Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA –PDE/2013

Título: Geometria da superfície esférica: um exemplo de geometria não-euclidiana para alunos do Ensino Médio.

Autor Joana Dark Mariano de Souza

Disciplina/Área (ingresso no PDE)

Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual José de Anchieta – EFMNP

Rua: Generoso Karpinski, nº 1345 - Centro

Santa Maria do Oeste – PR

Município da escola Santa Maria do Oeste

Núcleo Regional de Educação

Pitanga

Professor Orientador

Dirceu Pereira da Silva

Instituição de Ensino Superior

UNICENTRO

Relação Interdisciplinar

Geografia e Física

Resumo

O tema de estudo escolhido, “Noções Básicas de Geometrias Não-euclidianas”, justifica-se pela necessidade de se proporcionar atividades práticas que auxiliem os professores na inserção desse conteúdo no Ensino Médio. Percebe-se que a ausência de conceitos de Geometrias Não-euclidianas nos livros didáticos e a falta de formação continuada para os professores da Rede Estadual, contribuem para que essas geometrias passem como despercebidas nos conteúdos de Matemática por boa parte dos professores. Pretende-se desenvolver, nas aulas de Matemática do 1º ano do Ensino Médio, um conjunto de atividades teóricas e práticas que abordem sobre o tema Noções Básicas de Geometrias Não-euclidianas, principalmente da Geometria da Superfície Esférica. Contudo, sabe-se que a criação das Geometrias Não-euclidianas rompeu com hábitos do pensamento secular,

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a Geometria Euclidiana, causando um tumulto na comunidade científica da época, rompendo com a “verdade absoluta” dos moldes tradicionais da matemática, e estas surgiram na tentativa de se provar o 5º Postulado de Euclides. Por isso, espera-se que com o estudo das Geometrias Não-euclidianas, o aluno possa ampliar o conhecimento geométrico e sua visão de mundo, compreendendo e percebendo que existem outras geometrias tão consistentes quanto a euclidiana, e que esta não é única e sua aplicação dependerá do objetivo a que se destina.

Palavras-chaves Geometria; Geometrias Não-euclidianas; Geometria da Superfície Esférica; Interdisciplinaridade

Formato do Material Didático

Unidade Didática

Público Alvo 1º ano do Ensino Médio

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Secretaria de Estado da Educação – SEED

Superintendência da Educação – SUED

Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE

Equipe Pedagógica do PDE

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA PDE 2013 / 2014

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO Professora PDE: Joana Dark Mariano de Souza

Área: Matemática

NRE: Pitanga

Professor Orientador IES: Dirceu Pereira da Silva

Professora Coorientadora: Karolina Barone Ribeiro da Silva

IES: Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO

Escola de Implementação: Colégio Estadual José de Anchieta – EFMNP

Público Objeto da Intervenção: Alunos do 1º ano do Ensino Médio

Assunto: Geometria da superfície esférica: um exemplo de geometria não-euclidiana para alunos do Ensino Médio.

UNIDADE DIDÁTICA Conteúdo Estruturante: Geometrias

Conteúdo Específico: Noções Básicas de Geometrias Não-euclidianas – Geometria

da Superfície Esférica

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APRESENTAÇÃO A Produção Didático-pedagógica tem como proposta de trabalho o tema

Noções de Geometrias Não-euclidianas - Geometria da superfície esférica: um

exemplo de geometria não-euclidiana para alunos do Ensino Médio. Esta é

resultado do projeto de pesquisa desenvolvido no PDE – PROGRAMA DE

DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL, da Secretaria do Estado da Educação do

Paraná, que compreende o período 2013/2014, em parceria com a Universidade

Estadual do Paraná do Centro-Oeste – UNICENTRO/Guarapuava.

O tema de estudo escolhido, “Noções Básicas de Geometrias Não-

euclidianas”, justifica-se pela necessidade de proporcionar atividades práticas que

auxiliem os professores na inserção deste conteúdo no Ensino Médio, uma vez que

muitos problemas do cotidiano e do mundo científico, só são resolvidos através das

Geometrias Não-euclidianas. Exemplo disso são os estudos que resultaram na

Teoria da Relatividade.

A ausência de conceitos de Geometrias Não-euclidianas nos livros didáticos

do Ensino Médio e a falta de formação continuada para os professores da Rede

Estadual contribuem para que essas geometrias passem como despercebidas nos

conteúdos de Matemática por boa parte dos professores.

A proposta é mostrar que essa geometria é acessível de ser incluída nos

encaminhamentos metodológicos das aulas de Matemática das escolas públicas,

para que o aluno perceba que é uma geometria muito presente em nosso cotidiano.

O desenvolvimento das Geometrias Não-euclidianas libertou a Geometria dos

moldes tradicionais, rompendo com um hábito de pensamento secular, da Geometria

Euclidiana. Com isso, houve um grande avanço na Matemática como um todo,

despontando assim, como uma criação arbitrária do espírito humano e não como

algo necessariamente ditado a nós pelo mundo em que vivemos. Nas palavras de

Georg Cantor (apud EVES, 1995, p. 545) “A essência da matemática está em sua

liberdade”.

Sabemos que a Geometria de Euclides foi considerada como única por cerca

de dois mil anos, porém alguns renomados matemáticos, pós Euclides, na tentativa

de provar o 5º postulado perceberam que este era independente dos quatros

anteriores e substituindo-o, desenvolveram novas geometrias, tão válidas e

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consistentes quanto a Euclidiana.

Há vários tipos de Geometrias Não-euclidianas, a Geometria dos Fractais;

Geometria Projetiva; Geometria Topológica; Geometria do Táxi. Mas os dois tipos

clássicos são: a Geometria Hiperbólica, de Lobachevsky e a Geometria da

Superfície Esférica, caso particular da geometria estudada por Riemann, Geometria

Elíptica.

Sabe-se que a realidade nos mostra que vivemos num mundo não-euclidiano,

devido à curvatura da Terra as retas traçadas nesta superfície, não são retas

euclidianas e sim curvas. Por isso dá-se a importância de proporcionar ao educando

o conhecimento de outras geometrias, principalmente da Geometria Esférica por

fazer parte das nossas experiências diárias. Acredita-se, então, que deveria

oportunizar ao educando o estudo da Geometria Euclidiana e Não-euclidiana

simultaneamente, para que o mesmo perceba as diferenças entre elas e suas

aplicações.

Pretende-se com o estudo da Geometria Esférica, fazer uma relação com

outras áreas do conhecimento, como a Física e a Geografia.

Espera-se que com o estudo das Geometrias Não-euclidianas, o aluno possa

ampliar o conhecimento geométrico e sua visão de mundo. Com isso, compreender

que existem outras geometrias tão consistentes quanto a euclidiana, percebendo

que esta não é única e sua aplicação dependerá do objetivoa que se destina.

A intervenção pedagógica será realizada com alunos do 1º ano do Ensino

Médio do Colégio Estadual José de Anchieta - EFMNP, município de Santa Maria do

Oeste, no primeiro semestre de 2014.

Para desenvolver o tema, “Noções Básicas de Geometrias Não-euclidianas,

principalmente da Geometria da Superfície Esférica”, pretende-se fazer uso de

algumas tendências metodológicas, principalmente, da História da Matemática,

Resolução de Problemas e Investigações Matemáticas.

O conjunto de atividades desta produção didático-pedagógica será

desenvolvido nas aulas de Matemática, através de vídeos, slides, pesquisas e em

trabalhos de grupos de no máximo quatro alunos (as), por meio de atividades

teóricas e práticas, com o uso de materiais manipuláveis. Possibilitando ao

educando perceber a evolução histórica da ciência; diferenciar conceitos da

geometria euclidiana com os da geometria da superfície esférica, utilizando materiais

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manipuláveis, como: bolas de isopor, fitas adesivas, canetinhas coloridas,

linhas/barbantes, alfinetes, mapa-múndi, globo terrestre, compasso, régua, tesoura,

entre outros. E por fim, pretende-se fazer uma exposição dos materiais construídos

e dos conhecimentos adquiridos para algumas turmas do Ensino Médio ou na Feira

do Conhecimento da Escola.

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ATIVIDADE 1

Conteúdo: Introdução e apresentação do tema de estudo

Objetivos específicos:

- Motivar e incentivar os alunos (as) para a aprendizagem de um novo conceito –

Geometrias Não-euclidianas / Geometria da Superfície Esférica;

- Explorar as concepções espontâneas a respeito de alguns conceitos de Geometria

Euclidiana;

Apresentação do projeto para a turma de implementação

Conversa com os alunos sobre o que é o PDE, sobre o objetivo de

desenvolver o projeto, o que é o material didático, e o porquê da pesquisa (neste

momento não aprofundar sobre o tema com o objetivo de não interferir na pesquisa).

Será aplicada uma Avaliação – Pré-teste antes de iniciar com as atividades

desta Produção Didático-pedagógica, para verificar os conhecimentos adquiridos

sobre Geometria Euclidiana, até então, e possíveis conhecimentos das Geometrias

Não-euclidianas. E após o término do trabalho desenvolvido nesta produção,

aplicaremos a Avaliação – Pós-teste para comprovação da aprendizagem dos

alunos. (Avaliação – Pré-teste e Pós-teste, anexo).

O que é Pré-teste e Pós-teste?

Segundo o documento, “Orientações para Pré e Pós-teste – Guiões de

Implementação Técnica da I-Tech”, o Pré e Pós-teste são utilizados para medir o

conhecimento adquirido pelos participantes numa formação. Tanto o Pré-teste como

o Pós-teste são um conjunto de perguntas feitas aos participantes antes e após a

formação, com a finalidade de determinar o seu nível de conhecimento sobre o

conteúdo. O Pós-teste poderá ser elaborado contendo as mesmas perguntas do Pré-

teste ou com perguntas que tenham o mesmo nível de conhecimento e dificuldade.

Através da comparação das notas do pré-teste com as do pós-teste, será possível

determinar se o conteúdo trabalhado foi assimilado pela turma, e com isso o

professor poderá intervir para melhorar a prática pedagógica e o processo de

ensino-aprendizagem.

(Fonte: http://www.go2itech.org/resources/technical-implementation-

guides/2.TIG_Pre_Pos_Teste_A4.pdf)

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METODOLOGIA

Após essa primeira conversa sobre o PDE e a realização do Pré-teste,

trabalharemos com slides de introdução, motivação ao tema de estudo e faremos o

debate.

Abordaremos o tema Geometrias Não-euclidianas e com isso buscaremos as

concepções espontâneas dos alunos a respeito de alguns conceitos da Geometria

Euclidiana, como: ponto, reta e plano, ou seja, faremos uma breve revisão de alguns

conceitos da Geometria Plana, através de perguntas e respostas dadas pelos alunos

e representações por eles no quadro de giz. Com isso, formularemos os conceitos

principais da Geometria Euclidiana.

Materiais didático-pedagógicos necessários: slides, quadro de giz, esfera

de isopor, fitas adesivas coloridas e/ou canetinhas.

Definições de ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana, adaptadas de

Marchesi Júnior (1997) e Dolce e Pompeu (1997):

O ponto, a linha e o plano são entes geométricos intuitivos, não possuem definição

geométrica.

Ponto geométrico: Não possui formato nem dimensão. Pode ser

representado por um simples toque de lápis ou pela intersecção de dois

traços. São identificados por letras latinas maiúsculas, A, B etc..

Linha: É a trajetória definida por m ponto em movimento no espaço. A linha

pode ser classificada de duas maneiras:

Quanto à sua forma ou formato: reta ou retilínea; curva ou curvilínea;

quebrada ou poligonal; mista ou mistilínea.

Quanto ao traçado: cheia ou contínua; pontilhada; tracejada; traço e

ponto.

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Reta: É a linha que possui uma única direção, é formada por infinitos pontos

distintos e alinhados, sendo ilimitada nos dois sentidos de crescimento. A reta

pode ser identificada por uma letra latina minúscula, a, b etc., ou por AB.

Quanto à posição uma reta pode ser: horizontal, vertical e inclinada.

Segmento de reta: Dados dois pontos distintos, segmento de reta é a

reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que

estão entre eles. Representação: AB.

Semirreta: Dados dois pontos A e B, semirreta é a reunião do segmento de

reta AB com um conjunto dos pontos X tais que B está entre os pontos A e X.

Representação: AB , A é a origem.

Reta-suporte: É a reta que contém o segmento de reta.

Plano: O plano é infinito e são representados por letras minúsculas do

alfabeto grego: α, β, У etc.

Uma figura só está contida num plano se todos os seus pontos são pontos desse

plano. Ex: se colocarmos um lápis sobre uma folha de papel e nela fizermos uma

linha l, a linha l está contida no plano α; já o lápis não está contido, pois nem todos

os seus pontos tocam o plano. (Observação: a folha de papel não é um plano e sim

apenas a representação de um, já que é uma figura limitada e com espessura, a

superfície de cima ou de baixo da folha de papel dá a ideia de plano.A folha de

papel está contida em um plano, que existe apenas em nossa imaginação).

Fonte: MARCHESI JÚNIOR, I. Desenho Geométrico. 11ª ed. São Paulo: Editora Ática, 1997. V. 1. DOLCE, O.; POMPEU, J. N. Fundamentos da Matemática elementar: geometria plana. V. 9. 7ª ed. São Paulo: Atual, 1997.

ATIVIDADES EM GRUPOS

As próximas atividades serão realizadas por grupos de no máximo quatro

alunos (as).

Após os grupos se organizarem, apresentaremos a seguinte situação-

problema, adaptada de Silva (2011):

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Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador andou 10

quilômetros para o sul, 10 quilômetros para o leste e 10 quilômetros

para o norte, voltando ao ponto de partida. Ali encontrou um urso.

De que cor era o urso?

a) Em uma folha de papel, represente a trajetória do caçador e identifique a

figura formada.

b) De acordo com a história acima, é possível o caçador voltar ao ponto de

partida? Escreva suas conclusões.

Mensagem ao professor: Cada grupo deverá apresentar a resolução, primeiramente numa

folha de papel, ou seja, no plano euclidiano. Espera-se que entendam que no plano é

impossível o caçador voltar ao ponto de partida, portanto, não há solução.

c) Agora de posse de uma bola de isopor e fitas adesivas coloridas,

represente o trajeto do caçador.

d) Analisando o desenho do trajeto do caçador na bola de isopor, é possível

voltar ao ponto de partida? Escreva suas conclusões.

Mensagem ao professor: Espera-se que os alunos percebam que estamos tratando de

uma superfície esférica, que o caçador partiu do Polo Norte, portanto o urso é branco e o

trajeto formado pelo caçador é um triângulo esférico. Contudo, através da Geometria

Euclidiana não se consegue a resolução correta deste problema e para isso precisamos

recorrer a outras geometrias.

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ATIVIDADE 2

Conteúdo: PESQUISA / SEMINÁRIO

Objetivos específicos:

- Incentivar a pesquisa e apresentação do seminário sobre o tema de estudo;

- Buscar e adquirir, através da pesquisa, conhecimentos básicos sobre as

Geometrias Não-euclidianas.

MÉTODOS E ESTRATÉGIAS DE ESTUDO E APRENDIZAGEM

SEMINÁRIOS

Segundo Barros (2007, p. 25), o seminário é um procedimento metodológico

que supõe o uso de técnicas (uma dinâmica de grupos) para o estudo e pesquisa em

grupo sobre um assunto predeterminado, com o objetivo principal de: leitura, análise

e interpretação de textos e dados sobre apresentação de fenômenos vistos sob o

ângulo das expressões científicas, analíticas, reflexivas e críticas, visando a

estabelecer um processo de ensino-aprendizagem eficaz, com bons resultados em

termos de entendimento e interpretação de temáticas.

Ele pode ser apresentado através de mesa-redonda. Para isso, é importante

que todos os participantes estejam bem preparados sobre o assunto.

Alguns passos para o desenvolvimento de um seminário, segundo Barros:

a) Determinar um problema a ser trabalhado;

b) Definir a origem do problema e da hipótese;

c) Estabelecer o tema;

d) Compreender e explicitar o tema-problema;

e) Dedicar-se à elaboração de um plano de investigação;

f) Definir fontes bibliográficas, observando alguns critérios;

g) Providenciar documentação e crítica bibliográfica;

h) Realizar a pesquisa;

i) Elaborar um texto-roteiro didático, bibliográfico ou interpretativo.

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Após a leitura e elaboração do texto-roteiro feito por todos os grupos, formar-

se-á um plenário, com a apresentação das conclusões dos grupos feitas por um

relator de cada grupo.

Todo tema de um seminário precisa conter, em termos de roteiro, as seguintes

partes:

Introdução ao tema;

Desenvolvimento;

Conclusão.

“Os seminários são instrumentos importantes e valiosos para dinamizar o

processo de aprendizagem, desde que não sejam vistos como única alternativa

didático-pedagógica”. (BARROS, 2007, p. 26)

Preparação do Seminário

Tarefa de pesquisa, em grupos, para casa:

Leiam o texto abaixo – Um pouco da história: Da Geometria de Euclides às

Geometrias Não-Euclidianas

PARA SABER MAIS...

UM POUCO DA HISTÓRIA

DA GEOMETRIA DE EUCLIDES ÀS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS

Segundo o historiador grego Heródoto (séc. V a.C), a geometria nasceu

provavelmente no antigo Egito, das medições da terra necessárias devido às

inundações periódicas do rio Nilo, e foi rapidamente alargada à agrimensura e à

navegação, mas é certo que muitas outras civilizações antigas possuíam

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conhecimentos de natureza geométrica. (PRESTES, 2006)

A palavra “geometria” deriva do grego – geo: Terra e metria: medida, portanto

significa “medição da Terra”.

Dos primeiros matemáticos que contribuíram para a origem da geometria

pouco se sabe, tem-se referências de Tales de Mileto e de Pitágoras de Samos

entre outros. (Ibidem, 2006)

Outro matemático importante para o desenvolvimento

da Geometria foi, sem dúvida, Euclides de Alexandria.

Eves (1995, p. 167), argumenta que muito pouco se

sabe sobre a vida de Euclides, provavelmente viveu em

Alexandria por volta de 300 a.C. e foi criador da famosa

Escola de Matemática de Alexandria da qual, sem dúvida

foi professor.

A obra mais famosa de Euclides foi “Os Elementos”,

que com exceção da Bíblia, nenhum trabalho foi tão

largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum

exerceu influência maior no pensamento científico. Mais de mil edições impressas

dos Elementos já apareceram desde a primeira delas em 1482 e por mais de dois

milênios, esse trabalho dominou o ensino de geometria. (EVES, 1995, p.167- 168).

Trata-se de uma coletânea de 13 livros, reunindo quase todo o conhecimento

matemático da época em que foi escrita e de grande valor histórico.A obra trata de

geometria, aritmética e álgebra. Esta obra é considerada, até os dias atuais, como a

tentativa mais bem sucedida de sistematização dos conhecimentos geométricos.

Vamos nos ater ao que interessa ao nosso tema de estudo. No Livro I,

encontram-se os cinco postulados de Euclides, que aqui não estão exatamente

como ele formulou, mas mais próximo da linguagem de hoje:

Postulados:

1. Dois pontos determinam uma reta.

2. A partir de qualquer ponto de uma reta é possível marcar um segmento de

comprimento arbitrário.

3. É sempre possível traçar um círculo com centro e raio arbitrários.

4. Todos os ângulos retos são iguais.

5. Dadas três retas r, s e t num mesmo plano, se r encontra s e t de forma que a

http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRWrkJcCNFy1Q524JnJkBqgpl8K03tYODLkrq3FmJOQ2gwRsE55

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soma dos ângulos interiores de um mesmo lado de r seja menor que dois

ângulos retos, então as retas s e t, quando prolongadas indefinidamente, se

encontram do mesmo lado de r em que estão os referidos ângulos interiores.

(ÁVILA, 2010, p. 61)

Porém, o quinto postulado, conhecido como “postulado das paralelas”, foi

objeto de infrutíferas tentativas de demonstração, desde a Antiguidade até início do

século XIX, o que teve como consequência o desenvolvimento das geometrias não-

euclidianas.

Ainda no início do século XIX, matemáticos tentavam provar o quinto

postulado de Euclides. Esforços estes, que fizeram com que entendessem mais

profundamente a Geometria Euclidiana e “descobrissem” a Geometria Não-

euclidiana. Foram eles: Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nicolai Ivanovich

Lobachevsky (1793-1856), Johann Bolyai (1802-1860) e Georg Friedrich Bernhard

Riemann (1826-1866).

O desenvolvimento das Geometrias Não-euclidianas rompeu com hábitos do

pensamento secular, a Geometria Euclidiana, causando um tumulto na comunidade

científica da época, rompendo com a “verdade absoluta” dos moldes tradicionais da

Matemática.

Provavelmente Gauss (1777-1855), tenha sido o

primeiro a alcançar conclusões sobre conceitos dessa nova

geometria, mas como não publicou nada sobre essa

descoberta, devido às ideias dominantes da época, teve que

dividir a honra da “descoberta” das Geometrias Não-

euclidianas com Bolyai e Lobachevsky.

O húngaro Bolyai (1802-1860), publicou suas primeiras

descobertas em 1832, mais tarde ficou sabendo que o russo

Lobachevsky também tinha publicado descobertas semelhantes

em 1829-1830, porém devido às barreiras da língua e a lentidão

com que as informações se propagavam na época, seu trabalho

permaneceu ignorado na Europa Ocidental, por vários anos.

http://www.santarita.g12.br/matematicos/gm1/Bolyai.jpg

http://thumbs.dreamstime.com/z/carl-gauss-20464951.jpg

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Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (1793-1856), passou a maior parte de sua

vida na Universidade de Kazan, Rússia, como aluno, depois atuou como professor

de matemática e como reitor. Em 1829-1830, publicou seu

primeiro artigo sobre Geometria Não-euclidiana no Kasan

Bulletin, dois ou três anos antes de o trabalho de Bolyai

aparecer impresso. Como foi escrito em russo, não obteve

muita atenção em outros lugares, nem mesmo na própria

Rússia. Seus esforços na expectativa de alcançar um público

maior, fez com que ele publicasse, em 1840, um pequeno livro

em alemão e mais tarde, em 1855, um ano antes da sua morte

e algum tempo depois de ficar cego, publicou uma abordagem final, mais

condensada, em francês. Infelizmente Lobachevsky não viveu o suficiente para ver

seu trabalho reconhecido. Hoje a geometria desenvolvida por ele, é também

chamada de geometria de Lobachevsky ou Geometria Hiperbólica.

Em 1854, o alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-

1866), apresentou uma visão global da geometria, em espaços

de dimensão qualquer.

Um geômetra que foi o primeiro tradutor da dissertação de

Riemann para o inglês, William Clifford (1845-1879), percebeu

o potencial da geometria riemanniana para descrever

fenômenos físicos, o que mais tarde foi confirmado por

Einstein (1879-1955), que percebeu na geometria de Riemann

a linguagem matemática para expressar suas ideias (SILVA,

2011, p. 17).

O desenvolvimento das Geometrias Não-euclidianas libertou a

geometria dos moldes tradicionais, rompendo com um hábito de pensamento

secular, da Geometria Euclidiana. Com isso, houve um grande avanço na

matemática como um todo, despontando assim, como uma criação arbitrária do

espírito humano e não como algo necessariamente ditado a nós pelo mundo em

que vivemos. Nas palavras de Georg Cantor (apud EVES, 1995, p. 545): “A

essência da matemática está em sua liberdade”.

http://www.profcardy.com/matematicos/bLobachevsky.jpg

http://cdn1.thefamouspeople.com/profiles/images/bernhard-riemann-biography.jpg

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Geometria da Superfície Esférica

“Aprender uma nova Geometria não significa deixar de ensinar a Geometria

Euclidiana, ao contrário, significa resgatá-la, para apreensão de conceitos em

Geometria Esférica” (ANDRADE, 2011).

Sabemos que a Geometria de Euclides foi considerada como única por cerca

de dois mil anos, porém alguns renomados matemáticos, pós Euclides, na tentativa

de provar o 5º postulado perceberam que este era independente dos quatros

anteriores e substituindo-o, desenvolveram novas geometrias, tão válidas e

consistentes quanto a Euclidiana.

Pataki (2011), afirma que:

As Geometrias de LOBACHEWSKI-BOLYAI e RIEMANN são fundamentais para os estudos que envolvem grandes distâncias. São de grande utilidade, entre outros campos, para a Física atômica, à Óptica, à Teoria Geral de propagação de ondas, às distâncias estelares, às velocidades superiores àquelas imperceptíveis aos nossos sentidos e à Análise Matemática.

Percebe-se então que tanto a Geometria Euclidiana quanto as Não-

euclidianas têm suas importâncias no mundo físico e só se distinguem pela

aplicação que elas nos proporcionam. A Geometria Euclidiana é a que está mais

enraizada nas nossas concepções e é a mais apropriada para pequenas distâncias.

Há vários tipos de Geometrias Não-euclidianas, a Geometria dos Fractais

(bloco de neve e a curva de Koch; triângulo e tapete de Sierpinski); Geometria

Projetiva (estudo dos pontos de fuga e linhas do horizonte); Geometria Topológica

(conceitos de interior, exterior, fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos

abertos e fechados). E alguns autores, como Krause (1975), Kaleff e Nascimento

(2004), Miranda (2005), Noronha (2006) também chamam de geometria-não

euclidiana, a Geometria do Táxi, que utiliza como espaço uma malha quadriculada,

modelando os quarteirões de uma cidade, onde as ruas são segmentos horizontais

e verticais. (SILVA, 2011, p. 19)

Mas os dois tipos clássicos são: a Geometria Hiperbólica, de Lobachevsky e

a Geometria da superfície esférica (muitas vezes chamada de geometria elíptica),

caso particular da geometria estudada por Riemann. E esse dois tipos clássicos, se

diferenciam devido à substituição que se faz do postulado das paralelas.

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Conforme Coutinho (2001), na Geometria Hiperbólica, o Postulado de

Euclides é substituído pela afirmação, “por um ponto dado P, fora de uma reta r,

existe mais de uma paralela a esta reta r, enquanto que na Geometria Elíptica, não

existe nenhuma reta paralela”.

Para que possamos visualizar melhor os conceitos, usam-se superfícies

como modelos para tais geometrias.

Silva (2011), argumenta que:

O primeiro modelo matemático para a geometria não euclidiana foi exibido pelo matemático italiano Eugênio Beltrami (1835-1900). Trata-se de uma superfície de curvatura negativa denominada pseudoesfera, que ilustra as ideias desenvolvidas por Lobachevski. (SILVA, 2011, p. 17)

Para entender o conceito de curvatura, basta

perceber que um plano euclidiano tem curvatura zero,

uma superfície como a de uma esfera ou de um elipsóide

(“ovo”) tem curvatura positiva – Geometria Elíptica, e uma

superfície em forma de sela ou a pseudoesfera são

consideradas como de curvatura negativa – Geometria

Hiperbólica. Figura 01

A Geometria de Riemann, ou Geometria Elíptica,

interpreta o plano como a superfície de uma esfera e uma reta

como uma circunferência máxima dessa esfera.

Figura 02

A Geometria Esférica é muito utilizada nas navegações marítimas e no

espaço aéreo.

Referências:

ANDRADE, Maria L. T.; SILVA, Maria J. F. Geometria Esférica: Uma sequência didática para a aprendizagem de conceitos elementares no Ensino Básico. São Paulo, 2011. 120 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Disponível em: http://www.pucsp.br/edmat/ma/dissertacao/maria_lucia_torelli.pdf. Acesso em 02/04/2013. ÁVILA, G. S. S. Várias Faces da Matemática: tópicos para licenciatura e leitura em geral. 2ª ed. São Paulo: Blucher, 2010. COUTINHO, L. Convite às Geometrias Não-euclidianas. 2ª ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2001.

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EVES, H. Introdução à História da Matemática. São Paulo: Editora da UNICAMP, 1995. PATAKI, I. Geometria esférica para a formação de professores: uma proposta interdisciplinar. São Paulo, 2003. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica, São Paulo. PRESTES, I. C. R.; BONGIOVANNI, V. Geometria Esférica: Uma conexão com a Geografia. São Paulo, 2006. 210 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Disponível em: http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=34157. Acesso em: 01/08/2013. SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. 1ª ed. Curitiba, PR: CRV, 2011.

Respondam, em forma de texto:

- Quem foi Euclides de Alexandria? E qual é a sua obra mais famosa?

- Onde se localiza hoje a cidade de Alexandria?

- O que é um postulado? Quais são os cinco Postulados de Euclides?

- Como vimos, o descobrimento das Geometrias Não-euclidianas surgiu na tentativa

de se provar o 5º postulado de Euclides. Mas, você sabe a diferença entre

definições, axiomas, postulados e teoremas? Pesquise em dicionário e internet.

- O que são Geometrias Não-euclidianas?

- Quais os dois tipos clássicos das Geometrias Não-euclidianas e quem são seus

desenvolvedores? Escreva uma breve biografia de cada um.

Fontes de pesquisa:

ANDRADE, Maria L. T.; SILVA, Maria J. F. Geometria Esférica: Uma sequência didática para a aprendizagem de conceitos elementares no Ensino Básico. São Paulo, 2011. 120 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Disponível em:

19

http://www.pucsp.br/edmat/ma/dissertacao/maria_lucia_torelli.pdf. Acesso em 02/04/2013. EVES, H. Introdução à História da Matemática. São Paulo: Editora da UNICAMP, 1995. SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. 1ª ed. Curitiba, PR: CRV, 2011.

ON – Observatório Nacional. A Geometria dos Espaços Curvos ou Geometria Não-euclidiana. Disponível em: http://www.miniweb.com.br/ciencias/artigos/a_geometria_dos_espacos_curvos.pdf. Acesso em: 15/07/2013.

Observação: A apresentação do seminário será feita por um ou dois representantes

de cada grupo, da maneira que cada grupo julgar necessário (slides, cartazes,

explanação). Após a apresentação cada grupo entregará para o professor o material

da pesquisa.

Mensagem ao professor: Neste momento, o professor fará um breve relato do surgimento

das Geometrias Não-euclidianas, através de slides, reforçando as apresentações feitas

pelos alunos, apresentará também, em slides, fichas contendo as definições, os axiomas e

os postulados, descritos por Euclides, para que os alunos percebam a linguagem e

observem as diferenças entre eles.

A obra “Os Elementos”, de Euclides, é considerada até os dias atuais, como a

tentativa mais bem sucedida de sistematização dos conhecimentos geométricos. A

obra de Euclides - “Os Elementos”, contêm 118 definições, 12 axiomas, 05

postulados e 467 teoremas. Mas aqui, vamos apresentar alguns deles.

20

DEFINIÇÕES DE EUCLIDES

• Um ponto é aquilo de nada é parte.

• E linha é comprimento sem largura. As extremidades da linha são pontos.

• Linha reta é a que jaz, por igual, com seus pontos sobre si mesma.

• E superfície é o que tem, somente, comprimento e largura. As extremidades de

uma superfície são linhas.

AXIOMAS DE EUCLIDES

1º) As coisas iguais à mesma coisa também são iguais entre si.

2º) E, caso coisas sejam adicionadas a coisas iguais, os todos são iguais.

3º) E, caso coisas iguais sejam subtraídas de coisas iguais, as restantes são iguais.

4º) E, caso coisas iguais sejam adicionadas a desiguais, os todos são desiguais.

5º) E, os dobros da mesma coisa são iguais entre si.

6º) Também as metades da mesma coisa são iguais entre si.

7º) E as coisas que se ajustam uma sobre a outra são iguais entre si.

8º) E o todo é maior do que a parte.

9º) E, duas retas não contêm uma área.

POSTULADOS DE EUCLIDES

1º) De qualquer ponto pode-se conduzir uma reta a qualquer ponto dado.

2º) Toda reta limitada pode ser prolongada indefinidamente em linha reta.

3º) Com qualquer centro e qualquer raio pode-se descrever um círculo.

4º) Todos ângulos retos são iguais.

5º) Se uma reta, cortando duas outras, forma ângulos interiores de um mesmo lado

menores que dois ângulos retos, então as duas retas, se prolongadas

indefinidamente, encontrar-se-ão na parte em que os ângulos são menores que dois

retos.

21

Abaixo estão os cinco postulados de Euclides numa linguagem mais próxima da de

hoje.

Postulados:

1. Dois pontos determinam uma reta.

2. A partir de qualquer ponto de uma reta é possível marcar um segmento de

comprimento arbitrário.

3. É sempre possível traçar um círculo com centro e raio arbitrários.

4. Todos os ângulos retos são iguais.

5. Dadas três retas r, s e t num mesmo plano, se r encontra s e t de forma que a

soma dos ângulos interiores de um mesmo lado de r seja menor que dois ângulos

retos, então as retas s e t, quando prolongadas indefinidamente, se encontram do

mesmo lado de r em que estão os referidos ângulos interiores. (ÁVILA, 2010, p. 61)

MENSAGEM AO PROFESSOR

Pretende-se, através dessa atividade, fazer com que os alunos percebam que as

definições, na visão de Euclides, não têm rigor lógicoe são, na verdade, conceitos.Os

axiomas referem-se às noções mais generalizadas da Matemática, sendo comuns a todos

os campos de estudo. Enquanto que os postulados, fazem referência a conceitos

específicos da Geometria.

Os axiomas e os postulados são afirmações evidentes, aceitas sem demonstração e

formam a base da geometria, pois a partir deles todas as outras propriedades são

demonstradas. Por sua vez, os teoremas precisam ser demonstrados e provados para se ter

validade.

Pergunta-se: alguém se lembra de algum teorema?

Nesse momento o professor deverá fazer com que os alunos percebam que o quinto

postulado gerou dúvidas da sua veracidade, até mesmo no tempo de Euclides, e por muitos

séculos vários matemáticos tentaram demonstrá-lo. E foi através disso, que surgiram as

Geometrias Não-euclidianas.

22

ATIVIDADE 3

Conteúdo: Geometria Esférica

Objetivos específicos:

- Apresentar uma Geometria não-Euclidiana;

- Apresentar a Geometria da Esfera;

- Diferenciar a Geometria Euclidiana das não-Euclidianas.

Interdisciplinaridade: Física e Geografia

Apresentação do vídeo: As aventuras de Radix: Geometria Esférica, disponível em:

http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1054.

Série: Matemática na escola

Projeto: Matemática Multimídia - UNICAMP

Duração: aproximadamente 10 min

Sobre a série:

A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio

através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série

usualmente são informativos e introdutórios de um assunto a ser estudado em sala

de aula. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao

conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações

interdisciplinares. (Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1054)

Sinopse do vídeo:

O programa aborda a geometria da Esfera, que é um exemplo de geometria não-

Euclidiana. Nelson, ao escrever mais uma das aventuras do super-herói Radix, se

depara com a seguinte pergunta: Como Radix poderá cumprir a missão de evitar o

desmatamento no Planeta Terra? Para terminar a aventura do Radix, o cartunista

Nelson pedirá ajuda ao seu amigo Mario, que trabalha na área de monitoramento

por satélite. (Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1054)

23

METODOLOGIA:

Sugestões do Guia do Professor: No momento em que o vídeo estiver em

torno dos 7 minutos, se o professor julgar conveniente, sugerimos parar o vídeo e

propor as seguintes questões aos alunos: Em qual geometria estão as naves do

super-herói Radix e do vilão Capitão Bum? O que poderia acontecer com as naves

do super-herói Radix e do vilão Capitão Bum ao serem lançadas no mesmo

momento e na mesma velocidade ao espaço?

Igualmente, quando o vídeo estiver em 8 min e 48 segundos, sugerimos que o

professor pare o vídeo e reforce a idéia com os alunos de que as naves do herói

Radix e do vilão Capitão Bum estão em uma geometria Esférica (superfície da

Terra), e, portanto o Nelson não poderia considerar o conceito da geometria

Euclidiana de que retas paralelas não se cortam.

Estas paradas podem ocorrer na primeira vez, ou se for apropriado na

segunda vez que o vídeo passar. Isto é, na primeira vez passar o vídeo sem

interrupção e depois voltar a estes momentos.

(Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1054)

Após a exibição do vídeo, o professor fará algumas perguntas aos alunos e

conferirá o entendimento dos conceitos a respeito da Geometria Esférica.

Interação com a disciplina de Física:

Leia o texto abaixo e responda às questões:

“Se, de uma certa altura, abandonarmos uma pedra, ela cairá em linha reta em

direção ao centro da Terra, atraída pela mesma força que mantém a atmosfera

presa à Terra. O trajeto realizado pela pedra indica o modo como o campo

gravitacional do planeta age sobre os corpos.

Quanto maior o planeta ou o satélite natural, maior é sua massa e, portanto, maior

a força gravitacional que ele exerce sobre os corpos. Se a gravidade da Terra

fosse pequena, o ar atmosférico não seria retido próximo à sua superfície. Da

24

mesma forma, as partículas de matéria que compõem o próprio planeta, ou

satélites como a Lua, também são atraídas para o seu centro.

No processo de formação das estrelas, planetas e satélites, a força gravitacional

atua de modo que atraia a matéria, provocando uma compactação e uma

aglomeração cada vez maiores.

Os corpos celestes apresentam, assim, uma forma geométrica esférica por causa

da interação gravitacional entre as partículas de matéria que os formam. Na

verdade, eles são ligeiramente achatados devido ao movimento de rotação, isto é,

pelo fato de girarem em torno de si mesmos”.

a) Qual é o principal conceito físico abordado no texto?

b) O que o texto pretende explicar?

c) Que argumentos são usados na explicação?

Fonte: GONÇALVES FILHO, A.; TOSCANO, C. Física e realidade: ensino médio física. V. 1. São Paulo: Scipione, 2010.

Os exercícios abaixo foram extraídos de MÁXIMO e ALVARENGA (2010, p. 206

e 212).

1) Para que você perceba como é pequena a força de atração gravitacional entre

dois objetos comuns, calcule a força com que se atraem duas pessoas: para

simplificar os cálculos, suponha que as massas dessas pessoas sejam

m = m = 100 kg, que a distância entre elas é r = 1m e que G= N. / .

Use a fórmula: F= G ( Lei da Gravitação Universal)

25

2) Como os corpos celestes têm massa enormes, a força gravitacional entre eles é

muito grande (embora a distância que os separa seja, também, muito grande). Para

você verificar isso, calcule o valor aproximado da força de atração entre a Terra e a

Lua considerando G= N. / , massa da Terra, M = kg, massa da

Lua M = kg e distância da Terra à Lua r = m.

3) As afirmativas seguintes costumam ser feitas por pessoas que não conhecem

muito bem as leis da Física. Apresente argumentos que mostrem que essas

afirmativas não são corretas.

a) “A força de atração da Terra sobre um satélite artificial é nula, porque eles estão

muito afastados de seu centro”.

b) “Um foguete não será mais atraído pela Terra quando ele chegar a regiões fora da

atmosfera terrestre”.

4) Explique por que um satélite artificial deve ser colocado em órbita em regiões fora

da atmosfera terrestre.

26

ATIVIDADE 4

Conteúdo: TRABALHANDO COM CONCEITOS DA GEOMETRIA ESFÉRICA

Objetivos específicos:

- Diferenciar esfera de superfície esférica;

- Definir ponto, reta, segmento de reta, ângulos na Geometria da Superfície Esférica;

- Diferenciar esses conceitos da Geometria Euclidiana;

- Perceber que alguns conceitos matemáticos são válidos na Geografia, ou seja,

fazer interdisciplinaridade com a disciplina de Geografia;

- Verificar a veracidade do V Postulado de Euclides para a Geometria da Superfície

Esférica.

Interdisciplinaridade: Geografia

METODOLOGIA:

Resolução das atividades em grupos formados com no máximo quatro

alunos(as).

Observação: Algumas atividades a seguir, bem como as respostas, foram

adaptadas e/ou extraídas de: SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não

euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. 1ª ed. Curitiba, PR:

CRV, 2011.

Materiais didático-pedagógicos necessários: bolinha de pingue-pongue,

bola de sinuca, mapa-múndi, globo terrestre, fita adesiva colorida, folha de papel,

lápis, régua, laranja, bolas de isopor, barbante/linha, alfinetes.

ATIVIDADES EM GRUPOS

1. A partir dos dois objetos – bolinha de pingue-pongue e bola de sinuca - que

vocês estão vendo e que podem manuseá-los, respondam:

27

a) Qual é a forma geométrica desses dois objetos?

b) Existe alguma diferença entre esses dois objetos? Em caso positivo, descreva.

c) Vocês conhecem outros objetos com esta forma geométrica? Quais?

2. De posse de um mapa-múndi e de um globo terrestre:

a) Localize a cidade de Alexandria com um lápis. Que figura geométrica você utilizou

para localizá-la? Esse conceito é o mesmo para a Geometria Euclidiana e Esférica?

b) Trace, nos dois objetos, utilizando fita adesiva colorida, a menor distância

(geométrica) entre dois pontos (por exemplo, Brasília e Alexandria) e compare as

representações. Represente em forma de desenho.

c) Em relação à distância entre dois pontos, no mundo real, quando a representação

plana é adequada? Quando a representação espacial é necessária?

d) Marquem dois pontos numa folha de papel, liguem esses pontos formando um

segmento de reta. Em seguida encurvem essa folha, essa linha continua ou não a

ser uma reta, sob dois pontos de vistas: 1) Se deslocando sobre ela; 2) Observando

a linha.

e) Se fatiássemos a esfera, o que encontraríamos? Se preferir utilize uma laranja e

observe. Represente e tire suas conclusões.

28

Mensagem ao professor:

Na atividade 1, adaptada de Marqueze, 2006, o objetivo é que o aluno diferencie esfera de

superfície esférica. A superfície esférica é uma espécie de “casca” que cobre a esfera,

enquanto que a esfera compreende o “miolo” mais a “casca”.

Na atividade 2, letra a, espera-se que o aluno perceba que quando localizamos uma cidade

no globo terrestre ou no mapa-múndi, representamos através de ponto, e que a definição de

ponto tanto na Geometria Euclidiana quanto nas Não-euclidianas / Geometria Esférica é a

mesma.

Em relação à resposta da letra b, o objetivo é que o aluno perceba que há duas

representações: plana e espacial. Na representação plana, a menor distância entre os dois

pontos é um segmento de reta. E na representação espacial, trata-se do menor arco de uma

das circunferências máximas da superfície esférica, que pode ser chamado de segmento

esférico.

Na letra c, espera-se que percebam que a Geometria Plana é a mais indicada para medir

pequenas distâncias, por exemplo, distância entre sua casa e escola, enquanto que, para

medir grandes distâncias, como, as rotas de navegações marítimas e as rotas de avião,

necessitam-se da Geometria Esférica.

Na questão d, o objetivo é que os alunos percebam que uma linha pode ser reta ou curva.

Quando essa linha não se desvia nem para a esquerda nem para a direita, dá a ideia de

reta, mesmo que a superfície seja encurvada. Exemplo: estrada retilínea em uma rodovia.

A resposta da letra e, espera-se que respondam que encontraríamos círculos menores e

círculo máximo.

Fonte: SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. 1ª ed.

Curitiba, PR: CRV, 2011.

29

Explicação de conceito de reta na Geometria Esférica:

Segundo Silva, 2011, p. 58, na superfície esférica, de acordo com as ideias de

Riemann, geodésicas são circunferências máximas (aquelas com o mesmo

diâmetro da esfera). Elas podem ser obtidas considerando a circunferência

correspondente à secção plana da esfera, que passa pelo seu centro.

As geodésicas são as “retas” da Geometria da Superfície Esférica.

Fonte: SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. 1ª ed.

Curitiba, PR: CRV, 2011.

3) Você conhece algum conceito da geografia que se relacione com geodésicas?

4) Utilizando uma bola de isopor e fita adesiva colorida ou barbante e alfinetes,

represente uma geodésica na superfície esférica e marque um ponto A nessa “reta”.

Imagine que você irá fazer uma caminhada sobre a fita adesiva ou barbante,

partindo do ponto A. O que ocorrerá após andar por um longo tempo? O mesmo

ocorreria na Geometria Euclidiana? Por quê? Represente através de um desenho e

tire suas conclusões.

5) Utilizem fitas adesivas de cores diferentes para representar duas retas distintas na

superfície esférica (lembrem-se que reta na superfície esférica corresponde à

circunferência máxima).

a) Em quantos pontos elas se cruzam? O mesmo ocorreria na Geometria

Euclidiana? Represente e tire suas conclusões.

b) As duas retas formam ângulos. Quantos? Como poderíamos definí-los?

30

6) Na Geometria Euclidiana, dois pontos distintos determinam quantas retas

distintas? E na Geometria da Superfície Esférica?

7) Represente uma reta na superfície plana. Agora trace uma reta paralela a esta.

8) Represente uma reta (geodésica) na superfície esférica (bola de isopor),

utilizando fita adesiva. Trace uma geodésica paralela a que você acabou de

representar. Tire suas conclusões em relação a retas paralelas nas superfícies

planas e esféricas.

9) Utilize a bola de isopor para verificar se o quinto postulado de Euclides é válido na

Geometria da Superfície Esférica.

10) Sejam X e Y dois pontos distintos. Em quantas partes eles dividem:

a) uma reta euclidiana?

b) uma reta esférica?

11) Na geometria euclidiana plana, qual a classificação de duas retas que são

perpendiculares a uma terceira? O mesmo ocorre na superfície esférica? Por quê?

Mensagem ao professor:

Respostas:

3. Mesmo sabendo que a Terra não é uma esfera perfeita, podemos considerar a Linha do

Equador e os Meridianos como geodésicas, pois são circunferências máximas medindo

360°.

4. O objetivo dessa atividade é distinguir “infinito” de “ilimitado”. Na superfície esférica,

partindo do ponto A, você retornará ao ponto de partida, ou seja, no ponto A. Isso mostra

que a “reta” na superfície esférica é finita, no entanto, se você andar por ela o quanto quiser,

dando infinitas voltas, mostra que ela é ilimitada. Mas, se você utilizar uma folha de papel,

ou seja, o plano euclidiano, e representar uma reta com um ponto pertencente a ela,

31

perceberá que não é possível sair do ponto A e retornar a ele, nesse caso a reta é infinita.

5. a) É fácil perceber que elas se cruzam em dois pontos diametralmente opostos ou

antípodas. Isso não acontece na geometria euclidiana, na qual duas retas distintas que se

cruzam, o fazem em apenas um ponto.

b) Na intersecção das retas podemos observar a formação de oito ângulos, os quais

chamamos de ângulos esféricos (quatro em cada intersecção). Definiremos ângulo esférico

como a união de dois arcos de circunferência máxima, que se cruzam em certo ponto, que é

o vértice do ângulo.

6. Na Geometria Euclidiana, dois pontos distintos determinam uma única reta, que é um dos

postulados de Euclides. No entanto, na Geometria da Superfície Esférica, dois pontos

distintos determinam infinitas retas distintas. Basta tomar dois pontos diametralmente

opostos.

7 e 8. O objetivo é que o aluno perceba que somente no plano euclidiano, geometria

euclidiana, é possível construir retas paralelas, e que conceito de retas paralelas é que

nunca se encontram, portando, na superfície esférica não existem retas paralelas.

9. Construa uma geodésica e um ponto fora dela. Por esse ponto é possível construir outra

geodésica, paralela à primeira? Não, pois conforme se observa, duas geodésicas sempre se

cruzam em dois pontos, contrariando o conceito de “retas” paralelas. Esse resultado é

conhecido como Postulado de Riemann.

10. a) 3 partes, sendo 2 semirretas e um segmento de reta. b) Duas partes (dois arcos de

circunferência).

11. Na Geometria euclidiana plana: as retas são paralelas. E na Geometria da superfície

esférica: concorrentes. Tome, por exemplo, dois meridianos e a linha do equador.

Referência: SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos

fractais. 1ª ed. Curitiba, PR: CRV, 2011.

O quinto postulado de Euclides é também chamado de Postulado das

Paralelas. O alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866), apresentou

sua hipótese a respeito do postulado das paralelas para a superfície esférica, que é

conhecido como postulado de Riemann:

“Por um ponto P fora de uma reta r, não existe nenhuma reta que

passe por P e seja paralela a r”.

32

ATIVIDADE 5

Conteúdo: Coordenadas Geográficas: Latitude e Longitude; Escalas

Objetivos específicos:

- Localizar e identificar no Globo Terrestre: os Meridianos e a Linha do Equador

como circunferências máximas da Geometria Esférica e os Paralelos Terrestres

como círculos menores;

- Perceber que a unidade indicada para medir distância entre dois pontos, na

superfície esférica é o grau e calcular distâncias em graus na bola de isopor;

- Desenvolver e aplicar o conceito de Latitude e Longitude, para resolver situações

problemas, utilizando o globo terrestre e o mapa-múndi (Atlas);

- Explicar como são estabelecidas ascoordenadas geográficas, latitude elongitude,

usadas na localização de qualquerponto da superfície da Terra;

- Aplicar conhecimentos matemáticos de escalas para calcular distâncias, utilizando

o mapa-múndi.

Interdisciplinaridade: Geografia

Apresentação do vídeo: As aventuras do Geodetetive2: Latitude e Longitude.

Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1103.

Série: Matemática na escola

Projeto: Matemática Multimídia - UNICAMP

Duração: aproximadamente 10 min

METODOLOGIA:

Sugestão de vídeo: As aventuras do Geodetetive2: Latitude e Longitude.

Após o vídeo e comentário com os alunos para avaliar o entendimento dos

conceitos das coordenadas geográficas, iniciar as atividades.

As atividades abaixo serão resolvidas em grupos e foram extraídas e/ou

adaptadas de Prestes (2006).

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Materiais didático-pedagógicos necessários: slides, mapa-múndi, globo

terrestre, fita adesiva colorida, folha de papel, lápis, régua, bolas de isopor,

barbante/linha, alfinetes, tiras de cartolina, fita métrica, régua flexível.

ATIVIDADES EM GRUPOS

1) Observando o Globo Terrestre, identifiquem que tipos de circunferências vocês

vêem na superfície do Globo.

2) O Globo Terrestre possui um eixo de rotação. Como se chamam os pontos, onde

o eixo de rotação corta o Globo Terrestre?

3) Observem que pelos polos do globo, passam várias circunferências máximas.

Qual o nome dessas circunferências?

4) Se duas circunferências máximas, passam pelos polos, que circunferência

máxima é perpendicular a ambas? Qual é o nome dado a essa circunferência?

5) Quais das circunferências são denominadas Paralelos Terrestres?

6) Tomando dois pontos sobre a superfície esférica, como você determinaria a

distância entre eles? Qual a unidade de medida que você usaria para medir essa

distância?

7) Marque, sobre a bola de isopor, 2 pontos que pertençam a um mesmo diâmetro.

Qual a distância entre estes dois pontos em graus? (lembre-se, uma circunferência

inteira mede 360º).

8) Na bola de isopor, coloque dois alfinetes de modo que a distância entre eles seja

de 60º. Justifique.

9) Qual a distância, em graus, de um polo ao outro? E do Equador a qualquer um

dos polos?

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Mensagem ao professor:

Na atividade 1, espera-se que os alunos identifique as circunferências máximas, que são as

retas da Geometria Esférica, e as circunferências menores, paralelas à Linha do Equador.

Na questão 2, espera-se que respondam que são pontos de intersecção do eixo de rotação

com o globo, ou seja, os Polos Norte e Sul, e que esses pontos são diametralmente

opostos.

Na atividade 3, o objetivo é localizar e identificar os Meridianos Terrestres, como sendo

circunferências máximas.

Em relação da questão 4, localizar e identificar a Linha do Equador, como circunferência

máxima e perpendicular aos Meridianos.

Na questão 5, espera-se que os alunos percebam que os Paralelos Terrestres são círculos

menores paralelos ao Equador.

Na atividade 6, o objetivo é que percebam que para medir distâncias em superfícies

esféricas, a unidade indicada é o grau. O ideal seria medir com uma régua esférica ou

confeccioná-la com tiras cartolina.

Na 7, os alunos poderão calcular a distância entre dois pontos na superfície esférica em

graus, através de uma regra de três simples. Utilizando a fita métrica calcula-se o

comprimento da circunferência em cm, que corresponde a 360, mede-se também a

distância entre os dois pontos, e procura-se a medida correspondente em graus através de

regra de três.

Na questão 8, também resolve-se através de regra de três.

Questão 9, de um polo a outro 180°, e do Equador a qualquer um dos polos, 90°.

A Geometria Esférica é muito utilizada nas navegações marítimas e no

espaço aéreo.

Concordando com Pataki (2003), “a Geografia e a Geometria Esférica

mantiveram estrita conexão, uma desempenhando papel de suma importância no

desenvolvimento da outra”.

Na Matemática temos as Coordenadas Cartesianas, para determinar a

35

posição de um ponto e na Geografia, as Coordenadas Geográficas, que nos

indicam a localização de um ponto em qualquer lugar da superfície terrestre, são

dois valores angulares, a Latitude e a Longitude. Para definir essas coordenadas foi

necessário criar na superfície terrestre, várias linhas imaginárias, os Meridianos e

os Paralelos, que estão definidos na sequência, de acordo com Coutinho (2001, p.

87-89), baseando-se em certos referenciais como:

Polos: A Terra gira diariamente em torno do seu eixo de rotação, e os pontos em

que esse eixo corta a superfície, chamam-se Polo Norte e Polo Sul.

Equador: É o círculo máximo cujo plano é perpendicular ao eixo de rotação da

Terra. Divide a Terra em duas partes iguais, denominadas Hemisfério Norte e

Hemisfério Sul. E a distância angular de um dos polos a qualquer ponto do Equador

mede sempre 90°.

Meridianos: São os diversos círculos máximos traçados do Polo Norte ao Polo Sul.

O Meridiano de Greenwich divide a Terra

em hemisfério Ocidental (Oeste) e

hemisfério Oriental (Leste).

Paralelos: São os diversos círculos

menores paralelos ao Equador.

Leste e Oeste: A direção na qual a Terra

gira chama-se Leste, e a direção oposta,

Oeste.

Figura 03

Latitude: A distância em graus de qualquer ponto da superfície até a linha do

Equador. Mede-se em graus, minutos e segundos, podendo variar de 0° a 90° para

Norte (N) ou para Sul (S).

Longitude: A distância em graus de qualquer ponto da superfície até o Meridiano

de Greenwich. Mede-se em graus, minutos e segundos, podendo variar de 0° a

180° para Leste (E ou L) ou para Oeste (W ou O).

Referências: COUTINHO, L. Convite às Geometrias Não-euclidianas. 2ª ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2001. SOUZA, Joana Dark Mariano de. Projeto de Intervenção Pedagógica – PDE 2013.

36

ATIVIDADES EM GRUPOS

De posse de um Globo Terrestre, responda as questões abaixo:

1) Localizem no Globo Terrestre os hemisférios Norte e Sul e as marcas da latitude e

da longitude em graus.

2) Observando um Globo Terrestre, determinem as coordenadas geográficas de

cada uma das cidades da tabela abaixo:

Não se esqueçam, é necessário informar se a latitude é Norte (N) ou Sul (S) e se a

longitude é Leste (L) ou Oeste (O).

CIDADE LATITUDE LONGITUDE

São Paulo

Maceió

Belo Horizonte

Roma

Nova York

Buenos Aires

Londres

Tóquio

Cidade do México

3) Qual a latitude e a longitude do município onde vocês moram?

4) Localizem no Globo Terrestre os trópicos de Câncer e Capricórnio, assim como os

círculos polares Ártico e Antártico e completem a tabela anotando a latitude de cada

linha.

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LINHA DE REFERÊNCIA LATITUDE

Trópico de Câncer

Trópico de Capricórnio

Equador

Círculo Polar Ártico

Círculo Polar Antártico

5) Se você estiver exatamente na metade da distância entre o Equador e o polo

Norte e a leste do meridiano de Greenwich, na sexta parte do comprimento em

graus da linha do Equador, a que latitude e longitude você se encontrará?

Questão retirada de LUCCI, E. A. Geografia – O homem no espaço global, Ed. Saraiva, 1999, apud Prestes, 2006.

6) Localize no Globo Terrestre as seguintes coordenadas: 25° S e 49° O, 26º S e

28° L, 14° N e 17° O.De quais lugares são estas localizações? Ligue esses três

pontos, com fita adesiva. Que figura formou? Com o auxílio de um transferidor, meça

os ângulos internos formados e calcule a soma.

Agora de posse de um Atlas, responda as questões abaixo, adaptada de

Prestes, 2006:

1) No Atlas, observem o mapa-múndi, localizem o Equador, o Trópico de

Capricórnio, o Trópico de Câncer, os círculos polares: Ártico e Antártico.

2) Localize no Atlas um país cortado por cada linha de referência da tabela.

No País escolhido na tabela acima, localize uma cidade próxima à linha de

referência e indique sua latitude (N ou S) e longitude (L ou O) utilizando o mapa

político por continente.

38

LINHA DE

REFERÊNCIA

PAÍS CIDADE LATITUDE LONGITUDE

Círculo Polar Ártico

Trópico de Câncer

Equador

Trópico de Capricórnio

3) Indique 3 países localizados no Hemisfério Norte. 4) Indique 3 países localizados no Hemisfério Sul. 5) O Brasil está localizado em qual hemisfério? 6) No mapa político do Brasil, localize ascapitais representadas pelos pontos que

possuem as latitudes e longitudes indicadas abaixo e informe os seus respectivos

estados:

2 N e 60 O_______________________________________________

0 e 51 O_______________________________________________

10 S e 68 O_______________________________________________

11 S e 37 O_______________________________________________

3 S e 38 O_______________________________________________

15 S e 56 O_______________________________________________

7 S e 35 O_______________________________________________

25 S e 49 O_______________________________________________

27 S e 48 O_______________________________________________

23 S e 46 O_______________________________________________

39

Trabalhando com escalas:

Escala é o nome que se dá à relação entre as dimensões reais da área na

superfície terrestre e sua representação no mapa. Em todos os mapas corretamente

representados podemos encontrar essa medida, expressa graficamente ou em

números.

Escala = dimensão do desenho dimensão real A escala numérica pode ser representada por uma razão, como 1: 500.000

ou por uma fração ordinária, por exemplo,

Essa escala significa que cada centímetro no mapa representa 500.000

centímetros, ou seja, 5 km no terreno.

500.000 cm = 5000 m = 5 km

A escala gráfica é representada por uma linha reta dividida em partes

iguais. Ela permite que as distâncias sejam percebidas diretamente no mapa.

Escala gráfica: 0 10 20 km (1 cm representa 10 km) Ou 1 : 1 000 000 (escala numérica).

Quanto maior a escala (denominador menor), maior riqueza de detalhes

fornecida pela representação.

Ex: Na escala 1 : 50 000, indica que foi reduzida 50 mil vezes, enquanto que na

escala 1 : 100 000, foi reduzida 100 mil vezes. O detalhamento de informações será

bem maior na primeira escala.

Fonte: LUCCI, E. A.Território e sociedade no mundo globalizado: geografia, ensino médio. 1ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2010. V. 1

40

1) Usando o mapa político do Brasil da Região Sul, determine a distância em linha

reta, ou seja, a menor distância entre as cidades A e B da tabela.

CIDADE A CIDADE B DISTÂNCIA (em cm

no mapa)

DISTÂNCIA (em km

aprox.)

Chapecó Guarapuava

Porto Alegre Apucarana

Curitiba Florianópolis

2) Usando o mapa político do Brasil, determine a distância em km entre a capital do

Paraná e a capital do país.

3) Usando o mapa político do Paraná, calcule a distância em km entre a cidade onde

você mora até:

a) Londrina:

b) Foz do Iguaçu:

c) Guarapuava:

d) Curitiba:

e) Pato Branco:

f) Ponta Grossa:

g) Paranaguá:

4) Observe o mapa e indique a escala numérica do exercício anterior.

41

ATIVIDADE 6

Conteúdo: TRIÂNGULOS ESFÉRICOS

Objetivos específicos:

- Definir ângulos e triângulo esférico;

- Construir triângulos esféricos;

- Perceber que na Geometria Esférica a soma dos ângulos internos de um triângulo

é maior que 180 graus, variando de mais de 180 a aproximadamente 900 graus,

enquanto que na euclidiana é exatamente 180 graus.

METODOLOGIA

Apresentação com slides, comparando as classificações dos triângulos na

geometria euclidiana e na esférica.

Materiais didático-pedagógicos necessários: fita adesiva colorida, folha de

papel, lápis, régua, transferidor, bolas de isopor, barbante/linha, alfinetes, slides.

Algumas das atividades a seguir, foram adaptadas de Marqueze (2006) e

Silva, 2011.

ATIVIDADES EM GRUPOS

1) De posse de uma bola de isopor:

a) Divida a superfície esférica em duas partes iguais.

b) Agora divida em quatro partes iguais.

c) Divida em oito partes iguais.

d) Que figuras formaram? E quantas?

42

e) Vocês acabaram de construir oito triângulos esféricos, ou seja, tesselaram

uma superfície esférica. Quanto mede o ângulo formado em torno de um

ponto comum desses triângulos? E quanto mede cada ângulo interno desses

triângulos esféricos?

f) Qual o nome da figura espacial formada por oito triângulos equiláteros? E na

superfície esférica, como seria chamado?

2) Desenhe vários triângulos de tamanhos diferentes no plano euclidiano. Meça

os ângulos internos de cada um deles. Como se classificam os triângulos

quanto aos lados e ângulos?

3) Desenhe vários triângulos de tamanhos diferentes na superfície esférica (bola

de isopor). Meça os ângulos de cada um deles.

4) Compare a soma dos ângulos internos de um dos triângulos construídos na

superfície plana com um triângulo na superfície esférica e tire suas

conclusões.

5) Na bola de isopor, considerada como a superfície da Terra, é possível obter

um triângulo com dois ângulos retos? Explique.

6) É possível obter um triângulo com três ângulos retos, tendo um vértice no

Polo Norte? Explique. Que fração ele ocupa da superfície esférica?

7) Na Geometria Euclidiana há relação entre a área do triângulo e a soma de

seus ângulos internos? E na Geometria da Superfície Esférica? Justifique.

43

Mensagem ao professor:

O objetivo das questões 2, 3 e 4, é que o aluno perceba e visualize que na geometria

euclidiana a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°, enquanto que na

geometria esférica é maior que 180°.

Na questão 5, suponhamos que P seja um polo terrestre, e A e B

pontos distintos sobre a linha do equador. Da Geografia, sabemos

que existe um meridiano que passa por P e A, outro que passa por P

e B, e que os meridianos são perpendiculares à linha do Equador

(MENDONÇA, s/d apud SILVA, 2011). Logo, o triângulo esférico

PAB tem ângulos retos nos vértices A e B. Este triângulo é chamado

de birretângulo.

Figura 04

Na questão 6, sejam A e B pontos distintos sobre a linha do equador, tais que A está sobre o

meridiano de Greenwich e B sobre o meridiano a 90º graus deste. O triângulo resultante é

chamado de trirretângulo e ocupa 1/8 da superfície esférica. Triângulo representado na

questão 1, letra e.

Questão 7, na Geometria Euclidiana: não há relação. E na Geometria da Superfície

Esférica: quanto maior a área ocupada pelo triângulo, maior a soma de seus ângulos

internos.

Referência:

SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. 1ª ed. Curitiba, PR: CRV, 2011.

O ângulo em superfícies de curvatura positiva é definido como sendo a

região limitada pela intersecção de duas geodésicas e sua medida e igual a

medida do ângulo plano formado pelas tangentes a superfície esférica no

ponto de intersecção.

Na superfície da esfera, a soma dos ângulos internos é maior que 180° e,

à medida que o triângulo aumenta ou diminui de tamanho, a soma dos

44

ângulos internos aumenta ou diminui de valor.

Na superfície plana, a soma dos ângulos internos é igual a 180° e à medida

que o triângulo aumenta ou diminui, a soma permanece igual a 180°.

Triângulo esférico: figura obtida ao unir três pontos distintos numa

superfície esférica, tais que, dois a dois, pertençam a um mesmo arco de

circunferência máxima. (SILVA, 2011, p. 66)

Tesselar uma superfície plana ou esférica, significa cobrir toda a superfície

com figuras iguais, de modo que a soma dos ângulos formados em torno de

um ponto comum seja 360 graus.

Classificação dos triângulos na Geometria da Superfície Esférica, segundo

Coutinho (2001):

Quanto aos ângulos:

Retângulo: um ângulo reto;

Birretângulo: dois ângulos retos;

Trirretângulo: os três ângulos retos.

Quanto aos lados:

Retilátero: um lado medindo 90°;

Birretilátero: dois lados medindo 90° cada um;

Trirretilátero: cada um dos lados medindo 90°.

Com estas classificações, se um triângulo esférico

é trirretângulo, também será trirretilátero, ou seja,

este triângulo cobre exatamente a oitava parte da

superfície esférica.

Figura 05 - Triângulo Esférico Referências: COUTINHO, L. Convite às Geometrias Não-euclidianas. 2ª ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2001. SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. 1ª Ed. Curitiba, PR: CRV, 2011.

45

CONCLUSÃO:

QUADRO COMPARATIVO

GEOMETRIA EUCLIDIANA GEOMETRIA ESFÉRICA

Plano euclidiano Superfície Esférica

Ponto Ponto

Reta Geodésica ou circunferência máxima.

Segmento de reta Arco da geodésica

Dois pontos determinam uma reta. Dois pontos determinam uma geodésica

(reta).

Por dois pontos passam uma única reta. Por dois pontos passam infinitas retas.

(Pontos opostos na superfície esférica).

Existem retas paralelas. Não existem retas paralelas, pois duas

geodésicas sempre se interceptam em

dois pontos.

Soma dos ângulos internos de um

triângulo é 180 graus.

Soma dos ângulos internos de um

triângulo maior que 180 graus, variando

de mais de 180 a aproximadamente 900

graus.

A reta é infinita. A reta é finita, porém ilimitada.

AVALIAÇÃO

Para finalizar a implementação da Produção Didático-pedagógica, será aplicada uma

Avaliação - Pós-teste (Anexo), para verificação da aprendizagem dos alunos em

relação à Geometria Euclidiana e Geometria da Superfície Esférica.

46

BIBLIOGRAFIA:

ANDRADE, Maria L. T.; SILVA, Maria J. F. Geometria Esférica: Uma sequência didática para a aprendizagem de conceitos elementares no Ensino Básico. São Paulo, 2011. 120 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Disponível em: http://www.pucsp.br/edmat/ma/dissertacao/maria_lucia_torelli.pdf. Acesso em 02/04/2013. ÁVILA, G. S. S. Várias Faces da Matemática: tópicos para licenciatura e leitura em geral. 2ª ed. São Paulo: Blucher, 2010. BARROS, A. J. S.; LEHFELD, N. A. S. Fundamentos de metodologia científica. 3ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. COSTA, S.; LIMBERGER, R.; RODRIGUES, C. I. Projeto M3 Matemática Multimídia da Unicamp. Série: Matemática na Escola. Guia do Professor e Vídeo. As aventuras do Geodetive2: Latitude e Longitude. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1103. Acesso em: 12/09/2013. COUTINHO, L. Convite às Geometrias Não-euclidianas. 2ª ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2001. DOLCE, O.; POMPEU, J. N. Fundamentos da Matemática elementar: geometria plana, pdf. V. 9. 7ª ed. São Paulo:Atual, 1997. Disponível em: http://drikamath.files.wordpress.com/2012/02/vol-09-geometria-plana.pdf. Acesso em: 26/09/2013. EVES, H. Introdução à História da Matemática. São Paulo: Editora da UNICAMP, 1995. FIRER, M.; BECHARA, M.; ABREU, S. Projeto M3 Matemática Multimídia da Unicamp. Série: Matemática na Escola. Guia do Professor e Vídeo. As aventuras de Radix: Geometria Esférica. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1054. Acesso em: 02/07/2013.

GONÇALVES FILHO, A.; TOSCANO, C. Física e realidade: ensino médio física. V. 1. São Paulo: Scipione, 2010.

47

LUCCI, E. A. Geografia – O homem no espaço global. São Paulo: Saraiva, 1999. LUCCI, E. A. Território e sociedade no mundo globalizado: geografia, ensino médio. 1ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2010. V. 1

MARCHESI JÚNIOR, I. Desenho Geométrico. 11ª ed. São Paulo: Editora Ática, 1997. V. 1. MARQUEZE, J. P. As faces dos sólidos platônicos na superfície esférica: uma proposta para o ensino-aprendizagem de noções básica de geometria esférica. São Paulo, 2006. 187 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Disponível em: http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/joao_pedro_marqueze.pdf. Acesso em 12/08/2013. MÁXIMO, A.; ALVARENGA, B. Curso de Física. 1ª ed. São Paulo: Scipione, 2011. V. 1 PATAKI, I. Geometria esférica para a formação de professores: uma proposta interdisciplinar. São Paulo, 2003. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica, São Paulo. PRESTES, I. C. R.; BONGIOVANNI, V. Geometria Esférica: Uma conexão com a Geografia. São Paulo, 2006. 210 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Disponível em: http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=34157. Acesso em: 01/08/2013. SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. 1ª ed. Curitiba, PR: CRV, 2011. Imagens:

Página 13 - “Euclides de Alexandria”. Disponível em: http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRWrkJcCNFy1Q524JnJkBqgpl8K03tYODLkrq3FmJOQ2gwRsE55. Acesso em: 30/07/2013. Página 14 – “Carl Friedrich Gauss”. Disponível em: http://thumbs.dreamstime.com/z/carl-gauss-20464951.jpg. Acesso em: 30/07/2013.

48

Página 14 – “Johann Bolyai”. Disponível em: http://www.santarita.g12.br/matematicos/gm1/Bolyai.jpg. Acesso em: 30/07/2013. Página 15 – “Nicolai Ivanovitch Lobachevsky”. Disponível em: http://www.profcardy.com/matematicos/bLobachevsky.jpg. Acesso em: 30/07/2013. Página 15 – “Georg Friedrich Bernhard Riemann”. Disponível em: http://cdn1.thefamouspeople.com/profiles/images/bernhard-riemann-biography.jpg. Acesso em: 30/07/2013. Página 17 – Figura 01 - “Representação dos planos: euclidiano, elíptico e hiperbólico”. Disponível em: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=537&evento=3. Acesso em: 31/07/2013. Página 17 – Figura 02 - “Esfera: Geometria Elíptica”. Disponível em: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=536&evento=3. Acesso em: 31/07/2013. Página 35 – Figura 03 - “Paralelos, Meridianos, Latitude e Longitude”. Disponível em: http://territoriosig.files.wordpress.com/2013/04/paralelos-e-meridianos.jpg. Acesso em: 11/09/2013. Página 43 - Figura 04 - “Triângulo Birretângulo”. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_esf%C3%A9rica. Acesso em: 05/11/2013. Página 4 - Figura 05 -“Triângulo Esférico Trirretângulo”. Disponível em: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Triangle_sph%C3%A9rique.svg/140px-Triangle_sph%C3%A9rique.svg.png. Acesso em: 09/09/2013. Vídeos: UNICAMP. Projeto: Matemática Multimídia. Série: Matemática na Escola.

As aventuras de Radix. “Geometria Esférica”. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1054. Acesso em: 01/08/2013. As aventuras do Geodetive2. “Latitude e Longitude”. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1103. Acesso em: 12/09/2013.

49

APÊNDICE

50

COLÉGIO ESTADUAL JOSÉ DE ANCHIETA – EFMNP

Rua: Generoso Karpinski, Nº1345 - Centro, Santa Maria do Oeste – PR Fone: (42) 3644-1240

PROFESSORA PDE: Joana Dark Mariano de Souza

DISCIPLINA: Matemática

DATA: / /2014

ALUNO (A): Nº TURMA:

"O entusiasmo é a maior força da alma. Conservai-o e nunca te faltará poder para

conseguir o que quiseres." (Napoleão Kill)

AVALIAÇÃO PRÉ-TESTE

A partir dos teus conhecimentos adquiridos em Matemática no Ensino Fundamental,

responda as questões abaixo:

1) O que é Geometria?

2) Você lembra um pouco da história do surgimento da Geometria? Comente o que

sabe a respeito.

3) Marque V (verdadeiro) ou F (falso) para cada afirmação abaixo:

a. ( ) Para representar pontos usamos letras minúsculas do alfabeto.

b. ( ) Uma folha de papelrepresenta um plano.

c. ( ) Por um ponto passam infinitas retas.

d. ( ) Dois pontos determinam uma única reta.

e. ( ) Uma reta é formada por infinitos pontos distintos e alinhados.

f. ( ) Triângulo é uma figura geométrica plana, fechada, formada por três

segmentos de reta (lados) consecutivos e não-colineares.

g. ( ) Em todo triângulo cada lado é maior que a soma dos outros dois.

h. ( ) A reta é representada por letras latinas minúsculas.

51

i. ( ) O segmento de reta é a parte de uma reta limitada por dois pontos notáveis,

que são suas extremidades.

j. ( ) A semirreta é infinita nos dois sentidos de crescimento.

k. ( ) O plano é infinito e é representado por letras gregas (α, β e У).

l. ( ) Por três pontos dados passa uma única reta.

m.( ) O ponto geométrico não possui formato nem dimensão. Pode ser

representado por um simples toque de lápis ou pela intersecção de dois traços.

n. ( ) A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, na geometria plana.

4) Você já ouviu falar em Geometrias Não-euclidianas? Quando e onde? O que sabe

a respeito?

5) O que sabe a respeito da Geometria Euclidiana? Comente.

6) Enumere a primeira coluna de acordo com a segunda:

( 1 ) Plano ( ) Representação AB

( 2 ) Reta ( ) Representação AB

( 3 ) Semirreta ( ) Representação A, B, C, etc.

( 4 ) Segmento de reta ( ) Representação AB

( 5 ) Ponto ( ) Representação α, β, У

( ) Representação r, s, t, etc.

7) Considere uma reta desenhada no seu caderno e um ponto fora dela. Quantas

retas paralelas à reta dada, passando pelo ponto que você desenhou, você

consegue construir? Você consegue imaginar um objeto diferente do seu caderno,

no qual a resposta anterior mude? Explique.

Bom estudo e obrigada pela participação!!!

52

COLÉGIO ESTADUAL JOSÉ DE ANCHIETA – EFMNP

Rua: Generoso Karpinski, Nº 1345 - Centro, Santa Maria do Oeste – PR.

Fone: (42) 3644-1240

PROFESSORA PDE: Joana Dark Mariano de Souza

DISCIPLINA: Matemática

DATA: / /2014

ALUNO(A): Nº: TURMA:

"O entusiasmo é a maior força da alma. Conservai-o e nunca te faltará poder para

conseguir o que quiseres." (Napoleão Kill)

AVALIAÇÃO PÓS-TESTE

Responda as questões abaixo:

1) O que é Geometria?

2) Você lembra um pouco da história do surgimento da Geometria? Comente o que

sabe a respeito.

3) Marque V (verdadeiro) ou F (falso) para cada afirmação abaixo:

a. ( ) Para representar pontos usamos letras minúsculas do alfabeto.

b. ( ) Uma folha de papel representa um plano.

c. ( ) Por um ponto passam infinitas retas.

d. ( ) Dois pontos determinam uma única reta.

e. ( ) Uma reta é formada por infinitos pontos distintos e alinhados.

f. ( ) Triângulo é uma figura geométrica plana, fechada formada por três

segmentos de reta (lados) consecutivos e não-colineares.

g. ( ) Em todo triângulo cada lado é maior que a soma dos outros dois.

h. ( ) A reta é representada por letras latinas minúsculas.

53

i. ( ) O segmento de reta é a parte de uma reta limitada por dois pontos notáveis,

que são suas extremidades.

j. ( ) A semirreta é infinita nos dois sentidos de crescimento.

k. ( ) O plano é infinito e é representado por letras gregas (α, β e У).

l. ( ) Por três pontos dados passa uma única reta.

m.( ) O ponto geométrico não possui formato nem dimensão. Pode ser

representado por um simples toque de lápis ou pela intersecção de dois traços.

n. ( ) A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, na geometria plana

4) Você aprendeu algo sobre geometrias não euclidianas? Explique brevemente.

5) O que você sabe a respeito da Geometria Euclidiana? Comente.

6) Enumere a primeira coluna de acordo com a segunda:

( 1 ) Plano ( ) Representação AB

( 2 ) Reta ( ) Representação AB

( 3 ) Semirreta ( ) Representação A, B, C, etc.

( 4 ) Segmento de reta ( ) Representação AB

( 5 ) Ponto ( ) Representação α, β, У

( ) Representação r, s, t, etc.

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7) Considere uma reta desenhada no seu caderno e um ponto fora dela. Quantas

retas paralelas à reta dada, passando pelo ponto que você desenhou, você

consegue construir? Você consegue imaginar um objeto diferente do seu caderno,

no qual a resposta anterior mude? Explique.

8) Comos conhecimentos adquiridos até aqui, complete com Geometria Euclidiana

ou com Geometria da Superfície Esférica, as seguintes afirmações:

a) Na ..............................................................., a soma dos ângulos internos de

triângulo é sempre 180°, independentedo tamanho do triângulo.

b) Por dois pontos distintos passam infinitas retas. ......................................................

c) A reta é infinita. .......................................................................

d) A soma dos ângulos internos de triângulo varia de mais que 180° até

aproximadamente 900°, dependendo do tamanho do triângulo.

......................................................................

e) Não existem retas paralelas, qualquer duas retas sempre se encontram em dois

pontos diametralmente opostos. ...................................................................................

f) Retas paralelas são retas que não tem pontos comuns e são equidistantes.

...................................................................

g) A superfície de cima ou de baixo de uma folha de papel dá a ideia de plano dessa

geometria ..............................................................................

h) Para essa geometria, tomamos a superfície da Terra como exemplo de plano.

..................................................................................

i) A reta é finita, porém ilimitada, e é chamada de geodésica.

..................................................................

Bom estudo e obrigada pela participação!!!!