ORIGEM DOS SINAIS Adio ( + ) e subtrao ( - ) O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmtica Comercial de Joo Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489. Entretanto, representavam no adio ou subtrao ou aos nmeros positivos ou negativos, mas aos excessos e aos dficit em problemas de negcio. Os smbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os smbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou no. Os antigos matemticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adio juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um nmero inteiro com uma frao. Como sinal de operao mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus. Multiplicao ( . ) e diviso ( : ) O sinal de X, como que indicamos a multiplicao, relativamente moderno. O matemtico ingls Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar tambm o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes j se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicao: esse mesmo smbolo colocado de modo inverso indicava a diviso. O ponto foi introduzido como um smbolo para a multiplicao por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu no gosto de X como um smbolo para a multiplicao, porque confundida facilmente com x; freqentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Da, ao designar a relao uso no um ponto mas dois pontos, que eu uso tambm para a diviso." As formas a/b e , indicando a diviso de a por b, so atribudas aos rabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razo entre duas quantidades indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal , segundo Rouse Ball, resultou de uma combinao de dois sinais existentes - e : Sinais de relao ( =, < e > ) Robert Recorde, matemtico ingls, ter sempre o seu nome apontado na histria da Matemtica por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o smbolo entre duas expresses iguais; o sinal = ; constitudo por dois pequenos traos paralelos, s apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Mdia o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.

Guilherme Xulander, matemtico alemo, indicava a igualdade , em fins do sculo XVI, por dois pequenos traos paralelos verticais; at ento a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.

Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) so devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da anlise algbrica.Operaes fundamentais com nmeros * Adio A primeira operao fundamental na Matemtica a adio. Esta operao nada mais que o ato de adicionar ou adir algo. reunir todas as fraes ou totalidades de algo. A adio chamada de operao. A soma dos nmeros chamamos de resultado da operao. Relembrar: 10 + 5 = 15 10 e 5 so as parcelas; 15 a soma ou resultado da operao de adio. A operao realizada acima denomina-se, ento, ADIO. A adio de dois ou mais nmeros indicada pelo sinal +. Para calcular a adio, colocamos os nmeros em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada a soma da operao adio. Exemplo: 1.253 + 2.715

MILHA DEZEN UNIDAD CENTENA R A E 1 2 5 3 2 7 1 5

Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adicionase 2 centenas a 7 centenas (9 centenas), adiciona-se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), ento 3.968 o resultado (ou seja, a soma) da operao adio dos nmeros 1.253+2.715.

Diante da operao de adio, so retiradas algumas propriedades, que sero definidas: 1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9 Deduz-se : a. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma. b. As ordens das parcelas no alteram o resultado da soma. c. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas a propriedade comutativa. A propriedade comutativa da adio representada pela sentena: a + b = b + a e denominada comutativa da adio. 2) Consideramos trs parcelas 5, 4, 2, assim so indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operao de adio entre parnteses temos o resultado a soma 9, na seqncia adicionamos a nmero 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11. Isto : (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final) Observe, agora, a soma final conforme outra indicao: 5 + (4+2) = 11 (resultado soma final). Deduz-se : Na adio de trs parcelas, indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas ltimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominao propriedade associativa. Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b 3) Tendo como base os ltimos exemplos, conclui-se que existe um nmero que no altera a o resultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este nmero o zero (0). Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adio) * Subtrao A subtrao o ato ou efeito de subtrair algo. diminuir alguma coisa. O resultado desta operao de subtrao denomina-se diferena ou resto. Relembrar: 9 5 = 4 Essa igualdade tem como resultado a subtrao. Os nmeros 9 e 5 so os termos da diferena 9-5. Ao nmero 9 dar-se o nome de minuendo e 5 o subtraendo.

O valor da diferena 9-5 4, este nmero chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5. Veja as anlises abaixo: 1. 10 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo. 2. 9 11 > impraticvel em N, o mesmo que escrever 9 11 no pertence N. Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operao de subtrao se realize em N. A operao de subtrao nem sempre vivel entre dois nmeros naturais. Ento, necessrio que em uma subtrao em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo. Diante da operao de subtrao, so retiradas algumas propriedades, que sero definidas: a. O conjunto N no fechado em relao operao de subtrao, pois 4 5 no pertence a N. b. A subtrao em N no possui elemento neutro em relao operao de subtrao: 6 0 = 6 Entretanto: 0 6 6 Logo: 0 6 6 -0 c. A subtrao no conjunto N no admite propriedade comutativa, pois: 4 5 5 4. d. A subtrao no conjunto N no aceita a propriedade associativa, pois (10 4) 2 10 (4-2) A operao de subtrao pode ser considerada como a operao inversa da adio. Considerando: 7 + 2 = 9 equivale a 7= 9 2 7 + 2 = 9 equivale a 2= 9 - 7 Concluindo: a) A subtrao inversa a adio. b) Uma das parcelas igual a soma menos a outra. Observe esta sentena: Y + a = c ou a + y = c Suponha que a e c so dois nmeros naturais conhecidos e x tambm um nmero natural, mas desconhecido. De que modo possvel calcular o valor de x?

Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c

* Multiplicao a ao de multiplicar. Denomina-se a operao matemtica, que consiste em repetir um nmero, chamado multiplicando, tantas vezes quantas so as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro nmero que representa o produto dos dois. Definindo ainda, multiplicao a adio de parcelas iguais, onde o produto o resultado da operao multiplicao; e os fatores so os nmeros que participam da operao. a. b = c a.b > fatores c > produto da operao. De um modo mais amplo e um pouco avanado, podemos expressar: A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w Diante da operao da multiplicao, so retiradas algumas propriedades, que sero definidas: a. a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores a propriedade comutativa, no caso da operao de multiplicao e pode ser assim simbolizada: a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicao b. para fazer o clculo 4.5.6, pode ser usado este caminho : (4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parnteses (que 20), em seguida multiplica-se por 6, dando o resultado = 120 A essa regra de associar fatores da operao multiplicao chama-se associativa da multiplicao. c. A propriedade comutativa nos permite que seja usado: 1 . x = x ou x.1 = x fcil checar que qualquer que seja o nmero colocado no lugar do X, ter como produto da operao o prprio X. Ento podemos notar que o elemento neutro da multiplicao o nmero 1.

d. Multiplicando-se dois nmeros naturais o resultado ser sempre um nmero natural que pode ser traduzido a propriedade do fechamento da multiplicao A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N * Diviso o ato de dividir ou fragmentar algo. a operao na matemtica em que se procura achar quantas vezes um nmero contm em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu. diviso d o nome de operao e o resultado chamado de Quociente. 1) A diviso exata Veja: 8 : 4 igual a 2, onde 8 o dividendo, 2 o quociente, 4 o divisor, 0 o resto A prova do resultado : 2 x 4 + 0 = 8 Propriedades da diviso exata a. Na diviso em N no vale o fechamento, pois 5 : 3 no pertence a N b. O conjunto N no tm elemento neutro em relao a diviso, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 no pertence a N. Logo 3:1 diferente de 1:3 c. A diviso em N no tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 diferente de 5: 15 d. A diviso em N no tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 diferente de 12 : (6:2) = 4 Pode-se afirmar que a diviso exata tem somente uma propriedade. Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8 (10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8 O quociente no sofreu alterao alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos ento esta propriedade de distributiva da diviso exata vlida somente para direita, com relao s operaes de adio e subtrao. Um dos mandamentos da matemtica JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma operao o divisor tem que ser maior do que zero. 2) A diviso no-exata Observe este exemplo: 9 : 4 igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 dividendo, 4 o divisor, 2 o quociente e 1 o resto. A prova do resultado : 2 x 4 + 1 = 9

De um modo geral na diviso : Operao diviso exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto subentendido igual a zero. Operao diviso no-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r o resto. Nas prximas lies veremos mais sobre os principais temas de matemtica para concursos. At a prxima.