Orientador: Federico Rodriguez Hertz

TRABAJO MONOGRAFICO

Espectro del Laplaciano:Un enfoque semiclasico

Yaiza Canzani

Orientador: Federico Rodriguez Hertz

27 de Junio, 2008MontevideoUruguay

Licenciatura en MatematicaFacultad de Ciencias

Universidad de la Republica

Resumen

El objetivo de estas notas es estudiar el comportamiento de lasfunciones propias del Laplaciano en un variedad compacta donde elflujo geodesico es ergodico. Con este motivo introducimos tecnicas deAnalisis Semiclasico que nos permiten probar que en estas hipotesislas funciones propias se distribuyen uniformemente sobre la variedad.

Palabras clave: Funciones propias del Laplaciano, Analisis Semiclasi-co, Teorema de Schnirelman, Ergodicidad Cuantica, Cuantizacion deSımbolos, Distribuciones temperadas.

Abstract

The purpose of these notes is to study the behavior of the eigen-functions of the Laplacian defined on a compact manifold with ergodicgeodesic flow. With this in mind we introduce several techniques ofSemiclassical Analysis that allows us to prove, in the mentioned case,the equidistribution of the eigenfunctions over the manifold.

Keywords: Eigenfunctions of the Laplacian, Semiclassical Analy-sis, Schnirelman’s Theorem, Quantum Ergodicity, Quantization ofSymbols, Tempered distributions.

A mi Abuela por ensenarme a elegir.A Virginia y Angel, gracias a ellos elegı Matematica.

A Nico, lo mejor de hacer Matematica.

Introduccion

Antes de explicar el contenido de estas notas quiero agradecerle a Federico porayudarme siempre y porque su habilidad para hacer que lo confuso sea simplehizo que yo adore a este trabajo.

Esta monografıa esta basada en las notas de tıtulo “Lectures on semiclassicalanalysis” de Lawrence Evans and Maciej Zworski, disponibles enhttp://math.berkeley.edu/~zworski/semiclassical.pdf.

Nuestro objetivo es estudiar el comportamiento de las funciones propias delLaplaciano Clasico ∆g : C∞(X) → C∞(X) en una variedad riemanniana Xcon metrica g (ver definicion 1.5) definido por

∆g :=1√g

n∑

i,j=1

∂

∂xi

(

gij√g∂

∂xj

)

.

¿Porque estudiar las funciones propias del Laplaciano?

Estudiar el espectro del Laplaciano tiene muchas aplicaciones, en particularnos permite resolver algunas ecuaciones en derivadas parciales o estudiar lageometrıa de la variedad:

Resolucion de ecuaciones

La ecuacion del calor describe como se distribuye el calor partiendo deuna distribucion inicial en X. Si f(x, t) es la funcion que describe latemperatura en cada instante t y en cada punto x ∈ X, la ecuacion delcalor se puede escribir como

∆gf = −1

ν

∂f

∂t,

donde ν es la conductividad del material.

La ecuacion de onda describe el comportamiento de una membrana vi-brando con la forma de X (un tambor), y tambien describe aproxima-damente el movimiento de la superficie de un lıquido o la propagacion

8

del sonido en el espacio. Si llamamos f(x, t) a la funcion que describela amplitud (o la altura del lıquido) en el punto x ∈ X en tiempo t laecuacion de onda esta dada por

∆gf = − 1

c2∂2f

∂t2,

donde c es la elasticidad (o la velocidad del sonido en el fluido).

La ecuacion de Schrodinger para la funcion de onda de una partıculalibre es

~

2m∆gf = i~

∂f

∂t,

donde ~ es la constante de Plank y m es la masa de la partıcula.

Para resolver estas ecuaciones (al menos formalmente) la idea inicial es usarel hecho de que podemos considerar funciones de la forma f(x, t) = ℓ(x)h(t)(basados en el teorema aproximacion de Stone-Weierstrass), y luego consideraruna expansion en series de estas funciones (analoga a la de Fourier).

En lo que sigue consideramos que las constantes valen 1, esto es equivalentea reescalar la variable temporal. Veamos por ejemplo la ecuacion del calor: lafuncion f = ℓh satisface la ecuacion precisamente cuando las funciones ℓ y hcumplen

∆gℓ

ℓ= −h

′

h.

Como la primera fraccion depende solo del punto x ∈ X y la segunda solodel tiempo t su valor tiene que ser una constante que notamos por λ. Peroentonces la funcion ℓ es la funcion propia de ∆g de valor propio λ, mientrasque h(t) = e−λt. Entonces si conocemos las funciones propias del Laplacianopodemos resolver la ecuacion explıcitamente. Es facil observar que la funcionh tiene la siguiente forma segun la ecuacion considerada

h(t) =

e−λt para la ecuacion del calor,

eiλt para la ecuacion de Schrodinger,

ei√λt para la ecuacion de onda.

Geometrıa espectralEl estudio de la relacion entre el espectro del Laplaciano y la geometrıa dela variedad es lo que se conoce como “geometrıa espectral”, en este area seconsideran problemas de dos tipos:

Problemas directos: Estudiar que se puede decir sobre el espectro del La-placiano y sobre las funciones propias si se conoce la geometrıa (metrica)

9

de una variedad. Por ejemplo, describir la distribucion asintotica de losvalores propios y hallar cotas para el valor propio dominante (este ultimocontrola las “resonancias” y la velocidad con la que se disipa el calor).

Problemas inversos: Estudiar si se puede recuperar alguna propiedadgeometrica de la variedad suponiendo que se conoce el espectro del La-placiano. Por ejemplo, determinar el volumen o la curvatura maxima dela variedad. Una referencia clasica en este tipo de problemas es el artıculode M. Kac “Can one hear the shape of a drum?” [6].

¿Como estudiamos las funciones propias del Laplaciano?

La herramienta fundamental que utilizaremos para abordar este estudio es elAnalisis Semiclasico.

La principal fuente de motivacion del Analisis Semiclasico es la MecanicaCuantica. Para el estudio de esta ultima, es util introducir un parametro po-sitivo, ~, que hace alusion a la constante de Planck; cuando ~ tiende a 0 serecupera la Mecanica Clasica.

La clave del Analisis Semiclasico radica en asociar a una funcion a : Rn×Rn →C un operador Op(a) : L2(Rn) → L2(Rn) definido por la formula

Op(a)(u)(x) :=1

(2π~)n

∫ ∫

Rn×Rn

ei~〈x−y,ξ〉a

(

x+ y

2, ξ

)

u(y)dydξ.

A la funcion a le llamaremos observable clasico o sımbolo. Si notamos a =a(x, ξ) sera util pensar que x denota la posicion y ξ el momento.Al operador que obtenemos a partir de a le llamaremos observable cuantico,y al proceso en el que a un observable clasico se le asigna un operador se lellamara cuantizacion.

Si definimos el sımbolop(x, ξ) = |ξ|2

al que llamaremos Hamiltoniano Clasico, al cuantizarlo obtendremos el opera-dor

Op(p) = P = −~2∆g.

Muchas veces notaremos P (~) = P para recordar que el operador depende delparametro ~.

Como las funciones propias del operador P (~) son las funciones propias delLaplaciano ∆g, nuestro trabajo se concentrara en estudiar el problema

P (~)u(~) = E(~)u(~).

10

Nuestra meta es probar un teorema muy importante que trata el compor-tamiento asintotico de las funciones propias del Laplaciano cuando el flujogeodesico es ergodico. El teorema fue enunciado en 1974 por A. Schnirelman,pero su demostracion estaba incompleta. En 1984 S. Zeldich demostro un re-sultado similar en el que Y. Colin de Verdiere se baso para completar el trabajode Schnirelman en 1985.

Probaremos bajo el supuesto de ergodicidad que si llamamos uk a las funcionespropias del laplaciano entonces existe un conjunto S de densidad 1 tal que∀f ∈ C∞(X)

∫

X

|uk|2f dvol −−→k→∞k∈S

∫

X

f dvol.

Este resultado implica la equidistribucion de las funciones propias.

Un corolario inmediato de este resultado es que bajo estas hipotesis si D ⊂ Xse cumple que

∫

D

|uk|2 dvol −−→k→∞k∈S

V ol(D).

Indice general

1. Conocimientos previos 131.1. Estructura Simplectica en R2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3. Formas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5. Calculo funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Analisis Semiclasico 272.1. El Grupo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. ¿Como cuantizar un operador? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Metodo de fase estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Descripcion y Generalizacion de la cuantizacion de Weyl 333.1. Composicion en la cuantizacion de Weyl . . . . . . . . . . . . . 343.2. Extension de la cuantizacion de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1. Afinando errores semiclasicos . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.2. Cuantizacion del Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . 483.2.3. Operadores en L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Ergodicidad cuantica 574.1. ¿Como cuantizar sımbolos en variedades? . . . . . . . . . . . . . 574.2. Ergodicidad Clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3. Version debil del Teorema de Egorov . . . . . . . . . . . . . . . 634.4. Teorema de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5. Equidistribucion de las funciones propias del Laplaciano . . . . 67

A. Transformada de Fourier de una exponencial imaginaria 75

B. Teorema de Cotlar-Stein 79

C. Como determinar el operador ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉) 81

Notacion 83

Bibliografıa 86

Capıtulo 1

Conocimientos previos

En este capıtulo pasaremos a detallar los conocimientos previos precisos parael entendimiento de las tecnicas utilizadas en el Analisis Semiclasico.

1.1. Estructura Simplectica en R2n

Sea (x, ξ) ∈ R2n. Como fue anticipado en la introduccion interpretaremosx ∈ Rn como la posicion y a ξ ∈ Rn como el momento.

De ahora en adelante notaremos 〈, 〉 al producto interno usual en R2n

Definicion 1.1 (Producto interno simplectico)Dados dos vectores u = (x, ξ) y v = (y, η) en R

2n definimos el productosimplectico, σ, de la siguiente manera

σ(u, v) := 〈ξ, y〉 − 〈x, η〉.

Otra manera de expresar lo de arriba es decir

σ(u, v) = 〈u, Jv〉,

donde J ∈ M2n×2n esta definida por

J =

(

0 −II 0

)

.

Observacion 1.1El producto simplectico , σ, resulta ser bilinear, antisimetrico y no degenerado(si σ(u, v) = 0 ∀v ⇒ u = 0).

14 Conocimientos previos

Definicion 1.2 (Sobre formas diferenciales)

Si x = (x1, ..., xn), ξ = (ξ1, ..., ξn) definimos dxj y dξj ∈ (R2n)∗ por

dxj(x, ξ) = xj ,

dξj(x, ξ) = ξj.

Si α, β ∈ (R2n)∗ definimos

(α ∧ β)(u, v) := α(u)β(v) − α(v)β(u)

para u, v ∈ R2n.

Si f : Rn → R, el diferencial de f es la 1-forma

df =∑ ∂f

∂xidxi.

Observacion 1.2Con las definiciones anteriores obtenemos

σ =∑

dξj ∧ dxj .

Vale la pena decir que a σ tambien se le denomina forma canonica simplectica.

Definicion 1.3 (Campo vectorial Hamiltoniano)Si f ∈ C∞(R2n) definimos Hf el campo vectorial hamiltoniano asociado a f ,como aquel que verifica

σ(u,Hf) = df(u).

Como σ es no degenerada Hf esta bien definido. A Hf tambien se le suelellamar gradiente simplectico.Notar que con todo lo antes definido podemos deducir que

Hf =

(

df

dξ1, ...,

df

dξn,− df

dx1, ...,− df

dx1

)

.

Lo que muchas veces aparece en los textos como

x = ∂f∂ξ

ξ = −∂f∂x

.

NotaremosHfg = σ(Hf , Hg).

1.2 Metricas 15

Definicion 1.4 (Parentesis de Poisson)Si f, g ∈ C∞(R2n) definimos al parentesis de Poisson por

f, g := Hfg =n∑

j=1

∂f

∂ξj

∂g

∂xj− ∂f

∂xj

∂g

∂ξj.

Observacion 1.3El parentesis de Poisson verifica la Identidad de Jacobi,

f, g, h + g, h, f+ h, f, g = 0.

Observacion 1.4Dada p : R2n → R, llamamos φt al flujo generado por Hp

Si definimos at(x, ξ) = a φt(x, ξ) obtendremos que

d

dtat = p, at.

Ya que si notamos φt = (φx1

t , ..., φxnt , φ

ξ1t , ..., φ

ξnt ), de la regla de la cadena se

deduce:

d

dtat =

n∑

i=1

∂at∂xi

.dφxi

t

dt+∂at∂ξi

.dφξitdt

=n∑

i=1

∂at∂xi

.∂p

∂ξ− ∂at∂ξi

.∂p

dx

= p, at.

1.2. Metricas

Trabajaremos en una variedad riemanniana (X, g) de dimension n, notaremos| · |x a la norma definida en TxX inducida por la metrica g en el punto x (gx).Si ξ, ζ ∈ T ∗

xX por el teorema de Riesz existen v ∈ X y w ∈ X tal que

ξ(u) = gx(u, v) ∀u ∈ X ζ(u) = gx(u, w) ∀u ∈ X.

Podemos entonces definir un producto escalar gx en T ∗xX de la siguiente ma-

nera:gx(ξ, ζ) := gx(v, w).

Sea x ∈ X.Si ponemos ∂

∂xi:= dxϕ

−1(ei) para i = 1, ..., n (donde los ei son los vectores


de la base canonica de Rn obtenemos que ∂∂x1, ..., ∂

∂xn es base ortonormal del

TxX.Definamos ahora funcionales dxi : TxX → R por dxi(

∂∂xj

) := δi j . De esta

manera obtuvimos que dx1, ..., dxn es una base ortonormal del T ∗xX.

Observemos que como dxi(v) = 〈v, ∂∂xi

〉 para todo v ∈ TxX, entonces

gx(dxi, dxj) = gx

(

∂

∂xi,∂

∂xj

)

.

Si ξ =∑n

i=1 ξidxi ∈ TxX tenemos que

gx(ξ, ξ) = gx

(

n∑

i=1

ξidxi,n∑

i=1

ξkdxk

)

=∑

i,j

ξiξjgx(dxi, dxj)

=∑

i,j

ξiξjgx

(

∂

∂xi,∂

∂xj

)

.

Definamos

gij(x) := gx

(

∂

∂xi,∂

∂xj

)

.

Si notamos ξ al vector ξ en la base dx1, ..., dxn, ξ = (ξ1, ..., ξn), y definimosla matriz G(x) = (gij(x))i,j (notar que es diferenciable porque las gij(x) sondiferenciables ) logramos

|ξ|x = gx(ξ, ξ) =

n∑

i=1

(

n∑

j=i

gij(x)ξj

)

ξi = 〈G(x)ξ, ξ〉 (1.1)

Definicion 1.5 (Laplaciano en Variedades)Con la notacion de antes llamemos g := det(G(x)), entonces es posible definiral operador Laplaciano tambien conocido como operador de Laplace-Beltramipor

∆g : C∞(X) → C∞(X),

∆g :=1√g

n∑

i,j=1

∂

∂xi

(

gij√g∂

∂xj

)

.

1.3. Formas de volumen

Sea X una variedad Riemanianna diferenciable orientable y compacta de di-mension n. Esta variedad tiene asociado un atlas finito

(Ui, ϕi) tal que ϕi : Ui → Rn difeomorfismo i = 1, ..., k.

1.3 Formas de volumen 17

Con esta notacion, como X =⋃ki=1 Ui existen g1, ..., gk ∈ C∞

c (X) diferencia-

bles tal que sop(gi) ⊂ Ui y∑k

i=1 gi = 1.

Como X es una variedad Riemanianna orientable de dimension n, tiene aso-ciada una n-forma de volumen ω en X.

La forma de volumen ω en X induce una forma de volumen ω en Rn quees el pushforward de ω por las cartas locales de X, ω = ωxx∈Rn esta definidapor

ωx(v1, ..., vn) := ωϕ−1

i (x)((dϕi)−1(v1), ..., (dϕi)

−1(vn)),

donde ϕi es una carta local de X.

Observacion 1.5Como las formas n-lineales en Rn son colineales existe ui(x) tal que

ωx(v1, ..., vn) = ui(x) dx1...dxn(v1, ..., vn).

Esto significa que si f : Ui → R, por el teorema de cambio de variables vale

∫

Ui

fω =

∫

Rn

f ϕ−1i ω =

∫

Rn

f ϕ−1i (x) ui(x) dx1...dxn.

Con lo dicho en la observacion anterior

∫

X

f dvol =

∫

X

f ω =

∫

X

k∑

i=1

f.gi ω =k∑

i=1

∫

X

f.gi ω

=

k∑

i=1

∫

X

(f.gi) ϕ−1i (x) ui(x) dx1...dxn.

Definicion 1.6 (Medida de Liouville)Si (X, g) es una variedad Riemanianna diferenciable de dimension n podemosasociarle de manera canonica una 1-forma θ en el cotangente T ∗X. Si llamamosπ a la proyeccion canonica π : T ∗X → X definida por π(x, ξ) = x podemosdefinir a θ de la siguiente manera:

θ = θ(x,f)(x,f)∈T ∗X θ(x,f) = f dπ.

Si ponemos Ω := dθ (donde dθ es la derivada exterior de θ), Ω resulta ser una2-forma simplectica en T ∗X. Si entonces consideramos Ω ∧ ... ∧ Ω (n veces)


tenemos una 2n-forma no degenerada .Definimos la medida de Liouville L de la siguiente manera: Integrar respectode la medida L es integrar respecto de la forma de volumen Ω ∧ ... ∧ Ω.

Notacion 1.1Dada f ∈ T ∗X notaremos

∫

T ∗X

f dxdξ :=

∫

T ∗X

f dL.

Observacion 1.6De manera analoga a cuando definimos la forma de volumen en la variedad, sif : T ∗Ui → R por el teorema de cambio de variables vale

∫

T ∗Ui

f dL =

∫

R2n

f dϕ−1i (x, ξ) vi(x, ξ) dx1...dxndξ1...dξn.

Es importante mencionar que vale vi(x, ξ) = u2i (x), donde u es la de la obser-

vacion 1.5.

Lema 1.1Notemos | · |x a la norma definida en T ∗

xX inducida por la metrica g en elpunto x. Ver seccion 1.2.Si p : T ∗X → R esta definida por p(x, ξ) := |ξ|2x y f : T ∗X → R es funcionsolo de la primer variable entonces

∫

0≤p≤1

f dxdξ = volX(B(0, 1))

∫

X

f dvol,

aquı usamos la medida de volumen normalizada, i.e., vol(X) = 1.

Demostracion.

∫

0≤p≤1

f dxdξ =

k∑

i=1

∫

T ∗Ui

χ0≤p≤1f(x)gi(x)dL =

=k∑

i=1

∫

Rn×Rn

[χ0≤p≤1 dϕ−1i (x, ξ)][f ϕ−1

i (x)][gi ϕ−1i (x)]u2(x) dx1...dxndξ1...dξn.

1.3 Formas de volumen 19

Notemos que∫

Rn

χ0≤p≤1 dϕ−1i (x, ξ)dξ1...dξn =

∫

Rn

χExdξ1...dξn donde

Ex := dϕ−1

i (x)ϕi(Bϕ−1

i (x)(0, 1)).

Entonces nos interesa hallar el volumen de Ex:Notemos vi := dxϕ(ei) donde e1, ..., en es base ortonormal del T ∗

ϕ−1(x)X

volX(Ex) = volRn(B(0, 1))dξ1...dξn(v1, ..., vn)

= volRn(B(0, 1))1

u(x)ωx(v1, ..., vn)

= volX(B(0, 1))1

u(x)ωϕ−1

i (x)(e1, ..., en)

= volX(B(0, 1))1

u(x).

La ultima igualdad vale porque ωϕ−1

i (x)(e1, ..., en) = 1 pues e1, ..., en es baseortonormal.Usando lo anterior

∫

0≤p≤1

f dxdξ =k∑

i=1

∫

Rn

volX(B(0, 1))1

u(x)[f.gi ϕ−1

i (x)]u2(x) dx1...dxn

= volX(B(0, 1))

k∑

i=1

∫

Ui

(fgi) ϕ−1i (x)u(x) dx1...dxn

= volX(B(0, 1))k∑

i=1

∫

Ui

fgi dvol = volX(B(0, 1))

∫

X

f dvol.

Observacion 1.7Si a < b se obtiene

∫

a≤p≤b

f dxdξ = volX(A(a, b))

∫

X

f dvol,

donde A(a, b) denota B(0, b) −B(0, a).

Elijamos a, b ∈ R, a < b y asumamos que ∇p 6= 0 en a ≤ p ≤ b, donde ∇ esla conexion asociada a la forma simplectica Ω en T ∗X.Tenemos entonces que para c ∈ [a, b], p−1(c) ⊂ T ∗X es una variedad diferen-ciable de dimension 2n− 1.


Definicion 1.7 (Medida de Liouville en secciones)Llamaremos Lc a la medidad de Liouville en p−1(c). Caracterizamos a Lc comoaquella medida que cumple

∫ ∫

p−1[a,b]

fdxdξ =

∫ b

a

∫

p−1(c)

f dLc

dc,

donde f : T ∗X → Rn

1.4. Transformada de Fourier

Definicion 1.8 (Espacio de Schwartz, S)

S = S(Rn) := φ ∈ C∞(Rn) : supx|xα∂βφ(x)| <∞ ∀α, β multiındices.

S es un espacio vectorial topologico localmente convexo, que es metrizable ycompleto (es un espacio de Frechet) con la topologıa debil inducida por lafamilia de seminormas pα,β(φ) = supx |xα∂βφ(x)|.Notar que si φ ∈ S, entonces φ y sus derivadas tienden a cero mas rapidamenteque cualquier polinomio.

Definicion 1.9 (Transformada de Fourier)Si φ ∈ S le asociamos su transformada de Fourier F(φ) definida por

F(φ)(ξ) :=

∫

Rn

e−i〈x,ξ〉φ(x)dx.

Notaremos tambien φ = F(φ).

Se puede tambien obtener una formula de inversion

F−1(φ)(x) =1

(2π)n

∫

Rn

ei〈x,ξ〉φ(ξ)dξ.

Se cumple que el operador F : S → S es un isomorfismo lineal y continuo.

1.4 Transformada de Fourier 21

Observacion 1.8Como de lo anterior se deduce que

φ(x) =1

(2π)n

∫

Rn

ei〈x,ξ〉φ(ξ)dξ,

tenemos la siguiente igualdad

φ(0) =1

(2π)n

∫

Rn

φ(ξ)dξ.

Lema 1.2Si φ, ψ ∈ S entonces

∫

Rn

φψdx =

∫

Rn

φψdx.

En consecuencia,∫

Rn

φψdx =

∫

Rn

φψdx.

Demostracion.

∫

Rn

φψdx =

∫

Rn

(∫

Rn

e−i〈x,y〉φ(y)dy

)

ψ(x)dx

=

∫

Rn

(∫

Rn

e−i〈y,x〉ψ(x)dx

)

φ(y)dy

=

∫

Rn

φψdy.

Para probar la segunda afirmacion reemplacemos en la primera ψ por ψ

∫

Rn

φψdy =

∫

Rn

φF(ψ)dx.

Ahora, como ψ = (2π)nF−1(ψ) obtenemos el resultado deseado.


Lema 1.3Sea Q ∈ Mn×n(R) simetrica y no singular. Entonces,

F(ei2〈Qx,x〉) =

(2π)n/2eiπ4sgn(Q)

|detQ|1/2 e−i2〈Q−1x,x〉.

Por una demostracion de este lema ver en el apendice A.1.

Definicion 1.10 (Espacio de distribuciones temperadas)Llamaremos S ′ al espacio dual de funcionales continuos de S dotado con latopologıa debil-∗. A cada operador perteneciente a este espacio le llamaremosdistribucion temperada.

Es importante observar que las medidas son distribuciones en el sentido dearriba si las interpretamos de la siguiente manera: dada µ medida y ϕ ∈ Sentonces

µ(ϕ) :=

∫

ϕ dµ.

Otro hecho importante es que podemos ver a S dentro de S ′ de la siguientemanera: Si ψ ∈ S y llamamos leb a la medida de lebesgue, definimos Lψ ∈ S ′

por

Lψ(ϕ) :=

∫

ψϕ dleb.

Definicion 1.11Definimos la transformada de Fourier de una distribucion L ∈ S ′ por

F(L)(ϕ) := L(F(ϕ)) ∀ϕ ∈ S.Analogamente definimos la antitransformada,

F−1(L)(ϕ) := L(F−1(ϕ)) ∀ϕ ∈ S.

Lema 1.4Si notamos δ0 a la distribucion Delta de Dirac concentrada en cero entonces

F(δ0) = leb.

Demostracion Sea ϕ ∈ S

F(δ0)(ϕ) = δ0(F(ϕ)) =

∫

ϕ dδ0 = ϕ(0) =

∫

ϕ(x)dx = leb(ϕ).

1.4 Transformada de Fourier 23

Lema 1.5Llamemos δy a la medida delta de Dirac concentrada en y. Si vemos a estamedida como una distribucion temperada se cumple:

δy(ϕ) =

∫

Rn

1

(2πh)n

∫

Rn

ei~〈x−y,ξ〉dξ ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ S

Dicho de otra manera, si definimos ψy ∈ S ′ por

ψy(x) :=1

(2πh)n

∫

Rn

ei~〈x−y,ξ〉dξ.

Entonces,δy = Lψy .

A veces nos vamos a referir a esta igualdad de la siguiente manera:

δy = ψy en S ′.

Demostracion.Notaremos ϕy a la funcion ϕy(x) = ϕ(x+ y).

Lψy(ϕ) =

∫

Rn

∫

Rn

1

(2πh)ne

i~〈x−y,ξ〉dξ ϕ(x)dx

=

∫

Rn

∫

Rn

1

(2πh)ne

i~〈x−y,ξ〉ϕ(x)dξ dx

=

∫

Rn

∫

Rn

1

(2πh)ne

i~〈z,ξ〉ϕ(y + z)dξ dz

=

∫

Rn

∫

Rn

1

(2πh)ne

i~〈z,ξ〉ϕy(z)dz dξ

=

∫

Rn

F−1~

(ϕy)(ξ)dξ

= leb(F−1~

(ϕy)).

Utilzamos ahora el lema 1.4 y la definicion 1.11

leb(F−1~

(ϕy)) = [F~(δ0)](F−1~

(ϕy)) = δ0(F~F−1~ϕy) = δ0(ϕy)

=

∫

ϕy(x) dδ0(x) =

∫

ϕ(x+ y) dδ0(x) = ϕ(y) =

∫

ϕ(x) dδy(x)

= δy(ϕ).

EntoncesLψy(ϕ) = δy(ϕ).


1.5. Calculo funcional

Sea H un espacio de Hilbert y B(H) el espacio de los operadores acotados deH. Dado un operador A y una funcion f : C → C, ¿es posible definir f(A)?Primero supongamos que A es un operador acotado. Si f(x) =

∑Nn=1 cnx

n es

un polinomio, queremos que f(A) =∑N

n=1 cnAn.

Supongamos que f(x) =∑∞

n=0 cnxn es una serie de potencias con radio de

convergencia R. Si ‖A‖ < R, entonces la suma∑∞

n=0 cnAn converge a un

operador acotado, entonces es natural definir f(A) =∑∞

n=0 cnAn.

En este caso pedimos que f fuera una funcion analıtica en un dominio queincluıa al espectro de A -spec(A)-. En general se puede dar una definicion ra-zonable para f(A) analıtica en un entorno de spec(A).

Si pedimos que el operador A sea autoadjunto se cumple que para cualquierpolinomio p, ‖p(A)‖ = sup|p(λ)| : λ ∈ spec(A). Esta propiedad es la que nospermite extender el calculo funcional a las funciones continuas, permitiendoprobar el siguiente teorema:

Teorema 1.6 (Calculo funcional)Si A : H → H es un operador autoadjunto en el espacio de Hilbert H entoncesexiste un unico mapa φ : C(spec(A),C) → B(H) que cumple:

1.

φ(fg) = φ(f)φ(g) φ(λf) = λφ(f)

φ(1) = I φ(f) = φ(f)∗.

2. φ es continua, ie, ‖φ(f)‖L(H) ≤ K‖f‖∞.

3. Si id es la funcion identidad (id(x) = x) entonces φ(id) = A.

4. Aφ(f) = φ(f)A.

5. Si Aψ = λψ entonces φ(f)ψ = f(λ)ψ.

6. Si f ≥ 0 entonces φ(f) ≥ 0.

1.5 Calculo funcional 25

Observacion 1.9Sera de utilidad mencionar que si tenemos una familia de operadores que de-penden de un parametro Att∈R, podemos diferenciar los operadores definien-do

d

dtAt

∣

∣

∣

t0:= lım

t→0

At0+t − At0t

.

En esta situacion vale la regla de Leibnitz:

d

dt(At Bt) =

d

dtAt Bt + At

d

dtBt.

Capıtulo 2

Analisis Semiclasico

2.1. El Grupo de Heisenberg

Definimos

Qj : H → H Qj(f)(x1, ..., xn) := xjf(x1, ..., xn, q1, ..., qn)

Pj : H → H Pj(f)(x1, ..., xn) :=i

~

∂f

∂qj(x1, ..., xn, q1, ..., qn).

Consideramos el espacio vectorial A = 〈P1, ...Pn, Q1, ...Qn, I〉R donde I es eloperador identidad.Definimos el parentesis cuantico , Q entre dos operadores: dados A,B :H → H

A,BQ :=i

~[A,B],

aquı [A,B] = AB −BA.El espacio (A, , Q) resulta un algebra de Lie pues , Q cumple:

1. Es bilineal

2. Es antisimetrico A,BQ = −B,AQ

3. Verifica la identidad de Jacobi

A, B,CQQ + B, C,AQQ + C, A,BQQ = 0.

Necesitaremos introducir nuevos operadores para luego explicar la cuantiza-cion de Weyl. Con este motivo definimos el Grupo de Heisenberg, Hn, como elconjunto de operadores obtenido al exponenciar los operadores de A.

Nos interesaremos en el operador ei(〈σ,P〉+〈τ,Q〉) con σ, τ ∈ Rn. Aquı P :=(P1, ..., Pn) y Q := (Q1, ..., Qn):Si ψ ∈ L2(Rn), dado un t ∈ R, definimos U(t) : L2(Rn) → L2(Rn) como el

28 Analisis Semiclasico

operador que a ψ le asigna Ft, siendo Ft la solucion en tiempo t de la ecuaciondiferencial

∂F

∂t= i(〈σ,P〉 − 〈τ,Q〉)F con dato inicial F0(x) = ψ(x).

Diremos entonces que ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉) = U(1)

Para obtener explıcitamente a ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉) se halla la solucion de la ecuacion

diferencial utilizando el metodo de las curvas caracterısticas. En el apendi-ce C se encuentra en detalle la solucion para el caso n = 1 (para mayoresdimensiones se procede de la misma manera).Se demuestra entonces que

ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉)ψ(x) = ei〈

σ2+x,τ〉ψ(x+ σ) (2.1)

2.2. ¿Como cuantizar un operador?

Un proceso de cuantizacion es una forma de asociar a una funcion f : T ∗X → R

un operador Op(f) : H → H. Tomaremos X = Rn, identificaremos T ∗X conRn × Rn y H sera L2(Rn). Hay varios aspectos a tener en cuenta:

Al establecer un proceso de cuantizacion tendremos que definir el con-junto de funciones a las cuales se les pueda asignar mediante esa reglaun operador. A esto nos dedicaremos en el capıtulo 3.

Debemos asegurarnos que en el proceso de cuantizacion la conmutativi-dad de funciones se corresponda de alguna manera con la conmutatividadde operadores. Para ser mas especıficos, supongamos que a pi (la funcionde momento) le asignamos el operador Pi y a qi (la funcion de posicion) leasignamos Qi. Inmediatamente nos enfrentamos a un problema: ¿que leasignamos a piqi?Tenemos que piqi = qipi pero PiQi 6= QiPi.

Definicion 2.1 (Transformada de Fourier Semiclasica)Si φ ∈ S le asociamos su transformada de Fourier semiclasica F~(φ)

F~(φ)(ξ) :=

∫

Rn

e−i~〈x,ξ〉φ(x)dx.

Notaremos tambien φ = F~(φ).

2.3 Metodo de fase estacionario 29

Se puede tambien obtener una formula de inversion

F~−1(φ)(x) =

1

(2π~)n

∫

Rn

ei~〈x,ξ〉φ(ξ)dξ.

Observar que entonces podemos hacer que el sımbolo φ dependa del parametro~:

φ(x) =1

(2π~)n

∫

Rn

ei~〈x,ξ〉φ(ξ)dξ.

Cuantizacion de Weyl

Dado un sımbolo a : Rn × Rn → R, a ∈ S le asociamos el operador OpW (a)conocido como operador de Weyl y definido de la siguiente manera:

OpW (a)ψ(x) :=1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

a

(

y + x

2, ξ

)

ei~〈x−y,ξ〉ψ(y)dydξ.

En el proximo capıtulo desarrollaremos en detalle los aspectos de esta cuanti-zacion.Sera conveniente utilizar la siguiente notacion:

aω := OpW (a).

Cuantizacion estandar

Sea 0 ≤ t ≤ 1. Definimos

Opt(a)ψ(x) :=1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

a (tx+ (1 − t)y, ξ) e−i~〈y−x,ξ〉ψ(y)dydξ.

Observar que Op 1

2

(a) = OpW (a).

2.3. Metodo de fase estacionario

Notacion 2.1 (Integral Oscilatoria)Si ϕ ∈ C∞(Rn) y a ∈ C∞

c (Rn) notaremos

I~ :=

∫

Rn

ei~ϕa dx.


Teorema 2.1Sea f : R

2n → R, f ∈ C∞c (R2n). Entonces ∀ N ∈ Z

+

∫

R2n

ei~〈x,ξ〉f(x, ξ)dxdξ = (2π~)n

(

N−1∑

k=0

~k

k!

(

(〈Dx, Dξ〉i

)k

f

)

(0, 0)

)

+O(~N).

A veces escribiremos este resultado de la siguiente manera:

∫

R2n

ei~〈x,ξ〉f(x, ξ)dxdξ ∼ (2π~)n[e−i~〈Dx,Dξ〉f ](0, 0).

Demostracion.Definamos

Q :=

(

O II O

)

.

Es facil observar que Q(x, ξ) = (ξ, x) ∀ (x, ξ) ∈ R2n y que Q = Q−1. Entonces〈Q(x, ξ), (x, ξ)〉 = 2〈x, ξ〉.

Entonces

I~ =

∫

R2n

ei~〈x,ξ〉f(x, ξ)dxdξ =

∫

R2n

ei

2~〈Q(x,ξ),(x,ξ)〉f(x, ξ)dxdξ.

Paso 1

Definamos Q~ :=

(

O 1~I

1~I O

)

Ası Q−1~

= ~2Q~ , sgn(Q~) = 0, |detQ~| = 1~2n .

Si utilizamos el lema 1.3

F(ei

2~〈Qx,x〉) = F(e

i2〈Q~x,x〉)

=(2π)n

(1/h)ne−

i2〈Q−1

~x,x〉

= (2π~)ne−i~2

2〈Q~x,x〉

= (2π~)ne−i~2〈Qx,x〉.

2.3 Metodo de fase estacionario 31

Utilicemos ahora el lema 1.2

I~ =

∫

R2n

ei

2~〈Q(x,ξ),(x,ξ)〉f(x, ξ)dxdξ

=1

(2π)2n

∫

R2n

F(ei

2~〈Q(x,ξ),(x,ξ)〉)F(f)(x, ξ)dxdξ

=1

(2π)2n

∫

R2n

(2π~)ne−i~2〈Q(x,ξ),(x,ξ)〉F(f)(x, ξ)dxdξ

=

(

~

2π

)n ∫

R2n

e−i~2〈Q(x,ξ),(x,ξ)〉f(x, ξ)dxdξ.

Paso 2Si definimos

J(~, f) :=

∫

R2n

e−i~2〈Q(x,ξ),(x,ξ)〉f(x, ξ)dxdξ.

Tenemos que

∂J

∂~(~, f) =

∫

R2n

e−i~2〈Q(x,ξ),(x,ξ)〉 1

2i〈Q(x, ξ), (x, ξ)〉f(x, ξ)dxdξ.

Afirmamos que ∂J∂~

(~, f) = J(~, P f) donde P = −i〈Dx, Dξ〉:Para probarlo debemos verificar que

F(Pf)(x, ξ) =1

2i〈Q(x, ξ), (x, ξ)〉f(x, ξ).

Como 12i〈Q(x, ξ), (x, ξ)〉f(x, ξ) = −i〈x, ξ〉f(x, ξ), si calculamos la antitransfor-

mada de Fourier de −i〈x, ξ〉f(x, ξ) nos deberıa dar Pf(x, ξ). Veamoslo:

F−1(−i〈x, ξ〉f(x, ξ)) =1

(2π)2n

∫ ∫

−i〈y, α〉ei〈(y,α),(x.ξ)〉f(y, α)dydα

=1

(2π)2n

∫ ∫

−i〈Dx, Dξ〉ei〈(y,α),(x.ξ)〉f(y, α)dydα

= −i〈Dx, Dξ〉f(x, ξ)

= Pf(x, ξ).

Analogamente se deduce que ∂kJ∂~k (~, f) = J(~, P kf)

Paso 3Hagamos el desarrollo de Taylor en 0 para J como funcion de ~:

J(~, f) =N−1∑

k=0

~k

k!J(0, P kf) +

~N

N !oN(~, f),


con oN(~, f) := N∫ 1

0(1 − t)N−1J(t~, PNf)dt

I~ =

(

~

2π

)n

J(~, f) =

(

~

2π

)n N−1∑

k=0

~k

k!J(0, P kf) +

~N

N !oN (~, f).

Por otro lado por la observacion 1.8

J(0, P kf) =

∫

R2n

F(

(

1

i〈Dx, Dy〉

)k

f

)

dξdη

= (2π)2n

(

(

1

i〈Dx, Dξ〉

)k

f

)

(0, 0).

Entonces

I~ = (2π~)n

(

N−1∑

k=0

~k

k!

(

(

1

i〈Dx, Dξ〉

)k

f

)

(0, 0)

)

+~N

N !oN(~, f).

Observacion 2.1De manera analoga se prueba que si Q es no singular y simetrica entonces

∫

Rn

ei

2~〈Q−1x,x〉f(x)dx ∼ (2π~)ne

iπ4sgnQ|detQ| 12

[

e−i~2〈QD,D〉f

]

(0).

Capıtulo 3

Descripcion y Generalizacion dela cuantizacion de Weyl

Hermann Weyl en 1931 sugirio cuantizar el observable ei~(〈p,σ〉+〈q,τ〉) asignandole

el operador ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉).

Dada a : Rn × Rn → R, a ∈ S, llamemos a : Rn × Rn → R a su transformadade Fourier semiclasica:

a(σ, τ) =

∫

R2n

e−i~(〈q,τ〉+〈p,σ〉)a(q, p)dqdp.

Con la formula de inversion obtenemos:

a(q, p) =1

(2π~)2n

∫

R2n

ei~(〈q,τ〉+〈p,σ〉)a(τ, σ)dτdσ.

Asignemosle entonces a la funcion a(q, p) el operador a(Q,P) definido de lasiguiente manera:Sea ψ ∈ S

a(Q,P)ψ(x) =1

(2π~)2n

∫

R2n

ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉)a(τ, σ)ψ(x)dτdσ (3.1)

=1

(2π~)2n

∫

R2n

ei~〈σ

2+x,τ〉a(τ, σ)ψ(x+ σ)dτdσ

La primera igualdad se debe a la definicion del operador ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉).

Si y = x+ σ entonces

a(Q,P)ψ(x) =1

(2π~)2n

∫

R2n

ei〈x+y

2,τ〉a(τ, y − x)ψ(y)dydτ.

34 Descripcion y Generalizacion de la cuantizacion de Weyl

Como

a(τ, y − x) =

∫

R2n

e−i~(〈y−x,p〉+〈τ,ω〉)a(ω, p)dpdω,

a(Q,P)ψ(x) =1

(2π~)2n

∫

R2n

∫

R2n

e−i~〈y−x,p〉e−

i~〈τ,ω〉a(ω, p)dpdw

ei〈x+y

2,τ〉ψ(y)dydτ

=1

(2π~)2n

∫

R2n

∫

R2n

e−i~〈τ,ω〉a(ω, p)ei〈

x+y2,τ〉dwdτ

e−i~〈y−x,p〉ψ(y)dydp.

Llamemos a a la transformada de Fourier de a respecto de su primer variable:

a(τ, p) =

∫

Rn

e−i~〈τ,ω〉a(ω, p)dω.

a(Q,P)ψ(x) =1

(2π~)2n

∫

R2n

∫

Rn

a(τ, p)ei〈x+y

2,τ〉dτ

e−i~〈(y−x,p〉ψ(y)dydp.

Utilizando la formula de inversion para a vista como funcion de su primervariable obtenemos:

a

(

y + x

2, p

)

=1

(2π~)n

∫

Rn

a(τ, p)ei~〈x+y

2,τ〉dτ.

Sustituyendo en la ecuacion anterior obtenemos

a(Q,P)ψ(x) =1

(2π~)n

∫

R2n

a

(

y + x

2, p

)

ei~〈x−y,p〉ψ(y)dydp.

Lo que haremos es notar OpW (a) := a(Q,P). Como ya dijimos antes, a vecespondremos aω := OpW (a).

3.1. Composicion en la cuantizacion de Weyl

Sea v ∈ R2n, definimos V : R

2n → C por V (x, ξ) := 〈v, (x, ξ)〉.Entonces si v = (q, p) tenemos que V (x, ξ) = 〈q, x〉 + 〈p, ξ〉.

Con esta notacion sabemos que OpW (ei~V (x,ξ)) = e

i~(〈Q,x〉+〈P,ξ〉).

3.1 Composicion en la cuantizacion de Weyl 35

Lema 3.1Utilizando la notacion anterior y recordando la definicion 1.1 obtenemos:

I. σ(v, u) = V, U

II. ei~V ω

ei~Uω

= e−i2V,Ue

i~(V+U)ω

III. ei

2~σ(~Dy ,~Dz)e

i~(V (y)+U(z)) = e

i~(V (y)+U(z))+ i

2~σ(v,u)

Demostracion de I

Tenemosv = (q, p) V (x, ξ) = 〈q, x〉 + 〈p, ξ〉,u = (s, t) U(x, ξ) = 〈s, x〉 + 〈t, ξ〉.

Entonces

V, U = 〈∂ξV, ∂xU〉 − 〈∂xV, ∂ξU〉= 〈p, s〉 − 〈q, t〉= σ(v, u).

Demostracion de II

De la ecuacion (2.1), que se encuentra en el apendice, obtenemos las siguientesigualdades:

(

ei~V)ω

ψ(y) = ei~〈y,t〉+ i

2~〈s,t〉ψ(y + s)

(

ei~U)ω

ψ(y) = ei~〈y,p〉+ i

2~〈q,p〉ψ(y + q)

(

ei~(U+V )

)ω

ψ(y) = ei~〈y,p+t〉+ i

2~〈q+s,p+t〉ψ(y + q + s).

Entonces(

ei~V)ω (

ei~U)ω

ψ(y) = ei~〈y,p〉+ i

2~〈q,p〉e

i~〈y+~q,t〉+ i

2~〈s,t〉ψ(y + q + s)

= ei~〈y,p+t〉+ i

2〈q+s,p+t〉ψ(y + q + s)e−

i2(〈q,t〉+〈s,p〉)ei〈q,t〉

=(

ei~(U+V )

)ω

ψ(y)e−i2(〈p,s〉−〈q,t〉)

= e−i2V,Ue

i~(V+U)ω

ψ(y).

Demostracion de III

Lo que haremos es probar que

σ(~Dy, ~Dz)ei~(V (y)+U(z)) = σ(v, u)e

i~(V (y)+U(z)).


Luego el resultado se deduce del teorema 1.5.Notaremos y = (x, ξ) , z = (s, η), v = (v1, v2) y u = (u1, u2).

Llamaremos ψ(y, z) = ei~(V (y)+U(z)). Es bien simple verificar que

〈Dx, Dη〉ψ =1

~2〈u2, v1〉ψ,

〈Dξ, Dy〉ψ =1

~2〈v2, u1〉ψ.

Entonces

σ(~Dy, ~Dz)ψ = ~2

(

1

~2〈u2, v1〉ψ − 1

~2〈v2, u1〉ψ

)

= σ(u, v)ψ.

Teorema 3.2

I. Dadas a, b ∈ S tendremos aω bω = cω. Para el sımbolo c = a♯b definidopor

a♯b(x, ξ) := ei~2σ(Dx,Dξ,Dy,Dη)(a(x, ξ)b(y, η)) |x=y,ξ=η (3.2)

σ(Dx, Dξ, Dy, Dη) := 〈Dξ, Dy〉 − 〈Dx, Dη〉

II. Tenemos tambien una representacion integral del sımbolo

a♯b(x, ξ) =1

(π~)2n

∫

R4n

e2i~σ((y,η),(z,ν))a(x+ z, ξ + ν)b(x+ y, ξ + η)dydηdzdν

(3.3)

Demostracion de I

Sea v ∈ R2n, definimos como antes V (x, ξ) := 〈v, (x, ξ)〉.


Con esta notacion, de la ecuacion (3.1) obtenemos que

aω =1

(2π~)2n

∫

R2n

ei~V ω

a(v)dv bω =1

(2π~)2n

∫

R2n

ei~Uω

b(u)du.

Entonces utilizando el lema 3.1 deducimos

aωbω =1

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

a(v)b(u)ei~V ω

ei~Uω

dudv

=1

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

a(v)b(u)e−i2V,Ue

i~(V+U)ω

dudv

=1

(2π~)2n

∫

R2n

c(w)ei~Wω

dw.

Para lograr la ultima igualdad tomamos w = v + uDonde

c(w) :=1

(2π~)2n

∫

u+v=w

a(v)b(u)ei

2~V,Udv (3.4)

Lo que haremos entonces es probar que c definido por (3.4) es la transformadade Fourier de c = a♯b definida por (3.2).

Primero que nada tenemos

a(y) =1

(2π~)2n

∫

R2n

ei~V (y)a(v)dv,

b(z) =1

(2π~)2n

∫

R2n

ei~U(z)b(u)dv.

Y tenemos que si y := (x, ξ) y z := (y, η), utilizando el lema 3.1 podemosreescribir la ecuacion (3.2) de la siguiente manera:

c(y) = ei~2σ(Dy ,Dz)a(y)b(z) |y=z

= ei

2~σ(~Dy ,~Dz)a(y)b(z) |y=z

=1

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

ei

2~σ(~Dy ,~Dz)e

i~(V (y)+U(z)) |y=z a(v)b(u)dvdu

=1

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

ei~(V (y)+U(y))+ i

2~σ(v,u)a(v)b(u)dvdu (3.5)


La transformada de Fourier de c es entonces

c(w) =1

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

∫

Rn

ei~(V+U−W (y))e

i2~σ(v,u)a(v)b(u)dvdudy.

Si notamos que 1(2π~)2n

∫

Rn

ei~(V+U−W (y))dy es una distribucion, entonces la si-

guiente expresion tiene sentido:

c(w) =1

(2π~)2n

∫

R2n

∫

R2n

1

(2π~)2n

∫

Rn

ei~(V+U−W (y))dy

ei

2~σ(v,u)a(v)b(u)dvdu.

Del lema 1.5 deducimos que

δv+u=w =1

(2π~)2n

∫

Rn

ei~(V +U−W (y))dy enS ′.

Finalmente

c(w) =1

(2π~)2n

∫

u+v+w

ei

2~σ(v,u)a(v)b(u)dv.

Como del lema 3.1 nos dice que σ(u, v) = V, U tenemos lo que querıamos

Demostracion de II

Por un lado tenemos que

a(v) =

∫

e−i~V (w1)a(w1)dw1 b(u) =

∫

e−i~U(w2)a(w2)dw2.

Combinando esto con la ecuacion (3.5) obtenemos

a♯b(y) =

=1

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

ei~(V (y)+U(y))+ i

2~σ(v,u)a(v)b(u)dvdu

=1

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

∫

R2n

∫

R2n

ei~(V (y−w1)+U(y−w2))+ i

2~σ(v,u)a(w1)b(w2) dw1 dw2 dv du

=1

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

∫

R2n

∫

R2n

ei~(V (w3)+U(w4))+

i2~σ(v,u)a(y − w3)b(y − w4) dw3 dw4 dv du.

Ahora, llamemos φ(w3, w4) := a(y − w3)b(y − w4).


a♯b(y) =

=1

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

∫

R2n

∫

R2n

ei~(V (w3)+U(w4))+ i

2~σ(v,u)φ(w3, w4) dw3 dw4 dv du

=1

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

∫

R2n

ei~U(w4)

∫

R2n

ei~V (w3+ 1

2Ju) dv

duφ(w3, w4) dw3 dw4

=1

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

ei~U(w4)

∫

R2n

∫

R2n

ei~V (w3+ 1

2Ju) dv

φ(w3, w4) dw3

du dw4

=(2π~)2n

(2π~)4n

∫

R2n

∫

R2n

ei~U(w4)

∫

R2n

(

δ− 1

2Ju(φ(·, w4))

)

du dw4

=1

(2π~)2n

∫

R2n

∫

R2n

ei~U(w4)

∫

R2n

∫

R2n

φ(·, w4)δ− 1

2Ju(w3)

du dw4

=1

(2π~)2n

∫

R2n

∫

R2n

ei~U(w4)φ(−1

2Ju, w4)du

dw4

=22n

(2π~)2n

∫

R2n

∫

R2n

ei~〈2Jw3,w4〉φ(w3, w4)dw3 dw4

=1

(π~)2n

∫

R2n

∫

R2n

ei~〈2Jw3,w4〉a(y − w3)b(y − w4)dw3 dw4

=1

(π~)2n

∫

R2n

∫

R2n

e−2i

~σ(w3,w4)a(y − w3)b(y − w4)dw3 dw4 (3.6)

=1

(π~)2n

∫

R2n

∫

R2n

e2i~σ(w3,w4)a(y + w3)b(y + w4)dw3 dw4

Para lograr la penultima igualdad hicimos r = w3 + 12Ju, lo que implico u =

2J(w3 − r) ya que J−1 = −J .


Teorema 3.3Dadas a, b ∈ S tendremos

I.

a♯b(x, ξ) =N∑

k=0

1

k!

(

i~

2σ(Dx, Dξ, Dy, Dη)

)k

a(x, ξ)b(y, η)

∣

∣

∣

∣

∣

x=y,ξ=η

+O(~N+1).

II.

a♯b = ab+~

2ia, b +O(~2) ~ → 0 (3.7)

Demostracion de I.De la ecuacion (3.3) obtenemos

a♯b(x, ξ) =1

(π~)2n

∫

R4n

e2i~σ((w,µ),(z,ν))a(x+ z, ξ + ν)b(x + w, ξ + µ)dzdνdwdµ

=1

(π~)2n

∫

R4n

e2i~σ((w,µ),(z,ν))a(x+ z, ξ + ν)b(y + w, η + µ)dzdνdwdµ |y=x,η=ξ .

Definamos

f((µ,−w), 2(z, ν)) = a(x+ z, ξ + ν)b(y + w, η + µ),

f(0, 0) = a(x, ξ)b(y, η).

Del teorema 2.1 obtenemos

a♯b(x, ξ) =

=1

(π~)2n

∫

R4n

ei~〈(µ,−w),2(z,ν)〉f((µ,−w), 2(z, ν)) dzdνdwdµ |y=x,η=ξ

=1

(π~)2n

∫

R4n

ei~〈(µ,w′),(z′,ν ′)〉f((µ, w′), (z′, ν ′))|1/2|2n| − 1|n dz′dν ′dw′dµ |y=x,η=ξ

=1

(2π~)2n

∫

R4n

ei~〈(µ,w′),(z′,ν ′)〉f((µ, w′), (z′, ν ′)) dz′dν ′dw′dµ |y=x,η=ξ

=1

(2π~)2n(2π~)2n

N∑

k=0

~k

k!

(〈D(µ,−w), D2(z,ν)〉i

)k

f(0, 0)

∣

∣

∣

∣

∣

y=x,η=ξ

+O(~N).

Para pasar de la primer igualdad a la segunda hicimos los siguientes cambiosde variables: w′ := −w z′ := 2z ν ′ := 2ν.


Como

〈D(µ,−w), D2(z,ν)〉 = 〈(Dµ, D−w),1

2(Dz, Dν)〉

=1

2〈(Dµ,−Dw), (Dz, Dν)〉

= −1

2(〈Dµ, Dz〉 − 〈Dw, Dν〉)

= −1

2σ(Dz, Dν , Dw, Dµ).

a♯b(x, ξ) =

N∑

k=0

1

k!

(

i~

2σ(Dz, Dν , Dw, Dµ)

)k

a(x, ξ)b(y, η)

∣

∣

∣

∣

∣

y=x,η=ξ

+O(~N).

Demostracion de II.

a♯b = ab+i~

2σ(Dx, Dξ,Dy, Dη)a(x, ξ)b(y, η) |x=y, ξ=η +O(~2)

= ab+i~

2(〈Dξa,Dyb〉 − 〈Dxa,Dηb〉) |x=y, ξ=η +O(~2)

= ab+~

2i(〈∂ξa, ∂xb〉 − 〈∂xa, ∂ξb〉) +O(~2)

= ab+~

2ia, b +O(~2).

Teorema 3.4Dadas a, b ∈ S entonces

[aω, bω] =~

ia, bω +O(~2).

Demostracion.

[aω, bω] = aωbω − bωaω

= (a♯b− b♯a)ω

=

(

ab+~

2ia, b −

(

ba +~

2ib, a

)

+O(~2)

)ω

=~

ia, bω +O(~2).


3.2. Extension de la cuantizacion de Weyl

Hasta esta parte hemos visto que si el sımbolo a ∈ S podemos cuantizarlo dela siguiente manera

awψ(x) :=1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

a

(

y + x

2, ξ

)


Uno de los problemas al que nos enfrentamos ahora es que nos interesa trabajarcon el sımbolo p(x, ξ) = |ξ|2 y el mismo no pertenece al espacio de Schwartz;tambien querremos cuantizar sımbolos que unicamente dependan de la varia-ble x, estos tampoco pertenecen a S. Extenderemos entonces la cuantizacionde Weyl para poder contemplar estos casos.

Definicion 3.1 (Funcion de Orden)Una funcionm : R

n → (0,∞) es llamada funcion de orden si existen constantesC,N tal que

m(z) ≤ C〈z − w〉Nm(w) w, z ∈ Rn.

Observar que entoncesm(z) ≤ C〈z〉N .

Aquı utilizamos la siguiente notacion: 〈ξ〉 =√

1 + |ξ|2 ξ ∈ Rn donde |ξ|2 =∑n

i=1 ξ2i .

Observacion 3.1Las funciones m(z) = 1 y m(z) = 〈z〉 = (1 + |z|2) 1

2 son funciones de orden.

Definicion 3.2Dada una funcion de ordenm en R2n definimos las siguientes clases de sımbolos:

S(m) := a ∈ C∞(R2n) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂αa(x, ξ)| ≤ Cαm(ξ) ∀(x, ξ)

Skδ (m) := a ∈ C∞(R2n) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂αa(x, ξ)| ≤ Cα

~δ|α|+km(ξ) ∀(x, ξ).

Ası mismo notaremos

S := a ∈ C∞(R2n) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂αa(x, ξ)| ≤ Cα ∀(x, ξ)

Sδ := a ∈ C∞(R2n) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂αa(x, ξ)| ≤ Cα

~δ|α|∀(x, ξ).

3.2 Extension de la cuantizacion de Weyl 43

Antes de continuar realicemos un par de observaciones:

Con el fin de facilitar la notacion lo que haremos a continuacion es mos-trar que sin perdida de generalidad podemos tomar ~ = 1 en la cuanti-zacion de un sımbolo:Realicemos los siguientes cambios de variables

x′ =x

~1

2

y′ :=y

~1

2

ξ′ :=ξ

~1

2

,

awψ(x) =1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

a

(

y + x

2, ξ

)

ei~〈x−y,ξ〉ψ(y)dydξ

=1

(2π)n

∫

Rn

∫

Rn

a′(

y′ + x′

2, ξ′)

ei〈x′−y′,ξ′〉ψ′(y)dydξ

= (a′)wψ′(x′).

Aquıψ′(x′) := ψ(~

1

2x′) a′(x′, ξ′) := a(~1

2x′, ~1

2 ξ′).

Es importante observar que si a ∈ Sδ entonces a′ ∈ Sδ− 1

2

ya que

|∂αa′| = h|α|2 |∂αa| ≤ Cα~

−(δ− 1

2)|α|.

Observar que S es denso en Sδ(m) ya que las funciones de Sδ(m) sonaproximables por funciones de soporte compacto.

Teorema 3.5 (Generalizacion de la cuantizacion de Weyl)Si a ∈ Sδ(m) y definimos

awψ(x) :=1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

a

(

y + x

2, ξ

)


Entoncesaw : S → S.

Demostracion.Paso IAsumiremos ~ = 1. Definamos el siguiente operador:

L :=1 + 〈ξ,Dy〉

1 + |ξ|2 .


Utilizando que Dξ(ei〈x−y,ξ〉) = (x− y)ei〈x−y,ξ〉 es facil verificar que

L(ei〈x−y,ξ〉) = ei〈x−y,ξ〉.

Teniendo esto en cuenta y notando l = I + 〈ξ,Dy〉 realicemos el siguientecalculo:

awψ(x) =

=1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

a

(

y + x

2, ξ

)

Lk(

ei~〈x−y,ξ〉

)

ψ(y)dydξ

=1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

Lk(

a

(

y + x

2, ξ

)

ψ(y)

)

ei~〈x−y,ξ〉dydξ

=1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

1

(1 + |ξ|2)k lk

(

a

(

y + x

2, ξ

)

ψ(y)

)

ei~〈x−y,ξ〉dydξ.

Usando la regla de Leibnitz, que a ∈ Sδ(m) y la definicion 3.1 es facil ver que∣

∣

∣

∣

lk(

a

(

y + x

2, ξ

)

ψ(y)

)∣

∣

∣

∣

≤ Cn|ξ|k∑

|α|≤k

∣

∣

∣∂αy a

(

y + x

2, ξ

)

∣

∣

∣

∑

|α|≤k| ∂αy ψ(y) |

≤ Cn|ξ|k〈ξ〉N∑

|α|≤k

∣

∣

∣∂αy ψ(y)

∣

∣

∣

≤ Cn〈ξ〉k+N∑

|α|≤k| ∂αy ψ(y) | .

Entonces

|awψ(x)| ≤ 1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

Cn〈ξ〉k+N(1 + |ξ|2)k

∑

|α|≤k| ∂αy ψ(y) | dydξ

=

∫

Rn

Cn〈ξ〉k+N(1 + |ξ|2)k dξ

∫

Rn

∑

|α|≤k| ∂αy ψ(y) | dy

≤ Cn

∫

Rn

〈ξ〉k+N(1 + |ξ|2)k dξ

.

Entonces si k > 2n+N probamos que ‖awψ‖∞ <∞Entonces aw : S → L∞

Paso IIPor otro lado tenemos que

xjaw(ψ)(x) =

1

(2π)n

∫

Rn

∫

Rn

(Dξj + yj)a

(

y + x

2, ξ

)



Analogamente es posible concluir xαaw : S → L∞ ya que al integrar por partes

xjaw(ψ)(x) =

1

(2π)n

∫

Rn

∫

Rn

ei~〈x−y,ξ〉(yj +Dξj )a

(

y + x

2, ξ

)

ψ(y)dydξ

=1

(2π)n

∫

Rn

∫

Rn

ei~〈x−y,ξ〉b

(

y + x

2, ξ

)

ψ(y)dydξ

= bw(ψ)(x).

Aquı b = yja+Dξja, lo unico que hay que observar es que b ∈ S, pero esto esfacil ya que como a ∈ S entonces |∂αa| ≤ Cα ∀ α ∈ Nn. Entonces

|∂αb| = |yj∂αa+ ∂αDξja| ≤ |yj|Cα + |∂βa| ≤ |yj|Cα + Cβ,

aquı β = (α1, ..., αj + 1, ..., αn).

Paso IIIEs mas, como

Op0

(

e−i(1

2)〈Dx,Dξ〉a

)

= aw.

Entonces

Dxj(awψ(x)) = Dxj

(Op0

(

e−i2〈Dx,Dξ〉a

)

ψ(x))

= Dxj

1

(2π)n

∫

Rn

∫

Rn

e−i2〈Dy ,Dξ〉a(y, ξ)ei〈x−y,ξ〉ψ(y)dydξ

=1

(2π)n

∫

Rn

∫

Rn

e−i2〈Dy ,Dξ〉a(y, ξ)(−Dyj

ei〈x−y,ξ〉)ψ(y)dydξ.

Integrando de nuevo por partes llegamos a que

Dβaw : S → L∞.

Paso III

Del paso 2 deducimos que Dβxαaw : S → L∞ para todo multiındice α y β.Entonces

aw : S → S.


3.2.1. Afinando errores semiclasicos

Nos proponemos ahora, como indica el tıtulo de esta subseccion, mejorar laestimacion de los errores resultantes de cuantizar la composicion.Con este fin, consideramos la funcion ϕ(x) = 1

2〈Qx, x〉 y estudiamos el co-

dominio del operador ei~ϕ(D) cuando su dominio es Sδ(m) y Q es una matrizsimetrica y no singular.

Teorema 3.6 (Expansion semiclasica)Si 0 ≤ δ ≤ 1

2entonces

ei~ϕ(D) : Sδ(m) → Sδ(m),

y lo que es mas, si 0 ≤ δ < 12

ei~ ϕ(D)a ∼∞∑

k=0

1

k!(i~ϕ(D))ka enSδ(m).

Demostracion.

Caso 0 ≤ δ < 12

De la observacion 2.1 tenemos

[ei~ϕ(D)a](0) ∼ (2π)−n2 e−

iπ4sgn(Q)

~n2 |det(Q)| 12

∫

Rn

e−i

2~〈Q−1w,w〉a(w)dw.

Definamos

Cn :=(2π)−

n2 e−

iπ4sgn(Q)

|det(Q)| 12.

Por otro lado construimos χ : Rn → R diferenciable de manera que χ ≡ 1 en

B(0, 1) y χ ≡ 0 en Rn − B(0, 2).

[ei~ϕ(D)a](z) ∼Cn~

n2

∫

Rn

e−i

2~〈Q−1w,w〉a(z − w)dw

=Cn

~n2

∫

Rn

e−i

2~〈Q−1w,w〉χ(w)a(z − w)dw

+Cn

~n2

∫

Rn

e−i

2~〈Q−1w,w〉(1 − χ(w))a(z − w)dw

= : A+B.


Estimamos A: Como χ(w)a(z −w) tiene soporte compacto, el metodo de faseestacionario nos da la siguiente expansion

A ∼∞∑

k=0

1

k!(i~ϕ(D))ka(z).

Estimamos B : Lo que haremos es probar que B ∈ S−Nδ (m) ∀N . Para eso

definimos

ψ(w) :=1

2〈Q−1w,w〉 L :=

〈∂ψ, ~D〉|∂ψ|2 .

Como L(ei~ψ) = e

i~ψ y L = L∗ podemos operar de la misma manera que en el

teorema 3.5 y obtendremos:

|B| ≤ C~N−n

2 max|α|≤N

∫

Rn

|∂αa(z − w)|〈w〉−Ndw ≤ ~N−n

2−δNm(z).

Haciendo lo mismo para las derivadas de B se llega a lo que querıamos.

Caso δ = 12

Realicemos el cambio de variable v := w

~12

. Entonces

[ei~ϕ(D)a](z) ∼ Cn

∫ n

R

e−i2〈Q−1v,v〉a(z − v~

1

2 )dv.

Finalmente, procediendo como antes, utilizamos χ para obtener lo que quere-mos.

Definicion 3.3Dados a, b ∈ Sδ definimos a♯b por

a♯b(x, ξ) := ei~2σ(Dx,Dξ,Dy,Dη)(a(x, ξ)b(y, η)) |x=y,ξ=η .

Observar que esta definicion es identica a la definicion de a♯b cuando a, b ∈ S.Ver ecuacion (3.2).

Lo que haremos a continuacion es probar que analogamente al caso en quelos sımbolos estan en el espacio de Schwartz, a♯b definido como arriba es elsımbolo de Op(a) Op(b).


Teorema 3.7 (Clase de sımbolo para a♯b)

I. Si a ∈ Sδ(m1) y b ∈ Sδ(m2) entonces

a♯b ∈ Sδ(m1m2).

II. Op(a) Op(b) = Op(a♯b).

Demostracion.I.- Como c(w, z) := a(w)b(z) ∈ Sδ(m1m2) si para w = (x, ξ) y z = (y, η)definimos

ϕ(Dz,w) :=1

2σ(Dx, Dξ;Dy, Dη),

tenemos que utilizando el teorema 3.6

ei~ϕ(D)c ∈ Sδ(m1m2).

Por definicion tenemos que

a♯b(w) = [ei~ϕ(D)c](w,w).

Se deduce lo que queremos.

II.- La segunda afirmacion se deduce del hecho de que S es denso en Sδ(m).

3.2.2. Cuantizacion del Hamiltoniano

Sea p : R2n → R el hamiltoniano definido por p(x, ξ) = |ξ|2 y ∆ el LaplacianoClasico definido por

∆(f) =

n∑

i=1

∂2f

∂x2i

f ∈ C∞(Rn).

Si notamos P (~) := pw probaremos :

p ∈ S(〈ξ〉2)

P (~) = −~2∆

De ahora en adelante a −~2∆ le llamaremos Laplaciano Semiclasico.


p ∈ S(〈ξ〉2):Probaremos que para todo α, β multiındices existe Cα,β tal que

‖∂αx∂βξ |ξ|2‖ ≤ Cα,β〈ξ〉2−|β| (3.8)

Como 1〈ξ〉|β| ≤ 1 para todo β obtendremos lo que buscamos. Probar (3.8)

es equivalente a demostrar que

‖∂αx∂βξ |ξ|2‖ ≤ Cα,β + Cα,β|ξ|2−|β|.

Haremos el estudio discutiendo segun α y β y suponiendo que el dominiode p es R2n.

|α| 6= 0 ⇒ ∂αx ∂βξ |ξ|2 = 0 X

|α| = 0, |β| > 3 ⇒ ∃i 6= j : βi ≥ 1, βj ≥ 1 ⇒ ∂αx∂βξ |ξ|2 = 0 X

|α| = 0, |β| = 0 ⇒ ‖∂αx∂βξ |ξ|2‖ = ‖|ξ|2‖ = |ξ|2 X

|α| = 0, |β| = 1 ⇒ ∃i : βi = 1 ⇒ ‖∂αx ∂βξ |ξ|2‖ = ‖2ξi‖ ≤ 2|ξ| X

|α| = 0, |β| = 2 ⇒Tenemos dos casos:

· ∃i tal que βi = 2 ⇒ ‖∂αx∂βξ |ξ|2‖ = ‖2ξ2i ‖ ≤ 2|ξ|2 X

· ∃i 6= j tal que βi = 1, βj = 1 ⇒ ∂αx ∂βξ |ξ|2 = 0 X

P(~) = −~2∆:En lo que sigue notaremos ∆x para referirnos a que estamos derivandorespecto de x.

pwψ(x) =1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

p

(

y + x

2, ξ

)


=1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

|ξ|2e i~〈x−y,ξ〉ψ(y)dydξ

=−~2

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

∆x

(

ei~〈x−y,ξ〉

)

ψ(y)dydξ

=−~2

(2π~)n∆x

∫

Rn

∫

Rn


=−~

2

(2π~)n∆x

∫

Rn

ei~〈x,ξ〉F~(ψ)(ξ)dξ

= −~2∆xψ(x).


Lema 3.8Dada u ∈ Sδ(R

2n) vale:

F(∆(x,ξ)u)(x, ξ) = −|(x, ξ)|2u(x, ξ).

Demostracion.Llamemos z = (x, ξ). Entonces

|z|2u(z) = |z|2∫

R2n

e−i〈η,z〉u(η) dη

=

∫

R2n

|z|2e−i〈η,z〉u(η) dη

=

∫

R2n

−∆η

(

e−i〈η,z〉)

u(η) dη

= −∫

R2n

e−i〈η,z〉∆η(u)(η) dη

= −F(∆(z)u)(z).

3.2.3. Operadores en L2

Hasta ahora sabemos cuantizar sımbolos y obtener a partir de ellos operadoresque actuan en el espacio de Schwartz S o en su dual S ′. Por una cuestionde practicidad nos gustarıa poder aplicar nuestros operadores a funciones quevivan en espacios mas lindos como L2.A continuacion lo que haremos es probar que si tenemos a ∈ Sδ entonces po-demos extender Op(a) de manera que termine siendo un operador acotado queactua en L2.

En lo que sigue tomaremos siempre ~ = 1.

Definicion 3.4Elijamos χ ∈ C∞

c (R2n) tal que si definimos χα(z) := χ(z − α) se cumpla losiguiente:

0 ≤ χ ≤ 1

χ ≡ 0 en R2n −B(0, 2)∑

α∈Z2n

χα ≡ 1.


Si notamos aα := aχα entonces a =∑

α∈Z2n

aα

Entonces definimos el sımbolo

bαβ := aα♯aβ α, β ∈ Z2n.

Para probar que el operador resultante de cuantizar un sımbolo en Sδ mapeaL2 en sı mismo y que es acotado debemos primero demostrar un par de lemastecnicos.

Lema 3.9Para cada N , cada multiındice γ , y cada z = (x, ξ) ∈ R2n vale la siguienteestimacion:

|∂γbαβ(z)| ≤Cγ,N

〈α− β〉N〈z − α+β2〉N.

Demostracion.De la ecuacion (3.6) obtenemos

bαβ(z) =1

π2n

∫

R2n

∫

R2n

eiϕ(w1,w2)aα(z − w1)aβ(z − w2)dw1dw2,

dondeϕ(w1, w2) = −2σ(x, ξ, y, η) = 2〈x, η〉 − 2〈ξ, y〉,

w = (w1, w2) w1 = (x, ξ) w2 = (y, η).

Elijamos ζ : R4n → R tal que

0 ≤ ζ ≤ 1

ζ ≡ 1 en B(0, 1)

ζ ≡ 0 en R4n − B(0, 2)Definimos

A :=1

π2n

∫

R2n

∫

R2n

ζ(w)eiϕ(w1,w2)aα(z − w1)aβ(z − w2)dw1dw2

B :=1

π2n

∫

R2n

∫

R2n

(1 − ζ(w))eiϕ(w1,w2)aα(z − w1)aβ(z − w2)dw1dw2.

Entoncesbαβ(z) = A+B.

Estimacion de A:

|A| ≤∫ ∫

|w|≤2

|aα(z − w1)||aβ(z − w2)|dw1dw2

=

∫ ∫

|w|≤2

χ(z − w1 − α)χ(z − w2 − β)|a(z − w1)||a(z − w2)|dw1dw2.


El integrando se anula a no ser que

|z − w1 − α| ≤ 2 y |z − w2 − β| ≤ 2.

Pero si esto pasa, entonces

|α− β| ≤ 4 + |w1| + |w2| ≤ 8,

∣

∣

∣

∣

z − α + β

2

∣

∣

∣

∣

≤ 1

2(4 + |w1| + |w2|) ≤ 4,

lo cual significa que para cada N existe una constante C ′N tal que

1

〈α− β〉N〈z − α+β2〉N

≥ C ′N .

Por otro lado |A| ≤ C ′ para alguna constante C:

|A| ≤∫

|w1|≤2

|a(z − w1)|dw1

∫

|w2|≤2

|a(z − w2)|dw2

= ‖a‖2L1(B(z,2))‖a‖2

L1(B(z,2)) = C.

Combinando las dos observaciones anteriores logramos que para cada N existaCN tal que

|A| ≤ CN

〈α− β〉N〈z − α+β2〉N.

Analogamente

|∂γA| ≤ CN

〈α− β〉N〈z − α+β2

〉N.

Estimacion de B : Como ϕ(w1, w2) = 2(η,−y,−ξ, x) entonces

|∂ϕ(w)| = 2|w|.

Si definimos L := 〈∂ϕ,D〉|∂ϕ|2 tenemos que Leiϕ = eiϕ.

Como el integrando de B se anula en B(0, 1) usamos el argumento de siemprey poniendo Aα =

∑

|γ|≤M|∂γaα(z − w1)| y Aβ =

∑

|γ|≤M|∂γaβ(z − w2)| obtenemos

|B| ≤ CM

∫

R2n

∫

R2n

Aα(z − w1)Aβ(z − w2)

〈w〉M dw1dw2


Como sop(Aα) ⊂ B(α, 2) y sop(Aβ) ⊂ B(β, 2) tenemos que el integrando seanula a no ser que 〈α− β〉 ≤ C〈w〉 y 〈z − α+β

2〉 ≤ C〈w〉.

Entonces como 〈w〉N 〈w〉N〈α−β〉N 〈z−α+β

2〉N ≥ C ′

N obtenemos

|Aα(z − w1)Aβ(z − w2)|〈w〉M ≤ C

〈w〉M ≤ CN

〈α− β〉N〈z − α+β2〉N

1

〈w〉M−2N.

Aquı usamos ‖AαAβ‖∞ ≤ ‖Aα‖∞‖Aβ‖∞ ≤ C

(

∑

|γ|≤Msup |∂γa|

)2

,

|B| ≤ CM

〈α− β〉N〈z − α+β2

〉N∫

R2n

∫

R2n

〈w〉2N−Mdw1dw2

≤ CM

〈α− β〉N〈z − α+β2

〉N,

donde la ultima desigualdad es viable si M es suficientemente grande.Analogamente

|∂γB| ≤ CN,γ

〈α− β〉N〈z − α+β2

〉N.

Observacion 3.2Sera util resaltar que

CN,γ ≤ C

∑

|α|≤Msup |∂αa|

2

.

Lema 3.10Para cada N > 2n tenemos la siguiente estimacion

‖Op(bαβ)‖L2→L2 ≤ CN〈α− β〉N .


Demostracion.Si elegimos M > 2n entonces vale

‖Op(bαβ)‖L2→L2 ≤ C‖bαβ‖L1 (3.9)

≤ C‖〈ξ〉M bαβ‖L∞ (3.10)

≤ C sup|γ|≤M

‖F(Dγbαβ)‖L∞ (3.11)

≤ C sup|γ|≤M

‖Dγbαβ‖L1 (3.12)

≤ CN〈α− β〉N (3.13)

Expliquemos por que vale cada una de las desigualdades:

3.9:

Op(a) =1

(2π)2n

∫

R2n

a(v)eiVw

dv

y como eiVw

es un operador unitario en L2 tenemos que

‖Op(a)‖L2→L2 ≤ C

∫

R2n

|a(v)|dv

3.10: Usando Holder y tomando M > 2n vale que∫

|bαβ(x, ξ)|dxdξ =

∫

1

〈(x, ξ)〉M |bαβ(x, ξ)|〈(x, ξ)〉Mdxdξ

≤∫

1

〈(x, ξ)〉M dxdξ ‖〈(x, ξ)〉M bαβ‖L∞

≤ C‖〈(x, ξ)〉M bαβ‖L∞.

3.11: Usando el lema 3.8 se obtiene que F((Id−∆u)M) = (1+|(x, ξ)|2)M u

⇒ ‖〈(x, ξ)〉M bαβ‖L∞ ≤ ‖F((Id− ∆bαβ)M)‖L∞

≤ sup|γ|≤M

‖F(Dγbαβ)‖L∞

≤ C sup|γ|≤M

‖Dγbαβ‖L1.

3.12: Esta desigualdad vale pues la Transformada de Fourier mapea L∞

en L1.

3.13: Segun el lema 3.9

|Dγbαβ(z)| ≤Cγ,N

〈α− β〉N〈z − α+β2〉N.


Entonces si N > 2n

‖Dγbαβ‖L1 ≤ CN〈α− β〉N .

Observar que por la observacion 3.2

CN ≤ C

∑

|α|≤Msup |∂αa|

2

(3.14)

Teorema 3.11 (Continuidad en L2)Si 0 ≤ δ ≤ 1

2y el sımbolo a ∈ Sδ entonces

Op(a) : L2(Rn) → L2(Rn)

es acotado con la estimacion

‖Op(a)‖L2→L2 ≤ C∑

|α|≤Msup |∂αa|.

Demostracion.Tenemos que Op(bαβ) = A∗

αAβ , entonces por el lema 3.10 y la ecuacion (3.14)obtenemos

‖A∗αAβ‖L2→L2 ≤

C(

∑

|α|≤M sup |∂αa|)2

〈α− β〉N .

Entonces∑

β

‖AαA∗β‖

1

2 ≤∑

β

C∑

|α|≤M sup |∂αa|〈α− β〉N

2

.

Si N > 2n entonces la suma converge:

supα

∑

β

‖AαA∗β‖

1

2 ≤ C∑


Analogamente

supα

∑

β

‖A∗αAβ‖

1

2 ≤ C∑


La tesis se deduce de aplicar el teorema B demostrado en el apendice.


Corolario 3.12Si a ∈ Sδ cumple a = OSδ

(~n) entonces Op(a) = OL2→L2(~n).

Demostracion.‖Op(a)‖L2→L2 ≤ C

∑

|α|≤Msup |∂αa| ≤ C

∑

|α|≤M~n ≤ C~

n

Capıtulo 4

Ergodicidad cuantica

Desde el inicio nuestra meta es caracterizar el comportamiento de las funcionespropias del Laplaciano. Como hemos anticipado, nuestra herramienta sera elAnalisis Semiclasico. En lugar de estudiar las funciones propias del Laplacianoclasico −∆, estudiaremos a esas mismas funciones pero viendolas como fun-ciones propias del Laplaciano Semiclasico −~

2∆.

4.1. ¿Como cuantizar sımbolos en variedades?

Operadores Pseudodiferenciales

Los resultados de ergodicidad a los que nos proponemos llegar son probadospara una gran variedad de sımbolos que seran descritos en esta seccion; paralograr tales resultados debemos introducir una nueva clase de operadores, losOperadores Pseudiferenciales.

Nuestro interes radicara en estudiar el comportamiento de operadores cuyodominio sea C∞(T ∗X), donde X es una variedad compacta. Con este fin,primero describiremos al conjunto de operadores (con el que vamos a trabajar)cuando la variedad en cuestion es R

2n para luego generalizarlo al caso compactomediante parametrizaciones.

Definicion 4.1 (Sımbolos Clasicos)Dados m y k se define la siguiente clase de sımbolos:

Sm,k(R2n) = a ∈ C∞(R2n) : |∂αx∂βξ a| ≤Cαβ~ k

〈ξ〉m−|β| α, β ∈ Nn, ~ ∈ R, ξ ∈ R

n.

En esta definicion el ındice k refleja que tan singular es el sımbolo a cuando~ → 0 y m es controla la tasa de crecimiento cuando |ξ| → ∞.

58 Ergodicidad cuantica

Definimos tambien

Ψm,k(R2n) = aw : a ∈ Sm,k(R2n).A los operadores de este ultimo conjunto los llamamos Operadores Pseudodi-ferenciales.

Operadores pseudodiferenciales en variedades compactas

Sea X una variedad compacta diferenciable. Esta variedad tiene asociado unatlas finito

(Ui, ϕi) tal que ϕi : Ui → Rn difeomorfismo i = 1, ..., k

Sabemos entonces que dϕ : T ∗Ui → R2n.

Definicion 4.2Un operador lineal A : C∞(X) → C∞(X) sera llamado operador pseudodife-rencial si existen enteros m, k tal que para cada abierto coordenado Ui existeun sımbolo aϕi

∈ Sm,k tal que para cualquier f, g ∈ C∞c (Ui) y para cada

u ∈ C∞(X) se tiene

fA (gu) = f . [ϕ∗i awϕi

(ϕ−1i )∗] (gu).

En tal caso diremos A ∈ Ψm,k(X).

Notacion

Ψk(X) := Ψ0,k(X) Ψ(X) := Ψ0,0(X),

Ψ−∞(X) :=+∞⋂

k=0

Ψ−k(X).

Definicion 4.3 (Clase de sımbolos en variedades)Dada a : T ∗X → R diremos que a ∈ Sm,k(T ∗X) si,

a (dϕi)−1 ∈ Sm,k(R2n) ∀i = 1, ..., k.

Para cuantizar sımbolos cuando estamos trabajando con variedades compactases preciso utilizar el teorema que enunciamos a continuacion. No realizaremosuna prueba del mismo ya que hacer tal cosa nos alejarıa mucho de nuestroobjetivo. Por una demostracion del teorema ver [5].

4.1 ¿Como cuantizar sımbolos en variedades? 59

Teorema 4.1 (Cuantizacion en variedades)Existen mapas lineales

σ : Ψm,k(X) → Sm,kSm,k−1

(T ∗X),

Op : Sm,k(T ∗X) → Ψm,k(X),

de forma que

σ(AB) = σ(A)σ(B),

σ(A∗) = σ(A),

σ(Op(a)) = [a].

En general escribiremos a = σ(A) y σ(A) sera el sımbolo de A.

Observacion 4.1De la definicion de sımbolo se desprende que

[a] = [b] ⇔ a− b ∈ Sm,k−1(T ∗X).

En particular, a− b = O(~1−k).

Observacion 4.2 (¿Como utilizamos el teorema para cuantizar?)Dada a ∈ C∞(X) definimos a ∈ C∞(T ∗X) por

a(x, ξ) := a(x).

Como C∞(T ∗X) ⊂ S0,0(T ∗X) el teorema nos asegura que existe Op(a) ∈ Ψ(X)tal que σ(Op(a)) = a+O(~). Entonces

σ(Op(a))(x, ξ) = a(x) +O(~) (4.1)

Como Op(a) ∈ Ψ(X), se verifica que existen sımbolos aϕi∈ S0,0(T ∗X) tal que

para cualquier f, g ∈ C∞c (Ui) y para cada u ∈ C∞(X) se tiene

fA (gu) = f . [ϕ∗i awϕi

(ϕ−1i )∗] (gu).

Sera de utilidad mencionar que si cuantizamos de esta forma, los sımbolosaϕi

∈ S0,0(T ∗X) verifican

aϕi∈ C∞(R2n)

aϕi:= a (dϕi)

−1.


4.2. Ergodicidad Clasica

Trabajaremos en una variedad riemanniana (X, g) compacta, notaremos |.|x ala norma definida en T ∗

xX inducida por la metrica g en el punto x. Ver seccion1.2.

La cuantizacion del Hamiltoniano p : T ∗X → R es P (~) = −~∆g donde∆g es el Laplaciano en la Variedad. La prueba de tal cosa es analoga a larealizada en 3.2.2:

Si p(x, ξ) = |ξ|2x por la ecuacion (1.1) en cartas locales p(x, ξ) = 〈G(x)ξ, ξ〉 conG(x) matriz diferenciable . Teniendo esto en cuenta la demostracion se siguecomo antes usando la definicion 1.5 y que ‖∂αG(x)‖ ≤ ‖∂αG(x)‖∞.

Observacion 4.3Si llamamos Ej(~) a los valores propios de P , notemos que como P (~)uj(~) =Ej(~)uj(~) obtenemos

e−it~P (~)uj(~) = e−

it~Ej(~)uj(~).

Llamaremos φt al flujo Hamiltoniano asociado.

Elijamos a, b ∈ R, a < b y asumamos que ‖∇p‖ > 0 en a ≤ p ≤ b.Tenemos entonces que para c ∈ [a, b], p−1(c) ⊂ T ∗X es una variedad dife-renciable de dimension 2n − 1. Llamaremos, como en la seccion 1.3, Lc a lamedidad de Liouville en p−1(c) normalizada.

NotacionSi T > 0 notaremos 〈f〉T al operador

1

T

∫ T

0

f φt(m) dt

para f : T ∗X → R y m ∈ X.

Definicion 4.4 (Flujo ergodico)Diremos que φt es ergodico en p−1[a, b] si para cada c ∈ [a, b] se cumple que siA ⊂ p−1(c) es invariante por el flujo (φt(A) ⊂ A) entonces

Lc(A) = 0 o Lc(Ac) = 0.

4.2 Ergodicidad Clasica 61

Teorema 4.2 (Teorema de Birkoff)Si el flujo es ergodico en p−1(c) entonces para toda f ∈ L2(p−1(c), Lc) se tieneque

lımT→∞

〈f〉T =

∫

p−1(c)

f dLc.

Aquı estamos tomando Lc normalizada.

Por una prueba de este teorema ver [7].

Corolario 4.3Si el flujo es ergodico en p−1(c) entonces para toda f ∈ L2(p−1(c), Lc)

lımT→∞

∫

p−1(c)

〈f〉T −

∫

p−1(c)

f dLc

2

dLc = 0.

Aquı estamos tomando Lc normalizada.

Demostracion.Definamos para x ∈M

PT (u)(x) =1

T

∫ T

0

u φt(x)dt.

Con esta notacion lo que queremos es probar que

‖PT (f) −∫

p−1(c)

fdLc‖L2

T→+∞−→ 0.

No es difıcil probar que este resultado es valido si f ∈ L∞, lo que haremosentonces es aproximar funciones de L2 por funciones de L∞.Sea fn ⊂ L∞ tal que ‖fn − f‖ → 0. (Una forma de construir esta sucesionpuede ser definir An := x : f(x) ≤ n y tomar fn := fχAn).

Precisaremos:

a) ‖∫

p−1(c)

fdLc‖L2 ≤ ‖f‖L2

b) ‖PT (u)‖L2 ≤ ‖u‖L2


c) Si g ∈ L∞ entonces ‖PT (g) −∫

p−1(c)

gdLc‖L2 ≤ ‖g −∫

p−1(c)

gdLc‖L2

Si probamos lo anterior tendremos∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

PT (f) −∫

p−1(c)

fdLc

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

≤

≤ ‖PT (f) − PT (fn)‖L2 +

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

PT (fn) −∫

p−1(c)

fndLc

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

L2

+

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∫

p−1(c)

fndLc −∫

p−1(c)

fdLc

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

L2

≤ ‖f − fn‖L2 +

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

PT (fn) −∫

p−1(c)

fndLc

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

L2

+ ‖f − fn‖L2

≤ 2‖f − fn‖L2 +

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

PT (fn) −∫

p−1(c)

fndLc

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

L2

.

Entonces dado ε > 0 basta elegir n0 tal que ‖f−fn‖L2 < ε4

y T suficientementegrande de forma que ‖PT (fn) −

∫

p−1(c)

fndLc‖L2 < ε2.

Probemos las afirmaciones anteriores:

a) ‖∫

p−1(c)

fdLc‖2L2 ≤

∫

p−1(c)

|f |2dLc ≤ ‖f‖2L2.

Para la primer desigualdad utilizamos Jensen.

b) ‖PT (u)‖L2 =∫

p−1(c)

| 1T

∫ T

0u φtdt|2dLc ≤

∫

p−1(c)

1T

∫ T

0|u φt|2dtdLc

= 1T

∫ T

0

∫

p−1(c)

|u φt|2dLcdt = 1T

∫ T

0

∫

p−1(c)

|u|2dLcdt = ‖u‖L2

Aquı utilizamos Jensen y que el flujo es ergodico.

c) Si g ∈ L∞ entonces por el teorema de Birkhoff

PT (g)(x) →∫

p−1(c)

gdLc Lc − c.t.p. x.

Como por otro lado PT (g)(x) ≤ ‖g‖L∞ usamos convergencia dominada yentonces

‖PT (g)(x) −∫

p−1(c)

gdLc‖L2 → 0.

4.3 Version debil del Teorema de Egorov 63

4.3. Version debil del Teorema de Egorov

Teorema 4.4 (Version debil del teorema de Egorov)Si A es un operador en Ψ(X) notaremos

At := eit~P (~)Ae−

it~P (~).

Si a = σ(A) y at = a φt notaremos

At := awt .

Entonces Si T > 0 y 0 ≤ t ≤ T

‖At − At‖ = OT (h).

Demostracion.De la ecuacion (3.7) tenemos que cuando a, b ∈ S vale la siguiente estimacioncuando ~ → 0

a♯b = ab+~

2ia, b +OS(~2).

Como S es denso en Sδ lo anterior se extiende para a, b ∈ Sδ:

a♯b = ab+~

2ia, b +OSδ

(~2).

Si traducimos esto en terminos de Operadores utilizando el corolario 3.12 yel teorema 3.7 podemos realizar la misma prueba que en el teorema 3.4 paraobtener

[P (~), At] = [pw, awt ] =~

ip, atw +OT (~2),

P (~), AtQ = p, atw +OT (~).

Ademas ddtat = p, at, entonces

P (~), AtQ = ddtatw +OT (~).

Como ddtAt = d

dtatw logramos

d

dtAt = P (~), AtQ + Et con ‖Et‖ = OT (~).

Entonces

d

dt

(

e−it~P (~) At e

it~P (~))

= e−it~P (~)

(

d

dtAt −

i

~[P (~), At]

)

eit~P (~)

= e−it~P (~)

(

i

~[P (~), At] + Et −

i

~[P (~), At]

)

eit~P (~)

= e−it~P (~) Et e

it~P (~)

= OT (~).


Ahora solo resta integrar para lograr

‖e− it~P (~) At e

it~P (~) −A‖ = OT (~).

De aquı que

‖At −At‖ = ‖At − e−it~P (~)Ae

it~P (~)‖ = OT (~),

para 0 ≤ t ≤ T .

4.4. Teorema de Weyl

Teorema 4.5 (Teorema de Weyl)Si B es un operador en Ψ(X) y seguimos llamando uj a las funciones propiasdel Laplaciano entonces

(2π~)n∑

a≤Ej≤b〈Buj, uj〉 −→

~→0

∫ ∫

a≤P≤b

σ(B)dxdξ.

Adquirir los conocimientos necesarios para realizar la prueba de este teoremanos alejarıa mucho de nuestro objetivo, es por esto que damos una idea dela demostracion pero nos saltearemos explicar varios detalles. Por una pruebacompleta ver [5].

Demostracion.

Paso IAsumiremos que B ∈ Ψ−∞ ası podremos utilizar el teorema de Lidskii 4.7:

tr(B) =1

(2π~)n

(∫

M

∫

Rn

σ(B)dxdξ +O(~)

)

.

Paso IILlamemos Π a la proyeccion sobre el subespacio generado por

uj : a ≤ Ej ≤ b.

Es posible elegir ψε ∈ C∞c , ϕε ∈ C∞ de forma que

ϕεΠ = O(~∞)

ψεΠ = ψε +O(~∞)

(2π~)ntr(ΠB(1 − ϕε − ψε)Π) = O(ε)

.

4.4 Teorema de Weyl 65

0

0

0

ψε

ϕε

ϕε + ψε

ba

a+ εa− ε b− ε b+ ε

Paso IIINotemos que

∑

a≤Ej≤b〈Buj, uj〉 = tr(ΠBΠ)

= tr(ΠBψεΠ) + tr(ΠBϕεΠ) − tr(ΠB(1 − ϕε − ψε)Π).

Del paso anterior es posible deducir que

(2π~)ntr(ΠBϕεΠ) = O(~).

(2π~)ntr(ΠBψεΠ) =

= (2π~)ntr(ΠBψε) +O(~∞)

= (2π~)ntr((ψε + ϕε + (1 − ϕε − ψε)ΠBψε) +O(~∞)

= (2π~)ntr(ψεBψε) +O(~∞) +O(ε).


Combinando lo anterior llegamos a que

(2π~)n∑

a≤Ej≤b〈Buj, uj〉 = (2π~)ntr(ψεBψε) +O(~) +O(ε)

=

∫ ∫

σ(ψε)2σ(B)dxdξ +O(~) +O(ε)

−→h→0,ε→0

∫ ∫

a≤p≤b

σ(B)dxdξ.

Paso IVPara probar el resultado para B ∈ Ψ se realiza la siguiente descomposicion:

B = B0 +B1.

Siendo posible elegir B0 ∈ Ψ−∞ y B1 de manera que B1uj = O(~∞) paraa ≤ Ej(~) ≤ b. Entonces solo B0 influye en el lımite.

Corolario 4.6 (Asintoticos de Weyl)

(2π~)n♯a ≤ Ej ≤ b → vol(a ≤ p ≤ b).

Demostracion.Basta tomar en el teorema anterior B = Id y entonces σ(B) ≡ 1.

Teorema 4.7 (Teorema de Lidskii)Sea B un operador de clase traza en L2(M) dado por el nucleo K ∈ C∞(M ×M) (Ver 4.8). Entonces K∆, la restriccion de K a la diagonal ∆ := (m,m) :m ∈M cumple

tr B =

∫

∆

K∆.

Teorema 4.8 (Teorema del nucleo de Schwartz)Si A : S → S ′ es un operador acotado entonces existe KA ∈ S ′(Rn × Rn) talque

Au(x) =

∫

Rn

KA(x, y)u(y)dy.

Usualmente se llama nucleo de A a KA.

4.5 Equidistribucion de las funciones propias del Laplaciano 67

4.5. Equidistribucion de las funciones propias

del Laplaciano

Consideremos las funciones propias del Laplaciano semiclasico −~2∆g en ellımite semiclasico ~ → 0. Si llamamos ukk∈N a una base ortonormal deL2(X) donde las uk son funciones propias del Laplaciano y Ek(~)k∈N son losrespectivos valores propios, obtenemos la siguiente igualdad:

−∆guk = Ek(~)uk, con Ek+1(~) ≤ Ek(~) (4.2)

Nuestra meta es probar un teorema muy importante que trata el compor-tamiento asintotico de las funciones propias del Laplaciano cuando el flujogeodesico es ergodico. El teorema fue enunciado en 1974 por A.Schnirelman,pero su demostracion estaba incompleta. En 1984 S.Zeldich demostro un re-sultado similar en el que Y.Colin de Verdiere se baso para completar el trabajode Schnirelman.Llamemos S∗X = p−1(1).

Definicion 4.5 (Densidad de un conjunto)Sea S un conjunto, definimos su densidad por

D(S) = lımλ→+∞

♯λk ∈ S, λk ≤ λ♯λk ≤ λ .

El enunciado del teorema es el siguiente:

Teorema 4.9 (Schnirelman)Sea X una variedad riemanniana compacta. Sea ukk∈N una base ortonormalde L2(X) donde las uk son funciones propias del Laplaciano (4.2).Si el flujo geodesico en p−(1) es ergodico respecto de la medida de Liouville L1,entonces existe un subconjunto S ⊂ N de densidad 1 tal que ∀f ∈ C∞(X)

∫

X

|uk|2f dvol −−→k→∞k∈S

∫

X

f dvol.

Antes de probar este teorema probaremos un resultado un poquito mas generalconocido como Ergodicidad cuantica.


Observacion 4.4Sea A ∈ Ψ(X) con sımbolo σ(A). En lo que sigue asumiremos que

α :=

∫

p−1(c)

σ(A)dLc es constante ∀c ∈ [a, b].

Lema 4.10f ∈ C∞(X) define el sımbolo f ∈ C∞(T ∗X) por f(x, ξ) := f(x) entoncessucede que

∫

p−1(c)

f dLc es constante pues

∫

p−1(c)

f dLc =

∫

X

f dvol.

Demostracion.Sean c0 ∈ R y ε > 0. Llamemos Lc a la medida de Liouville Lc normalizada.Por la observacion 1.7 tenemos que dada

∫ ∫

c0≤p≤c0+ε

f dxdξ = vol(A(c0, c0 + ε))

∫

X

f dvol.

Como

∫ ∫

c0≤p≤c0+ε

f dxdξ =

∫ c0+ε

c0

∫

p−1(c)

f dLc

dc =

∫ c0+ε

c0

Lc(p−1(c))

∫

p−1(c)

f dLc

dc.

Logramos

∫

X

f dvol =1

vol(A(c0, c0 + ε))

∫ c0+ε

c0

Lc(p−1(c))

∫

p−1(c)

f dLc

dc.

Como vol(A(c0, c0 + ε)) = vol(B(0, 1))ε[cn−10 − εR(ε, n)] con εR(ε, n)

ε→0−→ 0 ,haciendo que ε→ 0 obtenemos

∫

X

f dvol =Lc0(p

−1(c0))

vol(B(0, 1))cn−10

∫

p−1(c0)

f dLc0 .

Finalmente, como esta igualdad tiene que ser valida para toda f en las hipotesisde arriba, tomando f(x, ξ) = 1 deducimos que

Lc0(p−1(c0))

vol(B(0, 1))cn−10

= 1.

Ası queda probado el lema.


Teorema 4.11 (Ergodicidad Cuantica)Sea A ∈ Ψ(X) como en la observacion (4.4) y supongamos que el flujo φt esergodico. Entonces:

(2π~)n∑

a≤Ej≤b

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

〈Auj, uj〉 −1

vol(a ≤ p ≤ b)

∫

a≤p≤b

σ(A)dxdξ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

−→~→0

0.

Demostracion. Sea B := A−αI. Entonces como σ es lineal∫

p−1(c)σ(B)dxdξ =

0 ∀c ∈ [a, b].Definamos

ǫ(h) := (2πh)n∑

a≤Ej≤b〈Buj, uj〉2.

Lo que queremos probar es que ǫ(h) → 0.

Si utilizamos la observacion (4.3) y algunas propiedades del calculo fun-cional (ver seccion 1.5) obtenemos:

〈Buj, uj〉 = 〈Be− it~Ejuj, e

− it~Ejuj〉

= 〈Be− it~P (~)uj, e

− it~P (~)uj〉

= 〈e it~P (~)Be−

it~P (~)uj, uj〉

= 〈Btuj, uj〉.

Por otro lado, si definimos 〈B〉T = 1T

∫ T

0Btdt

〈〈B〉Tuj, uj〉 =

∫(

1

T

∫ T

0

Btuj(x).uj(x)dt

)

dx

=1

T

∫ T

0

(∫

Btuj(x).uj(x)dx

)

dt

=1

T

∫ T

0

〈Buj, uj〉dt

= 〈Buj, uj〉.

De las dos observaciones anteriores deducimos,

〈Buj, uj〉2 = 〈〈B〉Tuj, uj〉2 ≤ ‖〈B〉Tuj‖2 = 〈〈B∗〉T 〈B〉Tuj, uj〉.


Donde la ultima igualdad se verifica porque

〈〈Bt〉Tu, v〉 =

=

∫ (

1

T

∫ T

0

Btu(x)dt

)

v(x)dx =1

T

∫ T

0

(∫

Btu(x)v(x)dx

)

dt

=1

T

∫ T

0

〈Btu, v〉dt =1

T

∫ T

0

〈u,B∗t v〉dt =

1

T

∫ T

0

(∫

u(x)B∗t v(x)dx

)

dt

=

∫

u(x)

(

1

T

∫ T

0

B∗t v(x)dt

)

dx = 〈u, 〈B∗t 〉Tv〉.

Hasta aquı

ǫ(~) ≤ (2π~)n∑

a≤Ej≤b〈〈B∗〉T 〈B〉Tuj, uj〉.

Del Teorema de Weyl, 4.5, deducimos:

lım sup~→0

ǫ(~) ≤∫ ∫

a≤p≤b

σ(〈B∗〉T 〈B〉T )dxdξ.

Llamemos Bt a la cuantizacion del sımbolo σ(B) φt.Del Teorema de Egorov, 4.4, tenemos

〈B〉T = 〈Bt〉T +OT (~).

Utilizando que de la demostracion del teorema se desprende que OT (~) es lacuantizacion de un O(~), obtenemos

σ(〈B〉T ) = σ(〈Bt〉T ) +O(~).

Como ademas es facil verificar que 〈Bt〉T = Op(〈σ(B)〉T ) entonces

σ(〈B〉T ) = 〈σ(B)〉T +O(~).

Por ultimo, basta decir que como 〈B∗〉T = 〈B〉∗T y ademas σ(〈B〉∗T 〈B〉T ) =σ(〈B〉∗T )σ(〈B〉T ) = σ(〈B〉T )2 logramos

lım sup~→0

ǫ(~) ≤∫ ∫

a≤p≤b

|σ(〈B〉T )|2dxdξ.

La prueba finaliza utilizando el Teorema 4.3. Obtuvimos:

∫ ∫

a≤p≤b

|σ(〈B〉T )|2dxdξ −→ 0.


Teorema de Schnirelman

Como ya mencionamos estamos trabajando con X variedad compacta. Utili-zando la notacion del principio de este capıtulo, dada a ∈ C∞(X) es posibledefinir a ∈ C∞(T ∗X) por

a : T ∗X → R a(x, ξ) := a(x).

Ademas, si recordamos que llamabamos ϕi para i = 1, ..., k a las parametriza-ciones, es posible definir aϕ ∈ C∞(R2n) por

aϕ : R2n → R aϕ := a (dϕ)−1.

Primero que nada observemos que como C∞(R2n) ⊂ S0,0(R2n) entonces tienesentido cuantizar aϕ.Tambien sera util notar que el sımbolo aϕ depende de una sola variable.

aϕ(x, ξ) = a((dϕ)−1)(x, ξ) = a(ϕ−1(x), (dxϕ)−1(ξ)) = a(ϕ−1(x)) (4.3)

Lema 4.12Con la notacion de antes se cumple

Op(aϕ)u = (a ϕ−1)u.

Demostracion.Definamos para x ∈ Rn la funcion ax por ax(y) := a ϕ−1

(

x+y2

)

. Luego:

Op(a)u(x) =1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

aϕ

(

x+ y

2, ξ

)

u(y)ei~〈x−y,ξ〉dydξ

=1

(2π~)n

∫

Rn

∫

Rn

a ϕ−1

(

x+ y

2

)

u(y)ei~〈x−y,ξ〉dydξ

=1

(2π~)n

∫

Rn

ei~〈x,ξ〉

∫

Rn

ax(y)u(y)e− i

~〈y,ξ〉dy

dξ

=1

(2π~)n

∫

Rn

ei~〈x,ξ〉F(ax.u)(ξ)dξ

= ax(x)u(x)

= a ϕ−1(x)u(x).


Para demostrar el teorema de Schnirelman precisaremos una version generaldel lema anterior.

Lema 4.13Si a ∈ C∞(X) y consideramos a ∈ C∞(T ∗X) definida por

a : T ∗X → R a(x, ξ) := a(x).

EntoncesOp(a)u = au.

Demostracion.Con la notacion de antes, como X =

⋃ki=1Ui existen g1, ..., gk ∈ C∞

c (X) dife-

renciables tal que sop(gi) ⊂ Ui y∑k

i=1 gi = 1.

De la definicion 4.2 tenemos que ∀u ∈ C∞(X)

A(giu) = [Op(aϕi)(giu ϕ−1

i )] ϕi ∀i.

Ahora, si aplicamos el lema anterior 4.12 al sımbolo aϕiobtenemos

A(giu) = [(a ϕi−1).(giu ϕ−1i )] ϕi = a.gi.u ∀i.

Entonces

A(u) = A

(

k∑

i=1

giu

)

=

k∑

i=1

A(giu) =

k∑

i=1

agiu = au.

Demostracion del teorema de Schnirelman, 4.9

Llamemos Ej a los valores propios del laplaciano cuantico y λj a los del clasico.Esto es,

−∆uj = λjuj ,

−~2∆uj = Ejuj.

De aquı que Ej = ~2λj. (Observar que si ~ → 0 entonces λj → ∞)

Primero que nada cuanticemos f , llamemos A a su cuantizacion.Utilizaremos las siguiente observaciones:

σ(A) = f cuando ~ → 0. Esto es cierto por la ecuacion (4.1).


vol(0 ≤ p ≤ 1) = vol(B(0, 1)) (vale por el lema 1.1)

vol(B(0, 1))∫

Xfdvol =

∫

0≤p≤1fdxdξ (vale por el lema 1.1)

∫

Xf |uj|2dvol =

∫

Xf.uj.ujdvol = 〈fuj, uj〉

A(uj) = f.uj. Esto vale por el lema 4.13.

Del teorema anterior, 4.11, si tomamos a = 0 y b = 1 tenemos

(2π~)n∑

0≤Ej≤1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

〈Auj, uj〉 −1

vol(0 ≤ p ≤ 1)

∫

0≤p≤1

σ(A)dxdξ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

−→~→0

0.

O lo que es lo mismo

(2π~)n∑

0≤~2λj≤1

∣

∣

∣

∣

∫

X

f |uj|2dvol−∫

X

fdvol

∣

∣

∣

∣

2

−→~→0

0.

Ahora, del corolario 4.6 tenemos que

(2π~)n♯0 ≤ ~2λj ≤ 1 −→

~→0vol(0 ≤ p ≤ 1).

Entonces

(2π~)n ∼ vol(B(0, 1))

♯0 ≤ ~2λj ≤ 1 .

Si por ultimo llamamosN(E) := ♯0 ≤ λj ≤ E y ponemos E = 1~2 obtenemos,

1

N(E)

∑

0≤λj≤E

∣

∣

∣

∣

∫

X

f |uj|2dvol −∫

X

fdvol

∣

∣

∣

∣

2

−→~→0

0.

El resultado del teorema se deduce del siguiente lema:

Lema 4.14Sea an una sucesion de numeros no negativos. Si

1

n

n∑

k=0

ak −→ 0,

entonces existe S ⊂ N de densidad 1 tal que an −→n∈S

0.


Demostracion del Lema

Lo que queremos es probar que

♯n < k : |cn| > εk

k→ 0 ∀ε.

Llamemos Ak(ε) := ♯ n < k : |cn| < ε y supongamos que existe ε tal que

lım supk

♯Ak(ε)

k> δ > 0,

1

k

k∑

n=1

cn ≥ 1

k

∑

n∈Ak(ε)

cn ≥ 1

kε ♯Ak ≥ ε δ > 0,

y esto ultimo es absurdo por hipotesis.

Apendice A

Transformada de Fourier de unaexponencial imaginaria

Teorema A.1Sea Q ∈ Mn×n(R) simetrica y no singular. Entonces

F(ei2〈Qx,x〉) =

(2π)n/2eiπ4sgn(Q)

|detQ|1/2 e−i2〈Q−1x,x〉.

Demostracion.Paso 1Sea ε > 0, Qε := Q− εiI.

F(ei2〈Qεx,x〉) =

∫

Rn

ei2〈Qεx,x〉−i〈x,ξ〉dx

=

∫

Rn

ei2〈Qε(x−Q−1

ε ξ),x−Q−1ε ξ〉e−

i2〈Q−1

ε ξ,ξ〉dx

= e−i2〈Q−1

ε ξ,ξ〉∫

Rn

ei2〈Qεy,y〉dy.

Ahora realizamos un cambio de variables para escribir Q en la forma diag(λ1, ..., λn),con λ1, ..., λr > 0 y λr+1, ..., λn < 0. Entonces

∫

Rn

ei2〈Qεy,y〉dy =

∫

Rn

ePn

k=11

2(iλk−ε)w2

kdw =

n∏

k=1

∫ ∞

−∞e

1

2(iλk−ε)w2

dw.

Paso 2Si 1 ≤ k ≤ r, entonces λk > 0. Definamos z = (ε− iλk)

1

2w y tomemos la rama

de la raız cuadrada que hace que Im(ε− iλk)1

2 < 0. Ası logramos∫ ∞

−∞e

1

2(iλk−ε)w2

dw =1

(ε− iλk)1

2

∫

Γk

e−z2

2 dz,

76 Transformada de Fourier de una exponencial imaginaria

donde Γk es como en la figura.

6

4

2

0

0 2 4 6

Γk ( para λk > 0)

Re(z) = Im(z)

Γk ( para λk < 0)

−2

−4

−6−2−4

Re(z) = −Im(z)

Como e−z2

2 = ey2−x2

2−ixy y ademas x2 > y2 en Γk, podemos transformar Γk

en el eje real. Entonces

∫

Γk

e−z2

2 dz =

∫ ∞

−∞e−

x2

2 dx =√

2π.

Entoncesr∏

k=1

∫ ∞

−∞e

1

2(iλk−ε)w2

dw = (2π)r2

r∏

k=1

1

(ε− iλk)1

2

.

Tambien tenemos que si 1 ≤ k ≤ r, como tomamos la rama de la raız cuadradadonde (−i) 1

2 = eiπ4 entonces

lımε→0+

1

(ε− iλk)1

2

=1

(−iλk)1

2

=e

iπ4

λ1

2

k

.

Paso 3De forma analoga si r + 1 ≤ k ≤ n definimos z = (ε − iλk)

1

2w pero ahora

tomamos la rama de la raız cuadrada con Im(ε− iλk)1

2 > 0. Entonces:

n∏

k=r+1

∫ ∞

−∞e

1

2(iλk−ε)w2

dw = (2π)n−r

2

n∏

k=r+1

1

(ε− iλk)1

2

.

Y como antes, si r + 1 ≤ k ≤ n , como tomamos la rama de la raız cuadradadonde i

1

2 = eiπ4 entonces

77

lımε→0+

1

(ε− iλk)1

2

=1

(−iλk)1

2

=e−

iπ4

|λk|1

2

.

Paso 3Combinando los pasos anteriores logramos:

F(ei2〈Qx,x〉) = lım

ε→0F(e

i2〈Qεx,x〉)

= e−i2〈Q−1

ε ξ,ξ〉 (2π)n2 e

iπ4

(r−(n−r))

|λ1....λn|1

2

= e−i2〈Q−1

ε ξ,ξ〉 (2π)n2 e

iπ4sgnQ

|detQ| 12.

Apendice B

Teorema de Cotlar-Stein

Teorema B.1Sean E,F dos espacios de Hilbert y Aj ∈ L(E,F ) para todo j. Supongamosademas que

supj

∞∑

k=1

‖A∗jAk‖

1

2 ≤ C supj

∞∑

k=1

‖AjA∗k‖

1

2 ≤ C.

Entonces la serie A :=∑∞

j=1Aj converge en la topologıa fuerte de operadoresy ademas

‖A‖ ≤ C.

Demostracion.Paso IAsumamos primero que Aj = 0 para j > Jpara algun J de manera que Aeste bien definido. De acuerdo con el lema previo

‖A‖2m = ‖(A∗A)m‖.

(A∗A)m =∞∑

j1,...,j2m

A∗j1AJ2

...A∗j2m−1

Aj2m

=:

∞∑

j1,...,j2m

Bj1,...j2m.

Por un lado

‖Bj1,...j2m‖ ≤ ‖A∗

j1AJ2

‖‖A∗j3AJ4

‖...‖A∗j2m−1

Aj2m‖.

Por otro lado

‖Bj1,...j2m‖ ≤ ‖Aj1‖‖AJ2

A∗j3‖...‖Aj2m−2

A∗j2m−1

‖‖Aj2m‖.

80 Teorema de Cotlar-Stein

Multipliquemos ahora las dos ecuaciones anterior y tomemos raız cuadrada.

‖Bj1,...j2m‖ ≤ C‖A∗

j1Aj2‖

1

2‖Aj2A∗jm‖

1

2 ...‖Aj2m−1Ajm‖

1

2 .

En consecuencia,

‖A‖2m = ‖(A∗A)m‖

≤∞∑

j1,...,j2m

‖Bj1,...j2m‖

≤ C∞∑

j1,...,j2m

‖Aj1A∗j2‖ 1

2 ...‖A∗j2m−1

Aj2m‖ 1

2

≤ JCC2m.

El factor J se desprende de que tenemos 2m sumas y 2m − 1 factores en lossumandos. Entonces

‖A‖ ≤ J1

2mC2m+1

2m → C m→ ∞.

Paso IIPara abordar el caso general, tomemos u ∈ E y supongamos u = Ak ∗ v paraalgun k.

∥

∥

∥

∥

∥

∞∑

j=1

Aju

∥

∥

∥

∥

∥

=

∥

∥

∥

∥

∥

∞∑

j=1

AjA∗kv

∥

∥

∥

∥

∥

≤∞∑

j=1

‖AjA∗k‖

1

2‖AjA∗k‖

1

2‖v‖

≤ C2‖v‖.

Entonces la suma∑∞

j=1Aju converge para u ∈ Σ donde Σ es el subespaciogenerado por A∗

k(E) : k = 1, ..., n. Entonces la suma tambien convergepara u ∈ Σ. Si u es ortogonal a Σ entonces u ∈ ker(Ak) para todo k y enconsecuencia

∑∞j=1Aju = 0.

Apendice C

Como determinar el operador

ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉)

Cuando se definio El Grupo de Heisenberg se introdujo un operador, ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉) :

L2(Rn) → L2(Rn), sea ψ ∈ L2(Rn). Se define ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉)(ψ)(x) como el

tiempo uno de la solucion de la ecuacion diferencial

∂F

∂t=i

~(〈Q, τ〉 + 〈P, σ〉)F con dato inicial F0(x) = ψ(x).

En esta seccion nos dedicaremos a hallar ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉) de forma explıcita so-

lucionando la ecuacion mediante el metodo de las curva caracterısticas. Loharemos para n = 1. Para mayores dimensiones la demostracion es analoga.

Nuestro objetivo sera probar la siguiente formula:

ei~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉)ψ(x) = e

i~〈σ2+x,τ〉ψ(x+ σ).

Como n = 1 tenemos que P = ~

i∂∂x

y Q(f)(x) = xf(x), por lo tanto queremosresolver la siguiente ecuacion diferencial

∂F

∂t(x, t) − σ

∂F

∂x(x, t) =

i

~τxF (x, t) con dato inicial F0(x) = ψ(x).

Sea γ : R → Rs, γ(s) = (γ1(s), γ2(s)), tenemos que

∂F γ∂s

(s) =∂F

∂x(γ(s))γ1(s) +

∂F

∂t(γ(s))γ2(s).

Si pedimos que ˙γ(s) = ( ˙γ1(s), ˙γ2(s)) = (−σ, 1) definiendo entonces γ(s) =(−sσ + θ, s) obtenemos

82 Como determinar el operador e

i

~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉)

∂F γ∂s

(s) = −∂F∂x

(γ(s))σ +∂F

∂t(γ(s))

=i

~τ(−sσ + θ)F γ(s).

Tenemos entonces que resolver la ecuacion en variables separables

∂F γ∂s

(s) =i

~τ(−sσ + θ)F γ(s).

Resulta entonces que

F γ(s) = ke−i~τσs2/2+ i

~τθs.

Sean (t, x) ∈ R2. Si ponemos θ = x+tσ tenemos que γ(s) = (−sσ+x+tσ, s)verifica γ(t) = (x, t) y γ(0) = (x+ σt, 0).

Entonces F γ(0) = F (x+ σt, 0) = ψ(x+ σt)Ası, debemos elegir k = ψ(x+ σt).

F (x, t) = F (γ(t)) = ψ(x+ σt)e−i~τσt2/2+ i

~τ(x+tσ)t.

Entonces fijemos t = 1,

F (x, 1) = ψ(x+ σ)ei~τ(x+ σ

2),

como querıamos.

Notacion

Notacion elemental

C =plano complejo

Mn×m = matrices de n filas y m columnas

〈x, y〉 =∑

xiyi x, y ∈ Rn.

|x|2 =∑n

k=1 x2k si x ∈ Rn, x = (x1, ..., xn)

〈x〉 =√

1 + |x|2 x ∈ Rn

Si f : X → C se define el soporte de f por sop(f) = x : f(x) 6= 0

C∞(X) = f : X → R diferenciable

C∞c (X) = f ∈ C∞(X) : sop(f) es compacto

Llamaremos Laplaciano Clasico al operador ∆ definido por

∆(f) =

n∑

i=1

∂2f

∂x2i

f ∈ C∞(Rn)

Si X es una variedad diferenciable notaremos X∗ al espacio dual de X

X∗ = f : X → R : f lineal

Si X es una variedad diferenciable notaremos TxX al espacio tangentede X

Si X es una variedad diferenciable notaremos TX al espacio dual de X

TX = (x, v) : x ∈ X, v ∈ TxX

84 Como determinar el operador e

i

~(〈Q,τ〉+〈P,σ〉)

Si X es una variedad diferenciable definimos notaremos T ∗X al espaciocotangente a X

T ∗X = (x, ξ) : x ∈ X, ξ ∈ T ∗xX

Diferenciacion

α = (α1, ..., αn) αi ∈ N a α lo llamaremos multiındice

|α| = α1 + ...+ α2

xα := xα1

1 ...xαnn

∂α := ∂α1

x1...∂αn

xn

∂xj= ∂

∂xj

∂α := (∂α1, ..., ∂αn)

Dx = 1i∂x

Operadores

A∗ = operador adjunto de A

[A,B] = AB −BA. A [ , ] le llamaremos conmutador

tr(A) = traza de A

Diremos que un operador A es de clase traza si tr(B) :=∑

µj < ∞ don-de los µ2

j son las valores propios de B∗B. spec(A) = espectro de A

Si A : X → Y es un operador acotado definimos

‖A‖ := sup‖Au‖ : ‖x‖ ≤ 1

Si Q ∈ Mn×m(R) es simetrica e invertible entonces

sg(Q) := #(spec(Q) ∩ R+) − #(spec(Q) ∩ R

−)

Definimos el operador 〈Dx, Dy〉 por

〈Dx, Dy〉f := 〈(Dx1, ..., Dxn), (Dy1, ..., Dyn)〉f = −

n∑

i=1

∂

∂xi

∂

∂yif

85

Errores

Escribimos f = O(hN) cuando pedimos que ‖f‖ = O(hN). Esto es,

si ∃CN tal que ‖f‖ ≤ CNhN ∀ 0 < h ≤ 1

Escribimos f = O(h∞) si f = O(hN); ∀N ∈ N

Si A es un operador acotado entre X e Y diremos que A = O(hN) si‖A‖ = O(hN)

Observacion: Lo antes definido tiene sentido si f y A dependen del parametro~.

Bibliografıa

[1] N. Anantharaman. Eigenfunctions of the laplacian on negativelycurved manifolds:a semiclassical approach, June 2007. Disponible enwww.claymath.org/programs/summer_school/2007/anatharamanln.pdf.

[2] M. Berger. A Panoramic View of Riemannian Geometry. Springer, Oc-tober 2002.

[3] Y. C. de Verdiere. Ergodicite et fonctions propes du laplacien. Commu-nications in Mathematical Physics, 102(3):497–502, 1985.

[4] P. Eberlein. Geodesic flows in manifolds of nonpositive curvature. InSmooth ergodic theory and its applications, volume 69, pages 525–572.AMS, 1999.

[5] L. Evans and M. Zworski. Lectures on semiclassical analysis, Version 0.3.Disponible en math.berkeley.edu/~zworski/semiclassical.pdf.

[6] M. Kac. Can one hear the shape of a drum? American MathematicalMonthly, 73(4):1–23, 1966.

[7] R. Mane. Introducao a teorıa ergodica, 1983.

[8] R. Melrose. Introduction to microlocal analysis, December 2007. Dispo-nible en math.mit.edu/~rbm/iml/Front.pdf.

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Orientador: Federico Rodriguez Hertz

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