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Processamento Digital de Sinais

Carlos Alexandre Mello – [email protected] 1

Carlos Alexandre Mello

Sinais Digitais

� Um sinal pode ser entendido como uma função que carrega uma informação

� Sinal de voz

O sinal é processado de acordo com a


� O sinal é processado de acordo com a aplicação necessária

� Transmissão, armazenamento, manipulação

Processamento de Sinais

� O processamento de sinais lida com a representação, transformação e manipulação dos sinais e da informação que eles contêm


� Até a década de 60� Tecnologia analógica

� Evolução de computadores e microprocessadores� PDS


� Aspecto fundamental:

� Conversão do sinal contínuo em uma

sequência de amostras

� Um sinal discreto no tempo


� Um sinal discreto no tempo

� Após o processamento digital, a sequência de

saída pode ser convertida de volta a um sinal

contínuo no tempo


� Classificação:� Sinais contínuos no tempo (Analógicos)

� Representados por funções de variáveis contínuas

� Sinais discretos no tempoRepresentados matematicamente por uma sequência de


� Representados matematicamente por uma sequência de números reais ou complexos

� Sinais contínuos em valores� Se um sinal pode assumir qualquer valor dentro de um

espaço finito ou infinito

� Sinais discretos em valores� Assume apenas valores dentro de um espaço finito


� Sinais Digitais

� Sinais digitais são aqueles para os quais tanto

o tempo quanto a amplitude são discretos

� Ou seja, ele é discreto no tempo e só pode


� Ou seja, ele é discreto no tempo e só pode

assumir valores dentro de um conjunto finito de

possíveis valores (é discreto em valores)


� Sinais Determinísticos� Qualquer sinal que podem ser unicamente

descrito por uma expressão matemática, uma tabela de dados ou uma regra bem definida

Sinais Aleatórios


� Sinais Aleatórios� os sinais não podem ser representados

precisamente por equações matemáticas ou suas descrições são muito complexas para uso. Isso indica que tais sinais têm comportamento imprevisível


� A sequência x é escrita como:

� x = {x[n]}, -∞ <n < ∞

n inteiro

Sequência gerada a partir do processo de


� Sequência gerada a partir do processo de amostragem

� n-ésimo termo:

� x[n] = xa(nT), -∞ <n < ∞

Amostragem

SinalOriginal

Amostragem


Amostragem


Amostragem

� Cuidados com a taxa de amostragem


Baixa taxa de Amostragem !

MatLab

No MatLab:

•Função Seno contínua (-):

>> fplot (‘sin(x/2 + 1)’, [0, 30], ‘r’)

•Função Seno amostrada (-):

>>nn = 0:30;


>>nn = 0:30;

>> sinus=sin(nn/2 + 1);

>> stem(nn, sinus);

Exemplos

� Impulso (delta de Dirac)


� Uma sequência arbitrária pode ser representada como uma soma de impulsos

0 n

Exemplos


No MatLab:

function [x, n] = impseq(n0, n1, n2)


function [x, n] = impseq(n0, n1, n2)n = [n1:n2];x = [(n - n0) == 0];stem (x);

>> impseq (5, 0, 10);

Exemplos



De forma geral:

Exemplos


x[n] = 2.δ[n + 2] - δ[n – 4], -5 ≤ n ≤ 5

No MatLab:

>> n = [-5:5];


>> x = 2*impseq(-2, -5,5) - impseq(4, -5, 5);

>> stem (n, x); title ('Exemplo de Sequencia'); xlabel('n'); ylabel('x[n]');

Exemplos

� Degrau Unitário


� Relação com o Impulso

Exemplos

� Degrau

No MatLab:

function [x, n] = stepseq(n0, n1, n2)


function [x, n] = stepseq(n0, n1, n2) % Degraun = [n1:n2];x = [(n-n0) >= 0];stem (x);

>> stepseq (5, 0, 10);

Exemplos

� Degrau

x[n] = n[u[n] – u[n – 10]] + 10e-0.3(n – 10)[u[n – 10] – u[n – 20]], 0 ≤ n ≤ 20

>> n = 0:20;

>> x1 = n.*(stepseq(0,0,20) - stepseq(10,0,20));


>> x1 = n.*(stepseq(0,0,20) - stepseq(10,0,20));

>> x2 = 10*exp(-0.3*(n-10)).*(stepseq(10,0,20) - stepseq(20,0,20));

>> x = x1 + x2;

>> stem(n,x); title('Sequencia de Degraus'); xlabel('n'); ylabel ('x[n]');

Exemplos

� Sequência Exponencial

No MatLab:

•Função Exponencial:

>> nn = 0 + [1:21]’ - 1;

>> y = (0.9).^nn;


>> y = (0.9).^nn;

>> stem(nn, y);

Sistemas e Propriedades

� Sistemas Discretos no Tempo� Um sistema discreto no tempo é definido

matematicamente como uma transformação que mapeia uma seqüência de entrada x[n] em uma seqüência de saída y[n]


seqüência de saída y[n]

� y[n] = T{x[n]}


� Sistemas Discretos no Tempo

� Exemplos:

� Atraso ideal: y[n] = x[n – nd], -∞ <n < ∞


� Média móvel:



� Propriedades

� 1) Sistema sem Memória

A saída y[n] a cada valor de n depende apenas da


� A saída y[n] a cada valor de n depende apenas da

entrada x[n] no mesmo valor de n

� Ex:

� Sistema sem memória: y[n] = {x[n]}2



� Propriedades

� 2) Sistema Linear

Obedecem ao princípio da Superposição:


� Obedecem ao princípio da Superposição:

� T{a.x1[n] + b.x2[n]} = a.T{x1[n]} + b.T{x2[n]}

� Ex:

� Acumulador:



� Propriedades

� 3) Sistema Invariante no Tempo

Um deslocamento no tempo da sequência de


� Um deslocamento no tempo da sequência de

entrada gera um deslocamento correspondente na

sequência de saída

� Ou seja: Se x[n] → y[n], então x[n + m] → y[n + m]

� Ex: Sistema não invariante no tempo: y[n] = x[M.n]

T T



� Propriedades

� 4) Sistema Causal

Não depende de valores futuros da sequência


� Não depende de valores futuros da sequência

� Ex: Sistema não causal: y[n] = x[n + 1]

� 5) Sistema Estável

� Toda entrada limitada produz uma saída limitada

Sistemas Lineares e Invariantes

no Tempo (LTI)

� Como vimos, uma sequência qualquer pode ser

representada como uma soma de impulsos:


� Como y[n] = T{x[n]}, temos:


no Tempo (LTI)

� Assim, um sistema Linear e Invariante no Tempo é completamente descrito por sua resposta ao impulso

� Essa representação é conhecida também


� Essa representação é conhecida também como soma de convolução

Propriedades da Soma de

Convolução

� 1) Comutatividade: x[n]*h[n] = h[n]*x[n]

� 2) Distributividade:

� x[n]*(h1[n] + h2[n]) = x[n]*h1[n] + x[n]*h2[n]

3) Conexão em Cascata


� 3) Conexão em Cascata


Convolução

� 4) Conexão em Paralelo



Convolução

� 5) Causalidade

� Como definido anteriormente, um sistema é

dito causal se sua resposta não depende de

eventos futuros. Ou seja, para calcular a saída


eventos futuros. Ou seja, para calcular a saída

de y[n0], precisamos apenas de x[n], n ≤ n0.

Isso implica na condição:

� h[n] = 0, n < 0

� Assim, para testar a causalidade basta testar

se h[n] = 0 para n<0


Convolução

� 6) Estabilidade

� A estabilidade é garantida se:



no Tempo (LTI)

� Sistemas Inversos

� Se um sistema linear invariante no tempo tem

uma resposta ao impulso h[n], então seus

sistema inverso, se existir, tem resposta ao


sistema inverso, se existir, tem resposta ao

impulso hi[n] definida pela relação:

� h[n]*hi[n] = hi[n]*h[n] = δ[n]


no Tempo (LTI)

� Uma classe importante de sistemas lineares invariantes no tempo consiste daqueles para os quais x[n] e y[n] se relacionam através de uma equação de


relacionam através de uma equação de diferenças de coeficientes constantes lineares de n-ésima ordem da forma:


no Tempo (LTI)

� Exemplo: y[n] = y[n – 1] + x[n]

Na equação anterior

teríamos:

N = 1


N = 1

a0 = 1

a1 = -1

M = 0

b0 = 1

Sistemas LTI como Filtros Seletores

de Frequência

� O termo filtro é normalmente usado para

descrever um dispositivo que discrimina, de

acordo com algum atributo do objeto aplicado

como entrada, o que passa através dele


� Como um filtro de ar que deixa o ar passar, mas retém

partículas de impureza

� Um sistema LTI também funciona como um tipo

de discriminante, filtrando entre os vários

componentes de frequência na sua entrada


de Frequência

� A forma da filtragem é definida pela resposta de

frequência H(ω) que depende da escolha de

parâmetros do sistema (como os coeficientes do

filtro)


� Como veremos em projeto de filtros


de Frequência

� Em geral, um sistema LTI modifica o espectro do sinal de entrada X(ω) de acordo com a resposta em frequência H(ω) que leva a um sinal de saída com espectro Y(ω) = H(ω)X(ω)

� Assim, um sistema LTI pode ser visto como um


� Assim, um sistema LTI pode ser visto como um filtro embora não bloqueie completamente qualquer componente de frequência do sinal de entrada. � Consequentemente, os termos “sistema LTI” e “filtro”

são sinônimos e são normalmente usados sem distinção.


de Frequência

� Filtros são normalmente classificados de acordo com suas características no domínio da frequência como passa-baixa, passa-alta, passa-faixa e rejeita-faixa


alta, passa-faixa e rejeita-faixa


de Frequência



de Frequência

� Todos os filtros ideais têm características de magnitude constante e fase linear dentro da banda de passagem

� Em todos os casos, tais filtros não são


� Em todos os casos, tais filtros não são fisicamente realizáveis, mas servem como idealizações matemáticas para filtros práticos

Representação pela

Transformada de Fourier

� Transformadas

� Mudança entre domínios de sinais

� Transformada de Laplace

� Transformada de Fourier


� Transformada de Fourier

� Transformada Discreta do Cosseno

� Transformada Z

� Transformada Wavelet

� Permitem observar propriedades de forma mais

simples



� Transformada de Fourier de uma sequência


� Transformada Inversa



� Em geral, a Transformada de Fourier é uma

função complexa em ω

� Como na resposta à frequência, algumas vezes, pode-se expressar X(ejω) na forma


vezes, pode-se expressar X(ejω) na forma

� X(ejω) = XR(ejω) + j.XI(ejω)

� ou na forma polar:

� X(ejω) = |X(ejω)| ej∠X(e^jω)

MagnitudeFase



� Vamos mostrar que a relação entre a Transformada de Fourier e sua Inversa

� Considere:


� Se trocarmos a ordem da integral e do

somatório:



� Calculando a integral dentro dos parênteses


� Assim:



� Exemplo:

� x[n] = anu[n]


Que converge se |a.e-jw| < 1 ⇒ |a| < 1.



� Propriedades da Transf. de Fourier


Bibliografia Complementar

� Vinay K. Ingle, John G. Proakis, Digital Signal Processing, Thomson Learning, 2000.

� Michael Weeks, Digital Signal Processing


� Michael Weeks, Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, Infinity Science Press, 2007.

� Alan V. Oppenheim, Ronald Schafer, Discrete Time Signal Processing, Prentice Hall, 1989

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