Os Quadrados Mágicos

Conhecido pelos matemáticos há mais de 2,000 anos, o quadrado Conhecido pelos matemáticos há mais de 2,000 anos, o quadrado mágico é um estudo fascinante. Basicamente, um quadrado mágico é mágico é um estudo fascinante. Basicamente, um quadrado mágico é um arranjo ordenado de células (ou quadrados) onde se inscreve um arranjo ordenado de células (ou quadrados) onde se inscreve números em cada posição. Estes números são organizados de forma números em cada posição. Estes números são organizados de forma que cada linha no quadrado, quando somadas, é igual à soma das que cada linha no quadrado, quando somadas, é igual à soma das outras linhas.outras linhas.Adicionalmente, cada fila ou coluna terá um total semelhante, bem Adicionalmente, cada fila ou coluna terá um total semelhante, bem como as diagonais.como as diagonais.

Quadrados MágicosQuadrados Mágicos

O quadrado básico de nove células O quadrado básico de nove células conforme figura 1, se somarmos qualquer conforme figura 1, se somarmos qualquer

valor nas linhas, filas ou diagonais valor nas linhas, filas ou diagonais obteremos 15. Em quadrados que têm um obteremos 15. Em quadrados que têm um

número maior de células pode haver número maior de células pode haver outras relações.outras relações.


Há séculos atrás as pessoas imaginavam Há séculos atrás as pessoas imaginavam que os quadrados eram investidos de que os quadrados eram investidos de

poderes mágicos ou incomuns. De fato, até poderes mágicos ou incomuns. De fato, até mesmo atualmente os quadrados mágicos mesmo atualmente os quadrados mágicos

são gravados em pequenos pedaços de são gravados em pequenos pedaços de metal e usados como talismãs por certos metal e usados como talismãs por certos grupos na Índia, mas tenho que confessar grupos na Índia, mas tenho que confessar

que eu nunca fui testemunha para qualquer que eu nunca fui testemunha para qualquer poder incomum dos quadrados mágicos, poder incomum dos quadrados mágicos,

mas eles podem ser construídos e há várias mas eles podem ser construídos e há várias aplicações divertidas que podem ser aplicações divertidas que podem ser

demonstradas com eles. demonstradas com eles.


Uma vez entendo as Uma vez entendo as técnicas de construção dos técnicas de construção dos

diversos quadrados mágicos diversos quadrados mágicos você verá que é bastante você verá que é bastante

simples produzi-los. simples produzi-los.


Uma vez entendo as técnicas de construção Uma vez entendo as técnicas de construção dos diversos quadrados mágicos você verá dos diversos quadrados mágicos você verá

que é bastante simples produzi-los. Há que é bastante simples produzi-los. Há métodos infinitos e variações na construção métodos infinitos e variações na construção

de quadrados mágicos. de quadrados mágicos. Em lugar de nos envolvermos com Em lugar de nos envolvermos com

transposições, quadrados fracionários, transposições, quadrados fracionários, quadrados de forma incomum, e as quadrados de forma incomum, e as

variedades infinitas, discutiremos alguns dos variedades infinitas, discutiremos alguns dos métodos mais diretos. de acordo com métodos mais diretos. de acordo com

Maurice Kraitcheck, no seu livro RecreaçõesMaurice Kraitcheck, no seu livro Recreações


Os procedimentos para construirmos um Os procedimentos para construirmos um quadrado de nove células (3 por 3) é a quadrado de nove células (3 por 3) é a mesma aplicada para outros tipos de mesma aplicada para outros tipos de

quadrados (25 células, 49 células, etc.). quadrados (25 células, 49 células, etc.). Vamos assumir que você deseja construir Vamos assumir que você deseja construir

um quadrado de nove células como na fig 1. um quadrado de nove células como na fig 1.

Você pode começar com qualquer número, Você pode começar com qualquer número, mas por questões de simplicidade usamos o mas por questões de simplicidade usamos o

número 1.número 1.


(a) Depois de desenhar um quadrado com nove (a) Depois de desenhar um quadrado com nove células em branco, insira 1 na célula central da células em branco, insira 1 na célula central da

linha no topo. Você precisa visualizar o topo e linhas linha no topo. Você precisa visualizar o topo e linhas de fundo como sendo presas entre si, ou como de fundo como sendo presas entre si, ou como

continuação delas. Você também tem que visualizar continuação delas. Você também tem que visualizar as colunas da esquerda e da direita como as colunas da esquerda e da direita como

continuação delas. continuação delas.


(b) Cada número sucessivo (em (b) Cada número sucessivo (em quadrados mágicos com numero de quadrados mágicos com numero de células pares) deve ser inserido em células pares) deve ser inserido em sua célula colocando um numero à sua célula colocando um numero à direita e um quadrado acima do direita e um quadrado acima do

número previamente posicionado. número previamente posicionado. Este é um movimento oblíquo. não Este é um movimento oblíquo. não

pode ser posicionados um à direita e pode ser posicionados um à direita e um acima do seu número registrado um acima do seu número registrado anteriormente à medida que isto o anteriormente à medida que isto o

colocaria fora das fronteiras do colocaria fora das fronteiras do quadrado, ilustrada pela célula quadrado, ilustrada pela célula

pontilhada na Fig. 1. Porém, desde pontilhada na Fig. 1. Porém, desde que você visualize o topo e linhas de que você visualize o topo e linhas de fundo como sendo relacionadas entre fundo como sendo relacionadas entre

si você pode contornar o problema si você pode contornar o problema colocando os 2 na célula mais colocando os 2 na célula mais

afastada ao fundo, fig. 1. (o topo e as afastada ao fundo, fig. 1. (o topo e as linha do fundo foram correlacionadas linha do fundo foram correlacionadas

entre si esta é a célula na qual o 2 entre si esta é a célula na qual o 2 seria colocado.).seria colocado.).


(c) Movendo o próximo número, 3, um (c) Movendo o próximo número, 3, um movimento para cima e um movimento à movimento para cima e um movimento à

direita, isto nos posiciona fora do quadrado. direita, isto nos posiciona fora do quadrado. Mas desde que a fila esquerda é uma Mas desde que a fila esquerda é uma

continuação visualizada da fila da direita, continuação visualizada da fila da direita, colocamos o 3 na célula mais afastada da colocamos o 3 na célula mais afastada da

linha como mostrado na Fig. 1.linha como mostrado na Fig. 1.


(d) 4 não pode ser posicionado uma acima e uma à (d) 4 não pode ser posicionado uma acima e uma à direita já que 1 já ocupa a célula por mim escolhida direita já que 1 já ocupa a célula por mim escolhida

anteriormente. Sempre que uma célula está anteriormente. Sempre que uma célula está ocupada por um número, você tem que posicionar o ocupada por um número, você tem que posicionar o numero em uma célula simplesmente sob o numero numero em uma célula simplesmente sob o numero

predecessor imediato. Assim, 4 seria colocado predecessor imediato. Assim, 4 seria colocado abaixo de 3, como na fig. 1.abaixo de 3, como na fig. 1.


((e) 5 e 6 são posicionados facilmente e e) 5 e 6 são posicionados facilmente e usam a regra do um movimento acima usam a regra do um movimento acima

e um movimento à direita. e um movimento à direita.


(f) 7 não pode ser posicionado porque cai (f) 7 não pode ser posicionado porque cai em uma posição diagonal onde não há em uma posição diagonal onde não há continuação de uma linha ou fila. Nesta continuação de uma linha ou fila. Nesta

situação, o número é tratado como se sua situação, o número é tratado como se sua posição tenha sido ocupada por um numero posição tenha sido ocupada por um numero

inserido anteriormente. Assim, 7 é inserido anteriormente. Assim, 7 é posicionado debaixo do seu número posicionado debaixo do seu número

predecessor registrado (6).predecessor registrado (6).


(g) 8 e 9 são registrados seguindo as regras, e seu (g) 8 e 9 são registrados seguindo as regras, e seu quadrado acabado pode ser visto na fig. 2. Note as quadrado acabado pode ser visto na fig. 2. Note as setas e outras indicações que mostram os vários setas e outras indicações que mostram os vários

movimentos dos números até suas células. movimentos dos números até suas células.


Este quadrado pode começar com qualquer Este quadrado pode começar com qualquer número. Se você começasse com 2, por exemplo. o número. Se você começasse com 2, por exemplo. o quadrado avançaria para um total mágico de 18. A quadrado avançaria para um total mágico de 18. A

fig. 3 mostra um quadrado de nove células que fig. 3 mostra um quadrado de nove células que começa com 2. Note que a media que você avança começa com 2. Note que a media que você avança

cada número (no inicio) os totais mágicos cada número (no inicio) os totais mágicos aumentam em 3.aumentam em 3.

Assim, um quadrado de nove células (3 por 3) que Assim, um quadrado de nove células (3 por 3) que começa pelo 3 daria um total mágico de 21 e começa pelo 3 daria um total mágico de 21 e começando com 4 traria o total para 24. etc. começando com 4 traria o total para 24. etc.


Todos os quadrados com numero Todos os quadrados com numero de células impares seguem os de células impares seguem os

mesmos procedimentos do mesmos procedimentos do quadrado de nove células. quadrado de nove células. Descreveremos agora um Descreveremos agora um

quadrado de 25 células ( 5 por quadrado de 25 células ( 5 por 5 ) de forma que você possa 5 ) de forma que você possa

observar como os procedimentos observar como os procedimentos são idênticos aos usados no são idênticos aos usados no

quadrado de 3 por 3.quadrado de 3 por 3.


Como nos quadrados de 3 por 3, o primeiro número deve ser Como nos quadrados de 3 por 3, o primeiro número deve ser colocado na célula central da primeira linha. Debaixo você verá colocado na célula central da primeira linha. Debaixo você verá uma ilustração de um quadrado mágico com 25 células (5 por 5). uma ilustração de um quadrado mágico com 25 células (5 por 5). Para simplificar, ele foi iniciado com o número 1, mas você pode Para simplificar, ele foi iniciado com o número 1, mas você pode escolher qualquer outro valor. Siga as mesmas regras e escolher qualquer outro valor. Siga as mesmas regras e procedimentos utilizados no quadrado de nove células. Note que procedimentos utilizados no quadrado de nove células. Note que cada linha, coluna, e diagonais totalizam sempre a mesma cada linha, coluna, e diagonais totalizam sempre a mesma quantidade, neste caso: 65. Um total mágico adicional será achado quantidade, neste caso: 65. Um total mágico adicional será achado ao se somar os números nos quatro vértices mais o número central ao se somar os números nos quatro vértices mais o número central do quadrado do quadrado (17-15-11-9 mais 13). Também se pode notar outras relações mais (17-15-11-9 mais 13). Também se pode notar outras relações mais distantes.distantes.

(2) Quadrados com numero impar de células(2) Quadrados com numero impar de células

Um procedimento completamente diferente é usado Um procedimento completamente diferente é usado na construção destes quadrados mágicos que têm na construção destes quadrados mágicos que têm

um número par de células. Quadrados formadas por um número par de células. Quadrados formadas por múltiplos de 4 (16, 64 células, etc.) são produzidos múltiplos de 4 (16, 64 células, etc.) são produzidos

de modo semelhante à descrição dada abaixo. de modo semelhante à descrição dada abaixo. Porém, os quadrados de 36 células (6 por 6), Porém, os quadrados de 36 células (6 por 6),

embora seja um “um quadrado mágico de numero embora seja um “um quadrado mágico de numero par de células" é por si só único. par de células" é por si só único.

(3) Quadrados com número de células pares(3) Quadrados com número de células pares


Discutiremos estes diversos Discutiremos estes diversos quadrados, mas na prática quadrados, mas na prática

você verá que os quadrados de você verá que os quadrados de 16 e 25 células são os mais 16 e 25 células são os mais

populares. São tão populares. São tão impressionantes quanto os impressionantes quanto os

quadrados maiores e tem as quadrados maiores e tem as mesmas qualidades mesmas qualidades

interessantes.interessantes.


(a) Após desenhar um quadrado em branco com 16 (a) Após desenhar um quadrado em branco com 16 células você precisa traçar e visualizar suas duas células você precisa traçar e visualizar suas duas

diagonais. No quadrado abaixo, note que duas diagonais diagonais. No quadrado abaixo, note que duas diagonais foram traçadas de A para B e de C para D. Vamos foram traçadas de A para B e de C para D. Vamos

começar com o número 1 (claro que, você pode escolher começar com o número 1 (claro que, você pode escolher qualquer valor) Você vai preencher cada número qualquer valor) Você vai preencher cada número

consecutivamente, começando pela célula superior à consecutivamente, começando pela célula superior à esquerda e seguindo para a direita, apenas com uma esquerda e seguindo para a direita, apenas com uma

reserva: Sempre que você encontra uma célula que está reserva: Sempre que você encontra uma célula que está em uma diagonal você deverá saltá-la. O numero 1 não em uma diagonal você deverá saltá-la. O numero 1 não

pode ser colocado na célula esquerda superior, pois estas pode ser colocado na célula esquerda superior, pois estas é interceptada pela diagonal. Você salta esta célula é interceptada pela diagonal. Você salta esta célula

então, avança para o número 2 e coloca 2 na segunda então, avança para o número 2 e coloca 2 na segunda célula. célula.

Vamos começar com os quadrados de 16 Vamos começar com os quadrados de 16 células. células.


(c) 5 pode ser inserido em sua célula correta, saltaremos (c) 5 pode ser inserido em sua célula correta, saltaremos 6 e 7, inserimos 8, e você prossegue preenchendo as 6 e 7, inserimos 8, e você prossegue preenchendo as células (saltando aquelas na diagonal) até que você células (saltando aquelas na diagonal) até que você

preencha o quadrado inteiro. Seu quadrado parcialmente preencha o quadrado inteiro. Seu quadrado parcialmente preenchido se parece com a figura abaixo:preenchido se parece com a figura abaixo:

(b) O próximo numero 3, pode ser colocado em sua (b) O próximo numero 3, pode ser colocado em sua posição à direita, mas a possível célula para o 4 está em posição à direita, mas a possível célula para o 4 está em

uma diagonal e assim deve ser saltado. uma diagonal e assim deve ser saltado.


(d) Agora você tem que preencher as células livres (esses (d) Agora você tem que preencher as células livres (esses que estavam nas diagonais). Novamente, você começa que estavam nas diagonais). Novamente, você começa pela célula esquerda superior, mas em vez de começar pela célula esquerda superior, mas em vez de começar com o menor número (neste caso, numero 1) e seguir com o menor número (neste caso, numero 1) e seguir adiante comece com o número maior (neste caso, 16) e adiante comece com o número maior (neste caso, 16) e conte para trás. Insira 16 na célula esquerda superior. conte para trás. Insira 16 na célula esquerda superior. Você conta para trás e conta 15 para a próxima célula Você conta para trás e conta 15 para a próxima célula (que está ocupado por 2), 14 para a próxima (que está (que está ocupado por 2), 14 para a próxima (que está ocupado por 3), e 13 para a próxima. ocupado por 3), e 13 para a próxima. Ao achar uma célula livre, registre 13 nesta célula. Ao achar uma célula livre, registre 13 nesta célula. (e) Continuando para a próxima célula 12 (ocupada), (e) Continuando para a próxima célula 12 (ocupada), conte retroativamente e preencha cada célula aberta conte retroativamente e preencha cada célula aberta com o número apurado na contagem regressiva. com o número apurado na contagem regressiva.


O quadrado acima indica os resultados da O quadrado acima indica os resultados da contagem regressiva, com todas as posições contagem regressiva, com todas as posições diagonais preenchidas. O quadrado mágico diagonais preenchidas. O quadrado mágico

completo é mostrado abaixo :completo é mostrado abaixo :


Este quadrado em particular tem um total mágico de Este quadrado em particular tem um total mágico de 34. Cada linha, coluna, e diagonal somará 34. Além, os 34. Cada linha, coluna, e diagonal somará 34. Além, os quatro vértices também somarão 34 (16-13-4-1); as quatro vértices também somarão 34 (16-13-4-1); as quatro células de centro somarão 34 (11-10-7- 6); cada quatro células de centro somarão 34 (11-10-7- 6); cada grupo de quatro células no vértice somará 34 grupo de quatro células no vértice somará 34 (esquerdo superior): 16-2-11-5, esquerda abaixo (9, (esquerdo superior): 16-2-11-5, esquerda abaixo (9, 7,14-4,) direito superior: (3-13-8-10), direito inferior: 7,14-4,) direito superior: (3-13-8-10), direito inferior: (6-12-1-15); e, com alguma investigação, você achará (6-12-1-15); e, com alguma investigação, você achará grupos adicionais que também relacionaram ao total grupos adicionais que também relacionaram ao total mágico. Como em qualquer quadrado mágico, mágico. Como em qualquer quadrado mágico, qualquer valor inicial pode ser usado, que mudará o qualquer valor inicial pode ser usado, que mudará o valor do total mágico. Mas as relações sempre serão valor do total mágico. Mas as relações sempre serão constantes.constantes.


Os quadrados de 64 células (oito por oito) são construídos exatamente como Os quadrados de 64 células (oito por oito) são construídos exatamente como o quadrado há pouco descrito. A grande diferença é que ao formar um o quadrado há pouco descrito. A grande diferença é que ao formar um quadrado de 64 células você tem que montar as diagonais na base do quadrado de 64 células você tem que montar as diagonais na base do

quadrado grande que consiste de um quadrado de 16 células. quadrado grande que consiste de um quadrado de 16 células. O quadrado abaixo mostra o arranjo da diagonal, e também o quadrado de O quadrado abaixo mostra o arranjo da diagonal, e também o quadrado de

64 células completo.64 células completo.


Note que o mesmo procedimento aplicado neste Note que o mesmo procedimento aplicado neste quadrado grande é o mesmo que foi aplicado nos de 16 quadrado grande é o mesmo que foi aplicado nos de 16 células. Ao iniciar a contagem regressiva comece com células. Ao iniciar a contagem regressiva comece com 64 e continue preenchendo cada célula interceptada 64 e continue preenchendo cada célula interceptada pela diagonal. pela diagonal.

Claro que, neste tipo de quadrado você achará muitas Claro que, neste tipo de quadrado você achará muitas interrelações devido ao grande número de interrelações devido ao grande número de possibilidades. Por exemplo, as quatro células no possibilidades. Por exemplo, as quatro células no quadrado direito inferior do quadrado de 64 células quadrado direito inferior do quadrado de 64 células consiste de 16 células que formam um quadrado consiste de 16 células que formam um quadrado mágico cujo total vale 130, com a exceção das mágico cujo total vale 130, com a exceção das diagonais. Você pode perceber muitas combinações diagonais. Você pode perceber muitas combinações incomuns se você investigar cuidadosamente. incomuns se você investigar cuidadosamente.


O quadrado de 36 células (6 por 6) é de fato uma série O quadrado de 36 células (6 por 6) é de fato uma série de 4 quadrados de nove células (3 por 3), mais uma de 4 quadrados de nove células (3 por 3), mais uma transposição (troca) de três números. transposição (troca) de três números.

Desenhe um quadrado de 36 células em branco, mas Desenhe um quadrado de 36 células em branco, mas considere-o como uma estrutura de 4 quadrados de considere-o como uma estrutura de 4 quadrados de nove células (3 por 3) e note as linhas em negrito nove células (3 por 3) e note as linhas em negrito cruzando a células centrais. cruzando a células centrais.

Você o preenche trabalhando em cada grupo de nove Você o preenche trabalhando em cada grupo de nove células como se um quadrado em separado e não como células como se um quadrado em separado e não como parte da estrutura maior. parte da estrutura maior.


(a) Comece a preencher o grupo esquerdo superior de (a) Comece a preencher o grupo esquerdo superior de nove células, e da mesma maneira que você nove células, e da mesma maneira que você preencheria um quadrado de 3 por 3. Comece com preencheria um quadrado de 3 por 3. Comece com número 1, coloque-o no centro da primeira linha. A número 1, coloque-o no centro da primeira linha. A quadrado abaixo mostra a conclusão do grupo esquerdo quadrado abaixo mostra a conclusão do grupo esquerdo superior. superior.


(b) Comece com o próximo número sucessivo, neste (b) Comece com o próximo número sucessivo, neste caso 10, preencha o grupo inferior direito. O caso 10, preencha o grupo inferior direito. O próximo quadrado se mostra completo :próximo quadrado se mostra completo :


(c) Começando com o próximo número maior, neste (c) Começando com o próximo número maior, neste caso 19, preencha o grupo direito superior. Depois caso 19, preencha o grupo direito superior. Depois de completá-lo, preencha o último grupo restante de completá-lo, preencha o último grupo restante (inferior esquerdo) . O quadrado aparecerá como (inferior esquerdo) . O quadrado aparecerá como

indicou abaixo. Note este não é o quadrado indicou abaixo. Note este não é o quadrado completo pois você ainda em que transpor três dos completo pois você ainda em que transpor três dos

números. números.


(d) Você tem que colocar os números 8, 5, e 4 nas (d) Você tem que colocar os números 8, 5, e 4 nas posições respectivas ocupadas por números 35, 32, e 31. posições respectivas ocupadas por números 35, 32, e 31. Isto é indicado pelas linhas mostradas no quadrado Isto é indicado pelas linhas mostradas no quadrado anterior para apontar estas posições. O quadrado mágico anterior para apontar estas posições. O quadrado mágico completo, depois que a acima de transposição fosse feita, completo, depois que a acima de transposição fosse feita, é mostrado abaixo. Nota que as linhas, filas, e diagonais é mostrado abaixo. Nota que as linhas, filas, e diagonais cada um soma 111. Também, as pequenas diagonais que cada um soma 111. Também, as pequenas diagonais que contêm os números 35-32-2 mais 33-5-4 somam a 111, contêm os números 35-32-2 mais 33-5-4 somam a 111, assim como faz em a pequena diagonal que contêm assim como faz em a pequena diagonal que contêm números 24-23-22 mais 17-14-11. Você pode achar números 24-23-22 mais 17-14-11. Você pode achar muitas outras relações, algum óbvio e outros bastante muitas outras relações, algum óbvio e outros bastante distante.distante.


Você agora está em posição de produzir quadrados Você agora está em posição de produzir quadrados mágicos de quase qualquer tamanho. mágicos de quase qualquer tamanho. Aqui temos uma excelente aplicação, que usa Aqui temos uma excelente aplicação, que usa quadrados mágicos de 9, 16 ou 25 células. quadrados mágicos de 9, 16 ou 25 células. Solicite ao seu espectador para escolher qualquer Solicite ao seu espectador para escolher qualquer numero de dois dígitos, por exemplo, digamos que ele numero de dois dígitos, por exemplo, digamos que ele escolheu 27. Você faz uma anotação em um pedaço escolheu 27. Você faz uma anotação em um pedaço papel e dá para alguém guardar em lugar seguro. papel e dá para alguém guardar em lugar seguro. Você começa a produzir um quadrado mágico que Você começa a produzir um quadrado mágico que começa com o número fornecido pelo espectador. começa com o número fornecido pelo espectador.


Depois de completar o quadrado, e mostrando que as Depois de completar o quadrado, e mostrando que as linhas, filas, diagonais, etc. produzem o mesmo total linhas, filas, diagonais, etc. produzem o mesmo total mágico. mágico.

Vamos assumir que o total mágico é 93. Você agora pede Vamos assumir que o total mágico é 93. Você agora pede ao espectador que mantinha o pedaço de papel em lugar ao espectador que mantinha o pedaço de papel em lugar seguro que o abra e leia o que você havia anotado antes seguro que o abra e leia o que você havia anotado antes da construção do quadrado mágico. da construção do quadrado mágico.

Seu espectador leria: “Eu predigo que o total mágico é Seu espectador leria: “Eu predigo que o total mágico é 93” 93”

Você aparentemente, predisse o total. Você aparentemente, predisse o total.

Vamos primeiro ilustrar o principio usado em quadrados Vamos primeiro ilustrar o principio usado em quadrados de nove células. de nove células.


Vamos assumir que seu espectador escolheu o número 27, e que você decide Vamos assumir que seu espectador escolheu o número 27, e que você decide construir um quadrado de nove células usando este número. Para determinar construir um quadrado de nove células usando este número. Para determinar a “profecia" ou subseqüentemente chegar ao total mágico você precisa a “profecia" ou subseqüentemente chegar ao total mágico você precisa processar o seguinte calculo: Multiplique o número escolhido por 3, e some processar o seguinte calculo: Multiplique o número escolhido por 3, e some 12 para o produto. 12 para o produto. Neste caso, 3 vezes 27 é 81, e 81 mais 12 são 93. Neste caso, 3 vezes 27 é 81, e 81 mais 12 são 93. Você prediria "93". Depois de dar a profecia a um dos espectadores, construa Você prediria "93". Depois de dar a profecia a um dos espectadores, construa uma quadrado de 3 por 3 iniciando com o número 27. Seu quadrado acabado uma quadrado de 3 por 3 iniciando com o número 27. Seu quadrado acabado deve ser como quadrado abaixo. Enfatize que chegamos a um total mágico deve ser como quadrado abaixo. Enfatize que chegamos a um total mágico de 93, e mostre que a soma de uma linha, coluna ou fila, diagonal, de 93, e mostre que a soma de uma linha, coluna ou fila, diagonal, representa este total mágico.representa este total mágico.


Usando um quadrado de 16 células requer uma computação Usando um quadrado de 16 células requer uma computação diferente. Para um quadrado 4 por 4 você faz o seguinte: Multiplique diferente. Para um quadrado 4 por 4 você faz o seguinte: Multiplique o número do espectador por 4, e some 30 ao produto. Vamos mostrar o número do espectador por 4, e some 30 ao produto. Vamos mostrar como isto se desenvolve, seu espectador escolheu o número 31. como isto se desenvolve, seu espectador escolheu o número 31. Você o multiplica secretamente por 4 (4 vezes 31 =124) e soma 30 Você o multiplica secretamente por 4 (4 vezes 31 =124) e soma 30 ao produto (124 mais 30 = 154). Neste caso, você prediria 154 como ao produto (124 mais 30 = 154). Neste caso, você prediria 154 como total mágico. Construa um quadrado de 16 células começando com total mágico. Construa um quadrado de 16 células começando com 31. Vide o quadrado acabado abaixo. 31. Vide o quadrado acabado abaixo. Note que todas as relações inerente aos quadrados de 16 células são Note que todas as relações inerente aos quadrados de 16 células são aplicados a este quadrado.aplicados a este quadrado.


Para um quadrado de 25 células você precisa fazer o seguinte: Para um quadrado de 25 células você precisa fazer o seguinte: Multiplique por 5 e some 60. Como exemplo, o seu espectador Multiplique por 5 e some 60. Como exemplo, o seu espectador escolheu o número 12. Você secretamente multiplique 12 por 5 (12 x escolheu o número 12. Você secretamente multiplique 12 por 5 (12 x 5 = 60) e some 60 ao produto (60 mais 60 = 120). Você prediria 120 5 = 60) e some 60 ao produto (60 mais 60 = 120). Você prediria 120 como o total mágico. Desenvolva um quadrado de 5 por 5 como o total mágico. Desenvolva um quadrado de 5 por 5 começando com 12, e a quadrado acabado aparece como se segue:começando com 12, e a quadrado acabado aparece como se segue:

28 35 12 19 26

34 16 18 25 27

15 17 24 31 33

21 23 30 32 14

22 29 36 13 20


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