OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · Atividade 1 - O preço a ser pago por uma...

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

1. IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO–PEDAGÓGICA

Título: A arte de envolver o aluno na aprendizagem matemática utilizando os

softwares educacionais JClic e GeoGebra

Autora Rubia Mara Pinheiro Schmitz

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação

do Projeto e sua

localização

Colégio Estadual Tancredo Neves – Ensino

Fundamental, Médio e Profissional. Localizado na

Rua Barra Mansa, s/n – Bairro Pinheirinho

Município da escola Francisco Beltrão - PR

Núcleo Regional de

Educação

Francisco Beltrão - PR

Professor Orientador Amarildo de Vicente

Instituição de Ensino

Superior

UNIOESTE

Relação Interdisciplinar

Resumo Este trabalho está embasado na necessidade dautilização de abordagens metodológicasdiferenciadas que contemplem novas formas deensinar, no intuito de possibilitar um melhoraprendizado da Matemática e resultados maissatisfatórios. Acredita-se que a utilização demetodologias diferenciadas na educação, como ouso de Softwares Educacionais, pode promoveruma aprendizagem mais significativa para o aluno,sendo ele, sujeito ativo na construção do seuconhecimento com a mediação do professor. Estaprodução didático-pedagógica apresentaorientações de como utilizar os softwares JClic eGeoGebra nos conteúdos matemáticos, contendosugestões de atividades que visam contribuir para aformação continuada dos professores. O objetivodeste é auxiliar os professores de matemática nodesenvolvimento de atividades e práticaspedagógicas, orientar seu trabalho em sala de aula

nos conteúdos de Funções, Geometria Plana eTrigonometria, utilizando os softwares educacionaisJClic e GeoGebra.

Palavras-chave Softwares educacionais, Software JClic, Software

GeoGebra

Formato do Material

Didático

Unidade Didática

Público Alvo Professores de Matemática

2. APRESENTAÇÃO

Muitas são as necessidades vivenciadas no contexto escolar através das

experiências profissionais docentes. Com o advento das tecnologias, o uso de

softwares educacionais no ambiente escolar tornou-se uma importante

contribuição ao processo de ensino aprendizagem e sua utilização tem se tornado

cada vez mais comum.

Entretanto, ressaltamos que não é somente o uso da tecnologia que dará

qualidade ao ensino, mas sim como ela é utilizada. O professor tem um papel

fundamental no processo de ensino e aprendizagem. Assim, quando se utiliza de

algum software educacional é preciso que se conheça antes os limites e

potencialidades desses recursos quanto ao seu uso, e esteja preparado para

desafiar o aluno e criar situações para que ele aprenda com elas, construindo o

seu conhecimento. Para tanto, o professor deve estar habilitado para utilizar e

criar um ambiente de aprendizagem, onde se possa oferecer ao aluno motivação,

por meio de problematização de situações cotidianas.

A utilização de softwares educacionais tem objetivo de facilitar o

aprendizado. Ao serem utilizados como recursos pedagógicos trazem uma

enorme contribuição, proporcionando novas formas de ensinar, promovendo a

melhoria da qualidade do processo de ensino aprendizagem. Conforme consta

nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática (DCE, 2008): “O

trabalho com as mídias tecnológicas insere diversas formas de ensinar e

aprender, e valoriza o processo de produção de conhecimentos”.

Entre os diversos softwares utilizados em contexto educacional, destacam-

se neste estudo o JClic e o GeoGebra, que estão presentes para fins didáticos,

nos laboratórios de informática Paraná Digital (PRD) em todas as escolas

estaduais do Paraná. Busca-se investigar as contribuições que os softwares

educativos proporcionam ao processo ensino-aprendizagem.

Acredita-se ser fundamental que o professor busque novos conhecimentos

para melhor desenvolver seu trabalho, fazendo a integração da prática

pedagógica com as tecnologias propiciando ao aluno a construção de

conhecimentos.

Neste sentido, através dos softwares apresentados, os professores e/ou

alunos podem desenvolver dentro de suas necessidades e/ou dificuldades dos

alunos, jogos e atividades matemáticas para que, de forma atrativa e lúdica,

consigam resultados mais rápidos e concretos no que diz respeito ao processo de

ensino e aprendizagem.

Destaca-se como objetivo principal, contribuir para a formação continuada

dos professores, por meio da apresentação de uma proposta de construção de

atividades que favoreçam o desenvolvimento de conceitos matemáticos,

utilizando-se dos softwares educacionais já citados como ferramentas

estimuladoras no processo de ensino e aprendizagem, visando tornar as aulas de

matemática mais dinâmicas, interessantes e criativas.

A produção didático-pedagógica que está sendo proposta foi organizada

por meio da descrição das atividades que constituem uma unidade didática,

utilizando, como recursos didáticos, laboratório de informática e os softwares JClic

e GeoGebra.

Nesta unidade didática serão sugeridas atividades abordando os

conteúdos de Funções, Geometria Plana e Trigonometria, para serem trabalhadas

em sala de aula. O tempo total previsto para o desenvolvimento destas atividades

será de 32 horas.

3. SOFTWARES EDUCACIONAIS

3.1. Software GeoGebra

O GeoGebra foi desenvolvido por Markus Hohenwarter da Universidade de

Salzburg para educação matemática nas escolas. É um software matemático de

acesso livre que reúne geometria, álgebra e cálculo. Permite a abordagem de

diversos conteúdos trabalhados na Educação Básica, com o intuito de dinamizar o

estudo da Matemática. Pode ser encontrado facilmente em sites de busca, como

por exemplo o GeoGebra online: http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

e para download do programa no site oficial: http://www.geogebra.org/cms/en/.

O GeoGebra permite realizar construções com pontos, vetores, segmentos,

retas e também com funções que podem se modificar posteriormente de forma

dinâmica. Apresentando ao mesmo tempo, diferentes representações de um

mesmo objeto que interagem entre si: geométricas, algébricas e nas células da

folha de cálculo.

3.2. Software JClic

O JClic pode ser utilizado em todas as disciplinas do currículo escolar. Foi

criado e desenvolvido na plataforma Java, por Francesc Busquest em espanhol e

catalão, para criação, realização e avaliação de atividades educativas multimídia

como quebra-cabeças, associações, enigmas, estudo de texto, palavras

cruzadas, jogo de memória, entre outros. Essas atividades são criadas em

“pacotes”, em projetos específicos para cada conjunto de atividades, com uma ou

mais sequências, que indicam a ordem em que serão apresentadas.

O JClic é um software livre que funciona em diversos ambiente operativos:

Linux, Mac OS-X, Windows e Solaris. Permite a utilização de aplicações

educativas online, diretamente da Internet.

http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

http://www.geogebra.org/cms/en/

4. MATERIAL DIDÁTICO

As atividades propostas para esta unidade didática estão organizadas para

serem trabalhadas em 8(oito) encontros. Para facilitar o entendimento de como

trabalhar com os softwares educacionais JClic e GeoGebra será utilizado como

base os tutoriais disponíveis nos sites:

→ Manual para o uso do GeoGebra

http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf

→ Manual para o uso do JClic

http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=167

4.1. Orientações Metodológicas

Do 1º ao 4º encontro serão trabalhados os aspectos gerais do GeoGebra,

do 5º ao 8º encontro, serão trabalhados os aspectos gerais do JClic player e JClic

author, seguindo um roteiro de atividades com explicações sobre os

procedimentos para a elaboração dos diferentes tipos de atividades, bem como a

instalação dos programa no computador.

Todas as atividades propostas nesta unidade didática tem como objetivo

levar o aluno a investigar as propriedades e características através do processo

de construção e visualização nos softwares. Assim, cada atividade deverá ser

questionada a todo momento no seu processo de construção, para que haja a

reflexão e análise de cada situação problema. É fundamental a discussão com os

alunos sobre as conclusões que chegaram após cada processo.

4.1.1. Atividades utilizando o Software GeoGebra

Função do 1º grau


http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf

Atividade 1 - O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa,

denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se

a bandeirada custa R$ 3,50 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,50, determine:

a. a função que define o valor a ser cobrado;

b. o preço de uma corrida de 11 km;

c. a distância percorrida por um cliente que pagou R$ 21,50 pela corrida.

Resolução:

a) Uma análise do problema indica que a função pedida neste item é dada por

f(x)= 0,50x+ 3,50, x > 0.

b) Depois de encontrar a função f, no GeoGebra, clique com o botão direito do

mouse na janela de visualização e clique para exibir a malha. Se quiser alterar a

cor do plano de fundo clique com o botão direito do mouse em “Janela de

visualização” e, na aba básico, selecione “outros”, depois “cor de fundo” e escolha

a cor. Após isso pode fechar esta janela.

Na barra de ferramentas clique em exibir planilha. Na planilha que se abre

ao lado da janela de visualização clique na célula A1 e digite “x”. Vamos definir

os valores para x. Na célula A2 digite o número 1, na célula A3 digite A2+1 e dê

um enter. Clique novamente na célula A2 e no canto inferior direito arraste até a

célula A12 para copiar a fórmula.

Na célula B1 digite “y” e na célula B2 digite a função 0.5*A2 + 3.5. Você

pode copiar esta fórmula até a célula B12 arrastando da mesma forma como foi

feito anteriormente. Assim teremos os pontos (x,y) formados pela função f(x)=

0,50x + 3,50.

Na célula C1 digite “Pontos” e na célula C2 digite =(A2,B2). Aparece os

pontos (x,y) formados. Você pode copiar esta fórmula arrastando-a até a célula

C12. Na célula A15 digite “Função:” e na célula B15 digite a função =0.5x+3.5.

Seu gráfico aparecerá na janela de visualização.

Dando sequência à atividade é hora de analisar os resultados que o gráfico

nos mostra, respondendo a questão b, ou seja, qual é o preço de uma corrida de

11 Km. Para x=11 o valor correspondente para é y=9, de modo que o valor da

corrida de 11 Km será de R$ 9,00.

c) Para descobrirmos o que se pede na questão c, que é a distância percorrida

por um passageiro que pagou R$ 21,50, é necessário entendermos que este valor

corresponde a y. Então se digitarmos no campo da entrada y=21,50, aparecerá o

gráfico da reta correspondente a este valor. Agora é só analisar o gráfico e

verificar qual o valor de x. Para confirmar, vá até a planilha, digite 21.5 na célula

B17 e na célula A17 digite 21.5=0.5x+3.5. Com isso aparecerá o valor de x

correspondente, que é 36.

Atividade 2 - Adelir é vendedor em uma loja de calçados, seu salário é composto

de uma parte fixa no valor de R$ 650,00, mais uma parte variável de 12% sobre o

valor de suas vendas no mês. Nos primeiros seis meses de trabalho os valores

das suas vendas foram conforme tabela abaixo. Sua meta para o sétimo mês

(julho) é de conseguir vender R$ 6.000,00. Com esses dados determine:

a. função que define o seu salário;

b. o valor que será o salário no sétimo mês se ele conseguir atingir a sua meta;

c. construa um gráfico (histograma) referente aos salários mensais.

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul

- 1000 2500 2000 3700 4000 ?

Resolução:


f(x)= 0,12x+ 650, x > 0.

b) Depois de encontrar a função f, no GeoGebra, na barra de ferramentas clique

em exibir planilha. Na planilha que se abre ao lado da janela de visualização

clique na célula A1 e digite “Meses”, na célula B1 “Salário”, na célula C1 “Vendas”

e na célula A2 digite “1” (referente ao mês de janeiro). Dê a sequência dos meses

nas células seguintes até A8 na mesma coluna. Na célula B3 digite a função que

vai gerar o salário do mês =0.12*C3 + 650. Você poderá copiar esta fórmula

arrastando-a até a célula B8. Na célula C3 digite o valor correspondente do total

de vendas conforme a tabela no mês de fevereiro, na célula C4 o valor de março

e assim por diante até a célula C7. Na célula C8 digite “6000” que é o valor da

meta que ele pretende alcançar.

c) Para construir o gráfico (histograma), selecione na planilha as células A2 até

A8. Clique com o botão direito do mouse em “criar” e, depois em “lista”, na janela

de álgebra aparecerá a lista 1 com os valores. Selecione as células B2 até a B8,

clique com o botão direito do mouse em “criar” e depois em “lista”. Agora

aparecerá a lista 2 com os valores. Clique no botão “ajuda” que aparece no canto

inferior direito, depois em “diagramas” e depois em “Histograma”. Seu gráfico

aparecerá na janela de visualização. Para retirar a janela de ajuda clique

novamente no botão ajuda.

Na célula A11, digitando “=0.12*x + 650” aparecerá o gráfico da função que

define o valor fixo do salário. Na caixa de ferramentas podemos alterar as cores e

estilo das linhas do gráfico. Também poderemos escrever o que julgarmos

necessário.

Após a construção desta atividade podemos analisar o gráfico e tirar as

conclusões para respondes as questões solicitadas.

Atividade 3 → Paulo comprou uma casa no valor de R$ 80.000,00 no ano de

2004. Após dois anos, a casa foi avaliada em R$ 84.000,00. Supondo que o valor

da casa em função do tempo seja descrito por uma função do 1º grau em que o

tempo zero seja o ano da compra da casa:

a. determine a expressão do valor da casa (y em reais) em função do tempo (x

em anos);

b. Seguindo esta função qual seria o valor da casa no ano de 2012;

c. construa o gráfico da função.

Resolução:


f(x)= 2x+ 80, x > 0.

b) Depois de encontrar a função f, no GeoGebra, clique na barra de ferramentas

para exibir planilha. Na planilha que se abre ao lado da janela de visualização

clique na célula A1 e digite “Tempo (x)”. Na célula B1 digite “Valor (y)”.

Na célula A2 digite “0” e na célula B2 digite “80000”. Na célula A3 digite

“2”e, como o valor do aumento é de dois em dois anos, complete as células A4,

A5 e A6 com os valores 4, 6 e 8 respectivamente.

Na célula B3 digite “2000*A3+B$2”, que representa 2000 por ano

multiplicado pelo tempo. Colocamos o $ no B2, pois essa célula deve ser fixa.

Para copiar esta fórmula arraste-a até a célula B6.

Na célula C1 digite “Ano”, na célula C2 digite “2004” e nas células C3, C4,

C5 e C6 digite os próximos anos 2006, 2008, 2010 e 2012 respectivamente. Na

célula D1 digite “Pontos” e na célula D2 digite “=(A2, B2)”. Copie os pontos

arrastando até a célula D6.

Com a tabela pronta, descobrimos que o valor da casa em 2012 seria de

R$ 96.000,00. Vamos comprovar isso no gráfico.

c) Para construirmos o gráfico da função, digite na caixa de entrada “f(x)= 2x+80”

e dê um enter. Agora você irá inserir os valores de x. Na caixa de entrada digite

“x=0” e dê um enter, digite “x=2” e dê um enter, digite “x=4” e dê um enter, digite

“x=6” e dê um enter, digite “x=8” e dê um enter.

O gráfico já está bem visível, agora vamos inserir os pontos. Na caixa de

entrada digite o ponto “A=(2,84)” e dê um enter, e assim sucessivamente com os

outros pontos.

Clique com o botão direito do mouse em um ponto de cada vez e clique em

“propriedades”, na aba “básico” clique em “Exibir Rótulo” e em “Nome e Valor”.

Dessa forma você também poderá alterar as cores e estilo de linhas.

Depois do gráfico concluído podemos fazer as reflexões e responder as

questões solicitadas no problema.

Atividade 4 - Neuza está guardando dinheiro para comprar um celular daqui

algum tempo. No momento ela tem R$ 150,00 e pretende guardar R$ 50,00 por

mês. Se y é o total guardado e x o número de meses de economia, determine:

a. a função que relaciona essas variáveis;

b. se o celular que Neuza quer comprar custa R$ 500,00, durante quantos meses

ela irá precisar economizar para comprá-lo?

c. construa o gráfico da função (histograma) considerando a economia de 12

meses com valor total.

Resolução:


f(x)= 50x + 150, x > 0.

b) Depois de encontrar a função f, no GeoGebra, clique na barra de ferramentas

para exibir planilha. Na planilha que se abre ao lado da janela de visualização

clique na célula A1 e digite “x (meses)”. Na célula B1 digite “y (valor)” e na

célula C1 “Pontos”. Na célula A2 digite “0” e nas células seguintes desta mesma

coluna digite a sequência dos números até a célula A14.

Na célula B3 digite “=50*A3+150” e depois copie esta fórmula arrastando-a

até a célula A14. Na célula C3 digite fórmula de ponto “=(A3,B3)” e em seguida

copie-a arrastando até a célula A14.

Com a tabela pronta, podemos analisar a resposta da questão b. Neuza

precisará economizar 7 meses para comprar o celular desejado.

c) Vamos criar as listas para construir o gráfico (histograma). Na planilha

selecione as células A2 até A14, clique com o botão direito do mouse em “criar” e

em “lista”, selecione as células B2 até B14.

Clicando novamente com o botão direito do mouse em “criar” e em “lista”,

na janela de álgebra aparecerão as duas listas. Clique no botão “ajuda” no canto

inferior direito em “Diagramas” e em “Histograma”.

Para retirar esta caixa clique novamente no botão ajuda. Seu gráfico

aparecerá na janela de visualização. Você pode alterar as cores das linhas e

estilo, se preferir.

Podemos fazer a soma de todos os valores economizados durante este

período, para isso selecione as células B3 até a B14, na barra de ferramentas

clique no ícone “Soma”, o resultado aparecerá automaticamente no final das

células selecionadas.

Na célula A17 digite a função da situação problema “f(x) = 50x + 150”.

Assim aparecerá a linha no gráfico confirmando os valores encontrados.

Agora é só analisar o gráfico e responder as questões solicitadas da

situação problema.

Função do 2º grau

Atividade 5 - Em sua fazenda Carlos precisa construir um cercado para seus

animais. Um muro, com 6 metros de comprimento, será aproveitado como parte

de um dos lados do cercado retangular que Carlos precisa construir. Para

completar o contorno desse cercado usará 34 metros de cerca. Determine as

dimensões do cercado retangular de maior área possível que ele poderá construir.

Resolução:

Uma análise do problema indica que a função é definida por x + 2y = 34, x

> 0. Depois de encontrar a função f, no GeoGebra, insira na caixa de entrada a

função encontrada “x + 2y = 34” e dê um enter.

Sabendo-se que um dos lados do retângulo tem 6 m, então definimos que

x = 6. Por isso, insira na caixa de entrada “x=6” e dê um enter. Este gráfico será

formado por duas retas.

Na barra de ferramentas clique no segundo ícone “Interseção de dois

objetos” e depois clique nas duas retas, uma de cada vez. Assim encontramos o

ponto A.

Na barra de ferramentas clique no quarto ícone,“Reta Paralela”, selecione

primeiro o ponto e depois o eixo x. Assim formamos o outro lado do retângulo.

Vamos marcar os pontos B, C e D. Para isso, novamente na barra de ferramentas

clique no segundo ícone, “Interseção de dois objetos”, e clique nas retas que

formam os pontos, uma de cada vez.

Depois dos pontos formados vamos construir um polígono. Na barra de

ferramentas clique no quinto ícone, “Polígono”. Se quiser pode inserir imagem e

alterar as cores e estilo. Para isso clique com o botão direito do mouse na janela

de visualização e em “Propriedades”.

Assim, podemos analisar os dados que se encontram na janela de álgebra

e na janela de visualização e determinar as dimensões do cercado retangular de

maior área possível que ele poderá construir, que no caso será, 6 m por 14 m e

84 m².

Atividade 6 - Uma pedra foi lançada verticalmente para cima. Esse movimento é

definido pela função y = 60 + 20x – 5x², em que y é a altura, em metros, e x é o

tempo, em segundos. Determine:

a. altura máxima atingida pela pedra;

b. após quantos segundos a pedra volta ao chão;

c. em quanto tempo, após o lançamento, a pedra atinge a altura máxima.

Resolução:

a) Para encontrar a altura máxima atingida pela pedra, no GeoGebra, na barra de

ferramentas clique no ícone “Controle deslizante”, clique em algum lugar na janela

de visualização para criar o controle “a”, altere os valores dos intervalos mínimo

para -20 e máximo para 20 e clique em aplicar. Clique novamente na janela de

visualização, logo abaixo do controle criado anteriormente para criar o controle

“b”. Altere os intervalos mínimo e máximo com os mesmos valores. Clique

novamente para criar o controle “c”, altere os valores dos intervalos mínimo para

-60 e máximo para 60.

Na caixa de entrada digite a função geral do segundo grau f(x) = ax² + bx

Imagem 1 - disponível em: http://www.ciencias.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/2/198bufalo.jpg

+c. Na barra de ferramentas, clique no ícone “mover”, depois mova o controle

deslizante “a” e altere para o valor definido da função do problema, que é -5.

Altere o valor no controle deslizante “b” para 20, e o valor de “c” para 60.

Observe o que aconteceu com o gráfico da função.

Para destacar os pontos no gráfico clique no segundo ícone da barra de

ferramentas, “Interseção de dois objetos”, clique no eixo x e no gráfico da função,

que é uma parábola, verifique que apareceram os pontos A e B. Vamos traçar a

mediatriz desses pontos. Para isso, na barra de ferramentas clique no quarto

ícone, “Mediatriz”, clique no ponto A e depois no ponto B. Obtemos a reta “d” que

é a mediatriz.

Agora, na barra de ferramentas clique em “Interseção de dois objetos” e

clique na reta “d” e na parábola. Assim obtemos o ponto C que é o vértice desta

parábola. Clique com o botão direito do mouse no ponto C, em “renomear” e digite

X_v. Assim, respondemos a questão a, encontrando a altura máxima atingida pela

pedra que é de 80 m.

b) Agora se analisarmos o gráfico construído conseguiremos visualizar, tanto na

janela de visualização como na janela de álgebra, que após 6 segundos a pedra

volta ao chão, respondendo assim a questão b.

c) Da mesma forma, analisando o gráfico, respondemos a questão c, encontrando

em quanto tempo, após o lançamento, que a pedra atingiu a altura máxima, que é

de 2 segundos.

Atividade 7 → Para uma indústria produzir x unidades de uma mercadoria, temos

que o custo desta produção em reais é dado pela expressão y = x² – 80x + 3000.

Com base nessa expressão determine:

a. quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo;

b. qual o valor mínimo do custo.

Resolução:

Para encontrarmos a quantidade de unidades produzidas para que o custo

de uma mercadoria seja mínimo e para saber qual o valor mínimo do custo,

analisaremos o gráfico construído no GeoGebra.

Para construí-lo, no GeoGebra, na barra de ferramentas clique no ícone

para inserir os controles deslizantes a, b e c. Altere os intervalos mínimo e

máximo do controle “b” para -80 e 80, do controle “c” para -3000 e 3000.

Na caixa de entrada insira a expressão y= ax² + bx +c. Na barra de

ferramentas clique no ícone “mover” e na janela de visualização altere os

controles deslizantes para os valores da expressão definida no problema, a=1,

b=-80 e c=3000. Seu gráfico aparecerá na janela de visualização.

Vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Para isso, na

caixa de entrada digite “X_v=-b/2a” e dê um enter. Na janela de álgebra aparecerá

o seu valor. Na caixa de entrada digite “Δ=b² – 4ac” e dê um enter. Novamente na

caixa de entrada digite “Y_v=-Δ/4a”. Assim temos os valores de Xv e Yv na janela

de álgebra.

Insira na caixa de entrada o ponto “A=(X_v,Y_v)”, clique com o botão direito

do mouse no ponto A e em “Propriedades”. Na aba “básico” clique em “Exibir

Rótulo” e em “Nome & Valor”. Se quiser pode alterar as cores e estilo das linhas e

inserir texto explicativo.

a) Analisando o gráfico verificamos que a quantidade produzida para que o custo

seja mínimo é de 40 unidades.

b) Da mesma forma analisando o gráfico, temos que, o valor mínimo do custo é

de R$ 1.400,00.

Trigonometria

Atividade 8 - Soma dos ângulos internos de um triângulo.

Os triângulos possuem uma propriedade particular muito interessante

relativa à soma de seus ângulos internos. Essa propriedade garante que em

qualquer triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180

graus. Para verificar essa afirmação vamos seguir os passos abaixo:

Resolução:

Construir um triângulo com vértices A, B e C, selecionando o quinto botão

na barra de ferramentas “Polígono”, clique na janela de visualização e crie um

triângulo qualquer. Determine os ângulos de cada vértice selecionando o oitavo

botão na barra de ferramentas “Ângulo”, clique no vértice A depois no C depois no

B. Aparecerá o ângulo C, clique nos vértices CBA, aparecerá o ângulo B e clique

nos vértices BAC, aparecerá o ângulo A.

Na caixa de entrada digite “α+β+γ” e dê um enter. Na janela de álgebra

aparecerá a soma dos ângulos internos do triângulo δ. Na barra de ferramentas

clique no primeiro botão “Mover” e arraste o ponto A, depois o B e depois o C.

Verifique o que acontece com a soma dos ângulos internos.

Considere uma reta r passando pelo ponto A e paralela ao lado BC. Para

isso clique no quarto botão, “reta paralela”, clique no ponto A e no lado BC. Clique

nesta reta com o botão direito do mouse e renomeie para r .

Para podermos obter os ângulos precisamos de dois pontos. Então clique

no segundo botão, “novo ponto”, e clique na reta em algum lugar do lado

esquerdo do ponto A. Novamente clique na reta em algum lugar do lado direito do

ponto A e clique no oitavo botão, “ângulo”. Clique nos pontos DAB para formar o

ângulo no ponto A, clique com o botão direito do mouse nesse ângulo formado e

renomeie para “X”. Clique novamente no botão “ângulo”, clique no pontos CAE,

para complementar o ângulo no ponto A. Clique nesse ângulo formado e

renomeie para W.

Na caixa de entrada digite “X + Y + W”, verifique o valor e compare com a

soma dos outros ângulos feitos anteriormente. Faça as simulações movendo os

pontos e analisando o que acontece.

Assim, se a reta r e o lado BC são paralelos, os ângulos W e C são

alternos internos e, portanto, são congruentes, o que significa que W = C. Pelo

mesmo motivo verifica-se que X = B. Portanto, temos que: Y + α + β = X + Y + W

= 180°. Confirmando a propriedade, em todo triângulo a soma dos ângulos

internos mede 180°.

Atividade 9 - Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo.

Ao compararmos duas grandezas por meio de uma divisão estamos dando

sentido ao conceito de razão. Num triângulo retângulo definimos as chamadas

razões trigonométricas que são relações entre os lados do triângulo e que tem a

propriedade de determinar a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus

lados sejam conhecidos.

Entre os lados do triângulo podemos estabelecer as seguintes razões:

Seno - Seno de um ângulo é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao

ângulo e o comprimento da hipotenusa do triângulo.

Assim, temos:

Seno de um ângulo =

ACBC

Cosseno - Cosseno de um ângulo é a razão entre o comprimento do cateto

adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa do triângulo.

Assim, temos:

Cosseno de um ângulo =

ABBC

Tangente - Tangente de um ângulo é a razão entre os comprimentos do cateto

oposto e do cateto adjacente ao ângulo.

Assim, temos:

Tangente de um ângulo =

ACAB

Resolução:

Trace um segmento de reta AB. Para isso clique no terceiro botão na barra

de ferramentas, “Segmento definido por dois pontos”, clique na janela de

visualização e trace o segmento AB.

Clique no quarto botão na barra de ferramentas, “Reta Perpendicular”,

clique no segmento AB e depois no ponto A para traçar uma reta b perpendicular

ao segmento AB passando por A.

Crie um ponto C sobre a reta b clicando no segundo botão, “novo ponto”, e

na reta. Para construir o triângulo, clique no quinto botão, “Polígono”, e nos

pontos A, B, C e A.

Determine o comprimento de cada lado. Para isso, clique no oitavo botão,

“Distância, comprimento ou perímetro” e em cada segmento ou ponto.

Encontre as medidas dos ângulos internos, clique no oitavo botão,

“Ângulo”, clique nos vértices “BAC”, “ABC” e “CBA”.

Encontre a razão entre os lados do triângulo. Na caixa de entrada digite

“Distância [A,C]/Distância [B, C]”, em seguida digite “Distância [A, B]/Distância [B,

C]”. Na janela algébrica aparecerá a razão entre os lados do triângulo.

Arraste o vértice B do triângulo e observe o que acontece em relação às

razões.

Arraste o vértice A, analise o que acontece com o ângulo α e com as

razões trigonométricas. Faça o mesmo com o vértice C.

Calcule o seno, cosseno e a tangente do ângulo β.

Digite na caixa de entrada cada um deles e depois verifique o que

acontece com seus valores.

Atividade 10 - Qual deverá ser o comprimento mínimo do cabo que une as

extremidades superiores de dois postes, sabendo que a altura desses postes são

de 5 m e 10 m e que estão a uma distância de 12 m entre si.

Resolução:

Para encontrar qual deve ser o compimento mínimo do cabo que une as

extremidades superiores de dois postes, vamos construir esta situação problema

no GeoGebra.

Para isso, clique na janela de visualização com o botão direito do mouse e

insira a malha. Na barra de ferramentas clique no terceiro botão, “Segmento

definido por dois pontos”, clique nos eixos x, y pontos (0,5).

Clique novamente no terceiro botão, “Segmento definido por dois pontos” e

marque os pontos (12,10). Assim criamos os dois postes distantes 12 m entre si.

Clique com o botão direito do mouse no segmento AB e, em “Propriedades”,

altere a cor, espessura e estilo da linha. Faça a mesma coisa com o segmento

CD.

Vamos unir os dois segmentos. Clique no botão, “Segmento definido por

dois pontos”, clique no ponto B e no ponto D. Clique com o botão direito do mouse

no segmento BD e em “Propriedades”, altere a cor, espessura e estilo da linha.

Para saber a distância entre os dois postes, clique no oitavo botão,

“Distância, Comprimento ou Perímetro”, clique no ponto B e depois no ponto D ou

clique no segmento BD. Aparecerá a medida deste segmento.

Mais algumas sugestões de atividades

1.) (UNIOESTE/2013) - Uma empresa de telefonia celular possui somente dois

planos para seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma

tarifa fixa de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B,

o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer

ligação. É correto afirmar que, para o cliente,

A. com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A.

B. para ligações com mais de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso

que o plano A.

C. 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo

plano B.

D. o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos

minutos sejam cobrados.

E. o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos

minutos sejam cobrados.

2.) (UNESP/2006) - Paulo fabricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos

distintos, com o raio da roda maior (dianteira) medindo 3 dm, o raio da roda menor

medindo 2 dm e a distância entre os centros A e B das rodas sendo 7 dm. As

rodas da bicicleta, ao serem apoiadas no solo horizontal, podem ser

representadas no plano (desprezando-se os pneus) como duas circunferências,

de centros A e B, que tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado na

figura.

a) Determine a distância entre os pontos de tangência P e Q e o valor do seno do

ângulo BPQ.

b) Quando a bicicleta avança,supondo que não haja deslizamento, se os raios da

roda maior descrevem um ângulo de 60°, determine a medida, em graus, do

ângulo descrito pelos raios da roda menor . Calcule, também, quantas voltas terá

dado a roda menor quando a maior tiver rodado 80 voltas.

3.) (UFPR/2005) - Um terreno possui o formato de um triângulo cujos catetos

medem 60 m e 30 m. O proprietário pretende construir nesse terreno uma casa de

planta retangular, de modo que os dois lados do retângulo fiquem sobre os

catetos e um vértice do retângulo pertença a hipotenusa, como na figura abaixo.

Nessas condições, obtenha:

a) A área do retângulo cuja base x mede 30 m.

b) A expressão que fornece a área do retângulo em função da medida variável x.

c) O valor de x para o qual se tem o retângulo de maior área.

4.) Como cortar uma corda de 5 metros em dois pedaços, de forma que o produto

das medidas entre eles dê 5,76?

4.1.2. Atividades utilizando o Software JClic

1.Associação Simples

O objetivo das atividades de associações é que o aluno descubra as

relações existentes entre dois conjuntos de informações. Nesta sugestão de

atividade deverão ser relacionados os tipos de funções, também poderíamos

utilizar imagens no lugar das funções correspondentes.

Nas atividades de associações simples existem dois conjuntos de

informações que possuem o mesmo número de elementos (quadros), sendo que

cada elemento do conjunto original (grelha A) corresponde somente a um

elemento do conjunto imagem (grelha B). As informações existentes no interior

dos quadros podem ser textuais, sonoras, musicais, gráficas ou de animação ou

ainda combinarem entre si.

Para construir esta atividade, seguiremos os procedimentos abaixo:

Clique na aba “Atividades” → clique em “adicionar uma nova atividade

ao projeto” → em Tipo de Atividade clique em “Associação Simples” →

nomeie a atividade → Ok.

Na aba “Opções” preencha as informações que julgar necessárias.

Na aba “Janela” → selecione as opções de cores para a janela principal e

para janela de jogo.

Na aba “Mensagens” → clique no campo cinza de Mensagem Inicial e no

espaço de texto digite: “Associe as sentenças às repostas corretas”. Em

Estilo, clique no ícone abc → formate a fonte (cor, tamanho, tipo) → Ok.

Na aba “Painel” → clique na grelha A → altere os valores 2 e 3 para 5 e 1

→ altere os valores 50 e 30 para 300 e 200 (lembre-se sempre de dar um

enter a cada alteração de valores para assumir o valor alterado) → clique

na grelha B → e faça as mesmas alterações de valores.

Na aba “Distribuição” → selecione o tipo “AB” (refere-se a posição relativa

dos painéis).

Agora vamos adicionar os conteúdos aos quadros. Nos quadros da grelha

A será inserido o texto com o nome das funções (Logarítmica, de 1° grau,

de 2° grau, Trigonométrica e Exponencial), na grelha B, um exemplo de

cada função. Para inseri-los clique quadro a quadro e digite, você pode

alterar a cor, o tipo e tamanho das letras, clicando em estilo.

Salve esta atividade clicando em → Ficheiro → Guardar.

Para testar a atividade clique no segundo botão → Testar o

funcionamento da atividade.

2. Jogo de Memória

O objetivo das atividades de “Jogo de Memória”, é desenvolver no aluno o

raciocínio lógico, a capacidade de observação e concentração e estimular a

memória. Nesta atividade terão que descobrir pares de elementos iguais ou

relacionados entre si que estão escondidos.

Nesta sugestão de atividade utilizaremos os tipos de funções relacionando

com seus respectivos gráficos. Cada uma das peças possui o seu par, todas as

faces escondidas. A cada tentativa, duas peças serão mostradas. Caso não

formem um par, voltam-se a ficar com a face escondida.

Nesta atividade, criaremos um Jogo de Memória com pares de elementos

usando texto e imagens. Para iniciar a criação da nova atividade seguiremos os

passos abaixo:

Para criar um novo projeto clique em → “Ficheiro“→ novo Projeto →

nomeie o projeto.

Na aba “Biblioteca de Recursos” → clique no ícone para adicionar as

imagens que vai utilizar ao projeto.


ao projeto” → em Tipo de Atividade clique em “Jogo de Memória” →






espaço de texto digite: “Encontre os pares: nomes das funções e seu

gráfico”. Em Estilo, clique no ícone abc → formate a fonte (cor, tamanho,

tipo) → Ok.

Na aba “Painel” → aba grelha → altere os valores do número de filas e do

número de colunas do painel para 2 → altere o valor da largura das células

para 235 e altura das células para 195.

Para inserir o conteúdo clique no primeiro quadro, abrirá uma caixa →

conteúdo da célula → clique no botão imagem → selecione a primeira

imagem que deseja inserir → Ok. Faça o mesmo processo em todos os

quadros.

Assinale a opção de Conteúdo Alternativo que está na parte superior

direita do painel e clique no botão ALT para introduzir o segundo elemento

dos pares (texto). Aparecerá os quadros vazios, clique neles para abrir a

caixa de Conteúdo da Célula, onde será escrito o texto correspondente

aos quadros anteriores, nesse exemplo, o nome de cada função

correspondente ao gráfico.

É importante lembrar de que é necessário escrever o conteúdo de acordo

com a ordem em que foram adicionadas as imagens.




3. Caça-Palavras

O objetivo das atividades de “Caça-Palavras”, é encontrar as palavras que

estão escondidas na grade de letras misturadas. Elas podem estar escondidas

verticalmente, horizontalmente ou diagonalmente dentro da grade. Podem estar

arranjadas de modo que possam ser lidas da esquerda para a direita ou de cima

para baixo e também o oposto, dependendo do grau de dificuldade que se queira

atingir.

Este tipo de atividade pode ser trabalhada com qualquer nível de ensino,

pois através de uma atividade de passatempo pode-se desenvolver e estimular no

aluno a atenção e a agilidade em resolver problemas.

Nesta sugestão de atividade, criaremos um Caça-palavras com nomes

relacionados com os conteúdos matemáticos. Para iniciar a criação da nova

atividade seguiremos os passos abaixo:


nomeie o projeto.


ao projeto” → em Tipo de Atividade clique em “Sopa de Letras” → nomeie

a atividade → Ok.





espaço de texto digite: “Encontre as palavras escondidas”. Em Estilo,

clique no ícone abc → formate a fonte (cor, tamanho, tipo) → Ok.

Na aba “Painel” → Grelha A → altere os valores 3 e 3 para 15 e 15, e

onde aparece 20 e 20 altere para 40 e 40 (lembre-se de dar um enter a

cada alteração para assumir os valores alterados). Em estilo abc você

pode formatar a fonte (cor, tamanho, tipo) → Ok.

Adicione as palavras sugeridas para esta atividade (CATETO, FUNÇÕES,

PITÁGORAS, ÂNGULOS, TRIGONOMETRIA, TRIÂNGULO), clicando nos

asteriscos (dentro dos quadrinhos do painel), sendo que em cada

quadrinho deve ser adicionada uma letra. Para substituir alguma letra no

quadrinho, basta clicar sobre ela e deletar.

No quadro “Palavras escondidas” escreva as palavras a serem

encontradas na atividade. Para isso, clique no sinal +, abrirá uma caixa de

texto para que você escreva cada palavra. As palavras devem ser escritas

uma a uma. Mesmo escrevendo as palavras em letras minúsculas, elas

aparecem em maiúsculas, assim como as palavras que aparecem no caça-

palavras.




Encontra-se as palavras escondidas no painel, depois de encontradas,

clica-se com o botão esquerdo do mouse sobre a primeira letra da palavra

e leva-se até a última letra, e clica-se novamente. Se a palavra estiver

correta se destacará das demais.

4. Palavras Cruzadas

O objetivo de utilizar atividades de “Palavras Cruzadas” em sala de aula é

desenvolver entre outras habilidades a de estimular a memória e o raciocínio.

Esta atividade é considerada como passatempo, porém ao ser utilizada na sala de

aula de modo lúdico, estimula o raciocínio, colaborando para o desenvolvimento

do pensamento e da linguagem, o escrever e compreender o sentido das palavras

e sua ortografia.

Ao fazer o uso dessa ferramenta pedagógica, independente da idade ou

ano que se encontra o aluno, o professor criará oportunidades onde o desafio e a

curiosidade são favorecidos, enriquecendo o vocabulário, além de auxiliar na

compreensão de todas as disciplinas, inclusive da matemática, facilitando o

trabalho de construção do conhecimento.

O objetivo do jogo é preencher o painel de palavras a partir de suas

definições, que podem ser textuais, gráficas ou sonoras. Nesta sugestão

criaremos uma atividade de palavras-cruzadas, com nomes relacionados com os

conteúdos matemáticos. Para iniciar a criação da nova atividade seguiremos os

passos abaixo:


nomeie o projeto.


ao projeto” → em Tipo de Atividade clique em “Palavras Cruzadas” →






espaço de texto digite: “Complete as lacunas de acordo com a dica”. Em

Estilo, clique no ícone abc → formate a fonte (cor, tamanho, tipo) → Ok.

Na aba “Painel” → Grelha A → altere os valores 3 e 3 para 15 e 15, e

onde aparece 20 e 20 altere para 30 e 30 (lembre-se de dar um enter a

cada alteração para assumir os valores alterados). Em estilo abc você

pode formatar a fonte (cor, tamanho, tipo) → Ok. Distribua, aleatoriamente

as palavras: HIPOTENUSA, TRIÂNGULO, FÓRMULA, CATETOS e

PITAGORAS.

Na Grelha B → Clique na 1ª letra da 1ª palavra (Hipotenusa) em seguida

clique no quadro que está ao lado (escolha o quadro ABC horizontal ou

vertical conforme a direção que você digitou a sua palavra no painel) e

digite: “Lado maior de um triângulo, que está diante do ângulo reto” →

repita o procedimento para as demais palavras: Triângulo → “Figura

famosa por ter um ângulo reto, sendo utilizada como esquadro para se ter

linhas perpendiculares”; Fórmula → “a² = b² + c²”; Catetos → “Nome dado

aos outros dois lados menores do triângulo”; Pitágoras → “Descobriu o

teorema: “Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa

é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.




Completa-se o painel de palavras a partir de suas definições (dicas), o

programa mostra automaticamente as definições das duas palavras que se

cruzam na posição onde está o cursor no momento.

5. Atividade de Texto

Existem quatro modelos diferentes de atividades de texto no JClic:

Completar texto;

Preencher lacunas;

Identificar elementos;

Ordenar elementos.

Nas atividades de texto os exercícios são planejados baseados em

palavras, frases, letras ou parágrafos de um texto, onde será necessário

completar, entender, ordenar ou identificar parte do texto, interagindo com o texto

de acordo com o que se pede na atividade.

Na criação dessas atividades chamamos de incógnita as partes do texto

que são selecionadas para interagir com elas. Qualquer tipo de atividade de texto

tem que possuir ao menos uma incógnita.

O objetivo desta atividade é fazer com que o aluno leia e compreenda as

informações que se quer passar no texto. Num texto oculta-se determinadas

partes e o aluno deve completá-lo, ele só irá completar corretamente se leu com

atenção e entendeu.

Nesta sugestão, criaremos uma atividade de texto “Preencher lacunas”,

onde utilizaremos um texto sobre trigonometria. Para iniciar a criação da nova

atividade seguiremos os passos abaixo:


nomeie o projeto.


ao projeto” → em Tipo de Atividade clique em “Texto: Preencher

Lacunas” → nomeie a atividade → Ok.





espaço de texto digite: “Escreva as palavras que estão faltando no

texto”. Em Estilo, clique no ícone abc → formate a fonte (cor, tamanho,

tipo) → Ok.

Abra o texto escolhido para esta atividade “trigonometria”, selecione todo

o texto (CTRL+A) e copie (CTRL+C), volte ao JClic e na aba Texto →

clique dentro da caixa que conterá o corpo do texto → cole o texto

(CTRL+V). Altere os valores 400 e 300 para 750 e 650 → clique em Estilo

para formatar o texto.

Volte para aba Conteúdo → selecione a palavra “razão” → clique no ícone

“incógnita” → Ok. Repita o processo para as demais “palavras chaves”

que queira ocultar.

Na aba Conteúdo → clique em “Ecrã Anterior” para abrir a Janela prévia.

Ative a opção Exibir (ou mostrar) este texto. Copie, cole e formate o texto

“Trigonometria”. No quadro “Mensagem Prévia” → digite: “Leia o texto e

clique sobre ele para continuar a atividade” → formate o texto → Ok.




6. Quebra-cabeças

O objetivo de utilizar atividades de “Quebra-cabeças” em sala de aula é de

estimular a atenção, concentração e a capacidade de análise e síntese visual.

A atividade consiste em planejar a reconstrução de uma informação que

está inicialmente desordenada. Essa informação pode ser gráfica, textual, sonora

ou combinar aspectos gráficos e auditivos ao mesmo tempo.

Existem três modelos diferentes de atividades de quebra cabeças no Jclic:

Duplo;

Com Coluna;

De troca.

6.1. Quebra-cabeças Duplo

Nesta sugestão de atividade criaremos um quebra cabeças duplo a partir

de uma imagem. Para iniciar a criação da nova atividade seguiremos os passos

abaixo:


nomeie o projeto.


ao projeto” → em Tipo de Atividade clique em “Texto: Quebra-cabeça

Duplo” → nomeie a atividade → Ok.

Na aba “Biblioteca de Recursos” → clique no ícone para adicionar as

imagens que vai utilizar ao projeto.





espaço de texto digite: “Ordene as peças e depois responda o que se

pede (faça os cálculos em seu caderno)”. Em Estilo, clique no ícone abc

→ formate a fonte (cor, tamanho, tipo) → Ok.

Na aba “Painel” → Grelha → altere os valores 2 e 3 para 4 e 5, e onde

aparece 50 e 30 altere para 144 e 120 (lembre-se de dar um enter a cada

alteração para assumir os valores alterados) → Clique em Imagem →

clique em imagem → selecione a imagem para esta atividade → Ok.

Você pode alterar o formato das peças do quebra cabeças, existe 5

opções: “Encaixes (conexões) curvos”; “Recorte”; “Encaixes (conexões)

retangulares”; “Retangular” e “Encaixes (conexões) triangulares”.




Surgem dois painéis, um deles está com a informação desordenada e o

outro está vazio. Tem-se que reconstruir o objeto no painel vazio arrastando para

ele as peças com o mouse, uma a uma.

6.2. Quebra-cabeças com Coluna

Para criar o quebra-cabeça com coluna, siga todos os procedimentos

iniciais do quebra-cabeça duplo.



alteração para assumir os valores alterados) → Clique em Imagem →

clique em imagem → selecione a imagem para esta atividade → Ok.




Em um único painel, as peças (menos uma) surgem embaralhadas. Uma

das peças próxima ao espaço vazio só será movida automaticamente, depois que

Imagem 2 - disponível em:http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/7/027arvore1.jpg

todas as outras peças sejam colocadas em ordem.

Imagem 3: Autoria própria

6.3. Quebra-cabeças de troca

Para criar o quebra-cabeça de troca, siga os passos abaixo:


ao projeto” → em Tipo de Atividade clique em “Texto: Quebra-cabeça de

troca” → nomeie a atividade → Ok.





espaço de texto digite: “Coloque as fórmulas do seno, cosseno e

tangente em ordem”. Em Estilo, clique no ícone abc → formate a fonte

(cor, tamanho, tipo) → Ok.



alteração para assumir os valores alterados) → Clique em Estilo abc e

altere o fundo para Transparente → altere o tamanho da fonte → Ok.

Clique no 1° quadro da 1ª coluna e digite → seno de um ângulo

Clique no 2° quadro da 1ª coluna e digite → cosseno de um ângulo

Clique no 3° quadro da 1ª coluna e digite → tangente de um ângulo

Clique no 1º quadro da 2ª coluna e digite → = (faça o mesmo com o 2° e 3°

quadro da 2ª coluna)

Clique no 1° quadro da 3ª coluna e digite → medida do cateto oposto /

Clique no 2° quadro da 3ª coluna e digite → medida do cateto adjacente /

Clique no 3° quadro da 3ª coluna e digite → medida do cateto oposto /

Clique no 1° quadro da 4ª coluna e digite → medida da hipotenusa

Clique no 2° quadro da 4ª coluna e digite → medida da hipotenusa

Clique no 3° quadro da 4ª coluna e digite → medida do cateto adjacente




Este tipo de quebra-cabeça também possui toda a informação

desordenada, com a diferença de que existe só um painel, e para reconstruir o

conteúdo, temos que ir mudando as peças de lugar, arrastando-as com o mouse

até que todas elas estejam ordenadas.

5. REFERÊNCIAS

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes curriculares daeducação básica: Matemática. Curitiba:SEED, 2008.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Manual para o uso do Jclic.Curitiba:SEED/DITEC, 2010. Disponível em:<http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=167> Acesso em: 10 out 2013.

UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – Instituto Geogebra no Riode Janeiro. Disponível em:<http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/geogebra.overview.html> Acesso em: 29 out 2013.

UNIOESTE - Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Vestibular 2013 -Grupo 1 - Matemática, Português e Redação.

UNESP – Universidade Estadual Paulista – Vestibular 2006 – Disponível em:<http://www.cursoobjetivo.br/vestibular/resolucao_comentada/unesp/2006/2dia/UNESP2006_2dia.pdf> Acesso em: 02 dez 2013.

UFPR – Universidade Federal do Paraná – Vestibular 2005 – Disponível em:<http://www.expoente.com.br/vestiba/vestibular/ufpr2005/2_fase/discursivas/Matematica_DISCURSIVA.PDF> Acesso em: 02 dez 2013

Imagem 1 – Disponível em: <http://www.ciencias.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/2/198bufalo.jpg> –Acesso em: 05 nov 2013.

Imagem 2 – Disponível em:<http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/7/027arvore1.jpg> Acesso em: 05 nov 2013.

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/7/027arvore1.jpg

http://www.ciencias.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/2/198bufalo.jpg

http://www.expoente.com.br/vestiba/vestibular/ufpr2005/2_fase/discursivas/Matematica_DISCURSIVA.PDF

http://www.expoente.com.br/vestiba/vestibular/ufpr2005/2_fase/discursivas/Matematica_DISCURSIVA.PDF

http://www.cursoobjetivo.br/vestibular/resolucao_comentada/unesp/2006/2dia/UNESP2006_2dia.pdf

http://www.cursoobjetivo.br/vestibular/resolucao_comentada/unesp/2006/2dia/UNESP2006_2dia.pdf

http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/geogebra.overview.html



OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · Atividade 1 - O preço a ser pago por uma...

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