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ESCOLA DE APLICAÇÃO “DR. ALFREDO JOSÉ BALBI”

UNITAU

APOSTILA

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES

NOME: NO:


FUNÇÃO

IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está sempre presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são exemplos de funções: - O valor a ser pago numa corrida de táxi é função do espaço percorrido; - A área de um quadrado é função da medida do seu lado; - O consumo de combustível de um automóvel é função, entre outros fatores, da velocidade. Observe que as relações que vimos a seguir têm duas características em comum: - A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável dependente; - Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da variável dependente. As relações que têm essas características são chamadas de funções. Exemplos: 1) Nos itens abaixo, estão descritas algumas relações entre variáveis. Em cada caso, identifique a variável independente e a dependente. a) O número de refrigerante que uma pessoa compra e a quantia a ser paga. Resolução: b) A duração de uma chamada telefônica e o custo da chamada. Resolução: 2) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa de R$ 6,00 , denominada bandeirada mais uma parcela variável de R$ 0,90 por km rodado. Determine: a) A função que representa o preço P de uma corrida em função de x quilômetros rodados. Resolução: b) O preço de uma corrida de 12 km. Resolução: c) A distancia percorrida por um passageiro que pagou R$ 96,00 pela corrida. Resolução:


DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função quando cada elemento x do conjunto A está associado a um, e somente um, elemento y do conjunto B. Indica-se por: Quando estas condições descritas na definição não forem satisfeitas, existirá apenas uma relação (R). Daí, concluímos que toda função é uma relação mas, nem toda relação e uma função. Observe os exemplos com diagramas: As figuras 1, 2 e 3 representam funções. Note que cada elemento do conjunto domínio A tem uma única chegada no conjunto contradomínio B. Chamamos de conjunto imagem (Im) aos elementos de B que se relacionaram com os elementos de A. No conjunto contradomínio pode sobrar elemento. A letra f acima do diagrama indica que a relação especial é uma função.

fig.1 fig.2 fig.3 As figuras 4, 5 e 6 representam apenas relações. Note que na fig. 4 alguns elementos de A têm duas chegadas em B, na fig. 5 sobrou um elemento de A sem relacionar-se com B e, finalmente, na fig. 6 um único elemento de A têm várias chegadas em B. A letra R acima do diagrama indica ser apenas uma relação.

fig.4 fig.5 fig.6 Exemplos 1) Dados A = { -3, -2, 0, 3 } e B = { - 1, 0, 1, 2, 4, 5, 7 } e uma relação expressa pela fórmula y = x + 2, com x pertencendo a A e y pertencendo a B. a) Faça o diagrama e verifique se f é uma função de A em B. Resolução: b) Se for uma função de A em B, determine o domínio, a imagem e o contra-domínio de f. Resolução:

f: A B


2) Seja a função f: definida por f(x) = x2 - 7x + 9. Determine: a) O valor de f(-1) Resolução: b) Os valores de x para que se tenha f(x) = -1. Resolução: 3) Dadas as funções f(x) = 4x + 3 e g(x) = x2 + a. Sabendo que f(2) - g(1) = 3, calcule o valor de a. Resolução:

4) Dada a função f: definida por f(x) = ax + b, com a e b ℜ∈ . Determine a e b, sabendo que f(1) = 3 e f(2) = 5. Resolução: DOMINIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL Quando trabalhamos com uma função, é importante sabermos qual o domínio dessa função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis para a variável independente. Em muitos casos, o domínio e o contradomínio não vêm explicitados, devemos, então, considerar como domínio o conjunto de todos os números reais que podem ser colocados no lugar da variável independente na fórmula da função, obtendo, após os cálculos, um número real, já, o contradomínio será os números reais. Exemplos 1) Encontrar o domínio das funções:

a) f(x) = 3x2 - 4x + 2 b) f(x) = 42

53

−−

x

x

Resolução: Resolução:

c) f(x) = 44 −x d) f(x) = 4

33

2

5

−−+

+−

x

x

x

x

Resolução: Resolução:


GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Para construir o gráfico de uma função, utilizaremos o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. O sistema de coordenadas ortogonais é composto por: - Duas reta perpendiculares entre si, onde a reta horizontal é o eixo x (abscissas) e a reta vertical o eixo y (ordenadas). - O cruzamento das duas retas é a origem do sistema. - As retas dividem o plano em quatro partes iguais chamadas de quadrantes. O gráfico é conjunto de todos os pontos (x;y) do plano cartesiano, com x∈D e y∈Im. Para isso, consideremos os valores do domínio da função o eixo x e as respectivas imagens no eixo y.

Exemplos: 1) Construir o gráfico das funções: a) BA :f → , definida por f(x) = x + 2, sendo A = { -1; 0; 1; 2 } e B = { 1; 2; 3; 4; 5 } b) f: definida por f(x) = x + 2

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ANALISANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES A partir do gráfico de uma função, podemos obter comportamento dessa função, como: - O domínio e a imagem. - Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados.- Os intervalos para os quais a função - Os intervalos para os quais a o valor da função é positivo e negativo.- O valor máximo ou mínimo que a função atinge.- O (s) valor (es) da(s) raiz(es) da função. Como reconhecer quando um gráfico representa uma função Como para cada valor de x do domínio devemos ter em correspcontradomínio, é possível identificar se um gráfico representa ou não função, traçamos retas paralelas ao eixo y. Para ser função, cada reta vertical traçada por pontos do domínio deve interceptar o gráfico em um único ponto.

Como determinar o domínio e a imagem - O domínio de uma função é obtido pela projeção x (abscissas) - A imagem de uma função y (ordenadas) Exemplo


ANALISANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES

A partir do gráfico de uma função, podemos obter informações importantes sobre o comportamento dessa função, como:

Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados. Os intervalos para os quais a função é crescente, decrescente ou constante

is a o valor da função é positivo e negativo. ou mínimo que a função atinge.

O (s) valor (es) da(s) raiz(es) da função.

Como reconhecer quando um gráfico representa uma função

Como para cada valor de x do domínio devemos ter em correspondência um único y do contradomínio, é possível identificar se um gráfico representa ou não função, traçamos retas paralelas ao eixo y. Para ser função, cada reta vertical traçada por pontos do domínio deve interceptar o gráfico em um único ponto.

determinar o domínio e a imagem da função

O domínio de uma função é obtido pela projeção dos pontos do gráfico sobre

de uma função é obtida pela projeção dos pontos do gráfico

D(f) = } 6 x /1 x{ ≤≤ℜ∈ Im(f) = 5 y 2 / y { ≤≤ℜ∈

6

informações importantes sobre o

ou constante.

ondência um único y do contradomínio, é possível identificar se um gráfico representa ou não função, traçamos retas paralelas ao eixo y. Para ser função, cada reta vertical traçada por pontos do

do gráfico sobre o eixo

gráfico sobre o eixo

} 5


Como determinar as raízes ou os zeros de uma função Graficamente a(s) raiz(es) de uma função é(são) a(s) a(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) onde o gráfico encontra o eixo x (abscissas). Exemplo

Como determinar o intervalo onde a função é crescente, decrescente ou constante - Se aumentarmos o valor da variável independente e aumentar os valores da imagem, temos função crescente. - Se aumentarmos o valor da variável independente e diminuir os valores da imagem, temos função decrescente. Se aumentarmos o valor da variável independente e não alterar os valores da imagem, temos função constante.

Valor máximo e Valor mínimo de uma função

Logo, os números 2 e 5 são as raízes ou os zeros da função

constante

decrescente crescente

y

o

x

y

o

x X1

X2

f(x1)

f(x2)

máximo

mínimo

Valor máximo f(x2) Valor mínimo f(x1)


EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) (Unesp) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições: a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas. resp: 156 – 2,5n b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso. resp: 15 semanas 2) (Unicamp) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula: C = 5(F - 32)/9,onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados. a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. resp: 95 b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados? resp: 160 3) (Fuvest) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: resp: b a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = -3x e) f(x) = 1,03x 4) (Puccamp) Para produzir um número n de peças (n inteiro positivo), uma empresa deve investir R$200000,00 em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção de cada peça. Nessas condições, o custo C, em reais, da produção de n peças é uma função de n dada por: a) C(n) = 200 000 + 0,50 resp: c b) C(n) = 200 000n c) C(n) = n/2 + 200 000 d) C(n) = 200 000 - 0,50n e) C(n) = (200 000 + n)/2 5) (Faap) A taxa de inscrição num clube de natação é de R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente. Expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas transcorridas desde o início do curso: resp: a a) T = 12,50 (12 - x) b) T = 12,50x c) T = 12,50x -12 d) T = 12,50 (x + 12) e) T = 12,50x + 12 6) (Puccamp) Durante um percurso de x km, um veículo faz 5 paradas de 10 minutos cada uma. Se a velocidade média desse veículo em movimento é de 60 km/h, a expressão que permite calcular o tempo, em horas, que ele leva para percorrer os x km é: resp: b a) (6x + 5)/6 b) (x + 50)/60 c) (6x + 5)/120 d) (x/60) + 50 e) x + (50/6)


7) Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. resp: a) R1 é uma função de A em B, D = A, Im = {0; 4; 16} b) não é função

8) Dados os conjuntos A = {relações abaixo, e diga, qual delas é uma função A em B. resp: ba) R1 = {(x;y) ∈ AxB/ y = xb) R1 = {(x;y) ∈ AxB/ y = 2x + 1 } 9) Dado o conjunto A = { f: A→ℜ definida por f(x) = 1 10) Seja a função f: ℜ→ℜ a) f(4) resp: -16

11) Dadas as funções f(x)=

12) São dadas as funções f(x)= 3x+1 e g(x)=

calcule o valor de a . resp: 38/15 13) Dada a função f: ℜ→ℜ a) a e b sabendo que f(1)=4 e f( b) f(4). resp: 13 14) Dada a função f: ℜ→ℜ resp: -4 ou 3 15)Encontrar o domínio das funções:a) y=3x+4 resp: D=ℜ b) f(x)=x

c) f(x)=4

93

++

x

x resp: D=ℜ

e) f(x)= 81

102 −−

x

x-

7

35

+−

x

x resp: D=

g) f(x)=44

5

+x +

4

102

+−

x

x

16) Construa os gráficos das funções, e dê o domínio e a imagem: a) f: A→B, definida por f(x)= xb) f: A→B, definida por f(x)= 3x+1, sendo A=[


elação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio.

é uma função de A em B, D = A, Im = {0; 4; 16} b) não é função

8) Dados os conjuntos A = {-1; 0; 1; 2} e B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, faça o diagrama das relações abaixo, e diga, qual delas é uma função A em B. resp: b

AxB/ y = x2 – 2 } AxB/ y = 2x + 1 }

A = { -2; -1; 0; 1}, determine o conjunto imagem daf(x) = 1 – x2. resp: Im = { -3; 0; 1}

definida por f(x)= x2-10x+8. Calcular: b) Os valores de x de modo que f(x)=-1. resp: 1 e 9

11) Dadas as funções f(x)=2

1 x + 1 e g(x) = x2-1, calcule f(6)+g(-2). resp: 7

12) São dadas as funções f(x)= 3x+1 e g(x)=5

4x + a . Sabendo que f(1)

. resp: 38/15

ℜ definida por f(x)= ax + b, com a, b ∈ℜ, calcule:a) a e b sabendo que f(1)=4 e f(-1)= -2; resp: a=3 e b=1

ℜ definida por f(x)= x2-x-12, determine a de modo f(a+1)=0.

15)Encontrar o domínio das funções: b) f(x)=x2-3x+6 resp: D=ℜ

ℜ-{-4} d) f(x) =84

52

++

x

x+

3

75

+−

x

x resp: D=ℜ-{ -

resp: D=ℜ-{-9;-7;9} f) f(x) = 63 −x resp: D={x

10 resp: D={x∈ℜ/ x≥5}

Construa os gráficos das funções, e dê o domínio e a imagem:

B, definida por f(x)= x2+1, sendo A={-1,0,1} e B={1,2,3,4} B, definida por f(x)= 3x+1, sendo A=[-1,2] e B=[-4;8]

9

elação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso

é uma função de A em B, D = A, Im = {0; 4; 16} b) não é função

1; 2; 3; 4; 5}, faça o diagrama das

imagem da função

1. resp: 1 e 9

2). resp: 7

. Sabendo que f(1)-g(1)=3

2,

, calcule:

de modo f(a+1)=0.

-3;-2}

resp: D={x∈ℜ/ x≥2}


c) f: A→B, definida por f(x)= resp:

a) y b) y c) y ● 2 ● 1 ● -1 o 1 x D={-1,0,1} e IM={1,2} 17) Os gráficos abaixo representam gráficos de funções. a) y b) y o x o x x Resp: a, b e c 18) (Ufes) O preço de uma certa máquina nova é R$10.000,00. Admitindotenha sido projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula que dá o preço P(t) da máquina e esboce o gráfico da função P.Resp: P(t) = - 1250t + 10000 (0 ≤

19) (Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa. O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Analisando o gráfico, podemos afirmar que: ( ) 10 foi o único ano em que ela foi deficitária.( ) 20 foi o ano de maior lucro.


B, definida por f(x)=-4x, sendo A=]-2,1/2] e B=[-10,5]

y b) y c) y 7 ●

1 o 1 x -1 0 2 x ● -2

D=[-1,2] e IM=[-2,7] D=]

) Os gráficos abaixo representam gráficos de funções.

a) y b) y c) y

o x o x

) O preço de uma certa máquina nova é R$10.000,00. Admitindotenha sido projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula que dá o preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento, e esboce o gráfico da função P.

8≤≤ t )

(Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa. O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Analisando o gráfico,

( ) 10 foi o único ano em que ela foi deficitária. o ano de maior lucro.

10

y b) y c) y ● 8

1 0 2 x -2 0 x

-2 ●

2,7] D=]-2,1/2] IM=[-2,8[

c) y

o x o x o

) O preço de uma certa máquina nova é R$10.000,00. Admitindo-se que ela tenha sido projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo,

após t anos de funcionamento, 80 ≤≤ t ,

(Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa

O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Analisando o gráfico,


( ) 25 foi um ano deficitário.( ) 15 foi um ano de lucro.( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano 15.

20) (Ufmg) Observe a figura.

Nessa figura, está representado oSendo g(x) = 1 - f(x), a única alternativa FALSA sobre a função g éa) g(x) = 0 para todo x ≤0. b) g(1) = 1. c) g(x) ≤ g(1) para todo x.d) g(a) < g(b) se 1 < a < b. e) não existe a ∈ lR tal que g(x) 21) (Ufpe) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de três anos.

O nível de 40 m foi atingido quantas vezes neste pera) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


( ) 25 foi um ano deficitário. ( ) 15 foi um ano de lucro. ( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano 15.

Resp: F V F F V (Ufmg) Observe a figura.

Nessa figura, está representado o gráfico de y = f(x). f(x), a única alternativa FALSA sobre a função g é

g(1) para todo x.

lR tal que g(x) ≥ g(a) para todo x real. Resp: d

(Ufpe) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao

O nível de 40 m foi atingido quantas vezes neste período?

e) 5 Resp: b

11

( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano 15.

(Ufpe) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao


22) (Pucmg) Dos gráficos, o único que representa uma função de domínio }11/{ ≤≤−ℜ∈ xx e imagem {

8. (Uel) Seja f a função de lR em lR definida por

>≤<≤+

=1 xse ,

10 se 1,

0 xse 1,x-

f(x)

x

x

O conjunto imagem de f é a) ]-∞ , 0] b) [1, + ∞ [ 23) (Ufrrj) No gráfico a seguir, a imagem do

a) [1/2, 1[ U ]-2, 1] b) (1/2, 1] U [e) [-1, 1/2] U [1, 2]. Resp: d 24) (Uff) O gráfico da função f está representado na figura:


(Pucmg) Dos gráficos, o único que representa uma função de domínio e imagem { }31/{ ≤≤ℜ∈ yy .

8. (Uel) Seja f a função de lR em lR definida por

c) ]0, 1[ d) [0, +∞ [ e) lR Resp: b

(Ufrrj) No gráfico a seguir, a imagem do intervalo [-1,2[ é:

2, 1] b) (1/2, 1] U [-2, 1[ c) [-1/2, 1] U ]1, 2[ d) [-1, 1/2] U ]1, 2[ Resp: d

(Uff) O gráfico da função f está representado na figura:

12

(Pucmg) Dos gráficos, o único que representa uma função de domínio

1, 1/2] U ]1, 2[

Resp: d


Sobre a função f é FALSO afirmar que: a) f(1) + f(2) = f(3) b) f(2) = f(7) c) f(3) = 3f(1) d) f(4) - f(3) = f(1) e) f(2) + f(3) = f(5) Resp: e

Bibliografia: Curso de Matemática – Volume Único Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD Contexto&Aplicações – Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática

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