113795588 Fisica Oscilacoes e Ondulatoria Questoes de Vestibular 2012
Aula 5 Oscilacoes - Física
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Aula-6
Oscilações
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Plano de aula
• Movimento Harmônico Simples - MHS
• Movimento Harmônico Amortecido - MHA
• Movimento Harmônico Forçado - MHF
• Ressonância
• Exemplos: outros Pêndulos
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Dinâmica do MHS
maF
kxF
Equação diferencial :
Força restauradora
x
m
0
F=-kx
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Dinâmica do MHS
xm
k
dt
xd
2
2
xdt
xd 22
2
2m
k
Propomos a solução: x(t) = A cos(t+)
Definimos:
Resolvendo:
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Posição: x(t) = A cos(t + )
Velocidade: v(t) = -A sin(t + )
Aceleração: a(t) = -2A cos(t + )
xMAX = AvMAX = AaMAX = 2A
Dinâmica do MHS
x
m
0
F=-kx m
k
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22
2
d
dt
Pêndulo Simples• Torque - eixo de rotação z :
= -mgd=-mgL senmgLpequenos
= II=mL2
L
dm
mg
z
22
2
dmgL mL
dt
= 0 cos(t + )
L
g
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Pêndulo Simples: Período
Independente da MASSA
L
g
L
dm
mg
z
g
L
L
gf
2
2
1
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Energia Potencial Elástica
Referência: U(x0 = 0) = 0
x
xdxkUxU0
)()0()(
kxF
Força conservativa:
Energia Potencial:
2
2
1)( kxxU
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Energia do OHS no ponto de equilibrio é totalmente cinética
Energia Mecânica do OHS éproporcional ao quadrado da Amplitude
Conservação da Energia
Energia Mecânica Total: 2 21 1
2 2E mv kx
EnergiaCinética
EnergiaPotencial Elástica
Extremos: x=A e x=-A
2 2 21 1 1(0) ( )
2 2 2E m k A kA
No ponto de equilíbrio: x = 0
2 2 20 0
1 1 1(0)
2 2 2E mv k mv
-A A0posição
U
KE
ene
rgia
= Constante
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Conservação da Energia
Ekxmv 22
2
1
2
1
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Potenciais Quadráticos
Potencial de Sistemas reais:
Expansão de Taylor em torno do mínimo
Potencial APROXIMADAMENTE quadrático.
U
x
x0
U
x
2
0´´
200
´´´
2
1)(
)(0)(0
...)()(2
1))(()()(
xkxU
ctekxUxUx
xxxUxxxUxUxU
oo
ooo
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x
m
0
F=-kx
Dissipação da Energia
Na prática sempre existe dissipação de energia ::: ATRITO
Baixas velocidades ::: resistência do fluido ~ proporcional à velocidade do objeto no fluido :::
F=-bv
vF=-bv
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Simples Amortecido
Oscilador Harmônico
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Oscilador Harmônico Amortecido
2
20
d x dxm b kx
dt dt
mabvkxF
Equação diferencial de 2º grau
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Oscilador Harmônico Amortecido
02
02
2
xdt
dx
dt
xdm
km
b 20;:
Propomos a solução: ptCetx
xpCepdt
xdpxpCe
dt
dx ptpt 222
2
;
02
0
2 pp
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02
0
2 pp
20
220
2
422
4
p
Oscilador Harmônico Amortecido
mk
mb 2
0;:
Equação diferencial de 2º grau
02
2
xdt
dx
dt
xdo
Equação diferencial de 2º grau
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20
2
42
p
mabvkxF
02
02
2
xdt
dx
dt
xdm
km
b 20;:
ptCetx
Oscilador Harmônico Amortecido
Equação dinâmica:
Solução proposta:
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SE: 02
Raiz de número negativo
20
2
42;
p ptCetx
Oscilador Harmônico Amortecido
Amortecimento subcrítico
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1i
20
2
42;
p ptCetx
Amortecimento Subcrítico
41
242
220
220
p
02
SE:
ip 2 4
220
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)(cos)(cos2 tsenitBtsenitAetxt
tCetxtcos2
)(2 tititBeAeetx
Amortecimento Subcrítico
4;
2;
220
ip ptCetx
Solução: Parte Real:
)()cos( tisente ti
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tAetx
t
cos2
mb
4
22
0
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm
Amortecimento Subcrítico
mk20
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Amortecimento Supercrítico
ttt
BeAeetx
2 2
0
2
4;
20
2
42;
p ptAetx
Raiz de número positivo
Amortecimento supercrítico02
SE:
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Amortecimento Supercrítico
ttt
BeAeetx
2
20
2
4
![Page 24: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/24.jpg)
Amortecimento
02
Supercrítico:02
Subcrítico:
02
Crítico:
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Oscilações Forçadas
mb
mk20 : Frequência natural do sistema
: Amortecimento do sistema
tFtF extcos0Força externa:
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Oscilações Forçadas
tFtF extcos0Força externa:
Sistema oscila com a frequência da força externa,
mesmo que esta seja diferente da frequência natural do sistema.
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Oscilações Forçadas
)cos(02
2
tFkxdt
xdmF
Propomos a solução:
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Oscilações Forçadas
tAtx cos
220
0
m
FA
000
Em fase Fora de fase
2
2 002
cosFd x
x tdt m
tm
FtAtA o coscoscos 2
02
com a FORÇA
Solução:
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tm
Fx
dt
xd cos02
02
20
tm
Fx
cos
2
0
0
220
0
m
FA
00 Solução em fase
com a Força
tm
FtAtA o coscoscos 2
02
Oscilações ForçadasBAIXAS FREQUÊNCIAS:
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tm
Fx
dt
xd cos02
02
2
0
tm
Fx
cos
2
0
Oscilações ForçadasALTAS FREQUÊNCIAS:
tm
FtAtA o coscoscos 2
02
220
0
m
FA
0 Solução fora de fase
com a Força
![Page 31: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/31.jpg)
SOLUÇÃO GERAL =
B e 0 constantes - condições iniciais
Oscilações Forçadas
Solução particular +
solução da eq. homogênea
)cos(02
2
tFkxdt
xdmF
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000
0cos0
000
0220
0
senv
Bm
Fx
Oscilações Forçadas
SE :
0022
0
0 coscos
tBtm
Ftx
condições iniciais
220
0
m
FB
![Page 33: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/33.jpg)
0
0
0
0 coscos tt
m
Ftx
Quando :
ttsenm
Ftx 0
0
0
2
Oscilações Forçadas
o
Para :o
![Page 34: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/34.jpg)
tsentm
Ftx 0
0
0
2
Oscilações ForçadasRESSONÂNCIA
o
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tm
Fx
dt
dx
dt
xd cos02
02
2
Propomos solução:
22222
0
2
2
02
m
FA
tAtx cos
22
0
tan
arc
Oscilações forçadas amortecidas
0De maneira similar , para amortecimento fraco podemos obter :
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22222
0
2
2
02
m
FA
RESSONÂNCIA
o
A() máxima
Oscilações forçadas amortecidas
![Page 37: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/37.jpg)
Ressonância
22222
0
2
2
02
m
FA
![Page 38: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/38.jpg)
Ressonância
Desastre na Tacoma Narrows Bridge, 1940
![Page 39: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/39.jpg)
Exemplos
![Page 40: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/40.jpg)
Túnel Centro da Terra
Um túnel reto é construído
de Campinas ao outro lado
da Terra passando pelo
centro da Terra.
Um estudante de F228 pula
no túnel ao meio-dia.
A que horas ele retorna a
Campinas?
![Page 41: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/41.jpg)
2R
GmMRF R
G
T
TR
TG
G
MR
RM
RF
RF2
2
TT
T
TG
G
R
R
R
R
R
R
RF
RF
3
2
2
3
Túnel Centro da Terra
FG
R
RT MR
3
3
3434
TT
R
R
R
M
M
![Page 42: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/42.jpg)
TTG
G
R
R
RF
RF
Túnel Centro da Terra
FG
R
RT MR
![Page 43: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/43.jpg)
TR
mgk
TR
g
m
k
g = 9,81 m/s2
RT = 6,38 x 106 m
= 0,00124 s-1
T = = 5067 s 84 min2
Túnel Centro da Terra
FG
R
RT MR
![Page 44: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/44.jpg)
Túnel Centro da Terra
O estudante retorna à
Campinas após 84 min,
as 13:24 h.
![Page 45: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/45.jpg)
Prove!
• O período de oscilação não requer que o túnel passe pelo centro da terra.
• Qualquer túnel reto dá o mesmo resultado, desde que não haja atrito e que a densidade da terra seja constante.
Túnel Centro da Terra
![Page 46: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/46.jpg)
• Um objeto em órbita próximo à superfície da Terra também tem período idêntico ao do túnel.
a = 2 RT = g
TR
g
Túnel Centro da Terra
![Page 47: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/47.jpg)
Pêndulo Físico
• Calcular a freqüência de oscilação para pequenos deslocamentos de um pêndulo que consiste de uma barra de comprimento L e massa m pendurada por uma de suas extremidades.
mg
x CM
![Page 48: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/48.jpg)
O Pêndulo Físico
Torque em relação ao eixo de rotação 0:
Para ângulos pequenos:
mg
x CM
0
![Page 49: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/49.jpg)
• Que comprimento deve ter um pêndulo simples para ter o mesmo período de um pêndulo físico?
LR
LS
O Pêndulo Físico
![Page 50: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/50.jpg)
LR
LS
S = R RS LL3
2
SS L
gR
R L2g3
O Pêndulo Físico
![Page 51: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/51.jpg)
Pêndulo físico de forma arbitrária com massa M e centro de massa CMpendurado em um eixo fixo 0 com momento de inércia I relativo ao eixo.
Torque para ângulos pequenos:
d
Mg
0
R
xCM
O Pêndulo Físico
![Page 52: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/52.jpg)
D
pivô / prego
O Pêndulo Físico
Um pêndulo consiste de um bambolê de diâmetro D e massa m pendurado por um prego.Calcular a frequência de oscilação do bambolê para pequenos ângulos.
2MRI CMaro m
![Page 53: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/53.jpg)
R
CMx
I
mgR
Teorema dos eixos paralelos:
Freqüência angular de oscilação do bambolê para pequenos deslocamentos
O Pêndulo Físico
![Page 54: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/54.jpg)
Pêndulo de torção
I
fio
Um objeto é suspenso por um fio preso no seu CM. O sistema tem um momento de inércia I em torno do fio que serve de eixo de rotação.O fio torcido age como uma mola gerando um torque que se opõe à torção e pode ser aproximado por:
k
![Page 55: Aula 5 Oscilacoes - Física](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062323/563dbb3d550346aa9aab725f/html5/thumbnails/55.jpg)
2
2
dt
dIk
d
dt
2
22
k
I
Pêndulo de torção
I
fio