oscilações

Oscilaes

(* Preparado por C.A. Bertulani para o projeto de Ensino de Fsica a Distncia)

Suponha que um objeto preso a uma mola que esticada e comprimida. A mola exerce umafora sobre o objeto. Esta fora proporcional ao deslocamento da mola a partir de suaposio de equilbrio e no sentido oposto ao deslocamento

F = - k x [9.1]

Esta forma para a fora ''e chamada Lei de Hooke. As molas reais obedecem esta lei parapequenos deslocamentos.

Suponha que a mola seja estendida por uma distncia d, e seja liberada. O objeto preso molaacelera com

a = - (k/m) x [9.2]

Ele ganha velocidade medida que se move para a posio de equilbrio, j que a acelerao na direo de sua velocidade. Quando a mola est na posio de equilbrio a acelerao zero, mas o objeto possui energia cintica. Ele passa da posio de equilbrio e comea adesacelerar, j que a acelerao no sentido oposto ao sentido da velocidade. Desprezando oatrito, ele parar quando a mola estiver comprimida por uma distncia d e ento se acelerarde volta para a posio de equilbrio. Ela novamente passa pela posio de equilbrio e prana posio inicial quando a mola est esticada de uma distncia d. O movimento se repete. Oobjeto oscila de um lado para outro. Ele executa um movimento harmnico simples.

oscilaes http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/oscila/oscilacoes.html

1 de 10 6/4/2011 07:39

Vamos considerar apenas movimentos em uma dimenso. A equao [9.2] deve ser resolvidapara a posio em funo do tempo, x(t). Notamos que a acelerao a derivada temporal davelocidade, de modo que podemos escrever a = dv/dt, e como v = dx/dt, temos que a

acelerao a derivada segunda da posio: a = d2x/dt2. Logo, podemos escrever a equao[9.2] como

d2x/dt2 = - (k/m) x [9.3]

Como x funo do tempo, temos que encontrar uma funo cuja derivada da derivada sejaproporcional prpria funo. Conhecemos duas funes que satisfazem esse critrio: afuno seno e a funo cosseno. Uma conbinao dessas duas funes tambm serve, e deveser a forma mais geral da soluo procurada. Por exemplo, x(t) = a cos(at) + b sen (at) se for

derivada duas vezes d d2x/dt2 = - a2x (tente fazer esse clculo). No nosso caso, a constante

a = (k/m)1/2. Logo,

x(t) = a cos[(k/m)1/2t] + b sen [(k/m)1/2t] [9.4]

uma soluo da equao [9.3]. Note que as constantes a e b devem depender das condiesiniciais do problema. No caso do problema da mola explicada acima, no tempo incial, quandot = 0, x(t =0) = d e v(t = 0) = 0. Da segunda condio, temos que b = 0, j que v(t) = a [- asin(at) + b cos (at)] . A primeira condio implica que a = d . Logo, a soluo do problemado objeto preso mola dado por

[9.5]

onde definimos a = 2p/T, de modo que

[9.6]

A equao [9.5] nos diz que as condies de movimento se repetiro para valores de t = T,2T, 3T ... Logo, T conhecido como perodo do movimento. A amplitude da oscilao dada por d. Este o valor mximo do deslocamento a partir da posio de equilbrio.O perodo independente da amplitude. No importa quanto a mola seja esticadainicialmente, o movimento possuir o mesmo perodo. A frequncia f = 1/T do movimento do nmero completo de oscilaes por unidade de tempo. Ela medida em unidades de Hertz,(1Hz = 1/s). A frequncia


2 de 10 6/4/2011 07:39

[9.7]

a frequncia natural de ressonncia do sistema. Tambm podemos definir a frequnciaangular w que engloba o fator 2p da relao acima: w = 2pf .

A velocidade do objeto em funo do tempo dada por

v = vmax sen(2pt/T ) = vmax sen(wt ) [9.8]

onde vmax = 2pd/T = 2pdf = wd.Na figura abaixo a posio e velocidade so mostradas em funo do tempo para ummovimento oscilatrio com perodo de 5s. A amplitude e a velocidade mxima possuemunidades arbitrrias. A posio e a velocidade esto fora de fase. Como sen(x+ p/2) =cos(x), podemos escrever v = vmax cos(2pt/T + f ) = vmax cos(wt + f ) , onde f = p/2 a faseda velocidade. Logo, dizer que a velocidade e a posio esto fora de fase o mesmo quedizer que a diferena de fase entre elas de p/2 . A velocidade mxima quando odeslocamento zero, e o deslocamento mximo quando a velocidade zero.

A energia do sistema dada pela soma da energia cintica e a energia potencial do sistema. Aenergia cintica

Ec = mv2/2 [9.9]

A energia potencial , por definio, o negativo do trabalho realizado pela mola, ou seja, avariao da energia potencial dada por

dU = - F dx, ou F = - dU/dx [9.10]

Como F = - kx, temos que a soluo da equao [9.10]

U(x) = kx2/2 [9.11]


3 de 10 6/4/2011 07:39

A definio da energia potencial tal que a energia total do sistema seja constante, isto ,

Et = Ec + U = (m/2) d2x/dt2 + kx2/2 = constante [9.12]

Note que a derivada temporal da equao [9.12] igual equao [9.3] (faa a conta econstate). Logo, a equao [9.12] uma consequncia da equao [9.3]: ela pode ser obtidapor uma integrao da equao [9.3]. Como a energia total constante, podemos calcul-lano ponto x de maior convenincia. Por exemplo, quando a mola est a uma distncia d dosuporte, ela est parada. Logo, a energia cintica zero. Consequentemente, a energia total proporcional ao quadrado da amplitude d:

Et = (1/2) k d2. [9.13]

A equao [9.12] mostra que existe uma mudana contnua entre energia cintica e potencial.Um objeto numa mola um exemplo de um oscilador harmnico.

A maioria dos sistemas que possuem uma posio de equilbrio, executam um movimentoharmnico simples em torno desta posio quando eles so deslocados do equilbrio, desdeque os deslocamentos sejam pequenos. As foras de restituio obedecem lei de Hooke.No entanto, para grandes aceleraes os sistemas se tornam osciladores no-harmnicos, ouseja, as foras de retorno no mais so proporcionais aos deslocamentos. Neste caso, operodo depende da amplitude. Um exemplo familiar pndulo simples.

Para pequenos deslocamentos, a fora restauradora aproximadamente dada por F = -(mg/L)x. Esta a lei de Hooke com k = mg/L ou k/m = g/L.

O perodo de um pndulo simples portanto dado por

. [9.14]Ela independente da massa m do peso. Depende apenas da acelerao gravitacional g e docomprimento do fio. Medindo-se o comprimento e o perdodo de um pndulo simplespodemos determinar g.


4 de 10 6/4/2011 07:39

Movimento harmnico simples versus movimento circular

Um outro tipo de movimento harmnico simples que nos permite uma melhor idia dosparmetros envolvidos dado pelo movimento circular de uma bola comparado ao movimentoharmnico linear de outra (recarrege o "browser" para ver a animao da figura abaixo).

Parte de cima: movimento circular uniforme (raio A, velocidade angular w).Parte de baixo: movimento harmnico simples (amplitude A, frequncia angularw).

Vemos que o movimento harmnico simples uma projeo do movimento circular uniformeem torno de um eixo.

O ngulo de fase, wt, no movimento harmnico simples corresponde ao ngulo wt atravs doqual a bola se movimentou no movimento circular. Na figura acima o objeto comeou naesquerda com tempo t = 0 s. A fase inicial zero.

Movimento circular e oscilatrio com uma fase inicial

Na figura acima, o movimento comeou com a fase inicial f. No tempo t, a bola est no ngulo

q = wt + f [9.15]

Esta tambm a fase total da bola oscilatria. Sua posio descrita por

x(t) = A cos (q = wt + f) [9.16]

Com uma fase inicial de f, o movimento no diferente - a bola ainda oscila de um lado paraoutro. Com f = 0, a bola comea em x = +A.

Com a fase inicial de f, a bola comea em

x(0) = A cos (f) [9.17]

Depois que conhecemos a posio do oscilador para todos os tempos, podemos calcular avelocidade e a acelerao:


5 de 10 6/4/2011 07:39

x(t) = A cos (q = wt + f) [9.18a]v(t) = -A w sin (q = wt + f) [9.18b]

a(t) = -A w2 cos (q = wt + f) [9.18c]

Note que:

A velocidade oscila entre -Aw and +Aw.1.

A acelerao oscila entre -Aw2 e +Aw2.2.A acelerao proporcional posio, mas oposta em direo:3.

a(t) = - w2x(t) [9.19]

Oscilador amortecido

O que acontece quando o oscilador amortecido, ou seja quando h atrito entre o corpopreso mola e o plano, ou quando se considera a fora de atrito com o pndulo e o ar ?Foras de atrito so geralmente proporcionais velocidade. Logo, em vez da equao [9.3]teremos

d2x/dt2 = - w2x - g dx/dt [9.20]

onde b = mg a constante de atrito (daqui em diante simplesmente chamaremos g deconstante de atrito) .

Se no houvesse a fora de restaurao da mola, a equao acima ficaria,

d2x/dt2 = - g dx/dt [9.21]

cuja soluo da forma x(t) = C e-gt , onde C uma constante que depende da posio evelocidade inicial. Ou seja, a massa pra com uma taxa de desacelerao exponencial. Sem afora de atrito o movimento oscilatrio, com frequncia w, como vimos anteiromente. fcil ver que no caso do movimento oscilatrio amortecido, ele deve ter uma soluointermediria, onde a velocidade angular deve ser um pouco modificada pela oscilao.

A melhor maneira de resolver a euqo diferencial [9.3] utilizando o conceito de nmeroscomplexos, em particular da exponencial complexa. A frmula abaixo para a exponencialcomplexa conhecida como uma prola da matemtica.

eiq = cosq + i senq [9.22]

onde i o nmero imaginrio. fcil ver esta relao a partir de um grfico no planocomplexo. Neste plano a componente real do nmero complexo Z, com comprimento |Z|unitrio, dada pela projeo de Z na abcissa, cosq. A parte imaginria de Z dada pela

projeo na ordenada, senq . O mdulo de Z dado por cos2q + sen2q = 1 .


6 de 10 6/4/2011 07:39

Para resolver a equao [9.20] supomos que a soluo seja na forma

x(t) = A ei(lt+f) [9.23]

A razo para isso que a derivada de uma exponencial proporcional prpria exponencial,o que faz com que equaes do tipo [9.20] fiquem muito simples de resolver, como veremos.Mas, note que a soluo tem que ser real, j que as distncias medidas so reais. O truqueest exatamente nesta questo. Usamos [9.23] para achar os valores de l que satisfazem aequao [9.22], substituimos as solues possveis de l em [9.23] e no final, tomamos a partereal de [9.23], que o que nos interessa. Esse truque funciona, e muito poderoso no clculodiferencial. Vamos constatar isso agora.

A derivada de [9.23] dx/dt = ilA ei(lt+f). A segunda derivada d2x/dt2 = -l2A ei(lt+f) (j que

i2 = -1). Substituindo estes resultados em [9.22] obtemos que

(- l2 + ilg + w2) A ei(lt+f) = 0 [9.24]

Como esta relao vlida para todo t, temos que o valor em parnteses tem que se anularidenticamente:

- l2 + ilg + w2 = 0 [9.25]

Cujas solues so

l = ig/2 +- (w2 - g2/4)1/2 [9.26]

Substituindo esse resultado na soluo, e tomando a sua parte real, temos que a soluo finalda equao [9.22] (no importa qual das solues tomemos: a de sinal +, ou a de sinal - )

x(t) = A e-gt/2 cos (w't + f) [9.27]

onde w' = (w2 - g2/4)1/2.


7 de 10 6/4/2011 07:39

Dependendo se g 2/4 for menor, igual, ou maior do que w2, podemos distinguir 3 casos:

O caso subamortecido: g 2/4 < w2 . Neste caso, a oscilao se repete durante vrios ciclos e aamplitude das oscilaes diminui com o tempo. A amplitude decrescente da oscilao chamada de envelope.

O caso de amortecimento crtico: g2/4 = w2. Neste caso, no h oscilao completa, antesde a oscilao se completar a massa pra. Vemos isto na figura acima, onde a massa comeada posio de equilbrio, alcana uma distncia mxima, e volta, parando na posio deequilbrio depois de um certo tempo.

O caso de amortecimento subcrtico ou sobreamortecido: g2/4 > w2. Neste caso, a massanem alcana a posio de equilbrio em um tempo finito. A distncia diminuiexponencialmente no tempo.

Oscilador forado e ressonncias

Um oscilador pode tambm ser forado a oscilar. Por exemplo, aplicamos uma fora peridicaa uma criana em um balano quando queremos que as oscilaes continuem. A fora maisfcil de se tratar matematicamente uma fora peridica na forma F = F0 cos(wt). Somandotodas as foras do oscilador, incluindo a fora de atrito e a fora aplicada, a equao torna-se

d2x/dt2 + w2x + g dx/dt = (F0 / m) cos(w't) [9.28]

Como as oscilaes devem ter a mesma frequncia que a da fora aplicada, tentaremos umasoluo na forma

x(t) = A sen(w't) + B cos(w't) [9.29]


8 de 10 6/4/2011 07:39

Tambm poderamos utilizar o mtodo das exponenciais complexas, que introduzimos na

seo anterior. Neste caso, usamos cos(w't) = (eiw't + e-iw't)/2, e a equao [9.23] para x(t).No final, os coeficientes da parte real e da parte imaginria da equao so igualados a zero,como fizemos com a equao [9.24]. Porm, utilizando [9.29], obteremos o mesmo resultado.

Calculando dx/dt e d2xdt2, obtemos que

[(-w'2 + w2)A - gwB] sen(w't) + [(-w'2 + w2)B + gwA - (F0 / m) ] cos(w't) =

0 [9.30]

Como este resultado vlido para qualquer tempo, os coeficientes da funo seno e os dafuno cosseno devem se anular separadamente, ou seja,

(-w'2 + w2)A - gwB = 0 [9.31a]

(-w'2 + w2)B + gwA - (F0 / m) = 0 [9.31b]

Resolvendo para A e B, encontramos que

A = gw(F0 / m) / [( w2 - w'2 )2 + g2w2 ] [9.32a]

B = ( w2 - w'2 )(F0 / m)/ [(w2 - w'2 )2 + g2w2 ] [9.32b]

Inserindo este resultado em [9.29] e usando a lei dos cossenos, encontramos finalmente que

x(t) = xmcos(w't + f) [9.33]

onde

xm = (F0 / m) /[( w2 - w'2 )2 + g2w2 ]1/2 [9.34a]

f = arctg [gw/(w2 - w'2 )] [9.34b]

Vemos portanto, que as amplitudes da oscilao, xm , chegam a um valor mximo quando w2 -

w'2 = 0 , ou seja quando w'2= w2 . Esta conhecida como frequncia de ressonncia.

Quando a frequncia da fora aplicada igual frequncia natural do oscilador, a amplitudeda oscilao mxima. Isto um fenmeno bem conhecido. Por exemplo, no caso da crianano balano sabemos que a oscilao ser mxima se aplicarmos uma fora em ressonncia


9 de 10 6/4/2011 07:39

com a freqncia de oscilao natural do balano. Ressonncias so tambm responsveis porvibraes indesejveis em sistemas mecnicos, ruptura de estruturas como prdios e pontessob a ao de ventos ou terremotos, etc. Toda vez que um oscilador sofre uma fora peridicacom a mesma freqncia que sua frequncia natural, o fenmeno de ressonncia aparecer.Dizemos que a fora est em fase com a oscilao.

Projeto: Ensino de Fsica a distncia

Desenvolvido por: Carlos Bertulani


10 de 10 6/4/2011 07:39

oscilações

Documents

Transcript of oscilações