Oscilações amortecidas. Oscilações forçadas....
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Física B2 – 2012/01 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
� Oscilações amortecidas.
� Oscilações forçadas.
� Ressonância.
Oscilações
Física B2 – 2012/01 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Amortecimento: vamort xf b= −
v ( )xma kx b F t= − − +
2
2( )
d x b dx kx F t
dt m dt m+ + =
Equação diferencial de 2ª ordem inomogênea
Força externa: ( )F t
Da 2ª Lei de Newton:
Lei de Hooke: xF kx= −
Oscilações amortecidas e forçadas:
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Oscilações amortecidas:
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
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Oscilações amortecidas:
Solução – caso subamortecido:
( /2 )( ) cos( ' )
b m tx t Ae t
−= ω + φ
2
2'
4
k b
m mω = −
Amortecimento: vamort xf b= −
2
20
d x b dx kx
dt m dt m+ + =Equação diferencial: Equação diferencial de 2ª ordem homogênea
Em muitos casos: 2 'bk
mkm ω⇒ ≅ ω =<<
MHS com amplitude decrescente:
( /2 )( )
b m tA t Ae−=
2b km<
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Oscilações amortecidas:
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
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Oscilações amortecidas:
http://www.splung.com/content/sid/2/page/damped_oscillations
Subamortecimento: 2b km<
Amortecimento crítico: 2b km=
Superamortecimento: 2b km>
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Oscilações amortecidas:
Energia mecânica:2 21 1
v2 2
xE m kx= +
( ) 2vv v vx
x x x x
dE d dxm kx ma kx b
dt dt dt= + = + = −
Potência dissipada no amortecimento:
2v vx amort
dEb f
dt= − = ⋅
�
�
vamort xf b= −
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2
2( )
d x b dx kx F t
dt m dt m+ + =
Equação diferencial de 2ª ordem inomogênea
Força externa periódica:
( ) cos( )máx dF t F t= ω
Oscilações amortecidas e forçadas:
Equação diferencial:
Solução estacionária – MHS com frequência ωd e amplitude dependendo da frequência:
2 2( )
( )
máxd
d d
FA
k m bω =
− ω + ω
( ) má/ ximod dAk m ⇒ ωω =
Ressonância!
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Oscilações forçadas e ressonância:
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
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Oscilações forçadas e ressonância:
http://www.if.ufrj.br/~neumann/flash/forcado.html
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A ponte de Tacoma
http://www.enm.bris.ac.uk/research/nonlinear/tacoma/tacoma.html
Oscilações forçadas e ressonância:
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Exemplos de ressonância mecânica (acústica):
Oscilações forçadas e ressonância:
http://www.soundpiper.com:8080/mln/brain.htm
http://www.bbc.co.uk/news/science-environment-13573631
http://metaist.com/blog/2010/01/resonance.html
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Outros exemplos de ressonância – circuitos elétricos:
Oscilações forçadas e ressonância:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/serres.html
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Outros exemplos – Ressonância magnética nuclear (RMN):
Oscilações forçadas e ressonância:
“NMR Logging: Principles and Applications”, Coates et al. 1999.
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Bibliografia:
� Física II – Termodinâmica e Ondas, H. D. Young & R. A. Freedman, 12a ed.,
Pearson, 2008.
� Curso de Física Básica. Vol. 2 – Fluidos, Oscilações, Ondas e Calor, Moisés
Nussenzveig, Edgar Blücher, 1996.
� Física Conceitual, P. G. Hewitt, 11a ed., Bookman, 2011.
� A Física e o nosso mundo, Hans Christian von Baeyer, Elsevier, 2004.