available materials, the optimization

process is triggered to obtain the optimal solution for the beam depth, concrete

compressive strength, strut angle and reinforcement detailing, which encompasses the

definition of diameters, quantities and curtailment of the steel bars. Finally, a study on

the sensitivity of the obtained optimized solution towards the variation of the main

influential parameters (GA parameters and unit costs) is presented and discussed.

Application of the developed code on three different cases, two from the literature and

one from the practice, are compared and discussed together with some suggestions for

future studies.

viii

Sumário

1 Introdução .................................................................................................................. 1

2 Revisão Bibliográfica ................................................................................................ 4

2.1 Introdução ........................................................................................................ 4

2.2 Otimização de Seções de Concreto .................................................................. 6

2.2.1 Trabalho de COELLO et al. (1997) ..................................................... 6

2.2.2 Trabalho de RAFIQ e SOUTHCOMBE (1998) ................................... 8

2.2.3 Trabalho de ARGOLO (2000) ........................................................... 10

2.2.4 Trabalho de BASTOS (2004) ............................................................. 12

2.2.5 Trabalho de OLIVIERI (2004) ........................................................... 14

2.2.6 Trabalho de SRINIVAS e RAMANJANEYULU (2007) .................. 16

2.2.7 Trabalho de AYDIN e AYVAZ (2010) ............................................. 18

2.3 Otimização de Elementos de Concreto .......................................................... 20

2.3.1 Trabalho de KOUMOUSIS e ARSENIS (1998) ................................ 20

2.3.2 Trabalho de LEPS e SEJNOHA (2003) ............................................. 23

2.3.3 Trabalho de GOVINDARAJ e RAMASAMY (2005) ....................... 25

2.3.4 Trabalho de CORTÊS (2010) ............................................................. 28

2.4 Considerações Finais ..................................................................................... 30

3 Descrição e Representação do Problema ................................................................. 34

3.1 Introdução ...................................................................................................... 34

ix

3.2 Variáveis de Projeto ....................................................................................... 35

3.2.1 Definição das Variáveis ..................................................................... 35

3.2.2 Codificação e Decodificação das Variáveis ....................................... 36

3.3 Função Objetivo ............................................................................................. 42

3.4 Análise Estrutural ........................................................................................... 44

3.4.1 Modelo Estrutural ............................................................................... 45

3.4.2 Combinações de Ações e Determinação dos Esforços Solicitantes ... 47

3.4.3 Determinação da Geometria da Treliça e do Detalhamento da

Armadura ............................................................................................ 49

3.5 Restrições de Projeto ...................................................................................... 51

3.5.1 Cálculo do Momento Fletor Resistente da Seção Transversal ........... 52

3.5.2 Cálculo do Esforço Cortante Resistente da Viga ............................... 57

3.5.3 Restrição da Altura da Linha Neutra .................................................. 60

3.5.4 Verificação das Taxas de Armadura .................................................. 60

3.5.5 Verificação do Arranjo da Seção Transversal .................................... 61

3.5.6 Verificação do Estado Limite de Serviço de Abertura de Fissuras .... 63

3.5.7 Verificação do Estado Limite de Serviço de Deformação Excessiva 65

3.6 Função Aptidão .............................................................................................. 67

3.7 Programa piloto .............................................................................................. 70

3.7.1 Descrição das Janelas do Programa piloto ......................................... 73

3.7.2 Resultados exibidos no AutoCAD ..................................................... 81

x

4 Aplicações e Testes ................................................................................................. 83

4.1 Introdução ...................................................................................................... 83

4.2 Avaliação dos Parâmetros do Algoritmo Genético ........................................ 84

4.3 Comparação com Outros Trabalhos ............................................................... 98

4.3.1 Exemplo 1 .......................................................................................... 98

4.3.2 Exemplo 2 ........................................................................................ 103

4.4 Comparação com um Projeto Real de uma Viga ......................................... 108

4.5 Estudo de Sensibilidade ............................................................................... 119

5 Conclusão .............................................................................................................. 126

Referências Bibliográficas ............................................................................................ 130

xi

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Seção transversal típica da viga de concreto armado otimizada por

COELLO et al. (1997). ..................................................................................................... 7

Figura 2.2 - Representação binária do posicionamento da armadura (RAFIQ e

SOUTHCOMBE, 1998). .................................................................................................. 9

Figura 2.3 - Detalhamento possível considerado por ARGOLO (2000). ...................... 10

Figura 2.4 - Detalhamento possível considerado por BASTOS (2004). ....................... 12

Figura 2.5 - Apresentação esquemática das variáveis consideradas por OLIVIERI

(2004) ............................................................................................................................. 14

Figura 2.6 - Seção transversal típica da ponte (SRINIVAS e RAMANJANEYULU,

2007). .............................................................................................................................. 16

Figura 2.7 - Arquitetura da Rede Neural Artificial utilizada (SRINIVAS e

RAMANJANEYULU, 2007). ........................................................................................ 17

Figura 2.8 – Seção transversal típica da longarina otimizada (AYDIN e AYVAZ, 2010)

........................................................................................................................................ 19

Figura 2.10 - Detalhe típico da armadura (KOUMOUSIS e ARSENIS, 1998) ............ 22

Figura 2.9 - Camadas de armadura consideradas por KOUMOUSIS e ARSENIS

(1998). ............................................................................................................................ 22

Figura 2.11 - Detalhamento da armadura longitudinal e transversal (LEPS e

SEJNOHA, 2003). .......................................................................................................... 24

Figura 2.12 - Modelo de detalhamento da armadura proposto por GOVINDARAJ e

RAMASAMY (2005). .................................................................................................... 26

Figura 2.13 – Seções críticas para o dimensionamento da armadura transversal

(GOVINDARAJ e RAMASAMY, 2005). ..................................................................... 27

xii

Figura 2.14 - Representação esquemática de algumas variáveis considerados por

CORTÊS (2010). ............................................................................................................ 29

Figura 3.1 - Comparação entre os métodos de representação de variáveis repetidas.... 38

Figura 3.2 - Geometria do modelo estrutural. ............................................................... 45

Figura 3.3 - Condições de contorno dos apoios em função da geometria do pilar ........ 46

Figura 3.4 - Etapas para a montagem da treliça. ........................................................... 50

Figura 3.5 - Análise da seção de concreto armado. ....................................................... 53

Figura 3.6 - Relação constitutiva do concreto. .............................................................. 54

Figura 3.7 - Relação constitutiva do aço. ...................................................................... 54

Figura 3.8 - Esquema do posicionamento da armadura longitudinal. ........................... 57

Figura 3.9 - Critério para o espaçamento mínimo entre as barras. ................................ 62

Figura 3.10 – Comparação entre a altura das camadas e a altura máxima de camadas. 63

Figura 3.11 - Concreto de envolvimento da armadura. ................................................. 64

Figura 3.12 - Critério para a ponderação do momento de inércia equivalente.............. 66

Figura 3.13- Fluxograma do Algoritmo Genético do programa.................................... 71

Figura 3.14 - Fluxograma da sub-rotina para avaliação da população. ......................... 72

Figura 3.15 - Formulário de abertura do programa de pré-dimensionamento ótimo de

vigas. ............................................................................................................................... 73

Figura 3.16 - Formulário para inserção da quantidade de apoios com suas respectivas

características.................................................................................................................. 74

Figura 3.17 - Formulário para inserção da quantidade de cargas concentradas e suas

respectivas características. .............................................................................................. 74

xiii

Figura 3.18 - Formulário para inserção da quantidade de cargas distribuídas e suas

respectivas características. .............................................................................................. 75

Figura 3.19 - Formulário para inserção dos parâmetros do Algoritmo Genético. ......... 75

Figura 3.20 - Formulário para inserção dos possíveis valores para o fck do concreto.. 76

Figura 3.21 - Formulário para inserção dos possíveis valores para a altura da viga. .... 76

Figura 3.22 - Formulário para inserção dos possíveis valores para as bitolas da

armadura. ........................................................................................................................ 77

Figura 3.23 - Formulário para inserção dos possíveis valores para a inclinação da biela

comprimida. .................................................................................................................... 77

Figura 3.24 - Menu para acesso as configurações do programa.................................... 78

Figura 3.25 - Formulário de parâmetros das ações na viga e da rigidez das seções. .... 78

Figura 3.26 - Formulário de parâmetros referentes as características do concreto e do

aço. .................................................................................................................................. 79

Figura 3.27 - Formulário de parâmetros referentes ao dimensionamento da viga. ....... 79

Figura 3.28 - Formulário de parâmetros referentes ao detalhamento da viga. .............. 80

Figura 3.29 - Desenho do detalhamento da viga no AutoCAD ..................................... 81

Figura 4.1 - Geometria da viga considerada na análise dos parâmetros do Algoritmo

Genético. ......................................................................................................................... 85

Figura 4.2 - Influência do fator de escalonamento no número de gerações necessárias

para o domínio do melhor indivíduo. ............................................................................. 87

Figura 4.3 - Comparação de diferentes fatores de escalonamento no número de

gerações necessário para o domínio do melhor indivíduo. ............................................. 88

Figura 4.4 - Desempenho do operador de crossover para diferentes probabilidades de

crossover e fator de escalonamento de 1,0. .................................................................... 88

xiv





Figura 4.7 - Desempenho do operador de crossover para diferentes fatores de

escalonamento em uma população inicial de 240 indivíduos. ....................................... 90

Figura 4.8 - Desempenho do operador de mutação para diferentes probabilidades de

mutação e fator de escalonamento de 1,0. ...................................................................... 92





Figura 4.11 - Desempenho do operador de mutação para diferentes fatores de

escalonamento em uma população inicial de 10 indivíduos. ......................................... 93

Figura 4.12 - Comparação do desempenho dos operadores de crossover e mutação para

os melhores resultados. ................................................................................................... 94

Figura 4.13 - Desempenho do operador de crossover para diferentes tamanhos de

população e probabilidade de mutação de 5,26%........................................................... 95

Figura 4.14 - Desempenho do operador de crossover para diferentes tamanhos de

população e probabilidade de mutação de 10,0%........................................................... 96

Figura 4.15 - Desempenho dos operadores de crossover de um ponto e dois pontos. .. 96

Figura 4.16 - Desempenho do operador de mutação com codificação binária e em

código de Gray. .............................................................................................................. 97

Figura 4.17 - Valor da aptidão modificada máxima por geração para população inicial

de 10 indivíduos, taxa de crossover e mutação de 0,8 e 0,1. .......................................... 97

xv

Figura 4.18 - Detalhes sugeridos por CHAKRABARTY (1992) e COELLO et al.

(1997) e pelo programa piloto ...................................................................................... 101

Figura 4.19 - Viga otimizada por KANAGASUNDARAM e KARIHALOO (1991). 103

Figura 4.20 - Detalhamento da viga proposto por KANAGASUNDARAM e

KARIHALOO (1991). .................................................................................................. 105

Figura 4.21 - Detalhamento da viga gerado pelo programa piloto para a 1ª análise. .. 106

Figura 4.22 - Detalhamento da viga gerado pelo programa piloto para a 2ª análise. .. 107

Figura 4.23 - Detalhamento da armadura da viga original. ......................................... 108

Figura 4.24 - Distribuição dos esforços de cálculo considerados no dimensionamento

da viga original. ............................................................................................................ 109

Figura 4.25 - Detalhamento gerado pelo programa piloto para a 1ª análise. ............... 111






Figura 4.31 - Custo da solução ótima para diferentes alturas da viga. ........................ 120

Figura 4.32 - Custos relacionados aos insumos e a mão de obra de armador para

diferentes alturas da viga. ............................................................................................. 121

Figura 4.33 - Custo da viga para diferentes alturas e preços de forma. ...................... 122

Figura 4.34 - Custo da viga para diferentes alturas e preços de concreto. .................. 122

Figura 4.35 - Custo da viga para diferentes alturas e preços de aço. .......................... 124

xvi

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 - Comparação entre o resultado de CHAKRABARTY (1992) e de COELLO

(1997) com diferentes codificações para o AG. ............................................................... 8

Tabela 2.2 - Parâmetros do Algoritmo Genético e valor da função objetivo penalizada.

........................................................................................................................................ 20

Tabela 3.1 - Comparação entre a codificação binária e o código de Gray .................... 36

Tabela 3.2 - Exemplo do vetor ��. .......................................................................... 39

Tabela 3.3 - Exemplo de codificação e decodificação do ��. ..................................... 40

Tabela 3.4 - Exemplo de codificação e decodificação de �. ......................................... 41

Tabela 3.5 - Exigência de durabilidade relacionada à fissuração para concreto armado

em função da agressividade ambiental. .......................................................................... 63

Tabela 3.6 - Tabela de aço gerada no AutoCAD. .......................................................... 82

Tabela 3.7 - Tabela de compra de barras gerada no AutoCAD. .................................... 82

Tabela 3.8 - Tabela com valores adotados para as variáveis e detalhamento do custo da

viga. ................................................................................................................................ 82

Tabela 4.1 - Espaço de busca das variáveis considerado na análise dos parâmetros do

Algoritmo Genético. ....................................................................................................... 85

Tabela 4.2 - Distribuição do tamanho da população e número de gerações para

diferentes análises. .......................................................................................................... 86

Tabela 4.3 - Taxas de mutação utilizadas nas análises para os diferentes tamanho de

população. ....................................................................................................................... 91

Tabela 4.4 - Espaço de busca das variáveis para a otimização do problema proposto por

CHAKRABARTY (1992). ............................................................................................. 99

xvii

Tabela 4.5 - Resultados obtidos por CHAKRABARTY (1992), COELLO et al. (1997)

e pelo programa com espessura de cobrimento de 5,0 cm. .......................................... 100

Tabela 4.6 - Resultados obtidos por CHAKRABARTY (1992), COELLO et al. (1997)

e pelo programa com espessura de cobrimento de 2,5 cm. .......................................... 101

Tabela 4.7 - Comparação entre os resultados da análises considerando ou não o

escalonamento da armadura. ........................................................................................ 102

Tabela 4.8 - Comparação dos resultados considerando ou não os custos relativos à

armadura transversal, construtiva e de pele. ................................................................. 102

Tabela 4.9 - Espaço de busca das variáveis para a otimização do problema proposto por

KANAGASUNDARAM e KARIHALOO (1991). ...................................................... 104

Tabela 4.10 - Comparação entre os custos da solução proposta por

KANAGASUNDARAM e KARIHALOO (1991) e da 1ª análise. .............................. 105

Tabela 4.11 - Comparação entre os custos da solução proposta por

KANAGASUNDARAM e KARIHALOO (1991) e da 2ª análise. .............................. 106

Tabela 4.12 - Comparação entre os custos da 1ª e 2ª análise. ..................................... 107

Tabela 4.13 - Preço dos insumos considerados da otimização da viga. ...................... 110

Tabela 4.14 - Espaço de busca das variáveis para a otimização da viga. .................... 110

Tabela 4.15 - Comparação entre os custos do projeto original e da 1ª análise. ........... 112




Tabela 4.19 - Comparação entre os custos do projeto original e da 3ª análise

considerando o desperdício do aço. .............................................................................. 115

xviii

Tabela 4.20 – Comparação entre os custo da 3ª análise considerando desperdício e os

da 5ª análise. ................................................................................................................. 116

Tabela 4.21 - Preço do aço e da mão de obra considerando o serviço de corte e dobra.

...................................................................................................................................... 117

Tabela 4.22 - Comparação entre os custos da 5ª análise e da 6ª análise...................... 117

Tabela 4.23 - Comparação entre os custos da 3ª análise e da 6ª análise...................... 118

Tabela 4.24 - Espaço de busca das variáveis para a análise da viga biapoiada. .......... 119

Tabela 4.25 - Preços adotados para as variáveis.......................................................... 120

Tabela 4.26 - Custo total da viga, dos insumos e de armador para diferentes variações

no preço da forma. ........................................................................................................ 123


no preço do concreto..................................................................................................... 123


no preço do aço. ............................................................................................................ 125

xix

Lista de Símbolos

� Área �� Área de forma � Área de aço � Coeficiente de majoração � Módulo de elasticidade � Módulo de elasticidade secante do concreto � Módulo de elasticidade secante do aço � Força, carga, ação �� Função de penalização �� Fator de reaproveitamento da perda �� Função aptidão � Momento de inércia � Matriz de rigidez � Tamanho do elemento � Momento fletor �� Erro permitido ao momento fletor � Esforço normal �� Erro permitido ao esforço normal ��. Número de variáveis �() Função que retorna o número de valores possíveis para a variável ��() Função que retorna o número de bits necessário para codificar a variável � Peso � Peso de concreto � Peso de aço � Esforço cortante � ! Volume de concreto �() Vetor que armazena os valores possíveis para a variável "# Módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada.

$ Largura da seção � Cobrimento da armadura % Altura útil da seção &' Espaçamento horizontal livre entre as barras da armadura &� Espaçamento vertical livre entre as barras da armadura &(( ��)�* Taxa de erro relativo ao esforço normal &(( )�)�� Taxa de erro relativo ao momento fletor � Resistência ℎ Altura da seção

xx

! Comprimento, Comprimento total da viga !��,�- Largura dos apoios extremos . Número / Espaçamento, Espaçamento entre estribos 0 Distância da linha neutra ao bordo comprimido, coordenada 1 Abertura de fissuras 2 Distância da camada ao centroide da seção, coordenada 3 Braço de alavanca interno ∆-,� Deslocamento do i-ésimo nó na direção horizontal ∆5,� Deslocamento do i-ésimo nó na direção vertical ∆6,� Rotação do i-ésimo nó ∆� Área de uma camada 7 Ângulo de inclinação dos estribos 8 Coeficiente de ponderação 9 Flecha : Coeficiente de conformação superficial da barra de aço ; Deformação específica � Ângulo de inclinação da biela, rotação relativa por unidade de

comprimento < Taxa geométrica de armadura, massa específica <) Massa específica do aço = Tensão normal ∅ Diâmetro, Diâmetro das barras de aço ?@ Fator de redução para combinação frequente ?A Fator de redução para combinação quase permanente $ Custo unitário por unidade de medida $() Função que retorna o custo unitário para um valor particular de uma

variável

1

1 Introdução

No projeto convencional de estruturas de concreto armado, faz-se primeiramente

o lançamento e a análise da estrutura, determinando os esforços atuantes e

posteriormente realiza-se o dimensionamento e detalhamento de cada peça estrutural de

modo que as especificações do projeto e os requisitos funcionais estabelecidos em

norma sejam atendidos. Na maioria dos casos, existem diversas soluções possíveis e

com custos diferentes.

A competitividade existente no mercado tem motivado a elaboração de projetos

mais econômicos, diminuindo o consumo de material utilizado na construção e

sistematizando o projeto para simplificar a sua execução, mas sem comprometer a

segurança estrutural. Para que estes objetivos sejam alcançados, técnicas de otimização

podem ser aplicadas com o intuito de buscar entre as inúmeras soluções possíveis, a que

melhor atende critérios previamente definidos.

Existem diferenças importantes entre o projeto convencional e o projeto ótimo.

No primeiro, a solução é obtida por um processo de tentativa e erro que pode demandar

um grande tempo de cálculo e é influenciado pela experiência do projetista, dificultando

a obtenção da “melhor” solução. Já no projeto estrutural ótimo, as variáveis de projeto,

as restrições impostas e as funções objetivo, são previamente definidas e

correlacionadas utilizando um modelo matemático que represente o projeto em estudo.

Tal modelo é solucionado utilizando uma técnica de otimização que segue um processo

sistemático e aumenta as chances de se obter a solução ótima.

Os primeiros trabalhos que utilizaram métodos de otimização na engenharia

estrutural foram realizados nas décadas de 50 e 60 com o emprego de métodos

determinísticos, tais como, programação linear e programação não-linear, para

minimizar o consumo de material ou o peso da estrutura. Com o passar do tempo, houve

um considerável avanço que pode ser observado pela quantidade de publicações

relacionadas ao tema.

Até início da década de 90, a aplicação de algoritmos determinísticos era

predominante nos problemas de otimização estrutural. Entretanto, verificou-se uma

2

grande lacuna entre o avanço teórico e a prática nos escritórios de engenharia, pois as

soluções obtidas com a otimização necessitam de adaptações para serem executadas e a

complexidade dos métodos matemáticos é um grande obstáculo.

Estes fatores têm incentivado a pesquisa com métodos alternativos capazes de

alcançar resultados melhores ou iguais aos obtidos pelos métodos determinísticos. Os

métodos heurísticos, dentre os quais se destaca o Algoritmo Genético, utilizam

estratégias simples e fornecem boas soluções quando aplicados em problemas de

otimização.

O Algoritmo Genético, que foi desenvolvido por John Holland e sua equipe na

Universidade de Michigan, é um algoritmo de busca fundamentado na seleção natural

das espécies e no cruzamento genético. Diferente dos métodos clássicos

(determinísticos), o método dos algoritmos genéticos é de fácil implementação, pois não

realiza cálculos matemáticos complexos, pode ser utilizado em problemas com funções

não diferenciáveis e múltiplos objetivos.

Além disso, não há necessidade de simplificação na formulação matemática para

utilizar o método, que também consegue resolver problemas que possuem variáveis

discretas e contínuas, o que é muito comum na engenharia, fornecendo soluções que

podem ser executadas sem a necessidade de adaptações.

Alguns estudos que aplicaram o Algoritmo Genético na otimização de estruturas

de concreto armado e confrontaram os resultados com os obtidos utilizando métodos

determinísticos, demonstraram um grande potencial da ferramenta. Tendo em vista as

vantagens citadas e os bons resultados demonstrados na literatura técnica, optou-se por

utilizar o Algoritmo Genético como ferramenta de otimização.

O objetivo deste trabalho é minimizar o custo, composto pela soma dos custos

de materiais e de mão de obra, de vigas retangulares de concreto armado submetidas à

flexão simples e ao cisalhamento. O resultado fornece a altura da viga, resistência à

compressão do concreto, ângulo de inclinação da biela e o detalhamento da armadura,

onde se define a quantidade, bitola, posição e tamanho das barras de aço.

3

A envoltória de solicitações é determinada pela análise matricial das

combinações de carregamento ou obtida por meio da leitura de um arquivo externo. A

partir destes dados, faz-se a verificação do Estado Limite Último, considerando a não

linearidade física do concreto e a analogia da treliça, e do Estado Limite de Serviço,

conforme preconizado na NBR 6118:2007.

Para avaliar se o objetivo foi alcançado, foram realizadas comparações com

outros trabalhos de otimização semelhantes encontrados na literatura técnica, onde

métodos determinísticos e Algoritmo Genético foram utilizados como ferramentas de

otimização.

O presente trabalho está subdividido em capítulos conforme descritos a seguir.

No capítulo 2, faz-se uma revisão bibliográfica sobre a aplicação do método dos

Algoritmos Genéticos na otimização de estruturas de concreto, apontado as variáveis e

restrições consideradas, bem como as diferentes implementações do Algoritmo

Genético.

No capítulo 3 é feita a descrição do algoritmo implementado apresentando-se a

estrutura do programa, o tipo de codificação das variáveis, a função objetivo, a

modelagem do problema estrutural, as restrições consideras e a construção da função

aptidão.

No capítulo 4, verifica-se o desempenho do programa para diferentes

configurações dos parâmetros do Algoritmo Genético e comparam-se as soluções

obtidas com exemplos encontrados na literatura e com o projeto de uma viga. As

conclusões e proposições para trabalhos futuros são apresentadas no capítulo 5.

Os fundamentos relativos ao Algoritmo Genético (terminologia, codificação,

população inicial, número de gerações, operadores genéticos, entre outros) não foram

abordados neste trabalho, pois entende-se que os mesmo já foram exaustivamente

tratados nos trabalhos de ARGOLO (2000), CORTÊS (2010), LEMONGE (1999),

OLIVIERI (2004), entre outros.

4

2 Revisão Bibliográfica

2.1 Introdução

Neste capítulo é realizada a contextualização histórica da aplicação de métodos

de otimização na engenharia estrutural e uma revisão crítica de alguns dos principais

trabalhos de pesquisa envolvendo a utilização de Algoritmos Genéticos na otimização

de estruturas lineares de concreto, principalmente vigas, com o objetivo de avaliar: o

desempenho do método de otimização; como o problema estrutural deve ser formulado;

como a implementação deve ser feita; e quais parâmetros devem ser adotados.

Os primeiros trabalhos que utilizaram métodos de otimização na engenharia

estrutural são das décadas de 50 e 60, onde se destacou o trabalho de HEYMAN (1956),

que utilizou programação linear para minimizar o consumo de material no projeto de

vigas e pórticos no regime plástico; e o trabalho de SCHIMIT (1960), que utilizou

programação não linear para minimizar o peso total de projetos estruturais. Desde então,

houve um considerável avanço que é observado pela quantidade de livros e artigos

relacionados ao tema.

Até o início da década de 90, as técnicas aplicadas à otimização de estruturas

eram em grande maioria baseadas em algoritmos determinísticos. Dentre alguns

trabalhos de destaque deste período, que trataram da otimização de vigas de concreto

tem-se o trabalho de KIRSCH (1972), que desenvolveu uma formulação para minimizar

o custo de vigas protendidas com seção transversal uniforme, considerando como

variáveis a força de protensão, a altura do cabo e as dimensões da seção transversal;

COHN e MACRAE (1984), que abordaram a minimização do custo linear de vigas de

concreto armado sem protensão, com protensão completa e com protensão parcial;

KANAGASUNDARAM e KARIHALOO (1991), que descrevem um procedimento

para minimizar o custo de pilares e vigas de concreto armado, considerando como

variáveis de projetos a taxa de armadura longitudinal, resistência do concreto e

dimensões da seção transversal; CHAKRABARTY (1992), que investigou a

minimização do custo de vigas retangulares de concreto armado em diferentes

condições de projeto considerando a área de aço tensionado e as dimensões da viga

5

como variáveis; e LOUNIS e COHN (1993), que apresentaram um método para

otimização de lajes e vigas I protendidas, considerando duas ou mais funções objetivo

sendo satisfeitas simultaneamente.

Com base no estudo de um amplo catálogo, feito em 1992, COHN e

DINOVITZER (1994) reforçaram a existência de uma grande lacuna entre o avanço

teórico e a utilização prática da otimização estrutural no cotidiano dos escritórios de

engenharia. Os autores sugerem que a complexidade dos métodos matemáticos

representa um grande obstáculo para o projetista de estrutura. Dentre os requisitos

listados por TEMPLEMAN (1983) para potencializar o uso prático da otimização,

pode-se citar: as soluções apresentadas não devem ser meramente teóricas; e o programa

de otimização deve auxiliar o engenheiro ao invés de tentar substituí-lo, pois o

engenheiro é o responsável pelo projeto.

A utilização da computação evolutiva na engenharia estrutural começou em

meados da década de 70 com o trabalho pioneiro de HOEFFLER et al. (1973) que

utilizou estratégias evolutivas para otimizar uma treliça. O primeiro trabalho de

destaque utilizando Algoritmos Genéticos na otimização de estruturas foi publicado por

GOLDBERG e SAMTANI (1986) e deste então é possível observar uma crescente

quantidade de trabalhos utilizando tal técnica. No levantamento realizado por

KICINGER et al. (2005), que reúne os trabalhos publicados até 2004 sobre a aplicação

de computação evolutiva na engenharia estrutural, observa-se que aproximadamente

80% dos trabalhos utilizaram Algoritmos Genéticos como técnica de otimização, o que

demonstra um grande potencial da ferramenta.

Entre as principais vantagens citadas por GOLDBERG (1989) ao se comparar

Algoritmos Genéticos com métodos determinísticos, estão: a facilidade de

implementação, pois não realizam cálculos matemáticos complexos; não necessidade da

função objetivo ser diferenciável ou contínua; realização da busca utilizando uma

população de indivíduos; e trabalho com variáveis discretas e contínuas, o que é muito

comum na engenharia, fornecendo soluções que podem ser executadas sem a

necessidade de adaptação.

6

Baseado nas vantagens citadas e nos resultados promissores encontrados na

literatura, optou-se pelo uso dos Algoritmos Genéticos como técnica de otimização a ser

empregada nesta dissertação.

A seguir é apresentado um resumo dos trabalhos relacionados ao

dimensionamento e detalhamento de estruturas lineares, em sua maioria sobre vigas de

concreto armado, visando à minimização do custo com a utilização de Algoritmos

Genéticos como ferramenta de otimização. Os trabalhos foram divididos em dois

grupos, onde o primeiro relacionado com a otimização da seção e o segundo relacionado

com a otimização do elemento estrutural. Os principais aspectos abordados são:

natureza do problema, funções objetivo, variáveis envolvidas, restrições impostas,

parâmetros do AG, resultados e conclusões.

2.2 Otimização de Seções de Concreto

2.2.1 Trabalho de COELLO et al. (1997)

COELLO et al. (1997) fizeram a otimização da seção transversal de uma viga de

concreto armado com base no modelo proposto por CHAKRABARTY (1992), que

adotou a função objetivo dada pela Equação 2.1 com o intuito de minimizar o custo da

viga. A área de aço (�), altura útil (%) e largura ($) da seção transversal foram as

variáveis adotadas (Figura 2.1). As restrições adotadas foram: não negatividade das

variáveis, largura mínima, razão largura-altura, momento resistente, equilíbrio das

forças e dos momentos na seção da viga.

$��C�/) = $ ∙ � + $ ∙ $ ∙ ℎ + $�,* ∙ ℎ + $�,� ∙ $ (2.1)

2.1 onde: � é a área de aço; $ é a largura da seção; h é a altura da seção; $ é o custo

unitário do aço por quilo; $ é o custo unitário do concreto por metro cúbico; $�,* é o

custo unitário da forma lateral por metro quadrado; $�,� é o custo da forma do fundo da

seção por metro quadrado; e $��C�/) é o custo da viga por metro.

7

Para resolver a otimização, foi utilizado o Algoritmo Genético simples proposto

por GOLDBERG (1989), utilizando operador de cruzamento de dois pontos, seleção por

torneio e com variáveis contínuas representadas por diferentes tipos de codificação:

binária, real e código de Gray. Na codificação binária, dois valores consecutivos podem

ter representações nas quais os bits são diferentes em todas as posições, enquanto que

utilizando o código de Gray esta discrepância é reduzida, pois dois valores consecutivos

diferem pela permuta de um bit, de forma que o cruzamento entre dois valores próximos

resulte em um valor relativamente próximo, o que também é observado na codificação

real.

O exemplo adotado foi igual ao analisado por CHAKRABARTY (1992), que

consiste na otimização de uma viga de concreto armado simplesmente apoiada sobre um

vão de 10 metros e com carga uniformemente distribuída. A adoção de variáveis

contínuas permitiu fazer a comparação com os resultados obtidos por

CHAKRABARTY (1992), que utilizou Programação Geométrica como técnica de

otimização, enquanto que a utilização de codificações diferentes para o AG permitiu

comparar o desempenho de cada uma, conforme mostrado na Tabela 2.1.

A representação com codificação real produziu o melhor resultado, enquanto que

a representação com código de Gray o pior. Entretanto, como o espaço de busca é o

mesmo, para analisar melhor a diferença entre os resultados seria necessário analisar

rodadas diferentes para ver se de fato a diferença encontrada é sistemática ou não.

%

$

� 0,1 ∙ %

Figura 2.1 - Seção transversal típica da viga de concreto armado otimizada por COELLO et al. (1997).

8

Tabela 2.1 - Comparação entre o resultado de CHAKRABARTY (1992) e de COELLO (1997) com diferentes codificações para o AG.

Parâme tros ChakrabartyAG

(binário)AG

(Gray coding) AG (PF)

Área de aço (cm²) 37,6926 36,1893 41,5905 37,5205Altura (cm) 86,0629 89,5402 78,6177 86,4776Largura (cm) 30,0000 30,0162 30,0447 30,0022

Custo da viga ($/cm) 0,4435 0,4442 0,4464 0,4436

Coe llo

Comparando o custo obtido utilizando AG com a codificação real com o custo

encontrado por CHAKRABARTY (1992), nota-se uma diferença de aproximadamente

1% entre os dois métodos. O autor atribui tal fato a uma pequena diferença que foi

inserida nas restrições. Nos demais exemplos onde foram feitas variações nos custos de

insumo, quando não houve influência da restrição que foi adicionada, os custos obtidos

diferiram aos de CHAKRABARTY (1992) apenas na última casa decimal. Entretanto,

a diferença nas demais variáveis foi superior, indicando que as variáveis deveriam ter

sido representadas com mais casas decimais e que o ótimo global é composto por um

conjunto de pontos ou não foi atingido.

2.2.2 Trabalho de RAFIQ e SOUTHCOMBE (1998)

RAFIQ e SOUTHCOMBE (1998) apresentaram uma abordagem para o

dimensionamento e detalhamento ótimo de pilares de concreto armado sujeitos à flexão

composta oblíqua utilizando Algoritmos Genéticos. A Abordagem Declarativa foi

utilizada como ferramenta para verificar a capacidade de carga das soluções fornecidas

pelo Algoritmo Genético.

Duas funções objetivo foram utilizadas, uma para maximizar a resistência da

seção à flexão composta oblíqua e a outra para minimizar a quantidade de armadura. Os

dois objetivos são agregados em uma nova função objetivo obtida da soma ponderada

das funções objetivo. Os fatores de ponderação mudam ao longo das gerações para

melhorar a convergência, dando mais ênfase no início a resistência da coluna e no final

a minimização do custo de aço.

9

O diâmetro (∅) e o posicionamento (0, 2) das barras foram as variáveis

utilizadas. As posições possíveis são geradas automaticamente em função das

dimensões da coluna, respeitando a distância mínima entre as barras. Com o intuito de

reduzir o tamanho do vetor das variáveis, a seção foi considerada simétrica em relação a

ambos os eixos. Esta prática também é adotada para facilitar a execução.

A representação do posicionamento das barras é feito utilizando-se três bits para

a coordenada 0 e três bits para a coordenada 2 de cada barra (Figura 2.2). Dessa forma,

é possível alocar a barra em oito posições diferentes em cada coordenada, mas quando

esse valor for inferior a oito, mais de uma combinação irá representar o mesmo

posicionamento. O diâmetro da barra foi representado com dois bits, sendo possível

testar dessa forma três diâmetros diferentes, pois uma combinação corresponde à

ausência de armadura.

Figura 2.2 - Representação binária do posicionamento da armadura (RAFIQ e SOUTHCOMBE, 1998).

Para cada geração, o melhor indivíduo é guardado; e ao final do processo uma

lista como todos esses indivíduos é disponibilizada para o projetista escolher a solução

que lhe for mais conveniente. O critério de parada utilizado foi de 50 gerações e o

tamanho da população adotado foi de 50 indivíduos. Os autores não justificam por que

adotaram esses valores e não apresentam maiores detalhes sobre o Algoritmo Genético

utilizado.

Foi realizado o dimensionamento de quatro seções, cada uma com dimensões e

solicitações distintas. O resultado obtido foi comparado com o dimensionamento

10

baseado na norma BS8110:1985. As soluções obtidas com o AG foram mais

econômicas, chegando a diferenças maiores do que 18 % em dois casos. Entretanto, o

detalhamento de alguns casos não respeitou a distância máxima entre as barras e

utilizou até três bitolas diferentes, o que não é usual.

2.2.3 Trabalho de ARGOLO (2000)

ARGOLO (2000) utilizou Algoritmos Genéticos para realizar o

dimensionamento ótimo de seções de concreto armado submetidas à flexo-compressão

reta. Com a intenção de minimizar o custo total dos materiais da seção, a Equação 2.2

foi utilizada como função objetivo.

$�çã�/) = $ ∙ <) ∙ � + $ ∙ $ ∙ ℎ + $� ∙ ($L + 2ℎ) (2.2)

2.2 onde:$� é o custo unitário da forma por metro quadrado; <) é a massa específica do

aço; $Lé uma largura fictícia que é assumida igual a b em seções de vigas e igual a 2b

em seções de pilares; e $/&çã /N é o custo da seção por metro.

As variáveis utilizadas foram: altura (ℎ) e largura ($) da seção transversal;

número de camadas horizontais (. ') e camadas verticais (. �) de armadura (Figura

2.3); número de barras (.��) e diâmetro (∅) em uma mesma camada. Como restrições

consideraram-se a resistência da seção transversal ao esforço normal e ao momento

fletor, e os limites superior e inferior de taxa de armadura.

$

ℎ . �@ . �A

. 'O

. 'P

. '@

. 'A

. 'Q

Obs.: . �@ = . �A

Figura 2.3 - Detalhamento possível considerado por ARGOLO (2000).

11

O programa de Algoritmo Genético executado foi do tipo geracional, sendo as

variáveis representadas de forma discreta com codificação binária, e operador de

crossover de um ponto. Para todos os exemplos foram geradas populações com 100

indivíduos, manipulados durante 80 gerações com probabilidade de crossover de 80% e

taxa de mutação de 0,3%.

Comparações com dimensionamentos foram feitas para avaliar a eficiência do

programa. Para uma seção fixa (300 mm x 700 mm) e diferentes valores de solicitação

de esforço normal e momento fletor, os resultados fornecidos pelo programa

apresentaram uma economia de até 26% em relação aos valores obtidos com os ábacos

de Montoya. Considerando as dimensões da seção transversal também como variáveis, a

economia alcançada foi de até 30%. O autor atribui a economia alcançada ao excesso de

armadura obtido quando se utiliza os ábacos.

Comparando os resultados obtidos utilizando o programa com os resultados de

trabalhos extraídos da literatura no qual a otimização foi feita sem utilizar o AG,

obteve-se uma economia de 12% no custo total ao resolver a viga biapoiada estudada

por CHAKRABARTY (1992) e COELLO et al. (1997). Entretanto, apesar dos esforços

aplicados, os custos dos materiais e suas resistências serem idênticas ao do problema

original, não foi considerado o acréscimo da parcela de momento devido ao peso

próprio da viga, prejudicando dessa forma a comparação realizada.

O autor também avaliou o impacto da variação dos preços dos materiais na

solução final aumentando individualmente o custo de concreto, aço e forma em 25% e

50%. Para os casos onde a variação foi de 50%, o custo total aumentou em 14,06%,

12,37% e 16,57% respectivamente, mas o consumo dos materiais variou de forma a

priorizar a utilização dos materiais que não tiveram variação no custo, considerando que

o consumo de concreto e forma estão relacionados. Nota-se que o insumo que mais

afetou o custo final foi a forma, evidenciando a importância da sua consideração apesar

de ser utilizada como molde e não compor o produto final.

12

2.2.4 Trabalho de BASTOS (2004)

BASTOS (2004) utilizou algoritmos genéticos para realizar o dimensionamento

ótimo de seções retangulares de concreto armado submetidas à flexo-compressão

oblíqua, complementando o trabalho de ARGOLO (2000).

A função objetivo foi a mesma definida por ARGOLO (2000), mas para as

restrições foi necessária uma pequena modificação na consideração do momento fletor

para considerar a flexão oblíqua. As variáveis utilizadas foram: altura (ℎ) e largura ($)

da seção transversal, que definem a área de concreto; número (.��) e diâmetro (∅) das

barras de aço por camada, sendo que a seção é composta por duas camadas horizontais,

uma superior e outra inferior, e por duas camadas verticais situadas nas laterais da seção

(Figura 2.4).

Para gerar detalhes usuais de pilares, foi imposta a igualdade entre as camadas

horizontais e entre as camadas verticais, de modo que a seção apresente dupla simetria.

Em relação às barras de aço, limitou-se o uso de uma bitola por camada, sendo a

distribuição feita uniformemente respeitando os critérios estabelecidos por norma.

Com o intuito de permitir a sistematização e a padronização, o programa utiliza

uma estratégia semelhante à empregada por RAFIQ e SOUTHCOMBE (1998), que

armazena os melhores indivíduos possibilitando ao projetista escolher a solução que

achar mais conveniente.

$

ℎ

Camada horizontal superior

Camada horizontal inferior

Camada vertical direita

Camada vertical esquerda

Figura 2.4 - Detalhamento possível considerado por BASTOS (2004).

13

No Algoritmo Genético implementado, as variáveis foram consideradas discretas

com codificação binária, formando indivíduos com 26 bits. A partir de um estudo

considerando o tempo de processamento e a convergência, foram determinados os

parâmetros para a otimização. As aplicações foram feitas com 100 indivíduos ao longo

de 40 geração com taxa de cruzamento de 80% e taxa de mutação de 3%. Utilizando um

processador Pentium III de 1 GHz, o tempo de processamento foi da ordem de 10 a 12

minutos e a convergência ocorreu próxima a trigésima geração.

Na comparação com dimensionamento utilizando ábacos, para uma seção fixa

(400 mm x 600 mm) e com diferentes valores de solicitação, os resultados fornecidos

pelo programa apresentaram uma economia de até 13% em relação aos valores obtidos

com os ábacos de Montoya. Incluindo as dimensões da seção como variáveis, obteve-se

uma economia de até 30%.

Comparando com resultados extraídos da literatura utilizando outros métodos de

otimização, para o caso de flexo-compressão oblíqua, os resultados obtidos pelo AG

apresentaram uma economia de até 34%. Na comparação com um pilar que foi

construído na torre de resfriamento da usina termoelétrica do Norte Fluminense

submetido à flexão composta reta e dimensionado utilizando o programa FLEOB, o

resultado obtido pelo AG apresentou uma economia de 18,7%.

No estudo de sensibilidade dos custos dos insumos no custo final, aumentou-se

individualmente o preço de concreto, aço e forma em 25% e 50%. Para os casos onde a

variação foi de 50%, o custo total aumentou em 11,67%, 17,2% e 16,8%

respectivamente. Diferente do observado por ARGOLO (2000), o insumo que mais

impactou o custo final foi o aço. Entretanto, o autor ressalta que não houve variação na

taxa de armadura quando o preço do aço foi aumentado, pois a solução ótima para a

primeira configuração de preço apresentou taxa de armadura próxima a mínima

estabelecida por norma, impedindo dessa forma a redução da mesma. Caso essa

restrição fosse desconsiderada, o custo de forma passaria a ser o parâmetro de maior

influência.

14

2.2.5 Trabalho de OLIVIERI (2004)

OLIVIERI (2004) estudou a otimização do pré-dimensionamento da seção

transversal de pontes rodoviárias formadas por longarinas pré-fabricadas biapoiadas

com seção I protendida. O método dos Algoritmos Genéticos foi utilizado para

minimizar o custo total, que é composto pela soma do custo de concreto e aço para

armadura ativa e passiva. Por se tratar de longarinas pré-moldadas em fábrica, a parcela

referente ao custo das formas não foi considerada.

As variáveis adotadas foram: altura da seção transversal da longarina (ℎ);

número de longarinas (��); espessura do tabuleiro (ℎ�); número de camadas de

cordoalhas (��,��); e número de cordoalhas de protensão (��) por longarina

(Figura 2.5). A função aptidão (Equação 2.3) foi implementada de forma a penalizar a

função objetivo em diferentes níveis dependendo da magnitude da violação sofrida pela

restrição considerada (resistência à flexão da seção).

� = $��,�� ∙ �� + �� ∙ �� − 1�

�

(2.3)

2.3 onde: � é a função aptidão; $��,�� é o custo total de materiais; �� é o coeficiente de

majoração fixo; �� é o coeficiente de penalização; �� é o momento fletor solicitante

de cálculo; e �� é o momento fletor resistente de cálculo da seção transversal da

ponte.

ℎ

ℎ�

��,��

��

��

Figura 2.5 - Apresentação esquemática das variáveis consideradas por OLIVIERI (2004)

15

O momento de projeto é fornecido pelo usuário, pois o programa não realiza a

análise estrutural. Dessa forma, para o cálculo do custo total, considera-se a armadura

de estribos em função do comprimento do vão da ponte, a armadura de costela em

função do acréscimo na altura da viga, a espessura da laje como função do espaçamento

entre as longarinas e a taxa de armadura principal e secundária definidas pelo usuário.

O Algoritmo Genético utilizado foi do tipo simples, com população de 50

indivíduos ao longo de 25 gerações, crossover de um ponto com probabilidade de 70%

e taxa de mutação de 0,5%, sendo o número de gerações o critério de parada e a seleção

por roleta. Segundo o autor, tais parâmetros foram obtidos mediante uma calibração

prévia, mas não foi esclarecido como tal calibração foi feita.

Com o intuito de comparar o desempenho do programa com soluções reais,

foram analisadas três pontes executadas por uma empresa fabricante de elementos pré-

moldados. Para tal, foram levantadas as características geométricas de cada obra e feita

a otimização das seções transversais utilizando o programa desenvolvido.

Na primeira análise, a melhor solução encontrada pelo programa proporcionou

uma economia de 13,13% em relação à solução adotada pelo fabricante. Enquanto que a

quantidade de longarinas utilizada foi a mesma da solução original, a altura da longarina

na solução ótima foi 88% maior e a quantidade de armadura ativa foi 31% menor. Na

análise de sensibilidade dos custos realizada para o mesmo problema, observou-se que

um aumento de 20% no preço do concreto diminuiu em 1,1% a economia da solução

ótima em relação a solução do fabricante, enquanto que um aumento de 20% no preço

do aço aumentou em 1,1% a economia, o que está condizente com o fato da solução

ótima ter um braço de alavanca maior e consequentemente necessitar de uma quantidade

de aço menor.

Nas demais análises, a diferença de custo encontrada não foi tão expressiva,

3,69% e 2,57% respectivamente, mas pode-se observar que em todos os casos o

programa forneceu soluções ótimas com maior braço de alavanca e portando, menor

área de aço, de forma que a taxa de armadura ótima ficou entre 0,40% e 0,48%.

16

2.2.6 Trabalho de SRINIVAS e RAMANJANEYULU (2007)

SRINIVAS e RAMANJANEYULU (2007) utilizaram o método de Algoritmos

Genéticos (AG) e Redes Neurais Artificiais (RNA) na otimização do tabuleiro e da

longarina de pontes. Integrando AG e RNA, o tempo computacional necessário para

obter a solução ótima foi reduzido substancialmente.

O AG foi utilizado para obter a seção transversal ótima para a longarina e a

espessura do tabuleiro. A análise estrutural do conjunto é realizada para avaliar quais

restrições estão sendo violadas e calcular a aptidão do indivíduo, para agilizar essa

etapa, uma RNA treinada é utilizada para realizar a análise estrutural.

As variáveis utilizadas pelo AG são: espaçamento entre longarinas (/*��C);

número de perfis transversais (.��); espessura do tabuleiro (ℎ�); largura da alma da

longarina ($\); largura da mesa inferior ($)�); espessura da mesa inferior (ℎ)�); e a

altura total da seção (ℎ), como pode ser observado na Figura 2.6. Além das variáveis

utilizadas pelo AG, a RNA tem como variável: quantidade de longarinas; tamanho do

vão; largura do tabuleiro; espessura da extremidade do tabuleiro (ℎ��); e quantidade de

perfis transversais. A taxa de armadura necessária é calculada utilizando uma rotina à

parte, desenvolvida de acordo com os requisitos de norma.

Figura 2.6 - Seção transversal típica da ponte (SRINIVAS e RAMANJANEYULU, 2007).

Restrições relativas ao momento fletor, esforço cortante, limites superiores e

inferiores de área de armadura longitudinal e limite superior para o espaçamento da

armadura transversal, foram adotadas. Para atender as condições de serviço, a flecha foi

considerada impondo-se dimensões mínimas e esbeltez prevista em norma, mas o autor

$\

$)� /*��C

ℎ

ℎ�

ℎ)�

ℎ��

17

não comenta se a fissuração da seção foi considerada ou não. A minimização do custo

total da seção da ponte foi realizada utilizando a função objetivo representada pela

Equação 2.4:

�(0) = � ∙ $ + � ∙ $ + �� ∙ $� + $S],�� (2.4)

2.4 onde: � é o peso total de concreto; � é o peso total de aço; �� é a área de forma; $ é o

custo unitário do aço por metro cúbico; e $S],�� o custo total de mão de obra.

Para obter a arquitetura da RNA, foram realizados testes onde se variava a

quantidade de camadas intermediárias e dos elementos em cada camada. O melhor

resultado foi obtido com rede neural feedforward com uma camada intermediária, 12

parâmetros de entrada e 4 saídas (Figura 2.7), que fornece os momentos fletores

máximos e os esforços cortantes máximos no tabuleiro devido às ações permanentes e

variáveis com um erro quadrático médio de aproximadamente 0,01%.

Figura 2.7 - Arquitetura da Rede Neural Artificial utilizada (SRINIVAS e RAMANJANEYULU, 2007).

Na implementação do AG, as variáveis foram consideradas discretas, com

incremento de 10 mm sendo cada uma representada com 15 bits, o método de seleção

18

utilizado foi seleção por torneio, que segundo o autor forneceu uma boa pressão de

seleção. As análises foram feitas com população de 200 indivíduos durante 100

gerações. Adotou-se crossover de dois pontos com taxa de 0,8 e taxa de mutação de

0,01 com base em diversos testes realizados.

Comparando o tempo necessário para a convergência utilizando Neuro-AG (AG

+ RNA) e AG convencional em diferentes tamanhos de vãos, enquanto que para o

primeiro o tempo de convergência varia muito pouco com o aumento do vão. Para o

segundo, o tempo necessário para a convergência aumenta em aproximadamente 90%

ao se dobrar o tamanho do vão. O autor ressalta que o tempo necessário para calibrar a

rede neural no caso do Neuro-AG não foi considerado na comparação.

Não foram feitas comparações com trabalhos semelhantes para avaliar o

desempenho da abordagem exposta. Entretanto, fez-se a otimização da seção variando o

tamanho do vão. As variáveis que sofreram maior incremento foram a altura total do

conjunto, a largura e a espessura da mesa inferior, de modo que ao dobrar para 20 m o

tamanho do vão, as respectivas variáveis apresentaram um acréscimo de 94%, 53% e

62%. Neste mesmo caso, o custo da seção transversal teve um acréscimo de 27%.

2.2.7 Trabalho de AYDIN e AYVAZ (2010)

AYDIN e AYVAZ (2010) utilizaram Algoritmos Genéticos com o objetivo de

otimizar quantidade e a forma de longarinas pré-moldadas de concreto protendido, de

forma a minimizar o custo total que é composto pelo custo do concreto e pelo custo do

aço ativo. Os custos de forma, barras de aço passivo e outros itens foram omitidos, pois

os autores consideraram que a contribuição desses itens na função objetivo não seria

significativa

Foram consideradas como variáveis a quantidade de longarinas na seção

transversal da ponte (.*��C); o número de cordoalhas de protensão em cada longarina

(. ��R); largura da alma da longarina ($\); altura da alma da longarina (ℎ\); largura da

mesa inferior ($)�); altura mínima da mesa inferior (ℎ)�,)í�); altura da inclinação da

mesa inferior (ℎ�)�); altura mínima da mesa superior (ℎ),)í�); e a altura da inclinação

da mesa superior (ℎ�)), conforme indicado na Figura 2.8.

19

Como os autores consideraram as vigas adjacentes, a largura da mesa superior é

calculada dividindo a largura do tabuleiro pela quantidade de longarinas, e pelo mesmo

motivo a espessura da laje não foi considerada como variável de projeto.

Para satisfazer os critérios normativos estabelecidos nas especificações da

AASHTO, foram consideradas 28 restrições que podem ser divididas em seis grupos:

tensões de flexão em serviço; resistência máxima à flexão; tensão em serviço e

resistência máxima ao cisalhamento; ductilidade; flecha e geometria.

Figura 2.8 – Seção transversal típica da longarina otimizada (AYDIN e AYVAZ, 2010)

Na implementação do Algoritmo Genético, a codificação binária foi adotada. A

população intermediária foi gerada substituindo a terça parte correspondente aos

indivíduos menos aptos pelos indivíduos mais aptos. Para o crossover e a mutação

foram programados três operadores diferentes. O crossover pode ser simples, múltiplo

ou uniforme, enquanto que a mutação pode ser padrão, controlada ou híbrida. Na

mutação controlada, a taxa de mutação diminui gradativamente a medida que as

soluções geradas ficam com maior aptidão. Na mutação híbrida, uma taxa de mutação

fixa é utilizada, mas antes de modificar o valor do bit selecionado é feita uma

comparação com o bit do indivíduo mais apto da população, se o bit for diferente o

valor é alterado, caso contrário o valor permanece o mesmo.

Em um dos exemplos estudados, a otimização é realizada várias vezes com

parâmetros de configuração diferentes para o Algoritmo Genético (Tabela 2.2). Como

ℎ $\

$)� ℎ)�,)í�

ℎ�)�

ℎ),)í� ℎ�)

. ��R

ℎ\

20

melhor resultado obtido foi com o crossover uniforme, mutação controlada e taxa de

mutação de 0,5%, adotaram-se esses parâmetros na configuração. Os autores não

esclarecem o motivo de se ter cromossomos com tamanhos diferentes.

Tabela 2.2 - Parâmetros do Algoritmo Genético e valor da função objetivo penalizada.

Em cada exemplo foi feito a comparação com o projeto real de uma ponte. Os

parâmetros utilizados na análise são obtidos em função das características da ponte em

questão. As soluções obtidas foram em média 25% mais econômicas que a do projeto

real e como as variáveis utilizadas foram discretas, a solução não precisa de nenhum

tipo de adaptação para poder ser executada.

2.3 Otimização de Elementos de Concreto

2.3.1 Trabalho de KOUMOUSIS e ARSENIS (1998)

KOUMOUSIS e ARSENIS (1998) utilizaram Algoritmos Genéticos para

realizar o detalhamento ótimo de vigas contínuas de concreto armado em edifícios de

vários pavimentos. O objetivo do trabalho foi converter a taxa de armadura necessária

para cada seção transversal predefinida em um arranjo de barras com diâmetro (∅),

comprimento (!��) e posicionamento (0, 2) específicos, considerando o comprimento

de ancoragem, o transpasse e o tamanho comercial das barras de aço.

36 30 uniforme controlada 0,50% 323 117,5636 36 um ponto controlada 0,30% 300 120,66336 36 dois pontos controlada 0,30% 456 119,3936 40 uniforme padrão 0,30%não converge 118,186

36 43 uniforme híbrida 0,30% 141 122,473

36 46 uniforme sem mutação - 134 133,794

Tamanho do Cromossomo

Tipo de Crossover

Tipo de Mutação

Taxa de Mutação

Numero de iterações

Função Objetivo

PenalizadaPop.

21

Com o intuito de considerar a facilidade de confecção dos elementos, três

critérios são adotados para a função objetivo: peso mínimo de armadura; máxima

uniformidade (regiões e vãos adjacentes com barras de mesmo diâmetro); e quantidade

mínima de barras na seção transversal. Desta forma, a função objetivo é encontrada

através da soma ponderada dos três critérios, que podem ter diferentes fatores de

ponderação, permitindo ao usuário calibrar a importância relativa de cada um.

O peso de armadura, a uniformidade (Equação 2.5) e a quantidade de barras

(Equação 2.6) são normalizados de forma que os valores possíveis estejam entre 0 e

100. Isso facilita a avaliação da influência dos diferentes fatores de ponderação

utilizados no agrupamento.

_ = 100 − (.∅ − 1). 100.∅,�� (2.5)

�a = 100 ∙ .��,�� −�b0�c. −�b0 ∴ efgfh�b0 = i maxm.��,�n�opq

�r@�c. = i minm.��,�n�opq

�r@u (2.6)

2.5 2.6

onde: .∅ é o número de diâmetros diferentes utilizados; .∅,�� é número total de

diâmetros disponíveis; .��,� é a número de barras na i-ésima região; .��C é o número

total de regiões; e .��,�� é o número de barras em todas as regiões.

Para realizar o detalhamento, todos os vãos da viga são subdivididos em três

regiões diferentes, sendo duas próximas aos apoios e uma central. Cada região tem um

comprimento geométrico, que corresponde ao tamanho da mesma, e um comprimento

nominal, que corresponde ao tamanho da barra de aço da respectiva região.

Atribuiu-se para todas as regiões uma seção transversal cuja dimensão depende

da geometria do elemento estrutural e das condições de carregamento. Conhecendo os

esforços e a geometria da seção, calcula-se a área mínima de aço para a camada superior

e inferior, e no caso de viga parede calcula-se a área de aço nas laterais da viga (Figura

2.9). Em seguida uma rotina recursiva gera pares de números que correspondem ao

número de barras (.��) e o diâmetro (∅) de modo que a área seja maior que a área

22

mínima necessária. A viabilidade dos pares é avaliada verificando se o espaçamento

entre as barras está de acordo com a norma. As soluções aprovadas são armazenadas em

um banco de dados.

Para se obter o detalhamento final da viga, combinam-se os detalhamentos

atribuídos a cada região, considerando as relações entre as armaduras explicitadas na

Figura 2.10, o transpasse entre as barras, o comprimento de ancoragem, e o tamanho

máximo das barras comercializadas.

Figura 2.10 - Detalhe típico da armadura (KOUMOUSIS e ARSENIS, 1998)

O Algoritmo Genético foi utilizado para encontrar a combinação ótima das

soluções armazenadas no banco de dados. A implementação do programa foi feita com:

método de seleção por roleta; crossover de um ponto, n-pontos e uniforme; e mutação

constante e variável. Na mutação variável, a probabilidade de mutação é modificada

caso não seja observado um aumento de aptidão da população ao longo das gerações.

região 1 região 3 região 2

�,A

�,AL ≥ �,A 2⁄ �,@L ≥ �,A 4⁄ �,OL ≥ �,A 4⁄

�,@ ≥ �,A 8⁄ �,O ≥ �,A 8⁄

Camada inferior

Camada lateral direita

Camada lateral esquerda

Camada superior

�@ �A

�O

Figura 2.9 - Camadas de armadura consideradas por KOUMOUSIS e ARSENIS (1998).

23

Para avaliar o desempenho do algoritmo na otimização de uma viga de três vãos,

diferentes configurações foram adotadas, variando o tamanho da população, de 10 a 100

indivíduos, a taxa de crossover, de 0,3 a 0,6 e a taxa de mutação, de 0,01 a 0,08. A

melhor solução foi encontrada com uma população de 60 indivíduos, taxa de crossover

de 0,6 e taxa de mutação de 0,02.

Os autores observaram que existe uma relação entre o tamanho da população e a

taxa de mutação, de modo que para populações maiores a taxa de mutação deve ser

menor. Para a maioria dos casos investigados, a utilização da mutação variável forneceu

melhores resultados do que a mutação constante e a utilização de crossover de dois

pontos ou uniforme apresentaram um desempenho melhor. Apesar dos testes terem

sidos realizados para uma viga de três vãos e o objetivo do trabalho ser o detalhamento

ótimo, nenhum detalhe da viga analisada foi apresentado. Também não foram feitas

comparações com outros problemas semelhantes, prejudicando a avaliação da eficiência

da metodologia proposta.

2.3.2 Trabalho de LEPS e SEJNOHA (2003)

LEPS e SEJNOHA (2003) realizaram o dimensionamento de vigas contínuas de

concreto armado com o objetivo de minimizar o custo total da estrutura. O Algoritmo

Genético (AG) junto com o Recozimento Simulado foi utilizado para a minimização,

devido ao fato que a utilização somente do AG não convergiu quando a armadura de

cisalhamento foi inserida nas variáveis do problema.

A função objetivo utilizada considerou somente o preço do concreto e do aço,

não sendo esclarecido o motivo pelo qual o preço da forma foi desconsiderado. Foram

impostas restrições ao valor máximo da flecha, o valor mínimo do momento resistente e

ao valor mínimo de cisalhamento resistente considerando tanto o esmagamento da biela

quanto a ruptura da armadura transversal.

Para a análise da viga, o vão é dividido em três regiões distintas, sendo o

tamanho das regiões de flexão (!�) e de cisalhamento (!\) tratadas como variáveis

(Figura 2.11). As demais variáveis adotadas são: altura (ℎ) e largura ($) da seção

transversal; bitola da armadura negativa (∅��C) e positiva (∅��) ao longo do vão;

24

número de barras da armadura positiva (.��,��) e negativo (.��,��C) por região;

bitola do estribo ao longo do vão (∅��); número de ramos (.�) e espaçamento entre os

estribos (/) por região.

Figura 2.11 - Detalhamento da armadura longitudinal e transversal (LEPS e SEJNOHA, 2003).

Para obter os esforços atuantes ao longo da viga, foi utilizando o método dos

elementos finitos. O momento resistente da seção foi calculado utilizando a Equação

2.7 e a resistência ao cisalhamento foi calculada utilizando a analogia da treliça com

inclinação da biela de 45º. Apesar de utilizar a analogia da treliça, o autor não

considerou o acréscimo do esforço de tração na armadura longitudinal. No detalhamento

considerou-se a taxa mínima de armadura para a flexão e para o cisalhamento, mas nada

é dito sobre o comprimento de ancoragem.

�XR = � ∙ �5R ∙ �% − 0,416 ∙ 0� ∴ 0 = � ∙ �5R0,81 ∙ $ ∙ { ∙ � R (2.7)

2.7 onde: �XR é o momento fletor resistente; � é a área de aço da seção; �5R é a tensão de

escoamento de cálculo do aço; % é a altura útil da seção; $ é a largura da seção; 0 é a

distância da linha neutra ao bordo comprimido; { é um fator de minoração da

resistência do concreto; e � R é a resistência de cálculo à compressão do concreto.

Foi utilizado um Algoritmo Genético em regime com codificação binária,

seleção por roleta, crossover uniforme e mutação simples. O Recozimento simulado foi

!

.��,��C,@ .��,��C,O.��,��C,A

.��,��,@ .��,��,A .��,��,O

!�,@ !�,A !�,O

!\,@ !\,A !\,O/\,@ /\,A /\,O

∅��C∅��∅��

25

utilizado para controlar o valor da penalidade atribuída às restrições que foram violadas.

No início esse valor é pequeno e permite que indivíduos não factíveis disseminem seus

genes para a geração seguinte, mas com o passar do tempo esse valor aumenta e evita os

indivíduos não exequíveis no final do processo de otimização.

Como exemplo foi analisada uma viga contínua com dois vãos de três metros,

sujeita a um carregamento uniformemente distribuído de 30 kN/m. Inicialmente foram

feitas 50 otimizações com populações de 100 indivíduos. Após a convergência as 20

melhores soluções eram gravadas até se gerar um população com 1000 indivíduos da

qual foram retirados 400 para uma nova otimização.

Os valores dos dez melhores resultados obtidos são expostos parcialmente. Para

a armadura longitudinal observou-se uma tendência de grande quantidade de barras com

bitolas pequenas, o que na prática pode dificultar a montagem da armadura. Analisando

os resultados para armadura transversal, observa-se que a distância entre os estribos é

maior do que 30 cm, que é a distância máxima permitida pelo EUROCODE 2.

Ao comparar o melhor resultado encontrado com o uso do programa com um

dimensionamento particular baseado no EUROCODE 2, teve-se uma economia de 42%.

Entretanto, a comparação não parece ser razoável, pois não são explicitados quais

critérios da norma são considerados pelo programa, o que pode ter contribuído para a

diferença de preço encontrada.

2.3.3 Trabalho de GOVINDARAJ e RAMASAMY (2005)

GOVINDARAJ e RAMASAMY (2005) realizaram o dimensionamento e

detalhamento de vigas contínuas de concreto armado aplicando Algoritmos Genéticos

(AG) para minimizar o custo da viga. A Equação 2.8 representa a função objetivo que

foi utilizada para o cálculo do custo.

$��C�,�� = � ! ∙ $ + � ∙ $ + �� ∙ $� (2.8)

2.8 onde: � ! é o volume de concreto; e $|c}b,~ ~ é o custo total da viga.

26

Restrições baseadas na geometria, ductilidade, taxa de armadura máxima,

resistência de biela comprimida e flecha máxima são utilizadas para obter a função

objetivo penalizada. A resistência à flexão e ao cisalhamento não foram consideradas na

restrição, pois a área de armadura mínima permitida foi selecionada de forma que esses

dois parâmetros sejam atendidos.

Com o objetivo de reduzir o tamanho do espaço de busca para se obter a solução

ótima, foram consideradas como variáveis somente a largura da seção ($), que será

igual para todos os vãos, altura da seção (ℎ) em cada vão e o modelo de detalhamento,

composto por quatro grupos, sendo cada um com diâmetro (∅) especifico e no mínimo

duas barras, espaçamento horizontal (&') e vertical (&�) livre entre as barras e o

cobrimento lateral (�*) e inferior (��) da armadura (Figura 2.12). No caso de viga “T”, a

altura da mesa foi considerada como um parâmetro constante fornecido pelo usuário.

As informações necessárias para gerar os modelos são: quantidade de camadas

de barras de aço necessárias (no máximo duas); quantidade de barras de aço em cada

camada (no máximo cinco); espaçamento livre mínimo e máximo entre barras

adjacentes; largura da viga; cobrimento da armadura; e diferença máxima entre os

diâmetros das barras de uma mesma camada. Os modelos que atenderam um conjunto

de regras baseadas em normas técnicas e que garantam um detalhamento factível foram

gravados em um banco de dados.

Camada 2

Camada 1

Grupo 2

Grupo 4

Grupo 1

Grupo 3

�� *

&' &�

Figura 2.12 - Modelo de detalhamento da armadura proposto por GOVINDARAJ e RAMASAMY (2005).

27

Para cada seção transversal selecionada pelo AG, foram calculadas em cada vão

as áreas de armadura de flexão nas regiões dos apoios e no meio do vão. Com essas

informações, foram selecionados do banco de dados os modelos de detalhamento com

área maior do que a área máxima de aço necessária. Para encontrar entre os

selecionados o modelo que forneceria o menor peso de armadura, fez-se o cálculo do

peso com base em um detalhamento típico. Esse procedimento é feito para a armadura

positiva e negativa separadamente e não foi considerado o peso da armadura de costela.

No dimensionamento da armadura transversal cada vão da viga foi dividido em três

regiões diferentes com suas respectivas seções críticas, conforme Figura 2.13. O

espaçamento entre os estribos foi considerado constante em cada região e foi calculado

para quatro bitolas diferentes, sendo respeitado o espaçamento mínimo prescrito por

norma. Selecionou-se a bitola que forneceu o menor peso de estribo para toda a viga,

não sendo considerados estribos adicionais que poderiam ser necessários em zonas de

ancoragem.

Figura 2.13 – Seções críticas para o dimensionamento da armadura transversal (GOVINDARAJ e RAMASAMY, 2005).

28

O Algoritmo Genético foi implementado com codificação binária, seleção por

torneio, crossover de dois pontos e mutação simples. Como critério de convergência,

adotou-se o número máximo de gerações ou seis gerações com aptidão média constante.

Nos exemplos analisados foram utilizadas populações de 10 a 20 indivíduos ao longo de

100 gerações com taxa de mutação de 0,005 e probabilidade de crossover de 100%.

Três casos foram estudados para avaliar a eficiência do método. Dois são

retirados de KANAGASUNDARAM e KARIHALOO (1991) a fim de comparar os

resultados. O procedimento proposto forneceu um resultado mais econômico, sendo a

redução no custo de 11,28% e 7,46% respectivamente. Para estudar a convergência,

várias rodadas foram realizadas para cada exemplo, sendo 8, 8 e 14 a quantidade

mínima de gerações respectivamente, e 19, 22 e 72 a quantidade máxima de gerações

respectivamente.

Em todos os casos estudados, apesar da seção transversal ser “T”, não foi

considerada a armadura de costura da mesa. Outro aspecto importante, é que segundo os

autores, os momentos positivos foram calculados para meio de cada vão da viga, o que

não é necessariamente o ponto de momento positivo máximo do respectivo vão.

2.3.4 Trabalho de CORTÊS (2010)

CORTÊS (2010) aplicou o método dos algoritmos genéticos na otimização de

pontes construídas por longarinas pré-fabricadas em concreto protendido e tabuleiros

pré-fabricados em concreto armado, dando continuidade ao trabalho de OLIVIERI

(2004). O objetivo foi minimizar o custo da ponte considerando o custo do concreto e

das armaduras ativa e passiva.

Visando atender os requisitos da NBR 6118:2003, foram impostas restrições

referentes à verificação do estado limite último (momento fletor resistente da longarina

mais a laje colaborante, momento fletor resistente da laje do tabuleiro e esforço cortante

resistente da longarina) e dos estados limites de serviço de formação e abertura de

fissuras, deformação excessiva, descompressão total e parcial e compressão excessiva.

Os momentos fletores, esforços cortantes e as deformações resultantes foram

obtidos a partir da análise matricial de longarinas biapoiadas com seção transversal “I”

29

solidarizada com o tabuleiro, para diferentes combinações de carregamento majoradas

pelos coeficientes de segurança e de impacto.

Para as longarinas, as variáveis utilizadas foram: resistência característica à

compressão do concreto (� �); número de longarinas (.*��C); altura (ℎ\) e largura ($\)

da alma da seção; número (. ��R) e diâmetro (∅ ��R) das cordoalhas; número (.��) e

diâmetro (∅) da armadura longitudinal passiva; diâmetro (∅��) e espaçamento entre

estribos (/); e espaçamento entre os eixos das longarinas (/*��C). Para o tabuleiro,

considerou-se como variável a resistência característica do concreto (� �), a espessura

do tabuleiro (ℎ�), o diâmetro (∅��) e o espaçamento da armadura principal do tabuleiro

(/��). Uma representação esquemática de algumas variáveis pode ser observada na

Figura 2.14.

O Algoritmo Genético foi implementado com codificação binária, crossover de

um ponto, mutação simples e três métodos de seleção distintos (torneio, roleta e

ordenamento) para serem escolhidos pelo usuário. Também foi considerado o elitismo

em um percentual da população determinado pelo usuário. Apesar dos diferentes

métodos de seleção disponíveis, não foram realizadas comparações entre os métodos e

nem explicitado o motivo de se escolher o método do torneio de três indivíduos nas

aplicações realizadas.

ℎ\

ℎ�

. ��R

.*��C

/*��C

∅ ��R

$\

Figura 2.14 - Representação esquemática de algumas variáveis considerados por CORTÊS (2010).

30

Nas aplicações foram utilizados 100 indivíduos, manipulados ao longo de 100

gerações, probabilidade de cruzamento de 80% e de mutação de 1%. Para testar a

eficiência do método, o autor realizou três aplicações com exemplos de pontes que

foram construídas.

Na primeira e segunda aplicação, a seção transversal e o carregamento foram

simétricos e os melhores resultados obtidos forneceram uma economia de 26,8% e

13,6% respectivamente. Na terceira aplicação, a seção da ponte foi assimétrica, o que

permitiu investigar a eficiência do método no tratamento das variáveis associadas aos

espaçamentos entre os eixos das longarinas. Para este caso, o melhor resultado obtido

pelo método forneceu uma economia de 19,6%.

Em cada aplicação, fez-se a otimização com espaços de busca de tamanhos

diferentes, o que evidenciou que ao aumentar o tamanho do espaço de busca, foi

necessário aumentar o tamanho da população ou o número de gerações para garantir a

convergência e que nem sempre o maior espaço de busca conduziu ao melhor resultado.

Observou-se que a solução ótima tende a ter perfis mais altos e a escolher

maiores diâmetros de cordoalhas de protensão. Com relação ao concreto, notou-se uma

tendência para o menor custo volumétrico, o que poderia não ser observado caso a

diferença dos preços entre as classes do concreto fosse inferior.

2.4 Considerações Finais

Na revisão bibliográfica realizada, pode-se observar que apesar dos trabalhos

apresentarem diferentes quantidades de variáveis e restrições, o método dos Algoritmos

Genéticos forneceu bons resultados em todas as aplicações realizadas.

Na Comparação do desempenho das diferentes técnicas de otimização, o método

dos Algoritmos Genéticos conduziram a resultados melhores que os métodos

convencionais. Bons resultados também foram obtidos quando as soluções ótimas foram

comparadas aos projetos executados, evidenciando um potencial prático da otimização

de estruturas.

31

Na configuração do Algoritmo Genético, utilizou-se a codificação binária em

todos os trabalhos e em um destes trabalhos, esta foi comparada com a codificação real,

que teve um resultado melhor que a binária, e com o código de Gray, que teve um

resultado pior. Porém, a análise foi feita com base em uma rodada de otimização com

cada codificação e desta forma não possui base estatística para se respaldar.

Na maioria dos casos, foi explorada a capacidade do Algoritmo Genético

trabalhar com variáveis discretas, gerando soluções ótimas factíveis, ou seja, que não

precisam de nenhuma adaptação para serem executadas. A inicialização da população

foi pouco comentada, dando a entender que foi feita de forma aleatória na maioria dos

casos.

Diferentes tipos de operadores de crossover e de mutação foram analisados em

alguns trabalhos. Um bom desempenho foi atribuído ao crossover de dois pontos e aos

operadores de mutação com taxa variável ao longo das gerações. Dentre os métodos de

seleção, os mais utilizados foram o da roleta e o do torneio e o critério de convergência

mais comum foi o número de gerações.

Aproximadamente metade dos trabalhos da revisão bibliográfica armazenaram

as melhores soluções obtidas ao longo de todas as gerações em um vetor, dando a opção

para o usuário de avaliar e escolher a solução que achar mais conveniente.

Em alguns trabalhos não ficam claras as características do Algoritmo Genético

implementado, tais como codificação, método de seleção, operadores de crossover, etc.;

e na maioria não foram comentados os critérios utilizados para estabelecer os principais

parâmetros, tais como tamanho da população inicial, número de gerações, taxa de

crossover e taxa de mutação. Porém, todos os trabalhos analisados neste capítulo

forneceram informações importantes para orientar a utilização do Algoritmo Genético.

Na formulação do problema estrutural, a maioria dos trabalhos objetivaram a

minimização do custo total de matérias, sendo que o custo da mão de obra considerado

em apenas dois trabalhos. As análises de sensibilidade dos custos evidenciaram a

importância de se considerar o custo da forma no custo total da viga para os casos de

vigas moldadas in loco.

32

As principais variáveis utilizadas estão relacionadas com a geometria da seção

e com a área de armadura. Alguns trabalhos também consideraram como variável a

resistência à compressão do concreto.

A resistência da seção ao momento fletor aplicado é a única restrição

considerada em todas as análises. Duas estratégias distintas foram aplicadas para

considerá-la; na primeira, calcula-se para cada indivíduo a resistência à flexão e

penaliza a função objetivo caso a resistência não seja suficiente; na segunda, um banco

de dados previamente gerado é consultado e extrai-se dele para compor o espaço de

busca somente as seções com momento resistente superior ao momento solicitante.

As demais restrições consideradas na otimização de vigas retangulares de

concreto armado foram: resistência ao esforço cortante, distância máxima da linha

neutra à borda comprimida, taxa de armadura mínima e máxima, relação altura-largura

da seção transversal, e flecha máxima. Na maioria dos casos, critérios construtivos,

como o espaçamento entre as barras longitudinais, foram considerados por uma rotina à

parte que se encarrega de gerar apenas soluções factíveis.

Nos trabalhos que estudaram a otimização de elementos de concreto armado, o

detalhamento da armadura foi feito de duas formas distintas. Na primeira, a viga é

detalhada com base em um modelo típico que define o posicionamento das armaduras e

suas regiões de corte (Figura 2.10). Na segunda, a viga e dividida em uma quantidade

de regiões preestabelecidas, onde dentro de cada região não há cortes na armadura e o

espaçamento entre os estribos é constante. A localização da fronteira entre as regiões é

tratada como uma variável pelo Algoritmo Genético (Figura 2.11).

Nos trabalhos onde a resistência da biela de concreto comprimida foi verificada

e a armadura transversal dimensionada, apesar dos autores utilizarem o modelo da

treliça, em nenhum dos casos se observou a consideração do aumento da força no banzo

tracionado por influência da força cortante, sendo que esta consideração deve ser feita

para que o modelo da treliça seja consistente. Também não foi observada a consideração

de diferentes ângulos de inclinação da biela comprimida na determinação de sua

resistência e no dimensionamento da armadura transversal.

33

Na análise dos custos, a maioria dos autores explora a capacidade do Algoritmo

Genético trabalhar com variáveis discretas considerando apenas a utilização de bitolas

comerciais no espaço de busca. Entretanto, em nenhum dos casos se considerou o

comprimento comercial das varas de aço, e consequentemente as possíveis perdas que

ocorrem durante o processo de corte e que afetam o custo final da viga.

Com o objetivo de preencher as lacunas descritas acima, nesta dissertação faz-se

a otimização de vigas retangulares de concreto armado utilizando o modelo da treliça no

dimensionamento e detalhamento da viga, permitindo a consideração de diferentes

ângulos de inclinação da biela. No cálculo do custo final, composto pelo custo de

materiais e mão de obra, consideram-se as sobras provenientes do corte das varas de aço

e a forma como essas sobras podem ser reaproveitadas.

34

3 Descrição e Representação do Problema

3.1 Introdução

O problema de otimização proposto nesta dissertação trata da minimização do

custo, composto pela soma dos custos dos materiais e da mão de obra, para construção

de vigas retangulares de concreto armado. O sistema estrutural implementado considera

a influência da rigidez dos pilares no comportamento da viga e a ação de cargas

verticais concentradas e/ou distribuídas. Ao longo deste capítulo será descrito o

funcionamento do programa piloto utilizado para realizar a otimização.

Para a geometria da viga, condições de apoio e carregamento definidos pelo

usuário, a otimização do custo implica em determinar a resistência característica à

compressão do concreto (� �); a altura da seção (ℎ); o ângulo de inclinação da biela

comprimida (�); o valor das bitolas em diferentes regiões da viga para a armadura

transversal (∅��), longitudinal positiva (∅��) e negativa (∅��C); e o detalhamento da

armadura, onde é definido a quantidade, posição e tamanho das barras de aço.

Utilizando a análise matricial da estrutura, calculam-se os esforços internos

(momentos fletores e esforços cortantes) e as deformações ao longo da viga. A

combinação do carregamento permanente com o carregamento variável é majorada pelo

coeficiente de ponderação para obter os esforços referentes ao estado limite último. Para

obter os esforços e deslocamentos referentes ao estado limite de serviços, as

combinações frequentes e quase permanentes são calculadas utilizando fatores de

combinações condizentes com os estabelecidos na NBR 6118:2007.

O dimensionamento da estrutura é realizado com os esforços obtidos no estado

limite último. O momento resistente (�XR) e a ductilidade da viga (expressa na altura da

linha neutra, 0 %⁄ ) são calculados pela análise não linear da seção transversal, enquanto

que a resistência ao esforço cortante (�XR) é determinada utilizando a analogia da

treliça. Os esforços e deslocamentos referentes ao estado limite de serviço são utilizados

para verificar a abertura de fissuras e a deformação excessiva.

35

Com os parâmetros da viga definidos e a distribuição de esforços obtidos no

estado limite último, utiliza-se a analogia da treliça para realizar o detalhamento da

viga, onde os critérios definidos pelo usuário e as recomendações da norma referentes as

espaçamento entre as barras, taxas de armaduras, espaçamento entre estribos e

comprimento de ancoragem são verificados.

3.2 Variáveis de Projeto

3.2.1 Definição das Variáveis

Na implementação do Método dos Algoritmos Genéticos, optou-se por utilizar

somente variáveis discretas com o objetivo de que a solução ótima fornecida pelo

programa represente uma solução factível, tendo em vista que os produtos são

comercializados com características discretas e a limitação da precisão possível de ser

executada na obra devido aos métodos construtivos utilizados.

As variáveis consideradas neste trabalho são:

• Resistência à compressão do concreto (� �), que tem um único valor para

toda a viga. Os possíveis valores e respectivos preços são definidos pelo

usuário;

• Inclinação da biela (�), que tem um valor único para toda a viga e varia

entre o limite inferior e superior, obedecendo a um intervalo fixo

definidos pelo usuário;

• Altura da viga (ℎ), que tem um valor único para toda a viga. Os possíveis

valores são definidos pelo usuário, assim como os preços a serem

considerado para as respectivas formas;

• Bitola da armadura positiva (∅��), que pode ter valores diferentes para

cada vão entre apoios, pois somente nessas regiões que a viga ficará

sujeita a momento fletor positivo. Os possíveis valores e respectivos

preços são definidos pelo usuário;

• Bitola da armadura negativa (∅��C), que pode ter valores diferentes para

a região de cada apoio da viga, que são as regiões onde a viga ficará

36

sujeita a momento fletor negativo. Os possíveis valores são definidos

pelo usuário, assim como os preços a serem considerado para as

respectivas bitolas; e

• Bitola de armadura transversal (∅��), que pode ter valores diferentes

para cada vão da viga. Os possíveis valores e respectivos preços são

definidos pelo usuário.

3.2.2 Codificação e Decodificação das Variáveis

Para utilizar o método dos Algoritmos Genéticos é necessário fazer a codificação

e a decodificação das variáveis, assim como a montagem do cromossomo que

representa uma possível solução para o problema. Durante a execução do programa, as

variáveis são codificadas apenas uma vez, mas para cada geração, todos os indivíduos

são decodificados. O tamanho do cromossomo a ser tratado é influenciado pela

geometria da viga e pela quantidade de possíveis valores atribuídos a cada variável, logo

a solução de vigas com geometria ou espaço de busca diferentes será representada por

cromossomos com tamanhos distintos.

No programa foi implementado a codificação binária e o código de Gray. Na

codificação binária, valores consecutivos têm representações nas quais os valores dos

bits são distintos em mais de uma posição, enquanto que no código de Gray dois valores

consecutivos diferem pela permuta de apenas um bit (Tabela 3.1). Segundo COLEY

(1999), o Algoritmo Genético pode ser mais eficiente quando pequenas variações na

codificação representarem pequenas variações na solução, o que acontece quando se

utiliza o código de Gray.

Tabela 3.1 - Comparação entre a codificação binária e o código de Gray

Variáveis Codificação Binária Código de Gray

10 000 000

20 001 001

30 010 011

40 011 010

50 100 110

60 101 111

70 110 101

80 111 100

37

Quando é utilizado o código de Gray, a codificação e a decodificação das

variáveis são realizadas de forma análoga a quando se utiliza a codificação binária. A

diferença está na aplicação de funções antes e depois dos operadores de cruzamento e

mutação, que convertem, respectivamente, a codificação binária em código de Gray e

vice-versa.

Tanto na codificação binária como no código de Gray, se o número de variáveis

a serem codificadas não for igual a uma potência de dois (Equação 3.1), a quantidade

de codificações disponíveis será maior do que a quantidade de variáveis. Logo, algumas

variáveis serão representadas mais do que uma vez. Alguns dos métodos utilizados para

fazer a repetição de variáveis são:

I. adotar o mesmo valor para todas as codificações excedentes;

II. repetir os valores das variáveis seguindo uma ordem sequencial; ou

III. repetir valores estrategicamente selecionados de forma que codificações

próximas representem valores iguais ou próximos.

2��@ < �� < 2�� (3.1)

3.1 onde: �� é o número de variáveis; e �� é o número de bits.

A Figura 3.1 ilustra a codificação de cada método para o caso de cinco valores

diferentes. No método I, somente parte do espaço de busca é expandido, o que pode

criar uma região de máximo local e dificultar a localização do máximo global. No

método II, a vantagem de utilizar o código de Gray é perdida no início da repetição das

variáveis, pois neste ponto a permuta de um bit não conduz a uma variável adjacente.

No método III, o espaço de busca é expandido de forma proporcional e as vantagens da

utilização do código de Gray são preservadas, logo este método foi o escolhido para ser

utilizado no programa.

38

Figura 3.1 - Comparação entre os métodos de representação de variáveis repetidas.

A codificação da resistência à compressão do concreto é feita com base na

quantidade de valores fornecidos pelo usuário. Utilizando a Equação 3.2 calcula-se o

número de bits (��) necessários para codificar a variável.

�� = �.~&c( �! }�� − 1�! }�2� � + 1 (3.2)

3.2 onde: �(� �) é a quantidade de valores de resistência característica à compressão

disponíveis; e ��(� �) é o número de bits necessários para codificar a resistência à

compressão do concreto.

Considerações sobre a agressividade do meio ambiente não são feitas

automaticamente pelo programa, cabendo ao usuário definir o cobrimento e as classes

de concreto compatíveis com a classe de agressividade do problema em análise para que

sejam atendidos os requisitos da NBR 6118:2007.

Os alelos referentes à resistência a compressão do concreto são decodificados

utilizando a Equação 3.3

� � = �� 2.�((&% .%b( �(�(� �) − 1) ∙ ( .|(ac~/) − 1)2��(��) − 1 �� (3.3)

3.3

39

onde: ��) é o vetor que armazena os valores do � � e seus respectivos preços; �((&% .%b(() é uma função que arredonda o número para o inteiro mais próximo; e .|() é a função que converte números binários em inteiros não negativos e não

nulos.

O tamanho do vetor de armazenamento dos dados é o dobro da quantidade de

dados armazenados, pois a cada valor de � � está associado um preço que é encontrado

utilizando a Equação 3.4, mas como todo vetor, o primeiro valor está associado ao

índice zero (��(0)) e não ao índice um (��(1)). Convém ressaltar que os dados são

armazenados na mesma ordem em que são fornecidos pelo usuário, logo é desejável que

esta ordem seja crescente ou decrescente, pois caso ela seja aleatória, os benefícios em

se utilizar o código de Gray podem ser reduzidos.

$ (� �) = �� 2. �((&% .%b( �(�(� �) − 1) ∙ ( .|(ac~/) − 1)2��(��) − 1 � + 1� (3.4)

3.4 onde: $ () é a função que retorna o custo unitário do concreto em função do � �.

Ilustra-se abaixo o vetor de armazenamento gerado (Tabela 3.2) e um exemplo

do processo de codificação e decodificação da resistência a compressão do concreto

(Tabela 3.3).

Tabela 3.2 - Exemplo do vetor ��().

Índice Valor

0 20

1 200

2 25

3 250

4 30

5 300

6 35

7 350

8 40

9 400

40

Tabela 3.3 - Exemplo de codificação e decodificação do � �.

A codificação da biela (�) é feita com base no ângulo inicial, ângulo final e

incrementos fornecidos pelo usuário. Utilizando a Equação 3.5 calcula-se o número de

bits (��) necessários para codificar a variável.

�� = �.~&c( �! } W�� − ��.�6 [! }�2� � + 1 (3.5)

3.5 onde: �� e �� são respectivamente o ângulo inicial e final de inclinação da biela; �.�6 é

o incremento do ângulo de inclinação da biela; e ��(�) é a função que retorna o

número de bits necessários para codificar a inclinação da biela.

Caso o usuário deseje considerar apenas um valor de inclinação da biela, o

ângulo inicial deverá ser igual ao ângulo final (�� = ��) e o programa adotará uma

rotina específica para fazer esta consideração, tendo em vista que a Equação 3.5 não se

aplica neste caso, pois não é possível calcular o logaritmo de zero.

O incremento tem que ser sempre um valor positivo, portanto se um valor menor

ou igual a zero for inserido o programa modifica esse valor para 1. Também cabe ao

usuário verificar se a diferença entre o ângulo final e inicial é um múltiplo do

incremento, caso contrário, devido à rotina implementada, o ângulo final não será

considerado no espaço de busca.

Codificação

5

Nbit (f ck )N (f ck )

Alelo Vf ck ( ) f ck

Decodificação

000 0 20

001

010

25

25

2

2

4

4

3

111

6

8

35

40

30

30

6 35

110

011

100

101

41

A decodificação dos alelos relativos à inclinação da biela é feita utilizando a

Equação 3.6.

� = �6 ��((&% .%b( �� − 1� ∙ � .|�ac~/� − 1�2��6� − 1 �� (3.6)

3.6 onde: �6�) é o vetor que armazena os valores de �.

Comparando as Equações 3.3 e 3.6, nota-se que a diferença entre elas é a

multiplicação por 2 feita dentro do vetor de armazenamento. Isto não ocorre na

Equação 3.6 pelo fato de não ter preços atrelados a cada inclinação da biela. Ilustra-se

abaixo um exemplo do processo de codificação e decodificação da inclinação da biela

(Tabela 3.4).

Tabela 3.4 - Exemplo de codificação e decodificação de �.

Para as demais variáveis (altura da viga (ℎ), bitola da armadura positiva (∅��), bitola da armadura negativa (∅��C) e bitola de armadura transversal (∅��)), a

codificação e a decodificação são feitas de forma semelhante a da resistência do

concreto (� �), bastando modificar a variável que está sendo tratada e o respectivo vetor

de armazenamento nas Equações 3.2 e 3.3.

Com a quantidade de bits necessários para codificar cada variável, define-se o

tamanho do cromossomo do indivíduo. Os alelos de ∅��, ∅��C e ∅�� são repetidos,

respectivamente, para cada vão, apoio e vão entre apoios da viga.

Alelo VQ ( ) Q

Codificação

Nbit (f ck )IncQQ i Q f

30 45 5 2

Decodificação

30

35

40

45

00

01

10

11

0

1

2

3

42

3.3 Função Objetivo

Neste trabalho, a otimização da viga consiste na minimização do custo de

materiais e mão de obra. Desta forma, foram considerados os custos referentes ao

volume de concreto, área de forma, peso de aço e metro de vara de aço na função

objetivo a ser minimizada, representada pela Equação 3.7:

$��C�,�� = $ ,�� + $,�� + $�,�� (3.7)

3.7 onde: $��C�,�� é o custo total da viga; $ ,��é custo total referente ao concreto; $,�� é o

custo total referente ao aço; e $�,�� é o custo total referente à forma.

A primeira parcela da Equação 3.7 representa o custo referente ao concreto

necessário para executar toda a extensão da viga, inclusive as regiões situadas acima dos

pilares. Este custo é definido pela Equação 3.8 e engloba tanto o custo do material

quanto o custo de mão de obra, pois ambos podem ser medidos em R$/m³.

$ ,�� = $ ∙ ℎ ∙ ! ∙ $ (� �) (3.8)

3.8 Onde: $ é a largura da seção; ℎ é a altura; ! é o comprimento total da viga; e $�(� �) é o

custo unitário por metro cúbico de concreto, em função da sua resistência à compressão.

A segunda parcela da Equação 3.7 representa o custo do aço utilizado na

armadura longitudinal, transversal, de pele e de montagem. Após o detalhamento da

armadura, a bitola e o comprimento de cada barra de aço são conhecidos e a tabela de

aço é gerada. Com os dados da tabela, executa-se uma rotina que calcula a quantidade

necessária de varas de aço com a metragem definida pelo usuário e suas respectivas

bitolas; e a quantidade de sobras de barras provenientes do processo de corte das varas,

com suas respectivas bitolas e comprimentos. O custo de aço é calculado utilizando as

Equações 3.9, 3.10 e 3.11. Diferente do custo do concreto, o custo de aço referente ao

material foi separado do custo referente à mão de obra, pois o custo de material é

medido com base no seu peso (R$/kg) e o custo da mão de obra tem como base a

metragem de barras utilizadas (R$/m).

43

$,�� = $,STU,�� + $,S],�� (3.9)

3.9

$,STU,�� = i �∅� ∙ !��,� ∙ <) ∙ $,STUm∅�n��o�r@

− � i �∅� ∙ !��,� ∙ <) ∙ $,STU(∅�)��o�r@ � ∙ ��

(3.10)

3.10

$,S],�� = i �!��,� ∙ $,S](∅�)��o�r@

(3.11)

3.11

onde: ∅� e !��,� são respectivamente a bitola e o comprimento da j-ésima vara de aço; .�� é a quantidade total de varas de aço; ∅� e !��,� são respectivamente a bitola e o

comprimento da i-ésima sobra de barra de aço; .�� é a quantidade total de sobras de

barras de aço;∅� e !��,� são respectivamente a bitola e o comprimento da k-ésima

barra de aço; .�� é a quantidade total de barras de aço; <) é a massa específica do aço

; $,STU(∅) é o custo unitário do aço por quilo, em função da bitola; $,S](∅) é o custo

unitário de mão de obra por metro, em função da bitola ; �� é o fator de

reaproveitamento da perda; $,STU,�� é o custo total do aço referente ao material; e $,S],�� é o custo total do aço referente à mão de obra.

O custo fornecido pela Equação 3.9 é realista, pois representa o valor a ser gasto

junto ao fornecedor para a aquisição de varas de aço com comprimento comercial.

Entretanto, a sobra de aço pode ter um valor de revenda que é considerado utilizando o

fator de reaproveitamento (��). Um valor de �� nulo representa que as sobras não foram

reaproveitadas de nenhuma forma, enquanto que um valor de �� igual a um, representa

que as sobras foram completamente reaproveitadas, ou seja, é como se as sobras não

existissem, o que pode corresponder à compra de aço cortado e dobrado. Valores

intermediários de �� podem ser utilizados para representar outros tipos de

reaproveitamento, como a venda da sobra para o ferro velho.

44

Como o trabalho trata dos casos de vigas moldadas in loco da obra, é necessário

considerar o custo de forma que é dado pela Equação 3.12:

$�,�� = �2 ∙ ℎ ∙ ! + i $ ∙ !�ã�,��ã��r@ � ∙ $��ℎ� (3.12)

3.12 onde: !�ã�,� é comprimento entre as faces dos pilares do i-ésimo vão da viga; .�ã� é o

número total de vãos; e $��ℎ� é o preço unitário da forma por metro quadrado, em

função da altura da viga.

A possibilidade de custos de forma diferentes para cada altura da viga, foi

implementada com o intuito de permitir, no processo de otimização, a consideração de

diferentes sistemas de formas, que podem ter seus preços diluídos em função do

reaproveitamento, ou da existência de um estoque de formas. Deste modo, é possível

avaliar qual sistema de formas é mais vantajoso e a altura da viga ótima para este

sistema.

3.4 Análise Estrutural

Após as variáveis serem selecionadas é necessário realizar a análise da estrutura

para obter os esforços internos (momento fletor e esforço cortante) em diferentes

condições de carregamento. Tais esforços serão utilizados no dimensionamento da viga

e na verificação do Estado Limite Último e do Estado Limites de Serviço.

O detalhamento das armaduras longitudinais e transversais é realizado com base

na analogia da treliça. Deste modo, é necessário determinar a geometria da treliça com

base na inclinação da biela, a localização na viga de cada nó da treliça e os seus

respectivos esforços internos.

A seguir serão expostos os detalhes do modelo estrutural adotado, das

combinações de ações utilizadas, da determinação dos esforços solicitantes e da

realização do detalhamento com base na geometria da treliça.

45

3.4.1 Modelo Estrutural

A geometria do modelo é definida a partir das informações inseridas pelo

usuário. Para gerar o modelo estrutural é necessário definir o tamanho dos elementos, as

condições de contorno e as propriedades do material.

A quantidade de elementos em cada região é calculada de modo que o tamanho dos

elementos seja menor do que o tamanho máximo do elemento definido pelo usuário.

Como pode ser observado na Figura 3.2, o tamanho dos elementos são iguais dentro da

mesma região.

Figura 3.2 - Geometria do modelo estrutural.

Para representar o caso de vigas de edificações de múltiplos andares onde devido

às condições de carregamento a região próxima ao centro do pilar tem momento fletor

nulo, o tamanho das regiões dos pilares é definido como metade dos tamanhos

informados pelo usuário e as extremidades dos pilares são rotuladas.

As condições de contorno dos apoios são inseridas automaticamente pelo

programa em função da altura da parte superior e inferior do pilar. Na Figura 3.3 são

representados os diferentes casos possíveis. O caso (c) não é uma condição de apoio,

pois não fornece reação aos esforços verticais, mas foi inserido para simular o caso de

um pilar nascendo na viga.


região 4



linf/2

lsup/2

46

Figura 3.3 - Condições de contorno dos apoios em função da geometria do pilar

No modelo estrutural proposto, os esforços internos não são função somente do

carregamento aplicado e da geometria do modelo, mas também dos valores da rigidez

dos pilares, ou seja, a geometria da seção transversal do pilar vai influenciar o resultado

obtido na otimização.

Para manter o modelo em equilíbrio, os esforços internos que devem ser

conhecidos em cada nó são: esforço normal; esforço cortante; e momento fletor. Para

tal, foi utilizado um elemento que permitisse o cálculo dos deslocamentos nodais na

direção horizontal e vertical e da rotação nodal. A Equação 3.13 representa a matriz de

rigidez do elemento empregado.

� = �

�� 0 0 − �� 0 0

0 12��O 6��A 0 − 12��O 6��A0 6��A 4�� 0 − 6��A 2��− �� 0 0 �� 0 00 − 12��O − 6��A 0 12��O − 6��A0 6��A 2�� 0 − 6��A 4��

��

(3.13)

3.13

onde: � é a matriz de rigidez; � é o módulo de elasticidade; � é a área da seção

transversal; � é o momento de inércia da seção transversal; e � é o tamanho do

elemento.

(a)

Altura inferior e superior do pilar maior que zero

(b)

Altura superior do pilar nula

(c)

Altura inferior dopilar nula

(d)

Altura inferior e superior do pilar nula

47

Seguindo as recomendações do item 8.2.8 da NBR 6118:2007, o módulo de

elasticidade utilizado na análise é o módulo de elasticidade secante (Equação 3.14). A

área e o momento de inércia são calculados considerando a seção bruta de concreto.

Porém, a rigidez à flexão da seção de concreto armado não é constante e para considerar

aproximadamente a não linearidade física do material, o usuário pode aplicar fatores de

redução na rigidez da viga e do pilar em um dos formulários apresentados no item 3.7.1.

� = 0,85 ∙ 5600 ∙ �� (3.14)

3.14

onde: � é o módulo de elasticidade secante do concreto

Conhecendo-se a matriz de rigidez de cada elemento e a conexão dos elementos

por pontos nodais, monta-se o sistema global de equações (matriz de rigidez global), a

qual posteriormente serão introduzidas as condições de contorno.

3.4.2 Combinações de Ações e Determinação dos Esforços Solicitantes

O programa possibilita a inserção de cargas concentradas e distribuídas. Ao

inserir a carga, é informado se esta deve ser considerada uma ação permanente ou uma

ação variável. A carga relativa ao peso próprio da própria viga é inserida

automaticamente pelo programa como ação permanente. A partir das características do

carregamento, são feitas as combinações referentes ao estado limite último (Equação

3.15) e aos estados limites de serviço (Equações 3.16 a 3.18).

�R,�*� = 8C. �C + 8 . � (3.15)

3.15

�R,�� = �C + � ( N$c.bçã Vb(b) (3.16)

3.16

�R,�� = �C + ?@ ∙ � ( N$c.bçã �(&¡¢&.~&) (3.17)

3.17

�R,�� = �C + ?A. � ( N$c.bçã £¢b/&�&(Nb.&.~&) (3.18)

3.18

48

onde: �R,�*� é a combinação de carregamento para análise no estado limite último; 8C é

o coeficiente de ponderação para ação permanente; �C é a ação permanente; 8 é o

coeficiente de ponderação para ação variável; � é a ação variável; �R,�� é a

combinação de carregamento para análise no estado limite de serviço; ?@ é o fator de

redução para combinação frequente; e ?A é o fator de redução para combinação quase

permanente.

Para cada combinação de ações monta-se o vetor de forças e resolve-se o sistema

de equações globais utilizando o método de eliminação de Gauss, obtendo-se os valores

das variáveis (deslocamento na direção horizontal (∆-,�) e vertical (∆5,�), e rotação

(∆6,�)) nos pontos nodais.

Os esforços internos em cada nó são obtidos utilizando-se a Equação 3.19.

¤��¥ = � ∙�� 0 0 − �� 0 00 12��O 6��A 0 − 12��O 6��A0 6��A 4�� 0 − 6��A 2��

�� ∙�� ∆-,�∆5,�∆6,�∆-,�¦@∆5,�¦@∆6,�¦@��

��

− §�-,��5,��6,�¨ (3.19)

3.19

onde: �� , ��&�� são respectivamente o esforço normal, esforço cortante e momento

fletor no i-ésimo nó; �-,�, �5,� e �6,� são respectivamente a força horizontal, vertical e o

momento fletor aplicado no i-ésimo nó; ∆-,� e ∆5,� são respectivamente os

deslocamentos nodais na direção horizontal e vertical do i-ésimo nó; e ∆6,� é a rotação

nodal do i-ésimo nó.

Caso se tenha a distribuição de esforços calculados com outro programa, pode-se

inserir estes valores em um arquivo texto para que o programa leia os esforços ao invés

de calculá-los. Os valores inseridos devem corresponder aos esforços dos pontos nodais

que foram gerados pelo programa com base no tamanho do elemento definido

previamente.

As variáveis que influenciam os valores dos esforços são a altura da seção

transversal e a resistência à compressão do concreto. Para não realizar cálculos

desnecessários, armazena-se os resultados do sistema de equação em função do � � e de

49

ℎ, de modo que para outros indivíduos com o mesmo valor destas variáveis não é

necessário resolver o sistema novamente, bastando resgatar os valores armazenados.

Isto faz com que o tempo de processamento seja reduzido, tendo em vista que a

resolução do sistema de equações descrito requer um elevado esforço computacional.

3.4.3 Determinação da Geometria da Treliça e do Detalhamento da Armadura

A analogia da treliça representa o comportamento da viga após a origem das

fissuras de cisalhamento e é utilizada para dimensionar a viga ao esforço cortante. A

analogia também influencia o valor da força no banzo tracionado, de tal modo que o

item 17.4.2.2 da NBR 6118:2007 recomenda a decalagem do diagrama de força no

banzo tracionado e que tal decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela

correspondente decalagem do diagrama de momentos fletores.

Baseado na distribuição de esforços na viga, o programa piloto monta a treliça

para determinar a distribuição dos esforços de dimensionamento. Para tal, utiliza-se o

braço de alavanca (3) correspondente à seção com maior valor em módulo do momento

fletor. Primeiramente a viga é dividida em trechos situados a uma distância % 2⁄ da face

dos apoios até os pontos de momento positivo máximo ou extremidades em balanço

(Figura 3.4.a). Para o ângulo de inclinação da biela (�) selecionado pelo AG, faz-se a

divisão de cada trecho em painéis menores a partir dos apoios de modo que os painéis

remanescentes não tenham um tamanho inferior à metade dos demais painéis (Figura

3.4.b). Em seguida posicionam-se as bielas comprimidas e determina-se o valor dos

momentos nos extremos de cada painel para determinar se os banzos estão comprimidos

ou tracionados (Figura 3.4.c). Os valores mais críticos dos esforços nos extremos do

painel são utilizados para realizar o dimensionamento da armadura no trecho referente

ao respectivo painel.

50

Figura 3.4 - Etapas para a montagem da treliça.

Na região dos apoios, considera-se o momento fletor na face para o

dimensionamento à flexão e o esforço cortante situado a uma distância % 2⁄ da mesma

para o dimensionamento ao cisalhamento.

A armadura de tração nos apoios é dimensionada conforme o item 18.3.2.4 da

NBR 6118:2007. Apesar do comprimento de ancoragem ser calculado de acordo com o

recomendado no item 18.3.2.4 da NBR 6118:2007, o ponto de ancoragem considerado

pelo programa é o centro do pilar e não a face, como recomendado pela norma. Tal

consideração é feita pelo fato de que na ruptura, o concreto ao redor da armadura

situado na face do pilar pode estar esmagando e desta forma não oferece condição de

ancoragem adequada.

Para o cálculo do comprimento de ancoragem, o programa piloto considera a

região de armadura negativa como de má aderência e a região de armadura positiva

como de boa aderência. O usuário pode decidir se a ancoragem será realizada com o

comprimento de ancoragem básico (item 9.4.2.4 da NBR 6118:2007) ou necessário

(item 9.4.2.5 da NBR 6118:2007). Apesar da utilização do comprimento de ancoragem

necessário resultar em menor consumo de aço, utilizando o comprimento de ancoragem

%2 %2 %2

Ponto de momento positivo máximo

(a)

(b)

3 cot � 3@ 3A 3 cot � < 3@ ≤ 1,5 ∙ 3 cot � 3O

0,5 ∙ 3 cot � ≤ 3A, 3O < 3 cot �

(c)

3 � �@

51

básico há maior padronização no tamanho das barras e, consequentemente, possíveis

ganhos na produção.

Nas regiões onde o banzo está comprimido, é necessário prever armadura

construtiva. Tal armadura é detalhada de acordo com os dados inseridos pelo usuário,

tal como a bitola mínima, pois a bitola utilizada tem que ser maior ou igual à bitola da

armadura transversal. Quando o comprimento da armadura construtiva for menor do que

o estabelecido pelo usuário, o programa piloto prolonga a armadura de menor bitola

para desempenhar a função de armadura construtiva. O transpasse para esse tipo de

armadura é definido pelo usuário, pois não tem função estrutural.

Devido ao impacto econômico que pode exercer, a armadura de pele é

considerada no detalhamento e, consequentemente, no custo final da viga. Detalhes

sobre o dimensionamento desta armadura são descritos no item 3.5.6.

3.5 Restrições de Projeto

Para todos os indivíduos gerados são realizadas verificações relativas ao Estado

Limite Último, Estado Limite de Serviço e detalhamento com o objetivo de atender as

recomendações da NBR 6118:2007. Caso alguma destas restrições não seja atendida, o

individuo será penalizado.

Na averiguação do estado limite último são verificados o momento resistente, o

esforço cortante resistente e a altura da linha neutra. Os dois primeiros parâmetros tem o

objetivo de garantir que a seção não vai romper, já o último tem como finalidade

garantir a ductilidade da seção.

Para atender as restrições referentes ao estado limite de serviço verifica-se a

abertura de fissuras, e a deformação excessiva levando em consideração o tempo para o

início de aplicação da carga definido pelo usuário. No detalhamento são verificadas as

taxas de armadura; os espaçamentos mínimos e máximos; e a geometria da seção

transversal.

52

3.5.1 Cálculo do Momento Fletor Resistente da Seção Transversal

A metodologia de dimensionamento à flexão aqui exposta vale apenas para

elementos estruturais com esbeltez !�ã� % ≥ 2⁄ , pois somente nestes casos a deformação

devido ao cisalhamento é desprezível em relação à deformação devido à flexão. Desta

forma, pode-se aplicar a hipótese de Bernoulli (as seções transversais permanecem

planas após a deformação).

Considerando também a hipótese de aderência perfeita (igualdade de

deformação entre a armadura e o concreto situados a mesma distância da linha neutra),

pode-se calcular a deformação específica de cada camada de concreto (Equação 3.20)

ou aço (Equação 3.21).

; ,� = ; C − ∅ ∙ 2 ,� (3.20)

3.20

;,� = ; C − ∅ ∙ 2,� (3.21)

3.21

onde: ; C é a deformação no nível do centroide da seção; ;�,c é a deformação específica da

i-ésima camada de concreto; ;/, é a deformação específica da j-ésima camada de aço; ∅ é a

rotação relativa por unidade de comprimento da viga; 2 ,� é a distância da i-ésima

camada de concreto ao centroide da seção; .2,� é a distância da j-ésima camada de aço

ao centroide da seção;

Dividindo a seção transversal em camadas horizontais (concreto e aço) e fazendo

o somatório da contribuição de cada camada à resistência à flexão (Figura 3.5), calcula-

se o momento fletor resistente da seção.

53

Figura 3.5 - Análise da seção de concreto armado.

Para tal, converte-se a deformação específica de cada camada (deformação no

centroide da camada) em tensão normal utilizando as relações constitutivas dos

materiais. Para o concreto utiliza-se a curva parábola-retângulo do item 8.2.10.1 da

NBR 6118:2007 (Figura 3.6), cuja tensão normal para uma deformação específica é

calculado pela Equação 3.22. A relação constitutiva é válida para concretos com � �

até 50 Mpa e a resistência a tração do concreto foi desprezada.

A relação constitutiva do aço para armadura passiva é dada pela curva bilinear

do item 8.3.6 da NBR 6118:2007 (Figura 3.7) e pode ser aplicada para tração e

compressão. A tensão normal para uma deformação específica é calculada pela

Equação 3.23.

; C

; ,@

;,@

;,A

��

2 C 2 ,@

2,A 2,@

®

1ª camada de concreto

1ª camada de aço

2ª camada de aço

né°±²³ camada de concreto

∅

+

−

54

Figura 3.6 - Relação constitutiva do concreto.

= = egh 0 → ; < 00,85 ∙ � R ∙ µ1 − W1 − ; 2‰[A· → 0 ≤ ; ≤ 2‰0,85 ∙ � R → 2‰ ≤ ; ≤ 3,5‰

u (3.22)

3.22

onde: � R é a resistência de cálculo à compressão do concreto, e ; é a deformação

específica do concreto.

Figura 3.7 - Relação constitutiva do aço.

55

= = ¹; ∙ � → |;| ≤ ;5 = �5R �» �5R → ;5 ≤ |;| ≤ ;� = 10‰ u (3.23)

3.23

onde: �5R é a tensão de escoamento de cálculo do aço; � é o módulo de elasticidade

secante do aço; ;5 é a deformação específica de escoamento do aço; e ;� é a

deformação específica de ruptura do aço.

Manipulando as equações de equilíbrio para uma seção submetida à flexão

composta, obtém-se a Equação 3.24 (SHEHATA, 2005) onde o esforço normal (�) e o

momento fletor (�) são calculados em função de ; C e ∅.

¼ �−�½ = ¾�@,@ �@,A�A,@ �A,A¿ ∙ ¼; C∅ ½

∴efffgfffh�@,@ = i� ,� ∙ ∆� ,� +i�,� ∙ ∆�,�� A,A = i� ,� ∙ ∆� ,� ∙ 2 ,�A +i�,� ∙ ∆�,� ∙ 2,�A�� @,A = �A,@ = −�i� ,� ∙ ∆� ,� ∙ 2 ,� +i�,� ∙ ∆�,� ∙�� 2,��

u (3.24)

3.24

onde: ∆� ,� é a área de concreto da i-ésima camada; ∆�,� é a área de aço da j-ésima

camada; � é o esforço normal; � é o momento fletor; e ��,� são os coeficientes da

matriz de rigidez.

Para calcular a matriz de rigidez é necessário adotar um valor inicial para ; C e ∅. Tal valor é calculado supondo-se a altura da linha neutra igual a altura do centroide

da seção e a deformação na fibra mais comprimida igual a deformação limite para o

concreto. Se o módulo da diferença entre o esforço normal de cálculo (�R) e o esforço

normal calculado (�) for menor do que o erro (��) interrompe-se a rotina. Caso a

Equação 3.25 seja verdadeira, diminui-se a altura da linha neutra e repete-se a rotina até

o valor convergir. Caso contrário, aumenta-se a altura da linha neutra e procede-se da

mesma forma.

56

� > �R + �� (3.25)

3.25

Se o valor do erro for muito baixo, a rotina pode não convergir. Desta forma,

optou-se por considerar as características da seção transversal ao calcular o erro

considerado admissível (Equação 3.26 e 3.27).

�� = &(( ��)�* ∙ $ ∙ ℎ ∙ 0,85 ∙ � �8 (3.26)

3.26

�� = &(( )�)�� ∙ $ ∙ ℎA ∙ 0,85 ∙ � �8 (3.27)

3.27

onde: &(( . (Nb! e &(( N N&.~ são respectivamente as taxas de erro relativas ao

esforço normal e ao momento fletor; �� é o erro permitido ao esforço normal; e �� é o erro permitido ao momento fletor.

O cálculo do momento fletor é influenciado pela quantidade de barras de aço e

seu posicionamento na seção transversal. Para cada valor de resistência a compressão,

altura da viga e bitola de aço, o programa cria um vetor no qual armazena o valor do

momento resistente para diferentes quantidades de barras de aço. A rotina inicia com

duas barras de aço e vai aumentando gradativamente a quantidade de barras.

Para cada quantidade específica de barras, o posicionamento é realizado

satisfazendo os critérios da norma para o espaçamento entre as barras e o cobrimento

especificado pelo usuário. Para a armadura negativa, é considerada a bitola do vibrador

ao calcular o espaçamento para permitir a sua introdução e uma eficiente vibração de

todo o concreto. Para evitar a utilização de estribos com tamanhos diferentes, somente

as camadas extremas de armadura podem ter mais do que duas barras, sendo as barras

das demais camadas posicionadas somente na lateral da viga (Figura 3.8).

57

Figura 3.8 - Esquema do posicionamento da armadura longitudinal.

Com a quantidade de barras definidas e posicionadas na seção, executa-se a

rotina para o cálculo do momento resistente. Se a seção entrar em ruína devido à

deformação excessiva da armadura, a quantidade de barras é incrementada em uma

unidade e a rotina é repetida. Caso a ruína se deva a deformação excessiva do concreto,

o aumento na quantidade de barras não surte efeito, tendo em vista que o programa não

realiza o dimensionamento considerando armadura dupla.

Com os valores de ; C, ∅ e .�� definidos calcula-se o momento fletor resistido

pela seção, altura da linha neutra e o braço de alavanca interno. Tendo em vista que a

bitola pode variar, o procedimento descrito acima é realizado para as regiões da viga

onde o valor do momento fletor representa um máximo ou mínimo local.

3.5.2 Cálculo do Esforço Cortante Resistente da Viga

A NBR 6118:2007 recomenda dois modelos de cálculo para determinar o

esforço cortante resistente. Tais modelos são baseados na analogia com o modelo da

treliça de banzos paralelos, sendo que o modelo I considera as bielas inclinadas de � =

45º em relação ao eixo longitudinal e que a parcela do esforço cortante absorvido por

mecanismos complementares da treliça (� ) é constante, enquanto que no modelo II a

inclinação das bielas varia entre 30º e 45º e a parcela � diminui com o aumento do

esforço cortante solicitante de cálculo (�YR).

58

A resistência ao esforço cortante é satisfatória quando são verificadas as

condições da Equação 3.28. Portanto, pode-se afirmar que o esforço cortante resistente

é o menor valor entre �XRA e �XRO.

�YR ≤ Á �XRA�XRO = � + �\ u (3.28)

3.28

onde: �XRA é o esforço cortante resistente de cálculo relativo à ruína da biela

comprimida; �XRO é o esforço cortante resistente de cálculo relativo à ruína por tração; �\é a parcela do esforço cortante resistido pela armadura transversal; e �YR é o esforço

cortante solicitante de cálculo.

No programa piloto foi implementado somente o modelo II, pois a inclinação da

biela (�) é considerada como uma variável. As demais variáveis que influenciam a

resistência da viga ao esforço cortante são: resistência à compressão do concreto (� �);

altura da viga (ℎ); e bitola de armadura transversal (∅��). Além disso, considerou-se,

por questões construtivas, o ângulo de inclinação dos estribos (7) igual a 90º.

A resistência da biela comprimida é calculada utilizando a Equação 3.29. Pode-

se observar que além das variáveis citadas acima, o único parâmetro que influencia o

valor de �XRA é a largura da viga ($). Logo, todos os parâmetros necessários para

calcular �XRA já estão definidos, restando somente verificar se a biela entrar em processo

de ruína ou não.

�XRA = 0,54 ∙ W1 − � �250[ ∙ � R ∙ $ ∙ 3 ∙ sin� ∙ cos � (3.29)

3.29

Conforme a Equação 3.28, a resistência à ruína por tração é dada pela soma de � (Equação 3.30 e 3.31) e �\ (Equação 3.32) quando a viga está solicitada à flexão

simples. Observa-se que o único parâmetro com valor não fixado é o espaçamento

necessário entre estribos (/�� ). Logo, manipulando as Equações 3.28, 3.30 e 3.32,

obtém-se a Equação 3.33, que corresponde ao valor máximo que /�� pode assumir

para que não ocorra ruína por tração.

59

� = Ã� @ → �YR ≤ � @� @ ∙ W�XRA − �YR�XRA − � @[ → � @ < �YR ≤ �XRA u (3.30)

3.30

∴ � @ = 0,126 ∙ (� �)A O⁄8 ∙ $ ∙ % (3.31)

3.31

�\ = 2 ∙ �,�� ∙ 3 ∙ � ~}�/�� ∙ �5\R (3.32)

3.32

/�� = Ã2. �,�� ∙ 3 ∙ � ~}� ∙ �5\R�YR − � → � @ < �YR ≤ �XRA/)�- → �YR ≤ � @u (3.33)

3.33

onde: �,�� é a área da barra de aço utilizada como estribo; �5\R é a tensão de

escoamento de cálculo do aço dos estribos; /�� é o espaçamento necessário entre

estribos; /)�- é o espaçamento máximo entre estribos; e � @ é o valor de referência para � quando 30� ≤ � ≤ 45�.

Analisando a Equação 3.33, observa-se que o espaçamento entre os estribos

para valores de �YR ≤ � @ é arbitrado como espaçamento máximo. Tal espaçamento é

calculado conforme o item 17.4.1.1.1 da NBR 6118:2007, onde menciona-se que todos

os elementos lineares fletidos, submetidos à ação de força cortante, devem conter

armadura transversal mínima constituída por estribos. Tal restrição será abordada no

item 3.5.4.

Conforme visto no item 3.5.1, o valor do braço de alavanca interno (3) é

calculado para cada região da viga onde o diagrama de momento tem o mesmo sinal.

Entretanto, para o cálculo de �XRA e /�� foi utilizado um único valor de 3, que

corresponde ao menor valor encontrado. Desta forma, os resultados ficam a favor da

segurança.

60

3.5.3 Restrição da Altura da Linha Neutra

A imposição de um valor máximo para a altura da linha neutra tem a finalidade

de garantir uma ductilidade mínima para a seção. Conforme o item 14.6.4.3 da NBR

6118:2007, salvo os casos onde forem utilizados detalhes especiais de armaduras, a

posição da linha neutra no Estado Limite Último deve ser limitada nas regiões de apoio

das vigas. Tal limite é definido pelo usuário como um parâmetro de entrada do

programa.

3.5.4 Verificação das Taxas de Armadura

A taxa mínima de armadura de flexão é estipulada para evitar a ruptura brusca

da seção. Portanto, na passagem do Estádio I para o Estádio II, a armadura deve ser

capaz de absorver a força de tração liberada no concreto, o que equivale a satisfazer a

Equação 3.34.

��*�ÄÄ ≥ ��*�Ä = 0,8 ∙ "# ∙ � ��,�� ∴ Ã"# = $ ∙ ℎA6 � ��,�� = 0,39 ∙ � �A O⁄ u (3.34)

3.34

onde: ��*�ÄÄ é o momento fletor último no Estádio II; ��*�Ä é o momento fletor último no

Estádio I; "# é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo

à fibra mais tracionada; e � ��,�� é a resistência característica superior do concreto à

tração.

Para seção retangular com armadura simples, considerando o diagrama de

tensões retangular para o concreto, as restrições impostas no item 17.3.5.2.1 da NBR

6118:2007 e uma viga com altura útil de 90% a altura da seção, a partir da Equação

3.34 obtém-se a taxa mínima de armadura de flexão (Equação 3.35).

<,)�� = 0,612 ∙ � R0,8 ∙ �5R . �1 − Æ1 − 0,211� �@ O⁄ � ≥ 0,15% (3.35)

3.35

onde: <,)�� é a taxa geométrica mínima de armadura de flexão.

61

A taxa geométrica máxima de armadura de flexão em vigas, para regiões fora da

área de emendas, é definida no item 17.3.5.2 da NBR 6118:2007 como sendo de 4%.

A taxa geométrica mínima de armadura transversal (Equação 3.36),

estabelecida de acordo com o item 17.4.1.1.1 da NBR 6118:2007, além de garantir o

comportamento dúctil da viga ao passar do Estádio I para Estádio II também contribui

para que a seção seja monolítica e para o controle de fissuração devido à retração do

concreto e a variações térmicas. Manipulando a Equação 3.36 e considerando os

critérios estabelecidos no item 18.3.3.2 da NBR 6118:2007, obtém-se o espaçamento

máximo entre estribos (Equação 3.37).

<\ = 2 ∙ �,��$ ∙ / ≥ 0,2 ∙ � �,)�5\� ∴ � �,) = 0,3 ∙ � �A O⁄ (3.36)

3.36

/)�- ≤ egh10 ∙ �,�� ∙ �5\�$ ∙ � �,) 0,6 ∙ % ≤ 300NN,/&�R ≤ 0,67 ∙ �XRA0,3 ∙ % ≤ 200NN,/&�R > 0,67 ∙ �XRA

u (3.37)

3.37

onde: <\ é a taxa geométrica de armadura transversal; � �,) é a resistência média à

tração do concreto; �5\� é a resistência ao escoamento do aço da armadura transversal;

e �R.é o esforço cortante de cálculo.

Apesar de não existir uma limitação para a taxa geométrica máxima de armadura

transversal, os estribos devem ter um espaçamento mínimo suficiente para permitir a

introdução do vibrador e impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios.

O programa considera este espaçamento como o menor definido pelo usuário em um

dos formulários apresentados no item 3.7.1.

3.5.5 Verificação do Arranjo da Seção Transversal

O arranjo transversal da armadura longitudinal é feito pelo programa respeitando

o cobrimento e os critérios do item 18.3.2.2 da NBR 6118:2007 (Figura 3.9), sendo que

62

para o arranjo da armadura negativa é considerado o espaço necessário para a

introdução do vibrador em função do seu diâmetro.

A quantidade mínima de barras por camada é verificada para garantir que cada

camada tenha no mínimo duas barras de aço. A altura máxima de camadas é verificada

para posteriormente penalizar as soluções onde a quantidade de camadas necessárias

superou a altura estabelecida pelo usuário, evitando detalhamentos com quantidade

demasiada de camadas (Figura 3.10).

Figura 3.9 - Critério para o espaçamento mínimo entre as barras.

&� ≥ Ã20NN∅*��C0,5 ∙ ∅�C�u

&' ≥ Ã20NN∅*��C1,2 ∙ ∅�C�u

63

Figura 3.10 – Comparação entre a altura das camadas e a altura máxima de camadas.

3.5.6 Verificação do Estado Limite de Serviço de Abertura de Fissuras

Fissuras com grandes aberturas colaboram para a corrosão da armadura e

afligem o usuário, pois geram a sensação de que a estrutura está deficiente. Portanto, a

abertura máxima das fissuras, em estruturas de concreto armado sob ação das

combinações frequentes, não deve exceder valores limites estipulados de acordo com a

classe de agressividade ambiental (Tabela 3.5), desde que estas não afetem a

funcionalidade da estrutura.

Tabela 3.5 - Exigência de durabilidade relacionada à fissuração para concreto armado em função da agressividade ambiental.

Classe de agressividade ambiental (CAA)

Exigência relativa à fissuração

Combinação de ações em serviço a utilizar

CAA I wk = 0,4 mm Comb. frequente CAA II e CAA III wk = 0,3 mm Comb. frequente

CAA IV wk = 0,2 mm Comb. frequente

De acordo com o item 17.3.3.2 da NBR 6118:2007, o valor característico da

abertura de fissuras (1�) é calculado utilizando a Equação 3.38. Esta equação aplica-se

a todas as barras tracionadas, sendo que a cada barra deve ser atribuída uma área de

concreto de envolvimento (� �) constituída por um retângulo cujos lados não distam do

eixo da barra mais do que 7,5 vezes o seu diâmetro (Figura 3.11).

ℎ �),*�) ℎ �)O ℎ �)A

ℎ �)P

ℎ �)Q

64

1� = Nc.efgfh ∅12,5 ∙ : ∙ =� ∙ �3 ∙ =� �,) �∅12,5 ∙ : ∙ =� ∙ W 4<�� + 45[u

(3.38)

3.38

onde: ∅ é o diâmetro da barra em análise; : é o coeficiente de conformação superficial

da barra de aço; = é a tensão de tração no centro de gravidade da barra analisada,

calculada no Estádio II; � é o módulo de elasticidade secante do aço da barra

analisada; <�� é a taxa de armadura em relação à área de concreto de envolvimento para

a barra analisada; 1�.é o valor característico da abertura de fissuras.

Figura 3.11 - Concreto de envolvimento da armadura.

O programa piloto calcula a abertura de fissura para a barra mais tracionada e

para a barra com maior área de concreto de envolvimento, pois deste modo cobre-se

todas as demais possibilidades.

Para vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, não é necessário a existência de

armadura em toda a pele tracionada, bastando realizar a verificação descrita acima. Para

vigas com altura superior a 60 cm e inferior a 120 cm, o item 17.3.5.2.3 da NBR

6118:2007 prevê a utilização da armadura de pele, que corresponde a uma armadura

mínima de 0,10% ∙ � ,�*)� em cada face da alma. Tal armadura deve ter um

espaçamento menor ou igual a 20 cm e ser composta por barras nervuradas, pois a

qualidade da aderência desempenha um papel fundamental para a limitação da

65

fissuração. A bitola da armadura a ser utilizada na armadura de pele e o espaçamento

máximo podem ser configurados pelo usuário.

3.5.7 Verificação do Estado Limite de Serviço de Deformação Excessiva

O deslocamento excessivo de uma viga pode causar danos a elementos

estruturais e não estruturais, prejudicar o funcionamento adequado da construção, gerar

efeitos visuais desagradáveis e vibrações indesejáveis da estrutura. Com a finalidade de

evitar tais problemas, a norma estabelece limites para a flecha de vigas, que é calculada

para a combinação quase permanente de carregamento.

Para calcular a flecha é necessário conhecer o módulo de elasticidade dos

materiais que compõem a seção (concreto e aço) e o momento de inércia. No domínio

das cargas de utilização, o módulo de elasticidade do concreto e do aço são

considerados constantes, mas o mesmo não se aplica ao momento de inércia quando a

viga encontra-se fissurada. No Estádio II, a altura da linha neutra (0ÄÄ) e o momento de

inércia (�ÄÄ) podem ser calculados utilizando-se respectivamente as Equações 3.39 e

3.40

0ÄÄ = É2$ ∙ �� ∙ i �,� ∙ %��Ê�r@

(3.39)

3.39

�ÄÄ = $ ∙ 0ÄÄO3 + �� ∙ i �,� ∙ �%� − 0ÄÄ�A��Ê�r@

(3.40)

3.40

onde: �,� é a área da i-ésima camada de aço; %� é a distância da i-ésima camada à fibra

mais comprimida; . �) é a quantidade de camadas de aço; 0ÄÄ.é a distância da linha

neutra ao bordo comprimido no Estádio II; e �ÄÄ é o momento de inércia da seção

transversal no Estádio II

A variação do momento fletor ao longo do vão faz com que o momento de

inércia da seção não seja constante ao longo do mesmo. Para considerar este

66

comportamento, utiliza-se o momento de inércia equivalente (�� ) dado pela Equação

3.41 (Fórmula de Branson), conforme item 17.3.2.1.1 da NBR 6118:2007. Para se obter

maior precisão no cálculo da flecha imediata em vigas onde ocorre inversão no sentido

dos momentos fletores, o programa piloto faz a ponderação de �� (Equação 3.42) com

o critério estabelecido na Figura 3.12.

�� = W��[O ∙ � + µ1 − W��[O· ∙ �ÄÄ ≤ � (3.41)

3.41

onde:� é o momento de inércia da seção transversal bruta de concreto; �ÄÄ é o momento

de inércia da seção transversal de concreto no Estádio II; �� é o momento fletor na

seção crítica do vão considerado; e �� é o momento de fissuração do elemento

estrutural.

Figura 3.12 - Critério para a ponderação do momento de inércia equivalente.

�� = 1!�ã� ∙ Ë�� ,@ ∙ b@ + �� ,� ∙ b� + �� ,A ∙ bAÌ (3.42)

3.42

onde: �� ,@ é o momento de inércia equivalente no trecho 1; �� ,� é o momento de inércia

equivalente no trecho de momentos positivos; �� ,A é o momento de inércia equivalente

no trecho 2; !@ é o comprimento do trecho 1; !� é o comprimento do trecho de momento

positivo; e !A é o comprimento do trecho 2 .

�@ �A

�Í

!@ !A !Í ! +

− −

67

Para calcular a flecha total da viga, é necessário considerar a parcela devido à

fluência do concreto sob a ação de cargas de longa duração (flecha diferida). O

programa piloto segue as recomendações do item 17.3.2.1.2 da NBR 6118:2007 para o

cálculo da flecha total e diferida, sendo possível configurar a data de cálculo da flecha e

o início do carregamento.

3.6 Função Aptidão

A função aptidão é utilizada para avaliar quantitativamente os indivíduos, de

modo que os mais aptos terão maior probabilidade de serem selecionados para

disseminar seus genes nas gerações futuras, enquanto que os menos aptos serão

gradativamente eliminados. Este procedimento permite que a população tenda a

convergir para as melhores soluções.

Para obter a função aptidão (Equação 3.43) multiplica-se a função objetivo pelo

produtório das restrições penalizadas. As restrições estão relacionadas à verificação do

Estado Limite Último (momento resistente, diagonal comprimida, espaçamento mínimo

entre estribos e altura da linha neutra); do Estado Limite de Serviço (abertura máxima

de fissura e flecha máxima); e do detalhamento da viga (quantidade de camadas, largura

do apoio, número mínimo de barras).

�� = $��C�,�� ∙ Î ��,�)

�r@ (3.43)

3.43

onde: $��C�,�� é o custo total da viga (função-objetivo); ��,� é a função de penalização

para a i-ésima restrição; e N é a quantidade de penalizações.

A penalização do momento fletor é calculada utilizando a Equação 3.44.

Quando o momento solicitante (�YR) for maior que o resistente (�XR), a penalização

tem um valor maior que a unidade, aumentado o valor da função aptidão; caso contrário,

o valor da penalização é igual à unidade, mantendo o valor da função aptidão inalterado.

Este procedimento aplica-se às seções situadas nos apoios e as seção de cada vão onde o

momento positivo é máximo.

68

��,@ = Ã �YR�XR → /&�YR > �XR1 → /&�YR ≤ �XR u (3.44)

3.44

onde: �YR é o momento fletor solicitante de cálculo; e �XR é o momento fletor

resistente de cálculo.

Para penalizar o esforço cortante, verifica-se a resistência da diagonal

comprimida e o espaçamento necessário entre os estribos. No primeiro caso (Equação

3.45), o maior valor de esforço cortante na viga (�YR,)�-) é comparado ao valor de �XRA, bastando realizar apenas uma verificação, pois �XRA é constante ao longo da viga. No

segundo caso (Equação 3.46), o espaçamento necessário entre estribo (/�� ) é

comparado ao menor valor de espaçamento entre estribo (/)��) definido pelo usuário.

Caso o espaçamento entre os estribos seja superior ao máximo (/)�-), o valor adotado

será o máximo, não sendo necessário penalizar a função.

��,A = Ã �YR,)�-�XRA → /&�YR,)�- > �XRA1 → /&�YR,)�- ≤ �XRAu (3.45)

3.45

��,O = Ã /)��/�� → /&/)�� > /�� 1 → /&/)�� ≤ /�� u (3.46)

3.46

onde: �YR,)�- é o esforço cortante máximo atuando na viga; /)�� é o espaçamento

mínimo entre os estribos; e /�� é o espaçamento necessário entre estribos

Objetivando garantir a ductilidade da viga, utiliza-se a Equação 3.47 para

penalizar a altura da linha neutra (0). A taxa geométrica máxima de armadura não é

verificada pelo programa, pois está linearmente relacionada com a altura da linha

neutra. Nos casos com taxa de armadura inferior à mínima, aumenta-se a quantidade de

barras até a taxa mínima ser atingida, elevando, consequentemente, o custo da viga.

69

��,P = Ã 00*�) → /&0 > 0*�)1 → /&0 ≤ 0*�)u (3.47)

3.47

onde: 0 é a altura da linha neutra; e 0*�) é a altura limite para a linha neutra.

Referente ao estado limite de serviço, faz-se a penalização da abertura de fissura

e flecha. No primeiro caso, compara-se o valor máximo calculado da abertura de fissura

(1�,)�-) com o valor definido pelo usuário e calcula-se a penalização utilizando a

Equação 3.48. No segundo, compara-se o valor máximo calculado da flecha (9)�-)

com o valor definido pelo usuário e utiliza-se a Equação 3.49 para calcular a

penalização.

��,Q = Ã 1�,)�-1*�) → /&1�,)�- > 1*�)1 → /&1�,)�- ≤ 1*�)u (3.48)

3.48

��,Ï = Ã 9)�-9*�) → /&9)�- > 9*�)1 → /&9)�- ≤ 9*�)u (3.49)

3.49

onde: 1�,)�- é o valor máximo calculado da abertura de fissuras; 1*�) é o valor limite

para a abertura de fissura; 9)�- é a flecha máxima calculada; e 9*�) é a flecha limite.

A altura da região onde fica alojada a armadura longitudinal é penalizada com o

intuito de evitar que as soluções finais com quantidade elevada de camadas de

armadura. Para tal, compara-se a razão entre a maior altura da camada (ℎ �),)�-) e a

altura da viga com a razão definida pelo usuário utilizando a Equação 3.50 para definir

o valor da penalização.

��,Ð = ¹ ℎ �),)�-ℎ �),*�) → /&ℎ �),)�- > ℎ �),*�)1 → /&ℎ �),)�- ≤ ℎ �),*�)u (3.50)

3.50

70

onde: ℎ �),)�- é a altura máxima da camada de aço; e ℎ �),*�) é a altura limite da

camada de aço.

A quantidade mínima de barras que a viga consegue alojar em uma camada tem

que ser igual a dois por motivos construtivos. Portanto, utiliza-se a Equação 3.51 para

calcular a penalização referente a quantidade mínima de barras na camada.

��,Ñ = Á2 → /&.��, �) = 11 → /&.��, �) ≥ 2u (3.51)

3.51

onde: .��, �) é o número máximo de barras por camada

Por último, compara-se a largura dos apoios extremos (!��,�-) com o

comprimento de ancoragem mínimo (!�� ,)��) para calcular a penalização referente à

largura mínima do apoio utilizando a Equação 3.52.

��,Ò = ¹ !�� ,)��!��,�- → /&!�� ,)�� > !��,�-1 → /&!�� ,)�� ≤ !��,�-u (3.52)

3.52

onde: !��,�- é a largura dos apoios extremos; e !�� ,)�� é o comprimento de

ancoragem mínimo.

Ao final do processamento, um relatório de erros é gerado exibindo o percentual

de incidência de cada erro. Desta forma, caso o arquivo de solução não apresente

nenhuma solução, o relatório de erros auxilia o usuário na identificação das possíveis

causas para o ocorrido.

3.7 Programa piloto

A rotina geral do programa desenvolvido, que é semelhante entre os programas

de otimização por Algoritmos Genéticos, se baseia no fluxograma da Figura 3.13. A

sub-rotina que realiza a avaliação da população, que é específica para o problema em

análise, está representada no fluxograma da Figura 3.14.

71

Figura 3.13- Fluxograma do Algoritmo Genético do programa.

A entrada de dados é realizada utilizando as janelas descritas em 3.7.1. O

programa permite que os dados de entrada sejam exportados e importados pelo usuário

para uso posterior. Os dados são divididos em dois grupos, um relacionado às

características específicas do problema em estudo e outro relacionado a configurações

gerais do programa.

72

Figura 3.14 - Fluxograma da sub-rotina para avaliação da população.

Após a execução do programa os resultados são exportados para um arquivo

texto que posteriormente é utilizado como entrada por uma rotina elaborada no

73

AutoCAD para desenhar o detalhamento da viga e as tabelas contendo as informações

necessárias para a correta interpretação dos resultados, conforme descrito em 3.7.2.

A apresentação gráfica facilita a escolha do usuário pelo resultado que mais lhe

convém, tendo em vista que o objetivo do programa é auxiliar o engenheiro propondo

alternativas com custos iguais ou próximos ao ótimo e não somente o resultado com

menor custo, pois existem fatores que podem afetar a decisão que não estão embutidos

no custo.

3.7.1 Descrição das Janelas do Programa piloto

Ao inicializar o programa piloto, o formulário da Figura 3.15 é exibido. A partir

desta janela é possível acessar todas as outras janelas do programa e inserir diretamente

alguns dados relacionados à geometria e detalhamento da viga, tamanho máximo do

elemento finito que será utilizado na análise estrutural e fator de reaproveitamento do

aço, que deve ser um número entre 0 e 1, como foi explanado detalhes no item 3.3.

Figura 3.15 - Formulário de abertura do programa de pré-dimensionamento ótimo de vigas.

Definido o tamanho da viga, faz-se a edição dos apoios utilizando um formulário

(Figura 3.16) que permite informar, de forma dinâmica, a quantidade total de apoios.

Individualmente insere-se a posição e as características dos pilares inferior e superior

referentes a cada apoio. Detalhes sobre o comportamento estrutural dos apoios em

função dos valores inseridos estão descritos no item 3.4.1.

74

Figura 3.16 - Formulário para inserção da quantidade de apoios com suas respectivas características.

As cargas aplicadas na viga podem ser concentradas ou distribuídas. Na janela

de edição das cargas concentradas (Figura 3.17) seleciona-se primeiramente a

quantidade de cargas a serem consideradas e posteriormente faz-se o preenchimento dos

campos referentes à posição da carga, sua magnitude e a natureza do carregamento

(permanente ou variável). A edição das cargas distribuídas (Figura 3.18) é feita de

forma semelhante.

Figura 3.17 - Formulário para inserção da quantidade de cargas concentradas e suas respectivas características.

75

Figura 3.18 - Formulário para inserção da quantidade de cargas distribuídas e suas respectivas características.

No formulário da Figura 3.19 são definidos os parâmetros do Algoritmo

Genético, tais como tamanho da população, número de gerações, elitismo, fator de

escalonamento, tipo de codificação, tipo de operador de crossover, probabilidade de

crossover e mutação. A quantidade de melhores indivíduos define o tamanho do vetor

de soluções disponível para análise ao final do processamento, de modo que o usuário

possa considerar outras questões além do custo ao decidir qual solução utilizar.

Figura 3.19 - Formulário para inserção dos parâmetros do Algoritmo Genético.

76

Os possíveis valores para a resistência à compressão do concreto são definidos

no formulário da Figura 3.20, onde para cada valor de � � está associado um custo

relativo à compra, transporte, lançamento e vibração do concreto. Na janela de edição

das alturas da viga (Figura 3.21), associa-se a cada altura o custo de forma.

Figura 3.20 - Formulário para inserção dos possíveis valores para o fck do concreto.

Figura 3.21 - Formulário para inserção dos possíveis valores para a altura da viga.

77

No formulário da Figura 3.22, para cada bitola estão associados dois custos, o

primeiro é relacionado ao preço comercial do aço e o segundo relacionado ao custo de

mão de obra para realizar a montagem da armadura na obra. No mesmo formulário é

possível determinar se a bitola será utilizada como armadura de estribo, negativo ou

positivo. Com exceção da bitola de 5 mm para o uso em estribos, que é considerada

como aço tipo CA-60 , todas as demais possíveis bitolas são consideradas como aço tipo

CA-50.

Figura 3.22 - Formulário para inserção dos possíveis valores para as bitolas da armadura.

A edição dos possíveis valores para a inclinação da biela é realizada no

formulário da Figura 3.23, onde são definidos os valores de ângulo inicial, ângulo final

e incremento. Para o cálculo do esforço cortante resistente é utilizado o modelo II

proposto na NBR 6118:2007, onde a inclinação da biela pode variar livremente entre

30º e 45º. Cabe ao usuário escolher valores condizentes com os permitidos pela norma.

Figura 3.23 - Formulário para inserção dos possíveis valores para a inclinação da biela comprimida.

78

No formulário de abertura (Figura 3.15), ao selecionar o menu configurações

(Figura 3.24) é possível acessar as janelas do programa para definir os parâmetros

relacionados à configuração de ações e análise, materiais, dimensionamento e

detalhamento.

Figura 3.24 - Menu para acesso as configurações do programa

Na janela de ações e análise (Figura 3.25), define-se os valores do coeficiente

de ponderação das ações no estado limite último, os fatores de combinação para o

estado limite de serviço e os fatores para consideração aproximada da não linearidade

física da viga e dos pilares.

Figura 3.25 - Formulário de parâmetros das ações na viga e da rigidez das seções.

No formulário da Figura 3.26, são definidas características dos materiais, tais

como coeficientes de minoração, deformações limites, peso específico para o concreto e

o aço, fator devido à carga de longa duração para o concreto e deformação específica de

escoamento para o aço.

79

Figura 3.26 - Formulário de parâmetros referentes as características do concreto e do aço.

Na janela de dimensionamento (Figura 3.27), são definidos os valores

relacionados ao algoritmo de análise não-linear da seção transversal (número de

camadas da seção, erros, altura máxima da linha neutra), à abertura máxima de fissura e

ao cálculo da flecha (início do carregamento, data de cálculo da flecha e flecha máxima)

Figura 3.27 - Formulário de parâmetros referentes ao dimensionamento da viga.

80

A configuração dos parâmetros relacionados ao detalhamento é realizada no

formulário da Figura 3.28. Para as varas de aço permite-se configurar o tamanho como

múltiplo de um número fornecido pelo usuário para evitar que o detalhamento tenha

comprimento de barras que não condizem com a prática. A distinção entre o tamanho de

compra e o de fornecimento das varas se deve ao fato de que nem sempre o tamanho do

catálogo é igual ao fornecido. Para os estribos define-se o intervalo do espaçamento e o

valor do qual deve ser múltiplo. Para a armadura construtiva são definidas a bitola

mínima, o comprimento mínimo e a sobreposição a ser considerada para a amarração.

Os demais parâmetros definidos são: relação máxima entre a altura da armadura e a

altura útil da viga; diâmetro mínimo e espaçamento máximo da armadura de pele;

diâmetro do agregado e do vibrador; e o comprimento de ancoragem a ser utilizado

(básico ou necessário).

Figura 3.28 - Formulário de parâmetros referentes ao detalhamento da viga.

81

3.7.2 Resultados exibidos no AutoCAD

Os resultados gerados pelo programa são desenhados no AutoCAD para melhor

interpretação dos mesmos, tendo em vista que o engenheiro está habituado a examinar o

detalhamento de uma viga na forma de desenho. A Figura 3.29 ilustra o detalhamento

gerado pelo programa, onde para as barras longitudinais informa-se a quantidade de

barras, numeração da barra, bitola e comprimento; e para as barras transversais a

quantidade de barras, numeração da barra e espaçamento. Dentro do caixão, a armadura

de montagem não é desenhada com o intuito de facilitar a visualização da armadura

longitudinal necessária para combater os esforços.

Figura 3.29 - Desenho do detalhamento da viga no AutoCAD

Junto com o desenho são geradas as tabelas de aço (Tabela 3.6); tabela de

compra de barras (Tabela 3.7), que indica a quantidade de varas de aço por bitola que

devem ser adquiridas; e a tabela com as informações referentes ao valor adotado para as

variáveis (altura da viga, � � do concreto e inclinação da biela), o custo total e os custos

individuais (concreto, forma, aço, mão de obra de montagem da armadura), o percentual

de perda de armadura; e a distribuição em peso do aço para armadura positiva, negativa,

transversal e de pele (Tabela 3.8). Com estes dados é possível fazer uma análise do

impacto de diferentes fatores no custo final.

82

Tabela 3.6 - Tabela de aço gerada no AutoCAD.

.

Tabela 3.7 - Tabela de compra de barras gerada no AutoCAD.

Tabela 3.8 - Tabela com valores adotados para as variáveis e detalhamento do custo da viga.

83

4 Aplicações e Testes

4.1 Introdução

O desempenho do programa piloto está atrelado à eficiência do Algoritmo

Genético na busca da solução ótima. Deste modo, a configuração dos parâmetros

genéticos deve ser feita com cautela, pois a eficiência dos mesmos depende do tipo de

problema que está sendo analisado.

Desta forma, optou-se por avaliar a influência dos diferentes parâmetros na

otimização do problema analisado neste trabalho. O desempenho dos operadores de

crossover e mutação foram analisados separadamente para diferentes valores de fator de

escalonamento, população inicial e número de gerações com o intuito de avaliar a

melhor configuração para cada parâmetro. Em seguida, o desempenho conjunto dos

operadores foi avaliado, assim como a influência de diferentes tipos de codificação e

operadores de crossover no resultado final.

A comparação com outros trabalhos de otimização encontrados ma literatura

técnica, teve a finalidade de avaliar a eficiência do programa desenvolvido. Entretanto,

os resultados devem ser analisados com cautela para garantir que as diferenças de custos

encontradas não estejam associadas às diferenças no modelo estrutural ou a uma

configuração equivocada dos parâmetros do problema.

A comparação com um projeto real, foi realizada para mensurar o impacto

econômico que a otimização pode ter na prática de projeto. Por mais que a solução

ótima seja viável, seu detalhamento pode causar transtornos na execução, tendo em vista

a baixa qualificação da mão de obra. Portanto, optou-se por realizar análises para avaliar

o impacto econômico de diferentes estratégias de detalhamento.

A análise de sensibilidade foi realizada para avaliar a influência dos insumos na

composição final do preço da viga e nos valores das variáveis atribuídas à solução

ótima.

84

4.2 Avaliação dos Parâmetros do Algoritmo Genético

A configuração dos parâmetros relacionados ao algoritmo genético tem grande

influência no seu desempenho e dependem do problema que está sendo estudado, de

modo que os valores que forneceram bons resultados para um tipo de problema podem

não ter um mesmo desempenho quando aplicados em outros casos. Desta forma, os

impactos relacionados aos valores do fator de escalonamento, tamanho da população,

número de gerações, taxa de crossover, taxa de mutação, operador de crossover e tipo

de codificação serão estudados com o intuito de verificar os valores dos parâmetros que

aumentam a probabilidade de sucesso da otimização para o problema que está sendo

estudado nesta dissertação.

Como o método dos Algoritmos Genéticos não apresenta um comportamento

determinístico, resultados diferentes podem ser encontrados a cada rodada realizada.

Logo, as comparações a seguir são feitas com valores médios obtidos para 10 rodadas

de cada configuração dos parâmetros do Algoritmo Genético, de forma a garantir

representatividade estatística. Em todos os casos o elitismo foi empregado.

Apesar do objetivo do problema em estudo ser a minimização do custo da viga,

o Algoritmo genético implementado é de maximização. Portanto, faz-se necessário

modificar a função aptidão utilizando a Equação 4.1.

��)�R = 1000 ��Ó (4.1)

4.1

onde: ��)�R é a função aptidão modificada e �� é a função aptidão.

A viga considerada nesta análise (Figura 4.1) e o espaço de busca de cada

variável (Tabela 4.1) influenciam no tamanho do cromossomo e consequentemente no

tamanho do espaço de busca, que no caso em questão corresponde a 442.368

possibilidades diferentes.

85

Tabela 4.1 - Espaço de busca das variáveis considerado na análise dos parâmetros do Algoritmo Genético.

fck (M P a) 20 25 30 35

B it. Est. (mm) 5 6,3

B it. N eg. (mm) 8 10 12,5

B it. P os. (mm) 6,3 8 10 12,5

A ltura (cm) 35 40 45 50

θ B ie la (°) 30 35 40 45

A quantidade de indivíduos avaliados deve ser relativamente menor do que o

espaço de busca total para conseguir estimar o desempenho do AG, pois caso contrário

o esforço computacional será semelhante ao se realizar a otimização por força bruta.

Desta forma, optou-se por realizar a otimização com a avaliação de 2.400 indivíduos, o

que corresponde a aproximadamente 0,54 % do espaço de busca. Após a determinação

dos melhores parâmetros, a curva de desempenho será analisada.

A quantidade de indivíduos a serem avaliados pode ser distribuída em diferentes

valores de tamanho da população e número de gerações. Para avaliar a influência desta

distribuição no desempenho da otimização, são feitas análises com as distribuições

descritas na Tabela 4.2.

80 cm 400 cm 150 cm 500 cm

150 cm

150 cm

Figura 4.1 - Geometria da viga considerada na análise dos parâmetros do Algoritmo Genético.

86

Tabela 4.2 - Distribuição do tamanho da população e número de gerações para diferentes análises.

A nális e Tam. Po p. N ° Ge n.

1 10 2402 20 1203 40 604 60 405 120 20

6 240 10

Na seleção por roleta, a probabilidade de um indivíduo ser escolhido é

proporcional a sua aptidão. Deste modo, caso a aptidão deste indivíduo seja alta em

relação à aptidão média da população, pode ocorrer a convergência prematura para um

ponto de ótimo local. Tal circunstância pode ser evitada utilizando-se o fator de

escalonamento linear conforme indicado nas Equações 4.2, 4.3 e 4.4. Desta forma, a

função aptidão do melhor indivíduo fica referenciada ao valor médio da função aptidão

da geração em análise, evitando assim a convergência e a perda prematura de bons

indivíduos.

��)�R,�Y �.� = b(.) ∙ ��(}) + $(.) (4.2)

4.2

b(.) = (�& − 1) ∙ ��)�R,)éR(.)��)�R,)á-(.) − ��)�R,)�R(.) (4.3)

4.3

$(}) = m1 − b(.)n ∙ ��)�R,)�R(.) (4.4)

4.4

onde: ��N %,cÕ (}) é a função aptidão modificada escalonada do i-ésimo indivíduo na n-

ésima geração ; ��)�R,)éR(.) é o valor médio da função aptidão modificada na n-

ésima geração; ��N %,Ná0(.) é o valor máximo da função aptidão na n-ésima geração; e �& é o fator de escalonamento.

A influência da magnitude do fator de escalonamento pode ser avaliada

verificando-se a quantidade de gerações necessárias, com taxas de crossover e de

mutação nulas, para que o melhor indivíduo domine completamente a população.

87

A Figura 4.2 exibe os resultados obtidos para diferentes valores de fator de

escalonamento testados, sendo que um fator de escalonamento unitário indica que o

escalonamento não está sendo aplicado.

Figura 4.2 - Influência do fator de escalonamento no número de gerações necessárias para o domínio do melhor indivíduo.

Analisando a Figura 4.2, observa-se uma grande diferença quando o fator de

escalonamento é aplicado ou não, de modo que sem sua aplicação, a quantidade de

gerações necessárias para que o melhor indivíduo domine a população é

aproximadamente igual ao tamanho da população inicial, enquanto que ao ser aplicado,

a quantidade de gerações é substancialmente menor. Comparando os casos onde o fator

de escalonamento é maior que um (Figura 4.3), observa-se que o comportamento para

fatores de escalonamento iguais a 1,6, 2,0 e 2,5 é semelhante. Logo, optou-se por

realizar as análises seguintes com fatores de escalonamento iguais a 1,0, 1,2 e 1,6.

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250 300

Nú

me

ro d

e g

era

çõe

s a

té a

con

ve

rgê

nci

a

Número de gerações

F.E. = 1,0

F.E. = 1,2

F.E. = 1,6

F.E. = 2,0

F.E. = 2,5

88

Figura 4.3 - Comparação de diferentes fatores de escalonamento no número de gerações necessário para o domínio do melhor indivíduo.

Os operadores de crossover e mutação são os responsáveis pela a exploração do

espaço de busca. Para avaliar a eficiência do operado de crossover, foram realizadas

rodadas, para as distribuições de população inicial e número de gerações expostos na

Tabela 4.2, com taxas de crossover de 0,2, 0,4, 0,6, 0,8 e 1,0, diferentes fatores de

escalonamento e probabilidade de mutação do bit de 0,55%, que corresponde a uma

probabilidade de mutação de 9,95% para um indivíduo com 19 bits (Figura 4.4, Figura

4.5 e Figura 4.6).

Figura 4.4 - Desempenho do operador de crossover para diferentes probabilidades de crossover e fator de escalonamento de 1,0.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 50 100 150 200 250 300

Nú

me

ro d

e g

era

çõe

s a

té a

con

ve

rgê

nci

a


F.E. = 1,2

F.E. = 1,6

F.E. = 2,0

F.E. = 2,5

1,025

1,03

1,035

1,04

1,045

1,05

1,055

1,06

1,065

1,07

1,075

1,08

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia

Taxa de crossover

10 - 240

20 - 120

40 - 60

60 - 40

120 - 20

240 - 10

89



Analisando os resultados, observa-se que os casos onde a população inicial é

maior que o número de gerações tendem a fornecer melhores valores de aptidão

modificada média, sendo o melhor resultado obtido com uma população inicial de 60

indivíduos e fator de escalonamento de 1,6. Pode-se observar que com o aumento do

fator de escalonamento, os valores da aptidão modificada média para os casos com

população inicial de 10 e 20 indivíduos tendem a reduzir, mas o mesmo não é

observado para os demais casos. Em linhas gerais, pode-se dizer que os melhores

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia

Taxa de crossover

10 - 240

20 - 120

40 - 60

60 - 40

120 - 20

240 - 10

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia

Taxa de crossover

10 - 240

20 - 120

40 - 60

60 - 40

120 - 20

240 - 10

90

resultados foram obtidos com taxas de crossover maior ou igual a 0,6 e população

inicial maior do que o número de geração, o que garante uma diversidade genética

inicial maior.

Comparando o desempenho do operador de crossover para diferentes valores do

fator de escalonamento e uma população inicial de 240 indivíduos (Figura 4.7),

observa-se que apesar do melhor resultado obtido corresponder a um fator de 1,2, não é

possível afirmar que o desempenho de um determinado fator de escalonamento seja

superior aos demais.

Figura 4.7 - Desempenho do operador de crossover para diferentes fatores de escalonamento em uma população inicial de 240 indivíduos.

Para avaliar a eficiência do operador de mutação, foram realizadas rodadas, para

as distribuições de população inicial e número de gerações expostos na Tabela 4.2, com

as probabilidades de mutação expostas na Tabela 4.3, taxa de crossover nula e

diferentes fatores de escalonamento. A probabilidade de mutação representa a

probabilidade de cada bit do indivíduo sofrer mutação, de modo que alguns autores

recomendam calcular a taxa de mutação em função da quantidade de bits do indivíduo e

do tamanho da população. A probabilidade de um indivíduo sofrer mutação pode ser

calculada utilizando-se a Equação 4.5, onde percebe-se que a quantidade de bits

utilizados para codificar o indivíduo influencia a probabilidade de mutação do mesmo.

Deste modo, alguns valores da probabilidade de mutação da Tabela 4.3 foram

1,055

1,06

1,065

1,07

1,075

1,08

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia

Taxa de crossover

F.E. = 1,0

F.E. = 1,2

F.E. = 1,6

91

calculados utilizando-se as Equações 4.6 e 4.7, sendo que foram necessários 19 bits

para representar o indivíduo.

Tabela 4.3 - Taxas de mutação utilizadas nas análises para os diferentes tamanho de população.

�),��R. = 1 − �1 − Ö)�� (4.5)

Ö) = 1 ��Ó (4.6)

Ö) = 1 m×�� ∙ ��n» (4.7)

onde: Ö) é a taxa de mutação; �),��R. é a probabilidade de mutação do indivíduo; �� é a quantidade de bits necessária para representar um indivíduo; e ×�� é o tamanho da

população.

Nas Figura 4.8 à Figura 4.10 estão expostos os resultados obtidos na análise de

desempenho do operador de mutação. Pode-se observar a tendência de aumento na

aptidão com o aumento da probabilidade de mutação e com a redução da população

inicial, que implica no aumento do número de gerações. Os melhores resultados são

obtidos com uma probabilidade de mutação de 10% e para uma população inicial de 10

indivíduos processados ao longo de 240 gerações.

10 - 240 1,00 1,66 5,26 10,0020 - 120 1,00 1,17 5,26 10,0040 - 60 0,83 1,00 5,26 10,0060 - 40 0,68 1,00 5,26 10,00

120 - 20 0,48 1,00 5,26 10,00

240 - 10 0,34 1,00 5,26 10,00

Tam. Pop - N° Gen. Probabilidade de mutação (%)

92

Figura 4.8 - Desempenho do operador de mutação para diferentes probabilidades de mutação e fator de escalonamento de 1,0.


1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,1

0 2 4 6 8 10 12

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia

Probabilidade de mutação

10 - 240

20 - 120

40 - 60

60 - 40

120 - 20

240 - 10

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,1

0 2 4 6 8 10 12

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia


10 - 240

20 - 120

40 - 60

60 - 40

20 - 120

10 - 240

93


Comparando o desempenho do operador de mutação para diferentes valores do

fator de escalonamento e uma população inicial de 10 indivíduos (Figura 4.11),

observa-se que para os três casos os valores obtidos são muito próximos para a

probabilidade de mutação de 10%, o que não permite atribuir um melhor desempenho a

um fator de escalonamento específico.

Figura 4.11 - Desempenho do operador de mutação para diferentes fatores de escalonamento em uma população inicial de 10 indivíduos.

O mesmo comportamento foi observado na análise do operador de crossover

(Figura 4.7). Logo, pode-se dizer que o impacto do fator de escalonamento nas análises

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,1

0 2 4 6 8 10 12

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia


10 - 240

20 - 120

40 - 60

60 - 40

120 - 20

240 - 10

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,1

0 2 4 6 8 10 12

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia


F.E. = 1,0

F.E. = 1,2

F.E. = 1,6

94

realizadas não foi relevante. Entretanto, como é necessário atribuir um valor para este

parâmetro convencionou-se um fator de 1,6 para ser utilizado nas análises seguintes.

Comparando os melhores resultados, que foram os obtidos para uma

probabilidade de crossover de 60%, 80% e 100% e uma probabilidade de mutação de

5,26% e 10% (Figura 4.12), nota-se que conforme o número de gerações aumenta

(tamanho da população diminui) os resultados obtidos com o operador de mutação

melhoram, enquanto que os resultados obtidos com o crossover pioram. Além disso,

observa-se que o operador de crossover é mais sensível a variação do tamanho da

população. Isto se deve ao fato do desempenho deste operador estar diretamente

atrelado a diversidade genética da população inicial, que é proporcional ao tamanho da

população.

Figura 4.12 - Comparação do desempenho dos operadores de crossover e mutação para os melhores resultados.

Com base nos resultados apresentados na Figura 4.12, decidiu-se restringir as

análises posteriores a uma probabilidade de mutação de 5,26% e 10%, pois os maiores

valores de aptidão modificada média foram obtidos utilizando tais parâmetros.

Para avaliar a contribuição do crossover nas otimizações realizadas com os

parâmetros descritos acima, compara-se os resultados obtidos para diferentes taxas de

crossover e distribuição de população inicial (Figura 4.13 e Figura 4.14). Nota-se que

não há uma tendência clara do impacto do crossover e que os melhores resultados são

1

1,02

1,04

1,06

1,08

1,1

0 50 100 150 200 250

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia


pc = 60%, pm = 0,55%

pc = 80%, pm = 0,55%

pc = 100%, pm = 0,55%

pc = 0%, pm = 5,26%

pc = 0%, pm = 10%

95

obtidos para população inicial de 10 indivíduos, fator de escalonamento de 1,6,

probabilidade de mutação e crossover de 10% e 40% respectivamente. Entretanto, nota-

se que para a probabilidade de mutação de 10%, a sensibilidade em relação à taxa de

crossover é pequena, enquanto que para a probabilidade de mutação de 5,26%, tal

sensibilidade é maior. Desta forma, adotou-se uma população inicial de 10 indivíduos e

probabilidade de crossover de 80% para as análises futuras, tendo em vista que tal valor

forneceu o melhor resultado para a análise exposta na Figura 4.13 e está dentro do

intervalo dos valores recomentados pela literatura para tal operador.

Figura 4.13 - Desempenho do operador de crossover para diferentes tamanhos de população e probabilidade de mutação de 5,26%.

Na Figura 4.15 faz-se a comparação entre o desempenho do operador de

crossover de um ponto e de dois pontos para diferentes taxas de crossover e população

inicial de 10 e 20 indivíduos. Nota-se que não há uma tendência clara de melhor

desempenho para um operador específico.

Na Figura 4.16 faz-se a comparação entre o desempenho da mutação com

codificação binária e com código de Gray. Nota-se que para uma probabilidade de

mutação baixa, melhores resultados são obtidos utilizando o código de Gray. Entretanto,

esta tendência não se mantém à medida que a probabilidade de mutação aumenta,

passando os dois tipos de codificação fornecerem resultados semelhantes.

1,07

1,075

1,08

1,085

1,09

1,095

1,1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia

Taxa de crossover

10 - 240

20 - 120

40 - 60

60 - 40

120 - 20

240 - 10

96

Figura 4.14 - Desempenho do operador de crossover para diferentes tamanhos de população e probabilidade de mutação de 10,0%.

Figura 4.15 - Desempenho dos operadores de crossover de um ponto e dois pontos.

Na Figura 4.17, é analisado o desempenho da otimização nas 10 rodadas

realizadas para o caso de população inicial de 10 indivíduos ao longo de 240 gerações

com probabilidade de crossover e mutação de 80% e 10% respectivamente. Nota-se que

não há problema de convergência prematura e que após a 150ª rodada os resultados

tendem a convergir.

1,066

1,071

1,076

1,081

1,086

1,091

1,096

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia

Taxa de crossover

10 - 240

20 - 120

40 - 60

60 - 40

120 - 20

240 - 10

0,96

0,97

0,98

0,99

1

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia

Taxa de crossover

1 ponto - 10 -240

2 pontos - 10 - 240

1 ponto - 20 - 120

2 pontos - 20 - 120

97

Figura 4.16 - Desempenho do operador de mutação com codificação binária e em código de Gray.

Figura 4.17 - Valor da aptidão modificada máxima por geração para população inicial de 10 indivíduos, taxa de crossover e mutação de 0,8 e 0,1.

Desta forma, a configuração dos parâmetros que será utilizada nos problemas a

seguir adotará uma quantidade de indivíduos avaliados de aproximadamente 0,5% do

espaço de busca, razão entre quantidade de gerações e população inicial próxima de 20,

probabilidade de crossover de 80%, probabilidade de mutação conforme Equação 4.8,

operador de crossover de um ponto e codificação binária.

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,1

0 2 4 6 8 10 12

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da

mé

dia


Binário - 10 - 240

Gray - 10 - 240

Binário - 20 - 120

Gray - 20 - 120

0,92

0,94

0,96

0,98

1

1,02

1,04

1,06

1,08

1,1

1,12

0 50 100 150 200 250 300

Ap

tid

ão

mo

dif

ica

da


1ª rodada

2ª rodada

3ª rodada

4ª rodada

5ª rodada

6ª rodada

7ª rodada

8ª rodada

9ª rodada

10ª rodada

98

1 ��Ó ≤ Ö) ≤ 2 ��Ó (4.8)

4.3 Comparação com Outros Trabalhos

4.3.1 Exemplo 1

A minimização do custo da seção transversal de momento máximo de uma viga

de concreto armado biapoiada foi estudada por CHAKRABARTY (1992) e por

COELLO et al. (1997), sendo que o primeiro utilizou como ferramenta de otimização a

programação geométrica e o segundo o Algoritmo Genético.

O problema estudado consiste em uma viga biapoiada com 10 metros de vão

sujeita a um carregamento permanente de 15 kN/m e um carregamento variável de 20

kN/m. As variáveis consideradas na otimização (altura, largura da seção transversal e a

área de armadura positiva) foram tratadas de forma contínua pelos autores e o momento

fletor foi o único esforço considerado no dimensionamento.

Para realizar a comparação, foram adotados os mesmos valores para os custos

dos materiais ( = 0,72 $/kg, = 64,5 $/m³, � = 2,155 $/m²), resistências (� � = 30

MPa, �5� = 300 MPa ), fatores de majoração da carga (8C = 1,4, 8 = 1,7), fatores de

minoração da resistência (8 = 1,11, 8 = 1,11) e massa específica (< = 2323 kg/m³, < = 7850 kg/m³).

Tendo em vista que o estado limite de serviço não é verificado no estudo

original, os parâmetros referentes à abertura de fissura e flecha máxima foram relaxados

para evitar a penalização da solução por estes motivos. Também foi necessário atribuir

um valor ao cobrimento (5,0 cm), pois o dimensionamento realizado pelos autores

considerou como variável a altura do centro de gravidade da armadura tracionada até a

fibra mais comprimida da seção e uma taxa de cobrimento de 0,1.

Para a comparação ser justa, a economia gerada pelo escalonamento das barras

da armadura positiva foi eliminada impondo um comprimento múltiplo de 10,50 m para

99

as mesmas. A largura da viga (30 cm) foi escolhida de modo a coincidir com a solução

ótima apresentada pelos autores.

Ao definir o espaço de busca das variáveis (Tabela 4.4), considerou-se que no

problema original o mesmo é contínuo. Desta forma, necessitou-se de uma discretização

pequena do espaço de busca para fins de comparação. As bitolas das barras foram

escolhidas não com base nos diâmetros comercializados no Brasil, mas com base nos

diâmetros comercializados na Alemanha segundo LEONHARDT e MÖNNIG (1978),

pois apresentam uma discretização maior das bitolas. Como a resistência do concreto é

fixa, foi atribuído somente um valor para a mesma. Como a viga analisada é uma viga

biapoiada, o valor do momento negativo será nulo para toda a viga, o que justifica a

adoção de apenas uma bitola negativa para o espaço de busca, tendo em vista que não

será utilizada.

Tabela 4.4 - Espaço de busca das variáveis para a otimização do problema proposto por CHAKRABARTY (1992).

fck (MPa) 30Bit. Est. (mm) 5 6 8 10 12 14Bit. Neg. (mm) 5Bit. Pos. (mm) 6 8 10 12 14 16 18 20 22 25 28

Altura (cm) 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100θ Biela (°) 30 33 35 38 40 43 45

Com o espaço de busca definido na Tabela 4.4, tem-se 7.392 combinações

possíveis para o indivíduo que será codificado com 16 bits. A quantidade de indivíduos

analisados será fixada em 300, pois adotar 0,5% do espaço de busca conduzirá a

aproximadamente 40 indivíduos analisados, que é uma quantidade muito pequena e não

permitiria que a razão entre a quantidade de gerações e o tamanho da população inicial

ficasse próxima de 20. Logo, adotou-se para o Algoritmo Genético uma população

inicial de 4 indivíduos ao longo de 75 gerações com probabilidade de crossover e

mutação de 80% e 12,5% respectivamente e fator de escalonamento de 1,6.

Na primeira análise não foram considerados os custos relativos à armadura

transversal, construtiva e de pele, pois somente a área de armadura positiva foi analisada

no problema original. Os custos relacionados à perda de aço no processo de corte

também foram desprezados.

100

Ao comparar os resultados obtidos pelos autores e os fornecidos pelo programa

piloto (Tabela 4.5), nota-se que os resultados dos autores são muito próximos e que o

fornecido pelo programa tem um custo 2,7% superior na média. A maior diferença entre

as soluções está na altura da viga e consequentemente no custo de concreto e forma.

Isto se deve ao fato da altura do CG da armadura ser aproximadamente 41% maior para

a solução fornecida pelo programa. Tal fato explica em partes o motivo de apesar da

altura fornecida pelo programa ser maior, a área de aço também é maior, enquanto o

esperado seria uma área de aço menor. Os outros fatores determinantes para esta

diferença estão relacionados ao fato da área de aço ser fornecida com base nas bitolas

disponíveis e do programa não permitir a utilização de bitolas diferentes para a

armadura positiva de uma determinada seção.

Tabela 4.5 - Resultados obtidos por CHAKRABARTY (1992), COELLO et al. (1997) e pelo programa com espessura de cobrimento de 5,0 cm.

Chakrabarty Coe llo et. al.Programa

(1ª análise )

Altura da viga (cm) 94,67 95,13 99,00Área de aço (cm²) 37,69 37,52 38,01Altura do CG da armadura (cm) 8,61 8,65 12,18Custo de concreto ($/m) 18,32 18,41 19,15Custo de forma ($/m) 4,73 4,74 4,91Custo de aço ($/m) 21,30 21,21 21,49Custo da seção ($/m) 44,35 44,36 45,55

Na segunda análise, comparam-se os resultados considerando um valor de

cobrimento de 2,5 cm (Tabela 4.6), as alturas de CG ficam próximas assim como a

altura total da viga, a área de aço e o custo final, que tem um valor 0,17% superior na

média. Tais resultados demonstram o bom desempenho do programa na otimização.

Para verificar se o resultado obtido pelo programa foi o ótimo, fez-se uma nova rodada

aumentando o tamanho da população para 10 e o número de gerações para 150. Os

resultados obtidos foram os mesmos, indicando o bom desempenho dos parâmetros

adotados.

101

Tabela 4.6 - Resultados obtidos por CHAKRABARTY (1992), COELLO et al. (1997) e pelo programa com espessura de cobrimento de 2,5 cm.

Chakrabarty Coello et. al.Programa

(2ª análise)

Altura da viga (cm) 94,67 95,13 95,00Área de aço (cm²) 37,69 37,52 37,69Altura do CG da armadura (cm) 8,61 8,65 8,30Custo de concreto ($/m) 18,32 18,41 18,38Custo de forma ($/m) 4,73 4,74 4,74Custo de aço ($/m) 21,30 21,21 21,31Custo da seção ($/m) 44,35 44,36 44,43

Tendo em vista que a solução proposta pelos autores está no espaço contínuo, é

necessário arredondar os valores obtidos a fim de se obter uma solução factível. A

solução proposta pelos dois autores é a mesma e está representada na Figura 4.18 (a),

enquanto que a solução fornecida pelo programa piloto está representada na Figura

4.18 (b). A única diferença entre as duas soluções é na forma de armar, pois os autores

utilizam duas bitolas diferentes enquanto que o programa utiliza somente uma.

Entretanto, a área de aço fornecida pelas duas soluções é idêntica, pois 4 barras de 30

mm equivalem a 9 barras de 20 mm. Desta forma, o custo da solução final proposta

pelos autores e da fornecida pelo programa são iguais.

(a) Detalhamento proposto por Chakrabarty e Coello et. al.

(b) Detalhamento proposto pelo programa piloto.

95 cm

Figura 4.18 - Detalhes sugeridos por CHAKRABARTY (1992) e COELLO et al. (1997) e pelo programa piloto

102

Eliminando a restrição do comprimento das barras da armadura positiva e

impondo um valor múltiplo de 1 cm para as mesmas (3ª análise), a solução passa a

considerar o escalonamento da armadura. Comparando o resultado obtido com o da 2ª

análise (Tabela 4.7), observa-se que as características da seção não se modificam.

Logo, a economia de 7,13% se deve, exclusivamente, ao escalonamento das barras.

Tabela 4.7 - Comparação entre os resultados da análises considerando ou não o escalonamento da armadura.

Diferença2ª análise 3ª análise %

Altura da viga (cm) 95,00 95,00 0,00%Custo de concreto ($/m) 18,38 18,38 0,00%Custo de forma ($/m) 4,74 4,74 0,00%Custo de aço ($/m) 21,31 18,14 -14,88%Custo da seção ($/m) 44,43 41,26 -7,13%

Programa-piloto

Na Tabela 4.8, comparam-se os resultados obtidos considerando os custos

relativos à armadura transversal, construtiva e de pele na otimização ao se manter a

altura fixa em 95 cm (4ª análise) e permitindo a altura da seção variar (5ª análise). As

possíveis bitolas consideradas para os estribos estão indicadas na Tabela 4.4. Nota-se

que neste caso, a altura da seção ótima difere da obtida ao se considerar somente o custo

da armadura positiva, gerando uma economia de 1,04%. Apesar da diferença de custo

não ser expressiva, a modificação na altura da seção ótima evidencia que o resultado

obtido considerando somente ao custo da armadura positiva difere do ótimo, ou seja, é

importante considerar os custos das demais armaduras, pois tais custos podem

influenciar a geometria da seção ótima.

Tabela 4.8 - Comparação dos resultados considerando ou não os custos relativos à armadura transversal, construtiva e de pele.

Diferença4ª análise 5ª análise %

Altura da viga (cm) 95,00 87,00 -8,42%Custo de concreto ($/m) 18,38 16,64 -9,47%Custo de forma ($/m) 4,74 4,35 -8,23%Custo de aço ($/m) 25,69 27,31 6,31%Custo da seção ($/m) 48,81 48,30 -1,04%

Programa-piloto

103

4.3.2 Exemplo 2

A otimização de vigas de concreto armado onde os custos relativos às armaduras

longitudinais e transversais são considerados, foi estudado por KANAGASUNDARAM

e KARIHALOO (1991). No modelo proposto pelos autores, as variáveis utilizadas

foram: taxa de armadura longitudinal; resistência do concreto; e altura da seção

transversal. Como a armadura transversal não é tratada como variável, suas

características são definidas pelos autores seguindo as recomendações da norma

australiana (AS3600), assim como as bitolas da armadura longitudinal e sua distribuição

ao longo da viga, pois a variável calculada pelo programa é a taxa de armadura.

Um dos exemplos otimizados pelos autores foi a viga biapoiada da Figura 4.19,

com 24 cm de largura, 7 cm de cobrimento e que suporta uma laje com espessura de 12

cm, o que implica em descontar do custo da viga o custo relativo ao concreto e a área de

forma correspondentes à região da laje.

Na otimização utilizando o programa piloto foram considerados os mesmos

valores para os fatores de majoração da carga (8C = 1,4, 8 = 1,4), fatores de minoração

da resistência (8 = 1,4, 8 = 1,15), resistência do aço (�5� = 400 MPa) e os custos dos

materiais ( = 8590 $/m³, � = 55 $/m²) sendo o custo do concreto dado pela Equação

28 cm 400 cm 28 cm

G = 16 kN/m (carga permanente) Q = 15 kN/m (carga variável)

Figura 4.19 - Viga otimizada por KANAGASUNDARAM e KARIHALOO (1991).

104

4.9 (KANAGASUNDARAM e KARIHALOO, 1991) em função da sua resistência à

compressão.

= 98,3 + 1,7120 ∙ � � − 0,0277 ∙ � �A + 0,00041 ∙ � �O (4.9)

O estalo limite de deformação excessiva é considerado de modo que a razão

entre o vão efetivo e a deformação total seja maior que 250. O custo relativo à perda de

aço no processo de corte não foi considerado.

Ao definir o espaço de busca Tabela 4.9, foram considerados valores comerciais

para a resistência do concreto, apesar de KANAGASUNDARAM e KARIHALOO

(1991) ter considerado esta variável contínua. As bitolas de aço foram definidas com

base nas bitolas comercializadas no mercado brasileiro e os valores para altura foram

discretizados em intervalos de 1 cm para ficar condizente com os valores exibidos pelos

autores.

Tabela 4.9 - Espaço de busca das variáveis para a otimização do problema proposto por KANAGASUNDARAM e KARIHALOO (1991).

fck (MPa) 25 30 35 40 45Bit. Est. (mm) 5 6,3 8Bit. Neg. (mm) 5Bit. Pos. (mm) 6,3 8 10 12,5 16 20 25Altura (cm) 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45θ Biela (°) 30 32,5 35 37,5 40 42,5 45



analisados será fixada em 300, pois adotar 0,5% do espaço de busca conduzirá a

aproximadamente 40 indivíduos analisados, que é uma quantidade muito pequena e não

permitiria que a razão entre a quantidade de gerações e o tamanho da população inicial

ficasse próxima de 20. Logo, adotou-se para o Algoritmo Genético uma população

inicial de 4 indivíduos ao longo de 75 gerações com probabilidade de crossover e

mutação de 80% e 13% respectivamente e fator de escalonamento de 1,6.

Inicialmente (1ª análise) a otimização foi realizada considerando para as bitolas

de aço os mesmos valores considerados pelo autor em seu detalhamento (Figura 4.20).

105

Na Tabela 4.10, os valores fornecidos pelo programa são comparados com os obtidos

pelos autores. Neste caso, a solução obtida pelo programa foi 4,8% mais econômica do

que a proposta no trabalho original. Analisando os resultados, nota-se que o custo de

concreto e forma representa, aproximadamente, 80% do custo total, o que explica a

tendência em diminuir a altura da viga para diminuir o volume de concreto e a área de

forma, mesmo tendo que se aumentar a área de aço. O aumento de 38,4% no custo de

aço, não se deve somente a redução do braço de alavanca, pois ao comparar o

detalhamento proposto pelos autores (Figura 4.20) e o gerado pelo programa (Figura

4.21), percebe-se uma grande diferença na distância entre os estribos, que ocorre devido

às recomendações da NBR 6118:2007 para o espaçamento entre os estribos, que

segundo a mesma, para a distância entre os estribos ser de 29,5 cm a altura útil da viga

não pode ser inferior a 49 cm.

Figura 4.20 - Detalhamento da viga proposto por KANAGASUNDARAM e KARIHALOO (1991).

Tabela 4.10 - Comparação entre os custos da solução proposta por KANAGASUNDARAM e KARIHALOO (1991) e da 1ª análise.

fck (MPa) 40,30 40,00 -0,74%Altura da viga (cm) 43,40 38,00 -12,44%Custo de concreto ($) 51,25 42,50 -17,08%Custo de forma ($) 217,69 190,60 -12,44%Custo de aço ($) 52,97 73,32 38,43%Custo total ($) 321,91 306,42 -4,81%

Kanagasundaram e Karihaloo

Programa (1ª análise)

Diferença %

106

Figura 4.21 - Detalhamento da viga gerado pelo programa piloto para a 1ª análise.

Ao se realizar a otimização considerando para as bitolas de aço os possíveis

valores do espaço de busca (2ª análise), obteve-se o resultado e o detalhamento

apresentados na Tabela 4.11 e Figura 4.22 respectivamente. O ganho de economia

(10,6%) em relação ao resultado proposto pelos autores se deve a redução do valor da

resistência do concreto e da bitola da armadura transversal, construtiva e positiva para

5,0, 6,3 e 16 mm respectivamente.

Tabela 4.11 - Comparação entre os custos da solução proposta por KANAGASUNDARAM e KARIHALOO (1991) e da 2ª análise.

fck (MPa) 40,30 35,00 -13,15%Altura da viga (cm) 43,40 38,00 -12,44%Custo de concreto ($) 51,25 40,55 -20,87%Custo de forma ($) 217,69 190,60 -12,44%Custo de aço ($) 52,97 51,56 -2,66%Custo total ($) 321,91 287,72 -10,62%

Kanagasundaram e Karihaloo


Diferença %

107

Figura 4.22 - Detalhamento da viga gerado pelo programa piloto para a 2ª análise.

Comparando os resultados das duas análises realizadas (Tabela 4.12), observa-

se o ganho de economia devido à redução da resistência do concreto e do consumo de

aço. Comparando os detalhamentos, nota-se que a área de armadura positiva da 2ª

análise (14,07 cm²) é superior a da 1ª análise (12,57 cm²), justificando a redução da

resistência do concreto. Logo, a redução do custo de aço na 2ª análise se deve a redução

da bitola da armadura transversal e construtiva. Entretanto, comparando o volume de

aço da armadura positiva da 2ª análise (50,14 cm³) com a da 1ª análise (49,89 cm³),

percebe-se que a diferença é de apenas 0,5% apesar da diferença de área ser de 12%, o

que ocorre devido ao escalonamento da armadura.

Tabela 4.12 - Comparação entre os custos da 1ª e 2ª análise.

fck (MPa) 40,00 35,00 -12,50%Altura da viga (cm) 38,00 38,00 0,00%Custo de concreto ($) 42,50 40,55 -4,57%Custo de forma ($) 190,60 190,60 0,00%Custo de aço ($) 73,32 51,56 -29,68%Custo total ($) 306,42 287,72 -6,10%



Diferença %

108

4.4 Comparação com um Projeto Real de uma Viga

Neste exemplo, utiliza-se o programa piloto para fazer o dimensionamento e

detalhamento de uma das vigas de concreto armado projetadas para o Alojamento dos

Atletas da Universidade da Força Aérea, com a finalidade de avaliar o desempenho do

programa de forma realista e mensurar o impacto econômico que pode fornecer quando

utilizado em um projeto real.

A viga foi projetada atendendo as recomendações da NBR 6118:2007. Desta

forma, pode-se dizer que a comparação será justa, pois o programa foi desenvolvido

para atender as recomendações da mesma norma. Além disso, as limitações de

deformação excessiva e abertura de fissuras inseridas no programa foram as mesmas

utilizadas no dimensionamento da viga, assim como todas as configurações relacionadas

à majoração da carga, minoração da resistência e características dos materiais.

Na Figura 4.23 está representado o detalhamento da viga original que tem uma

altura de 55 cm e largura de 15 cm. Com exceção da altura da viga original, que é uma

variável da otimização, todos os parâmetros relacionados às demais características

geométricas (distância entre apoios, tamanho dos apoios) são iguais aos apresentados na

Figura 4.23. Também foi considerado o mesmo valor para a espessura do cobrimento

(2,5 cm).

Figura 4.23 - Detalhamento da armadura da viga original.

109

A distribuição do esforço cortante e do momento fletor de cálculo utilizados no

dimensionamento da viga estão apresentadas na Figura 4.24. Para a comparação ser a

mais fiel possível, a distribuição de esforços considerada no programa piloto deve ser a

mesma. Portanto, foi utilizado o recurso de ler os esforços de um arquivo externo ao

invés de calculá-los. Os esforços lidos pelo programa são pontuais de modo que nestes

pontos os valores utilizados são iguais aos da distribuição original dividido pelos fatores

de majoração da carga. Convém ressaltar que o programa faz a interpolação dos valores

para completar a distribuição dos esforços e que a interpolação do esforço cortante é

linear, mas a interpolação do momento fletor é feita considerando a distribuição do

esforço cortante. Para realizar as combinações do carregamento e verificar os estados

limites de serviço, 60% da carga foi considerada como permanente e 40% como

variável.

Figura 4.24 - Distribuição dos esforços de cálculo considerados no dimensionamento da viga original.

Os valores utilizados para os preços de concreto, forma e aço foram extraídos do

Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção Civil (SINAPI)

110

referente ao mês de março de 2014 para a cidade do Rio de Janeiro. O preço relacionado

à mão de obra de armador também foi extraído do SINAPI, mas o índice de

produtividade foi extraído da 13ª edição das Tabelas de Composições de Preços para

Orçamento (TCPO), pois a produtividade utilizada pelo SINAPI para armador

independe da bitola. Os preços utilizados podem ser observados na Tabela 4.13.

Convêm ressaltar que a resistência mínima a compressão selecionada para o concreto, é

função da classe de agressividade considerada no projeto.

Tabela 4.13 - Preço dos insumos considerados da otimização da viga.

12,5 3,82 0,8516 3,88 0,88

8 4,15 0,810 3,93 0,82

5 4,48 0,596,3 4,43 0,77

35 448,83Aço

Bit. (mm) R$/kg R$/m

30 429,18

FormaR$/m²

30Concreto

fck (MPa) R$/m³

O espaço de busca das variáveis está representado na Tabela 4.14. Na definição

dos possíveis valores para a altura da viga, optou-se por utilizar valores práticos para

que não seja necessário fazer adaptações na solução ótima. Todas as bitolas utilizadas

são amplamente comercializadas e a definição do espaço de busca das bitolas referentes

aos estribos, armadura negativa e positiva, foi baseada em valores condizentes com

porte da viga que está sendo analisada.

Tabela 4.14 - Espaço de busca das variáveis para a otimização da viga.

fck (MPa) 30 35

Bit. Est. (mm) 5 6,3 8Bit. Neg. (mm) 8 10 12,5 16Bit. Pos. (mm) 6,3 8 10 12,5 16Altura (cm) 35 40 45 50 55 60θ Biela (°) 30 32,5 35 37,5 40 42,5 45

111



analisados será de 1280, aproximadamente 0,5% do espaço de busca, distribuídos em

uma população inicial de 8 indivíduos ao longo de 160 gerações, fator de escalonamento

de 1,6, probabilidade de crossover e mutação de 80% e 10% respectivamente. Para

verificar a eficiência da otimização com a configuração proposta acima, a otimização

também foi realizada modificando a população inicial para 16 e 32 indivíduos e o

número de gerações para 320 e 640 respectivamente.

Inicialmente (1ª análise) utilizou-se os mesmos valores do dimensionamento

original (Figura 4.23) para as variáveis (resistência do concreto, bitola das armaduras,

altura da viga e inclinação da biela) e espaçamento entre estribos, com o intuito de

avaliar a diferença entre os detalhamentos para o caso mais semelhante possível.

Comparando o detalhamento original (Figura 4.23) como o detalhamento gerado pelo

programa (Figura 4.25), nota-se que a quantidade de barras para a armadura positiva e

negativa nos pontos de maior momento são iguais, conforme esperado. A diferença se

deve somente a região de abrangência das armaduras. No detalhamento gerado pelo

programa, nos trechos com mais de 2 barras, a armadura é claramente interrompida

quando deixa de ser necessária. Na Tabela 4.15, são comparados os custos. A economia

gerada se deve à menor quantidade de armadura, que acaba por impactar também o

custo da mão de obra necessária para armar a viga.

Figura 4.25 - Detalhamento gerado pelo programa piloto para a 1ª análise.

112

Tabela 4.15 - Comparação entre os custos do projeto original e da 1ª análise.

Custo (R$)

Projeto Original 1ª análise Diferença

Total 1.162,07 1.099,73 -5,36% Concreto 375,67 375,67 0,00% Forma 394,95 394,95 0,00% Aço 294,92 244,10 -17,23%

Armador 96,53 85,01 -11,93%

Inserindo valores alternativos para a resistência do concreto, altura da viga, bitola da

armadura, inclinação da biela e espaçamento entre estribos (2ª análise), a solução ótima

encontrada tem a mesma resistência do concreto e bitolas adotadas, mas a altura da viga

(40 cm) e a inclinação da biela (40º) são modificadas. Analisando o detalhamento

(Figura 4.26), percebe-se que devido a redução do braço de alavanca da viga, a

quantidade de camadas de barras de aço aumentou, tendo a armadura positiva no

máximo duas camadas e a negativa três camadas. O espaçamento entre os estribos não

foi modificado. Comparando os custos com o da viga original (Tabela 4.16), nota-se

que todos os valores são inferiores, sendo a viga sugerida pelo programa 18,06% mais

econômica. Devido à redução da altura da viga, era de se esperar que o custo de aço da

2ª análise fosse maior que o da viga original, mas isto não acontece devido ao excesso

de aço utilizado em seu detalhamento, pois há um aumento de 18,07% e 7,43% no custo

de aço e armador, respectivamente, ao se comparar com os valores da 1ª análise (Tabela

4.15).


113


Custo (R$)


Total 1.162,07 952,21 -18,06% Concreto 375,67 273,21 -27,27% Forma 394,95 299,46 -24,18% Aço 294,92 288,22 -2,27%

Armador 96,53 91,32 -5,40%

Considerando a utilização de armadura construtiva na região onde a armadura

negativa não é necessária (3ª análise), a solução ótima permanece com os mesmos

valores para as variáveis encontradas na 2ª análise, substituindo somente a armadura

negativa pela armadura construtiva em determinadas regiões da viga como pode ser

observado no detalhamento da Figura 4.27. Comparando os custos com o da viga

original (Tabela 4.17), percebe-se uma economia de 20,13% em relação ao custo total.

Ao comparar o custo total da 3ª análise com o da 2ª análise, tem-se uma economia de

2,5% que foi gerada exclusivamente pela utilização da armadura construtiva.



Custo (R$)



Armador 96,53 91,51 -5,20%

114

Supondo que por algum motivo tenha-se como restrição utilizar no máximo duas

camadas de armadura (4ª análise), pode-se configurar o parâmetro da relação máxima

entre a altura da armadura e altura da viga com um valor adequado, que neste caso foi

0,15. A Figura 4.28 ilustra o detalhamento obtido com tal configuração. Neste caso, a

resistência do concreto e as bitolas adotadas se mantiveram iguais às das análises

anteriores, mas a altura da viga foi modificada para 50 cm. Comparando com os custos

da viga original (Tabela 4.18), observa-se que com uma redução de apenas 5 cm na

altura da viga, obtém-se uma economia de 13,85%. Comparando com o custo da 3ª

análise, tem-se um acréscimo de 7,86% no custo da viga devido à restrição de se utilizar

no máximo duas camadas de armadura.



Custo (R$)


Total 1.162,07 1.001,17 -13,85% Concreto 375,67 341,52 -9,09% Forma 394,95 363,12 -8,06% Aço 294,92 219,01 -25,74%

Armador 96,53 77,52 -19,70%

Nas análises apresentadas até este ponto, o custo referente ao desperdício do aço,

proveniente do processo de corte, não foi considerado. Na Tabela 4.19 compara-se o

valor da viga original, considerando um desperdício de 10% em peso para o aço, e os da

viga referente à 3ª análise considerando o desperdício calculado pelo programa, que

115

para este caso foi de 18,9% em peso. O único valor alterado foi o custo referente ao aço,

cuja diferença em relação ao projeto original passou a ser pouco expressiva (0,64%). Ao

comparar os valores aos obtidos na análise desconsiderando o desperdício (Tabela

4.17), percebe-se uma redução da economia de R$ 233,88 (20,13%) para R$ 205,08

(17,16%).

Tabela 4.19 - Comparação entre os custos do projeto original e da 3ª análise considerando o desperdício do aço.

Custo com desperdício de aço (R$)



Armador 96,53 91,51 -5,20%

Ao considerar os custos relativos ao desperdício do aço no processo de

otimização (5ª análise), obtém-se a viga detalhada na Figura 4.29 com altura de 40 cm, � � de 40 MPa e 40° de inclinação da biela. Comparando com o detalhamento da 3ª

análise (Figura 4.27), nota-se que a bitola armadura positiva de um dos vãos foi

modificada, o que proporcionou uma redução no desperdício de aço de 18,9%, em peso,

para 11,5%. Comparando os custos da 3ª análise considerando o desperdício com os da

5ª análise (Tabela 4.20), observa-se que a modificação da bitola proporciona uma

economia de 2,55% no custo total. Comparando o custo somente do aço, a economia é

maior (9,20%), mas a redução da bitola causa o aumento da quantidade de barras de aço

e consequentemente um maior custo da mão de obra (5,18%).

116


Tabela 4.20 – Comparação entre os custo da 3ª análise considerando desperdício e os da 5ª análise.

Custo (R$)

3ª análise com desperdício 5ª análise Diferença

Total 989,76 964,54 -2,55% Concreto 273,21 273,21 0,00% Forma 299,46 299,46 0,00% Aço 325,58 295,62 -9,20%

Armador 91,51 96,25 5,18%

Por fim, uma alternativa para reduzir substancialmente o desperdício de aço é

comprar o aço cortado e dobrado (6ª análise). Neste tipo de fornecimento, o custo

unitário do aço por quilo é maior, mas o desperdício é muito baixo e o custo da mão de

obra necessária para armar a viga é menor. Os valores utilizados (Tabela 4.21) foram

calculados com base no SINAPI e no TCPO. Devido ao serviço de corte e dobra, tem-se

um acréscimo de 0,32 R$/kg no preço do aço e uma redução de aproximadamente 44%

no custo da mão de obra. O preço do concreto e da forma não foi alterado.

O detalhamento obtido para esta análise (Figura 4.30) é semelhante ao obtido

para a 5ª análise (Figura 4.29). A diferença entre as duas soluções está no ângulo de

inclinação da biela (45°), que acaba por influenciar o comprimento das barras e o

espaçamento dos estribos.

117

Tabela 4.21 - Preço do aço e da mão de obra considerando o serviço de corte e dobra.

Aço

Bit. (mm) R$/kg R$/m 5 4,80 0,33

6,3 4,75 0,43 8 4,47 0,45 10 4,25 0,46

12,5 4,14 0,48 16 4,20 0,49

Comparando-se os custos da 5ª análise com os da 6ª análise (Tabela 4.22), nota-

se uma economia de 5,94%, devido à redução do custo de aço (5,44%) e do custo de

forma (42,79%). Desta forma, pode-se afirmar que a economia obtida com a eliminação

do desperdício supera os custos provenientes do processo de corte e dobra e que o maior

ganho não está atrelado a economia da mão de obra.


Tabela 4.22 - Comparação entre os custos da 5ª análise e da 6ª análise.

Custo (R$) 5ª análise 6ª análise Diferença Total 964,54 907,28 -5,94%

Concreto 273,21 273,21 0,00% Forma 299,46 299,46 0,00% Aço 295,62 279,55 -5,44%

Armador 96,25 55,06 -42,79%

118

O resultado obtido considerando o processo de corte e dobra (6ª análise) foi

melhor que todos os demais. Na Tabela 4.23, comparam-se os resultados das duas

melhores análises. Pode-se dizer que tal comparação não é justa, pois na 3ª análise não

foram considerados os custos referentes ao desperdício do aço. Desta forma, pode-se

afirmar que em uma situação hipotética onde o desperdício do aço pode ser

desconsiderado, o acréscimo no custo de aço relacionado ao processo de corte e dobra

(5,88%) é compensado com a economia obtida para a mão de obra (39,83%).

Com base nos resultados apresentados pode-se dizer que a determinação da

altura da viga é um fator importante e tem um impacto relevante no custo final.

Entretanto, a altura também está atrelada em partes à “complexidade” do detalhamento

da armadura, tendo em vista que ao reduzi-la, mais camadas de armadura serão

necessárias.

Tabela 4.23 - Comparação entre os custos da 3ª análise e da 6ª análise.

Custo (R$) 3ª análise 6ª análise Diferença Total 928,19 907,28 -2,25%

Concreto 273,21 273,21 0,00% Forma 299,46 299,46 0,00% Aço 264,01 279,55 5,88%

Armador 91,51 55,06 -39,83%

A forma de aquisição do aço, que pode ser em vara ou cortado e dobrado,

também tem um impacto relevante no custo final. Pode-se afirmar, para o caso em

análise, que no processo de corte e dobra, a economia obtida com a mão de obra é mais

significativa do que a economia obtida com a eliminação do desperdício do aço.

Apesar do custo final fornecido pelo programa considerar o custo de mão de

obra necessária para armar a viga, este parâmetro sozinho não é capaz de medir a

dificuldade que a mão de obra terá para interpretar as informações do detalhamento e

executá-lo sem erros.

A realização de análises com diferentes tipos de detalhamento e fornecimento do

aço permite verificar o impacto financeiro que determinadas decisões podem ter no

custo final da viga. Desta forma, o programa piloto desenvolvido pode ser utilizado não

só para fornecer a solução mais econômica, mas para auxiliar em tomadas de decisão

119

relacionadas à forma de aquisição do aço, “complexidade” do detalhamento da

armadura e investimento em mão de obra, tendo em vista que uma mão de obra com boa

qualificação não terá dificuldade em armar a viga ótima.

Em relação ao Algoritmo Genético, pode-se notar uma boa capacidade da

ferramenta em lidar com as constantes alterações que foram realizadas no espaço de

busca. Entretanto, ao realizar otimizações com população inicial e número de gerações

maiores, verificou-se que em duas análises o resultado ótimo não foi obtido para a

configuração inicialmente testada. O que demonstra que os parâmetros do Algoritmo

Genético devem ser configurados com cautela.

4.5 Estudo de Sensibilidade

O resultado da otimização está atrelado aos preços utilizados para os insumos e a

mão de obra. Logo, se os preços forem alterados, a solução ótima também pode ser

alterada. Desta forma, o projeto ótimo desenvolvido para uma determinada região em

um determinado tempo, pode não ser ótimo em regiões ou datas diferentes, pois estas

características influenciam os preços que por sua vez irão impactar a solução ótima.

Nesta seção será avaliada a influência da variação dos preços dos insumos no

custo da solução ótima. Para tal, será analisada uma viga biapoiada com um vão de 5

metros sujeita a 10 kN/m de carga permanente e 12 kN/m de carga variável, largura de

15 cm e cobrimento de 2,5 cm. O espaço de busca e os preços considerados inicialmente

estão indicados nas Tabela 4.24 e Tabela 4.25 respectivamente.

Tabela 4.24 - Espaço de busca das variáveis para a análise da viga biapoiada.

Variáveis

fck (MPa) 20 25 30 35

Bit. Est. (mm) 5 6,3 8Bit. Pos. (mm) 6,3 8 10 12,5 16

Altura (cm) 35 40 45 50 55 60 65

θ Biela (°) 30 35 40 45

Espaço de busca

O custo da solução ótima para as diferentes alturas consideradas no espaço de

busca estão representados na Figura 4.31. Observa-se que os custos das soluções

ótimas aumentam com a altura da viga a uma taxa média de 4,3%, com exceção da

120

altura de 65 cm, cujo aumento é de 19,9%. Este aumento de custo é proveniente da

utilização de armadura de pele para vigas com altura superior a 60 cm.

Tabela 4.25 - Preços adotados para as variáveis.

353025

Bit. (mm) R$/kg

368,86

R$/m³

Aço

Concreto

Forma

30

R$/m²

20

fck (MPa)

448,83

5

86,3

1612,510

0,59R$/m

3,883,823,934,154,434,48

0,880,850,820,80,77

429,18395,41

Figura 4.31 - Custo da solução ótima para diferentes alturas da viga.

Os custos relacionados a cada insumo e mão de obra de armador para as

diferentes alturas consideradas estão representados na Figura 4.32. Nota-se que a forma

é o insumo com maior impacto no custo, seguida do concreto, aço e armador

respectivamente. Conforme a altura aumenta, é possível observar que o custo de forma e

concreto também aumenta, enquanto que o custo de aço tende a diminuir com exceção

da altura de 65 cm devido a armadura de pele. A redução do custo de aço com a altura é

R$ 489,900 R$ 505,430 R$ 532,070

R$ 637,720 R$ 665,360

50 55 60 65 70

Altura da viga

121

explicado pelo aumento do braço de alavanca. O custo de armador, com exceção do

impacto da armadura de pele, tende a sofrer pequenas variações e não tem uma

tendência óbvia, pois com o aumento do braço de alavanca, a metragem de armadura

longitudinal pode diminuir, mas a de armadura transversal aumenta. Na altura de 55 cm

percebe-se uma modificação na taxa de aumento do custo do concreto, o que se deve a

adoção de um valor menor para a resistência do concreto nos casos com altura superior

a 50 cm, ou seja, o aumento do braço de alavanca também permitiu a redução da

resistência do concreto.

Figura 4.32 - Custos relacionados aos insumos e a mão de obra de armador para diferentes alturas da viga.

Como o menor custo é obtido com a menor altura analisada, o aumento do preço

do concreto e/ou da forma ou a redução do preço do aço, iriam reforçar esta tendência.

Portanto, optou-se por fazer análises reduzindo o preço da forma e do concreto e

aumentando o preço do aço.

Os resultados das análises realizadas reduzindo o preço da forma e do concreto

em 25% e 50% estão expostos, respectivamente, nas Figura 4.33 e Figura 4.34. Nota-

se que a mesma tendência é mantida para todas as variações de preço em ambos os

casos. Também é possível observar que a variação no preço da forma tem impacto

maior no custo do que a variação no preço do concreto, o que é esperado tendo em vista

que custo de forma é maior que o custo de concreto para a viga em análise.

0

50

100

150

200

250

45 50 55 60 65 70 75

Cu

sto

(R

$)

Altura da viga

Concreto

Forma

Aço

Armador

122

Figura 4.33 - Custo da viga para diferentes alturas e preços de forma.

Figura 4.34 - Custo da viga para diferentes alturas e preços de concreto.

Nas Tabela 4.26 e Tabela 4.27 são expostos os custos relacionados a cada

insumo para os casos apresentados nas Figura 4.33 e Figura 4.34. Percebe-se que

exceto o custo relacionado ao preço do insumo que está variando, os demais custos não

variam para a maioria dos casos, com exceção da viga com altura de 60 cm para o caso

de variação de 50% no preço do concreto, onde a resistência do concreto aumenta e

consequentemente os custos de aço e armador diminuem. Isto significa que, para a

maioria dos casos, a solução ótima para cada altura não sofre alteração em função das

elevadas variações simuladas no preço da forma e do concreto.

350

400

450

500

550

600

650

700

45 50 55 60 65 70 75

Cu

sto

da

vig

a (

R$

)

Altura da viga

100%

75%

50%

350

400

450

500

550

600

650

700

45 50 55 60 65 70 75

Cu

sto

da

vig

a (

R$

)

Altura da viga

100%

75%

50%

123

Tabela 4.26 - Custo total da viga, dos insumos e de armador para diferentes variações no preço da forma.

Total Concreto Forma Aço Armador

50 489,90 157,17 180,15 118,01 34,57

55 505,43 161,28 196,05 108,53 39,57

60 532,07 175,94 211,95 104,80 39,3865 637,72 190,60 227,85 146,42 72,8570 665,36 205,27 243,75 143,49 72,85

50 444,86 157,17 135,11 118,01 34,57

55 456,42 161,28 147,04 108,53 39,5760 479,08 175,94 158,96 104,80 39,3865 580,76 190,60 170,89 146,42 72,8570 604,42 205,27 182,81 143,49 72,85

50 399,83 157,17 90,08 118,01 34,5755 407,41 161,28 98,03 108,53 39,57

60 426,10 175,94 105,98 104,80 39,3865 523,80 190,60 113,93 146,42 72,8570 543,49 205,27 121,88 143,49 72,85

75%

50%

Altura da viga (cm)

Custo (R$)

100%

Tabela 4.27 - Custo total da viga, dos insumos e de armador para diferentes variações no preço do concreto.


50 489,90 157,17 180,15 118,01 34,57

55 505,43 161,28 196,05 108,53 39,57

60 532,07 175,94 211,95 104,80 39,3865 637,72 190,60 227,85 146,42 72,8570 665,36 205,27 243,75 143,49 72,85

50 450,61 117,88 180,15 118,01 34,57

55 465,11 120,96 196,05 108,53 39,5760 488,09 131,96 211,95 104,80 39,3865 590,07 142,95 227,85 146,42 72,8570 614,04 153,95 243,75 143,49 72,85

50 411,32 78,59 180,15 118,01 34,5755 424,79 80,64 196,05 108,53 39,57

60 441,33 94,30 211,95 97,42 37,6665 542,42 95,30 227,85 146,42 72,8570 562,73 102,64 243,75 143,49 72,85

Altura da viga (cm)

Custo (R$)

100%

75%

50%

124

Os resultados da análise realizada aumentando o preço do aço em 25% e 50%

estão expostos na Figura 4.35, onde, novamente, pode-se observar a mesma tendência

de comportamento dos custos para as variações de preço. Analisando os custos

relacionados a cada insumo (Tabela 4.28), pode-se observar que o custo dos demais

insumos e de armador não variam e que o custo de aço varia na mesma proporção que o

preço, o que permite afirmar que a solução ótima para cada altura não sofre alteração.

Figura 4.35 - Custo da viga para diferentes alturas e preços de aço.

Mesmo com variações expressivas nos preços dos insumos, somente um caso

apresentou variação da solução ótima com uma redução de custo menor do que 1% para

uma variação de 50% no preço do insumo. Portanto, para a viga analisada, pode-se dizer

que a solução ótima não varia com pequenas variações de preço, o que implica em dizer

que a solução ótima pode se manter por um bom período de tempo, ou seja, não é de se

esperar que o projeto deixe de ser ótimo devido à variação sofrida nos preços dos

insumos entre o início da elaboração do projeto e da execução da obra.

450

500

550

600

650

700

750

45 50 55 60 65 70 75

Cu

sto

da

vig

a (

R$

)

Altura da viga

100%

125%

150%

125

Tabela 4.28 - Custo total da viga, dos insumos e de armador para diferentes variações no preço do aço.


50 489,90 157,17 180,15 118,01 34,57

55 505,43 161,28 196,05 108,53 39,57

60 532,07 175,94 211,95 104,80 39,3865 637,72 190,60 227,85 146,42 72,8570 665,36 205,27 243,75 143,49 72,85

50 519,40 157,17 180,15 147,51 34,57

55 532,56 161,28 196,05 135,66 39,5760 558,27 175,94 211,95 131,00 39,3865 674,33 190,60 227,85 183,03 72,8570 701,23 205,27 243,75 179,36 72,85

50 548,90 157,17 180,15 177,01 34,5755 559,70 161,28 196,05 162,80 39,57

60 584,47 175,94 211,95 157,20 39,3865 710,93 190,60 227,85 219,63 72,8570 737,11 205,27 243,75 215,24 72,85

Altura da viga (cm)

Custo (R$)

100%

75%

50%

126

5 Conclusão

Foi estudada, neste trabalho de pesquisa, a utilização do método dos Algoritmos

Genéticos como ferramenta de minimização dos custos diretos de mão de obra e

insumos utilizados na construção de vigas retangulares de concreto armado submetidas

à flexão simples e ao cisalhamento. As variáveis de projeto consideradas foram:

resistência à compressão do concreto; altura da viga; inclinação da biela e bitola das

armaduras positivas, negativas e transversais.

O programa piloto foi desenvolvido utilizando o Visual Basic como linguagem

de programação e envolvendo quatro ferramentas conhecidas na literatura técnica: o

Algoritmo Genético; a análise matricial de estruturas; o dimensionamento à flexão

simples considerando a não linearidade física do concreto; e o dimensionamento ao

cisalhamento baseado no modelo da treliça.

A representação do detalhamento de vigas de concreto armado é feita através de

desenhos. Com o intuito de facilitar a visualização das soluções obtidas com o programa

piloto, que é representada em forma de um arquivo texto, foi desenvolvido um

programa no AutoCAD para desenhá-las.

Este estudo se destaca por realizar a otimização de vigas de concreto armado

considerando as recomendações da NBR 6118:2007 relativas tanto ao dimensionamento

quanto ao detalhamento do elemento estrutural, definindo características como

diâmetro, quantidade, posicionamento e tamanho das barras de aço. Desta forma, as

soluções obtidas utilizando o programa precisam de pouca ou nenhuma adaptação para

serem executadas.

Outra contribuição relevante está na forma que o custo de aço é calculado, pois

considera as barras fornecidas como varas, o que possibilita o cálculo do desperdício

proveniente do processo de corte e de como as sobras podem ser reaproveitadas. Desta

forma, para fazer uma análise com fornecimento de aço cortado e dobrado, basta

considerar o reaproveitamento total das sobras.

127

Tendo em vista o elevado custo computacional necessário para realizar a

otimização, utilizou-se como estratégia o armazenamento de resultados na memória,

para reduzir o tempo de processamento. Deste modo, foi armazenado para cada

indivíduo processado o custo total da viga e o valor da penalização. Logo, no caso de

indivíduos repetidos, o programa só resgata os valores armazenados. Também foram

armazenados na memória os esforços provenientes da análise matricial da viga e os

resultados do dimensionamento à flexão, pois indivíduos com codificações diferentes

podem ter os mesmos valores de entrada para estas análises e consequentemente os

mesmo resultados.

Para melhorar o desempenho do Algoritmo Genético, foram realizadas diversas

análises com diferentes configurações dos parâmetros. As análises foram realizadas com

base nos valores médios de 10 rodadas, de modo a minimizar a influência do

comportamento probabilístico do Algoritmo Genético. Diante dos resultados obtidos

pode-se concluir para o problema analisado que: o aumento da razão entre o número de

gerações e a população inicial tende a melhorar o desempenho do operador de mutação;

a otimização é sensível ao valor da probabilidade de mutação; o valor do fator de

escalonamento não afeta de forma determinística a convergência para a solução ótima; a

codificação com código de Gray fornece melhores resultados do que a codificação

binária somente para baixas probabilidades de mutação; e o operador de crossover de

um ponto tem desempenho semelhante ao operador de dois pontos.

Para avaliar a eficiência do programa piloto, foram realizadas comparações com

outros trabalhos de otimização encontrados na literatura técnica. No primeiro exemplo

analisado, verificou-se que a solução ótima fornecida pelo programa piloto apresentou

um custo final muito próximo ao obtido pelos autores quando foram impostas restrições

para o problema ficar semelhante. No segundo exemplo, obteve-se uma solução mais

econômica que a proposta pelos autores, mesmo considerando um espaço de busca

muito semelhante. Neste caso, não é possível afirmar se o melhor desempenho se deve

ao Algoritmo Genético ou a alguma diferença entre o modelo de cálculo implementado

no programa e o considerado pelo autor.

Como o programa piloto trata o problema de forma mais abrangente do que a

realizada pelos autores nos exemplos, foram realizadas outras análises das quais é

128

possível concluir que: a seção ótima obtida considerando o dimensionamento e flexão

difere da obtida considerando o dimensionamento à flexão e ao cisalhamento; a

geometria da seção ótima é influenciada pelos custos referentes à armadura transversal e

construtiva; e a solução obtida na otimização realizada considerando a taxa de armadura

como variável tende a ser mais cara do que a obtida considerando a bitola como

variável, pois não só a área de aço, mas também o escalonamento da armadura

influenciam no custo final.

Para avaliar o desempenho prático do programa piloto, fez-se a otimização de

uma viga que será executada. Além da economia obtida, foi possível mensurar o

impacto econômico proveniente de diferentes decisões relacionadas ao tipo de

fornecimento do aço e ao detalhamento da viga, tais como: aquisição de aço em vara ou

cortado e dobrado; utilização de uma bitola específica para a armadura construtiva e

restrição da quantidade de camadas de armadura. Desta forma, pode-se concluir que a

simplificação do detalhamento da viga tem um grande impacto econômico em seu custo

final.

Na análise de sensibilidade, verificou-se que o custo de forma é o mais

representativo, seguido pelo custo de concreto, aço e armador respectivamente. Para as

variações de preços adotados, pode-se verificar que somente em um caso os valores das

variáveis da solução ótima foram afetados, ou seja, a solução ótima apresentou uma

baixa sensibilidade em relação aos preços dos insumos. Também ficou evidente o

elevado impacto que a altura da viga e consequentemente a utilização ou não da

armadura de pele tem no custo final.

Com base nos resultados obtidos, conclui-se que a utilização de ferramentas de

otimização permite a obtenção de soluções mais econômicas e eliminam o processo de

tentativa e erro. O método dos Algoritmos Genéticos apresentou um bom desempenho

na otimização e pode-se destacar como pontos positivos: a facilidade de implementação;

a flexibilidade em tratar problemas com diversas restrições; a capacidade de utilizar um

espaço de busca discreto, de forma que as soluções obtidas sejam factíveis; e a

possibilidade de obter diversas soluções próximas à ótima global, funcionando como

uma ferramenta que auxilia o usuário em sua tomada de decisão.

129

As principais desvantagens do método dos Algoritmos Genéticos são: a

influência dos parâmetros de configuração no desempenho da otimização; a

impossibilidade de verificar se a solução obtida é a ótima global; e a sua característica

probabilística, que não permite garantir que a mesma solução será encontrada em

rodadas sucessivas.

Propõem-se para trabalhos futuros:

A otimização de um conjunto de vigas com geometria e esforços diferentes,

considerando um único valor para a resistência do concreto e altura da seção

transversal;

A otimização com diferentes formas de seção transversal;

A incorporação de outras variáveis no problema como: a quantidade de

pilares e seu posicionamento;

A otimização de vigas protendidas; e

A otimização de vigas pré-moldadas, considerando o tipo de ligação e sua

rigidez como variável.

130

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